流体力学-张也影-李忠芳 第2章-流体静力学

例 求Δp （管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为 ρ’的水）
1
2
Δh
ρ’
解： p1 p2 'hg p p1 p2 'hg
4.微压计
p1 gh gl sin
l 1 n （放大倍数）
h sin
2.5 平衡流体对壁面的作用力
一、平板壁上的流体静压力

dW

dp
——将上式积分，可得流体静压强分布规律
3.等压面：dp =0 （4）式可写为：
fxdx f ydy fzdz 0 ——广义平衡下的等压面方程
等压面性质： • 等压面就是等势面
与大气接触的自由表面当然也是等压面，在受其他质量力 作用下不一定是水平面
• 等压面与质量力垂直 am ds 0 am ds
px pn
px py pz pn 与方位无关
p p(x, y, z) 与位置有关
p的全微分
dp p dx p dy p dz x y z
2.2 流体的平衡微分方程
1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项：
P右 p 1 p dx dydz 2 x
R sin


4 R

R cos
281.7kN
闸门所受水的总压力
F Fx2 Fz2 982kN 总压力的方向

1.25 2

0.6 1.25 0.9

8.75 m 6
压力中心位置
R 4
yD

yc
Ic 8.75 yc A 6
4
8.75 D2
8.75 0.067 1.53m 6
64
例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 2×2m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点
P左 p 1 p dx dydz 2 x
质量力：
dFx fx dxdydz
Fx 0
P左 P右 Fx 0
P左 P右 Fx 0

p

1 2
p x
dxdydz


p

1 2
p x
dx dydz

f x dxdydz
pa O
A
pa OA
pa OA
B B
B
a
b
c
虚压力体：压力体和液体在曲面异侧，垂直分力向上
四 浮力原理
Vp Vadbfg Vacbfg
o
总压力的垂直分力为
Fpz gVp gVadbc
z
g af
Fpz1 c
x
a
b
Fpz2 d
例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门ed。已知：R=8m，门 宽b=4m，α=30º，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。
(h2 2)2g 21g 22g，得h2 4 21 / 2 5.6m h13g 21g 22 g 23g，得h1 2 （21 22）/ 3 4.88m
二.静止压强的计量单位 标准大气压（atm） =1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O 工程大气压（at） =0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O =1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）
流体相对运动时因粘 性而产生的内摩擦力
表面力具有传递性
3.流体的静压力：表面力沿受压表面内法线方向分量 平衡状态
流体静压强 p lim F N/m2（Pa） A0 A
静压力特征 a.静压强方向沿作用面的内法线方向
反证法
b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关
证明：取微小四面体O-ABC
Az Ax
Az
Fx
Ax
大小、作用点与作用 在平面上的压力相同
（2）垂直方向的作用力
dFz dF sin ghdAsin ghdAz
Fz dFz g Az hdAz gVF
VF——压力体体 ρgVF——压力体重量
Az Ax
Az Ax
Fz
作用点通过压力体体积的形心
3
1152
例题：直径为1.25m的圆板倾斜地置于水面之下，其最高、最
低点到水面距离分别为0.6m和1.5m，求水作用在圆板上的总 压力大小和压力中心位置。
解：水作用在圆板上的总压力大小
P

ghc A

9.8
(1.5 0.6) 2
1.25 2
2
12.63kN
因
yc

0
用dx、dy、dz除以上式，并化简得
1 p
fx x 0 （1）
同理

1 p
f y y 0
（2）
fz

1

p z

0
（3）
f 1 p 0

——欧拉平衡微分方程
说明: 1 质量力与该方向上表面力的合力相等，方向相反 2 平衡流体受哪个方向的质量力，则流体静压强沿该方向必然发生变化 3 平衡流体在哪个方向没有质量力，则流体静压强沿该方向不发生变化
（3）合作用力大小
F Fx2 Fz2
（4）合作用力方向
与水平面夹角 tan Fz
Fx
Fz
F
θ Fx
三.压力体
压力体由以下各面围成： （a）曲面本身； （b）通过曲面周界的铅垂面； （c）自由液面或者延续面
压力体
曲面和自由液面或者自由液面的延 长面包容的体积
实压力体：压力体和液体在曲面同侧，垂直分力向下
——力作功与路径无关的充分必要条件
必存在势函数W，力是有势力
dW


