奥数盈亏问题详解
四年级奥数：盈亏问题知识讲解
四年级奥数：盈亏问题盈亏问题“幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分5颗糖果，就多出22颗糖果；每个小朋友分7颗糖果，就少18颗糖果.有多少个小朋友和多少颗糖果？”像这样以份数平均分一定数量的物品，每份少一些，则物品有余（盈）；每份多一些，则物品不足（亏）.凡是研究这一类算法的应用题叫做盈亏问题.盈亏问题的基本解法是：份数﹦（盈＋亏）÷两次分配数的差；物品总数﹦每份个数×份数＋盈数，或物品总数﹦每份个数×份数－亏数例1幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分5颗糖果，就多出22颗糖果；每个小朋友分7颗糖果，就少18颗糖果.有多少个小朋友和多少颗糖果？例2某校安排学生宿舍，如果每间5人，则有14人没有床位；如果每间7人，则多4个空床位.问：宿舍有几间？住宿学生有几人？随堂练习1（1）参加体操的同学排队，如果每行站9人，则多37人；而每行站12人，则少20人.求参加团体操的同学有多少人？（2）用一根绳子绕树三圈，余3米；如果绕树四圈，则差4米.树周长有几米？绳长有几米？例3 人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车.一共有多少辆车？有多少名同学去春游？例4动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完.问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？随堂练习2（1）全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人；如果增加一条船，每条船正好坐6人.全班共有多少人？（2）华中路第一小学组织学生去春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘车；如果每车多坐5人，恰好多余了一辆.一共有几辆汽车？有多少学生？例5学校组织同学乘车去科技馆参观，原计划每车坐30人，还剩下1个人；后来又临时增加了100人，汽车却比原来少1辆，这样每辆车要坐36人，还剩5个人.原计划乘坐几辆车？原计划去多少人？例6果树专业队上山植果树，所需栽的苹果树苗是梨树苗的2倍.如果梨树苗每人栽3棵，还余2棵；苹果树苗每人栽7棵，则少6棵.问：果树专业队上山植树的有多少人？要栽多少棵苹果树和梨树？随堂练习3（1）农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余的每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵；如果1人先分得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽.求人数和树苗的总数.（2）学校买来一些篮球和排球分给各班，买来的排球个数是篮球的2倍，如果篮球每班分2个，多余4个；如果排球每班分5个，则少2个.学校买来篮球和排球各多少个？练习题一、填空题1、学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人；每个房间住5人，恰巧安排好.则房间有_____间.2、学校买来一批故事书，每班发16本，多10本；每班发18本，少6本.则买来故事书的本数为_____本.3、一小包糖分给几个小朋友，如果每人分3块，则余3块；如果每人分5块，则少7块.那么小朋友有_____个.4、某数的5倍减去41，则比其3倍多19，这个数是_____.5、儿童分玩具，每人6个则多12个；每人8个，有一人没有分到.儿童有_____人，玩具有_____个.6、老师给幼儿园的小朋友分苹果，如果每位小朋友分2个，还多30个；如果其中的12位小朋友每人分3个，剩下的每人分4个，正好分完.一共有_____位小朋友，有____-个苹果.二、选择题7、学校给参加夏令营的同学租了几辆大轿车，如果每辆轿车乘28人则有13名同学上不了车；如果每辆车乘32人，则还有3个空座.一共有同学（）. （A）100名（B）143名（C）125名（D）137名8、学校给新生安排宿舍，如果按7人一间安排（刚好住满）要比按8人一间安排（也刚好住满）多用两间宿舍.一共有新生（）.（A）110名（B）111名（C）123名（D）112名9、全班同学站队排成若干行，如果每行14人则多5人；如果每行17人则少4人，那么排成的行数是（）.（A）4 （B）5 （C）3 （D）210、苹果个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个.那么人数、苹果数和梨数分别是（）.（A）10，64，32 （B）12，62，31 （C）9，54，27 （D）13，68，34三、简答题11、四年级同学参加植树活动，如果每班种10棵，还剩6棵树苗；如果剩下的每班再种2棵，就少4棵树苗.四年级一共植树多少棵？12、同学们到阶梯教室听科技报告，如每张长椅坐8人，则剩下50人没有座位；如果每张长椅上坐12人，则空出10个座位.如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？13、某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克.若按1千克2元卖出，则要亏损300元；若按1千克3元卖出，则可盈利500元.问：原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？14、小刚从家去学校，如果每分钟走80米，结果比上课时间提前6分钟到校；如果每分钟走50米，则要迟到3分钟.小刚的家到学校的路程有多远？。
奥数知识点讲解盈亏问题
Si，盈亏问题“老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨，就多出12个梨;每只小猴子分7个梨，就少11个梨。
有几只小猴子和多少个梨？”这道应用题是已知两种分配的方法,一次分配有余,一次分配不足,求参加分配的数量及被分配的总量。
这样的应用题,通常叫做盈亏问题（有余时称盈,不足时称亏）。
解盈亏问题,常常采用比较的方法。
出⅛典型例题例【1】老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。
有几只小猴子和多少个梨？分析每只小猴子分6个梨则多12个梨;每只小猴子分7个梨就少11个梨,这说明小猴子的总只数为：12+11=23（只）,也就是说:不足的个数十多余的个数=小猴子的只数解小猴子的只数为：12+11=23（只）梨子的个数为：23X6+12=150（个）或：23X7-11=150（个）答：有23只小猴子，150个梨。
例【2】丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。
如果每人分3个,多16个；如果每人分5个，那么就差4个。
有多少个小朋友？有多少个苹果？分析先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分3个,余16个苹果。
每人分5个,还差4个苹果。
这两次分苹果,每人相差的个数为:5-3=2（个）。
第1次余16个,第2次少4个,那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为:4+16=20（个）。
每人相差2个,结果总数就相差20个。
