流体力学-张也影-李忠芳 第2章-流体静力学
流体力学第2章
px=pn 同理，由∑Fy=0，及∑Fz=0，可得py=pn，pz=pn，由此 可得出 px=py=pz=pn
第三节 流体的平衡微分方程式
一、 流体平衡微分方程
研究对象：边长为dx、dy、 dz的微元六面体。 原 理：∑F＝0
质量力：Xρdxdydz,
Yρdxdydz, Zρdxdydz, 表面力:各表面的τ＝0
ay cos gz az sin c
等压面是一簇平行的斜面。
dz a cos dy g a sin
在自由液面上，因y=0，z=0，所以积分常数 c=0，故自由液面方程为 a cos ay cos gz az sin 0 z y g a sin a cos arctan 自由液面与y方向的倾角为： g a sin
dp xdx ydy gdz
2 2
1. 流体静压力分布规律
z
dp xdx ydy gdz
2 2
p0 o
2 x2 2 y2 2r 2 p gz c gz c 2 2 2
作用在流体上的力 流体的静压力及其特性 流体的平衡微分方程式 重力场中流体静力学基本方程 压力的单位和压力的测量方法 流体的相对平衡 静止流体作用力
第一节
作用在流体上的力
作用于流体上的力按作用方式可分为表面力和质量 力两类。 一、 表面力
表面力指作用在所研究的流体表面的力。它是由所研 究流体的表面与相接触的物体的相互作用而产生的。 单位是N/m2（Pa） 。 表面力按作用方向可分为:法向压力（流体压力p）－ －垂直于作用面；切向应力－－平行于作用面。
流体力学 第二章 流体静力学
第二章 流体静力学1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。
根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。
2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。
① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。
② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。
共同点：不体现粘性，无切应力3º 适用范围：理想流体、实际流体4º 主要内容：流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点）等压面方程（测压计）作用于平面和曲面上的力（难点）重力压力重力压力重力直线惯性力压力重力离心惯性力压力质量力质量力第一节 流体静压强及其特性一、 基本概念1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。
p设微小面积A ∆上的总压力为P ∆，则 平均静压强：A P p ∆∆= 点静压强：A P p A ∆∆=→∆lim 0即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。
单位：N/m 2 (Pa)2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。
P单位：N (牛)3、流体静压强单位：国际单位：N/m 2＝Pa物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2工程单位：kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压)1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m 水柱1atm ＝1.013×105Pa ＝10.3 m 水柱二、 流体静压强特性1、 静压强作用方向永远沿着作用面内法线方向——方向特性。
（垂直并指向作用面）证明： 反证法证明之。
有一静止流体微团，用任意平面将其切割为两部分，取阴影部分为隔离体。
设切割面上任一点m 处静压强方向不是内法线方向，则它可分解为n p 和切应力τ。
而静止流体既不能承受切应力，也不能承受拉应力，如果有拉应力或切应力存在，将破坏平衡，这与静止的前提不符。
流体力学教案第2章流体静力学
第二章 流体静力学§2－1作用在流体上的力、表面力、质量力在运动的实际流体中任取一块流体，其体积为V ，表面积为A ，在这块流体上任取一微元面积δA ，作用在其表面上的力为δF ，分解为⎩⎨⎧切向力法向力τδδF F n ，则法向力： AF p A δδδn 0lim →= (N/m 2)切向力：AF A δδτδτ0lim →= (N/m 2)在这块流体上，取一流体微团，其体积为δＶ，由于地球引力的作用，产生的重力为ρg δV 。
由于流体存在加速度a，根据达朗贝尔原理，虚加的惯性力为-ρδＶa。