W x
dx

W y
dy

W z
dz
W x
fx
W y
fy
W z
fz
——力与势函数的关系
（4）式可写为：


W x
dx

W y
dy

W z
dz
M dM dFy FyD
y sindAy yC sin AyD
ghdAy ghC AyD
y2dA yC AyD

yD

y2dA
yC A

Ix yC A
Ix y2dA ——受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）
平行轴定理
I x IC yC2 A
• 两种不相混合平衡液体的交界面必然是等压面
2.3重力场中的平衡液体
1.不可压缩流体的静压强基本公式
fz g
dp fzdz gdz
积分 p gz c
写成水头形式：
p1
g

z1

p2
g

z2

c
单位 m——单位重量能量
或写成 p1 gz1 p2 gz2 c 单位 Pa
作用在微团△V上的力可分为两种：质量力 表面力 1.质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比
重力 惯性力
单位质量力 am f xi f y j f zk
微团质量力的合力为
Fm ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ am m fxi f y j fzk
dFm dm am dm fxi f y j fzk
2.质量力的势函数
将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加
（f x dx

f ydy

f z dz）
p x
dx

p y
dy

p z
dz

dp
(4)
对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得
f x f y y x
f y f z z y
f z f x x z
——帕斯卡原理 （压强的传递性）
2.4 静压强的计算与测量
一.静压强的计算标准
a.绝对压强 以绝对真空为零点压强
p pa gh pa pm
pa——当地大气压强
pa h A
b.计示压强（表压）pm 以当地大气压强为零点压强
pm p pa gh
pv
c.真空度pv
pv pa p
解：闸门所受的水平分力为Fx，方向向右
即：
Fx ghc Ax
9.8 4 1 R sin b R sin
2

940.8kN
闸门所受的垂直分力为Fz，方向向上
Fz gVF

9.8 b
30 R 2
360

1 2

R cos
换算： 1kPa=103Pa
1bar=105Pa
三．静压强的测量
1.测压管 一端与测点相连，一端与大气相 连
p gh
2.U形管测压计 一端与测点相连，一端与大气相 例连 求pA（A处是水，密度为ρ，测 压计内是密度为ρ’的水银） 解：作等压面
pA ga ' gh
pA 'h ag
重力
mg fz m g
2.表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外 表面，与表面积大小成正比
应力
lim F
A0 A
内法线方向：
法向应力——压强
p lim Fn A0 A
切线方向：
切向应力——剪切力 lim F
A0 A
ΔFn ΔF
ΔA ΔFτ
yD

IC
yC2 yC A
A

yC

IC yC A

yC
常见图形的yC和IC
图形名称
yC
h
矩形
2
IC
b h3 12
三角形
2h
b h3
3
36
梯形 圆 半圆
h a 2b 3 a b
h3 36

a2
4ab ab
b2

d
d4
2
64
2d
9 2 64 d 4
表面力 Px Py Pz Pn
质量力 Fx Fy Fz
F 0
Fx 0 Px Pn cos(n x) Fx 0
px
1 2
dydz
pnABCcos(n x)
fx
1 6
dxdydz

0
1 dydz 2
px

pn

fx
1 dx 3

0
dx 0
p/ρg——单位重力压强势能——压强水头 z——单位重力位置势能——位置水头 物理意义：平衡流体中物体的总势能是一定的
适用范围： 1.重力场、不可压缩的流体 2.同种、连续、静止
压强分布规律的最常用公式：
p gz p0 gz0
p p0 gz0 z p0 gh
例 求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的 水）
解：pA ' gh
气柱高度不计
3.压差计 两端分别与测点相连 例 求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’ 的水银）
ρ 1
2 Δh
ρ’
解：作等压面 p1 hg p2 'hg
p p1 p2 'hg
解：设想打开封闭容器
o
液面上升高度为
P0 Pa 137 .37 98.07 4m
g
9.807
4m p0 1m 2m
60° y
hC 4 11sin 60 5.73m
o
P ghC A 225 kN
yC

4 sin 60
11
6.6m
IC

b 12
h3

4 3
1.33m4
4m
C D
60° y
yD

yC

IC yC A

6.6
1.33 6.6 4

6.6
0.05

6.65m

yC
二、柱面壁上的流体静压力
Az Ax
1.总压力的大小和方向 （1）水平方向的作用力
dFx dF cos ghdAcos ghdAx
Fx dFx g Ax hdAx ghC Ax pC Ax
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成 真空的程度，读正值！
例题：如图，敞开容器内注有三种互不相混的液 体， 1 0.82，2 0.83 ，求侧壁处三根测压管内 液面至容器底部的高度h1、h2、h3。
解：由连通器原理，列等压面方程
(h3 2 2)1g 21g，得h3 6m
第二章 流体静力学
流体静力学:研究平衡流体的力学规律及其应用
平衡流体互相之间没有相对运动 粘性无从显示
■ 平衡流体上的作用力 ■ 流体的平衡微分方程 ■ 重力场中流体的平衡 ■ 静压强的计算与测量 ■ 平衡流体对壁面的作用力 ■ 液压机械的工作原理 ■ 液体的相对平衡
2.1 平衡流体上的作用力
a.总压力 dF pdA
ghdA gy sindA
F dF g sin A ydA g sinyc A ghc A pc A
A ydA yc A
注意：h与y的区别
——受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）
b.压力中心 力矩合成
dM dFy