高三数学一轮复习 第8篇 第2节 圆与方程课件 理
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人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高考理科数学一轮复习课件圆的方程
定义
01
两个圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部时，
称这两个圆外切。
判定方法
02
通过比较两个圆心之间的距离与两个圆的半径之和的大小关系
来判定。若圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。
性质
03
两圆外切时，连心线必过切点，且两圆心到切点的距离相等。
圆与圆相交
01
定义
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。
圆的方程形式
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ， 其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，其中D² + E² - 4F > 0 。通过配方可以化为标准 方程。
参数方程
圆的参数方程为 x = a + rcosθ, y = b + rsinθ (θ为 参数)。
05
圆的方程在几何问题中的应用
利用圆的方程求轨迹问题
确定动点的轨迹
通过设定动点的坐标，利用圆的方程将动点的坐标代入，得到动 点的轨迹方程。
求解轨迹的半径和圆心
通过轨迹方程，可以进一步求解出轨迹的半径和圆心坐标。
判断轨迹的形状
根据轨迹方程的形式和性质，可以判断出轨迹的形状，如圆、椭圆 等。
利用圆的方程解决最值问题
直线与圆相切
直线与圆有且仅有一个交点，即 直线刚好与圆接触。
可以通过比较圆心到直线的距离 与圆的半径来判断，若距离等于
半径则相切。
切线的斜率可以通过圆心坐标和 切点坐标求得。
直线与圆相离
直线与圆没有交点，即直线在 圆外部。
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
高考数学总复习 82圆的方程课件 新人教A版
|－a|>2， 由条件知，|－2aa|><20，，
2a>0，
∴a>2.
答案：D
圆的标准方程
[例 2] (2011·河南重点中学调研)若圆 C 的半径为 1，圆 心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆 的标准方程是( )
A．(x－3)2＋y－732＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x－322＋(y－1)2＝1
④圆与直线 l 相切，则(一)d＝r；(二)Δ＝0.应特别注意圆 与直线 l 相切于点 P 的含义．
⑤圆 C 截直线 l 得弦 AB，则半弦 2＋弦心距 2＝半径 2.
(文)(2012·潍坊模拟)当 a 为任意实数时，直线(a－1)x－y ＋a＋1＝0 恒过定点 C，则以 C 为圆心，半径为 5的圆的方 程为( )
分析：由⊙C 的半径为 1 及与 x 轴相切，圆心在第一象限， 可知圆心纵坐标为 1，可设出圆心坐标利用⊙C 与直线 4x－3y ＝0 相切列方程求解．
解析：依题意设圆心 C(a,1)(a>0)，由圆 C 与直线 4x－3y ＝0 相切得，|4a－5 3|＝1，解得 a＝2，则圆 C 的标准方程是(x －2)2＋(y－1)2＝1，故选 B.
A．x2＋y2－2 3x＋2＝0 B．(x－3)2＋y2＝9 C．x2＋y2＋2 3x＋2＝0 D．(x－3)2＋y2＝3
解析：双曲线右焦点 F(3,0)，渐近线方程 y＝± 22x，故圆 半径 r＝ 3，故圆方程为(x－3)2＋y2＝3.
答案：D
点与圆的位置关系 [例 3] 设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 e＝12，右焦 点为 F(c,0)，方程 ax2＋bx－c＝0 的两个实根分别为 x1 和 x2， 则点 P(x1，x2)( ) A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 上 C．必在圆 x2＋y2＝2 外 D．以上三种情形都有可能
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
y
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
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2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
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2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
o
x
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圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
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交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
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2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
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(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
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练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
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圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
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题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
高考数学一轮总复习 8.3 圆的方程课件 理
A．x2＋y2＝1 C．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝ 2 D．x2＋y2＝4
基础知识系统化2
此题主要考查了圆的标准方程 方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 表示圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程． 特别地，以原点为圆心， 半径为 r(r＞0)的 圆的标准方程为 x2＋y2＝r2．
B．x2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋y2＝2
基础知识系统化1
此题主要考查了圆的定义： 平面内到定点的距离等于定长的 点的轨迹是圆．
第四页，共45页。
基础知识梳理 梳 理 一 圆的定义(dìngyì)及圆的标准方程
梳理(shūlǐ)自测2
2．已知点 A(1，－1)，B(－1，1)，
则以线段 AB 为直径的圆的方程是( c )
已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求xy的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最大值和最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
(3)x2＋y2 表示圆上点与原点距离的平方 ，由平面几何知识知在原点和圆 心连线与圆的两个交点处 x2＋y2 取得最大值或最小值．
又圆心到原点的距离为 2，
B．0＜a＜1
P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r＞0)的位置关系
C．a＞1 或 a＜－1 D．a＝±1
(1) 若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2， 则点 P 在圆外；
(2) 若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2， 则点 P 在圆上；
(3) 若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2， 则点 P 在圆内．
3．(教材(jiàocái)精选题)过三点O(0，0)，A(1，0)，B(0 ，1)的圆的方程是x_2＋__y_2－__x－__y．＝0
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1. 直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表
示等式，直接求解轨迹方程.
