-一次函数的性质与应用-教师

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一次函数-一次函数的概念、图像、与基本性质(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论部分，我发现学生们在讨论一次函数在实际生活中的应用时，能够提出一些有创意的想法。但在分享成果时，部分学生的表达能力仍有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组代表发言、角色扮演等。
最后，在总结回顾环节，学生对一次函数的知识点有了更深刻的理解。但在课后反馈中，仍有部分学生表示对某些知识点存在疑问。针对这个问题，我将在课后加强个别辅导，关注学生的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
（4）空间想象能力的培养：对于一次函数图像的想象和绘制，学生可能缺乏空间想象力。
突破方法：借助教学软件、实物模型等辅助工具，帮助学生建立一次函数图像的空间概念。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数的概念、图像与基本性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个人一起跑步，一个人跑得快，一个人跑得慢，他们的距离是如何变化的？”这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一次函数的基本概念、图像和基本性质。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

一次函数的图象和性质教案人教版

一次函数的图象和性质教案人教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教材分析
本节课的教学内容是“一次函数的图象和性质”，所使用的是人教版教材。该章节内容主要涉及一次函数的图象特点、斜率与截距的概念、以及一次函数的性质。学生在学习本节课之前，应已掌握一次函数的基本概念，如函数、自变量、因变量等。
- 自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解一次函数的基本概念。
- 思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。
- 提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。
- 信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。
三、学习者分析
1. 学生已经掌握了哪些相关知识：在开始本节课之前，学生应该已经学习了初中阶段的一次函数、直线方程等相关知识，对于函数的基本概念、自变量与因变量的关系有一定的了解。他们应该能够理解函数的基本性质，如单调性、连续性等，并能够运用这些知识解决一些简单的问题。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生的兴趣可能在于通过观察和实验来发现一次函数的图象和性质，他们可能对通过实际例子来理解数学概念感兴趣。在学习能力方面，学生可能需要通过具体的例子和实践活动来理解和掌握一次函数的图象和性质。他们的学习风格可能偏向于动手操作和合作学习。
3. 实践评价：通过实践活动，了解学生对一次函数的应用能力，及时发现问题并进行解决。教师可以通过设计实践活动，如小组讨论、实验等，了解学生对一次函数的应用能力，针对存在的问题进行针对性教学。
4. 期末评价：通过期末考试，了解学生对一次函数的图象和性质的掌握程度，及时发现问题并进行解决。期末考试是对学生学习成果的一次全面检验，教师应认真分析考试结果，针对存在的问题进行针对性教学。

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初中八年级数学教案-一次函数的图像与性质(区一等奖)

四、教学重难点分析及解决措施
重点：一次函数的性质，以及、b对一次函数图象位置的影响。
解决措施：对于一次函数性质的探究，让学生经历“填表画图——观察图象——得出结论——用几何画板验证结论”，能自己归纳出的正负对函数图象变化趋势和增减性的影响，变传统的教师单一传授为学生自主探究的有意义学习。
难点：理解一次函数的性质，并能灵活应用。
2、通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征，进而得到函数的性质，使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程，体会从特殊到一般的研究问题的方法。
3、在探究一次函数的性质的活动中，通过动手实践，互相交流，使学生在探究的过程中，提高与他人交流合作的意识，提高学生的动手实践的能力和探究精神。
同学们，在前面我们学习了正比例函数的图象，它是借助正比例函数的图象，我们研究了正比例函数的性质和图象分布特点，哪位同学来说一说
上节课我们学习了一次函数的图象，它是画它的图象只需描出几个点因为好，这节课我们就借助一次函数的图象来研究一次函数有哪些性质，图象的分布又有什么特点！
1、全班齐声回答正比例函数的图象和一次函数的形状。
1、让学生自己动手填表，画一次函数y=31，y=2-3，y= 4的图象，并观察当自变量的值从小到大增大时，函数y的值是增大还是减小从图象上看，直线从左到右是上升还是下降
2、请大家观察这三个函数有什么共同的特点，相互讨论，看看有什么发现
3、刚才三个函数的是三个特殊的取值，我们来看看更一般的情况。
打开几何画板，让在大于零的范围内不停变化，观察此时图象的变化趋势，并且在其中任意一条直线上任取5个点，用表格显示这5个点的横纵坐标，观察当增大时，y是如何变化的
利用新技术，“变抽象为直观”，“变静（间断）为动（连续）”，不仅可以加深学生对图象和性质的深层理解、击破教学难点，更能有效的培养学生的数形结合能力和探究能力。

