二元一次方程组第4讲竞赛—不定方程、方程组应用题
二元一次不定方程的解法总结与例题
探究二元一次不定方程（Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。
我们讨论二元一次方程的整数解。
The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解（Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。
一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式；②具有两个未知数；③未知项的次数是1。
如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。
定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
[1]二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。
通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。
竞赛专题18 简单的不定方程、方程组
简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题精讲【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对．(全国初中数学联赛试题)．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
专题4：不定方程(组)
8.4专题2：不定方程一．【知识要点】1.未知数的个数多于方程的个数的方程叫不定方程。
二．【经典例题】1.某球迷协会组织36名球迷拟租用汽车赴比赛场地为中国国家男子足球队呐喊助威，可租用的汽车有A、B两种型号：A型车每辆可乘8人，B型车每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.（1）共有几种不同的租车方案？（2）若A、B两种型号汽车的租金分别为300元/天和200元/天，求最省钱的租车方案和租车费用.2.已知73316104420x y zx y z++=⎧⎨++=⎩，求x y z++的值。
3.已知1001341003x y zx y z++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，且x y z、、都为正整数，求x y z、、的值。
4.某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元。
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元?(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两部手机共20台，请问有几种进货方案?请写出进货方案；(3)售出一部甲种型号手机,利润率为40%,乙型号手机的售价为1280元。
为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金m元,而甲型号手机售价不变,要使(2)中所有方案获利相同，求m的值。
三．【题库】【A】1.若3x+5y+6z=5,4x+2y+z=2，则x+y+z= .2.已知2x-y-z=0，3x+4y-2z=0，则x:y:z=_______.3.已知甲种物品每个重4kg,乙种物品每个重7kg,现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76kg.(1)列出关于x,y的二元一次方程；(2)若x=12，则y=________；(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有______个；(4)请你用含x的代数式表示y，然后再写出满足条件的x,y的全部整数解.4.写出方程x+2y=6的正整数解：__________.5.若方程6kx－2y＝8有一组解3,2,xy=-=⎧⎨⎩则k的值等于( )A.－16B.16C.23D.－236.若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z= .【B】1.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景。
2020年奥林匹克竞赛高中数学 牛师解密-二元一次方程组
【例20】 优化方案问题：某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每 吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加 工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬 菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工， 每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工 方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这 批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案
A．有且只有一解
B．有无数解
C．无解
D．有且只有两解
【例4】 若│x－2│＋(3y＋2)2 ＝0，则xy＝____ 【例5】 已知方程2x＋3y－4＝0，用含x的代数式表示y为：y＝
_______；用含y的代数式表示x为：x＝________． 【例6】 已知│x－1│＋(2y＋1)2 ＝0，且2x－ky＝4，则k＝_____． 【例7】 当y＝－3时，二元一次方程3x＋5y＝－3和3y－2ax＝a＋
为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，
问这两种储蓄各存了多少钱？(利息所得税＝利息金额×20%，教育
储蓄没有利息所得税)
Hale Waihona Puke 2【例16】和差倍分问题：(2011年北京丰台区中考一摸试题)“爱心”帐篷厂和 “温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐 篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加
【例18】 浓度问题：现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的 比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？
中考数学第八章 二元一次方程组(讲义及答案)及答案
中考数学第八章二元一次方程组(讲义及答案)及答案一、选择题1．某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人:若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则可列方程为（）A．7385y xy x=+⎧⎨=+⎩B．7385y xy x=+⎧⎨+=⎩C．7385y xy x=-⎧⎨+=⎩D．7385y xy x=-⎧⎨=+⎩2．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=()A．2 B．4 C．6 D．83．已知方程组211x yx y+=⎧⎨-=-⎩，则x＋2y的值为（）A．2 B．1 C．－2 D．34．若21xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的方程组27ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则(a+b)(a﹣b)的值为( )A．15 B．﹣15 C．16 D．﹣165．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（）．A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5253x yx y+=⎧⎨+=⎩C．53125x yx y+=⎧⎨+=⎩D．35251x yx y+=⎧⎨+=⎩6．