所以，流体所受的力为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧惯性力重力或体积力质量力一般情况不考虑和表面张力摩擦力切向应力压力法向应力表面力)()()()(στP 表面力―是指作用在流体中的所取某部份流体体积表面上的力，也就是该部分体积周围的流体（既可是同一种类的流体，也可是不同种类的流体）或固体通过接触面作用在其上的力。
质量力―是指作用在流体内部所有流体质点上并与流体的体积或质量成正比的力，又称体积力。
通常，单位质量流体的质量力用→f 表示，在笛卡尔直面坐标系中：k j i zyxf f f f →→→→++=流体静力学―研究流体处于静止状态时各种物理量的分布规律及在工程实际中的应用。
所谓流体的静止状态是指流体对选用的坐标系无相对运动的状态。
δF§2－2流体的静压强及其特性在静止的流体中，任取一块流体。
当δA →0时，p 就定义为空间某点的静压强：AP p A δδδlim→=静压强的两个特性：① 流体静压强指向作用面的内法线方向。
② 流体中任意点静压强的大小只是位置的函数，即p=f (x ，y ，z )与其作用面的方向无关，又称作静压强各向同性。
证①：流体中任意点所受的力均可分为切应力和压应力。
因总体静止，0d d =yu， 故切应力0=τ，所以，只存在法向应力，当然垂直于作用面。
又：流体在拉力作用下，要发生运动，因为静止，故只存在压应力。
《流体力学》第二章 流体静力学2.1-2.4
解:1
pA' p0 h
pA pA' pa
2
p p0 pa
第四节 液柱测压计
测压计种类： 弹簧管金属式 电测式 液柱式
液柱式： 测压管 微压计 压差计
压差计
例题2-4：对于压强较高的密封容器，可以采 用复式水银测压计，如图示，测压管中各液 面高程为：▽1=1.5m, ▽2=0.2m, ▽3=1.2m, ▽4=0.4m, ▽5=2.1m,求液面压强p5.
倾斜微小圆柱体轴向力的平衡,
P1
就是两端压力及重力的轴向分
力三个力作用下的平衡。
△l
P 2P 1G cos0
△h α
P1 p1dA
P2 p2dA
G dA
P2
GldA
液体内微小圆柱的平衡
p 2 d A p 1 d A ld A c o s 0
p2 p1h
流体静压强的分布规律为：静止液体中任两点的
第一节 流体静压强及其特性
流体静压强的定义
p P A
p lim P Aa A
流体静压强的单位: Pa bar kgf/m2 atm at
流体静压强的特性
流体静压强的方向与作用面垂直，并指向 作用面。 流体在静止时不能承受拉力和切力。
任意一点各方向的流体静压强大小相等， 与作用面的方位无关。
(21)h0
由于液体容重不等于零，要满足上式，则必须Δh=0， 即分界面是水平面，不可能是倾斜面。
分界面既是水平面又是等压面。
分界面和自由面是水平面这一规律是在静止、 同种、连续液体的条件下得到的。如不能同时 满足这三个条件，就不能应用上述规律。
例题2-2：容重不同的两种液体，装在容器中， 各液面深度如图示，若γb=9.807kN/m3,大气压 强98.07kPa,求γa及pA
第2章 流体静力学9.21
3
第2章 流体静力学
§2.1静止流体压强及其特性
1、压强的概念
（1）压强：静止流体作用在单位面积上的压力，称为压强，也称静压力。记作“p”
一点的压强表示方法：
设静止流体中某一点m，围绕该点取一微小作用面积A，其上压力为P，则： 平均压强：
p P A
m点的压强： p lim 单位： 国际单位：Pa
6
第2章 流体静力学
1 OBC面： Px p x dydz 2 1 OAC面： Py p y dxdz 2 1 OAB面： Pz p z dxdy 2
ABC面：Pn pn SABC 质量力：设单位质量力为X、Y、Z，则微元体总质量力的分力为：
1 Fx X dxdydz 6 1 Fy Y dxdydz 6 1 Fz Z dxdydz 6
根据泰勒级数展开：
1 p1 p x dx, y, z 2 p 1 1 2 p 1 1 n p 1 px, y, z dx dx dx 2 n x 2 2 x 2 n! x 2
质量力：六面体在 x 方向质量力为：X dxdydz ③ 列力的平衡方程
1 p 1 p p dx dydz p dxdydz X dxdydz 0 x方向合力为零： 2 x 2 x
12
第2章 流体静力学
合并，得： p dxdydz X dxdydz 0
反证法：假设静压力不沿内法线方向，则只能有以下两种情况： ① 沿任意方向 ② 沿外法线方向 有切向分力 流体受拉力 都将破坏流体平衡。
这与静止前提不符，故假设不成立，则原命题成立。
①
流体力学(流体静力学)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
按泰勒级数展开，把M、N点旳静压强写成
p 1
1 p
pM
p [(x dx) x] x 2
p 2
dx x
p 1
1 p
pN
p
[(x x
dx) x] 2
p
2
dx x
其中 p 为压力在x方向旳变化率。因为微元体旳面积取得足够小，
p1 p2