02-一次函数的图像及性质-教师版

1、一元一次方程与一次函数（1）对于一次函数m ，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得bx k=-，于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k -，；（2）若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标bx k =-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．2、一元一次不等式与一次函数（1）由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2）在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．一次函数知识结构知识精讲模块一：一次函数与不等式yx6Oyx-2O 没【例1】已知一次函数经过(20)A ，和(13)B -，，在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围．【难度】★【答案】图像如图，2x >．【解析】图像如图，2x >．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例2】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围；（2）求不等式0kx b +≤的解集．【难度】★【答案】（1）6x <；（2）6x ≥．【解析】（1）由图像可得：6x <；（2）由图像可得：6x ≥．【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系．【例3】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围；（2）求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围；（3）求2016y x b =-+在y 轴上的截距．【难度】★【答案】（1）0x <；（2）2y >-；（3）2-．【解析】（1）由图像可得：0x <；（2）由图像可得：0x >；（3）由图像可得：2b =-∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果．例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-．（1）当x取何值时，2y=?（2）当x取何值时，2y>?（3）当x取何值时，2y<?（4）当x取何值时，02y<<?【难度】★★【答案】（1）10x=；（2）10x>；（3）10x<；（4）610x<<．【解析】（1）令1322x-=，解得：10x=；（2）令1322x->，解得：10x>；（3）令1322x-<，解得：10x<；（4）令10322x<-<，解得：610x<<．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例5】已知函数()31f x x=-+．（1）当x取何值时，()2f x=-?（2）当x取何值时，4()2f x>>-?（3）在平面直角坐标系中，在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】★★【答案】（1）1x=；（2）11x-<<；（3）13 x>．【解析】（1）令312x-+=-，解得：1x=；（2）令4312x>-+>-，解得：11x-<<；（3）令310x-+<，解得：13 x>．【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解．【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=，（1）求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标；（2）解不等式20ax-≥．【难度】★★【答案】（1）（4，0）；（2）4x≥．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）2y ax =- 与x 轴的交点坐标为：（4，0）；（2）20ax -≥的解集为：4x ≥．【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果．【例7】已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34)，，根据其图像回答下列问题：（1）求解不等式组：44ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩；（2）求解方程组：y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩；（3）求解不等式：ax b mx n +≤+．【难度】★★★【答案】（1）3x >；（2）34x y =⎧⎨=⎩；（3）3x ≤．【解析】由一次函数与方程不等式的关系得：（1）由4ax b +>可得：3x >；由4mx n +≤可得：3x ≥； ∴3x >；（2）y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标，即：34x y =⎧⎨=⎩；（3）ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围，即3x ≤．【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解．【例8】当－1≤x ≤2时，函数6y ax =+满足10y <，求出常数a 的取值范围．【难度】★★★ 【答案】42a -<<．【解析】当0a >时，max 2610y a =+<，解得：2a <；当0a <时，min 610y a =-+<，解得：4a >-；当0a =时，66y ax =+=，满足10y <； ∴42a -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论．1、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升；当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．2、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限；当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限；当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限；当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．把上述条件反过来叙述，也是正确的．（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）0b >0b <0b =0k >经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大0k <经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小知识精讲模块二：一次函数的性质【例9】已知函数：①2y x =-+；② 132y x =+；③ 53y x =；④ 32xy -=；⑤11(1)45y x x =--．在这些函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________．【难度】★ 【答案】①④．【解析】由一次函数的性质，当0k <时，y 随x 的增大而减小，故选①④．【总结】本题考察了一次函数的性质．【例10】已知一次函数(32)1y m x m =-++，函数值y 随自变量x 的值增大，而减小．（1）求m 的取值范围；（2）其函数图像经过那些象限?【难度】★ 【答案】（1）32m >；（2）经过一、二、四象限．【解析】（1）由已知得：320m -<，解得：32m >；（2）此时10m +>，一次函数经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限．【例11】已知点(1)A a -，和(4)B b ，在函数13y x m =-+的图像上，试比较a 与b 的大小．【难度】★ 【答案】a b >．【解析】由已知得：103k =-<，所以y 随x 的增大而减小，∴a b >．【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小．【例12】完成下列填空：（1）直线25y x =--是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______；（2）直线7(2)y x =-是________（填“上升”或“下降”）的，并且与y 轴的______半轴相交，因此这条直线经过第________象限，截距为_______．例题解析【难度】★【答案】（1）下降，负，二、三、四，-5；（2）上升，负，一、三、四，-14．【解析】略．【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况．【例13】直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03)，，且直线经过第一、二、四象限，则该直线与x 轴的交点为__________．【难度】★★【答案】30)，．【解析】由已知得：21310m m ⎧+=⎨+<⎩，解得：m = ∴(1)3y x =+．令0y =，解得：3x =，∴与x 轴的交点坐标是：30)，．【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例14】直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ，和点22()B x y ，，且12x x >，12y y <，则常数m 的取值范围是_______________．【难度】★★ 【答案】11m -<<．【解析】由已知得：y 随x 的增大而减小，则210m -<，解得：11m -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法．【例15】已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线．（1）随着自变量x 的值的增大，函数值y 增大还是减小? （2）直线4y kx =-经过哪几个象限? （3）直线y kx b =+经过哪几个象限? 【难度】★★【答案】（1）y 随着x 的增大而减小；（2）二、三、四象限；（3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限．【解析】（1）由已知得：203k =-<，故y 随着x 的增大而减小；（2）∵00k b <<，，经过二、三、四象限；（3）①当0b <时，经过二、三、四象限； ②当0b =时，经过二、四象限； ③当0b >时，经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用．【例16】已知直线(21)3y m x m =-+，分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）这条直线经过原点；（2）这条直线经过一二四象限；（3）这条直线不经过第三象限；（4）这条直线与2 1.5y x =-+平行．【难度】★★【答案】（1）0m =；（2）102m <<；（3）102m ≤≤；（4）12m =-．【解析】（1）由已知得：30m =，解得：0m =；（2）由已知得：21030m m -<⎧⎨>⎩，解得：102m <<；（3）由已知得：21030m m -≤⎧⎨≤⎩，解得：102m ≤≤；（4）由已知得：212m -=-，解得：12m =-．【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包含了常值函数在里面，从而第（3）小问中k 可以为零．【例17】函数y ax b =+与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）．AB CD【难度】★★ 【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k 、b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选B ．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k 、b 的关系．【例18】点(1，m )，(2，n )在函数2(963)3(3)y a a x a a =-+-+-≠的图象上，则m 、n 的大小关系是____________．【难度】★★★ 【答案】m n >．【解析】转化得：2[(31)2]3y a x a =---+-， ∵2(31)20a ---<， ∴y 随x 的增大而减小， ∴m n >．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性．【例19】无论p 为何值，除0以外，直线2y px p =+一定经过__________象限．【难度】★★★ 【答案】二、三．【解析】（1）当0p >时，直线经过一、二、四象限；（2）当0p <时，直线经过二、三、四象限；故直线一定经过二、三、象限；【总结】本题考察了一次函数的象限特点．【例20】不论k 为何值，解析式(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标．【难度】★★★ 【答案】(23)，．【解析】转化得：(21)3110x y k x y ----+= ∵不论k 为何值，图象必过定点， ∴2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，∴定点坐标为：(23)，．【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零即可解决．1、一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）中k 、b 的意义： k （称为斜率）表示直线y kx b =+（0k ≠）的倾斜程度；b （称为截距）表示直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴交点是(0,)b ，也表示直线在y 轴上的截距．2、同一平面内，不重合的两直线1(0)a ≠与2(0)a ≠的位置关系：当1212a a b b =≠，时，两直线平行．当12a a ≠时，两直线相交，交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解．当12b b =时，两直线交于y 轴上同一点．【例21】已知一次函数y =kx +b ，y 随x 的增大而增大，且kb <0，指出一次函数的图像经过的象限．【难度】★★ 【答案】一、三、四；【解析】由已知得：0k >，又kb <0， ∴b <0． ∴一次函数图像经过一、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点．【例22】若直线1l ：23y x =-与直线2l ：3y x =-+相交于点P ，（1）求P 点坐标；（2）求1l ，2l 与x 轴所围成的三角形的面积；（3）求1l ，2l 与y 轴所围成的三角形的面积；（4）求1l ，2l 与坐标轴所围成的四边形的面积. 【难度】★★【答案】（1）P （2，1）；（2）34；（3）6；（4）274．【解析】（1）联立：233y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩， ∴交点坐标为P （2，1）；11b x a y +=22b x a y +=例题解析知识精讲模块三：一次函数的性质的总结与运用（2）易得233y x y x =-=-+与分别与x 轴交于（302，）、（3，0）， ∴1331224S =⨯⨯=；（3）易得233y x y x =-=-+与分别与y 轴交于（03-，）、（0，3）， ∴16262S =⨯⨯=；（4）由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形，∴1313276322224S =⨯⨯+⨯⨯=．【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，不规则图形用割补法；【例23】已知：如图，直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象，直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象，其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点．（1）用m ，n 来分别表示点P ，A ，B ，Q 的坐标；（2）四边形PQOB 的面积是56，AB ＝2，试求P 点的坐标，并写出直线PA 与PB 的解析式．【难度】★★【答案】（1）(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2m B ，，2()33m n m nP -+，；（2）14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【解析】（1）易得：(0)Q n ，，(0)A n -，，(0)2mB ，；联立：2y x n y x m =+⎧⎨=-+⎩，解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴2()33m n m n P -+，；（2）由已知得：212152232622m n n m n +⎧⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，∴14()33P ，， :1PA y x =+， :22PB y x =-+．【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析．【例24】已知一次函数f (x )=ax +2a +1，当11x -≤≤时，f (x )的值有正有负，求a 的取值范围．【难度】★★★【答案】113a -<<-．【解析】由已知得：(1)(1)0f f -⋅<，∴(1)(31)0a a ++<，解得：113a -<<-．【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负，从而求出不等式的解集．【例25】已知m 为正整数，直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限，求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积．【难度】★★★【答案】1140S =．【解析】联立5214233x m y m y x -++⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：2307207m x m y +⎧=>⎪⎪⎨-⎪=<⎪⎩，∵交点在第四象限， ∴可解得：322m -<<，又∵m 为正整数， ∴1m =．∴534x y -+=和213x y -+=两直线交点坐标为：（5177-，）两直线与x 轴交点坐标为：（305，），（102，）， ∴13111()2527140S =⨯-⨯=．【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法．【习题1】已知，直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4，且y 随x 的增大而增大，则k =_____________．【难度】★ 【答案】2．【解析】∵224k +=，∴22k =， ∴2k =±， ∵10k ->， ∴2k =．【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内，则直线y ax b =-不经过________．【难度】★随堂检测【答案】第二象限．【解析】由题意可得：00a b>>，，则直线经过一、三、四象限，故不经过第二象限．【总结】本题考察了一次函数图像性质．【习题3】若0bc<，0ab>，则一次函数a cy xb b=--的图像经过第_________象限．【难度】★★【答案】第一、二、四象限．【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质．【习题4】已知点A(2)a-，、B(3)b-，在直线(5)2y k x=++上，且a b≥，则k的取值范围是__________．【难度】★★【答案】5k≥-．【解析】∵a b≥，∴y随x的增大而增大，∴50k+≥，∴5k≥-．【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用．【习题5】根据图中所画的直线1y kx k=--，则一次函数213ky kx k-=+在y轴上的截距为__________，与坐标轴围成的三角形面积为__________．【难度】★★【答案】．【解析】∵211k-=，∴k=由图可知，0k<，∴k=∴213ky kx k-=+=--∴此一次函数在y轴上的截距为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真分析题目中的条件．【习题6】（1）一次函数(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是________；（2）直线(63)24y m x n=-+-不经过第三象限，则m、n的范围是_________．【难度】★★【答案】（1）2m >，2n ≥；（2）2m ≥，2n ≥．【解析】（1）∵一次函数图像不经过第三象限，∴630m -<，240n -≥， ∴2m >，2n ≥；（2）∵直线不经过第三象限， ∴630m -≤，240n -≥， ∴2m ≥，2n ≥．【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系．【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：（1）00k b >>，；（2）00k b ><，；（3）00k b <>，；（4）00k b <<，．其中正确的是_________．【难度】★★ 【答案】（2）、（3）．【解析】画图可知（2）、（3）正确．【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系．【习题8】直线111:l y k x a =+，222:l y k x b =+的交点坐标是（1，2），则使1y ＜2y 的x 取值范围是__________【难度】★★ 【答案】1x <．【解析】由图易得1y ＜2y 的x 取值范围是1x <．【总结】本题考察了学生观察、识图的能力．【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119x -≤≤，求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】★★★【答案】562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数图像经过一、二、四象限；【解析】由题意易得函数经过点（-2，-11）和（6，9）或者过（-2，9）和（6，-11），∴11296k b k b -=-+⎧⎨=+⎩或 92116k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得： 526k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 或 524k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴函数的解析式为：562y x =-，函数图像经过一、三、四象限；或542y x =-+，函数图像经过一、二、四象限．【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =（1）求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标；（2）解不等式10ax b --≥；（3）试求函数1y ax b=--与一次函数2(y x =-的交点坐标．【难度】★★★【答案】（10）；（2）x ≤；（30）．【解析】观察图像可知．【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系．【习题11】如图，直线L ：122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C (04)，，动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标．【难度】★★★【答案】（1）A （4，0）， B （0，2）；（2）S =8-2t （04t ≤<），S =2t -8 （4t >）；（3）t =2时，M (2，0)； t =6时，M (-2，0)．【解析】（1）易得A （4，0）， B （0，2）；（2）114422S OM OC t =⋅=-⋅；当04t ≤≤时，82S t =-，当4t >时，28S t =-；（3）当04t ≤<时，t =2时，M (2，0)；当4t >时， t =6时，M (－2，0)．【总结】本题考察了函数的综合应用．【习题12】一个一次函数图象与直线514y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(125)--，，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】★★★【答案】（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）；【解析】设54y x b=+，代入点(125)--，得：5254b-+=-，解得：954b=-，∴该一次函数的解析式为：5954xy-=，转化，得：49541955yx y+==+，∴当y 为5的倍数时，x为整数，∴满足条件的点有：（3，－20），（7，－15），（11，－10），（15，－5），（19，0）．【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解．【习题13】已知：不论k取什么实数，关于x的函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，试求a、b的值．【难度】★★★【答案】724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【解析】把（1，1）代入，得：211 36k a bk+--=，化简得：(4)(27)0b k a++-=，∵函数236kx a x bky+-=-（a、b是常数）始终经过点(11)，，∴40270ba+=⎧⎨-=⎩，解得：724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩．【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题，主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题．课后作业【作业1】已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式___________．【难度】★【答案】1y x =-+等，不唯一．【解析】只需要00k b <>，即可．【总结】本题考察了一次函数的性质．【作业2】（1）已知m 是整数，且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限，则m 为__________；（2）一次函数(2)43y a x a =-+-的图像与y 轴的交点在x 轴的下方，则a 的取值范围是__________．【难度】★【答案】（1）3-；（2）34a <．【解析】（1）由已知，得：4020m m +>⎧⎨+≤⎩，解得：42m -<<-，∵m 是整数， ∴3m =-；（2）由已知，得：43020a a -<⎧⎨-≠⎩，解得：34a <．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解．【作业3】已知直线2(0)y mx m m =+<．（1）当x 取何值时，0y =？（2）当x 取何值时，0y >？（3）当x 取何值时，0y <？（4）在m 的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？【难度】★★【答案】（1）2x =-；（2）2x <-；（3）2x >-；（4）二、三、四象限．【解析】（1）令0y =，解得：2x =-；（2）令0y >，解得：2x <-；（3）令0y <，解得：2x >-；（4）易得：图像经过二、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质．【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示：（1）求在这个函数图像上且位于x （2）求解不等式0kx b +≥．【难度】★★【答案】（1）5x >-；（2）5x ≤-．【解析】（1）由图像可得：5x >-；（2）由图像可得：5x ≤-．【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系．【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是（）．ABCD【难度】★★ 【答案】C ．【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选C ．【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像．【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+，函数值y 随自变量x 的值增大而减小．（1）求m 的取值范围；（2）其函数图像经过那些象限？【难度】★★【答案】（1）3m >；（2）二、三、四象限．【解析】（1）由已知得：30m -<，解得：3m >；（2）由已知得：00k b <<，，图像经过二、三、四象限．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质．【作业7】已知点(3)a A y ，和(3)b B y -，在函数2(3)y m x m =--+的图像上，试比较a y 与b y 的大小．【难度】★★ 【答案】a b y y <．【解析】由已知得：230k m =--<， ∴y 随x 的增大而减小， ∵33>-， ∴a b y y <．【总结】本题考察了一次函数的性质的运用．【作业8】k 在为何值时，直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限？【难度】★★【答案】322k -<<．【解析】联立：215423k x y k x y +=+⎧⎨=+⎩，解得：23727k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第四象限， ∴2307207k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， ∴322k -<<．【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题．【作业9】画出函数32y x =--的图像，利用图像求：（1）方程320x --=的根；（2）不等式320x --≥的解集；（3）当7y ≤时，求x 的取值范围；（4）当11x -≤≤时，求y 的取值范围；（5）求图像与坐标轴围成的三角形的面积；【难度】★★【答案】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）3x ≥-；（4）51y -≤≤；（5）23；【解析】（1）23x =-；（2）23x ≤-；（3）当7y =时，3x =-， ∴7y ≤时，3x ≥-；（4）当1x =-时，1y =；当1x =时，5y =-； ∴当11x -≤≤时，51y -≤≤；（5）1222233S =⨯⨯=．【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，主要是对函数图像的正确理解．【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围：（1）直线经过(13)，；（2）直线经过原点；（3）直线与1y x =-平行；（4）直线在y 轴上的截距4；（5）直线经过一三四象限．【难度】★★【答案】（1）31m =-或；（2）30m =-或；（3）m =（4）41m =-或；（5）30m -<<．【解析】（1）代入（1，3）得：233m m m -++=，解得：31m =-或；（2）代入（0，0）得：230m m +=，解得：30m =-或；（3）由已知得：m -=，解得：m = （4）由已知得：234m m +=，解得：41m =-或；（5）由已知得：2030m m m ->⎧⎨+<⎩解得：30m -<<．【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对直线过原点的正确理解．【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠，当31x -≤≤时，对应的函数y 值为19y ≤≤，则一次函数的解析式为_____________．【难度】★★★【答案】27y x =+或23y x =-+．【解析】（1）当0k >时，函数经过（－3，1）和（1，9）时，代入两点得：319k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得：27k b =⎧⎨=⎩， ∴一次函数的解析式为：27y x =+；（2）当0k <时，函数经过（1，1）和（－3，9）时，代入两点得：139k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得：23k b =-⎧⎨=⎩图1图2图3∴一次函数的解析式为：23y x =-+，综上，一次函数的解析式为：27y x =+或23y x =-+．【总结】本题考察了一次函数的图像及性质，注意分类讨论．【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另一直线(0)y kx b k =+≠经过点(10)C ，，且把△AOB 分成两部分．（1）若把△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 、b 的值；（2）若△AOB 被分成的两部分面积之比为1：5，求k 、b 的值．【难度】★★★【答案】（1）22k b =-=，；（2）1133k b =-=，或1122k b ==，．【解析】（1）如图1，易得：点C 为OA 中点∴BC 分△AOB 被分成的两部分面积相等∴22y x =-+即22k b =-=，；（2）由已知，得：1163AOB S S ∆∆==， ∴13h =． 1º：如图2，直线经过（0，13） ∴1133y x =-+，11,33k b =-=； 2º：如图3，直线经过（5133，） ∴1122y x =-，11,22k b ==；综上：1133k b =-=，或1122k b ==，．【总结】本题考察了一次函数的综合运用，注意当涉及到面积比时，由于没说清楚哪部分大哪部分小，因此要分类讨论．。

一次函数的性质及应用

一次函数的性质及应用一次函数，也称为线性函数，是数学中较为简单而重要的函数类型之一。

它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a 表示直线斜率，b 表示直线与 y 轴的截距。

一次函数在数学中有着广泛的应用，本文将介绍一次函数的性质及其在实际问题中的应用。

1. 一次函数的性质一次函数的性质主要包括直线斜率和截距的关系，直线的特殊情况以及函数图像的特点。

1.1 直线斜率和截距的关系在一次函数 y = ax + b 中，直线的斜率 a 决定了直线的倾斜程度，截距 b 决定了直线在 y 轴上的位置。

当 a > 0 时，直线向右上方倾斜；当 a < 0 时，直线向左上方倾斜；当 a = 0 时，直线平行于 x 轴。

截距 b 则表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置，当 b > 0 时，交点在 y 轴上方；当 b < 0 时，交点在 y 轴下方；当 b = 0 时，交点位于原点。

