(重点)平面向量数量积公式的应用(可编辑修改word版)

F

D

C

A

a

B 1

O

-

A 1 b

B

平面向量数量积公式的应用

向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。

一、解决平面几何问题：

1. 长度问题

例 1：设 AC 是平行四边形 ABCD 的长对角线，从 C 引 AB 、AD 的垂线 CE 、CF ，垂足分别为 E 、F ，如图所示，求证： AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC 2 。

B

E

2. 垂直问题

例 2：如图所示，四边形 ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形，证明：

PA ⊥ EF 。

3. 夹角问题

例 3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。

二、解决三角问题：

1. 证明一些公式：

例 4： 对 于 任 意 实 数

，

Y

， 求 证 ：

cos(+ ) = cos cos - sin sin 。

X

y

A

B

P

E D O F

C

x

y A

E

O C D B x

2. 证明三角恒等式：

例 5：已知

、 为锐角， 且 3sin 2 + 2 s in 2

= 1 ，

A 5

3sin 2- 2 s in 2= 0 ，求证：+ 2= 。

2

A 6

A 4

A

7

e A 3

A 1

A 2

3. 求三角函数值：

2 例 6：求值： cos 7

+ cos 4+ c os 6。

7 7

4. 解与三角形有关的问题：

例 7：在锐角△ABC 中，已知cos A + cos B - cos( A + B ) =

3 ，求角 C 的值。

2

三、证明等式：

一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。 例 8：设(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (ax + by )2 （ ab ≠ 0 ），求证： x = y

a b

1 - b

2 1 - a 2 x 4x - 1 4 - x x 5x 例 9：已知 a + b = 1 ，求证： a 2 + b 2 = 1。

四、解方程：

解决一些特殊的方程时，也可以适用向量的方法解决。 例 10：解方程： ⨯ + = 4 。

五、求函数的最值或值域：

某些条件最值如果按常规方法求不易入手，但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地构造向量，则会使问题变得简单。

例 11：求函数 f ( x ) = + 的最大值。

例 12：已知 x 2 + y 2 = 9 ， a 2 + b 2 = 4 （ x ， y ， a ， b ∈ R ），求ax + by 的极值。

6 - x