证明：从静止状态旳流体中引入直角坐标系中二维流体微元来
阐明。
设 y 方向宽度为1。ds 即表达任意方向微元表面。
分析 z 方向旳力平衡
表面力：
p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力 二维流体微元旳体积：
z
dV 1 dxdz 2
质量力：
p1ds
ds dz x
θ dx
p3dz
y
Fz
1 2
dp ＝ρ1dU dp ＝ρ2dU 因为ρ1≠ρ2 且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程 式才干成立。所以其分界面必为等压面或等势面。
§2－4 流体静力学基本方程
重力作用下压力分布 相对平衡液体旳压力分布
§2—4 流体静力学基本方程
一、重力作用下压强分布
如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ旳静止旳均匀液体 ，液体所受旳质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。 单位质量力在各坐标轴上旳分量为
（1）
Z 1 p 0
z
上式称为流体平衡微分方程式，它是 Euler在1755年首先提出 旳，故又称欧拉平衡方程式。它表达流体在质量力和表面力作用下 旳平衡条件。
流体力学第2章
ρ2，压强p和体力 f 跨过分界面连续。沿界面任一段微元线
段dl两侧分别有：
考虑两种互不混合流体的界面，两侧流体密度分别为ρ1，
dp dl .p dl .(1 f ) dp dl .p dl .( 2 f )
( 1
dl
分别除以各自密度并相减，得：
1
第二章 流体静力学
§2.1 流体静压强 §2.2 流体平衡的基本方程 §2.3 均质流体的静平衡 §2.4 均质流体的相对平衡
§2.5 静止液体作用于表面的总压力
§2.6 阿基米德定律，浮体的平衡
2
第一节 流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的 法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流 体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。 流体静压强有两个基本特性: （1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用 面的内法线方向。 （2）静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的 方向无关，即任一点上各方向的流体静压强都相同。
f z f x x z
f x f y y x
上式也就是 fx、fy、fz 存在力的势函数 的充分必要条件。
定义力的势函数为： f=-▽(x,y,z)
13
力的势函数对各坐标轴的偏导数等于单位质量力在对应
坐标轴上的分量，即： ， f ， fx y y x 写成矢量形式： f grad
1 p p dz dxdy 2 z
1 p p dz dxdy 2 z
8
作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体
微团的平均密度为ρ，则质量力沿三个坐标轴的分量为
f x dxdydz f y dxdydz
09流体力学-第2章-静力学
J Cx 对于公式，y D yC yC A
J Cx (1) 由于 0，所以y D yC，压力中心总在形心以下。 yC A
(2) 比较规则的几何形状，J Cx 可以查表。
(3) 形心C与压力中心D的x轴坐标相等。
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第二章/流体静力学——第六节/静止流体对壁面的压力
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第二章/流体静力学——第六节/作用在浸没物体上总压力
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第二章/流体静力学——第六节/作用在浸没物体上总压力
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第二章/流体静力学——第六节/作用在浸没物体上总压力
思考：为什么薄膜金属材料/重树叶可以漂浮在 水面上？
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第二章/流体静力学——第六节/静止流体对壁面的压力
作用在曲面上的总压力—垂直力分量
Fz ( p0 gh)dAz
A
p0 Az g hdA z
A
p0 Az gVp
结论：柱形曲面上液体作用力的 垂直分量等于曲面上压力体的液重， 加上自由液面压力与曲面水平投影 面积之积。
h2 h1 Fh F2 F1 3 3