解有小朋友的人数为：20÷2=10（人）有苹果的个数为：3X10+16=46（个）或5X10—4=46（个）综合算式：（4+16）÷（5-3）=10（人）3X10+16=46（个）答：这个幼儿园有10位小朋友，苹果的总数是46个。
例13】北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。
如果没车坐65人，则有15人不能乘车。
如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。
一共有几辆汽车？有多少学生？≡-•分析每车多坐5人,也就是每车坐70人,恰好多余了一辆车,也就是还差一辆车的人,即70人。
小学奥数盈亏问题解题思路详解(附盈亏问题公式)
盈亏问题解题思路详解（附盈亏问题公式）解题思路：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者每份所得物品数量的差，再求两次分配中的总差额，用前一个差去除后一个差，就得到分配者的人数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数。
一般解法：（盈数+亏数）÷两次每份分配之差=份数、（大盈-小盈）÷两次分配之差=份数、（大亏--小亏）÷两次分配之差=份数，再求总数量。
每次分的数量*份数+盈=总数量或。
每次分的数量*份数-亏=总数量。
物品数可由其中一种分法的份数和盈亏数求出。
其它(高级)：盈亏临界点——交易所股票交易量的基数点，超过这一点就会实现盈利，反之则亏损。
盈亏临界点计算的基本模型设以P代表利润，V代表销量，SP代表单价、VC代表单位变动成本，FC代表固定成本，BE代表盈亏临界点，根据利润计算公式可求得盈亏临界点的基本模型为：盈亏临界点的计算，可以采用实物和金额两种计算形式：1．按实物单位计算：其中，单位产设某产品单位售价为10元，单位变动成本为6元，相关固定成本为8000元，则盈亏临界点的销售量(实物单位)=8000÷(10－6)=2000（件）。
品贡献毛益=单位产品销售收入－单位变动成本2．按金额综合计算：盈亏临界点的销售量（用金额表现）=固定成本÷贡献毛益率其中，贡献毛益率=贡献毛益/销售收入附盈亏问题公式：（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差/大分-小分）=人数。
小学五年级奥数第12讲 盈亏问题(含答案分析)
第12讲盈亏问题一、知识要点盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。
例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。
小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。
盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。
解题时我们可以记住：1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。
二、精讲精练【例题1】某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。
乒乓球队共有多少名学生？练习1：1.学校买来了白粉笔和彩色粉笔若干盒，如果白粉笔减少10盒，彩色粉笔增加8盒，两种粉笔就同样多；如果再买10盒白粉笔，白粉笔的盒数就是彩色粉笔的5倍。
学校买来两种粉笔各多少盒？2.操场上有两堆货物，如果甲堆增加80吨，乙堆增加25吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两堆各运走5吨，剩下的乙堆正好是甲堆的3倍。
两堆货物一共有多少吨？3.五（1）班的优秀学生中，苦增加2名男生，减少1名女生，则男、女生人数同样多；苦减少1名男生，增加1名女生，则男生是女生的一半。
这些优秀学生中男、女生各多少人？【例题2】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。
四年级奥数第39讲 盈亏问题
第三十九周盈亏问题专题简析：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。
所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
练习一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。
问宿舍多少间？学生多少人？3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问：这个班共有多少学生？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题。
由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差45－7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。
所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。
练习二1，将月季花插入一些花瓶中。
奥数盈亏问题详解
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意1.条件转换 2.关系互换板块一、直接计算型盈亏问题【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两次搬砖，每人相差541-=（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：729÷=（人）．共+=（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919有砖：49743⨯+=（块）．【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元．那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844-=（元），每个人要多出871-=（元），因此就知道，共有414⨯-=（元）．÷=（人），蛋糕价钱是84824【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是927-=（个），两次分配之差是11101-=（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：717⨯+=÷=（只），老猴子有710979（个）桃子.【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？【解析】由题意知：第一种方案：每人发5本多出70本；第二种方案：每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：701060-=（本），-=（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：752相差60本的学生有：60230⨯+=）．÷=（人）．练习本有：30570220⨯+=（本）（或30710220【例 2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多只．