二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．若二元一次方程组,3x y ax y a-=⎧⎨+=⎩的解是二元一次方程3570x y--=的一个解，则a为（）A．3 B．5 C．7 D．98．如下图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5，能判定AB∥CD的条件为（）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③9．满足方程组35223x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的x ，y 的值的和等于2，则m 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．510．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只 雀的重量为x 斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A ．56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B ．65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C ．56145x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩D ．65145x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩二、填空题11．“八月十五月儿圆，中秋月饼香又甜”，每中秋，皓月当空，阖家团聚，品饼赏月，谈天说地，尽享天伦之乐．今年中秋节前夕某商场结合当地情况，决定启动一笔专项资金用于月饼进货，经过一段时间，该商场已购进的京式、广式、苏式月饼总价之比为2:3:4，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种月饼，经测算需将余下资金的13购买京式月饼，则京式月饼的总价将达到这三种月饼总价的415．为了使广式月饼总价与苏式月饼的总价达到9:13，则该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是_____． 12．已知对任意a b ，关于x y ，的三元一次方程()()a b x a b y a b --+=+只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．13．如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，11BC =，7DE =，则图中阴影部分面积是____．14．綦江中学初二在数学竞赛活动中举行了“一题多解”比赛，按分数高低取前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，现调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，则调整后一等奖比二等奖平均分数多______分．15．在平面直角坐标系中，当点M （x,y ）不在坐标轴上时，定义点M 的影子点为M /(,)y x x y -.已知点P 的坐标为（a,b ），且a 、b满足方程组340416a c c ⎧++-=⎪=-（c 为常数）.若点P 的影子点是点P /，则点P /的坐标为___.16．我校第二课堂开展后受到了学生的追捧，学期结束后对部分学生做了一次“我最喜爱的第二课堂”问卷调查（每名学生都填了调査表，且只选了一个项目），统计后趣味数学、演讲与口才、信息技术、手工制作榜上有名．其中选信息技术的人数比选手工制作的少8人；选趣味数学的人数不仅比选手工制作的人多，且为整数倍；选趣味数学与选手工制作的人数之和是选演讲与口才与选信息技术的人数之和的5倍；选趣味数学与选演讲与口才的人数之和比选信息技术与选手工制作的人数之和多24人．则参加调查问卷的学生有________人．17．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元． 18．一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇．他问快艇驾驶员：“你后面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“半小时前我超过一艘轮船”．快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船．已知轮船静水速度是快船静水速度的2倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的____倍．19．为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮.其中，甲种粗粮每袋装有3千克A 粗粮，1千克B 粗粮，1千克C 粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克A 粗粮，2千克B 粗粮，2千克C 粗粮.甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中,,A B C 三种粗粮的成本价之和.已知A 粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%.若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是____________________. （-=100%⨯商品的售价商品的成本价商品的利润率商品的成本价）20．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．三、解答题21．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A ，B 两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A 型车和1辆B 型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A 型货车m 辆，B 型货车n 辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A 型车每辆需租金120元/次，B 型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．22．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答： 自来水销售价格 每户每月用水量 单位：元/吨15吨及以下a超过15吨但不超过25吨的部分 b超过25吨的部分5（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费___________元；（用a ，b 的代数式表示） （2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a ，b 的值．（3）在第（2）题的条件下，若交水费76.5元，求本月用水量．（4）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a ，b 的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况． 23．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S 1= （用含字母a 的式子表示）. 请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S △APE 与S △BPF 的比值. 24．先阅读材料再回答问题. 对三个数x ，y ，z ，规定{},,3x y zM x y z ++=；{}min ,,x y z 表示x,y,z 这三个数中最小的数，如{}12341,2,333M -++-==，{}min 1,2,31-=- 请用以上材料解决下列问题：（1）若{}min 2,22,422x x +-=,求x 的取值范围； （2）①若{}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+，求x 的值；②猜想：若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么a ，b ，c 大小关系如何？