1.2 直线的特殊情况一次函数中存在两种特殊的情况，即水平和竖直线。

当直线平行于 x 轴时，斜率 a = 0，此时直线呈水平姿态。

水平直线的一般形式为 y = b，其中 b 为直线与 y 轴的交点在 y 轴上的位置。

当直线平行于 y 轴时，斜率不存在，此时直线呈竖直姿态。

竖直直线的一般形式为 x = c，其中 c 为直线与 x 轴的交点在 x 轴上的位置。

1.3 函数图像的特点一次函数的图像呈现直线的形式。

根据直线的性质，我们可以得出以下结论：a) 当a ≠ 0 时，直线是无限延伸的；b) 当 a = 0 时，直线是水平的，长度可能有限也可能无限；c) 当 b = 0 时，直线经过原点。

2. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，其中包括数学、物理、经济等各个领域。

2.1 数学领域在数学中，一次函数常用于解决线性方程组的问题。

线性方程组可以通过一次函数的表示转化为直观易懂的图像，从而得出解的意义和解的性质。

一次函数的性质与应用

一次函数的性质与应用一次函数，也叫线性函数，是数学中的基础函数之一。

它的一般形式可以表示为 y = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数，a 称为斜率，b 称为截距。

一次函数的性质及其应用广泛存在于数学、经济学、物理学等各个学科领域中。

一. 一次函数的性质1. 斜率与图像关系：斜率代表直线的倾斜程度，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线水平。

斜率的绝对值越大，越陡峭；绝对值越小，越平缓。

2. 截距与图像关系：截距表示直线与 y 轴的交点在 y 轴上的坐标。

当截距为正时，直线在 y 轴上方交 y 轴；当截距为负时，直线在 y 轴下方交 y 轴；当截距为零时，直线通过原点。

3. 函数图像的性质：一次函数的图像是一条直线。

当斜率a > 0 时，图像从左下方逐渐向右上方倾斜；当斜率 a < 0 时，图像从左上方逐渐向右下方倾斜；当斜率 a = 0 时，图像平行于 x 轴。

4. 定义域和值域：一次函数的定义域是全体实数，即 (-∞, +∞)；值域也是全体实数，即 (-∞, +∞)。

二. 一次函数的应用1. 经济学应用：一次函数可以描述经济关系中的线性关系。

例如，产量与成本之间的关系可以用一次函数表示。

斜率表示每增加一个单位产量对应的成本变化，截距表示没有产量时的固定成本。

2. 物理学应用：物理学中的运动学问题常常可以用一次函数建模。

例如，匀速直线运动中，位移与时间之间的关系可以用一次函数表示。

斜率表示物体的运动速度，截距表示物体的初始位置。

3. 工程学应用：在工程学中，一次函数可以用来描述电阻和导线的关系、温度和热量的关系等。

例如，欧姆定律描述了电流和电阻之间的线性关系。

4. 统计学应用：统计学中的线性回归分析就是建立在一次函数的基础上。

通过一次函数模型，可以对变量之间的关系进行探索和预测。

综上所述，一次函数具有明确的性质和广泛的应用。

在数学和实际问题中，了解和掌握一次函数的性质和应用，对于解决问题和做出正确的决策具有重要意义。

一次函数的图像和性质教案3篇

一次函数的图像和性质教案1课型：新授教学目标：一、知识与技能目标（1）能根据一次函数的图象和函数关系式，探索并理解一次函数的性质；（2）进一步理解正比例函数图象和一次函数图象的位置关系；（3）探索一次函数的图象在平面直角坐标系中的位置特征。

二、过程与方法目标通过组织学生参与由一次函数的图象来揭示函数性质的探索活动，培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，培养学生用数形结合的思想方法探索数学问题的能力。

三、情感、态度与价值观目标通过师生共同探讨，体现数学学习充满着探索性和创造性，感受共同合作取得成功的快乐。

教学重点：一次函数图象的性质。

教学难点：通过图形探求性质以及分析图形的位置特征。

课前准备：本节课为了帮助同学们能正确理解函数的增减性，更清楚、快捷地通过图象探究函数的某些特征。

教师在课前准备好多媒体课件，并选择在多媒体教室完成本节课的教学任务。

【教学过程设计】一、创设情景，引导探究（1）复习一次函数图象的画法师：上节课我们了解了一次函数图象，并学习了图象的画法。

同学们能画出函数y=2x+4和y=-x-3的图象吗？说说看，如何画？生：能。

因为一次函数的图象是一直线，所以，我可以过（1，6）和（0，4）两点画直线y=2x+4。

过（1，-）、（0，-3）两点画直线y=-x-3。

师：很好。

还有不同的取点法吗？生：有，可经过（-2，0）和（0，4），画直线y=2x+4；经过（-2，0）和（0，-3）画直线-x-3。

师：大家说说看，哪一种取法更好呢？众：乙的方法好。

师：对。

我们可以针对函数中不同的k和b的值，灵活取值。

教师要求学生画出这两函数的图象。

【设计说明】：通过对两函数图象画法的讨论，引导学生得出简捷画法，并为后面新知识的研究作一些伏笔。

（2）探究一次函数的增减性师：教师用多媒体呈现给大家一幅画面。

图画上有两个一次函数的图象，而背景是一座山，两一次函数的图象正好对应着背景图中的上山和下山的路线，教师在课件中设计一个人从左边上山顶，并继续下山到右边山脚，并把这一活动来回放两遍给学生看，继而引导学生思考。

一次函数的性质与应用

一次函数的性质与应用一次函数，又称线性函数，是数学中一种常见的函数形式。

它的一般表达式可以写作 y=ax+b，其中 a 和 b 是已知常数，而 x 和 y 则是自变量和因变量。

本文将探讨一次函数的性质以及它在实际应用中的具体运用。

一、一次函数的性质一次函数具有以下几个重要的性质：1. 函数图像为一条直线：一次函数的图像是一条直线，直线上的点满足函数的定义域和值域。

2. 斜率表示函数的增减关系：一次函数的斜率 a 描述了函数图像的增长速度。

当 a>0 时，函数图像向上斜，表示函数是递增的；当 a<0 时，函数图像向下斜，表示函数是递减的；当a=0 时，函数图像水平，表示函数是常数函数。

3. 截距表示函数图像与坐标轴的交点：一次函数的截距 b 描述了函数图像和 y 轴的交点，即当 x=0 时的函数值。

4. 一次函数的解析式唯一：一次函数的解析式 y=ax+b 由斜率 a 和截距 b 确定，给定 a 和 b 的值，可以唯一确定一条直线。

二、一次函数的应用一次函数在实际应用中有着广泛的运用，下面就列举几个常见的应用场景：1. 直线运动的描述：一次函数可以用来描述直线运动的位置和速度。

以速度为常数的匀速直线运动为例，设 t 表示时间，位置函数可以表示为 y=vt+y0，其中 v 为速度，y0 为初位置。

根据这个函数，我们可以轻松求解运动的位置和速度等相关问题。

2. 成本和收入的关系：一次函数可以用来描述成本和收入之间的关系。

以生产成本为例，设 x 表示生产的数量，成本函数可以表示为y=ax+b，其中 a 表示单位产品的生产成本，b 表示固定成本。

通过分析函数的性质，我们可以判断成本的变化趋势以及最优的生产数量。

3. 经济增长的模型：一次函数可以用来描述经济增长模型中的变量关系。

以 GDP（国内生产总值）为例，设 t 表示年份，GDP 可以表示为 y=ax+b，其中 a 表示年均增长率，b 表示初始 GDP。

一次函数的图象和性质数学教案

一次函数的图象和性质数学教案
标题：一次函数的图象和性质
一、教学目标
1. 学生能够理解并掌握一次函数的基本概念。

2. 学生能够通过解析式画出一次函数的图像，并了解其性质。

3. 学生能够运用一次函数解决实际问题。

二、教学内容
1. 一次函数的定义
2. 一次函数的解析式与图像
3. 一次函数的性质
4. 一次函数的应用
三、教学过程
1. 引入新课：通过生活中的实例引入一次函数的概念，如商品的价格与销售量的关系等。

2. 新课讲解：
a) 一次函数的定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数称为一次函数，其中k是斜率，b是截距。

b) 一次函数的解析式与图像：学生在教师的指导下，通过坐标系绘制一次函数的图像，并通过观察图像总结一次函数的性质。

c) 一次函数的性质：一次函数的图像是一条直线，直线的斜率决定了一次函数的增长速度，截距决定了函数图像与y轴的交点位置。

d) 一次函数的应用：结合具体例子，让学生学会用一次函数解决实际问题。

3. 练习巩固：设计一些题目，让学生进行练习，以检验他们对一次函数的理解程度。

4. 总结回顾：回顾本节课的主要内容，强调一次函数的定义、图像和性质。

四、作业布置
为学生布置一些一次函数的题目，让他们在课后继续深化理解和掌握一次函数的相关知识。

五、教学反思
对本次教学进行反思，包括教学方法是否有效，学生的学习效果如何等，以便于改进今后的教学。

《一次函数的图象和性质》教学设计(优秀7篇)

《一次函数的图象和性质》教学设计（优秀7篇）一次函数篇一教学目标：1、知道与正比例函数的意义。

2、能写出实际问题中正比例关系与关系的解析式。

3、渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性。

4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点：对于与正比例函数概念的理解。

教学难点：根据具体条件求与正比例函数的解析式。

教学方法：结构教学法、以学生“再创造”为主的教学方法教学过程：1、复习旧课前面我们学习了函数的相关知识，(教师在黑板上画出本章结构并让学生说出前三节的内容)2、引入新课就象以前我们学习方程、一元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容时一样，我们在学习了函数这个概念以后，要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是。

顾名思义，谁能根据这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念能举出一些的例子？（学生完全具备这种类比的能力，所以要快、不要耽误太多时间叫几个同学回答就可以了。

教师将学生的正确的例子写在黑板上）这些函数有什么共同特点呢？(注意根据学生情况适当引导，看能否归纳出一般结果。

)不难看出函数都是用自变量的一次式表示的，可以写成（）的形式。

一般地，如果（是常数，）（括号内用红字强调）那么y叫做x的。

特别地，当b＝0时，就成为（是常数，）3、例题讲解例1、某油管因地震破裂，导致每分钟漏出原油30公升（1）如果x 分钟共漏出y 公升，写出y与x之间的函数关系式（2）破裂3.5小時后，共漏出原油多少公升分析：y与x成正比例解：（1）（2）（升）第1 2 页一次函数篇二课题一次函数的应用教学内容：知识与技能：巩固所学的一次函数的定义、图象和性质。

能够用一次函数的知识解决实际问题。

过程与方法：掌握用待定系数法求函数解析式的一般方法。

情感态度与价值观：继续渗透数形结合的数学思想。

教学重点和难点：重点：用待定系数法求一次函数的解析式是本节课的重点。

难点：根据解析式中待定字母的取值研究函数图象在坐标系中的位置，要进行讨论，要运用数形结合的思想，是本节课的难点。

人教版八年级下册19.2.2《一次函数的图象和性质》教案

还有一个值得注意的地方是，在总结回顾环节，有些同学对于今天所学知识点的掌握程度不够。为了帮助他们巩固记忆，我计划在课后布置一些相关的练习题，并鼓励他们在家里多复习、多思考。
最后，我想说，教学相长，同学们的反馈和表现也让我受益匪浅。希望在接下来的课程中，我们共同努力，共同进步，让数学成为我们解决问题的有力工具。
举例：讲解斜率k时，通过比较不同斜率的直线图象，让学生直观感受斜率与直线倾斜程度的关系；强调截距b时，通过图象在y轴上的不同位置，让学生理解截距b的含义。
2.教学难点
-斜率k、截距b的几何意义理解：学生往往难以将斜率k、截距b与直线图象的具体形态联系起来，需要通过实例和图形直观展示其关系；
-一次函数图象的绘制：学生可能对如何根据一次函数关系式准确绘制图象感到困惑，需要引导他们掌握图象绘制的步骤和技巧；
其次，在小组讨论环节，我发现有些同学参与度不高，可能是由于他们对一次函数的知识点还不够熟悉，或者是不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我打算在下一节课中，多给予一些提示和鼓励，让每个同学都能积极参与到讨论中来。
此外，我觉得在讲解斜率k和截距b的几何意义时，可以结合实际情境进行讲解，比如通过比较不同斜率的山坡、不同截距的工资计算等，让同学们更好地理解这些概念。
人教版八年级下册19.2.2《一次函数的图象和性质》教案
一、教学内容
人教版八年级下册19.2ห้องสมุดไป่ตู้2《一次函数的图象和性质》教案：
1.理解一次函数的图象特点，能绘制一次函数的图象；
2.掌握一次函数的性质，包括斜率k、截距b的几何意义；
3.能够运用一次函数的性质解决实际问题；
4.本章内容主要包括：
a.一次函数的图象及其特点；
三、教学难点与重点

