概率论基础 第四章 数字特征与特征函数

～ N ( , 2 )
( x)
1 e 2
( x )2 2 2
, x
E
Gamma distribution
~ ( , )
1 x x e x0 p( x ) ( ) 0 x0
记为 Eξ , 即
E xi pi .
i 1

注1º E是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，相当于做了无数次试验后， 发生的 平均值。与一般的平均值不同, 它从本质上体 现了随机变量 取可能值的真正的平均值, 也 称均值. 注2º 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随
级数各项次序的改变而改变, 之所以这样要求
这启示我们引进下面的定义。
Definition 4.1.3

若 的分布函数为 F (x) ，则定义
E


xdF ( x )
为 的数学期望。这里我们还是要求上 述积分绝对收敛，否则数学期望不存在。
关于斯蒂尔切斯积分 它的如下性质：
，我们仅列举
（1）当 F(x) 为跳跃函数，在 xi (i 1, 2,) 具有跃度 pi 时，上面的积分化为无穷级数
E xp x dx

g是连续函数, g(ξ) 是随机 变量, 如: aξ+b, ξ2等等.
Theorem 4.1.1

若 g ( x) 是一元博雷尔函数，而 g ( ) , 则

E Eg ( ) ydF ( y) g ( x)dF ( x) (4.1.17)
Example in Practice


2007年11月11日，游戏将进尾声时，现场还 剩4个宝箱，分别装有金额2000元、3万元、 25万元及300万元的支票，游戏者李司棋选择 了其中的11号箱子。 此时，现场有一Banker向其提出愿以42万元 购买其箱子. 假如你是李司棋，你是否会将 箱子卖予Banker？
b
c
b
(a c b)
（6）若 g( x ) 0 , F ( x ) 单调不减，b a , 则
I g( x )dF ( x ) 0 .
a
b
六、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出 数学期望 ξ 数学期望 Eξ
E xk pk
k 1
g (ξ)
E g ( )
E
1

设 r.v 服从 C auchy 分布,其概率密度为 p( x) 1 1 2 , x 1 x 计算 E .
E x p ( x ) dx 因为 |x| 1 x 1 x | p ( x ) dx dx | dx 2 2 1 x x 1 奇函数 ,对称区间 x dx 2 0 0 1 x2 dx 2 1 0 1 x2 1 2 ln(1 x )
i
i
p( x i ) x i

这正是


x p ( x )dx
小区间[xi, xi+1)
的渐近和式.
定义4.1.2 设ξ是连续型随机变量，其密度函数为 p(x), 如果积分


Байду номын сангаас

x p ( x )dx
绝对收敛, 则称此积分值为ξ的数学期望, 即
E



x p ( x )dx
Normal Distribution

李司棋经过与现场智囊团的理性分析， 以及现场观众齐叫「卖、卖、卖」的推 动下，她顺应民意按掣卖掉11号宝箱。 最后，大契惊觉自己的11号宝箱是300 万元时，忍不住开心大笑。
伯努利分布

设 A 为随机事件，P(A) = p，0 < p < 1 . 记 1A 为 A 的示性函数，即 1A =
泊松分布
pk P{ k }
e
k

k!
, k 0,1,2, .
E
几何分布
pk P{ k } q k 1 p , k 1,2,,
1 E p
例5
随机变量
取值
对应的
概率为
，则由于
，因此
它是概率分布，而且
但是
因此
的数学期望不存在。
从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参 数都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。
p( x i ) x i
小区间[xi, xi+1)
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可以用xi来近似代替. 因此ξ与以概率 p ( x i ) x i 取值xi的离散型r.v 近似, 该离散型r.v 的数 学期望是 阴影面积近似为 p( x i ) x i
x
0

故 E 不存在.
五、一般场合

现在，我们希望找到一种适合一切随机变 量的数学期望的定义，把离散型和连续型 这两种情况作为特例。 若随机变量 的分布函数为 F ( x ) , 类似于 连续型的场合，作很密的分割
x0 x1 xn ,


则 落在 [ xi , xi 1 ) 中的概率等于 F ( xi 1 ) F ( xi ) .
甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发 子弹，成绩如下：
甲：
环数 次数
8 15
9 10 40 45
乙：
环数 次数
8 9 10 35 10 55
怎样评估两人的成绩？ 平均环数 两人的总环数分别为 甲： 8 1 5 9 4 0 1 0 4 5 9 3 0 (环) 乙： 8 3 5 9 1 0 1 0 5 5 9 2 0 (环) 每枪平均环数为
甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发 子弹，成绩如下： 甲：
环数 次数
8 15
9 10 40 45
乙：
环数 次数
8 9 10 35 10 55
怎样评估两人的成绩？ 记甲每枪击中的环数为 , 因为射击次数 较多,故可认为 的分布律为 8 9 10
P 0.15 0.40 0.45
则甲射手每枪平均环数为
为该生各门课程的算术平均成绩.
而
xω
xi
i 1
n
ωj
j 1
n
ωi
xi vi , 其中 vi ωi ω j , i 1 j 1
n
n
则称 xω为该生的加权平均成绩.
显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种 1 特例, 即 vi , 可见加权平均才充分的体现了 n 平均值的意义.