2. 定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出
圆的方程.
3. 相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关
或 m ＝2.(二次项系数相等)
当 m ＝－1时，原方程为 x 2＋ y 2＋8 x ＋4 y －5＝0，(二次项系数化为1后再使用公式)
即( x ＋4)2＋( y ＋2)2＝25.
5
2
2
当 m ＝2时，原方程可化为 x ＋ y ＋2 x ＋ y ＋ ＝0，
2
1
2
5
4
即( x ＋1)2＋( y ＋ )2＝－ ，不是圆的方程，∴ m ＝2不合题意.综上， m 的值为－1.
r ，设 M 的坐标为( x 0， y 0).
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点 P 是以 AB 为直径的圆 O 所在平面内的一点，则
· ＞0⇔点 P 在圆 O 外；
· ＝0⇔点 P 在圆 O 上；
· ＜0⇔点 P 在圆 O 内.
二、基础题练习
1. [2022北京高考]若直线2 x ＋ y －1＝0是圆( x － a )2 ＋ y 2＝1的一条对称轴，则 a ＝
则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为
[解析]
( x －3)2＋( y －3)2＝1 .
设点 P 的坐标为( x ， y )，点 A 的坐标为( x 0 ， y 0 )，由于点 B 的坐标
为(8，6)，且 P 为线段 AB 的中点，∴ x ＝
【师说系列】高考数学一轮复习讲义 8.2圆的方程课件 北师大版
2． 圆的一般方程 把圆的标准方程 (x－ a)2＋(y－ b)2＝ r2 展开， 得 x2＋ y2－2ax－ 2by ＋ a2＋ b2－ r2＝0，可见，任何一个圆的方程可写成 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0① 2 2 D2 E 2 D ＋ E － 4F 将①配方化为 (x＋ ) ＋(y＋ ) ＝ 2 2 4 D E 1 (1) 当 D2 ＋ E2 － 4F ＞ 0 时， ①表示以 ( － ，－ ) 为圆心， 2 2 2 D2＋ E2－ 4F为半径的圆； D E 2 2 (2)当 D ＋ E － 4F＝ 0 时，①表示一个点(－ ，－ )； 2 2 (3)当 D2＋ E2－ 4F＜ 0 时，①不表示任何图形． 从上可看出，当 D2＋ E2－ 4F＞ 0，方程①表示一个圆，方程① 叫作圆的一般方程．
4． 直线和圆的位置关系 (1)判断直线和圆的位置关系有两种方法，一种侧重代数方法， 一种侧重从几何角度入手． 方法 1：(代数法 )设直线方程为 Ax＋ By＋ C＝0，圆的方程为 x2 ＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0， 联立直线和圆的方程消 y 得关于 x 的一元二 次方程为 ax2＋by＋ c＝ 0，其判别式为 Δ，则： Δ＞ 0⇔ 相交； Δ＝0 ⇔ 相切； Δ＜0⇔相离．
考 点 串 串 讲 1． 圆的标准方程 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆 心，定长就是半径，如图所示，设圆心是 C(a，b)，半径是 r，则圆 的方程为 (x－a)2＋ (y－b)2＝ r2.
特别提示： (1)上面方程就称为圆的标准方程． (2)如果圆心在原点，这时 a＝ b＝ 0，圆的方程为 x2＋y2＝ r2. (3)圆心 C(a， b)是定位条件，半径是定形条件． (4)确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于 a， b， r 的方程组，需要三个独立条件．
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2 构成的直角三角形来解,即 r2=d2+ ( 1 l)2 .
2 (2)代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式. |AB|= 1 k 2 |xA-xB|
= (1 k 2 )[(xA xB )2 4xAxB ] .
说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
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9
5.圆与圆的位置关系
☉O1、☉O2 半径分别为 r1、r2,d=|O1O2|.
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基础自测
1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A )
(A)x2+(y-2)2=1
(B)x2+(y+2)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
解析:由题意,设圆心(0,t),
则 (0 1)2 (t 2)2 =1,
得 t=2, 所以圆的方程为 x2+(y-2)2=1, 故选 A.