一次函数的图象和性质-教师讲义

青蓝教育教师辅导讲义年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课程主题一次函数的图象和性质授课类型T理解函数图象及一次函数的概念C利用函数的图象解决与一次函数有关的问题T能运用所学的函数知识解决实际问题授课日期时段年月日 A段（8：00--10：00）教学内容【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b=+的图象与正比例函数y kx=的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b=+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b=+（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b＝0时，y kx b=+即y kx=，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k，b的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b=+（k、b为常数，且k≠0）的图象是一条直线；当b＞0时，直线y kx b=+是由直线y kx=向上平移b个单位长度得到的；当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的. 2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交；（2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、根据函数的图象，求函数的解析式．解：设函数的解析式为y kx b=+.它的图象过点（1.5，0），（0，2）41.50322k b kbb⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩∴∴∴该函数的解析式为423y x=-+.举一反三：已知一次函数的图象与正比例函数2y x=的图象平行且经过(2，1)点，则一次函数的解析式为________．【答案】23y x=-；提示：设一次函数的解析式为y kx b=+，它的图象与2y x=的图象平行，则2k=，又因为一次函数的图象经过(2，1)点，代入得1＝2×2＋b．解得3b=-．∴一次函数解析式为23y x=-．【变式2】（1）已知直线(0)y kx b k=+≠，与直线2y x=平行，且与y轴的交点是（0，2-），则直线解析式为___________________．（2）若直线(0)y kx b k=+≠与31y x=+平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为__________________．【答案】（1）22y x=-；（2）32y x=+或3y x=.提示：（1）因为所求直线与2y x=平行，所以2y x b=+，将（0，－2）代入，解得2b=-，所以22y x=-.（2）由题意得3k=，假设点（1，4）在31y x=+上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线3y x b=+上，解得2b=或0b=.所求直线为32y x=+或3y x=.类型二、一次函数图象的应用2、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示．根据图象求出y与x的函数关系式．解：根据图象，当0≤x≤50时，可设解析式为y kx=，将(50，25)代入解析式，所以12k=，所以12y x=；当x＞50时可设解析式为y ax b=+，将(50，25)，(100，70)代入解析式得502510070a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得0.920ab=⎧⎨=-⎩，所以0.920y x=-．所以当0≤x≤50时函数解析式为12y x=；当50x>时函数解析式为0.920y x=-．∴所求的一次函数解析式为：1(050)20.920(50)x xyx x⎧≤≤⎪=⎨⎪->⎩．举一反三：小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟B.17分钟C.18分钟D.20分钟【答案】D ；提示：由图象可知，上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分；走平路速度为100米/分.原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟，下坡路需要2分钟，一共20分钟.类型三、一次函数的性质3、已知一次函数()()243y m x n =++-．（1）当m 、n 是什么数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是什么数时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，求m 、n 的取值范围. 解：（1）240m +>，即m ＞－2，n 为任何实数时，y 随x 的增大而增大；（2）当m 、n 是满足24030m n +≠⎧⎨-=⎩即23m n ≠-⎧⎨=⎩时，函数图象经过原点；（3）若图象经过一、二、三象限，则24030m n +>⎧⎨->⎩，即23m n >-⎧⎨<⎩．4、下列函数中，其图象同时满足两个条件①y 随着x 的增大而增大②与x 轴的正半轴相交．则它的解析式为（）A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．21y x =-D ．21y x =+【答案】C ；【解析】由题可知：解析式中必须满两个条件①y 随着x 的增大而增大②y 与x 轴的正半轴相交．C 中当k ＞0，b ＜0，y 的值随x 的值增大而增大，且与x 的正半轴相交，符合条件．故选C ．举一反三：函数(0)y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（）．【答案】B ；提示：不论k 为正还是为负，k 都大于0，图象应该交于x 轴上方，故选B.一.选择题1. 已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图所示，那么a 的取值范围是（） A ．1a > B ．1a <C ．0a >D ．0a <2．一次函数21y x =--的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知一次函数k x k y +-=)21(的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是（）A.0>kB.0<kC.210<<k D.21<k4．某村办工厂今年前五个月中，每月某种产品的产量c （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，该厂对这种产品的生产是（）A ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量逐月减少B ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月每月生产量与3月持平C ．1月至3月每月生产量逐月增加，4、5两月均停止生产D ．1月至3月每月生产量不变，4、5两月均停止生产5．已知直线y x =和直线12y x b =-+相交于点(2，c )，则b 、c 的值分别为（）． A ．2，3 B ．3，2 C ．12-，2 D ．12-，36. 如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（）．A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm知b ＞0，故ab ＞0．8. 【答案】＞；因为一次函数43y x =-+中的k ＝－4＜0，y 随x 的增大而减小，所以12x x < 时，12y y >．9. 【答案】3；【解析】互相平行的直线k 相同.10.【答案】()3,0,()0,1 【解析】令x ＝0，解得y ＝1；令y ＝0，解得x ＝3. 11.【答案】＜【解析】k ＞0，y 随x 的增大而增大.12.【答案】4±一次函数与x 轴交点为,02b ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴交点为（0，b ）,所以1||||422b b -=，解得b ＝±4.三.解答题13.解：（1）图象经过原点，需218k -+＝0，∴9k =；（2）把点(0，－2)代入()3218y k x k =--+，解得k ＝10；（3）图象与y 轴的交点在x 轴的上方，需218k -+＞0，且3－k ≠0，解得k ＜9且k ≠3；（4）图象平行于直线y x =-，说明3－k ＝－1，解得4k =；（5）y 随x 的增大而减小，需3－k ＜0，解得3k >. 1解：（1）∵1-y 与1+x 成正比例，∴ ()11y k x -=+当x ＝1时，y ＝5 解得k ＝2 ∴23y x =+ (2)A(3,02-)，B(0，3) 12AOB S OA OB ∆=⨯＝1393224⨯⨯=. 15.解：（1）由题意，得25(020,)252010(20)(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨⨯+->⎩且为整数且为整数）化简得：25(020,)10300(20,x x x y x x x <≤⎧=⎨+>⎩且为整数且为整数）（2）把x ＝54代入y ＝10x ＋300，y ＝10×54＋300＝840（元）. 所以某班54名学生去该风景区游览时，为购门票共花了840元.一.选择题1. 如果一次函数当自变量x 的取值范围是13x -<<时，函数值y 的取值范围是26y -<<，那么此函数的解析式是（）． A ．2y x =B ．24y x =-+C ．2y x =或24y x =-+D ．2y x =-或24y x =-2. 已知正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y k x =-的图象大致是（）．3．已知函数y kx b =+的图象不经过第二象限，那么k 、b 一定满足（） A ．k ＞0，b ＜0 B ．k ＜0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＞0，b ≤04．下列说法正确的是（）A ．直线y kx k =+必经过点（－1，0）B ．若点1P （1x ，1y ）和2P （2x ，2y ）在直线y kx b =+（k ＜0）上，且1x ＞2x ，那么1y ＞2yC ．若直线y kx b =+经过点A （m ，－1），B （1，m ），当m ＜－1时，该直线不经过第二象限D ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则m ＝±15．如图所示，直线1l ：y ax b =+和2l ：y bx a =-在同一坐标系中的图象大致是（）6. 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形．设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为（）二.填空题7．若函数21||3122y m x x m ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭为正比例函数，则m 的值为________；若此函数为一次函数，则m 的值为________．8. 已知一次函数2y x a =-与3y x b =-的图像交于x 轴上原点外的一点，则ab＝______. 9. 直线()42y m x m =+++，它的解析式中m 为整数，又知它不经过第二象限，则此时m＝ .10.若点（ a ，b ）在第四象限内，则直线y ax b =+不经过第象限，函数值y 随着x 的增大而 . 11.已知直线122y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P （m ，－1）为坐标系内一动点，若△ABP 面积为1，则m 的值为____________________________. 12. 如图, 直线443y x =- 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点, 把△AOB 以x 轴为对称轴翻折，再将翻折后的三角形绕点A 顺时针旋转90°, 得到△'''AO B ，则点''B 的坐标是 ____.三.解答题13.在平面直角坐标系xOy 中，将直线kx y =沿y 轴向上平移2个单位后得到直线l ，已知l 经过点A （－4, 0）．（1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B ，点P 在坐标轴上，△ABP 与△ABO 的面积之间满足12ABP ABO S S ∆∆=, 求P 的坐标．14. 已知：如图，平面直角坐标系中，A （ 1，0），B （0，1），C （－1，0），过点C 的直线绕C 旋转，交y 轴于点D ，交线段AB 于点E.（1）求∠OAB 的度数及直线AB 的解析式；（2）若△OCD 与△BDE 的面积相等，①求直线CE 的解析式；②若y 轴上的一点P 满足∠APE ＝45°，请直接写出点P 的坐标.15. 如图，在长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 沿边按A —B －C —D 的方向运动到点D （但不与A 、D两点重合）．求△APD 的面积y （2cm ）与点P 所行的路程x （cm ）之间的函数关系式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】分两种情况求解x ＝－1时，y ＝－2, x ＝3时，y ＝6；或者x ＝－1时，y ＝6, x ＝3时，y ＝－2.2. 【答案】B ；【解析】由题意和k ＞0，则一次函数y k x =-与y 轴的交点(0，k )，在y 轴正半轴上，排除C 、D ；又－1＜0，则图象经过一、二、四象限，排除A ，故选B ．3. 【答案】D ；【解析】不经过第二象限，包括经过原点和经过第一、三、四象限两种情况.4. 【答案】A ；【解析】C 选项1mk b -=+，m k b =+，解得11221111m m k m m m +-+=-=-=-----，因为m ＜－1，所以k ＜0，所以图象必过第二象限.5. 【答案】C ；【解析】A 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＞0，a ＜0，矛盾；B 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＜0，a ＜0，矛盾；D 选项对于1l ，a ＞0，b ＞0，对于2l ，b ＜0，a ＞0，矛盾.6. 【答案】A 【解析】随着时间的推移，大正方形内除去小正方形部分的面积由4变到3，保持一段时间不变，再由3变到4，所以选A 答案.二.填空题7. 【答案】12，12±；2=⨯122ADP AD ==⨯14(102ADP S DP ==⨯((03<<。

