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解析答案
跟踪训练 3 命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋－a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而 使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件 的判定上.
解析答案
2.分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关 键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这 章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行 分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减； q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q 为假，求a的取值范围.
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方法总结
思想构建
1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
满足xx22－ ＋2x－x－68≤>00，. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3. 由xx22＋－2x－x－68≤>00，， 解得x－<2－≤4x或≤x3>，2. 即2<x≤3. 所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 若 p∧q 为真，则12<<xx<≤33， ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3).
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方 式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式 再判断.
例4 设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件是__0_<_m_<_1__. 解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得20m<m＋<11>，1， 故 0<m<1 即 为 f(x) 在 区 间 (m,2m ＋ 1)(m>0) 上 不是单调函数的充要条件. 故填0<m<1.
第一章 常用逻辑用语
章末复习提升
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知识网络 要点归纳 方法总结
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要点归纳
主干梳理
1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是 “不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可 兼”的“或”. 3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为 否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是” 来表示.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
解析答案
跟踪训练2 命题p：∀x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p∨q为真， p∧q为假，求实数a的取值范围. 解 若p为真命题，则a<1； 若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2. 由已知条件知：p与q一真一假， 当 p 为真，q 为假时有：－a<21≤，a≤2， 所以－2≤a<1， 当 q 为真，p 为假时有：aa≥ >21或，a<－2， 所以 a>2， 综上所述，－2≤a<1或a>2.
解 该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，
故原命题为假.
解析答案
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)； 解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， 圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r， 即 r＝ a|2c＋| b2，所以 c2＝(a2＋b2)r2； 反过来，若c2＝(a2＋b2)r2， 则 a|2c＋| b2＝r 成立，说明圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，
故p是q的充要条件.
解析答案
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1. 解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. ∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
解析答案
例 2 设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
Baidu Nhomakorabea
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
跟踪训练 3 命题 p：函数 f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为 R；命题 q：函 数 g(x)＝xx＋－a2在(2，＋∞)上是增函数.如果 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题， 求实数 a 的取值范围.
解析答案
3.数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观 的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过 对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而 使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件 的判定上.
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2.分类讨论思想 分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关 键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这 章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行 分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.
例3 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减； q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q 为假，求a的取值范围.
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1.转化与化归思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法 称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家 熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的 转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化， 抽象问题具体化.
满足xx22－ ＋2x－x－68≤>00，. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
解 由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3. 由xx22＋－2x－x－68≤>00，， 解得x－<2－≤4x或≤x3>，2. 即2<x≤3. 所以q为真时，实数x的取值范围是2<x≤3. 若 p∧q 为真，则12<<xx<≤33， ⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3).
5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看 由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证， 证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混. 6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为 “若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条 件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方 式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式 再判断.
例4 设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的 充要条件是__0_<_m_<_1__. 解析 作出函数 f(x)＝|log2x|的图象如图所示，可得20m<m＋<11>，1， 故 0<m<1 即 为 f(x) 在 区 间 (m,2m ＋ 1)(m>0) 上 不是单调函数的充要条件. 故填0<m<1.
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1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换. 2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是 “不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可 兼”的“或”. 3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分. 4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为 否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是” 来表示.
解析答案
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 解 綈p是綈q的充分不必要条件， 即綈p⇒綈q且綈q⇏綈p. 设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}， 则A B. 所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2. 所以实数a的取值范围是(1,2].
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跟踪训练2 命题p：∀x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p∨q为真， p∧q为假，求实数a的取值范围. 解 若p为真命题，则a<1； 若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2. 由已知条件知：p与q一真一假， 当 p 为真，q 为假时有：－a<21≤，a≤2， 所以－2≤a<1， 当 q 为真，p 为假时有：aa≥ >21或，a<－2， 所以 a>2， 综上所述，－2≤a<1或a>2.
解 该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，
故原命题为假.
解析答案
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)； 解 若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切， 圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r， 即 r＝ a|2c＋| b2，所以 c2＝(a2＋b2)r2； 反过来，若c2＝(a2＋b2)r2， 则 a|2c＋| b2＝r 成立，说明圆 x2＋y2＝r2 与直线 ax＋by＋c＝0 相切，
故p是q的充要条件.
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(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1. 解 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2. ∵綈q⇒綈p，而綈p⇏綈q， ∴綈q是綈p的充分不必要条件， 从而，p是q的充分不必要条件.
解析答案
例 2 设命题 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，其中 a>0，命题 q：实数 x
例1 判断下列命题的真假.
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
解 该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，
它为真命题，故原命题为真.
(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；
解 该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，
Baidu Nhomakorabea
故原命题为假.
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.