2017-2018学年河北省衡水中学高三(上)第二次调研数学试卷(理科)
河北省衡水中学2017届高三上学期小二调考试数学(理)试题 Word版含答案
小于 以4代 毫克时,治疗有效.设某人 午 8:代代 第一次服药,为保证疗效,则第二次 ) 件. 午 4:代代 价. 午 6:代代
服药最迟的时间 为( A. 午 令代:代代 B.中午 令以:代代 4 A.
有关命题的说法错误的是 x=令 是 x以-3x+以=代 的充 必要条
B.命题 若 x以-3x+以=代,则 x=令 的逆否命题为 若 x≠令,则 x以-3x+以≠代 件.对于命题 p: ∃x > 0 ,使得 x以+x+令俯代,则 ¬p : ∀x ≤ 0 ,均有 x以+x+令 代 价.若 p ∨ q 为假命题,则 p q 均为假命题 5 如图是函数 y = cos(2 x −
g ( x ) = mx + n .
令 设 h( x) = f ( x) − g ( x) . 若函数 h( x) 在 x = 0 处的 线过点 (1, 0) 当n = 0时 若函数 h( x) 在 ( −1, +∞ ) 求 m + n 的值
没有零点 求 m 的取值范围 求证 当 x ≥ 0 时
以 设函数 r ( x ) =
9 2
B． 9 + 3 5
Hale Waihona Puke 第 6 题框图 8 已知函数 y = f ( x ) 是定义在
第 7 题 视图
的奇函数,且当 x ∈ (−∞,0) 时, f ( x ) + xf ′( x) < 0
( 其 中 f ′( x ) 是 f ( x ) 的 导 函 数 ),
a = (30.3 ) • f (30.3 ) , b = (log π 3) • f (og π 3)
4a + 1 x2 − (1 + 2a) x + ln(2 x + 1) . 2 2
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学(理)试题
绝密★启用前【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知为虚数单位，为复数的共轭复数，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．3、设正项等比数列的前项和为，且，若，，则（ ）A ．63或120B ．256C ．120D ．634、的展开式中的系数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．125、已知中，，则为（ ）A ．等腰三角形B ．的三角形C ．等腰三角形或的三角形 D ．等腰直角三角形6、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知函数（为常数，）的图像关于直线对称，则函数的图像（ ）A ．关于直线对称B ．关于点对称C ．关于点 对称D ．关于直线对称9、设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．10、已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，则在上的零点个数为（ ）A ．5B ．3C ．1或3D ．112、已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知，则__________．14、已知锐角的外接圆的半径为1，，则的取值范围为__________．15、数列满足，则数列的前100项和为__________．16、函数图象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，则；④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是．其中真命题的序号为__________．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题（题型注释）17、如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．（1）求的长；（2）若，求的值．18、如图所示，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），点坐标为，平行四边形的面积为．（1）求的最大值；（2）若，求的值．19、已知数列满足对任意的都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．20、已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．21、已知函数（其中，为自然对数的底数，…）．（1）若函数仅有一个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，函数有两个零点，，且．22、选修4-4：坐标系与参数方程将圆（为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）设，是曲线上的任意两点，且，求的值．23、选修4-5：不等式选讲 已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求的取值范围．参考答案1、B2、D3、C4、C5、C6、B7、B8、A9、D10、C11、D12、A13、14、15、510016、②③17、（1）（2）18、（1）（2）19、（1）（2）20、（1）见解析（2）221、（1）（2）见解析22、（1）（2）23、（1）（2）【解析】1、由题意得，，所以，因此。
河北省衡水中学2017届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含答案)
2016～2017学年度下学期高三年级二模考试数学（理）试卷（答案）I 卷一、选择题（本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分.）A 卷：DBBABBAACB DB B 卷：BCCDA CBDDD AB二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13.10082016C 14.)3,3(15.416.3510三、解答题:本大题共6题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）由sin 3cos cos C A B =-可得sin()3cos cos A B A B +=-，即sin cos cos sin 3cos cos A B A B A B +=-，因为tan tan 1A B =-，所以A,B 2π≠，两边同时除以cos cos A B ，得到tan tan 3A B +=-，因为tan()tan()tan ,A B C C π+=-=-tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan C =，又0C π<<，所以3C π=。
根据正弦定理得sin sin sin 3a b c A B C ===，故,a A b B ==，sin sin sin sin 2220A B A B a b A B ++==+。
6分（2）由（1）及余弦定理可得222cos 32a b c abπ++=，因为c =，所以2210a b ab +-=，即2()210a b ab ab +--=，又由111a b+=，可得a b ab +=，故2()3100ab ab --=解得52()ab ab ==-或舍去，此时5a b ab +==，所以ABC ∆得周长为5+，ABC ∆的面积为15sin 234π⨯⨯=。
12分18.解：（1）由题意21x x <2221S S >。
2分（2）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个：深圳，惠州，信阳，烟台。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 【答案】D 【解析】试题分析：设,z a bi z a bi =+=-，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．2.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b aa-⋅--===. 考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长 安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先 至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日【答案】D 【解析】试题分析：设n 日相逢，()()111103139711252222n n n n n n --⎛⎫+⋅++⋅-=⋅ ⎪⎝⎭，解得9n =. 考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和． 4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．3 【答案】B 【解析】5.动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：依题意2x yλ-=，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()3,1取得最大值为2.考点：向量，线性规划．6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ． 105+B ． 102+C ．6226++D ．626++ 【答案】CABCED考点：三视图．7.已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的 图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到 【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换． 8.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得()()sin 3cos sin cos A B A A B +=+，化简得cos sin 03A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以是cos 0,2A A π==直角三角形或者0,,233B B B AC ππ-===+.考点：解三角形．9.已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭， 且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C 【解析】试题分析：12n n n a a a +=+取倒数，得11111121,121n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅++=⋅+ ⎪⎝⎭，故112n n a +=，故()122n n b n λ+=-⋅，()22212,3b λλλ=->-<.考点：数列与不等式．10.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B 【解析】考点：向量运算． 11.已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示， 若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？ 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()'111111310,,,3111fa a g x g n x x n n n n -=-=====-+++，程序框图的作用是求其前n 项和，由于201512014120152015S =-=，故再循环一次就满足20142015S >，故填2015n ≤. 考点：算法与程序框图．【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =⋅，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．【答案】5050 【解析】试题分析：令1m n ==，211113a a a =++⋅=，令2,1m n ==，321125a a a =++⋅=，故991991981199298991001299121005050a a a a a a +=++=+++==++++=+++=.考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理．14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的 值为 ． 【答案】14- 【解析】DEFCAB考点：向量运算．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】52【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=.EOABCC'F考点：解三角形．16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 【答案】20,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：定义域为{}0x ≠，令()23ln 2f x x ax =-+，这是一个偶函数，我们只需研究0x >上的零点即可，此时()()22'3112ln ,22ax f x x ax f x ax x x-=-+=-=，当0a ≤时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当0a >时，函数在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，要有两个零点，只需11131ln ln 1022222f a a a a a ⎛⎫=-⋅+=+< ⎪ ⎪⎝⎭，解得20,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.考点：函数图象与性质，零点问题．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到a 的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）6A π=；（2）32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得()3sin 2sin cos ,3sin 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是3co s 2A =,又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5533sin coscos sin sin 1sin cos 13sin 166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此323sin 1,3162B π⎛⎤+⎛⎫--∈-- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 考点：解三角形．18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32n mT m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.【答案】（1）证明见解析，243,2n n a n S n n =-=-；（2）10n =；（3）7.【解析】试题解析：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.故数列{}n a 是以1为首项, 以4公差的等差数列.()()()()1211443,22n n nn a a a n n n NSn n n N **+∴=+-⨯=-∈==-∈. （2）由（1）知()21nS n n N n*=-∈, ()()2321121...2135 (21222232)n nn n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由 221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）故符合条件m 的最大值为7.考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.【答案】（1）10-；（2）①()2211x y -+=；②()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-，由齐次方程可计算的结果为10-；（2）①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y=-⎧⎛⎫∴⎨⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=；②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由①知111x m y n =-⎧⎨=⎩，cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入正弦的单调区间，求得增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换． 20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值 点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值. 【答案】（1）2a ≥-；（2）3ln 24-. 【解析】试题分析：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,分离参数得21x a x--≥，求右边函数的最大值为2-，故2a ≥-；（2）()21ln 2h x x x mx =++，求导得()211'x mx h x x m x x ++=++=，写出根与系数关系1212,,1x x m x x +=-=.化简()()121122121ln 2x x x h x h x x x x ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭，令12x t x =换元后，利用导数可求得其最小值为3ln 24-. 试题解析：()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭. 令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥, 2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减, ()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.考点：函数导数与不等式．21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数 列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. （1）①求证：数列{}2n a 为等差数列；②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 【答案】（1）①证明见解析；②当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=，化简得222222n n n a a a -+=+，所以数列{}2n a 为等差数列；②由①得{}2n a 首项为2公差为1，所以21n a n =+，即()221n a n =+，结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=；（2）()()()2131120444n n n +++-=>，另外，()()()22312044n n n ++-+>，故()()234nn n a ++<，所以()()14112323n a n n n n >=-++++，利用裂项求和法求得()433n nS n >+.试题解析：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N*=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n aa a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,.n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222222222n n n n n a a a a a -+=+, 化简得222222n n n a a a -+=+ , 所以数列{}2n a 为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列{}2n a 的首项为22a =,公差为4221,1n d a a a n =-=∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭,则有123111111111111...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：数列与不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E.（1）证明:CD CE =； （2）求ADBD的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.试题解析：（1）由题可,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠, 故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得3CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则33BD CD AD AC ==,故3ADBD=. 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应 的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程； （2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.【答案】（1）221164x y +=，()2211x y -+=；（2）516. 【解析】试题解析：（1）将()2,3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin 3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩,所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：极坐标与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≠±. 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，按2,1,2--三个零点分段去掉绝对值，可求得()f x 最小值为5，得证；（2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()()222222999112115111a a aa a a +=++-≥+⨯-=+++,“=” 成立,()22911a a ⇔+=+, 即2,a =±∴当2a =±时,2291a a ++ 取得最小值5,当2a ≠±时,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以2a ≠±,a ∴的取值范围2a ≠±. 考点：不等式选讲．。
河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学(理)试题Word版含答案
2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|x x A ，1|ln()02B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()R A B = ð（ ） A ．∅B ．1(1,]2-C ．1[,1)2D ．(1,1]-2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S =（ ） A ．63或120 B ．256C ．120D ．634.42()(1x x+的展开式中x 的系数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．125.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，15a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C．2D ．927.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83B ．163C ．323D ．168.已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像（ ） A ．关于直线3x π=对称B ．关于点2(,0)3π对称 C ．关于点(,0)3π对称 D ．关于直线6x π=对称9.设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ） A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞10.已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ11.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x <时，()f x 满足2()'()()f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A ．5B ．3C ．1或3D ．112.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1211sin()2sin()0510πθπθ++-=，则2tan()5πθ+= ． 14.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则B A B C ⋅ 的取值范围为 ．15.数列{}n a 满足1(2|sin |1)22n n n a a n π+=-+，则数列{}n a 的前100项和为 ． 16.函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞． 其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18.如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA OP S ⋅+的最大值；（2）若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．19.已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈都有0n a >，且33321212()n n a a a a a a +++=+++……．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，不等式1log (1)3n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 20.已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值． 21.已知函数2()(1)(1)x f x axe a x =--+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.718281e =…）．（1）若函数()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围； （2）证明：当102a <<时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且1232x x -<+<-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的任意两点，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求a 的取值范围．2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案 一、选择题1-5:BDCCC 6-10:BBADC 11、12：DA二、填空题13.2 14.3(3,2+ 15.5100 16.②③ 三、解答题17.解：（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，所以5sin 2CDE ∠=， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而452<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos()cos cossin sin333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠314525=-⨯+=．18.解：（1）由已知得A ，B ，P 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(cos ,sin )θθ，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ OA OP =+(1,0)(cos ,sin )(1cos ,sin )θθθθ=+=+， 所以1cos OA OQ θ⋅=+，又因为平行四边形OAQP 的面积为||||sin sin S OA OP θθ=⋅=，所以1cos sin )14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++ ．又因为0θπ<<，所以当4πθ=时，OA OQ S ⋅+1．（2）由题意知，(2,1)CB = ，(cos ,sin )OP θθ=，因为//CB OP ，所以1tan 2θ=， 因为0θπ<<，所以02πθ<<．由cos 2sin θθ=，22cos sin 1θθ+=，得sin 5θ=，cos 5θ=所以4sin 22sin cos 5θθθ==，223cos 2cos sin 5θθθ=-=，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666πππθθθ-=-4313525210=⨯-⨯=． 19.解：（1）由于33321212()n n a a a a a a +++=+++……，① 则有33332121121()n n n n a a a a a a a a ++++++=++++……，② ②—①，得322112112()()n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++……， 由于0n a >，所以211212()n n n a a a a a ++=++++…，③ 同样有21212()(2)n n n a a a a a n -=++++≥…，④ ③—④，得2211n n n n a a a a ++-=+，所以11n n a a +-=（2n ≥）．由3211a a =，3321212()a a a a +=+，得11a =，22a =． 由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =． （2）由（1）知n a n =， 则211(2)n n a a n n +=+111()22n n =-+， 所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++… 11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-++-+--++… 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++． 因为110(1)(3)n n S S n n +-=>++，所以数列{}n S 单调递增，所以min 11()3n S S ==． 要使不等式1log (1)3n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-． 因为10a ->，所以01a <<，所以1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是1(0,)2．20.解：（1）211'()ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在区间(0,)+∞内单调递增；当0a >时，令'()0f x =，则x =或，当0x <<时，'()0f x >，()f x 为增函数，当x >'()0f x <，()f x 为减函数． 所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x的单调递增区间为，单调递减区间为)+∞． （2）由21ln (1)12x ax a x -≤--，得22(ln 1)(2)x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于22(ln 1)2x x a x x++≥+在区间(0,)+∞内恒成立． 令22(ln 1)()2x x g x x x ++=+，则222(1)(2ln )'()(2)x x x g x x x -++=+， 令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间(0,)+∞内单调递增，由(1)10h =>，11()2ln 2022h =-+<，所以存在唯一01(,1)2x ∈，使0()0h x =，即002ln 0x x +=，所以当00x x <<时，'()0g x >，()g x 为增函数， 当0x x >时，'()0g x <，()g x 为减函数， 所以0x x =时，00max 2002(ln 1)()2x x g x x x ++=+0002(2)x x x +=+01x =，所以01a x ≥， 又01(,1)2x ∈，则1(1,2)x ∈, 因为a Z ∈，所以2a ≥， 故整数a 的最小值为2．21.解：（1）'()2(1)(1)(1)(22)x x xf x ae axe a x x ae a =+--+=+-+， 由'()0f x =，得1x =-或220xae a -+=（*）． 由于()f x 仅有一个极值点， 所以关于x 的方程（*）必无解． ①当0a =时，（*）无解，符合题意；②当0a ≠时，由（*）得22xa e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤． 由于这两种情况都有当1x <-时，'()0f x <，于是()f x 为减函数，当1x >-时，'()0f x >，于是()f x 为增函数，所以仅1x =-为()f x 的极值点． 综上可得a 的取值范围是[]0,1．（2）证明：由（1）得，当102a <<时，1x =-为()f x 的极小值点， 又因为2222(2)(1)(1)10a f a a e e -=---=--+>对于102a <<恒成立，(1)0a f e -=-<对于102a <<恒成立，(0)(1)0f a =-->对于102a <<恒成立，所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ， 当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即121x -<<-，210x -<<且12111()(1)(1)0xf x ax e a x =--+=， 22222()(1)(1)0x f x ax e a x =--+=（**）， 所以1231x x -<+<-．下面再证明122x x +<-，即证122x x <--， 由210x -<<，得2221x -<--<-， 由于1x <-时，()f x 为减函数，于是只需证明12()(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<，22222222222(2)(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=------=----+，借助（**）式代换可得222222(2)(2)x x f x a x e ax e ----=--⋅-22222(2)x x a x e x e --⎡⎤=---⎣⎦，令2()(2)(10)xx g x x exe x --=----<<，则2'()(1)()x x g x x e e --=+-，因为2()x x h x e e --=-在区间(1,0)-内为减函数，且(1)0h -=，所以2'()(1)()0x x g x x e e --=+-<在区间(1,0)-内恒成立，于是()g x 在区间(1,0)-内为减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，这就证明了122x x +<-．综上所述，1232x x -<+<-．22.解：（1）设11(,)x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(,)x y ，则有11,1.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为112cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2214x y +=． （2）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线C 的普通方程化为极坐标方程得2222cos sin 14ρθρθ+=． 设1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+，则1||OA ρ=，2||OB ρ=， 则2222222212cos ()1111cos 52sin sin ()||||4424OA OB πθθπθθρρ++=+=++++=． 23.解：（1）当1a =时，()|2||21|f x x x =-++．由()5f x ≥，得|2||21|5x x -++≥．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以x ∈∅； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．故原不等式的解集为4|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）()|2|2|2||2||24||2|f x x x x a x x a +-=-++=-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+， 因为原命题等价于[]min ()|2|3f x x +-<，所以|4|3a +<，所以71a -<<-．。
河北省衡水2017届高三第二次摸底考试数学试题(理)含答案
10. 执行如图所示的程序框图，输出 S 的值等于（
A．
tan 9 tan 9
2 3
2 3
21
C.