F2 h2 F1h1 78448 4 19612 2 h 1.56(m) 3F 3 58836
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第二章/流体静力学——第六节/静止流体对壁面的压力
作用在曲面上的总压力—二维曲面模型
作用在曲面上的力
形成空间力系。 合成比较复杂，我 们考虑常见的二维曲 面。
斜平面上总作用力=面积与形心上静压力之积
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流体力学第02章流体静力学
于质量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或
一个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
二 气体压强的分布（不讲） （不讲就不考）
三 压强的度量--绝对压强与相对压强
1、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压 强，称为绝对压强。总是正的。
2、 相对压强
解：相对静水压强：
p pabs pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p p0 pa ) (9.8 85 98) / 9.8 2.33m
g
例： 如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为
25kN/m2，试问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？
已知h1为5m，h2为2m。 解：A、B两点的绝对静水
因水箱和测压管内是互相连通的同种液体故和水箱自由表面同高程的测压管内n点应与自由表面位于同一等压面上其压强应等于自由表面上的大气压强即ghgh11测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中aa点的液体压强点的液体压强可在容器上设置一开口细管可在容器上设置一开口细管
第二章 流体静力学
流体静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 gh
式中
h z0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
深度。
p0 ：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组
成：一部分是自由面上的气体压强P0，另一部分 相当于单位面积上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用
pA gLsin
当被测点压强很大时：所需测压管很长，这时可以改 用U形水银测压计。
流体力学 第2章 流体静力学
流体力学第二章流体静力学第二章流体静力学§2.1 流体静压强及其特征§2.2 欧拉平衡微分方程§2.3 重力场中流体静压强的分布§2.4 作用在平面上液体总压力§2.5 作用在曲面上液体总压力§2.6 液体的相对平衡一、本章学习要点:静止流体的压强特征。
流体平衡的微分方程—欧拉平衡微分方程。
流体静力学基本概念：等压面、绝对压强、相对压强、真空压强、测压管水头等。
静止液体总压力力计算。
液体的相对平衡。
二、本章重点掌握:流体静压强的计算。
静止液体总压力计算。
重要概念:流体静力学流体的静止状态绝对静止相对静止（平衡）特点：流体内部质点之间没有相对运动流体静压强和动压强§2.1 流体静压强及其特性一. 概念静压强：静止流体的压力强度称为流体的静压强， 用单位面积上的压力来表示。
Oxz yA∆M(x,y,z)P∆平均压强：AP p ∆∆=压强（点M ）：APp A ∆∆=→∆0lim 单位：N/m 2，Pa ；1N/m 2＝1Pa 气压：bar,mbar ； 1bar ＝1000mbar换算关系：1bar ＝105 N/m 2二. 流体静压强的特性特征1——方向性:流体静压强p垂直指向受压面。
p 证明要点：Sp p n(1)因静止流体不能承受剪力，即τ=0，故p垂直受压面；(2)因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。
证明：在静止流体中取如图所示四面体Oabc ，分析作用在四面体上的力： dx dydz 特征2——大小性：静止流体内任一点的压强大小与作用面的方位无关。