2
编写意图 圆与圆的方程是高考重点内容之一,常与直线、向量、圆 锥曲线等知识综合命题.依据高考命题规律,本节围绕圆的方程,直线 与圆及圆与圆的位置关系,与圆相关的最值、轨迹问题这几个方面精 选例习题.注意基本方法的训练,重点突出了数形结合思想、转化化 归思想的应用.
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3
夯基固本
考点突破
思想方法
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4
夯基固本
抓主干 固双基
1.圆的定义与方程
知识梳理
(1)圆的定义
在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
(2)圆的方程
标2=r2
圆心(a,b),半径 r
一般 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心
D 2
,
E 2
B,则 O、P、A、B 四点共圆且直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2.
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解析:①中两圆可能相内切;②中两圆可以相内切、相交、内含;③ 中若两圆相交所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线方程,若 两圆相切应为两圆公切线的方程;④设过点 P 的圆 O 的切线 l,A 为 l 上任意一点且与点 P 不重合. OP =(x0,y0), PA =(x-x0,y-y0)且
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3.直线与圆的位置关系
把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,
其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关 系列表如下:
相离
相切
相交
图形
量 代数观点 化 几何观点
Δ<0 d>r
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Δ=0 d=r
Δ>0 d<r
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4.直线被圆截得弦长的求法 (1)几何法:圆的弦长的计算常用弦心距 d,弦长一半 1 l 及圆的半径 r 所
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2.☉C1:x2+y2=1与☉C2:x2+y2-4x+3=0的位置关系是( B )
(A)内切
(B)外切
(C)相交
(D)相离
解析:☉C2 的圆心为(2,0),半径 R=1;两圆心之间距离|C1C2|=2,所以两圆 外切.
3.已知方程 x2+y2-2mx+2y=3m-5 表示圆,则实数 m 的取值范围为( D )
1 225 5
d=
=1,
12 22
故弦长为 2 r2 d 2 =2 ( 5)2 12 =4.
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5.下列说法正确的序号是
.
①如果两圆只有一个交点,则两圆相外切. ②如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交. ③联立两圆方程消去 x2,y2 后得到的二元一次方程是两圆公共弦所 在直线方程. ④过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程 x0x+y0y=r2. ⑤过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A、
相离
外切
相交
图形
量的关系
d> r1+r2
d= r1+r2
|r1-r2| <d
<r1+r2
内切
内含
d= |r1-r2|
d< |r1-r2|
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质疑探究2:两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何 关系? (提示:两圆的方程作差消去二次项得到的关于x,y的二元一次方程, 就是公共弦所在直线的方程)
当 D2+E2-4F<0 时,方程无意义,不表示任何曲线)
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6
2.点A(x0,y0)与☉C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (2)|AC|=r⇔点A在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(A)( 5 ,+∞) 3
(C)(-4,1)
(B)(1,+∞) (D)(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析:由方程知x2+y2-2mx+2y-3m+5=0,由方程表示圆的条件得 4m2+4+12m-20>0, 解得m<-4或m>1.
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13
4.(2013 高考安徽卷)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长 为( C ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)4 6 解析:圆的方程化为(x-1)2+(y-2)2=5, 该圆的圆心坐标为(1,2),半径 r= 5 , 圆心到直线 x+2y-5+ 5 =0 的距离
第2节 圆与方程
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1
最新考纲 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的 标准方程与一般方程, 2.能根据给定直线、圆的方程,判断 直线与圆的位置关系,能根
据给定两个圆的方程判 断圆与圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解 决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想.
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OP ·PA =0,于是 x0(x-x0)+y0(y-y0)=0 即 x0x+y0y= x02 + y02 =r2,显然
P(x0,y0)满足方程,正确;⑤由切线性质及圆内接四边形知 O、P、A、 B 四点在以 OP 为直径的圆上,圆方程为 x2+y2-x0x-y0y=0,两圆方程 相减得直线 AB 的方程 x0x+y0y=r2. 答案:④⑤
半径 1 D2 E2 4F 2
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5
质疑探究1:圆的一般方程中为何限制D2+E2-4F>0?
(提示:圆的一般方程配方后得
(x+ D )2+(y+ E )2= 1 (D2+E2-4F).
2
24
当 D2+E2-4F>0 时,方程才能表示圆;
当 D2+E2-4F=0 时,方程表示点(- D ,- E ); 22
2 (2)代数法:即利用根与系数的关系及弦长公式. |AB|= 1 k 2 |xA-xB|
= (1 k 2 )[(xA xB )2 4xAxB ] .
说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
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5.圆与圆的位置关系
☉O1、☉O2 半径分别为 r1、r2,d=|O1O2|.
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基础自测
1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A )
(A)x2+(y-2)2=1
(B)x2+(y+2)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)x2+(y-3)2=1
解析:由题意,设圆心(0,t),
则 (0 1)2 (t 2)2 =1,
得 t=2, 所以圆的方程为 x2+(y-2)2=1, 故选 A.