（4） I g( x )d[aF1 ( x ) bF2 ( x )]
a g( x )dF1 ( x ) b g( x )dF2 ( x )


（5）a g( x )dF ( x ) a g( x )dF ( x ) c g( x )dF ( x )
I g( xi ) pi .
i
（2）当 F(x) 存在导数 F ( x ) p( x ) 时， 积分化为普通积分
I g( x ) p( x )dx.

（3）线性性质
I [ag1 ( x ) bg2 ( x )]dF ( x )
a g1 ( x )dF ( x ) b g2 ( x )dF ( x ).
第四章
Contents

§1. §2. *§3.
§4. §5. *§6.
数学期望 方差，相关系数，矩 熵与信息
母函数 特征函数 多元正态分布

怎样粗线条地描述r.v 的特性
简单明了、特征鲜明、直观实用
一、平均值与加权平均数

司马迁，《史记•货殖列传》： 天下熙熙， 皆为利来； 天下攘攘， 皆为利往。
四、连续型场合
设ξ是连续型随机变量，其密度函数为 p(x), 在 数轴上取很密的分点 x0 < x1 < x2 < „, 则ξ落在小区 间[xi , xi+1)的概率是

x i 1 xi
p ( x )dx
阴影面积近似为
p( x i ) x i
p ( x i )( x i 1 x i )
E


0

1 x x ( 1) x x e dx x e dx ( ) ( ) 0 ( )
Exponential Distribution
~ Exp( )
e x , p( x ) 0, x0, x0.
是因为数学期望是反映随机变量 取可能值的
平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
“数学期望”是历史上沿用下来的一个名词，可理 解为在数学上对 r.v 进行计算期望得到的值,即平均值
Example in Practice

TVB的《一掷千金》是香港电视史上奖金额度 最高的游戏节目，游戏利用心理错觉令人欲 罢不能，曾有游 戏者因奖金由原 来最高39万元变 成只赢得1元而当 场痛哭。
8 0 .1 5 9 0 .4 0 1 0 0 .4 5 9 .3
即平均环数为
E ( ) x k p k
k 1

3
引例2 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1 , x2 ,, xn , 其学分分别为 ω1 ,ω2 ,, ωn , 则称
n x1 x2 xn 1 x xi n n i 1
二、离散型场合
通过上述2个引例, 我们可以给出如下定义 定义4.1.1 设离散型随机变量ξ的分布律为
P xi pi , i 1,2,.
若级数

x p
i 1 i i i

i
绝对收敛, 即 xi pi , 则称
i 1

级数
x p
i 1
的和为随机变量ξ的数学期望,
15 9 40 10 45 9.3 (环) 甲： 8 100 100 100 乙： 8 35 9 10 10 55 9.2 (环) 100 100 100
可见甲的射击水平比乙略好
某班级某课程考试的平均成绩 电子产品的平均无故障时间 某地区的日平均气温和日平均降水量 某地区水稻的平均亩产量 某地区的家庭平均年收入 某国家国民的平均寿命 怎样定义 r.v 的平均值概念

即这两个积分中，若有一个存在，则另 一个也存在，而且两者相等。 这个定理的证明要用到测度论，超出了 本课程的范围。

这个定理很重要，因为：一方面，它消 除了随机变量的数学期望定义中的所出 现的表面矛盾；另一方面，在计算随机 变量函数的数学期望时也带来很大的方 便，我们无须先计算 的分布函数 F ( x) 再求其数学期望，而直接从 的分布函 数 F ( x) 出发利用上式计算即可。
k n k n k
k 0 ,1, , n
E np
Example in Practice
虽然从技术指标上看经济尚未出现连续两个 季度负增长的情形，但调查显示仍有50％的 美国人认为美国经济处于衰退期（Business Week ,2001.7.30）. 对于一个由12个美国 人组成的样本，你预期有多少人认为美国正 处于衰退期？
于是，

与以概率 F ( xi 1 ) F ( xi ) 取值 xi 的离散型
随机变量近似，而后者的数学期望为
x [F ( x
i i
i 1
) F ( xi )]

注意到上式是斯蒂尔切斯积分（RiemannStieltjes integral ）

x d F ( x ) 的渐近和式，
（4.1.17）的直观解释
离散型场合
Eg ( ) g ( xi ) p ( xi )
i 1
连续型场合
Eg ( )


g ( x ) p ( x ) dx
一维随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望? 方法1 (定义法): f(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Ef(X). 例 设
1， 如果 A 发生 0， 如果 A 不发生
伯努利分布

1A 服从参数为 p 的Bernoulli 分布，即
pk
1A
0 1 p
1 p
( 其中 0 < p < 1 )

期望
E 1A p

可见，P(A)＝E1A，概率是一种特殊的期望.
二项分布
p k P { k } C p 1 p