22
25 3 9 B． 22 tan 9 25 tan 3 9 D． 21 tan tan
9
11.椭圆 x 2
y2 1 0 b 1 的左焦点为 F ，上顶点为 A ，右顶点为 B ，若 FAB 的外接圆圆心 b2
2 x y 1 0 4x 6. 若实数 x, y 满足条件 2 x y 5 0 ，则 z 的最大值为（ 3x 2 y x 2 0
）
1 2
A． 1 7. 已知 a
1
2 2
B．
4 x
2
64 15 2
C.
9
16 19D．源自x a sin x dx ，则二项式 x2
）
A．
3 2
B．
1 2
C.
1 4
D．
3 4
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ）
A． 28 4 3 12 2 C. 36 4 2 12 3
B． 36 4 3 12 2 D． 44 12 2 ）
14.在 ABC 中， B a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边，
．
sin A C 2 ， 若 a 2 c 2 4ac ， 则 3 sin A sin C
．
15.已知点 F1 , F2 分别是双曲线 C : x 2
y2 1 b 0 的左、 右焦点，O 为坐标原点， 点 P 在双曲线 C 的 b2
河北省衡水中学2017届高三二调数学试卷
2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合 A={x|x ＜2} ，B={y|y=2 x﹣1，x∈A} ，则 A∩B=（）A．（﹣∞， 3）B．[2，3）C．（﹣∞， 2）D．（﹣ 1，2）2．已知复数 z=1﹣i（i 为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣ 1+3i D．﹣ 1﹣3i3．有一长、宽分别为50m、30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C．D．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的n 等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 S n=1+2a n（n≥2），且 a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+26．已知圆 C：x2+y2=4，点 P 为直线 x+2y ﹣9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（）A．B．C．（2，0）D．（9，0）7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．函数，，若不x2取何，f（x1）＞g（x2）任意是恒成立，a的取范（）A．B．C．D．9．如，三个 2 的等三角形有一条在同一条直上，B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，⋯P10， m i=（i=1，2，⋯，10 ），m1+m2+⋯+m10的（）A．180 B．C．45 D．10．已知函数 f（x）是定在 R 上的函数，且任意的x，y∈R都有 f（x+y）=f（x）+f（y），若点 P（x，y）足等式 f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0， x+y 的最大（）A．2 5 B． 5 C．2 +5 D．511．数列 {a n} 足 a1= ，a n+11=a n（a n1）（n∈N*）且 S n=+ +⋯+，S n的整数部分的所有可能构成的集合是（）A．{0，1，2}B．{0 ，1，2，3}C．{1 ，2}D．{0 ，2} 12．等腰直角三角形AOB 内接于抛物y2=2px（p＞0），O 抛物的点， OA⊥OB，△ AOB 的面是 16，抛物的焦点F，若M 是抛物上的点，的最大（）A．B．C．D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．15．已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上， AB=AC=5 ，BC=8，AD ⊥底面 ABC ，G 为△ ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC所成角的正切值为，则球 O 的表面积为．16．已知是定义在 R 上的函数，且满足① f（4）=0；②曲线 y=f（x+1）关于点（﹣ 1，0）对称；③当 x∈（﹣ 4，0）时，，若 y=f（x）在 x∈[ ﹣4，4]上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数 f （x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数 f（x）的单调增区间；（2）在（ 1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD 中， SA⊥平面 ABCD ，∠ ABC= ∠BCD=90°，且 SA=AB=BC=2CD=2 ，E 是边 SB 的中点．（1）求证： CE∥平面 SAD；（2）求二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值大小．19．某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170P m0.4n且ξ的期望 E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万1元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为 p（0＜p＜1）和 1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：X（次）012ξ41.2117.6204.02（1）求 m，n 的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额× 100%）20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点 F3，F4为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若 F2（2，0），F3（﹣ 6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2的渐近线，交曲线 C1于点 A 、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一条渐近线上；（3）对于（ 1）中的曲线Γ，若直线 l1过点 F4交曲线 C1于点 C、D，求△ CDF1面积的最大值．21．设 f （x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 x+y+1=0 垂直．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）若对于任意的 x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求 m 的取值范围；（Ⅲ）求证： ln（4n+1）≤ 16（n∈ N*）．请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .[选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为（φ为参数），曲线 C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与 C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求 a 与 b 的值；（Ⅱ）设当α=时，l 与 C的交点分别为 A1，B1，当α=1，C2﹣时，l与 C1，C2的交点分别为 A2，B2，求直线 A1 A2、B1B2的极坐标方程．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．设函数 f （x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明 f （x）+f（﹣）≥ 2；（Ⅱ）若不等式 f （x）+f（2x）＜的解集非空，求 a 的取值范围．2016-2017 学年河北省衡水中学高三（下）二调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.．设集合A={x|x ＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A} ，则 A∩B=（）1A．（﹣∞， 3）B．[2，3）C．（﹣∞， 2）D．（﹣ 1，2）【考点】交集及其运算．【分析】由指数函数的值域和单调性，化简集合 B，再由交集的定义，即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x ＜2}= （﹣∞， 2），B={y|y=2 x﹣1，x∈A} ，由x＜2，可得y=2x﹣1∈（﹣1，3），即 B={y| ﹣1＜y＜3}= （﹣ 1， 3），则A∩B=（﹣ 1，2）．故选： D．2．已知复数 z=1﹣i（i 为虚数单位），则的共轭复数是（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣ 1+3i D．﹣ 1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z 代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ z=1﹣i，∴=，∴的共轭复数为1﹣3i．故选： A．3．有一长、宽分别为50m、30m 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同．一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知所有可能结果用周长160 表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60 表示，即可求得．【解答】解：当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传，那么当构成如图所示的三角形时，工作人员才能及时的听到呼唤声，所有可能结果用周长160 表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和 60表示，．故选 B．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为 5，2，则输出的n 等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1 时， a=，b=4，满足进行循环的条件，当 n=2 时， a=，b=8满足进行循环的条件，当 n=3 时， a=，b=16满足进行循环的条件，当 n=4 时， a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的 n 值为 4，故选 C．5．已知数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若 S n=1+2a n（n≥2），且 a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2【考点】数列的求和．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】解：∵ S n=1+2a（n n≥2），且 a1=2，∴n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=1+2a n ﹣（ 1+2a n﹣1），化为： a n=2a n﹣1，∴数列 {a n} 是等比数列，公比与首项都为2．∴S20==221﹣2．故选： B．6．已知圆 C：x2+y2=4，点 P 为直线 x+2y ﹣9=0 上一动点，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA、PB，A、B 为切点，则直线 AB 经过定点（）A．B．C．（2，0）D．（9，0）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设P 的坐标为 P（9﹣2m，m），由切线的性质得点A、B 在以 OP 为直径的圆 C 上，求出圆 C 的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦 AB 所在的直线方程，再求出直线 AB 过的定点坐标．【解答】解：因为 P 是直线 x+2y﹣9=0 的任一点，所以设 P（9﹣2m，m），因为圆 x2+y2=4 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A 、B，所以 OA⊥PA，OB⊥PB，则点 A、B 在以 OP 为直径的圆上，即AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦，则圆心 C 的坐标是（，），且半径的平方是r2=，所以圆 C 的方程是（ x﹣）2+（y﹣）2=，①又 x2+y2=4，②，②﹣①得，（2m﹣9） x﹣my+4=0，即公共弦 AB 所在的直线方程是：（2m﹣9）x﹣my+4=0，即 m（2x﹣y）+（﹣ 9x+4）=0，由得 x=，y=，所以直线 AB 恒过定点（，），故选 A．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，代入棱锥和棱柱的体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图左下角的三角形为底面的三棱锥和一个以俯视图右上角的三角形为底面的三棱柱相加的组合体，棱锥和棱柱的底面面积均为：S==，高均为h=3，故组合体的体积V=Sh+ Sh=4，故选： A8．设函数，，若不论x2取何值，f（x1）＞g（x2）对任意总是恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用三角恒等变换化简得g（x）=2sin（x+）≤2，依题意可得 f（x1）min＞g（x2）max=2，即当≤x≤时，0＜ax2+2x﹣1＜恒成立，通过分类讨论，即可求得 a 的取值范围．【解答】解：∵函数，====2sin（x+）≤ 2，即g（x）max=2，因不 x2取何， f（ x1）＞ g（x2）任意是恒成立，所以 f（x1）min＞g（x2）max，即任意，＞2恒成立，即当≤x≤，0＜ax2+2x1＜恒成立，°22＜2x，即 a＜=（）2，1 由 ax +2x 1＜得：ax令 h（x）= （）2，因≤≤，所以，当= ， [h （x）]min，故＜；=a2°由 0＜ax2+2x 1 得： a＞，令 t（x）==（1）2 1，因≤≤，所以，当 x= 即= ， t（）=（1）21=；当 x=，即=，t（）=（1）2 1=，然，＞，即[t （x）]max= ，故 a＞；合 1°2°知，＜a＜，故： D．9．如，三个 2 的等三角形有一条在同一条直上，B3C3上有 10 个不同的点 P1，P2，⋯P10， m i=（i=1，2，⋯，10 ），m1+m2+⋯+m10的（）A．180 B．C．45 D．【考点】平面向量数量的运算．【分析】由意可得，然后把 m i =化求得答案．【解答】解：由可知，∠B2AC 3=30°，又∠ AC 3B3=60°，∴，即．，∴m1+m 2+⋯+m10=18×10=180．故： A．10．已知函数 f（x）是定在 R 上的函数，且任意的x，y∈R都有 f（x+y）=f（x）+f（y），若点 P（x，y）足等式 f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0， x+y 的最大（）A．2 5 B． 5 C．2 +5 D．5【考点】抽象函数及其用．【分析】由条件可令x=y=0，求得 f（0）=0，再由 f（x）函数且足的条件，将（fx2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0 化（fx2+y2+2x+8y+5 ）=0=f（0），可得 x2+y2+2x+8y+5=0 ，配方后，再令x= 1+2cos α，y= 4+2 sinα（α∈（ 0，2π）），运用两角差的余弦公式和余弦函数的 域，即可得到所求最大 ．【解答】解： 任意的x ，y ∈R 都有 f （x+y ）=f （x ）+f （y ），令 x=0，y =0，都有 f （0+0）=f （0）+f （0）? f （0）=0， 点 P （x ，y ） 足等式 f （x 2+2x+2）+f （y 2+8y+3）=0，即有 f （x 2+y 2+2x+8y+5 ）=0=f （0），由函数 f （x ）是定 在 R 上的 函数，可得 x 2+y 2+2x+8y+5=0 ，化 （ x+1） 2+（y+4）2=12，可令 x= 1+2 cos α，y= 4+2 sin α（α∈（ 0，2π）），x+y=2 （cos α+sin α） 5=2 cos （α） 5，当 cos （α ）=1 即 α= ， x+y 取得最大 25，故 ： A ．11．数列 {a n } 足 a 1= ，a n+1 1=a n （a n 1）（n ∈N * ）且 S n =++⋯+， S n 的整数部分的所有可能 构成的集合是（）A ．{0，1，2}B ．{0 ，1，2，3}C ．{1 ，2}D ．{0 ，2}【考点】数列 推式．【分析】数列 {a n1 n+1 nn*）．可得：a n+1} 足 a = ，a1=a （a 1）（n ∈Na n = ＞0，可得：数列 {a n } 增．可得 a 2= ，a 3=，a 4=.= ＞ 1 ， = ＜ 1．另一方面：=，可得 S n++ ⋯ + =3=， n=1，2， 3，n≥4，分即可得出．【解答】解：∵数列 {a n} 足1n+1n n*）．a =，a1=a （ a 1）（n∈N可得： a n+1 a n=＞0，∴ a n+1＞a n，因此数列 {a n} 增．a2 1=，可得 a2=，同理可得： a3=，a4=．=＞1，=＜1，另一方面：=，∴ S n++⋯+=+=+⋯+==3，当 n=1 ， S1==，其整数部分 0；当 n=2 ， S2=+=1+，其整数部分1；当 n=3 ， S3++=2+，其整数部分2；=当 n≥4 ， S n=2+1∈（2，3），其整数部分2．上可得： S n的整数部分的所有可能构成的集合是 {0 ，1，2} ．故： A．12．等腰直角三角形 AOB 内接于抛物 y2=2px（p＞0），O 抛物的点，OA⊥OB，△ AOB 的面是 16，抛物的焦点 F，若M 是抛物上的点，的最大（）A．B．C．D．【考点】抛物的性．【分析】等腰直角三角形OAB 的点 A （x1，y1），B（x2，y2），利用 OA=OB 可求得 x1=x2，而可求得 AB=4p ，从而可得 S△OAB．过点 N 的直线方程为 y=k（x+1），代入 y2=4x，过 M 作准线的垂线，垂足为 A，则 |MF|=|MA| ，考虑直线与抛物线相切及倾斜角为0°，即可得出 p．设 M 到准线的距离等于d，由抛物线的定义，化简为==，换元，利用基本不等式求得最大值．【解答】解：设等腰直角三角形OAB 的顶点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y12=2px1，y22=2px2．由 OA=OB 得： x12+y12=x 22+y22，∴x12﹣x22+2px1﹣2px2=0，即（ x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，∴x1=x2，即 A，B 关于 x 轴对称．∴直线 OA 的方程为： y=xtan45 °=x ，与抛物线联立，解得或，故 AB=4p ，∴S△OAB = ×2p×4p=4p2．∵△ AOB 的面积为 16，∴p=2；焦点 F（1，0），设 M（m，n），则 n2=4m，m＞0，设 M 到准线 x=﹣1 的距离等于 d，则==．令 m+1=t，t＞1，则=≤（当且仅当t=3时，等号成立）．故的最大值为，故选 C．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师 y 人，若 x、y 满足，则该学校今年计划招聘教师最多10人．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，则目标函数为z=x+y，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：设z=x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x+y 得 y=﹣ x+z，平移直线 y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣x+z 的截距最大，此时 z 最大．