说在大猴分5个，小猴分3个后，每只大猴都拿出1个，分给每只小猴1个后，还剩下201010-=个，所以大猴比小猴多10只．【巩固】 学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？【解析】 “差9本”和“差2本”两者相差927-=（本），每个人要多发1091-=（本），因此就知道，共有老师717÷=（人），书有710961⨯-=（本）．【巩固】 幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？【解析】 由题意知：两次的分配结果相差：241212-=（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：963-=（块），多少人相差12块呢？1234÷=（人），糖果数是：641212⨯-=（块）（或942412⨯-=）．【巩固】 王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？【解析】 本题购物的两个方案，第一个方案：买7把差110元，第二个方案：买5把还多30元，从买7把变成买5把，少买了752-=（把），而钱的差额为：11030140+=（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380⨯-=（元）.【巩固】 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？【解析】 本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差10020120+=（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费202505000⨯=（元）．这样比实际多得50004400600-=（元）．就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了202504400100205⨯-÷+=（）（）（个）．【例 3】 某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【解析】 由已知条件每间5人 少14个床位每间7人 多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(75)2-=人，一共要多出(144)18+=个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(414)(75)=9+÷-(间)591459⨯+=(人)，或79459⨯-=(人)【巩固】 学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住430120⨯=（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住642-=（人），所以大宿舍有168120224-÷=（）（间）．（这是一个鸡兔同笼，放在这里做对比）【巩固】 智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：4×15+9=69（粒）.【巩固】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？【解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：6×28－8＝160（个）或 4×28＋48＝160（个）．板块二、条件关系转换型盈亏问题【例 4】猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是⨯+=（条）鱼．÷=（只），猫妈妈有810888 -=（条），由盈亏问题公式得，有小猫：81811101【巩固】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完，问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：÷=（人），有小玩具9327⨯=（个）．-=（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：919431【巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？【解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是422-=（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：66233⨯=（个）.÷=（个）班，买来足球33266【巩固】一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果？【解析】第一种分配方案盈9粒糖，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是541-=（粒），由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有：919⨯=（粒）．÷=（人），有糖果9545【巩固】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？【解析】没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.学生人数为：60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.【例 5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)张信【例 6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。
四年级奥数第39讲-盈亏问题
第三十九周盈亏问题专题简析：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。
所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
练习一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问：这个班共有多少学生？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题。
由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差45－7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。
所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。
练习二1，将月季花插入一些花瓶中。
如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵。
求花瓶的只数和月季花的朵数。
小学四年级奥数第39讲 盈亏问题(含答案分析)
第39讲盈亏问题一、专题简析：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？练习一1、幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2、某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。