一次函数图象及性质-教师版

1．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 2．函数的三种表示方法：（１）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成表格来表示函数的方法．（２）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=．（３）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法． 3．函数自变量的取值范围的确定：函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：（１）整式：自变量的取值范围是任意实数．（２）分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．（３）根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（４）零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类． 4．函数图像：（1）函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．一次函数图像及性质知识回顾（2）函数图象的画法：①列表； ②描点； ③连线．（3）函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点(),P x y 中的x ，y 都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．一、一次函数的概念一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数．（1）一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．（2）当，时，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．二、一次函数的图象（1）一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．（2）由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．（3）由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．三、一次函数的性质1．一次函数图象的位置y kx b =+k b 0k ≠y kx b =+0b =0k ≠y kx =y kx b =+0k ≠k b ()00，()1k ，0b ≠()0b ，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，y kx b =+()x y ，l l ()x y ，y kx b =+l y kx b =+y kx b =+l y kx b =+y kx b =+知识讲解一次函数，符号0b =图象性质随的增大而增大随的增大而减小在一次函数中：（1）当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．（2）当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．当0b =时，图象过原点．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．2．一次函数图象的增减性在一次函数中：（1）当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；（2）当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．【例1】在下列等式中，y 是x 的函数的有（）223201x y x y -=-=，，||||y x y x x y ===，，．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【例2】图中，表示y 是x 的函数图象是（）()0k kx b k =+≠k b 0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <Ox yyx OOx yyx OOx yyxOy x y x y kx b =+0k >0k <0b >y x 0b <y x y kx b =+k b y kx b =+0k >y kx b =+y x 0k <y kx b =+y x 同步练习【答案】C ．【例3】已知346=0x y +-，用含x 的代数式表示y 为______；用含y 的代数式表示x 为______．【答案】3342y x =-+；423x y =-+．【例4】某商店进一批货，每件6元，售出时，每件加利润0.8元，如售出x 件，应收货款y 元，那么y与x 的函数关系式是______________，自变量x 的取值范围是______________．【答案】 6.8y x = x 取正整数．【变式练习】电话每台月租费28元，市区内电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3分钟，则每月应缴费y （元）与市内电话通话次数x 之间的函数关系式是________________ ．【答案】0.2028y x =+．【例5】已知函数223y x =+，当11x =-时，相对应的函数值1y ＝______；当52-=x 时，相对应的函数值2y ＝______；当3x m =时，相对应的函数值3y ＝______．反过来，当11y =时，自变量x =______．【答案】5；13；223m +；2±．【例6】已知,6xy =根据表中自变量x 的值，写出相对应的函数值． x … 4-3-2-1-21-0 21 1234… y …【答案】略．【例7】求出下列函数中自变量x 的取值范围．（1）52+-=x x y （2）324-=x xy （3）32+=x y（4）12-=x x y （5）321x y -= （6）23++=x x y（7）10+=x x y （8）|2|23-+=x x y （9）x x y 2332-+-=【答案】（1）全体实数；（2）32x ≠　；（3）32x -…；（4）12x >；（5）全体实数；（6）3x -…且2x ≠-；（7）0x ≠且1x ≠-；（8）23x -…且2x ≠；（9）32x =【例8】写出等腰三角形中一底角的度数y 与顶角的度数x 之间的函数关系．【答案】1902y x =︒-︒．【变式练习】已知：等腰三角形的周长为50cm ，若设底边长为xcm ，腰长为ycm ，求y 与x 的函数解析式及自变量x 的取值范围．【答案】502xy -=；025x <<．【变式练习】用40m 长的绳子围成矩形ABCD ，设AB xm =，矩形ABCD 的面积为2Sm ，（1）求S 与x 的函数解析式及x 的取值范围；（2）写出下面表中与x 相对应的S 的值： x (8)99.51010.51112…S…（3）猜一猜，当x 为何值时，S 的值最大？（4）想一想，如果打算用这根绳子围成的面积比（3）中的还大，应围成么样的图形？并算出相应的面积．【答案】（1）()20S x x =-；（2）略；（3）当10x =时，S 的值最大为100；（4）应围成圆，半径4020=2πr π=，面积2220400πr =π100ππS ⎛⎫=⋅=> ⎪⎝⎭．【例9】2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离S （千米）与行进时间t （小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）【答案】B ．【变式练习】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（）【答案】C ．【变式练习】如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，O O O O ttt tSSSSDCBADCBAO O O O yyyyx xxx同步课程˙一次函数图像及性质蚂蚁到O 点的距离为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（）【答案】C ．【例10】边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为( )【答案】A ．【变式练习】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（）O O O O ttt tSSSSDCBABAO DCBAOOOOtttt SSSSDCBA DCBA3311123131yyyyxxxxO O O O【答案】B ．【例11】如果 A B 、两人在一次百米赛跑中，路程S (米)与赛跑的时间t (秒)的关系如图所示,则下列说法中正确的是 ( )A ．A 比B 先出发 B ．A B 、两人的速度相同 C ．A 先到达终点 D .B 比A 跑的路程多【答案】C ．【变式练习】甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距离A 地18km 的B 地，他们离出发地的距离S （km ）和行驶时间t (h )之间的函数关系的图象如图所示.根据图中提供的信息，符合图象描述的说法是（）A ．甲在行驶的过程中休息了一会B ．乙在行驶的过程中没有追上甲C ．乙比甲先到了B 地D .甲的行驶速度比乙的行驶速度大【答案】D ．【变式练习】某校八年级同学到距学校千米的郊外春游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，如图，、分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程(千米)与所用时间(分钟)之间的函数图象，则以下判断错误的是( )A ．骑车的同学比步行的同学晚出发分钟tSO BA61l 2l y x 60545030y （千米）x （分钟）l2l1O 30 乙甲2.520.5OtSB ．步行的速度是千米/时C ．骑车同学从出发到追上步行同学用了分钟D ．骑车的同学和步行的同学同时达到目的地【答案】D ．【例12】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（2）是正比例函数，（1）（2）（4）（5）是一次函数．【变式练习】下列函数中，是正比例函数的是（）A ．2y x =B ．x y 21=C ．2y x =D ．21y x =-【答案】A ．【例13】若23y x b =+-是正比例函数，则的值是（）A ．0B ．23-C ．23 D ．【答案】C【变式练习】已知，当m 取何值时，y 是x 的正比例函数？【解析】∵正比例函数，所以 ∴且∴当时，是的正比例函数．【答案】当时，是的正比例函数．【变式练习】已知函数(为常数)是正比例函数，则_________．【解析】由题意可知，，故．又∵，，则．62015x y +=-5xy =-21y x =--35x y =--()()212y x x x =---21x y -=b 32-2(1)1y m x m =-+-(0)y kx k =≠21010m m ⎧-=⎨-≠⎩1m =±1m ≠1m =-y x 1m =-y x 1(2)k y k x-=-k k =11k -=2k =±20k -≠2k ≠2k =-【答案】．【例14】函数2y x =-的图象一定经过下列四个点中的（）A ．点()12，B ．点()21-，C ．点1(1)2-， D ．点1(1)2-，【答案】C ．【变式练习】已知正比例函数(，为常数)，经过点(24)，，以下哪个点不在该正比例函数图图象上( )A ．点(24)--，B ．点(00)，C ．点(12)，D ．点(12)-，【答案】D ．【例15】一次函数y x =-的图象平分（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D ．【例16】若直线y kx =经过点()53A -，，则k ＝______．如果这条直线上点A 的横坐标A x =13-，那么它的纵坐标A y ＝______．【答案】35-，15．【例17】已知与x 成正比例，当时，，求与x 之间的函数关系式，并判断它是不是正比例函数．【解析】依题意，设，整理得：，将代入上式，得：1=32k + ∴13k =-，∴【答案】，它不是正比例函数，是一次函数．【变式练习】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当2x =时，1z =；当3x =时，1z =-，求z 与x 的函数关系．2k =-y kx =0k ≠k 2y -3x =1y =y 2y kx -=2y kx =+31x y ==，123y x =-+123y x =-+【解析】依题意，设y kx =，z m y =+，整理得：z m kx =+，将21x z ==，和31x z ==-，代入上式，得：25k m =-=，，即25z x =-+．【答案】25z x =-+．【变式练习】已知与（m n ，为常数）成比例，试判断y 与x 成什么函数关系？【解析】依题意，设（0k ≠）整理得：【答案】y 是x 一次函数．【例18】下面哪个正比例函数的图象经过一、三象限（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【变式练习】如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【例19】已知一次函数(为常数)的图象经过一、二、三象限，求取值范围．【解析】由题意可知，解得．【答案】．【变式练习】已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是__________.【解析】根据题意可得：，解得．【答案】．【例20】如果直线不经过第四象限，那么（填“”、“”、“”）．【答案】．y m +x n +y m k x n +=+（）y kx kn m =+-()23y x =-()3.14πy x =-π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()526y x =-y kx b =+y 00k b >>，00k b ><，00k b <>，00k b <<，(3)(2)y k x k =-+-k k 3020k k ->⎧⎨->⎩23k <<23k <<(5)1y a x a =-+-a 5010a a ->⎧⎨->⎩15a <<15a <<y ax b =+ab 0≥≤=≥yxO【变式练习】若一次函数2(1)12ky k x =-+-的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是_______．【解析】依题可知，()21-0102k k <⎧⎪⎨-⎪⎩…解不等式组得出的取值范围12k <…．【答案】12k <…．【例21】一次函数21y x =--的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A ．【变式练习】若，，则经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【解析】根据题意可得，【答案】D ．【变式练习】直线1y kx b =+过第一、二、四象限，则直线2y bx k =-不经过第____象限．【答案】四．【例22】关于x 的一次函数21y kx k =++的图像可能正确的是（）【答案】C ．【例23】函数y ax b =+和y bx a =+在同一坐标系中的可能是（）k 0ab >0bc <a ay x b c=-+0a b -<0ac <DCBAy yyyxxxx【答案】D ．【变式练习】如图所示，直线l 1：y ax b =+和l 2：-y bx a =在同一坐标系中的图象大致是（）【答案】C ．【例24】下列表示一次函数与正比例函数图象中，一定不正确的是（）A BC D 【答案】A ．【例25】已知函数y kx b =+的函数图像如左图，则2y kx b =+的图像可能是（）【答案】CDCBAO O OO y yyyxxxxy mx n =-y mnx =(m n 、为常数，0mn ≠且）OxyOxyOxyOxy11-1-1-1-1O O O DCBA1111yxO yyyyxxxx同步课程˙一次函数图像及性质【例26】已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】A ．【例27】已知点都在直线上，则大小关系是（） A ． B ．C ．D ．不能比较【解析】考察一次函数的性质，的，则随的增大而减小【答案】A ．【变式练习】已知一次函数的图象过点()03，与()21，，则这个一次函数随的增大而．【答案】减小．【例28】已知一次函数()122y m x m =-+-，函数随的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m 的取值范围是___________．【答案】122m <…．【例29】下列说法正确的是（）A ．若一次函数()212y m x m =-++的图象与y 轴交点纵坐标是3，则1m =±B ．若点()()111222P x y P x y ，、，在直线y kx b =+()0k <上，且12x x >，那么12y y > C ．若直线y kx b =+经过点()()11A m B m -，，，，当1m <-时，该直线不经过第二象限 D ．直线y kx k =+必经过点()10-，【答案】D ．【例30】一次函数321+-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．一般的，一次函数y kx b =+与y 轴的交点坐标是______，与x 轴的交点坐标是______．【答案】03（，）；60（，）；0b （，）； bk -（，0）．【变式练习】一次函数21)2y m x m =-++（的图像与y 轴的交点坐标是3，则m 的值是_______． y kx k =+y x ()()1242y y -，，，122y x =-+12y y ，12y y >12y y =12y y <122y x =-+0k <y x y x y x【答案】1-．【例31】已知一次函数y ax b =+的图像经过点()01，，它与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形，则a的值为_________．【答案】1±．【例32】函数2y x =的图象与y 轴交于______，而函数23y x =-的图象与y 轴交于______点．因此，函数23y x =-的图象可以看作由直线2y x =向______平移______个单位长度而得到．当0b ＞时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到；当0b ＜时，直线y kx b =+可由直线y kx =向________平移______而得到．【答案】()00，；()03-，；下；3；上；b ；下；b ．【变式练习】（1）将直线向右平移2个单位所得的直线的解析式是______________．（2）直线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得到的直线的解析式．【答案】（1）；（2）【习题1】正比例函数y kx =的图象是经过原点的一条（）A ．射线B ．双曲线C ．线段D ．直线【答案】D ．【习题2】函数在________条件下，是的一次函数；在_________条件下，与成正比例函数．【答案】时该函数为一次函数；且时该函数为正比例函数．【习题3】已知是一次函数，求它的解析式．【解析】根据题意可得：，解得，所求一次函数为．【答案】．2y x =22y x =+2(2)24y x x =-=-2(3)2226y x x =-+-=-()2211m y m xmn -=-+y x y x 1m =-1m =-0n =1(2)2m y m xm -=-++1120m m ⎧-=⎪⎨-=/⎪⎩2m =-4y x =-4y x =-课后练习【习题4】已知函数)2()12(232+--=-n x m y m ．（1）当m n 、为何值时，其图象是过原点的直线；（2）当m n 、为何值时，其图象是过()04，点的直线；（3）当m n 、为何值时，其图象是一条直线且y 随x 的增大而减小．【答案】（1）12m n =±=-，（2）16m n =±=-， (3)1m n =-，为任何值．【习题5】（1）如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么( )A ．，B ．，C ．，D ．，（2）已知一次函数的图象经过(，)和(，)两点，且,，则( )A ．B ．，C ．，D ．（3）已知一次函数，若随的减小而减小，则该函数的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（4）如图，一次函数的图象大致是( )【答案】（1）B ；（2）A ；（3）A ；（4）B ．【习题6】如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数，，，的图像分别是，，，；那么，，，的大小关系是_________________．y kx b =+y 0k >0b >0k >0b <0k <0b >0k <0b <y kx b =+1x 1y 2x 2y 12x x <12y y <0k >0k <0b >0k <0b <0k <y kx k =+y x 1y ax a=+DC B A OO O O yyyyxxxx 1y k x =2y k x =3y k x =4y k x =1l 2l 3l 4l 1k 2k 3k 4k【解析】．我们探究可以发现：越大，越接近于轴；越小，越接近于轴．在各个象限的增大境况如图所示．【答案】．【习题7】将32y x =-先向左平移3个单位，在向上平移2个单位得到函数解析式为；将2433y x =-+先向下平移1个单位，在向右平移2个单位得到的函数解析式为．【答案】39y x =+；2533y x =-+．【习题8】点()()P a b Q c d ，、，在一次函数5y x =+的函数图像上，则()()a c d b c d ---的值为______．【答案】依题可知，55a b c d +=+=，，()()()()()=5525a c d b c d c d a b ---=---⨯-=．O yxl 4l 3l 2l 1O yxl 4l 3l 2l 12143k k k k <<<k y k x k 2143k k k k <<<。