但此时 z 最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时， z=x+y 取得最大值，代入目标函数 z=x+y 得 z=5+5=10．即目标函数 z=x+y 的最大值为 10．故答案为： 10．14．已知函数的两个零点分别为m、n（m＜n），则=．【考点】定积分；函数零点的判定定理．【分析】先求出m，n，再利用几何意义求出定积分．【解答】解：∵函数的两个零点分别为m、n（m＜n），∴m=﹣1，n=1，∴===．故答案为．15．已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上， AB=AC=5 ，BC=8，AD ⊥底面 ABC ，G 为△ ABC 的重心，且直线 DG 与底面 ABC所成角的正切值为，则球 O 的表面积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出△ ABC 外接圆的直径，利用勾股定理求出球O 的半径，即可求出球 O 的表面积．【解答】解：由题意，AG=2，AD=1 ，cos∠BAC==﹣，∴ sin∠BAC=，∴△ ABC 外接圆的直径为2r= =，设球 O 的半径为 R，∴ R==∴球 O 的表面积为，故答案为．16．已知是定义在 R 上的函数，且满足① f（4）=0；②曲线 y=f（x+1）关于点（﹣ 1，0）对称；③当 x∈（﹣ 4，0）时，，若 y=f（x）在 x∈[ ﹣4，4]上有 5 个零点，则实数 m 的取值范围为[﹣3e﹣4，1）∪ { ﹣e﹣2}．【考点】函数零点的判定定理．【分析】可判断 f（x）在 R 上是奇函数，从而可化为当x∈（﹣ 4，0）时，，有 1 个零点，从而转化为 xe x+e x﹣m=0在（﹣ 4，0）上有 1个不同的解，再令 g（ x）=xe x+e x﹣m，从而求导确定函数的单调性及取值范围，从而解得．【解答】 [ ﹣3e﹣4，1）∪ { ﹣e﹣2}解：∵曲线 y=f （x+1）关于点（﹣ 1，0）对称；∴曲线 y=f （x）关于点（ 0，0）对称；∴ f （x）在 R 上是奇函数，∴f（0）=0，又∵ f（4）=0，∴ f （﹣ 4）=0，而 y=f （x）在 x∈[﹣4，4]上恰有 5 个零点，故 x∈（﹣ 4，0）时，有1个零点，x∈（﹣ 4，0）时 f （x）=log2（xe x+e x﹣m+1），故 xe x+e x﹣m=0 在（﹣ 4，0）上有 1 个不同的解，令 g（x）=xe x+e x﹣m，g′（ x）=e x+xe x+e x=e x（x+2），故 g（x）在（﹣ 4，﹣ 2）上是减函数，在（﹣ 2，0）上是增函数；而g（﹣ 4）=﹣4e﹣4+e﹣4﹣m，g（0）=1﹣m=﹣m，g（﹣ 2）=﹣2e﹣2+e﹣2﹣m，而 g（﹣ 4）＜ g（0），故﹣ 2e﹣2+e﹣2﹣m﹣1＜0＜﹣4e﹣4+e﹣4﹣m﹣1，故﹣ 3e﹣4≤m＜1 或 m=﹣e﹣2故答案为： [﹣3e﹣4，1）∪ { ﹣e﹣2}三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知向量，，设函数+b．（1）若函数 f （x）的图象关于直线对称，且ω∈[0，3]时，求函数 f（x）的单调增区间；（2）在（ 1）的条件下，当时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量数量积运算求解出函数+b，利用函数 f（x）的图象关于直线对称，且ω∈ [0，3]时，求解ω，可求函数 f （x）的单调增区间．（2）当时，求出函数f（x）的单调性，函数f （x）有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数 b 的取值范围．【解答】解：向量，，函数+b．则==．（1）∵函数 f （x）图象关于直线对称，∴（k∈Z），解得：ω=3k+1（k∈Z），∵ω∈[0，3]，∴ω=1，∴，由，解得：（k∈Z），所以函数 f（x）的单调增区间为（k∈Z）．（2）由（ 1）知，∵，∴，∴，即时，函数f（x）单调递增；，即时，函数 f （x）单调递减．又，∴当或时函数f（x）有且只有一个零点．即 sin≤﹣b﹣＜sin或，所以满足条件的．18．如图，已知四棱锥S﹣ABCD 中， SA⊥平面 ABCD ，∠ ABC= ∠BCD=90°，且 SA=AB=BC=2CD=2 ，E 是边 SB 的中点．（1）求证： CE∥平面 SAD；（2）求二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD，推导出四边形EFDC 是平行四边形，由此能证明CE∥面 SAD．（2）在底面内过点 A 作直线 AM ∥ BC，则 AB ⊥AM ，以 AB ，AM ，AS 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）取 SA 中点 F，连结 EF，FD，∵E 是边 SB 的中点，∴EF∥AB ，且 EF= AB ，又∵∠ ABC= ∠BCD=90°，∴A B ∥CD，又∵ AB=2CD ，且 EF=CD，∴四边形 EFDC 是平行四边形，∴F D∥EC，又 FD? 平面 SAD，CE?平面 SAD，∴CE∥面 SAD．解：（2）在底面内过点 A 作直线 AM ∥BC，则 AB ⊥AM ，又 SA⊥平面 ABCD ，以 AB ，AM ，AS 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），则 =（0，2，0）， =（﹣ 1，0，1）， =（﹣ 1，0，）， =（﹣ 1，﹣2，1），设面 BCE 的一个法向量为 =（x，y，z），则，取 x=1，得 =（1，0，1），同理求得面 DEC 的一个法向量为=（0，1，2），cos＜＞==，由图可知二面角D﹣EC﹣B 是钝二面角，∴二面角 D﹣EC﹣B 的余弦值为﹣．19．某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170P m0.4n且ξ的期望 E（ξ1）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万1元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为 p（0＜p＜1）和 1﹣p，乙项目产品价格一年内调整次数X（次）与ξ2的关系如表所示：X（次）012ξ41.2117.6204.02（1）求 m，n 的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率 =年均利润 /投资总额× 100%）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用概率和为1，期望值列出方程组求解即可．（2）ξ2的可能取值为 41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望关系，通关二次函数求解最值即可．【解答】解：（1）由题意得：，得： m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值为 41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣ p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列为ξ241.2117.6204.0P p（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即 120＜﹣ 10p2+10p+117.6，得 0.4＜p＜0.6．因为，所以当时， E（ξ2）取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%．20．如图，曲线Γ由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点 F3，F4为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若 F2（2，0），F3（﹣ 6，0），求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线 l 平行于曲线 C2的渐近线，交曲线 C1于点 A 、B，求证：弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一条渐近线上；（3）对于（ 1）中的曲线Γ，若直线 l1过点 F4交曲线 C1于点 C、D，求△ CDF1面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由 F2（2，0），F3（﹣ 6，0），可得，解出即可；（2）曲线 C2的渐近线为，如图，设点 A （x1，y1），B（x2，y2），M （x0，y0），设直线 l ：y=，与椭圆方程联立化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞ 0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可．（3）由（ 1）知，曲线C1：，点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6 （ n ＞ 0 ）．与椭圆方程联立可得（ 5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】（1）解：∵ F2（2，0），F3（﹣ 6，0），∴，解得，则曲线Γ和．的方程为（2）证明：曲线 C2的渐近线为，如图，设直线 l：y=，则，化为 2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞ 0，解得．又由数形结合知．设点 A（x1，y1），B（x2，y2），M （x0，y0），则x1 2 1 2+x=m，x x=，∴= ，．∴，即点 M 在直线 y=﹣上．（3）由（ 1）知，曲线 C1：，点4（，）．F 6 0设直线 l 1的方程为 x=ny+6（n＞0）．，化为（ 5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（ 5+4n2）＞ 0，化为 n2＞1．设 C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令 t=＞0，∴ n2=t2+1，∴===，当且仅当t=，即n=时等号成立．∴n=时，=．21．设 f （x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 x+y+1=0 垂直．河北省衡水中学2017届高三二调数学试卷（Ⅰ）求 a 的；（Ⅱ）若于任意的 x∈[1，+∞），f（x）≤m（x 1）恒成立，求 m 的取范；（Ⅲ）求： ln（4n+1）≤ 16（n∈ N*）．【考点】利用数求区上函数的最；利用数研究曲上某点切方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的函数，合 f' （1）=1 列式求得 a ；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的 a 代入函数解析式，由 f（x）≤m（x 1）得到，构造函数，即? x∈ [1，+∞），g（x）≤ 0．然后 m 分求求得m 的取范；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 x＞1 ， m=1 ，成立．令，然后分取 i=1，2，⋯，n，利用累加法即可明．【解答】（Ⅰ ）解：由 f' （1）=1，∴，即a=0；（Ⅱ）解：，? x∈[1，+∞），f（x）≤ m（x1），即，，即 ? x∈[1，+∞），g（x）≤ 0．，g'（1）=4 4m．①若 m≤0，g'（x）＞ 0，g（x）≥ g（1）=0，与 g（x）≤ 0矛盾；②若 m∈（0，1），当，g（x）增，g（x）＞ g（1）=0，与矛盾；③若 m≥1，当 x∈（1，+∞），g'（x）≤0，g（x）减， g（x）≤g（1）=0，即不等式成立；上所述， m≥ 1．（Ⅲ）明：由（Ⅱ）知，当 x＞1 ， m=1 ，成立．不妨令，∴，即，，，⋯，．累加可得： ln（4n+1）≤ 16（n∈N*）．考生在 22、23 两中任一作答，如果多做，按所做的第一分 .[修4-4：坐系与参数方程 ]22．在平面直角坐系xOy 中，曲 C1的参数方程（φ参数），曲 C2的参数方程（a＞b＞0，φ 参数），在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与 C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求 a 与 b 的值；（Ⅱ）设当α=时，l 与 C的交点分别为 A1，B1，当α=1，C2﹣时，l与 C1，C2的交点分别为 A2，B2，求直线 A1 A2、B1B2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线 C1的直角坐标方程为 x2+y2=1，C1是以（ 0，0）为圆心，以 1 为半径的圆，曲线 C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在 x 轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（ 1，0），（a，0），当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（ 0，1），（0，b），由此能求出 a，b．（Ⅱ） C1，C2的普通方程分别为 x2+y2=1 和，当时，射线 l 与 C1的交点A 1 的横坐标为，与2的交点B1 的横坐标为C，当时，射线 l 与 C1，C2的交点 A2，分别与 A1，B1关于 x 轴对称，由此能求出直线A1 A2和 B1B2的极坐标方程．【解答】（本题满分10 分）【选修 4﹣4坐标系统与参数方程】解：（Ⅰ）∵曲线 C1的参数方程为（φ为参数），∴曲线 C1的直角坐标方程为22，∴ 1是以（，）为圆心，以x+y =1C001 为半径的圆，∵曲线 C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），∴曲 C2的直角坐方程=1，∴C2是焦点在 x 上的．当α=0，射 l 与 C1，C2交点的直角坐分（ 1，0），（a，0），∵ 两点的距离2，∴ a=3⋯当，射 l 与 C1，C2交点的直角坐分（0，1），（0，b），∵ 两点重合，∴ b=1⋯（Ⅱ） C1，C2的普通方程分x2+y2=1 和⋯当，解方程，得A1（，），即射l与C1的交点 A1的横坐，解方程，得 B1，21（），与 C的交点 B 的横坐当，射 l 与 C1，C2的交点 A2，分与 A 1，B1关于 x称因此，直 A1 A2、B1B2垂直于极，故直A1A2和B1B2的极坐方程分，⋯[ 修 4-5：不等式 ]23．函数 f （x）=|x a|，a＜0．（Ⅰ）明 f （x）+f（）≥ 2；（Ⅱ）若不等式 f （x）+f（2x）＜的解集非空，求 a 的取范．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；（Ⅱ）通过对 x 的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（ f（x）+f （2x））min即可．【解答】（Ⅰ）证明：函数 f （x）=|x﹣a|，a＜0，则 f （x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+| +a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+ |=|x|+ ≥2=2．（Ⅱ）解： f（x）+f （2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．当 x≤a 时， f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，则 f （x）≥﹣ a；当 a＜x＜时， f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣ a；当 x时，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，则f（x）≥﹣．则 f （x）的值域为 [﹣，+∞），不等式 f （x） +f（2x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜0，则 a 的取值范围是（﹣ 1，0）．2017年 4月 27日。
河北省衡水中学高三上学期二调考试数学(理)试题
河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合1|222x A x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， 1|ln 02B x x ⎧⎫⎛⎫=-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（ ） A. ∅ B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,1- 2．已知i 为虚数单位， z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（ ）A. 1i +B. 1i -C. 3i +D. 3i -3．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）A. 63或120B. 256C. 120D. 634．(421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 125．已知ABC ∆中， ()tan sin sin cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 60A ∠=︒的三角形C. 等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D. 等腰直角三角形6．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ， 3a ， 15a 成等比数列，若11a =， n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ） A. 3 B. 4C. 2D. 927．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A. 83B. 163C. 323D. 16 8．已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数， x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像（ ）A. 关于直线3x π=对称 B. 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 C. 关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D. 关于直线6x π=对称 9．设0a >，若关于x ， y 的不等式组20,{20, 20,ax y x y x -+≥+-≥-≤表示的可行域与圆()2229x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ）A. []8,10B. ()6,+∞C. (]6,8D. [)8,+∞10．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（1ω>， 2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是（ ） A. ,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 11．已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x <时， ()f x 满足()()()2'f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ）A. 5B. 3C. 1或3D. 112．已知函数()22,0,{ 3,02xlnx x x f x x x x ->=+≤ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知1211sin 2sin 0510πθπθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2tan 5πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1， 6B π∠=，则BA BC ⋅u u u v u u u v 的取值范围为__________．