数列中公共项问题的研究

专题：数列中公共项问题的研究

一、问题提出

问题1：（1）两个集合{}1003,0,3,6,

,A a =-和{}10015,19,23,27,,B b =都各有100个元素，且每个

集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合A B 中元素的最大值是多少？

（2）若将A B 中元素按从小到大的顺序排列成数列{}n c ，试求数列{}n c 的通项公式.312+=n c n

问题2：若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=-，数列{b }n 的通项公式为n b 5

34

n =--． 设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，

*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A

B c ∈是

A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．

对任意*

n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ⊂，∴A B B =

∵1c 是A

B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则

∴265179125d -<-+<-，即5

27129

d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差等差数列， ∴*

12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-．

二、思考探究

探究1：已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2

n b n =．若将数列{n a }，

{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }，

（1）求9c 的值；961

（2）求数列{}n c 的通项公式.

解：设2

27m n =+，考察m 模7的余数问题；

若k k k k k k k m 7,17,27,37,47,57,67------=时经验证可得： 当37,47--=k k m 时，存在满足条件的n 存在

故{n c }中的项目依次为： 3125241817111043,,,,,,,,b b b b b b b b b

可求得数列{n c }的通项公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫

⎝

⎛-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=为偶数，为奇数，n n n n C n 2

2

267217

探究2：已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n

n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按

照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .

（1）试写出1c ，2c ，3c ，4c 的值，并由此归纳数列{}n c 的通项公式； （2）证明你在（1）所猜想的结论.

解：（1）11172c b a ===，32392c b a ===，5

35172c b a ===，747482c b a ===，

由此归纳：21

2n n c -=.

（2） 由n m a b =，得21921

633m m n ++==+， ∴(31)1

63

m n -+-=，由二项式定理得

∴011122211133(1)3(1)3(1)(1)1

63

m m m m m m m m m m m m C C C C C n ----+-+-+

+-+-+-=

，

∴当m 为奇数时，n 有整数解， ∴21212n n n c b --==.

类型：（1）两个等差数列取交集数列问题（方法：公式法）隔三差五问题 （2）一个等差数列和一个指数数列取交集数列问题（方法：余数分析法） （3）一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题（方法：二项式定理）

探究3：已知数列{x n }和{y n }的通项公式分别是x n ＝a n 和y n ＝(a ＋1)n ＋b (n ∈N *)．

（1）当a ＝3，b ＝5时，

①试问x 2，x 4分别是数列{y n }中的第几项？

②记c n ＝x 2n ，若c k 是数列{y n }中的第m 项(k ，m ∈N *)，试问c k ＋1是数列{y n }中的第几项？请说明理由；

（2）对给定自然数a ≥2，试问是否存在b ∈{1，2}，使得数列{x n }和{y n }有公共项？若存在，求出b 的值及相应的公共项组成的数列{z n }；若不存在，说明理由．

解 (1)由条件可得x n ＝3n ，y n ＝4n ＋5.

①令x 2＝9＝y m ＝4m ＋5，得m ＝1，故x 2是数列{y n }中的第1项． 令x 4＝81＝y k ＝4k ＋5，得k ＝19，故x 4是数列{y n }中的第19项．(2分) ②由题意知，c n ＝32n ，

由c k 为数列{y n }中的第m 项，则有32k ＝4m ＋5， 那么c k ＋1＝32(k

＋1)

＝9×32k ＝9×(4m ＋5)＝36m ＋45＝4(9m ＋10)＋5，

因9m ＋10∈N *，所以c k ＋1是数列{y n }中的第9m ＋10项．(8分) (2)设在{1，2}上存在实数b 使得数列{x n }和{y n }有公共项， 即存在正整数s ，t 使a s

＝(a ＋1)t ＋b ，∴t ＝a s －b

a ＋1

，

因自然数a ≥2，s ，t 为正整数，∴a s －b 能被a ＋1整除． ①当s ＝1时，t ＝a s －b a ＋1＜a

a ＋1

∉N *，