人教版八年级数学下册19.2一次函数的图象和性质教学设计

-学生往往难以从图像中抽象出一次函数的性质，如斜率的正负与图像的增减性。
-在实际问题中，学生可能难以识别一次函数关系，需要培养他们的观察能力和抽象思维能力。
（二）教学设想
1.利用互动式教学，强化学生对一次函数概念的理解。
-设计课堂提问，引导学生思考一次函数的定义和特征。
-通过小组讨论，让学生在交流中加深对一次函数图像和性质的理解。
1.回顾已学的线性方程和不等式，引导学生思考这些知识在一次函数学习中的作用。
-提问：“我们之前学习的线性方程和不等式与今天要学习的一次函数有什么联系？”
-通过回顾，让学生意识到一次函数是线性方程和不等式的图像表现形式。
2.创设生活情境，提出问题，引发学生思考。
-情境：“小明乘公交车去动物园，公交车的速度是恒定的，请问小明离动物园的距离是如何随时间变化的？”
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一次函数的定义、图像与性质的理解和应用。
-准确理解一次函数的标准形式，掌握斜率和截距的概念。
-学会绘制一次函数的图像，并能通过图像分析一次函数的性质。
-能够将一次函数的性质应用于解决实际问题。
2.难点：一次函数图像与性质之间的关系，以及将实际问题抽象为一次函数模型。
-提高学生的学习策略，培养他们的自主学习能力。
3.对学生在课堂上的表现给予评价，激发他们的学习积极性。
-肯定学生的努力，鼓励他们在今后的学习中继续进步。
五、作业布置
为了巩固学生对一次函数的理解和应用，我将布置以下作业：
1.基础知识巩固题：请学生完成教材第19.2节后的练习题1-5，包括绘制一次函数图像、计算斜率和截距等。这些题目旨在帮助学生巩固一次函数的基本概念和性质。

一次函数的性质与应用

一次函数的性质与应用一次函数是数学中最简单且应用广泛的一种函数类型。

它的一般形式可以表示为y = mx + b，其中m和b分别是常数，x是自变量，y是因变量。

本文将介绍一次函数的性质及其在实际应用中的重要性。

一、一次函数的性质1.1 斜率m的含义在一次函数y = mx + b中，斜率m表示了函数图像的倾斜程度。

斜率表示的是y值相对于x值的变化速率。

当m>0时，函数图像是向上倾斜的，表示随着x的增大，y也增大；当m<0时，函数图像是向下倾斜的，表示随着x的增大，y减小；当m=0时，函数图像是水平的，表示y值不随x值变化而变化。