15．数列{}n a 满足12sin 122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为__________．16．函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ， ()22,B x y 处切线的斜率分别是A k ， B k ，规定(),A Bk k A B AB ϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A ， B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤； ④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()11,A x y ， ()22,B x y ，且121x x -=，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．其中真命题的序号为__________．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题17．如图，在ABC ∆中， 3B π∠=， D 为边BC 上的点， E 为AD 上的点，且8AE =，AC = 4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18．如图所示， A ， B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），C 点坐标为()2,0-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA OP S ⋅+u u u v u u u v 的最大值；（2）若//CB OP ，求sin 26πθ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 19．已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a ++⋯+=++⋯+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 20．已知函数()21ln 2f x x ax =-， a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．21．已知函数()()()211x f x axe a x =--+（其中a R ∈， e 为自然对数的底数，2.718281e =…）． （1）若函数()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<时，函数()f x 有两个零点1x ， 2x ，且1232x x -<+<-． 22．选修4-4：坐标系与参数方程将圆2,{ 2x cos y sin θθ==（θ为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）设A ， B 是曲线C 上的任意两点，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x x a =-++， a R ∈．（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求a 的取值范围．参考答案1．B【解析】由题意得(]11={|22}={|222}1,12x x A x x -<≤<≤=-， 1={|ln 0}2B x x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ 1={|01}2x x <-≤ 13,22⎛⎤= ⎥⎝⎦，所以13=,,22R B ⎛⎤⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ð，因此()1=1,2R A B ⎛⎤⋂- ⎥⎝⎦ð。
河北省衡水市武邑中学2017-2018学年高三上学期第二次调研数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上．1．已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，N={x|x2﹣x＜0}，则下列结论正确的是（）A．M∩N=M B．M∪（∁U N）=U C．M∩（∁U N）=∅D．M⊆∁U N2．已知f（x）=sin（x+），g（x）=cos（x﹣），则下列结论中不正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的最小正周期为πB．函数y=f（x）•g（x）的最大值为C．函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（，0）成中心对称D．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C．D．f（x）=﹣x|x|4．已知0＜a＜b＜1＜c，m=log a c，n=log b c，r=a c，则m，n，r的大小关系是（）A．m＜n＜r B．m＜r＜n C．r＜m＜n D．n＜m＜r5．已知平面向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|=（）A．0 B．C．2 D．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=8．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A． B．C．D．9．在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，D是BC边上靠近B点的四等分点，点E是AC边上靠近点A点的三等分点，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．10．若cos（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）A．﹣B．C．﹣D．11．已知{a n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5=sin2a7，则数列{a n}的公差为d的值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13．设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=4x+1，则f（）=．14．如图，在矩形ABCO中，阴影部分的面积为．15．已知向量=（sinA，﹣）与向量=（1，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角tanA的值为．16．已知函数f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln﹣2的解集为．三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x∈R）的部分图象如图所示．（I）求函数y=f（x）的解析式；（II）当x∈[﹣2π，0]时，求f（x）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x的值．18．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]•e x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．19．函数f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣2cos（2ωx+π），其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，π]上的增区间．20．设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（I）若函数在（1，f（1））处的切线过（0，1）点，求k的值；（II）当k∈（，1]时，试问，函数f（x）在[0，k]是否存在极大值或极小值，说明理由．．21．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥DC，CD=AC．设∠ABC=θ．（1）若θ=30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．22．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1．已知U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M ，N={x |x 2﹣x ＜0}，则下列结论正确的是（ ） A ．M ∩N=M B ．M ∪（∁U N ）=U C ．M ∩（∁U N ）=∅ D ．M ⊆∁U N 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意求出集合M ，化简集合N ，再判断选项是否正确．【解答】解：全集U=R ，函数y=ln （1﹣x ）的定义域为M={x |1﹣x ＞0}={x |x ＜1}， N={x |x 2﹣x ＜0}={x |0＜x ＜1}， ∴M ∩N={x |0＜x ＜1}≠M ，A 正确；∁U N={x |x ≤0或x ≥1}，M ∪（∁U N ）=R=U ，B 正确； M ∩（∁U N ）={x |x ≤0}≠∅，C 错误； M ⊆∁U N 不成立，D 错误． 故选：B ．2．已知f （x ）=sin （x +），g （x ）=cos （x ﹣），则下列结论中不正确的是（ ）A ．函数y=f （x ）•g （x ）的最小正周期为πB ．函数y=f （x ）•g （x ）的最大值为C ．函数y=f （x ）•g （x ）的图象关于点（，0）成中心对称D ．将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由已知得到y=f （x ）•g （x ）=，求出该函数的最小正周期和最大值，说明选项A ，B 正确；代入求得函数值说明C 不正确；利用诱导公式变形后由函数图象的平移说明D 正确．【解答】解：∵f （x ）=sin （x +），g （x ）=cos （x ﹣），∴y=f （x ）•g （x ）=sin （x +）•cos （x ﹣）=sinx •cosx=．∴函数y=f （x ）•g （x ）的最小正周期为π；函数y=f （x ）•g （x ）的最大值为；∵当x=时，∴是函数y=f（x）•g（x）的图象的一条对称轴；∵f（x）=sin（x+）=cosx，g（x）=cos（x﹣），∴将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．综上，选项C不正确．故选：C．3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=xsinx C．D．f（x）=﹣x|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A中f（x）非奇非偶；B中f（x）是偶函数；C中f（x）在（﹣∞，0）、（0，+∞）分别是减函数，但在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数；D中f（x）=是奇函数且在R上是减函数．故选：D．4．已知0＜a＜b＜1＜c，m=log a c，n=log b c，r=a c，则m，n，r的大小关系是（）A．m＜n＜r B．m＜r＜n C．r＜m＜n D．n＜m＜r【考点】对数值大小的比较．【分析】根据指数函数的性质，可得r=a c＞0为正数．再由对数函数的单调性，可得＜0，＜0，且m的倒数比n的倒数要小，因此n＜m＜0．由此不难得到本题的答案．【解答】解：∵a＞0，∴r=a c＞0为正数又∵a＜b＜1，c＞1∴＜=0，＜=0，m、n都是负数又∵＜＜0，，∴，即m＞n因此，有n＜m＜r成立故答案为：D5．已知平面向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），则|+|=（）A．0 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据||=||=1，⊥（﹣2），求出2•=1，再求出|+|2，问题得以解决．【解答】解：∵向量，满足||=||=1，⊥（﹣2），∴•（﹣2）=2﹣2•=0，∴2•=1，∴|+|2=2+2•+2=1+1+1=3，∴|+|=，故选：D．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】函数的值．【分析】当a＜1时，f（a）==﹣3，当a≥1时，f（a）=﹣log2a=﹣3．求出a=8．从而f（6﹣a）=f（﹣2）=sin（﹣），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=且f（a）=﹣3，∴当a＜1时，f（a）==﹣3，不成立，当a≥1时，f（a）=﹣log2a=﹣3，解得a=8．∴f（6﹣a）=f（﹣2）=sin（﹣）=﹣sin（）=﹣sin=﹣．故选：D．7．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．8．函数f（x）=lnx﹣x2的大致图象是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由f（x）=lnx﹣x2可知，f′（x）=﹣x=，从而可求得函数f（x）=lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣x=，由f′（x）＞0得，0＜x＜1；f′（x）＜0得，x＞1；∴f（x）=lnx﹣x2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；∴x=1时，f（x）取到极大值．又f（1）=﹣＜0，∴函数f（x）=lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选B．9．在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，D是BC边上靠近B点的四等分点，点E是AC边上靠近点A点的三等分点，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出，，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据条件：===；==；∴===．故选A ．10．若cos （﹣α）=，则sin （﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：∵cos （﹣α）=，∴sin （﹣2α）=sin （+﹣2α）=cos （﹣2α）═cos2（﹣α）=2cos 2（﹣α）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，故选：C11．已知{a n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5=sin2a7，则数列{a n}的公差为d的值为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】推导出sin4d=1，由此能求出d．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5≠（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5=sin2a7，∴2sina5cosa5=2sin cos﹣2cos sin=2sina5cos2d﹣2cosa5sin2d，∴sin4d=1，∴d=．故选：B．12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（）A．7 B．6 C．3 D．2【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣，]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选：A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置．13．设f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=4x+1，则f（）=．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性，求解即可．【解答】解：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[﹣1，0）时，f（x）=4x+1，则f（）=f（）=f（）=+1=．故答案为：．14．如图，在矩形ABCO中，阴影部分的面积为2．【考点】定积分．【分析】由题意，S=2dx，即可得出结论．【解答】解：由题意，S=2dx=2=2，故答案为2．15．已知向量=（sinA，﹣）与向量=（1，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角tanA的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量共线得到sinA（sinA+cosA）=﹣，通过三角形函数的化简，得到sin（2A﹣）=﹣1，由于A∈（0，π），即可得出．【解答】解：向量=（sinA，﹣）与向量=（1，sinA+cosA）共线，∴sinA（sinA+cosA）=﹣，∴sin2A+sinAcoA=﹣，∴2sin2A﹣1+2sinAcoA=﹣2∴﹣cos2A+sin2A=﹣2，∴sin（2A﹣）=﹣1，∴2A﹣=﹣+2kπ，k∈Z，∵A是△ABC的内角∴A=，∴tanA=﹣，故答案为：﹣16．已知函数f（x）=，则关于m的不等式f（）＜ln﹣2的解集为（﹣，0）∪（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】可判断f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，再由函数的单调性解不等式．【解答】解：当x ＞0时，f （﹣x ）=﹣ln （﹣（﹣x ））﹣x=﹣lnx ﹣x=f （x ）， 故f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数； 当x ＞0时，f （x ）=﹣lnx ﹣x 为减函数，而ln =﹣ln2﹣2=f （2），故f （）＜ln ﹣2=f （2），故＞2，故0＜m ＜；由f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数知，﹣＜m ＜0；综上所述，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，x ∈R ）的部分图象如图所示． （I ）求函数y=f （x ）的解析式；（II ）当x ∈[﹣2π，0]时，求f （x ）的最大值、最小值及取得最大值、最小值时相应x 的值．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）化简函数的图象得出A 与周期，从而求出ω与φ的值，写出函数f （x ）解析式；（II ）根据x 的取值范围求出x ﹣的取值范围，从而求出f （x ）的最值以及对应x 的值．【解答】解：（Ⅰ）由图象得A=1，…周期为T=4×（π﹣）=，则ω==，…把（，﹣1）代入得f （x ）中，得sin （+φ）=﹣1，又﹣π＜φ＜0，所以﹣＜+φ＜，∴+φ=﹣，φ=﹣；…因此函数f（x）=sin（x﹣）；…（II）∵x∈[﹣2π，0]，x∈[﹣，0]，x﹣∈[，﹣]；…当x﹣=﹣，即x=﹣π时f（x）取得最大值1，…当x﹣=﹣，即x=0时f（x）取得最小值﹣．…18．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+c，且a=f′（）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=[f（x）﹣x3]•e x，若函数g（x）在x∈[﹣3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】（1）先求出函数的导数，得到f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解出即可；（2）先求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而得到函数的单调区间；（3）问题等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解出即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax﹣1，当x=时，得a=f′（）=3×+2f′（）×﹣1，解之，得a=﹣1．