问宿舍多少间？学生多少人？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？练习二1、将月季花插入一些花瓶中。
如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵。
求花瓶的只数和月季花的朵数。
2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。
如果每人发5张，则少32张；如果每人发3张，则少2张。
美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？例3：有一些少先队员到山上去种一批树。
如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。
问有多少名少先队员？有多少棵树？练习三1、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一人说每人背50发还多200发。
有多少敌人？多少发子弹？2、杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。
如果每人分7本，还多7本；如果每人分8本则正好分完。
请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？3、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。
奥数-盈亏问题
盈亏问题在两次分配方案中，一次有余（盈），一次分配不足（亏）求分配物品数和分配对象数的问题称为盈亏问题。
（盈+亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数※特殊问题的解决要点：（大盈－小盈）÷两次分配之差=参加分配的份数，※（大亏－小亏）÷两次分配之差=参加分配的份数。
※1.四年一班同学春游，他们租了一些船，如果每船坐3人则多16人，如果每船坐5人则有一条船差4人。
问一共有学生多少人？一共租多少船？2.一些少先队员给学校礼堂擦玻璃，如果没人擦3块，就会多出20块没人擦。
如果每人擦5块。
正好分完，问这批少先队员一共有多少人？这些玻璃一共有多少块？3.王老师将一批练习本发给班上同学，如果每人6本则少95本，如果每人4本，则少5本。
问有多少学生，多少练习本？4.王阿姨给小朋友分苹果，如果每人5 个苹果则多14个苹果；如果每人6个苹果还多4个苹果。
那么王阿姨买了多少苹果？分给多少小朋友？5.李师傅加工一批零件，如果每天50个，要比原计划晚8天完成；如果每天做60个，就可以提前5 天完成。
求原计划多少天完成？这批零件共有多少个？6.少先队员去植树。
如果张明和李萍两人每人挖4个树坑，其余每人挖2个树坑，还多出4 个树坑没人挖。
如果张明一人挖6个树坑，其余每人挖4 个树坑，又差12个坑。
这批少先队员一共有多少人？一共挖多少个树坑？7.有一根绳子测井口到井底的深度，把绳子三折后垂到井底，绳子超过井口2米；把绳子减去6米，对折后在垂到井底，绳子超过井口4米。
求绳长和井深？※8. 晓华从家到学校，先以每分钟70米的速度走了4分钟，发现这样走会迟到5分钟，于是他改为每分钟80米的速度前进，结果比上课时间提前2分钟到校。
晓华家到学校有多少米？。
小学奥数之盈亏问题
一、知识简介：“盈”指的是物品有多余；“亏”是指物品有不足。
把一定数量的物品平均分配给一定数量的人，每人少分，则会有余；每人多分，则物品会不足。
已知所余（所盈）和不足（所亏）的数量，求物品数量和人数的应用题叫做盈亏问题。
盈亏问题一般要进行两次分配，它包含5种情况：（1）一盈一亏类：一次有余，一次不足；（前面是还剩下一些，后面则是不仅剩下的被分配完了，还差了一些数量，等于还要去借一些或者买一些才够）（2）双盈类：两次都有余；（两次都有多余，只是多余的数量不一样）（3）双亏类：两次都不足；（两次都不足，只是两次不足的数量不一样）（4）一个正好不多不少一个是有余的；（5）一个正好不多不少一个是不足的；我对两次分配的理解：前后两次对比，造成有差别，而差别来源于两次分配数量的多与少。
二、解决盈亏问题的基本公式：人数=总差额三两次分配的差理解：比如说老师给小朋友发糖果吃，每个人发5颗，则还剩下10颗，如果每个人发7颗，就还差了10颗。
请问有多少小朋友呢？其中一次发5颗，一次发7颗，两次分配的差是7-5=2，总差额：一次余下10颗，一次还差10颗，两次对比，我们可以得到第二次比第一次多发了20颗糖。
（这样理解：第一种情况下还余下10颗，而第二种情况下不仅会把剩下的10颗发完，而且还不够，还需要去购买10颗回来才能保证每个人发7颗，所以第二种情况比第一种情况多需要发20颗糖）那为什么要多发20颗呢？因为每个小朋友都多发了2颗，所有就多要了20颗糖，可见有2 0^2=10个小朋友。
知道了小朋友有多少，我们就可以按照第一种来算糖果的颗数，也可以按照第二种来算。
三、解题关键：1、求出总差额：即两次分配每次所分配物品的总数量差额；（第二次比第一次多需要多少或者是少需要多少）2、求出两次分配的数量差额，即分配者每份所得物品数量的差；（第一次和第二次每一份所分到的数量）3、用基本关系式求出分配者人数，进而求出物品的数量。
典型例题：1、幼儿园的小朋友分饼干，如果每个人分6块饼干，那么还多出12块，如果每个人分8块饼干，那还差24块。
奥数盈亏问题公式
盈亏问题知识（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数（人总数或房间总数等）例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：有多少个小朋友分多少粒糖？分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），4×15＋9＝69（粒）。
假设法：设有X个小朋友5X-6 = 4X+95X-4X-6=4X-4X-+9X-6=9X+6-6=9+6X=15 4×15＋9＝69（粒）或5×15-6=69（粒）盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数）15个小朋友，分69粒糖。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷两次分配量之差=参加分配的份数（人总数或房间总数等）例3，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。
问：有士兵多少人？有子弹多少发？”解（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人）45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略）（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷两次分配量之差=参加分配的份数（人总数或房间总数等）例4 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。
四年级奥数第39讲-盈亏问题
第三十九周盈亏问题专题简析：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。