1.2 截距b的含义截距b表示了函数图像与y轴的交点，即当x=0时，y的值为b。

截距可以告诉我们在x轴上的一个特定点的函数值。

1.3 函数图像的性质一次函数的图像是一条直线，它可以通过两个点来确定。

当给定斜率m和截距b时，可以轻松地确定一次函数的图像。

二、一次函数在实际应用中的应用2.1 直线方程的求解由于一次函数是直线的数学表达形式，因此它在解决直线方程相关问题中具有重要的作用。

通过已知直线上的两个点，可以确定一次函数的斜率和截距，进而求得直线方程。

这种方法被广泛应用于几何学和物理学等领域。

2.2 经济学中的应用一次函数在经济学中有着广泛的应用。

例如，成本函数和收入函数都可以用一次函数表示。

成本函数表示了生产某种商品所需的成本与产量之间的关系，收入函数表示了销售某种商品所获得的收入与产量之间的关系。

通过研究这些一次函数，可以帮助企业确定最优化的生产和销售策略。

2.3 运动学中的应用一次函数在运动学中也具有重要的作用。

例如，均匀速度直线运动的位移与时间之间的关系就可以用一次函数表示。

斜率代表运动的速度，截距表示初始位置。

通过分析一次函数的性质，可以计算出物体在不同时间点的位置和速度等信息。

2.4 建模与预测一次函数的简洁性质使其成为建模与预测的常用工具。

通过收集数据并拟合一次函数，可以建立起变量之间的线性关系模型。

06一次函数的图象与性质-教师版

教学辅导教案1．一长方体的宽为b（定值），长为x（x＞b），高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是（）A．x B．H C．V D．x、h、V均为变量【解答】解：一长方体的宽为b（定值），长为x（x＞b），高为h，体积为V，则V=bxh，其中变量是：x、h、V；常量是B．故选D．2．下列说法正确的是（）A．常量是指永远不变的量B．具体的数一定是常量C．字母一定表示变量D．球的体积公式中，变量是π，r【解答】解：A、常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化，错误；B、具体的数一定为常量，正确；C、字母π是一个常量，错误；D、π是常量，故错误，故选B．3．已知y与x之间有下列关系：y=x2﹣1．显然，当x=1时，y=0；当x=2时，y=3．在这个等式中（）A．x是变量，y是常量B．x是变量，y是常量C．x是常量，y是变量D．x是变量，y是变量【解答】解：y=x2﹣1中，x、y是变量，﹣1是常量，故选：D．4．某大坝开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为a m3，平均每天流出的水量控制为b m3，当蓄水位低于135m时，b＜a；当蓄水位达到l35m时，b=a，设库区的蓄水量y（m3）与时间t（天）存在变量关系，那么表示y与t之间关系的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：当蓄水位低于135米时b，b＜a，此时蓄水量增加；当蓄水位达到135米时，b=a，此时蓄水量不变；故选A．5．下列说法正确的是（）A．变量x、y满足y2=x，则y是x的函数B．变量x、y满足x+3y=1，则y是x的函数C．代数式πr3是它所含字母r的函数D．在V=πr3中，是常量，r是自变量，V是r的函数【解答】解：A、y与x不是唯一的值对应，所以A错误；B、当x取一值时，y有唯一的值与之对应，所以B正确；C、代数式，故错误；D、在V=πr3中，π是常量，r是自变量，V是r的函数，故错误．故本题选B．6．假期，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速度随时间的变化情况．如图所示：（1）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？（2）汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？（3）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？（4）用自己的语言描述这辆车的行驶情况．【解答】解：（1）汽车行驶了16分钟，最大速度为30km/h；（2）在2﹣6分钟、12﹣16分钟内爆出匀速行驶，速度为30km/h；（3）可能发生的情况：汽车加油；（4）先加速行驶，速度达到30km/h，开始匀速行驶，然后减速行驶，最后停下加油，加油后又开始加速，后匀速，快到达目的地时开始减速，最后到达目的地．7．已知：点P（0，a）在y轴负半轴上，问M（﹣a2﹣1，﹣a+1）在第几象限？【解答】解：∵点P（0，a）在y轴负半轴上，∵a＜0，∵﹣a2﹣1＜0，﹣a+1＞0，∵点M在第二象限．8．一个正数x的两个平方根是3a﹣5和1﹣2a，求2x+2的值．【解答】解：（3a﹣5）+（1﹣2a）=0，a=4，3a﹣5=12﹣5=7，x=72=49，2x+2=2×49+2=100．9．如图，∵B=90°，AB=4cm，BC=3cm，AD=12cm，CD=13cm，求四边形ABCD的面积．【解答】解：∵∵ABC=90°，AB=3，BC=4，∵AC===5，在∵ACD中，∵AC2+CD2=25+144=169=AD2，∵∵ACD是直角三角形，∵S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．即四边形ABCD的面积为36．1．下列各图能表示y是x的函数是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】判断是否为函数的图象，只需要作一条直线平行y轴，该直线与给出的图象只有一个交点即为函数图象，否则不是．2．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2【答案】A．【解析】由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x﹣2≠0，即x≥0且x≠2．故答案选A．3．下列函数y=πx；y=3﹣2x；y=3x；y=x2﹣2，其中一次函数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可．解：函数y=πx，y=3﹣2x，y=3x是一次函数，y=x2﹣2是二次函数．故选C．4．若函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0 B．1 C．±1 D．﹣1【答案】B【解析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．解：∵函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，∵，解得k=1．故选B．5．已知一次函数y=kx+1，y随x的增大而增大，则该函数的图象一定经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【答案】A【解析】对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，函数经过一、二、三象限；当k ＞0，b＜0时，函数经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数经过二、三、四象限.=+的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（）6．已知一次函数y x bA.-2B.-1C.0D.2【答案】D【解析】对于一次函数y=kx+b，当k>0，b>0时，函数经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，函数经过一、三、四象限；当k<0，b<0时，函数经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，函数经过二、三、四象限.7．如图，已知一次函数y＝kx+b，观察图象回答问题：当kx+b>0，x的取值范围是（）A. x＞2.5 B .x＜2.5 C. x＞-5 D. x＜-5【答案】A【解析】kx +b >0，对于函数图像而言就是在x 轴上方的一部分所对应的x 的值，即x >2.58．若k ≠0，b <0，则y =kx +b 的图象可能是（）【答案】B .【解析】一次函数y =kx +b ，k ≠0，不可能与x 轴平行，排除D 选项；b <0，说明过3、4象限，排除A 、C 选项,故答案选B . 9．直线y =2x ﹣1一定经过点（）A ．（1，0）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，﹣1）【答案】D【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确点的坐标符合函数解析式．A 、将x =1代入y =2x ﹣1=1≠0，故本选项错误；B 、将x =1代入y =2x ﹣1=1≠2，故本选项错误；C 、将x =0代入y =2x ﹣1=﹣1≠2，故本选项错误；D 、将x =0代入y =2x ﹣1=﹣1，故本选项正确.10．把函数y =3x +2的图象沿着x 轴向右平移一个单位，得到的函数关系式是（） A ．y =3x +1B ．y =3x ﹣1C ．y =3x +3D ．y =3x +5【解答】解：由“左加右减”的原则可知，函数y =3x +2的图象沿着x 轴向右平移一个单位，所得直线的解析式为y =3（x ﹣1）+2，即y =3x ﹣1．故选B ．11．如果要从函数y =﹣3x 的图象得到函数y =﹣3（x +1）的图象，应把y =﹣3x 的图象（） A ．向上移1个单位 B ．向下移1个单位 C ．向上移3个单位D ．向下移3个单位【解答】解：y =﹣3（x +1）=﹣3x ﹣3，1 0 3 5 3 xy 1 1 3 -2 12 4 42.5从函数y =﹣3x 的图象得到函数y =﹣3x ﹣3的图象，应把y =﹣3x 的图象向下平移3个单位，故选：D ． 12．已知一次函数y =2x +4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）求图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；（4）利用图象直接写出：当y ＜0时，x 的取值范围．【解析】（1）当x =0时y =4，当y =0时，x=﹣2，则图象如图所示（2）由上题可知A （﹣2，0）B （0，4），（3）S ∵AOB =21×2×4=4，（4）x ＜﹣2．一、函数 1．函数的定义（1）一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．（2）如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．*判断y是否为x的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应．2.定义域（x的取值范围）定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．（x 的取值范围）【典例剖析】【例1】下列各图能表示y是x的函数是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】判断是否为函数的图象，只需要作一条直线平行y轴，该直线与给出的图象只有一个交点即为函数图象，否则不是．【例2】函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x＞2【答案】A．【解析】由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x﹣2≠0，即x≥0且x≠2．故答案选A．二、一次函数和正比例函数1．一次函数一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数．2．正比例函数一般地,形如y=kx(k是常数且k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫比例系数．注意：当b=0时, y=kx+b即为y=kx,所以说正比例函数是特殊的一次函数．【典例剖析】【例1】下列函数y=πx；y=3﹣2x；y=3x；y=x2﹣2，其中一次函数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】根据一次函数的定义对各函数进行逐一分析即可．解：函数y=πx，y=3﹣2x，y=3x是一次函数，y=x2﹣2是二次函数．故选C．【例2】若函数y=（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0 B．1 C．±1 D．﹣1【答案】B【解析】先根据正比例函数的定义列出关于k的方程组，求出k的值即可．解：∵函数y =（k +1）x +k 2﹣1是正比例函数， ∵，解得k =1．故选B ．三、一次函数的图像和性质k ＞0 k ＜0 b ＞0b =0b ＜0b ＞0b =0b ＜0图像增减性 y 随x 增大而增大y 随x 增大而减少经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四口诀：正撇负捺（k ），正上负下（b ）2．直线111y k x b =+，222y k x b =+：当时21k k =时，直线y 1∵y 2；【典例剖析】【例1】已知一次函数y =kx +1，y 随x 的增大而增大，则该函数的图象一定经过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限【答案】A【解析】对于一次函数y =kx +b ，当k ＞0，b ＞0时，函数经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，函数经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，函数经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，函数经过二、三、四象限.【例2】已知一次函数y x b =+的图像经过一、二、三象限，则b 的值可以是（） A .-2 B .-1 C .0 D .2 【答案】D【解析】对于一次函数y =kx +b ，当k >0，b >0时，函数经过一、二、三象限；当k >0，b <0时，函数经过一、三、四象限；当k <0，b <0时，函数经过一、二、四象限；当k <0，b <0时，函数经过二、三、四象限.【例3】如图，已知一次函数y ＝kx +b ，观察图象回答问题：当kx +b >0，x 的取值范围是（）A . x ＞2.5B .x ＜2.5C . x ＞-5D . x ＜-5【答案】A【解析】kx +b >0，对于函数图像而言就是在x 轴上方的一部分所对应的x 的值，即x >2.5【例4】若k ≠0，b <0，则y =kx +b 的图象可能是（）【答案】B .【解析】一次函数y =kx +b ，k ≠0，不可能与x 轴平行，排除D 选项；b <0，说明过3、4象限，排除A 、C 选项,故答案选B . 【例5】直线y =2x ﹣1一定经过点（）A ．（1，0）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，﹣1）【答案】D【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要明确点的坐标符合函数解析式．A 、将x =1代入y =2x ﹣1=1≠0，故本选项错误；B 、将x =1代入y =2x ﹣1=1≠2，故本选项错误；C 、将x =0代入y =2x ﹣1=﹣1≠2，故本选项错误；D 、将x =0代入y =2x ﹣1=﹣1，故本选项正确. 【例6】已知一次函数y =2x +4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）求图象与x 轴的交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求出△AOB 的面积；（4）利用图象直接写出：当y ＜0时，x 的取值范围．1 0 3 5 3 xy 1 1 3 -2 12 4 42.5【解析】（1）当x =0时y =4，当y =0时，x=﹣2，则图象如图所示（2）由上题可知A （﹣2，0）B （0，4），（3）S ∵AOB =21×2×4=4，（4）x ＜﹣2．四、一次函数图形的平移方法：直线y=kx+b 与y 轴交点为（0，b ），直线平移则直线上的点（0，b ）也会同样的平移，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可．例如：直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k (x +2)+b +3;（“左加右减，上加下减”）．【典例剖析】【例1】把函数y =3x +2的图象沿着x 轴向右平移一个单位，得到的函数关系式是（） A ．y =3x +1B ．y =3x ﹣1C ．y =3x +3D ．y =3x +5【解答】解：由“左加右减”的原则可知，函数y =3x +2的图象沿着x 轴向右平移一个单位，所得直线的解析式为y =3（x ﹣1）+2，即y =3x ﹣1．故选B ．【例2】如果要从函数y=﹣3x的图象得到函数y=﹣3（x+1）的图象，应把y=﹣3x 的图象（）A．向上移1个单位B．向下移1个单位C．向上移3个单位D．向下移3个单位【解答】解：y=﹣3（x+1）=﹣3x﹣3，从函数y=﹣3x的图象得到函数y=﹣3x﹣3的图象，应把y=﹣3x的图象向下平移3个单位，故选：D．【函数的判定和自变量的取值范围】1．函数y=21--xx中，自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2【答案】C.【解析】根据分式的分母不为零、被开方数是非负数可得x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得x≥1且x≠2．故答案选C．2．如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是A.B. C.D.【答案】A.【解析】观察可得，只有选项A符合实际，故答案选A.3．下列各图中，能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】BBAC水深【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B正确．故选：B．4．如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，路途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】随着时间的增多，行进的路程也将增多，排除B；由于停下修车误了几分钟，此时时间在增多，而路程没有变化，排除A；后来加快了速度，仍保持匀速行进，所以后来的函数图象的走势应比前面匀速前进的走势要陡．故选：C．5．函数22yx=-的自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据题意得，x﹣2＞0，解得：x＞2，故选B．6．下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的意义求解即可求出答案．根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．7．下列各情景分别可以用哪一幅图来近似的刻画？正确的顺序是（）∵汽车紧急刹车（速度与时间的关系）∵人的身高变化（身高与年龄的关系）∵跳过运动员跳跃横杆（高度与时间的关系）∵一面冉冉上升的红旗（高度与时间的关系）A．abcd B．dabc C．dbca D．cabd【答案】C【解析】试题分析：A、根据人的身高变化关系；B、根据红旗高度与时间的关系；C、跳过运动员跳跃横杆时高度与时间的关系；D、汽车紧急刹车时速度与时间的关系．解：A、人的身高随着年龄的增加而增大，到一定年龄不变，故与∵符合；B、红旗升高随着时间的增加而增大，到一定时间不变，故与∵符合；C、运动员跳跃横杆时高度在上升到最大高度然后上升到最大高度之后高度减小，与∵符合；D、汽车紧急刹车时速度随时间的增大而减小，与∵符合．故选C．【一次函数与正比例函数的判定】1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）A．y=x2B．y=C．y=D．y=【答案】C【解析】A、y是x的二次函数，故A选项错误；B、y是x的反比例函数，故B选项错误；C、y是x的正比例函数，故C选项正确；D、y是x的一次函数，故D选项错误；故选C．2．如果y=（m﹣2）+2是一次函数，那么m的值是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【答案】B【解析】根据一次函数的定义可知：m2﹣3=1，m﹣2≠0，从而可求得m的值．解：∵y=（m﹣2）+2是一次函数，∵m2﹣3=1，m﹣2≠0，【答案】D【解析】根据函数图像可得：当2．若一次函数y =ax +b 的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立31+=x y b ax y +=2A．a=b B．a＞b C．a＜b D．无法确定【答案】Bk0时，y随着x的增大而增大；当k 0时，y 【解析】对于一次函数y=kx+b，当随着x的增大而减小.因为-1 4，则a b.4．一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，它的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0∵y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0∵y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0∵y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0∵y=kx+b的图象在二、三、四象限.5．直线y=kx+2过点（1，﹣2），则k的值是（）A．4 B．﹣4 C．﹣8 D．8【答案】B【解析】本题考查了用待定系数法求解析式，是基础知识要熟练掌握．将点（1，﹣2）代入y=kx+2，求出k的值．∵直线y=kx+2过点（1，﹣2），∵k+2=﹣2，解得k=﹣4，6．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，函数经过一、二、三象限；当k ＞0，b＜0时，函数经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数经过二、三、四象限.本题中k=－2＜0，b=3＞0，则图象经过一、二、四象限7．一次函数y=﹣2x+4的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，4）B．（4，0）C．（2，0）D．（0，2）【答案】A【解析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，是一个基础题，掌握y 轴上点的横坐标为0是解题的关键．令x=0，得y=﹣2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．8．关于直线l：y=kx+k（k≠0），下列说法不正确的是（）A．点（0，k）在l上B．l经过定点（﹣1，0）C．当k＞0时，y随x的增大而增大D．l经过第一、二、三象限【答案】D【解析】A 、当x =0时，y =k ，即点（0，k ）在l 上，故此选项正确；B 、当x =﹣1时，y =﹣k +k =0，此选项正确；C 、当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，此选项正确；D 、不能确定l 经过第一、二、三象限，此选项错误.9．点P （x ，y ）在第一象限内，且x +y =6，点A 的坐标为（4，0）．设∵OP A 的面积为S ，则下列图象中，能正确反映面积S 与x 之间的函数关系式的图象是（）【答案】C ．【解析】已知点P （x ，y ）在第一象限内，且x +y =6，可得y =6﹣x （0＜x ＜6，0＜y ＜6）．又因点A 的坐标为（4，0），所以S =21×4×（6﹣x ）=12﹣2x （0＜x ＜6），即可得C 符合要求．故选C ．10．如图，直线y 1=k 1x +a 与y 2=k 2x +b 的交点坐标为（1，2），则使y 1＜y 2的x 的取值范围为（）A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＜2 【答案】C【解析】求使y 1＜y 2的x 的取值范围，即求对于相同的x 的取值，直线y 1落在直线y 2的下方时，对应的x 的取值范围．直接观察图象，可得出结果．解：由图象可知，当x ＜1时，直线y 1落在直线y 2的下方，故使y 1＜y 2的x 的取值范围是：x ＜1．故选C ．11．如图是一次函数y =kx +b 的图象，当y ＜2时，x 的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＜3 D．x＞3【答案】C【解析】从图象上得到函数的增减性及当y=2时，对应的点的横坐标，即能求得当y ＜2时，x的取值范围．解：一次函数y=kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大，∵当y＜2时，x的取值范围是x＜3．故选C．12．如图，已知直线y=kx－3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标．【答案】(－32，0)；(0，－3).【解析】由图象可知，点M(－2,1)在直线y=kx－3上，∵－2k－3=1 解得：k=－2∵直线的解析式为y=－2x－3．令y=0，可得x=－32．∵直线与x轴的交点坐标为(－32，0)．令x=0，可得y－3．∵直线与y轴的交点坐标为(0，－3)．【一次函数的平移与平行】1．一次函数y=（m2﹣4）x+（1﹣m）和y=（m+2）x+（m2﹣3）的图象分别与y轴交于点P和Q，这两点关于x轴对称，则m的值是（）A．2 B．2或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1【答案】D【解析】由两函数解析式可得出：P（0，1﹣m），Q（0，m2﹣3），又∵P点和Q点关于x轴对称，∵可得：1﹣m=﹣（m2﹣3），解得：m=2或m=﹣1．∵y=（m2﹣4）x+（1﹣m）是一次函数，∵m2﹣4≠0，∵m≠±2，∵m=﹣1．故选D．2．将直线y=2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是．【答案】y=2x﹣2．【解析】直线y=2x+1向下平移3个单位长度，根据函数的平移规则“上加下减”，可得平移后所得直线的解析式为y=2x+1﹣3=2x﹣2．4．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x 的增大而减小，则k 所有可能取得的整数值为．【答案】﹣1．【解析】根据题意可得2k +3＞0，k ＜0，解得﹣23＜k ＜0．因k 为整数，所以k =﹣1．5．将直线y =2x +1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是．【答案】y =2x ﹣2．【解析】直线y =2x +1向下平移3个单位长度，根据函数的平移规则“上加下减”，可得平移后所得直线的解析式为y =2x +1﹣3=2x ﹣2．6．直线b kx y +=与15+-=x y 平行，且经过（2，1），则kb = . 【答案】－55【解析】两直线平行，则k =－5，将(2,1)代入y =－5x +b 得：1=－5×2+b ，解得：b =11，则kb =－55.7．如图，点A 1（2，2）在直线y =x 上，过点A 1作A 1B 1∵y 轴交直线y =12x 于点B 1，以点A 1为直角顶点，A 1B 1为直角边在A 1B 1的右侧作等腰直角∵A 1B 1C 1，再过点C 1作A 2B 2∵y 轴，分别交直线y =x 和y =12x 于A 2，B 2两点，以点A 2为直角顶点，A 2B 2为直角边在A 2B 2的右侧作等腰直角∵A 2B 2C 2…，按此规律进行下去，则等腰直角∵A n B n C n 的面积为．（用含正整数n 的代数式表示）【答案】222132n n --．【解析】∵点A 1（2，2），A 1B 1∵y 轴交直线y =12x 于点B 1，∵B 1（2，1）∵A 1B 1=2﹣1=1，即∵A 1B 1C 1面积=12×12=12；∵A 1C 1=A 1B 1=1， ∵A 2（3，3），又∵A 2B 2∵y 轴，交直线y =12x 于点B 2，∵B 2（3，32），∵A 2B 2=3﹣32=32，即∵A2B2C2面积=12×（32）2=98；以此类推，A3B3=94，即∵A3B3C3面积=12×（94）2=8132；A4B4=278，即∵A4B4C4面积=12×（278）2=729128；…∵A n B n=（32）n﹣1，即∵A n B n C n的面积=12×[（32）n﹣1]2=222132nn--．一次函数的图像和性质k＞0k＜0b＞0b=0b＜0b＞0b=0b＜0图像增减性y随x增大而增大y随x增大而减少经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四口诀：正撇负捺（k），正上负下（b）1．已知等腰三角形的周长为10cm，将底边长ycm表示为腰长xcm的关系式是y=10﹣2x，则其自变量x的取值范围是（）A．0＜x＜5 B．2.5＜x＜5 C．一切实数D．x＞0【解答】解：根据三角形的三边关系得：，解得：2.5＜x＜5．故选：B．2．函数y=有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0B．x≠4C．x＞4D．x≥0且x≠4【解答】解：由题意，得x≥0且x﹣4≠0，解得x≥0且x≠4，故选：D．3．如图所示，在一个玻璃器中，放有一个正方形铁块，用同样的速度向容器注水，则下列函数的图象，能表示水面的高度h与注水时间t的关系式的是（）A．B．C．D．【解答】解：在未淹住正方形铁块时，水面高度会比较快速的上升，而超过铁块后，速度会减慢．故选D．4．在下列函数关系中：∵y=kx，∵y=x，∵y=x2﹣（x﹣1）x，∵y=x2+1，∵y=22﹣x，一定是一次函数的个数有（）A．3个B．2个C．4个D．5个【解答】解：∵y=kx当k=0时原式不是函数；∵y=x是一次函数；∵由于y=x2﹣（x﹣1）x=x，则y=x2﹣（x﹣1）x是一次函数；∵y=x2+1自变量次数不为1，故不是一次函数；∵y=22﹣x是一次函数．故选A．5．已知函数y=（k﹣1）x|k|+3是一次函数，则k=（）A．1B．﹣1C．0D．±1【解答】解：根据题意得：，解得：k=﹣1．故选B．6．函数y=（2m﹣1）x n+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（）A．m≠5且n=﹣2 B．n=﹣2C．m≠且n=﹣2D．m≠【解答】解：∵函数y=（2m﹣1）x n+3+（m﹣5）是关于x的一次函数，∵n+3=1且2m﹣1≠0，解得n=﹣2且m≠．故选：C．7．若y=2+m﹣3是一次函数，则m的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．无法确定【解答】解：∵y=2+m﹣3是一次函数，∵m2﹣8=1，解得m=±3．故选A．8．下列函数中一次函数的个数为（）∵y=2x；∵y=3+4x；∵y=；∵y=ax（a≠0的常数）；∵xy=3；∵2x+3y﹣1=0．A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：∵y=2x是一次函数；∵y=3+4x是一次函数；∵y=，自变量系数为0，不是一次函数；∵y=ax（a≠0的常数）是一次函数；∵xy=3自变量次数不为1，故不是一次函数；∵2x+3y﹣1=0是一次函数．综上可得，∵∵∵∵是一次函数，共4个．故选B．9．已知一次函数y=（1﹣3m）x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＜B．m＜﹣C．m＞D．m＞﹣【解答】解：由已知得：1﹣3m＜0，解得：m＞．故选C．10．下列函数中，y随x的增大而减小的是（）A．y=x+3B．y=0.02x C．y=x+1D．y=2﹣3x【解答】解：函数y=x，y=0.02x，y=x+1都是y随x的增大而增大，二函数y=2﹣3x=﹣3x+2是y随x的增大而减小．故选D．11．正比例函数y=（m﹣1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A．m=1B．m＞1C．m＜1D．m≥1【解答】解：∵比例函数y=（m﹣1）x的图象经过第一、三象限，∵m﹣1＞0，∵m＞1．故选B．12．已知正比例函数y=（1﹣2m）x的图象经过第二、第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞B．m＜C．m＜0D．m＞0【解答】解：∵正比例函数y=（1﹣2m）x的图象经过第二、第四象限，∵1﹣2m＜0，∵m＞．故选A．13．已知点A在直线y=﹣2x+4上，若过点A和原点的直线及该直线和x轴所围成的三角形的面积为2，则点A的坐标为（）A．（1，2）B．（3，﹣2）C．（1.5，1）D．（1，2）或（3，﹣2）【解答】解：如图，设直线y=﹣2x+4与x轴交于点B．设A（a，﹣2a+4）．令y=0，则﹣2x+4=0，解得，x=2，所以B（2，0），则OB=2．所以OB•|﹣2a+4|=×2|﹣2a+4|=2，即﹣2a+4=±2，解得，a=1或a=3，所以A（1，2）或（3，﹣2）．故选：D．14．如图，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…照如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B3的坐标是（）A．（12，9）B ．（10，7）C ．（8，5）D ．（7，4）【解答】解：∵B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2）， ∵正方形A 1B 1C 1O 1边长为1，正方形A 2B 2C 2C 1边长为2， ∵A 1的坐标是（0，1），A 2的坐标是：（1，2），代入y =kx +b （k ≠0）得：，解得：，则直线A 1A 2的解析式是：y =x +1． ∵A 1B 1=1，点B 2的坐标为（3，2）， ∵点A 3的坐标为（3，4）， ∵A 3C 2=A 3B 3=B 3C 3=4，∵点B 3的坐标为（7，4）．故选：D ．1．已知k ＞0，b ＞0，则直线y =kx +b 不经过第（ D ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四2．已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图1所示，那么a 的取值范围是（ A ） A ．1a > B ．1a <C ．0a >D ．0a <3．一次函数y =（m -2）x +（3-2m ）的图像经过点（-1，-4），则m 的值为（ B ）． A ．-3B ．3C ．1D ．-14．一次函数y =kx +（k -3）的函数图象不可能是（ A ）5．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是BC 边上靠近点B 的三等分点，动点P 从点A 出发，沿路径A →D →C →E 运动，则∵APE 的面积y 与点P 经过的路径长x 之间的函数关系用图象表示大致是（ A ）6．已知点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)在同一条直线y =kx +b 上，且k ＜0．若x 1＞x 2，则y 1与y 2的关系是 y 1＜y 2 ．7．在平面直角坐标系中，将直线21y x =-+向下平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 y =-2x -3 ．8．已知直线y =mx +n ，其中m ，n 是常数且满足：m +n =6，mn =8，那么该直线经过一、二、三象限．9．一个函数满足如下性质：∵它的图象经过点(-1，-2)：∵它的图象会经过第三象限；∵在第三象限，y 随x 的增大而减小，则这个函数的解析式可以是__y =-x -3_________． 10．校园里栽下一棵小树高1.8m ,以后每年长0.3m ,则n 年后的树高L 与年数n 之间的关系式为 L =0．3n +1．8 ．11．一根80厘米的弹簧，一端固定，如果另一端挂上物体，那么在正常情况下物体的质量每增加1千克可使弹簧增长2厘米．（1）填写下表所挂物体的质量（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的总长度（厘米）…（2）写出弹簧总长度y （厘米）与所挂物体的质量x （千克）之间的数量关系．（3）若在这根弹簧上挂上某一物体后，弹簧总长为96 厘米，求所挂物体的质量？【答案】（1）82 84 86 88 （2）y =80+2x （3）8千克【解析】解：（1）所挂物体的质量（千克） 1 2 3 4 … 弹簧的总长度（厘米）82848688…（2）y =80+2x（3）当y =96时，96=80+2x 解得：x =812．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象是第一、三象限的角平分线．实验与探究：由图观察易知A （0，2）关于直线的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B （5,3）、C （-2,5）关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标: 、；归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （m ,n ）关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为．【答案】解：（1）如图：B ′（3，5），C ′（5，-2），y x =l l A 'l B 'C 'B 'C 'l P '（2）结合图形观察以上三组点的坐标可知坐标平面内任一点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为（n，m）教学反思。