xyz ac o b斜面abc 的法线：nn各面的面积：dA x ,dA y ,dA z ,dA ndA xdA ydA zdA n法线n 与x,y,z 轴的方向余弦：cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)xyz a co bdxdydz 表面力： zy p P x x d d 21⋅=xP zx p P y y d d 21⋅=yP yx p P z z d d 21⋅=zP nn n A p P d ⋅=nP zy x 61ρX F x d d d ⋅=质量力： zy x 61ρY F y d d d ⋅=zy x 61ρZ F z d d d ⋅=xyz a cobdx dydz xP yP zP nP 因四面体在表面力和质量力作用下处于平衡，故由∑Fx ＝0 :),cos(=+-x n x F x n P P 0d d d 61),cos(d d d 21=⋅+⋅-⋅z y x X x n A p z y p n n x ρzy x n An d d 21),cos(d = 0,,→∴dz dy dx nx p p =同理，由∑Fy ＝0： 由∑Fz ＝0：nz p p =当dx ，dy ，dz→0，即四面体Oabc 收缩至O 点时，有nz y x p p p p ===证毕！ny p p =xyz a cobdx dydz xP yP zP nP注意：❑静止流体中同一点在各个方向的压强相等，与方向无关；一般情况p=p(x,y,z)，即静压强是空间坐标的连续函数。
《流体力学》第二章流体静力学
y
p x p y p z pn
C x
pz
f
↑
z
表 面 力 质 量 力
1 d yd z 2 1 Py p y d zd x 2 1 P p d yd x z z 2 P n pn d A P x px
A
P y P n
P x
dz
→
o dy dx
B
→ x
↑
1 Fx dxdydz X 6 1 Fy dxdydz Y 6 1 Fz dxdydz Z 6
2.2 流体平衡微分方程 相对静止的质量力包 三、等压面 括惯性力！ 液体压强相等的各点组成的平面或曲面 在等压面上处处 dp 0 等压面是等 高平行平面
dp dy dz ) f x dx ( f xydx dy ff dzf z 0 yz
f (0 ,0 gf) , f ) (dx, dy, dz ) 0 f ds (, f , 两种不相混合平衡液体交界面为等压面 x y z
2.3 重力场中的平衡流体 §2-3 重力场中的平衡流体 (均质不可压缩重力流体) 一、在重力作用下静止液体的压强分布 1. 静力学基本方程
f x 0, f y 0, f z g
压强差公式为
z 轴垂直向上
p z C g
dp ( fgdz dp x dx f y dy f z dz )
ds (dx, dy, dz )
dp ( f x dx f y dy f z dz )
压强差公式
欧拉平衡方程式综合形式
2.2 流体平衡微分方程
二、质量力的势函数
压强差公式 表明：在静止流体中，空间点的坐标增量为
《流体力学》 第2章 流体静力学
对于不可压缩流体，压强差公式可写为
d
p
fxdx
f ydy
f z dz
x
dx
y
dy
z
dz
流体整体相对地球有相对运动，但流体各质点之间没有相对运 动——相对静止
匀速直线运动 匀加速直线运动 匀角速度旋转
过程装备与控制工程教研室
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第2章 流体静力学
平衡状态
流体处于平衡状态时，流层之间以及流体与固体之间 没有相对运动，没有切向应力，流体不呈现粘性。
流体静力学得出的结论对理想流体和粘性流体都使用。
第2章 流体静力学
第2章
流体静力学
过程装备与控制工程教研室
1
第2章 流体静力学
流体静力学研究流体处于平衡状态时各种物理量 的分布规律
平衡条件 压强分布 流体与固体之间的相互作用
过程装备与控制工程教研室
2
第2章 流体静力学
平衡状态
流体整体对于地球没有相对运动——绝对静止 宏观质点间无相对运动——相对平衡
rrr nxi ny j nzk
过程装备与控制工程教研室
14
第2章 流体静力学
质量力
rr F f V
r rrr f fxi fy j fzk
V 1 x y z
6
r
F
rrr fxi fy j fzk
1 6
x
y
z
px py pz pn p
p p( x, y, z)
过程装备与控制工程教研室
流体力学 第2章 流体静力学
结论： ★ 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强随深度按线性规律增加。 ★ 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点 的静水压强等于表面压强加上流体的容重与 该点淹没深度的乘积。 ★ 3）自由表面下深度h相等的各点压强均 相等——只有重力作用下的同一连续连通的 静止流体的等压面是水平面。 ★ 4）推广：已知某点的压强和两点间的深 度差，即可求另外一点的压强值。
则作用在微元四面体上的总质量力为： 1 F d x d yd z f 6 它在三个坐标轴上的分量为：
1 Fx dxdydzf x 6
1 Fy dxdydzf y 6
1 Fz dxdydzf z 6
则作用在微元四面体上的总质量力为：