所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
练习一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。
问宿舍多少间？学生多少人？3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问：这个班共有多少学生？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题。
由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差45－7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。
所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。
练习二1，将月季花插入一些花瓶中。
盈亏问题(奥数)
盈亏问题知识札记：1. 盈亏问题又称为“盈不足问题”，是把一定数量的物品分给若干对象，在两次分配方案中，一次分配有余，即盈；一次分配中不足，即亏；求被分配的物品和分配对象的数量关系的问题。
2. 盈亏问题的机构特点：①已知两种分配方案；②按一种分配方案进行分配，分配后有余，而按另一种分配方案进行分配，分配后有不足；③求参加分配的数量及被分配的总量。
3. 解题方法：抓住不变量，比较两种方案的差别。
具体来说：①根据方案求出参与分配者每次分得物品数量之差（每人差额）；②根据结果求出两次分配的物品剩余（盈或亏不足）之差（总差额）；③总差额÷每人差额=人数典型例题：1.把一包糖分给小朋友，如果每人分5块，则余7块，如果每人分7块，则少9块，那么小朋友有多少个？这包糖有多少块？分析：这是一道典型的“一盈一亏”题，糖果的总数与小朋友的个数没有发生变化。
两种分配的方案结果相差了______块，第二种分配方案比第一种分配方案每人多分_____块。
那么需要分的人数为_____人，糖果总数为_____块。
列式：练一练①一个学习小组分发作业本，每人分3本还缺2本，每人分2本又多出4本。
这个小组共有几人？一共要分多少本作业本？②某小学买了一批跳绳准备分给各班。
如果每班分4根多10根，每班分5根还多4根，这个学校有多少个班？买了多少根跳绳？③学校买来若干盆花，若每班放6盆，就多出9盆；若每班放8盆，就少15盆，学校买来多少盆花？④王老师从家到单位，如果用每分钟60米的速度行走，就要迟到8分钟，如果改用每分钟80米的速度行走，就可早到3分钟，王老师家离单位多远？⑤小刘装订一批书，如果每小时装订60本，就可以提前2小时未完成；如果每小时装订50本，就比原计划晚3小时完成。
这批书有多少本？2.丁丁把自己的故事书借给同学们。
若每人借5本，则差17本；若每人借3本，则差3本。
问：丁丁的同学有几人？他一共有多少本故事书？分析：这是一道“两亏”问题。
小学奥数趣味学习《盈亏问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《盈亏问题》典型例题及解答根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。
数量关系：一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差解题思路和方法：大多数情况可以直接利用数量关系的公式。
例题1：小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？解：1、分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”转化为比计划路程少行50×3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行70×5=350（米），这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。
2、根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）÷（70-50）=25（分钟）。
3、所以小明家到学校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。
例题2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；若每人擦6块，正好擦完。
擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？解：1、由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。
“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。
2、这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60块。
例题3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。
如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。
一共有多少只猴子？解：1、分析题意，题中有两种分配方式，联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少2×10=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）×2+3=5（个）。
奥数典型问题解析：盈亏问题
奥数典型问题解析：盈亏问题奥数典型问题解析:盈亏问题一、盈亏问题解析解答盈亏问题的关键在于找出两次分配中，由于每次分配的数量的改变和剩余数变化的情况之间的'关系，然后运用盈亏问题的基本数量关系求出答案。
盈亏问题解析的主要思路如下：盈亏问题的基本数量关系有：(盈+亏)÷两次分配的差数(大盈-小盈)÷两次分配的差数例1：若干名同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上有4个空位。
问有多少名同学?多少条船?分析：两种乘船情况，在面对同样多人数的时候，出现了多5人，少4人两种情形，差了5+4=9人。
由于一条船4人，另一种情况一条船5人，相对应的两条船差5-4=1人。
几条船最终相差9人，为什么呢?9÷1=9条船，共有4×9+5=41名同学。
例2：若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若一条船上做6人，其余每船5人则船上有3个空位。
问有多少名同学?多少条船?分析：将第二个情况转化为每船5人则船上有2个空位，两种乘船情况，在面对同样多人数的时候，出现了多5人，少2人两种情形，差了5+2=7人。
由于一条船4人，另一种情况一条船5人，相对应的两条船差5-4=1人。
几条船最终相差7人，为什么呢?7÷1=7条船，共有4×7+5=33名同学。
例3：有一堆螺丝和螺母，若1个螺丝配2个螺母，则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母，则少6螺母。
问：螺丝、螺母各有多少个?分析：由“1个螺丝配2个螺母，则多10个螺母”或知螺母是螺丝的2倍多10个;由“1个螺丝配3个螺母，则少6螺母”，可知螺母是螺丝的3倍少6个。
