微积分模型
高中数学模型汇总
高中数学模型汇总
数学模型是数学知识在实际问题中的应用，旨在解决实际问题并做出预测。
以下是对一些常见数学模型的简单概述：
1. 线性规划模型：线性规划是在约束条件下，将线性函数优化到最大或最小值的方法。
它在工程、经济和管理等领域中得到广泛应用。
2. 概率模型：概率模型可用于预测未来事件的发生概率。
它包括抛硬币、掷骰子等离散事件，以及连续事件，如测量误差等。
概率模型在风险管理和统计等领域中得到广泛应用。
3. 微积分模型：微积分模型对变化率的研究对于数学知识在经济和物理领域的应用至关重要。
微积分的主要应用场景包括边际成本和收益、曲线图形和函数最大值和最小值等。
4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递归函数，通常用于描述指令系统的运行、人口增长、经济增长等过程。
通过分析差分方程模型的行为可以预测未来情况。
5. 统计模型：统计模型通常用于将概率结合起来，以得到更准确的结果预测。
一个著名的统计模型是回归分析，它用于分析自变量和因变量之间的关系。
总的来说，数学模型为实际问题提供了一种有力的工具，以寻找最优解并提供未来预测。
在各个领域的应用都十分广泛。
wxj(微分方程模型)建模辅导
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
年 1625 1830 1930 10 20 1960 30 1974 40 1987 1999 50 60
* 0
为两个平衡点．
现在考虑最大捕捞量问题．
N )N 设 h1 ( N ) r (1 Nm
h2 ( N ) kN 则 dN h1 ( N ) h2 ( N )
dt
将抛物线 h1 ( N ) 与直线 h2 ( N ) 描在同一坐标系内．当
h1 ( N ) = h2 ( N ) 时种群数量N达到最大值．
人口（亿）5
可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百 年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带 着它的60亿子民踏入了21世纪。 长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。 只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶 化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系， 人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问 题。
1、建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物 学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在 经济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t dw 的表达式． 上的增量表达式，令△t →0，即得到 dt 3、配备物理单位： 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位． 4、确定条件：
dx 2x 2x 0.03 dx 0.03dt dt dt 100 t 100 t
第3章 微分方程模型
第三章 微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。
例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。
本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。
这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。
提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。
最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。
因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。
事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。
§3.1 几个简单实例例3.1 （理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。
（图3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 sin mg ，根据牛顿第二定律可得：θθsin mg ml -= 从而得出两阶微分方程：sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ⎧+=⎪⎨⎪==⎩ （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。
（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。
根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程：⎪⎩⎪⎨⎧===+∙∙∙0)0(,0)0(0ϑϑϑϑϑl g （3.2）（3.2）的特征方程为02=+lg λ 对应的特征根为i lg =λ，（其中i 为虚单位），故（3.2）中的微分方程的通解为： t c t c t ωωϑcos sin )(21+=，其中lg =ω 代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解θ(t )= θ0cos ωt注意到当4T t =时，θ(t ) = 0，即可得出 24πω==T l g t 故有 l g T π2=这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
数学建模讲座
(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
多尺度分数阶微积分模型及其应用
多尺度分数阶微积分模型及其应用随着科技的不断发展，许多传统的学科正在被更新和改进。
微积分作为数学的基础学科，在现代科技应用中有着越来越广泛的应用。
随着数据和信息时代的到来，越来越多需要对时间序列数据分析和处理的问题出现了，而这些问题无法用传统的微积分方法解决。
因此，分数阶微积分应运而生。
基于分数阶微积分的方法具有分形特性和非局域化特性，拥有更合理的数学描述。
而多尺度分析方法则可以更好地揭示时间序列的动态信息，从而更精确地进行时间序列建模、处理和预测等应用。
因此，结合分数阶微积分和多尺度分析成为时序建模领域的热点。
多分辨率分数阶微积分模型以国内外学者研究的多分辨率分数阶微积分模型为例，这是将分数阶微积分与多分辨率分析相结合的一种理论和方法。
针对实际问题，可以根据问题要求选择不同的分辨率，从而建立出相应的多分辨率分数阶微积分模型。
多分辨率分数阶微积分模型最基础的流程如下：首先，将原始的时间序列分解为多个不同分辨率的序列；然后，分别对这些序列进行分数阶微积分处理；最后，将处理好的序列重新组合起来得到整个时间序列的分数阶微积分模型。
这种模型在参数确定方面更加普适，并具有更广泛的适用性。
应用多分辨率分数阶微积分模型及其扩展形式已经被广泛应用于多个领域。
下面列举几个具体领域的实际应用案例。
金融领域：随着金融市场环境不断变化，如何对市场风险进行准确预测成为重要的研究课题。
多分辨率分数阶微积分模型可以用于股票价格的预测，以及量化投资和交易的决策支持。
其中，多分辨率分数阶随机游动模型（MRSW）是一种典型的方法，其可以更好地处理金融数据的波动性和长期依赖性等特点。
信号处理领域：多分辨率分数阶微积分模型在信号处理领域也有很好的应用前景。
一般而言，信号的时域和频域信息要么直接从信号中提取，要么通过傅里叶变换等方法转换到频域。
但是，这种转换可能会导致信息损失。
而多分辨率分数阶微积分模型可以更全面地考虑时域和频域的多尺度特性，从而更好地提取信号的时频信息。
数学模型与数学建模
数学模型与数学建模数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工具或方法。
数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。
解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。
仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。
数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。
数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。
下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。
一、数学模型的分类数学模型主要包括解析模型和仿真模型。
下面分别介绍：1、解析模型解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解数学表达式或数值解的模型。
它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。
解析模型主要包括以下几种类型：（1）几何模型几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。
如，根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。
几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。
（2）微积分模型微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。
微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。
如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。
（3）代数模型代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。
如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。
代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。
（4）概率统计模型概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。
如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。
又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。
2、仿真模型仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。
计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。
数学建模(微积分)二
，不难求得 （4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式） 货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货 的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮 存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座 q
Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
贮存模型 背景 不允许缺货的贮存数学模型 知识 工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以 备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。 无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的 问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存 得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更 可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时， 如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建 立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。 （5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系 当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系 却是凭常识方法得到的
微分方程与微分方程建模法
第三章 微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法一、 微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。
微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。
其中还包括了常微分方程的基本定理。
0． 常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。
1． 初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。
分离变量法：（1）可分离变量方程： ;0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy(2) 齐次方程：);();(wvy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++== 常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。
对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有 参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=对于高阶方程，有降阶法：;0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k 恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
数学模型在经济学中的应用
数学模型在经济学中的应用一、引言数学模型是物理学、化学、生物学、工程学等领域中最为重要的工具之一，但同时也在经济学领域中发挥了非常重要的作用。
数学模型为经济学家提供了一种精确的研究方法，帮助他们对复杂的经济现象进行建模和预测。
本文将探讨数学模型在经济学领域中的应用。
二、基本概念数学模型是利用数学工具描述、分析现象的工具。
经济学中的数学模型主要是代数模型、微积分模型和概率统计模型等。
代数模型是经济学研究中最常见的数学模型。
代数模型是通过代数表达式来描述经济关系。
例如，将市场需求量和市场价格之间的关系表示为需求函数Q=P-2，其中Q为市场需求量，P为市场价格，-2为需求函数的斜率。
微积分模型是一种在经济学中广泛应用的数学模型。
微积分模型可以建模和分析关于时间和空间的动态经济问题。
例如，GDP 增长率是一种动态的经济问题，可以通过微积分模型进行建模和预测。
概率统计模型用于分析经济事件的概率，例如，利用概率统计模型研究投资组合的风险。
三、应用实例数学模型在经济学领域中应用非常广泛，以下是一些实际应用的例子。
1.消费者行为模型消费者行为模型是经济学中最常用的模型之一。
该模型描述了消费者如何在有限的收入下进行消费。
消费者行为模型由两个基本模块组成：消费者收入和消费者偏好。
消费者收入是一个代数模型，而消费者偏好则是一个微积分模型。
通过消费者行为模型，经济学家可以预测消费者如何对价格变化做出反应，预测市场上的需求量和价格水平。
2.生产函数模型生产函数模型描述了如何将输入资源（劳动力和资本）转化为输出产品。
它通过对输入资源和输出产品之间关系的数学表达式进行建模，来帮助生产者在有限的资源和时间内最大化产品产量。
这个模型涉及微积分和代数模型。
生产函数模型还可以通过改变劳动力和资本投入来回答诸如“如何在生产率和成本之间找到平衡点”的问题。
3.投资组合模型投资组合模型是概率统计模型中最重要的模型之一。
它用于确定如何在资产之间平衡风险和收益。
常见的数学模型
解法：通过矩阵运算或迭代法 求解线性代数方程
形式：Ax=b，其中A是矩阵，x 是未知数向量，b是常数向量
应用：在物理、工程、经济等 领域有广泛应用
多项式方程
定义：多项式方程 是数学中常见的方 程形式，一般形如 ax^n + bx^(n1) + ... + z = 0
积分公式：常见 的积分公式包括 牛顿-莱布尼茨公 式、换元积分公 式、分部积分公 式等。
01
0 2
03
04
级数与无穷级数
定义：级数是无穷多个数相加的结果，无穷级数是级数的极限状态。 类型：有正项级数、交错级数、幂级数等。
应用：在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如计算曲线的长度、求解微分方程等。 收敛与发散：级数收敛时，所有项的和是有限的；发散时，所有项的和是无穷大。
值。
特征值与特征向量 的应用：在解决实 际问题时，特征值 和特征向量可以用 于分析系统的稳定
性和动态行为。
计算方法：通过求 解矩阵的特征方程， 可以得到矩阵的特 征值和特征向量。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
线性变换与矩阵运算
矩阵运算：基本的矩阵加法、 减法、乘法等运算规则
线性变换：通过矩阵表示几 何变换的过程
微分方程
定义：微分方程是 描述数学模型中变 量之间变化关系的 方程
类型：常微分方程、 偏微分方程等
解法：常用的解法 包括分离变量法、 常数变异法等
应用：在物理学、 工程学、经济学等 领域有广泛应用
线性代数模型
向量与矩阵
向量：由一组有序 数构成的数学对象， 可以表示空间中的 点或方向
微积分的数学模型解析
微积分的数学模型解析微积分，是数学的一个分支，它是构建现代科学的基础之一。
微积分是研究自然界各种现象的基础，几乎所有科学的研究都需要用到微积分的方法。
微积分的核心是求解导数和积分，通过导数和积分的作用，可以建立不同的数学模型，此时微积分就将不同的问题转化为数学问题，使问题的求解变得简单明了。
微积分的数学模型解析，虽然是微积分的一个难点，但是却是非常重要的。
在现实生活中，经常会遇到各种需要建立数学模型的问题，如经济、发展、生物、环境等，这些问题都需要微积分的数学模型进行分析和解决。
下面，就来详细探讨微积分的数学模型解析。
一、导数的数学模型解析导数是微积分中的一个重要概念，具有解决许多问题的力量。
导数包含了物理学、工程学、生物学、经济学等众多学科中的各种数学模型。
导数可以体现一个量随着另一个量的改变所带来的变化率。
导数的推导过程中涉及到极限，而极限则是微积分的核心概念之一。
在数学模型解析过程中，常常需要建立函数的导数模型。
假设函数f(x)表示某一变量随着另一变量的变化而发生变化的规律，那么f(x)的导数f'(x)就是一个新的变量随着原变量x的改变而发生变化的规律。
这里需要注意的是，导数f'(x)并不是函数的直接表示，而是函数变化的速度，也就是函数斜率的大小。
导数的数学模型解析，有助于解决许多现实生活中的问题。
例如，对于销售某种商品的商家，可以通过建立该商品的销售量与时间的导数模型，来分析该商品在不同时间下销售情况的变化趋势，并为制定销售策略提供支持。
二、积分的数学模型解析积分是微积分中的另一个核心概念，也有着非常重要的应用价值。
积分可以将一个函数曲线下的面积求出，因此，在物理学、化学、统计学、经济学等学科领域中，经常会用到积分的方法。
在数学模型解析过程中，建立函数的积分模型需要注意一些要点。
首先，需要选择合适的积分方法，例如，定积分、不定积分、面积积分等。
其次，需要确定积分区间，即对函数需要积分的范围进行明确。
初中数学23种数学模型汇总
初中数学23种数学模型汇总数学模型是数学在实际问题中的应用，它可以帮助我们理解和解决各种问题。
下面是初中数学中常见的23种数学模型汇总：1. 线性函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的简单关系，可以用方程 y = kx + b 表示。
2. 平方函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的二次关系，可以用方程 y = ax^2 + bx + c 表示。
3.指数函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的指数关系，可以用方程y=a*b^x表示。
4. 对数函数模型：描述一个变量与另一个变量之间的对数关系，可以用方程 y = log_b(x) 表示。
5. 正比例函数模型：描述两个变量之间的正比例关系，可以用方程y = kx 表示。
6.反比例函数模型：描述两个变量之间的反比例关系，可以用方程y=k/x表示。
7.几何模型：使用几何图形和关系来解决问题，如平面几何和立体几何问题。
8.统计模型：使用统计方法和数据来分析和解释问题，如平均数、中位数和众数等。
9.概率模型：使用概率理论来解决问题，如计算概率、期望值和方差等。
10.贝叶斯模型：使用贝叶斯定理来评估和预测事件的概率。
11.数列模型：描述一系列数字之间的关系和规律，如等差数列和等比数列等。
12.方程模型：使用代数方程来表示问题中的关系，如一元一次方程、一元二次方程等。
13.不等式模型：使用不等式来表示问题中的关系，如一元一次不等式、一元二次不等式等。
14.三角函数模型：使用三角函数来描述问题中的关系，如正弦函数、余弦函数等。
15.空间几何模型：描述三维空间中物体和其属性的关系，如平行四边形、正方体等。
16.排列组合模型：使用排列和组合方法来计算问题中的可能性，如计算排列数和组合数等。
17.图论模型：使用图论方法来解决问题，如最短路径问题、连通性问题等。
18.线性规划模型：使用线性规划方法来优化问题，如最大化利润、最小化成本等。
19.矩阵模型：使用矩阵和线性代数来解决问题，如线性方程组和矩阵运算等。
微积分与数学模型
微积分与数学模型微积分是数学中最基础的分支，自17世纪以来就被广泛应用在科学、工程、经济学等不同科学领域。
微积分主要研究函数、无穷数据的构造和变化的性质和原理，从而解决实践中的难题。
微积分的发展主要源自17世纪中叶的新数学运动，它是由英国数学家斯蒂芬斯特拉蒙斯的著作《几何学的计算术》中的一系列创新理论发展而来的。
斯特拉蒙斯开创性地把曲线视为函数，并发现了微分中有用的基本元素，即微分、微积分、无穷级数和定积分。
这使得他们能够以函数研究物理变化的过程，建立描述它们的数学模型，并使用定积分来求解难于解释的问题。
斯特拉蒙斯的理论开拓了微积分的新领域，在数学家莱布尼兹的贡献下，微积分变得完善并进一步发展。
莱布尼兹贡献有力，开创性地提出了微积分及其相关知识的完整概念。
他创造了微积分的新数学语言，发明了新的数学概念，丰富了微积分中的内容，并使微积分变得更加全面完善。
随后，微积分在很多领域都得到了广泛的应用，这些领域包括物理学、化学、经济学、社会学等科学领域。
物理学家利用微积分来研究动力学，化学家使用微积分来研究反应动态，经济学家使用微积分来分析市场经济，社会学家使用微积分来研究发展趋势。
因此，微积分的广泛应用极大地推动了科学技术的发展。
同时，微积分也被广泛用于建立数学模型，尤其是用于描述物理事件和社会现象。
数学模型是根据物理实验或社会观察数据，结合数学研究方法和微积分，建立一系列方程来描述物理事件和社会现象的一种技术。
数学模型可以帮助我们理解实际问题，深入挖掘问题背后的性质，并且可以更精确地预测未来的趋势。
由此可见，微积分在数学和科学技术的发展中发挥了重要作用，它也是建立数学模型的基础。
在今后的学术研究中，将继续将微积分应用于重要科学问题的研究，并且进一步推动科学技术的发展。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
数学建模-微积分模型
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
经济学中 称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数 。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：
条件A：
所确定的一元函数 是单调递减的，且曲线是呈下凸的。
（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3。 缺货时存贮量q看作负值， 的图形如图4.2，货物在 时送完。
一个供货周期 内的总费用包括：订货费 ，存贮费 ，缺货费 ，借助图4.2可以得到
一个周期总费用为
每天的平均费用
（4.4）
利用微分法，令
可以求出最优的 值为
（4.5）
记
通过与不允许缺货的模型相比较得到
在这个模型的基础上可以讨论当某种商品的价格改变，或者消费者购买商品的总资金改变时均衡状态的改变情况。
微积分的应用-微分方程模型
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
数学建模微积分模型例题
数学建模微积分模型例题
以下是一个简单的数学建模微积分例题：
题目：有一根细棒，其长度为10米，质量为1千克。
我们需要计算这根细棒的弯曲程度。
首先，我们需要理解什么是弯曲程度。
弯曲程度可以理解为细棒弯曲的弧长与其原长的比值。
因此，我们可以用以下数学模型表示细棒的弯曲程度：设细棒的原长为L 米，弯曲的弧长为s 米，则弯曲程度y = s / L。
接下来，我们需要考虑如何计算弯曲的弧长s。
由于细棒弯曲时形成的是一个圆弧，因此我们可以使用微积分的知识来求解。
设细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径为r 米，圆心角为θ度，则弧长s = r ×θ。
由于细棒的质量分布均匀，因此我们可以认为细棒在弯曲过程中形成的圆弧的半径r 是恒定的。
同时，我们知道细棒的总质量M = 1 千克，因此我们可以计算出细棒在弯曲过程中形成的圆心角θ。
设细棒在弯曲过程中形成的圆心角为θ度，则θ= M ×g / (r ×g)。
其中g 是重力加速度，g = 9.8 m/s^2。
将以上模型整合，我们可以得到以下微积分方程：
y = s / L = r ×θ/ L = (M ×g / (r ×g)) ×90°/ L
其中，y 是弯曲程度，s 是弯曲的弧长，L 是细棒的原长，r 是圆弧的半径，θ是圆心角。
这是一个简单的数学建模微积分例题，通过这个例题我们可以理解数学建模的基本思路和方法。
微积分建立的数学模型ppt
按上面的分析与假设，容易知道：在雨中行走时被淋雨水总量等于被雨淋时间、 被雨淋面积和降雨强度三者的乘积。考虑到量纲一致性，并注意到I、v、D为常数 ，我们有C（v）=tx1x(0.001/3600)xs (米) =（D/V）X（1X0.001/3600)XS (米) =（D/V）X（L/3600）X(2wh+2dh+2wd)x10 (升) 模型表明，被淋在身上的雨水总量与在雨中行走的速度成反比，因此在雨中最优 行走策略是尽可能的快跑。
根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日 常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活 中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是， 这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因 为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。
THANKS FOR YOUR WATCHING!!!!!!!!!
1．降雨的速度（即雨滴降落的速度）和降 雨强度保持不变； 2．行走速度恒定； 3．风速及风向始终保持不变（这三项都是 均匀化假设）。 4．把人的身体看成 是一个呈长方体形状的物体（理想化）。 5．淋在身上的雨水被完全吸收（极端化）。 6．不考虑降雨的角度的影响，也就是说在 行走的过程中身体的上方及前后左右都将 淋到雨水。 7．设定变量和参数 雨中行走的距离（单位：米）：D； 雨中行走的速度（单位：米/秒）：v； 人体的高度、宽度、厚度（单位：米）： h，w, d 被淋雨水总量（单位：升）： C； 降雨强度（单位：厘米/小时）：I； 身体被雨淋的面积（单位：米2）：S； 雨中行走时间（单位：秒）：t=D/v. 其中， Y 降雨强度是单位时间内平面上降雨的厚度， 用以刻划降雨的大小。 在本问题中， D，d,w,h从而S是问题的参数；v,t,I是问题 中的变量。C是因变量，而v是决策变量。 模型中的参数可以通过观测和日常的调查 资料得到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一篇 微积分模型在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。
函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。
与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。
数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。
与极限和连续等内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。
导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。
相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。
微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。
与积分和微元分析内容相关的应用实例有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。
离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。
与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论 等。
如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。
相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。
变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。
与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。
121.1 市话费是降了还是升了2001年1月1日起，我国的电讯资费进行了一次结构性的调整，其中某地区固定电话的市话费由原来的每三分钟（不足三分钟以三分钟计）0.18元调整为前三分钟0.22元，以后每一分钟（不足一分钟以一分钟计）0.11元。
那么，与调整前相比，市话费是降了还是升了？升、降的幅度是多少？若以)(t y 、)(t Y 分别表示调整前后市话费与通话时间t 之间的函数关系，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>×≤<=不是整数且是整数且33)1]3[(18.033318.03018.0)(t t t t t t t t y ⎪⎩⎪⎨⎧>+−+>−+≤<=不是整数且是整数且t t t t t t t t Y 3)1]3[(11.022.03)3(11.022.03022.0)( 为便于二者进行比较，我们可以按具体的时段计算上述两个函数对应的函数值及相应的调价幅度，并列成如下的对照表，如表1.1.1。
表1.1.1 两个函数对应的函数值及相应的调价幅度与对照表 t]3,0(]4,3( ]5,4(]6,5(]7,6(]8,7(]9,8(… ]60,59( …)(t y0.180.36 0.36 0.36 0.54 0.54 0.54… 3.60 …)(t Y 0.220.33 0.44 0.55 0.66 0.77 0.88… 6.49 …升降幅度 22%—8% 22%53%22%43%63%… 80% …不难看出，只有当通话时间]4,3(∈t 时，调整后的市话费才稍微有所降低，其余的时段均比调整前有较大幅度的提高。
评注1.理论依据：建立分段函数的方法及取整函数的应用。
2.应用与推广：许多以时间、重量、距离等为计量单位的收费系统，如场地租赁费、邮政信函及包裹的邮寄费、各类交通工具的行李运输费等，通常都规定了最小的计量单位，且不足一单位的部分以一个单位计。
此类问题均可以参照此例提供的方法借助取整函数建立函数关系。
31.2 外币兑换与股票交易中的涨跌停板按某个时期的汇率，若将美元兑换成加拿大元，币面值增加12%；而将加拿大元兑换成美元，币面值减少12%。
今有一美国人准备到加拿大度假，他将一定数额的美元兑换成了加元，但后来因故未能成行，于是他又将加元兑换成了美元。
经过这样一来一回的兑换，结果白白亏损了一些钱。
这是为什么呢？对于这个问题，我们只要将两种不同的兑换用函数关系表示出来进行分析，就不难发现造成他亏损的原因：设x 美元可兑换的加元数为)(x f y =，y 加元可兑换的美元数为)(y x ϕ=，则x x x x f y 12.112.0)(=+==（1.2.1） y y y y x 88.012.0)(=−==ϕ（1.2.2） 于是，先把x 美元兑换成加元，可得的加元数为)(x f ；再把这些加元兑换成美元，所得的美元数应为)]([x f z ϕ=，即x x x x f x f z <=×===9856.012.188.0)(88.0)]([ϕ 显然，他亏损了 1.44%。
之所以会出现这样的结果，是因为两种兑换所对应的函数（1.2.1）和（1.2.2）不互为反函数。
因为假若（1.2.1）和（1.2.2）互为反函数，则根据x x f f =−)]([1的性质，应有x x f =)]([ϕ，他也就不会亏损了。
类似的例子还有股票交易中的涨、跌停板。
上海及深圳证券交易所为抑制股票市场中的过度投机，规定了一只股票在一个交易日内的涨、跌幅均不得超过10%的限制，分别称之为“涨停板”和“跌停板”。
假若某只股票第一个交易日涨停，而第二个交易日又跌停，则股价并不是简单地回到原地，，而是比上涨前更低了。
这其中的道理与造成外币兑换损失的原理是完全相同的。
评注1.理论依据：反函数的性质。
2.应用与推广：本例给出了判定两个函数之间不具备反函数关系的一个方法。
参考文献：李心灿等：高等数学应用205例[M].高等教育出版社.1997.8。
1.3 库存问题与库存曲线我们知道，不论是生产厂家还是商家，都要设置仓库用来存贮原料或是商品，因此库存问题也就成了他们都必须要面对的问题。
4如果在一个计划期内（譬如说一年），生产厂家对原料（或商家对商品）的总需求量是一定的，则由于资金和仓库容量的限制，不可能将全部原料或是商品一次性采购进来，因此一般情况下所采用的都是分批进货的方法，于是就产生了相应的库存模型（也称存贮模型），其中最简单、也是最典型的一类就是“一致性存贮模型”。
所谓，是在“一致需求，均匀消耗，瞬间入库，不许短缺。
”的假设之下建立的模型。
即在总需求一定的情况下，等量地分批进货，并以均匀的速度消耗这些原料（或商品）。
而当一批原料（或商品）用完的时候，下一批原料（或商品）可以做到瞬间入库进行补充而忽略不计搬运入库的时间，从而不会有停工待料（或缺货）的现象发生。
其库存量Q 随时间t 变化的情况可以用图1.3.1的库存曲线来描述：2q 图1.3.1 库存曲线图1.3.1中q 表示每批进货的数量（称为“批量”）， T 表示一个进货周期。
可以看出，在每一个进货周期内，库存量都经历了一个由q 均匀地递减到0的过程。
虽然每一天的库存量都在发生变化，但我们用“削峰填谷”法不难得出此类存贮模型中的一个最典型的数量特征──平均的日库存量恰为批量的一半（如图中的水平虚线所示）。
于是，某个生产（或销售）过程中总库存费的计算就可以简化为一致性存贮模型总库存费×=21批量×单位库存费用×库存时间 这在实际操作中是非常方便的。
评注：1. 理论依据：区间上线性函数的平均值。
2. 应用与推广：一致性存贮模型在经济批量问题中有着广泛的应用。
1.4 “另类”的常量函数我们知道，所谓常量函数，是不论自变量如何变化、对应的函数值都始终保持同一数值不变的函数，其函数表达式可表示为5A x f =)( （A 为常数）但是，也有一种常量函数，其表达式却有点“另类”。
例如，由计算机科学的创始人之一、美国的麦卡锡首创的“91函数”，就是一个用分段函数表示的常量函数，其定义如下：⎩⎨⎧≤+>−=100))11((10010)(n n f f n n n f （n 为自然数） 之所以称之为“91函数”，是因为对于n 取1到100之间任一整数值时，恒有91)(=n f 。
下面，我们就根据91函数的定义，通过具体的计算来验证这一点。
先证明91)100(=f ：))111(())11100(()100(f f f f f =+=)101()10111(f f =−= 9110101=−=然后，我们从最小的自然数1开始，逐个计算相应的函数值：L ====))))34(((()))23((())12(()1(f f f f f f f f f f不难看出，随着计算过程的延续，函数f 复合的层次越来越多。
为简明起见，姑且用符号)(k f 表示k 层f 的复合，则上述计算过程就可以简记为)45()34()23()12()1()5()4()3()2(f f f f f ====)100()89()78()67()56()10()9()8()7()6(f f f f f =====注意到)100()10(f 就是))100(()9(f f ，而91)100(=f ，所以)91())100(()100()9()9()10(f f f f == （1.4.1）代入上（1.4.1）式，可得)91()100()1()9()10(f f f == （1.4.2）而 )104()93()103()92()102()91()10()9()10()9()10()9(f f f f f f =====)100()110()99()9()10()9(f f f ====L于是，（1.4.2）式又化为)100()91()100()1()9()9()10(f f f f ===…………不断重复上述过程，即得)100()91()100()91()100()1()8()8()9()9()10(f f f f f f =====91)100(===f L类似地，还可以验证691)99(,,91)3(,91)2(===f f f L此处就不再一一列举了。