不可压缩与可压缩流体的静压强分布

不可压缩与可压缩流体的静压强分布

马健

（物理0801班，扬州大学物理系，扬州,225002）

【摘要】 由于静止流体中没有切应力，取微小元得出流体的平衡方程f -▽P=0(f 是体力密度)，根据压

强梯度垂直于等压面可知在静止流体中f 也垂直于等压面，一般情况下液体所受体力只是重力，因此，只要知道体力密度便可求得流体的静压强分布。

「关键词」 静止流体 体力密度 静压强分布

0 引言

对流体静力学的研究，在社会生产中具有重要的意义。通过研究流体的运动规律，可以在水利工程建筑中和船体建造中发挥很大的作用。

1.流体内一点的压强

在静止流体内任一截面两方之间没有切向作用力，

而只有由压强产生的正应力，我们任取点O,在其邻近划出

一个小四面体OABC ，如图1，设平面ABC 与OBC 、OAC 、OAB

的夹角分别为α、β、γ，平面ABC 、OBC 、OAC 、OAB 的面积为S 、S 1、S 2、S 3，作用在这些面上的压强分别为p 、p 1、p 2、p 3。

因为小四面体受力平衡，先考虑x 轴方向，作用在平

面ABC 上的压力为pS ，则在x 轴方向的分量为-pScos α，

于是得到沿X 轴方向的力平衡方程：

-pScos α+ p 1S 1=0

因为

S= S 1cos α

所以 p= p 1

同理，在y 、z 轴方向上可得类似结果，因此

p= p 1 =p 2=p 3 （1）

这表示在流体内任意一点的压强与方向无关，也即是该点压强各向同性。前面的书上也已经讲到了,但这里方程式（1）的推导忽略了重力，原因是当长度趋于无穷小时小四面体的各面面积都是二阶无穷小量，而重力正比于体积，属于体积力，比起面积是高阶小量，所以可以忽略。（1）式对于流动的液体也成立。

2.流体的平衡方程

与上面的方法一样，在流体内划分出一个小体元，不过为了便于分析，这次取一个长方体，如图2，三棱边沿坐标轴方向，边长为dx 、dy 、dz 。同样先考虑x 轴方向，由于没有切应力，所以沿x 轴方向的合力为

图1

x

图2

F X =[P(x)-P(x+dx)]dydz=-ðp

ðx dxdydz

设小长方体受到的体积力的密度，称为体力密度，为f （x,y,z ）,在x 轴、y 轴、z 轴方向上的分量分别为f x 、f y 、f z ,则其受到的体积力为f （x,y,z ）dxdydz,所以小长方体的平衡条件为

-ðp ðx + f x = 0, - ðp ðy + f y = 0, - ðp

ðz

+ f z =0， 即流体的平衡（2）条件为

f -▽P=0 （2）

▽P=ðp ðx + ðp ðy + ðp

ðz ，称为压强梯度。由流体的平衡方程（2）可知，流体所受的体力一定要是保守力，流体

才能平衡。

3．不可压缩流体的静压强分布

由方程（2）可知，流体的静压强梯度等于体力密度，又因为压强梯度▽P 是垂直于等压面的，所以体力

密度f 也垂直于等压面。其实由反证法就可以证明，如一杯水放在桌上，处于静止状态，其自由表面的压强即为大气压强，所以静止流体的自由表面即是一个等压面，若f 并不垂直于自由表面，那就具有那就具有切向分力，，那液体的表层将有切向流动，就不再是静止流体了。一般情况下，流体只受重力，所以液体自由表面与重力垂直，因为重力指向地心，所以静止液体的自由表面是一个球面。下面看一个实际问题：

『问题』 想必大家都曾经有过泡茶的经历，当你搅动茶杯内的

水时，就会看到这样的现象：茶杯内的茶叶都会向中间聚集。这是为什么呢？

为了搞清这个问题，我们假设有一杯水，如图3，杯中的水绕中心轴匀速旋转,角速度为ω,先看看其自由表面是怎样一种形状。我们选择一个竖直剖面，即图中的zOx 平面，杯中的水质点除受到重力外，还受到惯性离心力mx ω2的作用，水面应与这两个力的合力垂直，设合力与重力的方向夹角为θ，于是

tan θ= x ω2

g

又因为tan θ是曲线 z(x) 的斜率，所以

tan θ= dz

dx

则

dz = x ω2

g

dx

积分得

z = ω22g

x 2 + z 0

式中z 0为水面最低处距杯底的高度。这是一个抛物线方程，令其绕z 轴旋转则得到旋转抛物面

z = ω22g

（x 2+y 2）+ z 0

即为此时水杯中水的自由表面的方程。到这里问题算是解决了三分之一。

要解释问题中提出的现象，还需要用到前面的流体平衡方程，即流体静压强梯度▽P 等于体力密度f ，因此知道f 就可以求得静压强分布。这里假设流体都是不可压缩的，我们先考虑桌面上有一杯水，只在重力

图3

的作用下处于静止状态，取向上为z 轴方向，原点取在液面，则重力的体力密度为

f = -ρ

g k ,

相应的势能密度为

V （r ）=ρgz,

由于

f = ▽V=-▽(ρgz)

所以由平衡方程f -▽P=0得

▽(ρgz+P) = 0

就有

P(z)=P 0 -ρgz

P 0为液面压强，所以液面下h 处的压强为

P = P 0 +ρgh （3）

，这就是中学物理中就有的静压强公式。

下面再来解决上面的问题就不是很难了，除了要考虑重力势能外，还要计入惯性离心势能，则相应的势能密度为

V=ρgz - 1

2

ρ（x 2+y 2）ω2

所以静压强分布为

P(r)= P 0–ρgz+1

2

ρ（x 2+y 2）ω2

即在图3中，由液面竖直向下h 处的压强为

P(r)= P 0+ρgh+1

2

ρ（x 2+y 2）ω2

好了，问题解决，由于其自由表面的形状为抛物面，所以同样在底部，靠近杯壁的地方h 较大，压强就较大，所以你搅动茶杯内的水时，茶叶总是往中间跑。

4.可压缩流体的静压强分布

由于液体在不是很强的体力下的压缩不明显，我们这里用气体来研究。以大气为例，只受重力的情况下f= -ρg 先假设压强只随离地面的高度变化而变化，即▽P= dp

dz ，同样以竖直向上为z 轴正方向，由平衡

方程f -▽P=0得

dp

dz

=-ρg （4） 但由于大气是可压缩的，密度ρ随压强P 变化，设大气温度均匀，由理想气体方程pV=m

M

RT 可得

ρ=M

RT

p （5） M 为大气分子平均摩尔质量，将（5）式代入（4）式得

dp dz = -Mg RT

p 可分离变量积分，得到

P=P 0 exp(- Mg

RT

z) (6)