螺丝有：(10+6)÷(3-2)=16个螺母有：16×2+10=42个A,B两车同时从甲、乙两站相对开出，第一次距乙站78.4千米处相遇，相遇后两车仍以原速度继续行驶，并在到达对方车站后，立即沿原路返回，途中两车在距甲站53.2千米相遇，这次相遇点相距多少千米?分析：两车同时从两地相向而行，第一次相遇两车共行了一个全程，在距乙站78.4千米处相遇，也就是B车行了78.4千米，说明每行一个全程B车就行78.4千米，第二次相遇两车共行了三个全程，B 车共行了(78.4*3)千米，减去53.2千就是全程的距离。
小学奥数盈亏问题解析
盈亏问题（1）1、饲养员将一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子。
求有多少只猴子？多少个桃子？普通学生思路：解法一：这是一道“两亏”题，数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数，其中两次亏数的差是24-2=22（个），两次分得的差是10-8=2（个），所以参与分配对象总数，即猴子只数是：22÷2=11（只）。
再根据条件“每只猴子分10个桃子，则缺24个桃子”即可求出桃子个数：11×10-24=86（个）。
解法二：解：设有x只猴子，则桃子总数是(10x-24)个或（8x-2）个。
因为桃子总数不变，所以列出方程：10x-24=8x-2,求解即可知道猴子只数，然后再代入10x-24或8x-2求值，即可知道桃子个数。
后进生策略：无解！答案：解法一：（24-2）÷（10-8）=22÷2=11（只）11×10-24=86（个）解法二：解：设有x只猴子。
10x-24=8x-210x=8x-2+2410x=8x+24-210x-8x=222x=22x=1110x-24=10×11-24=86（个）【或8x-2=8×11-2=86（个）】答：有11只猴子，86个桃子。
2、老师给学生发奖品，如果每人7支铅笔少13支；每人6 支铅笔少5支。
问学生有几人？铅笔有多少支？普通学生思路：方法一（算术法）：这是一题盈亏问题中的“两亏”问题，其数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数。
本题中，两次亏数的差是13-5=8（支）；两次分得的差是7-6=1（支），所以参与分配对象总数是8÷1=8（人），则铅笔一共有7×8-13=43（支）或6×8-5=43（支）。
方法二（方程法）：解：设学生有x人。
则根据铅笔总支数不变，列出方程为：7x-13=6x-5，求出x 的值即知学生人数，然后再根据“每人7支铅笔少13支”求出铅笔支数。
小学奥数盈亏问题带详细答案
小学奥数盈亏问题1.普通盈亏问题（★★★）（1）知识点速记：盈亏问题特征：把一定数量的物品平均分给一定数量的人或者事物，由于物品和人数都未定。
已知在两次分配中一次是盈（有余），一次是亏（不足）；或者两次都是有余或者不足，求总人数和物品数。
解题有以下公式：(盈+亏)÷每人两次所得差=人数；两盈相减÷每人两次所得差=人数；两亏相减÷每人两次所得差=人数；每人所得数×人数+盈=物数；每人所得数×人数－亏=物数。
（2）例一：一批苹果，如果15个装一筐，则多出20个，如果20个装一筐，则少15个，求一共有多少筐，一共有多少个苹果？（盈亏）例二：五年级出去旅游，如果50个人坐一车，则多出30人没有位置，如果55人坐一车，则多出10人没有位置。
求一共有多少辆车，一共有多少人？（3）课堂练习：①五一班发练习本，如果每人发8本，则多出15本，如果每人发9本，则少8本，求五一班一共有多少学生，练习本一共有多少本？②旅行团住宿，如果4个人住一个房间，则有8人没有床位，如果5人住一个房间，则有2人没有床位。
求有多少房间，多少人？③水果店进来一批水果，如果每箱放10千克，则缺少2千克装满，如果每箱放12千克，则缺少8千克装满。
求有几个箱子，多少千克水果？2.盈亏问题转化（★★★★）（1）知识点速记：盈亏问题应用题若有部分条件改变，没有出现标准的盈亏形式，此时可以将其转化成标准盈亏问题，然后再使用盈亏问题公式求解。
熟悉方程的同学也可以使用方程求解。
（2）例三：.学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？新生有多少人？例四：国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4盆，其余的人各摆6盆，这些花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？（3）课堂练习：①妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?②小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？③小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。
小学奥数：盈亏问题
从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈”与 “亏”两种情况，求出两种情况下总数之间 的差，像上题是一盈一亏，差＝盈＋亏；再 找出出现这个差的原因是每份数不同，求出
两个每份数之间的差；最后根据“总数差÷ 每份差=份数”对应求出份数以及总数。
解决方法 : 在一盈一亏的盈亏问题中： （盈数+亏数）÷两次分配标准的差=分的份数
例2：幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友 吃，每人分2个则多3个，每人分3个则差4个， 问小朋友有几人？桔子有多少个？
分析解答： 小朋友：（3＋4）÷（3－2）＝7（人）
桔子：7×2＋3＝17（个） 或者：7×3－4＝17（个）
盈亏问题训练题： 1、学校有一批图书，分给几个班级，如果每班分10
本，则余48本；如果每班分13本，则差24本。这批 图书有多少本？有几个班级？
学生：4×9＋5＝41（个） 或者：5×9－4＝41（个）
盈亏问题训练题：
3、学校有若干间宿舍，每间住6人，则空余1间； 每间住5人，刚正好住完. 问学校有几间宿舍，住 了多少人？
分析解答： 宿舍：6÷（6－5）＝6（间）
人数：（6－1）×6＝30（人） 或者：5×6＝30（人）
盈亏问题训练题 4、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人， 则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出 一辆车。问一共有几辆车，多少个学生？
分析解答： 车：（15＋60＋5）÷5＝16（辆）
学生：60×16＋15＝975（人） 或者：65×（16－1）＝975（人）
盈亏问题
（二） 两 盈 或 两 亏
例1、老师将一批铅笔奖给三好学生，每人4支多10支，
每人6支多2支，问三好学生有多少人？铅笔有多少
支？
这是两次分配以后都有剩余的问
小学四年级奥数讲解：盈亏问题
小学四年级奥数讲解：盈亏问题专题简析：在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品分给一定数量的人，每人多一些，物品就不够；每人少一些，物品就有余。
盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总数和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数（大盈－小盈）÷两次分配差=份数（大亏－小亏）÷两次分配差=份数（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量每次分得的数量×份数－亏=总数量例1：一个植树小组植树。