请直接写出结论； ③问：是否存在非负整数a ，b ，c 使{}{}27,321,41min 27,321,41M a b a b c a b a b c -++++=-++++等式成立？若存在，请求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.25．据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨，现有21吨枇杷，计划同时租用甲型车m 辆，乙型车n 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题:(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮个体商贩张杰设计共有多少种租车方案？26．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆）400500600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送，你能求出参与运送的三种汽车车辆数吗？（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据关键语句“若每组7人，余3人”可得方程7y ＋3−x ；“若每组8人，则缺5人．”可得方程8y−5＝x ，联立两个方程可得方程组． 【详解】解：设运动员人数为x 人，组数为y 组，由题意得： 列方程组为7385y x y x -⎧⎨+⎩＝＝ 故选D ． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．2．C解析：C 【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出x ，y 的值，再将其代入（x-y ）中即可求出结论． 【详解】依题意得：22226x y y x y -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：82x y =⎧⎨=⎩，∴x ﹣y =8﹣2=6． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．A解析：A 【分析】方程组中两方程相减即可求出x+2y 的值． 【详解】211x y x y +=⎧⎨-=-⎩①② ①-②得：x+2y=2， 故选A ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．4．B解析：B 【分析】把方程组的解代入方程组可得到关于a 、b 的方程组，解方程组可求a ，b ，再代入可求（a+b ）（a-b ）的值． 【详解】 解：∵21x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程组27ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解， ∴2227a b b a ＝，＝+⎧⎨+⎩ 解得14a b -⎧⎨⎩＝，＝∴（a+b ）（a-b ）=（-1+4）×（-1-4）=-15．故选B ． 【点睛】本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．5．A解析：A 【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可. 【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛， ∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛， ∴x+5y=2，∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.6．B解析：B 【详解】 解：2x+3y=15， 解得：x=3152y -+， 当y=1时，x=6；当y=3时，x=3， 则方程的正整数解有2对． 故选：B7．C解析：C 【分析】先用含a 的代数式表示x 、y ，即解关于x 、y 的方程组，再代入3570x y --=中即可求解. 【详解】 解：解方程组3x y a x y a -=⎧⎨+=⎩，得2x ay a =⎧⎨=⎩，把x =2a ，y=a 代入方程3570x y --=，得6570a a --=， 解得：a =7. 故选C. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念，求解的关键是先把a 看成已知，通过解关于x 、y 的方程组，得到x 、y 与a 的关系.8．C解析：C 【详解】解：①∵∠B+∠BCD=180°， ∴AB ∥CD ； ②∵∠1=∠2， ∴AD ∥BC ； ③∵∠3=∠4， ∴AB ∥CD ； ④∵∠B=∠5， ∴AB ∥CD ；∴能得到AB ∥CD 的条件是①③④． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是合理利用平行线的判定，确定同位角、内错角、同旁内角. 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 同位角相等，两直线平行.9．C解析：C 【解析】根据题意35223x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩①②，由加减消元法把①-②，得22x y +=③；然后由x 与y的和等于2，得到2x y +=④，再根据③-④，得0x =，最后把0x =代入④得2y =，因此可解得234m x y =+=． 故选：C.10．C解析：C 【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y ＝1(2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y ＝5y+x, 故选C. 【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组二、填空题11．【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：可得：①，解得：n=6m ， ②，可得： 解析：3:5【分析】由题意设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，根据题意列出方程进行解答即可． 【详解】解：设已购进京式月饼价格2m ，剩余资金为n ，由题意可得：可得：①()1429315m n m n +=+，解得：n=6m ， ②23a b n +=，可得：a+b=4m ， ③1349(2)113m a m b m n m n m +++=+-+=， ④（3m+a ）：（4m+b ）=9：13，93135342222m a m a m m b m b m +==+==，，，，∴a ：b=3：5，答：该商场还需购买的广式月饼总价与苏式月饼的总价之比是3：5． 故答案为：3：5． 【点睛】本题考查多次方程问题，解题的关键是根据题意列出多个方程得出其关系式解答．12．【分析】先把原方程化为的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案． 【详解】 解：由已知得： ∴两式相加得：，即， 把代入得到，， 故此方程组的解为：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考解析：01x y =⎧⎨=-⎩【分析】先把原方程化为(1)(1)0a x y b x y ---++=的形式，再分别令a ，b 的系数为0，即可求出答案．【详解】解：由已知得：(1)(1)0a x y b x y ---++=∴1010x y x y --=⎧⎨++=⎩两式相加得：20x =，即0x =，把0x =代入10x y --=得到，1y =-，故此方程组的解为：01x y =⎧⎨=-⎩． 故答案为：01x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】 本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计算，即可解答．