1 F d x d yd z f 6
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
1、意义
质量力作用的方向就是压强增加的方向。 例如，静止液体，压强递增的方向就是重力作用 的铅直向下的方向。
2、变形式
即
二、等压面及其特性
pc
则有
即
dp 0
Pascal Law （连通器原理）
方法：对质量连续的静止流体，等压面为等高面；不同流体交界 面为等压面，从一个方向顺推。
z0 p0
p2 p0 ( z0 z2 )
z1
p1
z2
p2
z
p
C
表示在同一静止液体中， 不论哪一点 z p 总是一个常数。
位置水头， 计算点的 位置高度。
压强水头， 测压管液 面相当于 计算点的 高度，即 压强高度。
测压管水头， 测压管液面 相当于基准 面的高度。
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解：设想打开封闭容器
o
液面上升高度为
P0 Pa 137 .37 98.07 4m
g
9.807
4m p0 1m 2m
60° y
hC 4 11sin 60 5.73m
o
P ghC A 225 kN
yC
4 sin 60
11
6.6m
IC
b 12
3
1152
例题：直径为1.25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最
低点到水面距离分别为0.6m和1.5m，求水作用在圆板上的总 压力大小和压力中心位置。
解：水作用在圆板上的总压力大小
P
ghc A
9.8
(1.5 0.6) 2
1.25 2
2
12.63kN
因
yc
pa O
A
pa OA
pa OA
B B
B
a
b
c
虚压力体：压力体和液体在曲面异侧，垂直分力向上
四 浮力原理
Vp Vadbfg Vacbfg
o
总压力的垂直分力为
Fpz gVp gVadbc
z
g af
Fpz1 c
x
a
b
Fpz2 d
例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门ed。已知：R=8m，门 宽b=4m，α=30º，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。
换算： 1kPa=103Pa
1bar=105Pa
三．静压强的测量
1.测压管 一端与测点相连，一端与大气相 连
p gh
2.U形管测压计 一端与测点相连，一端与大气相 例连 求pA（A处是水，密度为ρ，测 压计内是密度为ρ’的水银） 解：作等压面
pA ga ' gh
pA 'h ag
M dM dFy FyD
y sindAy yC sin AyD
ghdAy ghC AyD
y2dA yC AyD
yD
y2dA
yC A
Ix yC A
Ix y2dA ——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）
平行轴定理
I x IC yC2 A
a.总压力 dF pdA
ghdA gy sindA
F dF g sin A ydA g sinyc A ghc A pc A
A ydA yc A
注意：h与y的区别
——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）
b.压力中心 力矩合成
dM dFy
dW
dp
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
3.等压面：dp =0 （4）式可写为：
fxdx f ydy fzdz 0 ——广义平衡下的等压面方程
等压面性质： • 等压面就是等势面
与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力 作用下不一定是水平面
• 等压面与质量力垂直 am ds 0 am ds
——力作功与路径无关的充分必要条件
必存在势函数W，力是有势力
dW
W x
dx
W y
dy
W z
dz
W x
fx
W y
fy
W z
fz
——力与势函数的关系
（4）式可写为：
W x
dx
W y
dy
W z
dz
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水）
解：pA ' gh
气柱高度不计
3.压差计 两端分别与测点相连 例 求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’ 的水银）
ρ 1
2 Δh
ρ’
解：作等压面 p1 hg p2 'hg
p p1 p2 'hg
作用在微团△V上的力可分为两种：质量力 表面力 1.质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比
重力 惯性力
单位质量力 am f xi f y j f zk
微团质量力的合力为