如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。
这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？由题意可知，植树的人数和树的棵数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵。
这是因为两种分配方案每人植树的棵数相差7－5=2棵。
所以植树小组有18÷2=9人，一共有5×9＋14=59棵树。
练习一1，幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。
幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？2，某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。
问宿舍多少间？学生多少人？3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。
问：这个班共有多少学生？例2：学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？分析与解答：这是两亏的问题。
由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。
比较两种分配方案，结果相差45－7=38支。
这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2支。
所以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。
练习二1，将月季花插入一些花瓶中。
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盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”,分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈),如果每人多分，则物品就不足(也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”.可以得出盈亏问题的基本关系式:（盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数（盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数（亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况,都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意1.条件转换２.关系互换板块一、直接计算型盈亏问题【例 1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩７块;如果每人搬5块,则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块?【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系:每人搬4块,还剩7块砖;每人搬5块,就少2块．这两次搬砖，每人相差541+= -=(块）．第一种余7块，第二种少2块,那么第二次与第一次总共相差砖数:729（块)，每人相差１块，结果总数就相差9块,所以有少先队员919÷=（人).共有砖：49743⨯+=(块）.【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕,如果每人出8元，就多出了８元;每人出7元，就多出了４元.那么有多少个同学去买蛋糕?这个蛋糕的价钱是多少？【解析】“多8元”与“多4元”两者相差844÷=-=(元),每个人要多出871-=（元),因此就知道,共有414（人），蛋糕价钱是84824⨯-=（元）.【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分1０个桃，就多出9个桃，每只小猴分１1个桃则多出2个桃,那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子,第二种方案盈2个,所以盈亏总和是927-=(个)，两次分配之差是11101-=(个）,由盈亏问题公式得，有小猴子:717⨯+=（个)桃子．÷=(只)，老猴子有710979【巩固】有一批练习本发给学生,如果每人5本,则多70本，如果每人７本,则多１０本，那么这个班有多少学生,多少练习本呢?【解析】由题意知：第一种方案:每人发５本多出70本;第二种方案:每人发7本多出1０本;两种方案分配结果相差：701060-=（本）,相差６0本-=(本)，这是因为两次分配中每人所发的本数相差:752的学生有：60230⨯+=).÷=(人）．练习本有:30570220⨯+=(本）（或30710220【例 2】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛)猴王带领一群猴子去摘桃.下午收工后,猴王开始分配．若大猴分5个,小猴分3个,猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.在这群猴子中,大猴（不包括猴王）比小猴多只．【详解】当大猴分5个，小猴分3个时，猴王可留10个.若大、小猴都分4个，猴王能留下20个.也就是说在大猴分5个,小猴分3个后,每只大猴都拿出1个,分给每只小猴1个后，还剩下201010-=个,所以大猴比小猴多10只.【巩固】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本,还差2本,请问有多少老师？多少本书?【解析】“差9本”和“差２本”两者相差927-=(本）,因此就知道,共有-=（本)，每个人要多发1091老师717⨯-=（本).÷=（人），书有710961【巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢?【解析】由题意知：两次的分配结果相差：241212-=(块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：⨯-=)．⨯-=(块)（或942412 963÷=（人）,糖果数是：641212-=(块）,多少人相差12块呢？1234【巩固】王老师去琴行买儿童小提琴,若买７把,则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多３0元，问儿童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱?【解析】本题购物的两个方案，第一个方案：买７把差110元,第二个方案：买５把还多３0元,从买7把变成买５把,少买了752+=(元）,即14０元可以买2把小提琴，-=(把），而钱的差额为:11030140可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380⨯-=(元)．