13．51【分析】先设小长方形的长、宽分别为、，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由可求得，再根据，可解阴影面积.【详解】解：设小长方形的长、宽分别为、，依题意得：，即，解得：，，，解析：51【分析】先设小长方形的长、宽分别为x 、y ，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，由DC DE EC =+可求得DC ，再根据6ABCD S S S =-⨯阴影小长方形，可解阴影面积.【详解】解：设小长方形的长、宽分别为x 、y ，依题意得：31127y x y x y +=⎧⎨+-=⎩，即3117x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解得：81x y =⎧⎨=⎩， 818S ∴=⨯=小长方形，729DC DE EC ∴=+=+=，11BC =，11999ABCD S BC DC ∴=⋅=⨯=，6996851ABCD S S S ∴=-⨯=-⨯=阴影小长方形，本题的答案为51.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，利用了求面积中一种常用的方法割补法，面积总量不变，扣掉较容易求出的图形面积，可得解.14．5【分析】设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分，根据总分不变，列出方程，求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2解析：5【分析】设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分，根据总分不变，列出方程，求出原来一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案．【详解】设原一等奖平均分为x 分，原二等奖平均分为y 分，原三等奖平均分为z 分， 由题意可得：5x+15y+40z=10（x ﹣3）+20（y ﹣2）+30（z ﹣1）①，z=y ﹣7 ②； 由①得：x+y ﹣2z=20 ③，将②代入③得：x+y ﹣2（y ﹣7）=20，解得：x ﹣y=6，即原来一等奖比二等奖平均分多6分，∵调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，∴（x ﹣3）﹣（y ﹣2）=（x ﹣y ）﹣1=6﹣1=5（分），即调整后一等奖比二等奖平均分数多5分，故答案为：5．【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用．找出等量关系并列出方程是解答本题的关键．15．（）【解析】【分析】由方程组变形可得，由非负数性质可求c=4，a=-3，b=1，再依据影子点定义即可求出点P/的坐标.【详解】解：∵方程组（c 为常数），∴，∵，，∴，∴c=4，∴解析：（1,33-）【解析】【分析】由方程组变形可得3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-，由非负数性质可求c =4，a =-3，b =1，再依据影子点定义即可求出点P /的坐标.【详解】解：∵方程组340416a c c ⎧++-=⎪=-（c 为常数），∴3=-(4)4(4)a c c ⎧+-⎪=-， ∵30a +≥0，∴-(4)04(4)0c c -≥⎧⎨-≥⎩， ∴c =4，∴31a b =-⎧⎨=⎩， ∴P 坐标为（-3，1）， 根据定义可知点P 的影子点P /为（13(,)31--- ，即为P /（1,33-）. 故答案为（1,33-）.【点睛】本题考查了非负数性质和新定义运算.解题关键是利用方程变形和非负数性质得出c -4=0. 16．48【分析】设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可. 【详解】设选信息技术的有x人，选解析：48【分析】设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意列出方程组，结合实际情况讨论求解即可.【详解】设选信息技术的有x人，选演讲与口才有y人，则手工制作的有（x+8）人，选趣味数学的有a（x+8）人，根据题意得：()()()()()1858824a x x ya x y x x⎧++=+⎪⎨++--+=⎪⎩①②，②可变形为：（a-1）（x+8）=24+x-y③，①+③，得2a（x+8）=24+6x+4y，即a=12328x yx+++；①-③，得x+3y=20．∵x、y都是正整数，∴171xy=⎧⎨=⎩或142xy=⎧⎨=⎩或113xy=⎧⎨=⎩或84xy=⎧⎨=⎩或55xy=⎧⎨=⎩或26xy=⎧⎨=⎩当171xy=⎧⎨=⎩、142xy=⎧⎨=⎩、113xy=⎧⎨=⎩、84xy=⎧⎨=⎩、55xy=⎧⎨=⎩，a=12328x yx+++都不是整数，不合题意．当26xy=⎧⎨=⎩时，a=12328x yx+++=3．∴选信息技术的有2人，选演讲与口才的有6人，选手工制作的有10人，选趣味数学的有30人，由于每名学生都填了调査表，且只选了一个项目，所以参加调查问卷的学生有2+6+10+30=48（人）．故答案为48【点睛】本题考查了二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．17．105【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解：设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得：3×（1）-2×（2）得：x+y+z=105解析：105【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.【详解】解：设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得：37315(1)410420(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩3×（1）-2×（2）得：x+y+z=105,∴购买甲、乙、丙各1件，共需105元．【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 18．5【解析】设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），解得：y=5x即快艇静水速度是快船的解析：5【解析】设水流速度是a ，快船的静水速度是x ，快艇的静水速度是y ，依题意可得轮船的静水速度为2x ，则：0.5（x+a ）+（2x-a ）=0.5（y-a ），解得：y=5x即快艇静水速度是快船的静水速度的5倍，故答案为：5.【点睛】本题考查了一次方程组的应用，找准等量关系是做本题的关键，借助图例可以帮助我们理解题意．题中虽然有三个未知数，但在计算过程中可以抵消一个．19．【解析】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a 袋甲种粗粮的利润+b袋乙种粗粮的利润，列出方程解析：8 9【解析】【分析】先分别根据已知条件计算出甲、乙的成本，然后设设甲销售a袋，乙销售b袋使总利润率为24%，根据等量关系：（甲的成本+乙的成本）×24%=a袋甲种粗粮的利润+b袋乙种粗粮的利润，列出方程进行整理即可得.【详解】用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：由题意可得甲的成本价为：130%=45（元），甲中A的成本为：3×6=18（元），则甲中B、C的成本之和为：45-18=27（元），根据乙的组成则可得乙的成本价为：6+27×2=60（元），设甲销售a袋，乙销售b袋使总利润率为24%，则有（45a+60b）×24%=(58.5-45)a+(72-60)b，整理得：2.7a=2.4b，所以，a：b=8：9，故答案为8 9 .【点评】本题考查了方程的应用，难度较大，根据题意求出甲、乙两种包装的成本价是解题的关键.20．【分析】可设甲堆原来有x个苹果，乙堆原来有y个苹果，丙堆原来有z个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙解析：【分析】可设甲堆原来有x个苹果，乙堆原来有y个苹果，丙堆原来有z个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解．