（2）∵f（x）=x3﹣x2﹣x+c，∴f′（x）=3（x+）（x﹣1），列表如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（﹣，1）．（3）函数g（x）=（﹣x2﹣x+c）e x，有g′（x）=（﹣x2﹣3x+c﹣1）e x，因为函数在区间x∈[﹣3，2]上单调递增，等价于h（x）=﹣x2﹣3x+c﹣1≥0在x∈[﹣3，2]上恒成立，只要h（2）≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是：c≥11．19．函数f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣2cos（2ωx+π），其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[﹣，π]上的增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2ωx+）+1，利用正弦函数的有界性可求函数y=f（x）的值域；（2）利用f（x）的最小正周期为π，可求得ω=1，及y=sinx在每个闭区间[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）上为增函数即可求得f（x）在区间[﹣，π]上的增区间．【解答】解：（1）f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣2cos （2ωx+π）=2sinωxcosωx+2sin2ωx+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+）+1，…因为﹣1≤sin（2ωx+）≤1，所以函数y=f（x）的值域为[﹣1，3]…（2）因为f（x）的最小正周期为π，所以ω=1，y=sin x在每个闭区间[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）上为增函数，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），故f（x）=2sin（2x+）+1在每个闭区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）上为增函数．…当k=0和k=1时，得f（x在区间[﹣，π]上的增区间为[﹣，]和[，π]．…20．设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣kx2（k∈R）．（I）若函数在（1，f（1））处的切线过（0，1）点，求k的值；（II）当k∈（，1]时，试问，函数f（x）在[0，k]是否存在极大值或极小值，说明理由．．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），代入切线方程，求出k的值即可；（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）﹣k，k∈（，1]，根据函数的单调性判断函数的极值即可．【解答】解：（I）f′（x）=e x+（x﹣1）e x﹣2kx=xe x﹣2kx=x（e x﹣2k），…f′（1）=e﹣2k，f（1）=﹣k，…设切线方程为：y+k=（e﹣2k）（x﹣1），把（0，1）代入得k=e+1，…（II）令f′（x）=0，得x1=0，x2=ln（2k），令g（k）=ln（2k）﹣k，k∈（，1]，…则g′（k）=﹣1=≥0，所以g（k）在（，1]上单调递增，…所以g（k）≤g（1）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0，从而ln（2k）＜k，所以ln（2k）∈（0，k），…所以当x∈（0，ln（2k））时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln（2k），+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，…所以函数f（x）在[0，k]存在极小值，无极大值．…21．如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，AC⊥DC，CD=AC．设∠ABC=θ．（1）若θ=30°，求AD的长；（2）当θ变化时，求BD的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，进而在△ACD中，利用勾股定理可求AD 的值．（2）设AC=x，CD=x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2=4﹣2cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB=，进而利用三角函数恒等变换的应用，余弦定理可求BD=，结合范围θ∈（0，π），利用正弦函数的图象和性质可求BD的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，∴AC2=1+3﹣2cos30°=1，∴AC=1…在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，∴AD=2．…（2）设AC=x，CD=x，在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC，x2=4﹣2cosθ，…∵=，∴sin∠ACB=．…在△BCD中，BD======，…∵θ∈（0，π），∴θ﹣∈（﹣，），当θ﹣=，θ=时BD取到最大值3．…22．已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）得到e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则．…1分令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．…2分∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即e x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e x+ax+ln（x+1）﹣1，则．①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故e x≥1+x．∴．…4分∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．…5分②若a＜﹣2，令，则．∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．由于φ（0）=2+a＜0，．…6分故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，g（x）=e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则，即．…10分∴．…11分∴，即．…12分．2016年12月22日。
【精选高中试题】河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合{}(){}2230,ln 2=A x x x B x y x A B =--<==-⋂，则 A ．{}13x x -<<B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x <<2．已知复数z 满足()1z =(i 是虚数单位)，则z =A ．34 B ．32 C ．32 D ．34 3．要得到函数()cos 21y x =+的图像，只要将函数cos 2y x =的图像 A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度 C ．向左平移12个单位长度D ．向右平移12个单位长度 4．已知向量()()2,1,1,3a b =-=-，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()a a b ⊥-D ．()//a a b -5．下列命题中正确的是A ．若22a b ac bc >>，则B ．若,a b a b c d c d ><>，则C ．若,a b c d a c b d >>->-，则D ．若110,,ab a b a b>><则6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为ABC ．D ．37．若()()()3230123021354x a a x a x a x a a a a +=++++-+=，则A ．1-B ．1C ．2D ．2-8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q ，则q 的一个可能值为 A ．12B ．35C ．58D ．539．已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=，则正实数a 的取值范围为A ．(0，3]B ．[1，3]C ．[2，3]D ．[1，2]10．抛物线()()()()211223320,,,,,y px p A x y B x y C x y =>上有三点，F 是它的焦点，若,,AF BF CF 成等差数列，则A ．132,,x x x 成等差数列B ．123,,y y y 成等差数列C ．123,,x x x 成等差数列D ．132,,y y y 成等差数列11．已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121212IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立，则双曲线的离心率的取值范围为A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，2]D ．(2，3]12．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13l o g4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且关于x 的方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(0，3]上有两解，则实数a 的取值范围是 A ．(0，5]B ．(),5-∞C ．(0，5)D ．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．设直线()()2230124ax y x y -+=-+-=与圆相交于A ，B 两点，且弦长为a 的值是__________．14．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF -的最小值为_________．15．已知抛物线24y x =，圆()22:11F x y -+=，直线()()10y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则AB CD 的值是_________．16．已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，且满足126146,,,a a a a =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()21n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．(本小题满分12分)已知函数()()sin 003f x x πωω⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦在区间，上单调递增，在区间233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．如图，在四边形OACB 中，,,a b c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且满足4cos cos sin sin 3sin cos B CB C A A ω--+=． (1)证明：2b c a +=.(2)若()022b c AOB OA OB θθπ=∠=<<==，设，，求四边形OACB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，DA=DP ，BA=BP ． (1)求证：PA BD ⊥；(2)若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠====，求二面角D —PC —B 的正弦值．20. (本小题满分12分)已知椭圆()22221012x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪ ⎪⎝⎭：过点，，椭圆C 的左焦点为A，右焦点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，且4AP BP +=，直线AP ，BP 与直线y=3分别交于G ，H 两点．(1)求椭圆C 的方程及线段GH 的长度的最小值；(2)T 是椭圆C 上一点，当线段GH 的长度取得最小值时，求△TPA 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．(1)若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； (2)若()175,2m f x <<且有两个极值点()()()121212,x x x x f x f x <-，求的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x t y t=+⎧⎨=⎩，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线1C 的极坐标方程为()00θαρ=≥，其中0α满足0tan 2α=，曲线C 1与圆C 的交点为O ，P 两点，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =+∈．(1)若()23f x x ≥+的解集为[]3,1a --，求的值；(2)若x R ∀∈，不等式()22f x x a a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．。
【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三上学期第二次调研考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i - 【答案】D 【解析】试题分析：设,z a bi z a bi =+=-，依题意有22,22a b =-=，故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．2.已知向量a 与b 的夹角为60,2,5a b ==，则2a b -在a 方向上的投影为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：投影为()222cos 6085322a b a a a b aa-⋅--===. 考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长 安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先 至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）A ． 12日B ．16日C ． 8日D ．9日 【答案】D 【解析】试题分析：设n 日相逢，()()111103139711252222n n n n n n --⎛⎫+⋅++⋅-=⋅ ⎪⎝⎭，解得9n =. 考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和． 4.已知0,0a b >>，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ． 4 B ．16 C ． 9 D ．3 【答案】B 【解析】5.动点(),P x y 满足1253y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，点Q 为()1,1,O -为原点，OQ OP OQ λ=，则λ的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2 【答案】D 【解析】试题分析：依题意2x yλ-=，画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()3,1取得最大值为2.考点：向量，线性规划．6.如图为某几何体的三视图，則该几何体的表面积为（ ）A ． 105+B ． 102+C ．6226++D ．626++ 【答案】CABCED考点：三视图．7.已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则函数()()cos 2g x x ϕ=-的 图象（ ） A ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C ．可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到 D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到【答案】C 【解析】考点：三角函数图象变换． 8.ABC ∆中，若()sin 3cos sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】试题分析：由三角形内角和定理，得()()sin 3cos sin cos A B A A B +=+，化简得cos sin 03A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以是cos 0,2A A π==直角三角形或者0,,233B B B AC ππ-===+.考点：解三角形．9.已知数列{}n a 满足()111,2nn n a a a n N a *+==∈+，若()()11121,n n b n n N b a λλ*+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭， 且数列{}n b 是单调递增数列，則实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．23λ<D ．32λ< 【答案】C 【解析】试题分析：12n n n a a a +=+取倒数，得11111121,121n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅++=⋅+ ⎪⎝⎭，故112n n a +=，故()122n n b n λ+=-⋅，()22212,3b λλλ=->-<. 考点：数列与不等式．10.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C ．158D ．2 【答案】B 【解析】考点：向量运算． 11.已知函数()3212f x ax x =+，在1x =-处取得极大值，记()()1'g x f x =,程序框图如图所示， 若输出的结果20142015S >，则判断框中可以填人的关于n 的判断条件是（ ）A ．2014n ≤？B ．2015n ≤？C ．2014n >？D ．2015n >？ 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()'111111310,,,3111fa a g x g n x x n n n n -=-=====-+++，程序框图的作用是求其前n 项和，由于201512014120152015S =-=，故再循环一次就满足20142015S >，故填2015n ≤. 考点：算法与程序框图．【思路点晴】本题考查裂项相消法，把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.12.已知{}n a 满足()211112311,,44...44nn n n n n a a a n N S a a a a *-+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，则54n n n S a -=（ ）A ．1n -B ．nC ．2nD ．2n 【答案】B 【解析】考点：数列求和．【思路点晴】本题可用特殊值法迅速得到答案.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．若n n n a b c =⋅，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.数列{}n a 满足：11a =，且对任意的,m n N *∈都有：n m n m a a a nm +=++，则100a = ．【答案】5050 【解析】试题分析：令1m n ==，211113a a a =++⋅=，令2,1m n ==，321125a a a =++⋅=，故991991981199298991001299121005050a a a a a a +=++=+++==++++=+++=.考点：数列的基本概念，合情推理与演绎推理． 14.在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的 值为 ． 【答案】14- 【解析】DEFCAB考点：向量运算．15.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos 23C =，且cos cos 2a B b A +=， 则ABC ∆面积的最大值为 ． 【答案】52【解析】 试题分析：5cos23C =，21cos 2cos 129C C =-=，45sin 9C =，cos cos 2a B b A c +==，外接圆直径为952sin 10c R C ==，由图可知，当C 在AB 垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x =，则由相交弦定理有95110x x ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭，解得52x =，故最大面积为1552222S =⋅⋅=. E OABCC'F考点：解三角形．16.已知方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，則实数a 的取值范围是 ． 【答案】20,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：定义域为{}0x ≠，令()23ln 2f x x ax =-+，这是一个偶函数，我们只需研究0x >上的零点即可，此时()()22'3112ln ,22ax f x x ax f x ax x x-=-+=-=，当0a ≤时，函数单调递增，至多只有一个零点，不合题意；当0a >时，函数在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减，要有两个零点，只需11131ln ln 1022222f a a a a a ⎛⎫=-⋅+=+< ⎪ ⎪⎝⎭，解得20,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.考点：函数图象与性质，零点问题．【思路点晴】本题考查函数导数与不等式，函数图象与性质，函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合的数学思想方法，分类讨论的数学思想方法.此类题目有两种方法，一种是分离参数，但是本题分离参数法处理起来很麻烦，可以直接讨论，也就是先根据奇偶性，简化题目，然后根据导数画出函数的草图，讨论之后可得到a 的范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()3cos 23cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小； （2）求25cos 2sin 22C B π⎛⎫--⎪⎝⎭的取值范围.【答案】（1）6A π=；（2）32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 【解析】试题解析：（1）由正弦定理可得，3sin cos 2sin cos 3sin cos A C B A C A =-,从而可得()3sin 2sin cos ,3sin 2sin cos A C B A B B A +==,又B 为三角形的内角, 所以sin 0B ≠,于是3c o s 2A =,又A 为三角形的内角, 因此6A π=. （2）255cos 2sin sin cos 1sin cos 1226C B B C B B ππ⎛⎫⎛⎫--=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5533sin coscos sin sin 1sin cos 13sin 166226B B B B B B πππ⎛⎫=++-=--=-- ⎪⎝⎭,由6A π=可知,520,,,6663B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,从而1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,因此323sin 1,3162B π⎛⎤+⎛⎫--∈-- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦,故25cos 2sin 22C B π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围为32,312⎛⎤+-- ⎥ ⎝⎦. 考点：解三角形．18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 和为n S ，()211,22n n a S na n n n N*==-+∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列, 并分别写出n a 和n S 关于n 的表达式； （2）是否存在自然数n ,使得321...2112423n n S S S S n+++++=？若存在,求出n 的值; 若不存在, 请说 明理由； （3）设()()()1232,...7n n n n c n N T c c c c n N n a **=∈=++++∈+,若不等式()32nm T m Z >∈,对 n N *∈恒成立, 求m 的最大值.【答案】（1）证明见解析，243,2n n a n S n n =-=-；（2）10n =；（3）7.【解析】试题解析：（1）由()222n n S na n n n N *=-+∈,得()()()()211121212n n S n a n n n --=---+-≥,相减得()()()()()111144114142n n n n n n n a na n a n n a n a n a a n ---=---+⇒---=-⇒-=≥.故数列{}n a 是以1为首项, 以4公差的等差数列.()()()()1211443,22n n nn a a a n n n N Sn n n N **+∴=+-⨯=-∈==-∈. （2）由（1）知()21nS n n N n*=-∈, ()()2321121...2135 (21222232)n n n n n n n S S S S n n n +-⎡⎤⎣⎦∴+++++=++++-+=+=+,由221124n n +=,得10n =,即存在满足条件的自然数10n =.（3）故符合条件m 的最大值为7.考点：数列的基本概念，数列求和，不等式．19.（本小题满分12分）如图, 以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴交于点A ,点,B P 在单 位圆上, 且525,,55B AOB α⎛⎫-∠= ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求4cos 3sin 5cos 3sin αααα-+的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形.①当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； ②设()02POA θθπ∠=≤≤,点(),Q m n ,且()3f m n θ=+,求关于θ的函数()f θ的解析式, 并求其单调增区间.【答案】（1）10-；（2）①()2211x y -+=；②()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-，由齐次方程可计算的结果为10-；（2）①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=；②依题意得11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由①知111x m y n =-⎧⎨=⎩，cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，代入正弦的单调区间，求得增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.试题解析：（1）由三角函数定义得tan 2α=-,所以4cos 3sin 43tan 10105cos 3sin 53tan 1αααααα--===-++-.（2）四边形OAQP 是平行四边形, 所以PA 与OQ 互相平分.①设PA 中点为H ,()()11,,,P x y Q x y ,则22111111,,22x y x y H +⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又111,,22x x x y H y y =-⎧⎛⎫∴⎨ ⎪=⎝⎭⎩,代入上式得点Q 的轨迹方程()2211x y -+=.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换． 20.（本小题满分12分）已知函数()()1ln f x x a x a R x=-+∈. （1）若函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）已知()()()()()211321,,22g x x m x m h x f x g x x =+-+≤-=+,当1a =时, ()h x 有两个扱值 点12,x x ,且12x x <,求()()12h x h x -的最小值. 【答案】（1）2a ≥-；（2）3ln 24-. 【解析】试题分析：（1）由已知可得()'0f x ≥在[]1,+∞上恒成立,分离参数得21x a x --≥，求右边函数的最大值为2-，故2a ≥-；（2）()21ln 2h x x x mx =++，求导得()211'x mx h x x m x x ++=++=，写出根与系数关系1212,,1x x m x x +=-=.化简()()121122121ln 2x x x h x h x x x x ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭，令12x t x =换元后，利用导数可求得其最小值为3ln 24-. 试题解析：()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+-()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.令()()2222112121229,0,1,22x t t x x x x x x m x =∴∈+=++-≥, 2222121212122155151,,,0,2222x x x x x x t t x x x x t +⎛⎫∴+≥∴=+≥+≥∴∈ ⎪⎝⎭,()()()()()2122111ln ,'222t h x h x t t t t t ϕϕ-⎛⎫∴-=--=∴=- ⎪⎝⎭,()t ϕ∴单调递减, ()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭.考点：函数导数与不等式．21.（本小题满分12分）在单调递增数列{}n a 中, 122,4a a ==,且21221,,n n n a a a -+成等差数 列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列，1,2,3,...n =. （1）①求证：数列{}2n a 为等差数列；②求数列{}n a 通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,证明:()4,33nn S n N n *>∈+. 【答案】（1）①证明见解析；②当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134n n n a ++=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）①根据等差中项和等比中项有222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=，化简得222222n n n a a a -+=+，所以数列{}2n a 为等差数列；②由①得{}2n a 首项为2公差为1，所以21n a n =+，即()221n a n =+，结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=；（2）()()()2131120444n n n +++-=>，另外，()()()22312044n n n ++-+>，故()()234n n n a ++<，所以()()14112323n a n n n n >=-++++，利用裂项求和法求得()433n nS n >+.试题解析：（1）①因为数列{}n a 单调递增数列,()120,0n a a n N *=>∴>∈, 由题意 21221,,n n n a a a -+成等差数列,22122,n n n a a a ++ 成等比数列1,2,3,.n =得. 222121212222,2n n n n n n a a a a a a -+++=+=,于是222222222n n n n n a a a a a -+=+, 化简得222222n n n a a a -+=+ , 所以数列{}2n a 为等差数列.②又233214226,9a a a a a a =-===,所以数列{}2n a 的首项为22a =,公差为4221,1n d a a a n =-=∴=+,从而()221n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得()211n a n n -=+,因此,当n 为偶数时()2124n a n =+,当n 为奇数时()()134nn n a ++=. （2）求数列{}n a 通项公式为:()()()()()()2121327111111,11,242448nn n n n n n a n n +++++-⎡⎤⎡⎤=+-++-=++⎣⎦⎣⎦, 因为()()()22711111234844nn a n n n n n n +-=++≤++<++,所以()()14112323n a n n n n ⎛⎫>=- ⎪++++⎝⎭,则有123111111111111...4...34451223n n S a a a a n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++>-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 考点：数列与不等式．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,,A B 是圆O 上两点, 延长AB 至点C ,满足22AB BC ==,过C 作直线CD 与圆O 相切于点,D ADB ∠的平分线交AB 于点E .（1）证明:CD CE =； （2）求ADBD的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.试题解析：（1）由题可,,,,CDB DAB EDA EDB CED DAE EDA EDC EDB BDC ∠=∠∠=∠∠=∠+∠∠=∠+∠, 故CED EDC ∠=∠,故CD CE =.（2）因为CD 与CA 分别为圆O 的切线和割线, 所以2,3CD CB CA ==,得3CD =,又因为直线CD 与圆O 相切于点D ,则CDB DAC ∠=∠,则CDB CAD ∆=∆,则33BD CD AD AC ==,故3ADBD=. 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），以O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线1C 上的点()2,3M 对应 的参数,34ππϕθ==与曲线2C 交于点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C ,2C 的普通方程；（2）()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点, 求221211ρρ+的值.【答案】（1）221164x y +=，()2211x y -+=；（2）516. 【解析】试题解析：（1）将()2,3m 及时对应的参数,,34ππϕθ==, 代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩得2cos43,23sin3a a b b ππ⎧=⎪=⎧⎪∴⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩, 所以1C 的方程为221164x y +=,设圆2C 的半径R ,则圆2C 的方程为2cos R ρθ=(或()222x R y R -+=),将点2,4D π⎛⎫⎪⎝⎭代入得:1,R ∴=∴ 圆2C 的方程为:2cos ρθ=( 或()2211x y -+=).（2）设曲线1C 的方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=,将()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入得222211cos sin 1164ρθρθ+=,222222cos sin 221164ππρθρθ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=,所以2222221211cos sin sin cos 11516416416416θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：极坐标与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()2122f x x x x =-++++. （1）求证:()5f x ≥；（2）若对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2a ≠±. 【解析】试题分析：（1）利用零点分段法，按2,1,2--三个零点分段去掉绝对值，可求得()f x 最小值为5，得证；（2）由（1）知:()152f x - 的最大值等于5,()()222222999112115111a a aa a a +=++-≥+⨯-=+++,“=” 成立,()22911a a ⇔+=+, 即2,a =±∴当2a =±时,2291a a ++ 取得最小值5,当2a ≠±时,22951a a +>+, 又因为对任意实数()229,1521x f x a a -<++都成立, 所以2a ≠±,a ∴的取值范围2a ≠±. 考点：不等式选讲．。
衡水中学二调理科数学
衡水中学2011—2012学年度下学期二调考试高三理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．已知U =R ，{}|0A x x =>, {}|1B x x =≤-,则()()u u A C B B C A = （ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x >≤-或x 2．已知x 为实数，条件p ：x 2<x ，条件q ：x1≥1，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该等差数列的公差为 （ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-4．定义在R 上的偶函数)(x f 满足),()1(x f x f -=+且在]4,5[--上是减函数， βα、是锐角三角形的两个内角，则（ ） A.)(cos )(sin βαf f > B.)(sin )(sin βαf f > C.)(cos )(sin βαf f < D.)(cos )(cos βαf f >5.如右框图，当x 1=6,x 2=9,p=8.5时，x 3等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．76. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z 的值依次是 ( ) A.13,39,123 B. 42,41,123 C.24,23,123 D.28,27,1237.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ） A.87 B.85 C.65 D.438. 已知函数)0,0)(sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图象与直线y = b (0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则)(x f 的单调递增区间是（ ）A. []Z k k k ∈+,36,6ππB. []Z k k k ∈-,6,36C. []Z k k k ∈+,36,6D. 无法确定9.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)，向上的面上的数字记为α，又n (A)表示集合的元素个数，A={x |x 2 +αx +3=1，x ∈R}，则n (A)=4的概率为（ ） A.61 B ．21 c ．32 D ．3110. 设∠POQ=60°在OP 、OQ 上分别有动点A ，B ，若OA ·OB =6， △OAB 的重心是G ，则|OG | 的最小值是( )A.1 B ．2 C ．3 D ．411.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是 （ ）(A)21 (B)22 (C)23 (D)4112. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝( )A ．1210-B ．129-C ．45D ．55第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。
河北省衡水中学2017-2018学年高三上学期第二次调研考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的共轭复数，若错误！未找到引用源。
为虚数单位），则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】D【解析】试题分析：设错误！未找到引用源。
，依题意有错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
.考点：复数概念及运算．2.已知向量错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的夹角为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
方向上的投影为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】试题分析：投影为错误！未找到引用源。
.考点：向量概念及运算．3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（）A．错误！未找到引用源。
日 B．错误！未找到引用源。
日C．错误！未找到引用源。
日 D．错误！未找到引用源。
日【答案】D【解析】试题分析：设错误！未找到引用源。
日相逢，错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
.考点：实际应用问题，相遇问题，数列求和．4.已知错误！未找到引用源。
，若不等式错误！未找到引用源。
恒成立，则错误！未找到引用源。
的最大值为（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】5.动点错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，点错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
为原点，错误！未找到引用源。
河北省衡水中学高三数学上学期小二调考试试题理
河北省衡水中学高三数学上学期小二调考试试题理2016～2017学年度小学期高三年级小二调考试数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知全集,,,则()=B A C U ( )A.{-1,2}B.{4}C.{2}D.2、下面关于复数iz +-=12的四个命题:2|:|1=z p , i z p 2:22=,z p :3的共轭复数为i +1,z p :4的虚部为-1其中真命题为( )A.B.C.D.3、某种新药服用小时后血液中残留为毫克,如图所示为函数的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为( )A.上午10:00B.中午12:00C.下午4:00D.下午6:00 4、以下有关命题的说法错误的是（ ） A.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件B.命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0” C.对于命题p:0>∃x ,使得x 2+x+1<0,则0:≤∀⌝x p ,均有x 2+x+1≥0 D.若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题 5、如图是函数)652cos(π-=x y 在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ．45 B ．43 C ．23D ．4323-6、执行如图所示程序框图,则输出的( )A.-2012B. 2012C. -2013D. 20137、某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ） A ．29B ．539+C ．18D ．5312+第6题框图 第7题三视图8、已知函数)(x f y =是定义在上的奇函数,且当)0,(-∞∈x 时, 0)()(<'+x f x x f(其中)(x f '是)(x f 的导函数), )3()3(3.03.0f a •=,)3()3(log ππog f b •=，)91()91(log 33og f c •=,则c b a ,,的大小关系是( )A.B.C.D.9、已知函数满足,且是偶函数,当时,,若在区间内,函数x kx x f x g --=)()(有个零点,则实数的取值范围是( ) A.B.C.D.10.设曲线(1)x y ax e =-在点00(,)A x y 处的切线为1l ，曲线(1)xy x e -=-在点01(,)B x y 处的切线为2l ，若存在03[0,]2x ∈，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3(1,)2D ．3[1,]211、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足：当时，，若不等式对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12、在平面直角坐标系中,点是由不等式组 所确定的平面区域内的动点,是直线上任意一点,为坐标原点,则的最小值为( )A.B.C.D.1第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题（每题5分，共20分。
衡水中学2018届高三数学上学期五调试题理科有答案
衡水中学2018届高三数学上学期五调试题（理科有答案）2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
考试时间120分钟．第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．从每小题所给的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑)1．设集合A．B．C．D．2．已知复数z满足(i是虚数单位)，则A．B．C．D．3．要得到函数的图像，只要将函数的图像A．向左平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度4．已知向量，则A．B．C．D．5．下列命题中正确的是A．若B．若C．若D．若6．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．7．若A．B．1C．2D．8．已知三角形的三边长构成等比数列，设它们的公比为q，则q的一个可能值为A．B．C．D．9．已知两点，若曲线上存在点P，使得，则正实数a的取值范围为A．(0，3]B．[1，3]C．[2，3]D．[1，2]10．抛物线三点，F是它的焦点，若成等差数列，则A．成等差数列B．成等差数列C．成等差数列D．成等差数列11．已知点P为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，点I为△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有成立，则双曲线的离心率的取值范围为A．(1，2]B．(1，2)C．(0，2]D．(2，3]12．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且关于x的方程在区间(0，3]上有两解，则实数a的取值范围是A．(0，5]B．C．(0，5)D．[5，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设直线相交于A，B两点，且弦长为，则a的值是__________．14．设分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为，则的最小值为_________．15．已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则的值是_________．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球的半径为__________．三、解答题(共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答) （一）必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等差数列的公差不为零，且满足成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和.18．(本小题满分12分)已知函数上单调递增，在区间上单调递减．如图，在四边形OACB中，分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足．(1)证明：.(2)若，求四边形OACB面积的最大值．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．(1)求证：；(2)若，求二面角D—PC—B的正弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆，椭圆C的左焦点为A，右焦点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，且，直线AP，BP与直线y=3分别交于G，H两点．(1)求椭圆C的方程及线段GH的长度的最小值；(2)T是椭圆C上一点，当线段GH的长度取得最小值时，求△TPA的面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数．(1)若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围；(2)若有两个极值点的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线C1与圆C的交点为O，P两点，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数．(1)若的解集为的值；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．。
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2017-2018学年河北省衡水中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）已知集合A=｛x| 丄v2x<2｝, B=｛x| ln （x-丄）w 0｝，则A A（?R B）=2 2（）A. ?B. （- 1，」C. L.，1）D. （- 1, 1]2.（5分）已知i为虚数单位，：为复数z的共轭复数，若■■ - ：'：■■■'，则z=（）A. 1+iB. 1 - iC. 3+iD. 3 - i3. （5分）设正项等比数列｛a n｝的前n项和为S n，且一v 1，若a3+a5=20,a3a5=64,J则S4=（）A. 63 或126B. 252C. 120D. 634. （5分）（：:+x）（1 - -）4的展开式中x的系数是（）xA. 1B. 2C. 3D. 125. （5 分）已知△ ABC中，tanA （sinC— sinB）=cosB— cosC,则厶ABC为（）A. 等腰三角形B. Z A=60°的三角形C•等腰三角形或/ A=60°的三角形D.等腰直角三角形6. （5分）已知等差数列｛a n｝的公差d z0,且a1, a3, a13成等比数列，若a1=1, S n是数列｛a n｝前n项的和，则（n€ N+）的最小值为（）"n+3A. 4B. 3C. 2 — 2D.'7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）8. (5分)已知函数f(x) =asinx+cosx (a为常数，x€ R)的图象关于直线-6 对称，则函数g (x) =sinx+acosx的图象( )A.关于点「一‘』对称B.关于点：. 对称C•关于直线…对称D.关于直线…对称3 6ax-y+2^09. (5分)设a>0,若关于x, y的不等式组r+y-2>0，表示的可行域与圆(xx-2<0-2) 2+y2=9存在公共点，则z=x+2y的最大值的取值范围为( )A. [8, 10]B. (6, +x)C. (6, 8]D. [8, +^)10. (5分)已知函数f (x) =2sin( 妨+1 (®>0, | 三今)，其图象与直线y=- 1相邻两个交点的距离为n,若f (x)> 1对？x€(-2L，兰)恒成立，12 3则©的取值范围是( )71 开if r n 开FC 「兀开「兀兀rA「A. 「B・C D.11. (5分)已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x v 0时，f(x)满足2f (x) +xf ( x)v xf (x),则f (x)在R上的零点个数为( )A. 1B. 3C. 5D. 1 或3it Ins -2s,龙〉012. (5分)已知函数f (x) = 2 3 —的图象上有且仅有四个不同的点关X + 豆X, X乂U于直线y=- 1的对称点在y=kx- 1的图象上，则实数k的取值范围是( ) A. J B.：=二1 C. 「J D. —. ■.二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5 分)已知sin (旦n+ 0) +2sin (»n— 0) =0,则tan + 0)= .5 10 514. (5分)已知锐角厶ABC的外接圆O的半径为1,Z B=，贝U 一：•对的取值6范围为_______ .15. (5分)数列｛&｝满足亠广江：厂--—厂亠则数列｛a n｝的前100项和为_______ .16. (5分)函数y=f (x)图象上不同两点A (X1, y1), B (X2, y2)处的切线的斜率分别是k A, k B,规定© (A, B)=叫曲线y=f (x)在点A与点B之|AB|间的弯曲度”给出以下命题：(1)函数y=x3- x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1, 2,则(((A, B)>(2)存在这样的函数，图象上任意两点之间的弯曲度”为常数；(3)设点A、B是抛物线，y=:A1上不同的两点，贝U © (A, B)< 2;(4)设曲线y=e x上不同两点A (刘，y) B (沁,y2),且- X2=1，若t? ©(A,B)v 1恒成立，则实数t的取值范围是(-％, 1)；以上正确命题的序号为________ (写出所有正确的)三、解答题(本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (12分)如图，在△ ABC中，/ B==, D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE=8, AC=4 厂，/ CED=.4(1)求CE的长(2)若CD=5,求cos/ DAB 的值.18. (12分)如图所示，A, B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，/ AOP羽(O V 0< n), C点坐标为(-2, 0),平行四边形OAQP的面积为S.(1)求771?丘+s的最大值；(2)若CB// OP,求sin (29- 一)的值.619. (12分)已知数列｛a n｝满足对任意的n€ N*都有a n>0, 且aj+a23+-+a n3=2(a［+a2+・・+a n).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设数列的前n项和为S n,不等式s n > 仁(1-a)式对任意3 a的正整数n恒成立，求实数a的取值范围..20. (12分)已知函数f (x) =lnx-h.y71, a€ R.(1)求函数f (x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f (x)<( a- 1) x- 1恒成立，求整数a的最小值.21. (12 分)已知函数f(x) =axe x-( a- 1) (x+1) 2(其中a€ R, e 为自然对数的底数，e=2.718128…).(1)若f (x)仅有一个极值点，求a的取值范围；(2)证明：当■<-,时，f (x)有两个零点X1, X2,且-3<X1+X2<- 2.选做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］f y" 7 广【Hi u e22. (10分)将圆一'二(9为参数)上的每一点的横坐标保持不变, 标变为原纵坐来的1倍，得到曲线C.(1)求出C的普通方程;(2)设A, B是曲线C上的任意两点，且0A丄0B,求的值.|OAP |0B|2［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数f(x) =|x-2|+| 2x+a| , a€ R.(1)当a=1时，解不等式f (x)> 5;(2)若存在x o满足f (x o) +|x°-2| v3,求a的取值范围.20仃-2018学年河北省衡水中学高三（上）第二次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5 分）已知集合A={x|*v2x< 2} , B={x| ln （x —0}，贝U A A（?R B）= £匕（）A. ? B•（- 1，,[] C. [「,，1）D. （—1, 1]【解答】解：T A={x| 丄v2x<2} ={x| — 1 v x< 1}，B={x| In （x —丄）W0}={x|丄v2 2 2x w ：}，2s•-?R B={X|X>1或x「. }，则A A（?R B） = （—1，-].故选：B.2. （5分）已知i为虚数单位，二为复数z的共轭复数，若，则z=（）A. 1+iB. 1 —iC. 3+iD. 3—i【解答】解：设z=a+bi （a，b € R），若，则a+bi+2 （a- bi）=9- i，即为3a—bi=9 —i，即3a=9, b=1，解得a=3，b=1，则z=3+i，故选：C.3. （5分）设正项等比数列｛a n｝的前n项和为S n,且亠一v 1，若a3+a5=20,a3a5=64,a n则S4=（）A. 63 或126B. 252C. 120D. 63【解答】解：•••—< 1,a n••• 0v q v 1,-a3a5=64, a3+a5=209•a s和a s为方程x2- 20x+64=0的两根，••• a n>0, 0v q v 1,•- a3 > a5,•a3=16, a5=4,•q二,2--a1 =64, a2=32, a3=16, a4=8,•B=a1+a2+a3+a4=64+32+16+8=120,故选：C4. （5分）（丄+x）（1 - -）4的展开式中x的系数是（）xA. 1B. 2C. 3D. 12【解答】解=（丄+x）（1 - 4 ■ +6x- 4x :. +x2）,X X•展开式中x的系数为1X 1+2X仁3.故答案为：C.5. （5 分）已知△ ABC中，tanA （sinC— sinB）=cosB— cosC,则厶ABC为（）A. 等腰三角形B. Z A=60°的三角形C•等腰三角形或/ A=60°的三角形D.等腰直角三角形【解答】解：tanA (sinC— sinB) =cosB— cosC,整理得：, cosA贝U: sinAsinC— sinAsinB=cosAcos- cosAcosC sinAsin C+cosAcosC=s inAsin BcosAcosB即：cos (A- C) =cos (A- B),贝U:①A-C=A- B,解得：B=C所以：△ ABC是等腰三角形.②A- C=B- A,解得：2A=B^C,由于：A+B+C=180, 则：A=60°,所以：△ ABC是/ A=60°的三角形.综上所述：△ ABC是等腰三角形或/ A=60°的三角形.故选：C6. （5分）已知等差数列｛a n｝的公差d M0,且a i, a3, a i3成等比数列，若a i=1, S h是数列｛a n｝前n项的和，则 * " （n€ N+）的最小值为（）订3A. 4B. 3C. 2 =- 2D. '2【解答】解：：a1=1, a1、a3、盹成等比数列,•••( 1+2d) 2=1+12d.得d=2或d=0 （舍去），--On =2n - 1,••• sn=JU=n2,片+3 2n+2令t=n+1,则」廿-2 > 6-2=4%+3 t22^+16当且仅当t=3，即n=2时，•的最小值为4.故选：A.7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）3 33【解答】解：由主视图和侧视图可知三棱锥倒立放置，棱锥的底面ABC水平放置，故三棱锥的高为h=4,结合俯视图可知三棱锥的底面为俯视图中的左上三角形，••• S 底二=4，• v= : =■■.故选：B.8. （5分）已知函数f（x）=asinx+cosx （a为常数，x€ R）的图象关于直线二—6对称，则函数g （x）=sinx+acosx的图象（）A.关于点：芈•，对称B.关于点：「斗.门对称C. 关于直线」：一对称D.关于直线）.对称3 6【解答】解：•••函数f （x ） =asinx+cosx（a为常数，x € R ）的图象关于直线・对称,=f (三)，即 仁X^a 」，二a 』^,3 2 2 3Vs . 2A /S . / 71 x=asinx+cosx= - sinx+cosx= sin (x+ ),3 3 3故函数 g (x ) =sinx+acosx=sin+ - cosx= ■- sin (x+ ),3 3 6当x= 时，g (x )=- 为最大值，故A 错误，故g (x )的图象关于直线 3 3 对称，即C 正确. 当x= 时，g （x ）=工0，故B 错误. 33当乂=二时，g （x ） =1,不是最值，故g （X ）的图象不关于直线x=—对称，排除6 6 D . 故选：C.az-y+2^09. （5分）设a >0,若关于x , y 的不等式组x+y-2>0，表示的可行域与圆（x x-2<0 -2） 2+y 2=9存在公共点，则z=x+2y 的最大值的取值范围为（ ）A . [8, 10] B. （6, +x ）C . （6, 8]D . [8, +^）【解答】解：如图，作出不等式组大致表示的可行域.>1 0圆（x - 2） 2+/=9是以（2, 0）为圆心，以3为半径的圆，而直线ax- y+2=0恒过定点（0, 2）,当直线ax- y+2=0过（2, 3）时，a 冷. 数形结合可得a 「[.化目标函数z=x+2y 为y=斗三•-f (0) ••• f(x)由图可知，当目标函数过点(2, 2a+2)时，z 取得最大值为4a+6, ••• a •—，二 z>8.••• z=>+2y 的最大值的取值范围为［8, +x). 故选：D .7110. (5分)已知函数f (x ) =2si n ( 妨+1 ( 0, | <^),其图象与直线y=- 1相邻两个交点的距离为n,若f (x )> 1对？x €(-2L ，匹)恒成立,12 3 则©的取值范围是( )【解答】解：函数f (x ) =2sin (3X©) +1 ( 3> 0, | ©| < ),其图象与直线2y=- 1相邻两个交点的距离为n, 故函数的周期为红=冗，••• 3 =2 f (x ) =2sin (2x+ ©) +1 .若 f (x ) > 1 对？ x € (- ,)恒成立，即当 x € (-, 一)时，sin (2x+©) lb 0 lb o> 0恒成立，故有 2k nV 2?(- , ) +©< 2? +©< 2k n +n ,求得 2k n + ©< 2k n +, k €Z ,12 3 6 3结合所给的选项, 故选：D .11. (5分)已知定义在R 上的奇函数f ( x )的导函数为f'(x ),当x < 0时，f ( x ) 满足2f (x ) +xf ( x )< xf (x ),则f (x )在R 上的零点个数为( )A . 1 B. 3C. 5 D . 1 或 3【解答】解：构造函数F (x ) =「］：(x < 0),2x£(芷)丘玄 +K '(x)巳*-兀2£(K )巴* H[2f(x)+xf‘ (x)ixf(x)]= = ‘ ，因为 2f (x ) +xf (x )< xf (x ), x < 0, 所以 F ' (x )> 0,所以F' (x )A .所以函数F (x )在x v 0时是增函数，又 F ( 0) =0 所以当 x v 0, F (x )v F (0) =0成立, 2因为对任意x v 0,二〉0,所以f (x )v 0,e x 由于f (X )是奇函数，所以x >0时f (x )> 0, 即f (x ) =0只有一个根就是0. 故选A .xlnx -2X 3 X 〉023 6 的图象上有且仅有四个不同的点关 x +yx> 尺D于直线y=- 1的对称点在y=kx- 1的图象上，则实数k 的取值范围是( )A. 「一 .B.亠•亠C.「 1. D.1.'/lriK -2X 3 X 〉023 八、的图象上有且仅有四个不同的点关x于直线y=- 1的对称点在y=kx- 1的图象上，而函数y=kx- 1关于直线y=- 1的对称图象为y=- kx - 1,ylnx ~2x, x 〉02 3 / “的图象与y=- kx - 1的图象有且只有四个不同的交点, x +豆尺，X 乞=0 \lnx-2xi 宜〉0 -: 的图象与y=- kx - 1的图象如下， +不垃，工乞易知直线y=- kx - 1恒过点A (0,- 1),设直线 AC 与 y=xlnx- 2x 相切于点 C (x , xlnx - 2x ), y ' =1-1, +L .i d xlnx _2x+l 故 lnx - 1=,x解得，x=1； 故 k AC = - 1 ；设直线AB 与y=x 2+[x 相切于点B (x , x 2+「x ),£ £12. (5分)已知函数f (x )= 【解答】解：•••函数f (x )= ••• f (x)= 作函数f (x )='22 2 解得，x=— 1；故 k AB =- 2+ =-］； 故-1v- k v- 1 , 2故］v k v 1； 2二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)191 197113. (5 分)已知 sin (=n +B) +2sin n — 0) =0,贝U tan + 0) = 2. 5 LU 5 【解答】解：T sin (J n +0) +2si n ( ■ n - 0) =sin ( + 0) —2sin (— 0)=)5 10 510=sin + 0 — 2cos + 0) =0,5 5 ••• sin (+ 0) =2cos (+ 0),二 tan (+ 0) =2,555故答案为：2.14.（5分）已知锐角^ ABC 的外接圆0的半径为1，Z ，则「「的取值 范围为 （3, -【解答】解：如图,O 的半径为1，Z B=「,••• ・亠一， sinA sinC C 厂-.,b二 .，・:=ca?cos =4X__ sin Asi n （〔6 2 6 = •"*.'•. 「 II . ：：1<= '二:一 n'=.-.I 「1_'•=•,*:-•••二—二，.••二.二3 2 33 323•「f 「€（ 3, — ■ d • 故答案为：（3,二心：）.15. （5分）数列｛&｝满足土广：2让-J _丁」，则数列｛an ｝的前100项 和为 5100.【解答】解：根据题意，数列｛a n ｝满足-,_「，：「 --、I ，则有 a 2=a i +2， a 3= - a 2+4= - a i +2， a 4=a 3+6=— a i +8，则 a=2sinA, c=2sinC C则a什a?+a3+a4=12；同理求得：a5+a6+a7+a8=28, a9+a io+a11+a12=44；100=4X 25,数列｛a n｝的前100项满足0, S8-0, S2 -S8, ••是以12为首项，16为公差的等差数列，则数列｛a n｝的前100 项和S=25X 12+ ' ■ X 16=5100;2故答案为：5100.16. (5分)函数y=f (x)图象上不同两点 A (X1, y1), B (X2,目2)处的切线的斜率分别是k A, k B,规定© (A, B) =「叫曲线y=f (x)在点A与点B之I AB |间的弯曲度”给出以下命题：(1)函数y=x3- x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1, 2,则(((A, B) > ~;(2)存在这样的函数，图象上任意两点之间的弯曲度”为常数；(3)设点A、B是抛物线，丫=启1上不同的两点，贝U © (A, B)< 2;(4)设曲线y=e x上不同两点A (刘，y) B (沁,y2),且X1 - X2=1，若t? ©(A,B)v 1恒成立，则实数t的取值范围是(-%, 1)；以上正确命题的序号为(2) (3) (写出所有正确的)【解答】解：对于(1),由y=x3- /+1,得y' =3-2x,则：. I 丨，：.二■:,y1=1,y2=5,则1工丨，「1 :" ,,ZA f kJ 呂_ 了# L /八卓、口©(A, B)=汀「,(° 错误;对于(2),常数函数y=1满足图象上任意两点之间的弯曲度”为常数，(2)正确;对于(3),设 A (为，yj , B (X2 , y2), y'=则k A - k B=2x1 - 2x2 , I AB I 二q(冥]-盖2)2 —乂2^) 2=J (肚[一梵2)2[l+(X[ + )<2)2〕正确；对于（4 ）,由 y=e ,得 y ' =e , ©（ A , B ）=匕巧卡七|纠t?（（（A , B ）v 1恒成立，即二「恒成立，t=1时该式 成立，•••（ 4）错误. 故答案为：（2）（ 3）.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17 . （12分）如图，在△ ABC 中，/ B==，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点， 且 AE=8, AC=4 ~；，/ CED=. （1）求CE 的长（2）若 CD=5,求 cos / DAB 的值.【解答】（本题满分为12分） 解: （1）：m …-丁 -；，••- （1 分）在厶 AEC 中，由余弦定理得 AC 2=A E ?+C E ?- 2AE?CEco / AEC ，••- （2 分）:-，…（4 分）• 1 t 二匚'.•••（ 5分）I ^A _k 02 I K ] - K 2-（2）在厶CDE 中，由正弦定理得' :',•••（6分）sinZCDE sinZCEDJo• • I 儿••• ■ • '|p1,…（7 分）5•••点D 在边BC 上, •••丄 ,而二二, 5 2CDE 只能为钝角，••- （8 分） •—二］,…9 分）•-, ••- （10 分）18. （12分）如图所示，A , B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在 单位圆上，/ AOP=0 （O V 0< n ）, C 点坐标为（-2, 0）,平行四边形OAQP 的面 积为S.所以（）：■.= .；■+ 卜'二（1+cos B, sin 0）.又平行四边形OAQP 的面积为10…（12分）0）, B （0 , 1）. P （cos 0, sin 0）,因为四所以⑴？ =1+cos 0.（3 分）=||二一「［|£丄sinz^CDEsinn7v V3_W3-3边形OAQP 是平行四边形, 的值.（1）求玉? g +S 的最大值;S=| i ? I '| sin 0=sin 0,所以 0丿？ j+S=1+cos 0+sin 0= sin ( 0+ ) +1. (5 分) 4又 O v 9< n, 所以当0=时，丘;？、.i+S 的最大值为 匚+1 . （7 分） 4(2)由题意，知 CB = (2, 1), 0P = (cos B, sin B), 因为 CB// OP,所以 cos 0=2sin O.2 2又 0< 0< n, cos 0+s in 0=1, 解得 sin 0= ■ - , cos 0= ■ ■,5 5 ,cos 2 0=CO £0- sin 2所以 sin (20--) =sin 2 论一 -cos 2 斷 一=；s =_分）19. (12分)已知数列｛a n ｝满足对任意的n € N*都有a n >0, 且 a 13+a 23+-+a n 3= (6+a 2+・・+a n ) 2.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 设数列 「 I 的前n 项和为S n ,不等式s n > 『(1-a )式对任意5 讣2 3 a 的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围..【解答】解：(1 )va 13+a 23+^ +a n 3= (a 1+a 2+・・+a ) 2,①则有 a 13+a 23+・・+a n 3+.. . - = (a 1+a 2+・・+a n +a n +1)2,② ② -①，得...-二(a 1+a 2+・・+a n +a n +1)2-( a [+a 2+・・+a n ) 2, ••• a n > 0, .-=2 (a 1+a 2+・・+a n ) +an +1，③同样有=2 (a 〔+a 2+…+a n -1)+a n (n 》2),④ ③ -④，得，…■-丄3+什a n .• a n +1 - a n =1，又 a 2- a 1=1，即当 n > 1 时都有 a n +1 - a n =1 ,所以 sin2 0=2sin 0cos.(13•••数列｛a n ｝是首项为1,公差为1的等差数列, 二 Oi=n .⑵由(1)知a n =n，则 s J (】• s n = 一 + 一 + 一 +••+「+ a l a 3务 02二 O v a < 1.20. (12分)已知函数 f (x ) =lnx - -厂，a € R . (1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若关于x 的不等式f (x )<( a - 1) x - 1恒成立，求整数a 的最小值. 【解答】解：(1) -：‘■,ZX函数f (x )的定义域为(0, +X ).当a <0时，f (x )> 0,则f (x )在区间(0, +x)内单调递增； 当a >0时，令f (x ) =0,则—或 -(舍去负值), 当[卜m ；丄时，f (x )>o , f (X )为增函数,J [ (1 - 一)+(]__) +(__])…(丄 2 3 2 4 3 5 n-1n+1丄(1』-^―-^―) 2 2 n+1 n+2 =「-,+ ).4 2 n+1 n+2 s n +1 - s n => O ,•数列｛S n ｝单调递增，• •( S) min =S=丄.3S n > log a (1 - a )对任意正整数n 恒成立,3要使不等式 叫-占)]只要log a ( 1- a).• 1 - a >a , 即 0<a <;.当：―时 ,f (x )v 0, f (x )为减函数.所以当a <0时，f (X )的单调递增区间为(0, +X ),无单调递减区间; 当a >0时，f (x )的单调递增区间为■' .，单调递减区间为I , •:.(2)由 |, ,■ ■ 1 ，i ， 得 2 ( lnx+x+1) w a (2x+x 2),因为x >0,所以原命题等价于一［汀二〒"“在区间(0，+x)内恒成立.令h (x ) =2lnx+x ,贝U h (x )在区间(0, +x)内单调递增, 由 h (1) =1>0, -I i i,所以存在唯一：，「厂.1.，使h (刈)=0,即2lnx 0+x o =O,所以当0v X V X o 时，g' (x )> 0, g (x )为增函数， 当x >x 0时，g' (x )V 0, g (x )为减函数，2(ln x n + x n +l) x n + 211所以x=X 0时，/=. =，所以._［；—又：.■' | . 1.,则「一 一乙xo因为a €乙所以a >2, 故整数a 的最小值为2.21. (12 分)已知函数 f (x ) =axe x -( a - 1) (x+1) 2 (其中 a € R, e 为自然对 数的底数，e=2.718128…).(1) 若f (x )仅有一个极值点，求a 的取值范围；(2) 证明：当■■■--亠时，f (x )有两个零点X 1, X 2,且-3V X 1+X 2V-2. 【解答】(1)解：f (x ) =ae X +axg -2 (a - 1) (x+1) = (x+1) (ae x - 2a+2), 由 f (x ) =0 得到 x=- 1 或 ae x - 2a+2=0 (*) 由于f (x )仅有一个极值点， 关于x 的方程(*)必无解， ①当a=0时，(*)无解，符合题意，②当a ^0时，由(* )得亠^-，故由.得O v a < 1,a 曰x z +2x二-2 仗+l)(21nx+Q:,由于这两种情况都有，当X V- 1时，f (x)v 0,于是f (X)为减函数，当x>- 1时，f (x)>0,于是f (x)为增函数，•••仅x=- 1为f (x)的极值点，综上可得a的取值范围是[0，1];(2)证明：由(1)当J…亠时，x=- 1为f (x)的极小值点，2又一「_ I -.J I'..' 对于恒成立，e e ‘-「一I对于J ' ：'1恒成立，e 2f (0) =-(a- 1)>0对于l恒成立，a•当-2v x v- 1时，f (x)有一个零点X1，当-1v x v 0时，f (x)有另一个零点X2,即—2v X1 v- 1，- 1 v x2V 0，且■' ■ ■ 1. ：■ ■■. ■：：■■■: . ; 1' 1：■' ，(#)所以-3v X1+X2<- 1，下面再证明X1+X2<- 2，即证X1 v- 2 —X2，由—1 v X2 v 0 得-2v- 2 - X2<—1，由于x v - 1, f (X)为减函数，于是只需证明f (X1 )> f (- 2 - X2),也就是证明 f ( - 2 - X2 ) v 0 , f (-2-耳？)二目(-2-卫三)e (-x 2T ) £二&(-2-叱)巴2-(旷1) (X ? + 1)'借助( # ) 代换可得z —r, 、-2-x,,令g (x) = (- 2 - x) e-2-X- xe X(- 1 v x v 0),则g' (x) = (x+1) (e 2 x-e x),I h (x) =e-2-x- e x为(-1, 0)的减函数，且h (- 1) =0,• g' (x) = (x+1) (e-2-x- e x)v 0 在(-1, 0)恒成立，于是g (x)为(-1, 0)的减函数，即g (x)v g (- 1) =0,••• f (- 2- X 2)< 0,这就证明了 X i +X 2<- 2, 综上所述，-3<x 1+x 2<- 2 .选做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. （10分）将圆（K=2c0S ^ （ B 为参数）上的每一点的横坐标保持不变，纵坐（y=2sin0 标变为原来的I 倍，得到曲线C.2 （1） 求出C 的普通方程；（2） 设A ，B 是曲线C 上的任意两点，且 OA 丄OB,求一: ------ - 的值.|0A|2 |0B|2【解答】解：（1）设（x i , y i ）为圆上的任意一点，在已知的变换下变为 C 上的 点（x ，y ），Jx=2cos e（2）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中, 曲线C 化为极坐标方程得: 贝U|OA|=p, |OB|=p.2 p COS (0cos B ・ r---- ----- +sin f ■+ 4'［选修4-5:不等式选讲］23. 已知函数 f (x ) =|x -2|+| 2x+a| , a € R.(1) 当a=1时，解不等式f (x )> 5;(2) 若存在x o 满足f (x o ) +|x 。