Fm m am m fxi f y j fzk
dFm dm am dm fxi f y j fzk
(h2 2)2g 21g 22g，得h2 4 21 / 2 5.6m h13g 21g 22 g 23g，得h1 2 （21 22）/ 3 4.88m
二.静止压强的计量单位 标准大气压（atm） =1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O 工程大气压（at） =0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O =1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）
R sin
4 R
R cos
281.7kN
闸门所受水的总压力
F Fx2 Fz2 982kN 总压力的方向
2.质量力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
（f x dx
f ydy
f z dz）p xdx源自p ydy
p z
dz
dp
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
f x f y y x
f y f z z y
f z f x x z
px pn
px py pz pn 与方位无关
p p(x, y, z) 与位置有关
p的全微分
dp p dx p dy p dz x y z
2.2 流体的平衡微分方程
1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项：
P右 p 1 p dx dydz 2 x
1.25 2
0.6 1.25 0.9
8.75 m 6
压力中心位置
R 4
yD
yc
Ic 8.75 yc A 6
4
8.75 D2
8.75 0.067 1.53m 6
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例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点
例 求Δp （管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为 ρ’的水）
1
2
Δh
ρ’
解： p1 p2 'hg p p1 p2 'hg
4.微压计
p1 gh gl sin
l 1 n （放大倍数）
h sin
2.5 平衡流体对壁面的作用力
一、平板壁上的流体静压力
p/ρg——单位重力压强势能——压强水头 z——单位重力位置势能——位置水头 物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的
适用范围： 1.重力场、不可压缩的流体 2.同种、连续、静止
压强分布规律的最常用公式：
p gz p0 gz0
p p0 gz0 z p0 gh
表面力 Px Py Pz Pn
质量力 Fx Fy Fz
F 0
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
px
1 2
dydz
pnABCcos(n x)
fx
1 6
dxdydz
0
1 dydz 2
px
pn
fx
1 dx 3
0
dx 0
h3
4 3
1.33m4
4m
C D
60° y
yD
yC
IC yC A
6.6
1.33 6.6 4
6.6
0.05
6.65m
yC
二、柱面壁上的流体静压力
Az Ax
1.总压力的大小和方向 （1）水平方向的作用力
dFx dF cos ghdAcos ghdAx
Fx dFx g Ax hdAx ghC Ax pC Ax
Az Ax
Az
Fx
Ax
大小、作用点与作用 在平面上的压力相同
（2）垂直方向的作用力
dFz dF sin ghdAsin ghdAz
Fz dFz g Az hdAz gVF
VF——压力体体 ρgVF——压力体重量
Az Ax
Az Ax
Fz
作用点通过压力体体积的形心
第二章 流体静力学
流体静力学:研究平衡流体的力学规律及其应用
平衡流体互相之间没有相对运动 粘性无从显示
■ 平衡流体上的作用力 ■ 流体的平衡微分方程 ■ 重力场中流体的平衡 ■ 静压强的计算与测量 ■ 平衡流体对壁面的作用力 ■ 液压机械的工作原理 ■ 液体的相对平衡
2.1 平衡流体上的作用力
• 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面
2.3重力场中的平衡液体
1.不可压缩流体的静压强基本公式
fz g
dp fzdz gdz
积分 p gz c
写成水头形式：
p1
g
z1
p2
g
z2
c
单位 m——单位重量能量
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c 单位 Pa
流体相对运动时因粘 性而产生的内摩擦力
表面力具有传递性