【详解】解：设甲堆原来有x个苹果，乙堆原来有y个苹果，丙堆原来有z个苹果，依题意有()432x y z x y x y y y z z z x y ++=⎧⎨-+-=+-=+--⎩， 解得19812688x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故甲堆原来有198个苹果．故答案为：198．【点睛】考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．三、解答题21．（1）1辆A 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘2吨；（2）①共有4种租车方案，方案1：租用1辆A 型车，9辆B 型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B 型车；方案3：租用5辆A 型车，3辆B 型车；方案4：租用7辆A 型车；②最省钱的租车方案是租用7辆A 型车，最少租车费是840元【分析】（1）设1辆A 型车满载时一次可运柑橘x 吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘y 吨，根据“用2辆A 型车和3辆B 型车一次可运柑橘12吨；用3辆A 型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为非负整数，即可得出各租车方案；②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设1辆A 型车满载时一次可运柑橘x 吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘y 吨，依题意，得：23123417x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：32x y ==⎧⎨⎩． 故答案为：1辆A 型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B 型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）①依题意，得：3m+2n ＝21，∴m ＝7﹣23n ． 又∵m ，n 均为非负整数，∴19m n =⎧⎨=⎩或36m n =⎧⎨=⎩或53m n ==⎧⎨⎩或70m n =⎧⎨=⎩． 答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A 型车，9辆B 型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B 型车；方案3：租用5辆A 型车，3辆B 型车；方案4：租用7辆A 型车． ②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），方案4所需租车费为120×7＝840（元）．∵1020＞960＞900＞840，故答案为：最省钱的租车方案是租用7辆A 型车，最少租车费是840元．【点睛】本题主要考查列二元一次方程以及利用二元一次方程解决方案问题，正确理想二元一次方程组并运用二元一次方程解决方案问题是本题解题的关键．22．(155)a b +；23a b =⎧⎨=⎩；28.3吨；a 的值上调了0.4时b 的值上调了0.6或者a 的值上调了0.6时b 的值上调了0.1.【分析】（1）小王家今年3月份用水20吨，超过15吨，所以分两部分计费，15吨及以下费用为15a ，超过15吨的费用为(2015)5b b -=，故总费用155a b +；（2）依题意列方程组1564815105270a b a b +=⎧⎨++⨯=⎩，可求解； （3）在第（2）题的条件下，正好25吨时，所需费用60（元），可知若交水费76．5元，肯定用水超过25吨，可得用水量；（4）由小王家5月份用水量与4月份用水量相同与要比4月份多交9．6元钱水费，可列方程，满足方程的条件的解列出即所求.【详解】解：（1）小王家今年3月份用水20吨，要交消费为155a b +，故答案为：(155)a b +；（2）根据题意得，1564815105270a b a b +=⎧⎨++⨯=⎩， 解得：23a b =⎧⎨=⎩； （3）在第（2）题的条件下，当正好25吨时，可得费用15210360⨯+⨯=（元），由交水费76．5元可知，小王家用水量超过25吨，即：超过25吨的用水量(76.560)5 3.3=-÷=吨，合计本月用水量 3.32528.3=+=吨（4）设a 上调了x 元，b 上调了y 元，根据题意得：1569.6x y +=，52 3.2x y ∴+=，,x y 为整数角线（没超过1元），∴当0.6x =时，0.1y =元，当0.4x =时，0.6y =元，∴a 的值上调了0.4时，b 的值上调了0.6；a 的值上调了0.6时，b 的值上调了0.1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，并学会看图提练已知，用二元一次方程列举法来表示解.23．（1）19a ；（2）315；（3）23. 【解析】【分析】（1）首先根据题意，求得S △A1BC =2S △ABC ，同理可求得S △A1B1C =2S △A1BC ，依此得到S △A1B1C1=19S △ABC ，则可求得面积S 1的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC 的面积；（3）设S △BPF =m ，S △APE =n ，依题意，得S △APF =S △APC =m ，S △BPC =S △BPF =m ．得出23APE BPF S S ∆∆=，从而求解．【详解】解：（1）连接A 1C ， ∵B 1C=2BC ，A 1B=2AB ，∴122BCA ABC SS a ==,122BCA ABC S S a ==,1112A B C BCA S S =， ∴1144A B C ABC SS a ==， ∴1166A B B ABC S S a ==，同理可得出：11116A AC CB C S S a ==，∴S 1=6a+6a+6a+a=19a ；故答案为：19a ；（2）过点C 作CG BE ⊥于点G ，设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，1·702BPC S BP CG ∆==；1·352PCES PE CG ∆==， ∴1·7022135·2BPCPCE BP CG S S PE CG ∆∆===． ∴2BP EP=，即2BP EP =． 同理，APB APE S BP S PE∆∆=． 2APB APE S S ∆∆∴=． 842x y ∴+=．① 8440APB BPD S AP x S PD ∆∆+==，3530APC PCD S AP y S PD ∆∆+==， ∴84354030x y ++=．② 由①②，得5670x y =⎧⎨=⎩， 315ABC S ∆∴=．（3）设BPF S m ∆=，APE S n ∆=，如图所示．依题意，得APF APC S S m ∆∆==，BPC BPF S S m ∆∆==．PCE S m n ∆∴=-．BPC APB APE PCE S S BP S S PE∆∆∆∆==， ∴2m m n m n=-． 2()m m n mn ∴-=，0m ≠，22m n n ∴-=． ∴23n m =． ∴23APE BPF S S ∆∆=． 【点睛】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．24．（1）0≤x≤1；（2）①x=1；②a=b=c ；③存在 063a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩使等式成立 . 【解析】【分析】(1)根据题意可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案；(2)①先求出{}21,21M x x x +=+，，继而根据题意可得{}min 2,1,21x x x +=+，由此可得关于x 的不等式组，求解即可得；②M{a ，b ，c}=3a b c ++，如果min{a ，b ，c}=c ，则a ≥c ，b ≥c ，即3a b c ++=c ，由此可推导得出a=b=c ，其他情况同理可证，故a=b=c ；③由②的结果可得关于a 、b 、c 的方程组，由此进行求解即可得.【详解】(1)由题意得2224-22x x +≥⎧⎨≥⎩， 解得0≤x≤1；(2)①{}21221,213x x M x x x ++++==+， {}{}21,2min 2,1,2M x x x x ，+=+所以{}min 2,1,21x x x +=+则有1212x x x +≤⎧⎨+≤⎩ 即11x x ≤⎧⎨≥⎩所以x=1。