一次函数的性质及应用

一次函数的性质及应用一次函数，又称为线性函数，是数学中常见且重要的函数类型。

它的一般形式可以表示为y = ax + b，其中a和b为常数，x为自变量，y 为因变量。

本文将探讨一次函数的性质以及其在实际问题中的应用。

一、一次函数的性质1. 斜率：一次函数的斜率可以通过系数a来确定，斜率的正负表示函数的上升或下降趋势，斜率越大越陡峭。

斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减，斜率为零表示函数为水平线。

2. 截距：一次函数的截距可以通过常数b来确定，截距表示函数与坐标轴的交点位置。

当x为零时，对应的y值即为函数的纵轴截距；当y为零时，对应的x值即为函数的横轴截距。

3. 函数图像：一次函数的图像为一条直线。

根据斜率和截距的不同取值，函数的图像可能是上升的直线、下降的直线或者水平线。

二、一次函数的应用1. 表示一种关系：一次函数常用于描述两个变量之间的线性关系。

例如，经济学中的供需关系、物理学中的速度与时间关系等都可以用一次函数来表示。

2. 预测与推理：通过确定一次函数的斜率和截距，可以进行数据的预测与推理。

例如，通过已知的数据点（x1，y1）、（x2，y2）可以利用一次函数来预测其他数据点的值。

3. 优化问题：一次函数在优化问题中也有广泛应用。

例如，生产成本与产量之间的关系、投资与回报之间的关系等，都可以用一次函数来描述，并通过计算斜率和截距来实现最优化。

三、实例分析为了更好地理解一次函数的性质及应用，我们来看一个实例分析。

假设小明每天步行去上学，他发现他步行的时间与距离之间存在一种线性关系。

他记录了以下数据：距离（公里）时间（分钟）1 102 203 30通过这些数据点，我们可以得到一次函数的图像并进一步分析其性质和应用。

首先，根据给定的数据点，我们可以利用最小二乘法确定一次函数的表达式为y = 10x。

其中斜率为10，表示小明步行速度为每分钟10米；截距为0，表示小明在出发时不需要额外的时间。

通过这个函数表达式，我们可以回答一些问题。

一次函数的图像与性质(教师用)

一、知识聚焦：1．一次函数的概念：形如y=kx+b (k ≠0，k 、b 为常数)，则y 是x 的一次函数．2.一次函数的图象（1）一次函数的图象是直线．（2）一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象的位置是由k 、b 决定的，当k>0，b>0时，图象过一二三象限；当是k>0,b<0时，图象过一三四象限，当k<0，b>O 时，图象过一二四象限；当k<0，b<0时，图象过二三四象限．3．一次函数y=kx+b 的性质（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大，图象从左到右逐渐上升；（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小，图象从左到右逐渐下降。

（3）一次函数y 1=k 1x+b 1和y 2=k 2x+b 2，当k 1=k 2，b 1≠b 2时，两直线平行；当k 1=k 2，b 1=b 2时，两直线重合。

4.图像的平移：上加下减自变量，左加右减常数项。

5．待定系数法求一次函数解析式：（1）设一次函数解析式为y=kx+b ；（2）将图像所经过点的坐标代入解析式；（3）解关于k,b 的二元一次方程组，求出k,b 的值；（4）将k,b 的值代回到所设解析式中。

二、经典例题：例1. 给出下列函数：(1)y=πx ；(2)y=2x －1；(3)1y x =；(4)y=2－1－3x ；(5)y=x 2－1．其中一次函数的有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例2.将直线y=2x 的图象向上平移两个单位，所得直线的函数关系式为 ( )A ．y=2x+2B ．y=2x －2C ．y=2(x －2)D ．y=2(x+2)例3．一次函数y=－4x+8的图象不经过的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例4．已知一次函数y=(1-3k)x+2k-1(1)当k= 时,直线经过原点; (2)当k= 时,直线与x 轴交于点(43,0);(3)当k 时,与y 轴的交点在x 轴下方;(4)当k 取何值时,直线经过第二,三,四象限.例5．已知一次函数的图象经过A (-2,3),B(3,-12)两点,求此函数的解析式经典例题答案：例1. B 例2．A 例3.C 例4.（1）21（2）-1 (3) <21且k ≠31 (4) 31<k<21 例5．y=-3x-3三、基础演练：1. 某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y （元）与所存月数x 之间的函数关系式是 .2．一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是，与y 轴交点坐标是，与坐标轴围成的三角形面积是。

一次函数的图象和性质教案设计

一次函数的图象和性质教案设计第一章：一次函数的定义与表达式1.1 引入一次函数的概念通过实际生活中的问题，如“某商品的售价与购买数量之间的关系”，引出一次函数的概念。

解释一次函数的表达式为y = kx + b，其中k 是斜率，b 是截距。

1.2 理解斜率和截距的含义解释斜率k 表示函数图象的倾斜程度，斜率为正表示图象向上倾斜，斜率为负表示图象向下倾斜。

解释截距b 表示函数图象与y 轴的交点。

1.3 例题解析提供几个一次函数的例题，让学生理解并应用一次函数的定义与表达式。

1.4 练习题设计一些练习题，让学生巩固对一次函数的定义与表达式的理解。

第二章：一次函数的图象2.1 绘制一次函数的图象解释一次函数图象是一条直线，并且讨论斜率和截距对直线位置的影响。

利用图形计算器或在线绘图工具，让学生绘制一次函数的图象。

2.2 分析一次函数图象的性质讨论一次函数图象的斜率和截距与直线的位置关系。

解释一次函数图象与坐标轴的交点。

2.3 例题解析提供几个关于一次函数图象的例题，让学生理解并应用一次函数图象的性质。

2.4 练习题设计一些练习题，让学生巩固对一次函数图象的理解。

第三章：一次函数的性质3.1 斜率的性质解释斜率的正负与函数图象的倾斜方向的关系。

讨论斜率的绝对值与函数图象的陡峭程度的关系。

3.2 截距的性质解释截距的正负与函数图象与y 轴的交点位置的关系。

讨论截距的绝对值与函数图象与y 轴的距离的关系。

3.3 例题解析提供几个关于一次函数性质的例题，让学生理解并应用一次函数的性质。

3.4 练习题设计一些练习题，让学生巩固对一次函数性质的理解。

第四章：一次函数的应用4.1 线性方程的解法解释如何利用一次函数的性质解决线性方程的问题。

提供一些线性方程的例题，让学生理解并应用解法。

4.2 实际问题应用提供几个实际问题，如“某商品的售价与购买数量之间的关系”，让学生应用一次函数的知识解决问题。

4.3 例题解析提供几个关于一次函数应用的例题，让学生理解并应用一次函数的知识解决实际问题。