【巩固】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔1０0元.运完这批花瓶后,工人共得4４00元，则损坏了多少个?【解析】本题中“损坏一个倒赔１00元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏１个花瓶相差+=(元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250 10020120个花瓶都完好，这样可得运费202505000-=（元)．⨯=（元）.这样比实际多得50004400600就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶.根据以上分析,可得损坏了202504400100205⨯-÷+=（）（）(个).【例 3】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位;如果每间住7人，则多出4个床位,问宿舍几间?住宿生几人？【解析】由已知条件每间５人少1４个床位每间７人多4个床位比较两次分配的方案,可以看出,由于第二种方案比第一种每间多住(75)2-=人,一共要多出(144)18+=个床位,根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数.解:(414)(75)=9+÷-(间)⨯-=(人)⨯+=(人),或79459591459【巩固】学校有３0间宿舍,大宿舍每间住6人，小宿舍每间住４人.已知这些宿舍中共住了16８人，那么其中有多少间大宿舍?【解析】如果30间都是小宿舍,那么只能住430120⨯=(人)，而实际上住了１68人．大宿舍比小宿舍每间多住642（）(间).(这是一个鸡兔同笼,放在这里做对比）-÷=-=（人）,所以大宿舍有168120224【巩固】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分５粒则少6粒，问:有多少位同学分多少粒糖果？【解析】 由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变,比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分５粒则少6粒,两种不同方案一多一少差9+6=15(粒）,相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为:５-4＝1(粒),每人相差一粒，1５人相差15粒,所以参与分糖果的同学的人数是15÷１=１5（位)，糖果的粒数为:4×15＋9=69(粒)．【巩固】 秋天到了,小白兔收获了一筐萝卜,它按照计划吃的天数算了一下,如果每天吃４个，要多出４8个萝卜;如果每天吃6个,则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个?计划吃多少天?【解析】 题中告诉我们每天吃4个，多出4８个萝卜；每天吃6个，少８个萝卜.观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出,由每天吃4个变为每天吃6个,也就是每天多吃2个时,萝卜从多出4８个到少8个,也就是所需的萝卜总数要相差4８+8＝56(个)．从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个２,就是所求的计划吃的天数;有了计划吃的天数,就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：（４8＋８）÷(6－4)＝56÷２=28(天)，萝卜数:6×28－８＝160（个）或 4×28+48＝160(个）.板块二、条件关系转换型盈亏问题【例 4】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼,就多出8条鱼，每只小猫分１1条鱼则正好分完,那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是8条,两次分配之差是11101-=（条），由盈亏问题公式得，有小猫:818÷=(只）,猫妈妈有810888⨯+=（条)鱼．【巩固】 学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具,如果每人分4个就少9个，如果每人分3个正好分完,问：有多少位同学分多少个小玩具？【解析】 第一种分配方案亏９个小玩具,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：431-=（个)，由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有:919÷=(人）,有小玩具9327⨯=(个)．【巩固】 学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分４个,就差６6个,如果每班分2个,则正好分完,学而思小学一共有多少个班?买来多少个足球?【解析】 第一种分配方案亏66个球,第二种方案不盈不亏,所以盈亏总和是66个,两次分配之差是422-=(个)，由盈亏问题公式得，朝阳小学有:66233÷=（个）班，买来足球33266⨯=（个）.【巩固】一位老师给学生分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒正好分完，问：有多少位学生？共多少粒糖果?【解析】第一种分配方案盈９粒糖,第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9粒，两次分配之差是⨯=(粒）．÷=(人）,有糖果9545 541-=(粒),由盈亏问题公式得，参与分糖的同学有:919【巩固】实验小学学生乘车去春游,如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐５人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车,多少个学生?【解析】没辆车坐6０人,则多余１5人，每辆车坐６0+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为:(65+15）÷5=８0÷5=16(辆).学生人数为:６0×(16-1）+1５=60×15+１5=９0０＋15=9１５（人）.【例 5】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸,甲每封信用２张信纸，乙每封信用3 张信纸，一段时间后,甲用完了所有的信封还剩下２０张信纸,乙用完所有信纸还剩下10 个信封,则他们每人各买了多少张信纸?【解析】由题意,如果乙用完所有的信封，那么缺3０张信纸.这是盈亏问题，盈亏总额为(2０+30）张信纸，两次分配的差为(3－2）张信纸,所以有信封(20＋30)÷（３-2)＝50(个),有信纸2×50+２0=12０(张）．【例 6】幼儿园将一筐苹果分给小朋友,如果全部分给大班的小朋友，每人分5个,则余下1０个。
如全部分给小班的小朋友,每人分到8个,则缺2个。
已知大班比小班多３人，问:这筐苹果共有多少个?【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。
大班减少3人,则苹果又收回3515⨯=个苹果,人数一样,根据盈亏问题公式,小班人数为：(15102)(85)9⨯-=个。