二元一次方程组第4讲竞赛—不定方程、方程组应用题
二元一次方程组——不定方程、方程组应用题1、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。
这个“不定方程”是指方程解的不确定性。
2、若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。
这个不定也是指方程组的解的不确定。
3、形如ax+by=c （a 、b 、c 都是整数，且ab ≠0)的方程称为二元一次不定方程，二元一次不定方程是最简单的不定方程。
一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题：（1）若（a ，b ）=d ，且d 不能整除c ，则不定方程ax+by=c 没有整数解。
（2）若00,x y 是方程ax+by=c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩（t 为整数）是方程的全部整数解（称通解）。
4、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活运用：奇偶性、 整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。
5、求整系数不定方程ax+by=c 的整数解，通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解（2）求一个特解（3）写出通解（4）由整数t 同时要满足条件（不等式组），代入（2）中表达式，写出不定方程的正整数解。
6、解不定方程组的基本方法：（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解（3）运用整体思想方法求解。
【练习1】判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解①2x+4y=7 ②2x+5y=1【练习2】求不定方程31x+23y=185的整数解。
【练习3】①求方程7x+4y=100的正整数解： ②求方程6x+22y=90的非负整数解【练习4】求方程组102518x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的非负整数解。
【练习5】求方程3x-y-6z=2的整数解。
二元一次方程(不等式)组应用
二元一次方程1．你知道吗？中国在近几届亚运会金牌榜上一直位居榜首，下表是第十五届亚运会中某日的金牌榜．根据此表你能列出方程组求出中国获得的金牌数吗？请试之．2．根据条件，设出适当的未知数，并列出二元一次方程或方程组．（1）摩托车的速度是货车的倍，它们速度之和是150km/h；（2）某时装的价格是某皮装价格的1.4倍，5件皮装要比3件时装贵2800元．3．根据题意列出方程组：（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？4．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？5．甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天．为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．问乙、丙二队合作了多少天？6．（2018•株洲）食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？7．（2018•扬州）古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180M的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12M，B工程队每天整治8M，共用时20天．（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示，y表示乙：x表示，y表示（2）求A、B两工程队分别整治河道多少M．8．（2018•烟台）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60M，下坡路每分钟走80M，上坡路每分钟走40M，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．请问小华家离学校多远？9．（2018•威海）为了参加2018年威海国际铁人三项（游泳，自行车，长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑工程进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600M，跑步的平均速度为每分钟200M，自行车路段和长跑路段共5千M，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．10．（2018•台州）毕业在即，九年级某班为纪念师生情谊，班委决定花800元班费买两种不同单价的留念册，分别给50位同学和10位任课教师每人一本作纪念，其中送给任课教师的留念册单价比给同学的单价多8元．请问这两种不同留念册的单价分别是多少？11．（2018•泉州）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息．解决问題：（1）试计算两种笔记本各买了多少本？（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？12．（2018•娄底）为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实际“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实际“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．（1）小张家2018年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．13．（2018•临沂）去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大旱灾，为支援该镇抗旱，上级下达专项抗旱资金80万元用于打井，已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元，求这两种井各打多少口？14．（2018•济南）某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？20（2018•长沙）某工程队承包了某标段全长1755M的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6M，经过5天施工，两组共掘进了45M．（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少M？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2M，乙组平均每天能比原来多掘进0.3M．按此旄工进度，能够比原来少用多少天完成任务？21．（2018•长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．不等式（组）1．（2018•永州）某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元．（1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？（2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？2．（2018•温州）2018年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．（1）求这份快餐中所含脂肪质量；（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．