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编写意图 圆与圆的方程是高考重点内容之一,常与直线、向量、圆 锥曲线等知识综合命题.依据高考命题规律,本节围绕圆的方程,直线 与圆及圆与圆的位置关系,与圆相关的最值、轨迹问题这几个方面精 选例习题.注意基本方法的训练,重点突出了数形结合思想、转化化 归思想的应用.
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夯基固本
考点突破
思想方法
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夯基固本
抓主干 固双基
1.圆的定义与方程
知识梳理
(1)圆的定义
在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
(2)圆的方程
标2=r2
圆心(a,b),半径 r
一般 方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心
D 2
,
E 2
B,则 O、P、A、B 四点共圆且直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2.
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解析:①中两圆可能相内切;②中两圆可以相内切、相交、内含;③ 中若两圆相交所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线方程,若 两圆相切应为两圆公切线的方程;④设过点 P 的圆 O 的切线 l,A 为 l 上任意一点且与点 P 不重合. OP =(x0,y0), PA =(x-x0,y-y0)且
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3.直线与圆的位置关系
把直线的方程与圆的方程组成的方程组转化为一元二次方程,
其判别式为Δ,设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.位置关 系列表如下:
相离
相切
相交
图形
量 代数观点 化 几何观点
Δ<0 d>r
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Δ=0 d=r
Δ>0 d<r
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4.直线被圆截得弦长的求法 (1)几何法:圆的弦长的计算常用弦心距 d,弦长一半 1 l 及圆的半径 r 所
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2.☉C1:x2+y2=1与☉C2:x2+y2-4x+3=0的位置关系是( B )
(A)内切
(B)外切
(C)相交
(D)相离
解析:☉C2 的圆心为(2,0),半径 R=1;两圆心之间距离|C1C2|=2,所以两圆 外切.
3.已知方程 x2+y2-2mx+2y=3m-5 表示圆,则实数 m 的取值范围为( D )
1 225 5
d=
=1,
12 22
故弦长为 2 r2 d 2 =2 ( 5)2 12 =4.
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5.下列说法正确的序号是
.
①如果两圆只有一个交点,则两圆相外切. ②如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交. ③联立两圆方程消去 x2,y2 后得到的二元一次方程是两圆公共弦所 在直线方程. ④过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程 x0x+y0y=r2. ⑤过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A、
相离
外切
相交
图形
量的关系
d> r1+r2
d= r1+r2
|r1-r2| <d
<r1+r2
内切
内含
d= |r1-r2|
d< |r1-r2|
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质疑探究2:两圆相交时,公共弦所在直线方程与两圆的方程有何 关系? (提示:两圆的方程作差消去二次项得到的关于x,y的二元一次方程, 就是公共弦所在直线的方程)
当 D2+E2-4F<0 时,方程无意义,不表示任何曲线)
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2.点A(x0,y0)与☉C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2; (2)|AC|=r⇔点A在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(A)( 5 ,+∞) 3
(C)(-4,1)
(B)(1,+∞) (D)(-∞,-4)∪(1,+∞)
解析:由方程知x2+y2-2mx+2y-3m+5=0,由方程表示圆的条件得 4m2+4+12m-20>0, 解得m<-4或m>1.
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4.(2013 高考安徽卷)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长 为( C ) (A)1 (B)2 (C)4 (D)4 6 解析:圆的方程化为(x-1)2+(y-2)2=5, 该圆的圆心坐标为(1,2),半径 r= 5 , 圆心到直线 x+2y-5+ 5 =0 的距离
第2节 圆与方程
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最新考纲 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的 标准方程与一般方程, 2.能根据给定直线、圆的方程,判断 直线与圆的位置关系,能根
据给定两个圆的方程判 断圆与圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解 决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想.
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OP ·PA =0,于是 x0(x-x0)+y0(y-y0)=0 即 x0x+y0y= x02 + y02 =r2,显然
P(x0,y0)满足方程,正确;⑤由切线性质及圆内接四边形知 O、P、A、 B 四点在以 OP 为直径的圆上,圆方程为 x2+y2-x0x-y0y=0,两圆方程 相减得直线 AB 的方程 x0x+y0y=r2. 答案:④⑤
半径 1 D2 E2 4F 2
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质疑探究1:圆的一般方程中为何限制D2+E2-4F>0?
(提示:圆的一般方程配方后得
(x+ D )2+(y+ E )2= 1 (D2+E2-4F).
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当 D2+E2-4F>0 时,方程才能表示圆;
当 D2+E2-4F=0 时,方程表示点(- D ,- E ); 22