2014高考数学圆锥曲线大题解题方法大全

圆锥曲线大题解题方法大全

联立求中点及弦长

例：直线x y --=10截抛物线y x 2

8=，所截得的弦中点的坐标是 例 直线y =x ―1被双曲线2x 2―y 2=3所截得的弦的中点坐标是 （A ）(1, 2) （B ）(―2, ―1) （C ）(―1, ―2) （D ）(2, 1)

例．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）． （1）求双曲线C 的方程；

（2）若直线l ：y=kx+1与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，P 是弦AB 的中点，OP 的斜率为（其中O 为原点），求k 的值．

例 斜率为1的直线经过抛物线x y 42

=的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长

例：设抛物线y x 2

4=被直线y x b =+2截得的弦长为35，则b 的值是

例：顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y x =+21截得的弦长为15，求抛物线的方程。

点差法：中点弦及斜率的关系

例 已知椭圆

2

212

x y += 求过点11(,)22P ，且被P 平分的弦所在的直线方程.

例 已知中心在原点，一个焦点为()

050,的椭圆被直线y 3x 2=-截得的弦的中点横坐标为1

2

，求此椭圆的方程.

例 已知椭圆C ：

=1（a ＞b ＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N （2，﹣3）．

（1）求椭圆C 的方程．

（2）求椭圆以M （﹣1，2）为中点的弦所在直线的方程

例设椭圆C：过点（0，4），离心率为

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

例已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（II）求线段BC中点M的坐标

（III）求BC所在直线的方程．

例（1）设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．

（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．

联立韦达定理

一向量的数量积问题

例O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M（x1,y1）,N(x2, y2)两点．

（1）求x1x2与y1y2的值；

（2）求证：OM⊥ON．

例 已知椭圆

的离心率为，长轴长为，直线l ：y=kx+m 交

椭圆于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若m=1，且，求k 的值（O 点为坐标原点）；

例 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

(1) 求双曲线C 的方程；

(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，

且2O AO B ⋅>(其

中O 为原点)，求k 的取值范围。

例 己知椭圆

=1（a ＞b ＞0）的离心率e=

，过点A （O ，﹣b ）和B （a ，o ）的直

线到原点的距离为．

（I ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线y=kx+2（k ≠o ）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在常数k ，使得以CD 为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k ，若不存在，请说明理由．

例 已知抛物线()022

>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径

的圆恰好过原点，求此抛物线的方程

例 设m R ∈,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)a mx y =+,向量(,1)b x y =-,a b ⊥,动点(,)M x y 的轨迹为E.

（1）求轨迹E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知4

1

=

m ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

例 已知离心率为的椭圆过点．

（1）求椭圆C 的方程； （2）已知与圆

相切的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A 、B ，O 为坐标原点，求

的值．

例 已知椭圆C ：

+

=1（a ＞b ＞0）过点（1，），且长轴长等于4．

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，⊙O 是以F 1，F 2为直径的圆，直线l ：y=kx+m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若•

=﹣，求k 的值．

例 已知双曲线

的离心率

，一条渐近线方程为

．

（1）求双曲线C 的方程 （2）过点（0，

）是否存在一条直线l 与双曲线c 有两个不同交点A 和B 且

=2，

若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

例 设双曲线y a

x 222

31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2. （I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；

（II ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且O P O Q →→

=·0.

若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由

二 三点共线问题

例、设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .