奥数盈亏问题详解

盈亏问题

知识点说明：

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”,分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈),如果每人多分，则物品就不足(也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”.

可以得出盈亏问题的基本关系式:

（盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数

（盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数

（亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种

情况,都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.

注意1.条件转换２.关系互换

板块一、直接计算型盈亏问题

【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩７块;如果每人搬5块,则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块?

【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系:每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块．这两次搬砖，每人相差541

+= -=(块）．第一种余7块，第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:729（块)，每人相差１块，结果总数就相差9块,所以有少先队员919

÷=（人).共有砖：49743

⨯+=(块）.

【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元，就多出了８元;每人出7元，就多出了４元.那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少？

【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844

÷=

-=(元),每个人要多出871

-=（元),因此就知道,共有414（人），蛋糕价钱是84824

⨯-=（元）.

【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分1０个桃，就多出9个桃，每只小猴分１1个桃则多出2个桃,那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子,第二种方案盈2个,所以盈亏总和是927

-=(个)，两次分配之差是11101

-=(个）,由盈亏问题公式得，有小猴子:717

⨯+=（个)桃子．

÷=(只)，老猴子有710979

【巩固】有一批练习本发给学生,如果每人5本,则多70本，如果每人７本,则多１０本，那么这个班有多少学生,多少练习本呢?

【解析】由题意知：第一种方案:每人发５本多出70本;第二种方案:每人发7本多出1０本;两种方案分配结果相差：701060

-=（本）,相差６0本-=(本)，这是因为两次分配中每人所发的本数相差:752

的学生有：60230

⨯+=).

÷=(人）．练习本有:30570220

⨯+=(本）（或30710220

【例 2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛)猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后,猴王开始分配．若大猴分5个,小猴分3个,猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.在这群

猴子中,大猴（不包括猴王）比小猴多只．

【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个.若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.也就是说在大猴分5个,小猴分3个后,每只大猴都拿出1个,分给每只小猴1个后，还剩下201010

-=个,所以大猴比小猴多10只.

【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本,还差2本,请问有多少老师？多少本书?

【解析】“差9本”和“差２本”两者相差927

-=(本）,因此就知道,共有

-=（本)，每个人要多发1091

老师717

⨯-=（本).

÷=（人），书有710961

【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢?

【解析】由题意知：两次的分配结果相差：241212

-=(块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：

⨯-=)．

⨯-=(块)（或942412 963

÷=（人）,糖果数是：641212

-=(块）,多少人相差12块呢？1234

【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴,若买７把,则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多３0元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱?

【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买７把差110元,第二个方案：买５把还多３0元,从买7把变成买５把,少买了752

+=(元）,即14０元可以买2把小提琴，

-=(把），而钱的差额为:11030140

可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380

⨯-=(元)．

【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔1０0元.运完这批花瓶后,工人共得4４00元，则损坏了多少个?

【解析】本题中“损坏一个倒赔１00元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏１个花瓶相差+=(元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250 10020120

个花瓶都完好，这样可得运费202505000

-=（元)．

⨯=（元）.这样比实际多得50004400600就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶.根据以上分析,可得损坏了202504400100205

⨯-÷+=

（）（）(个).

【例 3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位;如果每间住7人，则多出4个床位,问宿舍几间?住宿生几人？

【解析】由已知条件

每间５人少1４个床位

每间７人多4个床位

比较两次分配的方案,可以看出,由于第二种方案比第一种每间多住(75)2

-=人,

一共要多出(144)18

+=个床位,根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数.

解:(414)(75)=9

+÷-(间)

⨯-=(人)

⨯+=(人),或79459

591459

【巩固】学校有３0间宿舍,大宿舍每间住6人，小宿舍每间住４人.已知这些宿舍中共住了16８人，那么其中有多少间大宿舍?

【解析】如果30间都是小宿舍,那么只能住430120

⨯=(人)，而实际上住了１68人．大宿舍比小宿舍每间多住642

（）(间).(这是一个鸡兔同笼,放在这里做对比）

-÷=

-=（人）,所以大宿舍有168120224

【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分５粒则少6