2014高考数学圆锥曲线大题解题方法大全

圆锥曲线大题解题方法大全联立求中点及弦长例：直线x y --=10截抛物线y x 28=，所截得的弦中点的坐标是 例 直线y =x ―1被双曲线2x 2―y 2=3所截得的弦的中点坐标是 （A ）(1, 2) （B ）(―2, ―1) （C ）(―1, ―2) （D ）(2, 1)例．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y=kx+1与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，P 是弦AB 的中点，OP 的斜率为（其中O 为原点），求k 的值．例 斜率为1的直线经过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长例：设抛物线y x 24=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是例：顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y x =+21截得的弦长为15，求抛物线的方程。

点差法：中点弦及斜率的关系例 已知椭圆2212x y += 求过点11(,)22P ，且被P 平分的弦所在的直线方程.例 已知中心在原点，一个焦点为()050,的椭圆被直线y 3x 2=-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程.例 已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N （2，﹣3）．（1）求椭圆C 的方程．（2）求椭圆以M （﹣1，2）为中点的弦所在直线的方程例设椭圆C：过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．例已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（II）求线段BC中点M的坐标（III）求BC所在直线的方程．例（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．联立韦达定理一向量的数量积问题例O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N(x2, y2)两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求证：OM⊥ON．例 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线l ：y=kx+m 交椭圆于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若m=1，且，求k 的值（O 点为坐标原点）；例 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2O AO B ⋅>(其中O 为原点)，求k 的取值范围。

例 己知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，过点A （O ，﹣b ）和B （a ，o ）的直线到原点的距离为．（I ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线y=kx+2（k ≠o ）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在常数k ，使得以CD 为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k ，若不存在，请说明理由．例 已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程例 设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知41=m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;例 已知离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知与圆相切的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点，求的值．例 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且长轴长等于4．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，⊙O 是以F 1，F 2为直径的圆，直线l ：y=kx+m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若•=﹣，求k 的值．例 已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．（1）求双曲线C 的方程 （2）过点（0，）是否存在一条直线l 与双曲线c 有两个不同交点A 和B 且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．例 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且O P O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由二 三点共线问题例、设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .例已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。

（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.三 三角形面积及面积最值问题例 设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为．（1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为F 1，右焦点为F 2，过F 1且斜率为1的直线交椭圆于A 、B 两点，求△ABF 2的面积．例 已知双曲线的两个焦点为的曲线C 上．（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为，求直线l 的方程．例 设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为22，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2. (1) 求椭圆方程.(2) 过点)2,0(P 的直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，当OAB ∆面积最大时，求AB .例．已知椭圆C ：12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值．例 已知椭圆的右焦点F 在圆D ：（x ﹣2）2+y 2=1上，直线l ：x=my+3（m ≠0）交椭圆于M 、N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若（O 为坐标原点），求m 的值；（Ⅲ）若点P 的坐标是（4，0），试问△PMN 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．四 中垂线问题例 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。

例：已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)23,1(，且离心率21=e 。

（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,81(G ，求k 的取值范围。

例．设双曲线的离心率e=，过点A （0，﹣b ）和B （a ，0）的直线与原点的距离为．（1）求双曲线方程；（2）直线y=kx+5（k ≠0）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求k 值．例 设F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线ℓ与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列． （1）求E 的离心率；（2）设点P （0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E 的方程例已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点A （0，﹣1）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果过点（0，）的直线与椭圆交于M ，N 两点（M ，N 点与A 点不重合），求•的值；当△AMN 为等腰直角三角形时，求直线MN 的方程．五 对角线垂直的四边形面积最值问题例 设F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点.（Ⅰ）过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程：（Ⅱ）设A 、B 为势物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值.例．已知抛物线y 2=2px ，（p ＞0）的焦点为F ，且焦点F 到其准线的距离为2. A ，B ，C 为抛物线上相异三点． （Ⅰ）求p 的值； （Ⅱ）若，求证：为定值；（Ⅲ）若A ，F ，C 三点共线，直线BF 交抛物线于另一点D ，且AC ⊥BD ，求四边形ABCD 面积的最小值．例P ，Q ，M ，N 四点都在椭圆上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．六 直线过定点问题例 直线m kx y l +=：和抛物线y x 24=相交于A 、B ，以AB 为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线m kx y l +=：过定点，并求定点的坐标。

例 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

例 已知曲线C 上的动点M 到y 轴的距离比到点F （1，0）的距离小1， （I ）求曲线C 的方程；（II ）过F 作弦PQ 、RS ，设PQ 、RS 的中点分别为A 、B ，若，求最小时，弦PQ 、RS 所在直线的方程； （III ）是否存在一定点T ，使得？若存在，求出P 的坐标，若不存在，试说明理由．例 已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求的取值范围．七 求定值问题例 已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；例 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值八 存在性问题例 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点C （-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，试问在轴上是否存在点M ，使是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.例 如图，椭圆C ：经过点P （1，），离心率e=，直线l 的方程为x=4．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．25MA MB 3k 1⋅++x B A ,l k )1,2(36九 抛物线焦点弦问题例 已知抛物线()220y px p =>的一条经过焦点的弦AB 被焦点F 分成长分别为m 、n 的两段，即||,||AF m BF n ==。