6、（2018•铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元．（1）篮球和排球的单价分别是多少元？（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？7、（2018•绍兴）筹建中的城南中学需720套单人课桌椅（如图），光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子的必须5人一组．每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务．（1）问光明厂平均毎天要生产多少套单人课桌椅？（2）现学校筹建组要求至少提前1天完成这项生产任务．光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案．8、（2018•邵阳）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人．规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的，八年级学生占合唱团总人数的，余下的为七年级学生．请求出该合唱团中七年级学生的人数．9、（2018•清远）某电器城经销A型号彩电，今年四月份毎台彩电售价为2000元．与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同的，但去年销售额为5万元，今年销售额为4万元．（1）问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？（2）为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电，已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？（3）电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获利最大？最大利润是多少？10、（2018•宁波）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元．相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．11、（2018•内江）某电脑经销商计划购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购电脑机箱10台和液液晶显示器8台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和液示器5台，共需要资金4120元．（1）每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？（2）该经销商购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？12、（2018•绵阳）王伟准备用一段长30M的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为aM，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2M．（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7M吗？请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由．数量的．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买18、（2018•桂林）某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人，如果给每个老人分5盒，则剩下38盒，如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得一盒．（1）设敬老院有x名老人，则这批牛奶共有多少盒？（用含x的代数式表示）．（2）该敬老院至少有多少名老人？最多有多少名老人？19、（2018•毕节地区）小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题．（1）这个学校九年级学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？。
七年级数学二元一次方程组(不定方程)拔高题(竞赛班)
七年级数学二元一次方程组拔高题（竞赛班）一、选择题. 1.已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩ D.519a b =⎧⎨=-⎩2. 如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( )A.1B.0C.2D. 2- 3．方程72=+y x 在正整数范围内的解（ ）（A ）有无数解 （B ）只有一组 （C ）只有三组 （D ）以上都不对 4．方程199119891990=-y x 的一组正整数解是（ ） (A)12768,12785==y x (B)12770,12785==y x11941,11936)(==y x C 12623,13827)(==y x D5.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -=6.某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位 （ ）A.25B.26C.27D.28 7．已知关于x 的方程232xa x -=+的解是x=2，则a= ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、6 8．已知()20a b ax b x-++=是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x=( )A 、-1B 、1C 、OD 、2 9．正整数x ，y 满足(x-1)(y-1)=9，则x+y 的值是 ( ) A 、8 B 、10 C 、12 D 、8或12 10．方程2(2-x)=xy+1的整数解有( )组．A 、2B 、3C 、4D 、511．有人问一位老师，他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩下3位学生在操场踢足球．”则这个班共有学生( )人．A 、26B 、28C 、30D 、56 12、m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数 （ ）A 、9,7,10,6.B 、2，8.C 、±1，±2，±4，±8.D 、±1，±2.13．在公路上，汽车A ，B ，C 分别以每小时60、40、30千米的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，B ，C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇，则甲、乙两站相距 ( )千米．A 、1800B 、1950C 、2000D 、160014．若正整数x ，y 满足5x=2009y ，则x+y 的最小值是 ( ) A 、2000 B 、2010 C 、2014 D 、2019 15．已知关于x 的方程3mx+1=0和x+2n=0是同解方程，那么()2mn =( ) A 、125 B 、136C 、36D 、181二、填空题.1.关于x y 、的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 .2.设m 和n 大于0的整数，且,22523=+n m ①若m 和n 最大公约数为15，则______=+n m ；②若m 和n 的最小公倍数为45，则________=+n m3. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程. 4.方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 .5.如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .6. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= .7. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-= .8．方程7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-的根是_______________． 9．七(2)班有学生50名，其中参加数学小组的有28人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少4，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的13多2，则 同时参加这两个小组的人数是_______________．10．已知关于x 的方程(3a+2b)x+17=0无解，则a b •_____0(填>，≥，<，≤)．11．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程374ax a a=-+有整数根，则a 的值共有_______________个．12．父亲比小明大24岁，并且2008年的年龄是小明2010年年龄的3倍，则小明2009年的年龄是_____岁．14．用正三角形和正六边形来进行镶嵌，则需________个正三角形和________个正六边形或________个正三角形和_________个正六边形．15．现有红、黄、蓝三种颜色的球共23个，其中红球个数是黄球个数的7倍，那么其中蓝球的个数是_________个． 16．已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x ，y 均为整数，则m=_______________．17．一艘轮船航行于两码头之间，顺航需4小时，逆航需5小时，已知水流速度为每小时 3千米，则轮船在静水中的速度为每小时________千米．18．若k 是为正整数，则使得方程(k-2008)x=2010-2009x 的解也是正整数的是的值有_________个．19、用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有 种不同的买法.20、求方程12511=+y x 的正整数解 . 三、解答题.1.运用适当的方法解方程.⎩⎨⎧=--+=++-20)5(8)7.0(527)7.0(5)5(20x y y x⎩⎨⎧=+=+887.53.41127.43.5y x y x1:14:3)4(:)(:)6(=+-+-y x y x x199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩2．求下列不定方程的整数解： (1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y ＝5．(3)2x+5y+7z+3t=103、已知xyz≠0,且⎩⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++-+的值。
初中竞赛数学27.不定方程、方程组(含答案)
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
江苏省2022-2023学年七年级下学期第10章《二元一次方程组》竞赛题精选(解析版)
江苏省2022-2023学年七年级下学期第10章《二元一次方程组》竞赛题精选姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元【分析】设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，建立三元一次方程组，两个方程相减，即可求得x+y+z的值．【解答】解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，根据题意得，②﹣①得x+y+z＝1.05（元）．故选：B．【点评】解答此题的关键是根据题意列出方程组，同时还要有整体思想．2．（5分）若关于x，y的方程组没有实数解，则（）A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2【分析】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可求出ab的值．【解答】解：，由①得，x＝﹣1﹣ay，代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a＝0，即（﹣ab﹣2）y＝b﹣a，因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2＝0，ab＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法．3．（5分）有一份选择题试卷共6道小题，一道小题答对得8分，不答得0分，答错倒扣2分，某同学共得了20分，那么他答卷情况是（）A．答对1题B．答对3题C．有3题没答D．答错2题【分析】假设答对x题，答错的有y题，不答的有z题，依题意得，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0且都为整数，分情况讨论即可得出答案．【解答】解：设答对x题，答错的有y题，不答的有z题，依题意得：，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0且都为整数，当x＝0时，z＝﹣10，不合题意舍去；当x＝1时，z＝﹣6，不合题意舍去；当x＝2时，z＝﹣2，不合题意舍去；当x＝3时，z＝2，y＝1；当x＝4时，z＝6，y＝﹣4，不合题意舍去；当x＝5时，z＝10，y＝﹣9，不合题意舍去；当x＝6时，z＝14，y＝﹣14，不合题意舍去；综上所述，该同学答对的有3题，答错的有1题，不答的有2题．故选：B．【点评】本题考查了三元一次方程组的知识，解答此题的关键是列出方程组，就x的取值讨论得到方程组的解，难度较大．4．（5分）方程x+y+z＝7的正整数解有（）A．10组B．12组C．15组D．16组【分析】利用已知条件方程x+y+z＝7的正整数解，得出x，y，z的取值范围，列出所有的可能即可．【解答】解：根据已知条件1≤x≤5，1≤y≤5，1≤z≤5，列出所有的可能即可：当x＝1时，x＝1，y＝1，z＝5x＝1，y＝2，z＝4x＝1，y＝3，z＝3 x＝1，y＝4，z＝2 x＝1，y＝5，z＝1 当x＝2时，x＝2，y＝1，z＝4 x＝2，y＝2，z＝3 x＝2，y＝3，z＝2 x＝2，y＝4，z＝1 当x＝3时x＝3，y＝1，z＝3 x＝3，y＝2，z＝2 x＝3，y＝3，z＝1 当x＝4时，x＝4，y＝1，z＝2 x＝4，y＝2，z＝1 当x＝5时，x＝5，y＝1，z＝1 所以共有15组．故选：C．【点评】此题主要考查了三元一次方程的解法，从已知入手得出未知数的取值范围即可，难度不大．5．（5分）方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】要求方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解，知其两个因式分别等于1，7或7，1即可．【解答】解：∵要求（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解，∵7＝1×7，∴有两种情况：①|x|+1＝1，|y|﹣3＝7，解得x＝0，y＝±10，②|x|+1＝7，|y|﹣3＝1解得，x＝±6，y＝±4，∴方程（|x|+1）（|y|﹣3）＝7的整数解有6对．故选：D．【点评】此题考查二元一次方程的解及其取整问题和绝对值的性质，是一道比较有难度的题．6．（5分）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（）A．30 B．34 C．40 D．44【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，得，解得；代入y＝x3+ax2+bx+c得：y＝x3﹣18x2+117x﹣210，把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，解法二：y﹣10x＝x3+ax2+bx+c＝0有三个根5，6，7，∴y＝（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）+10x．∴当x＝4时，y＝34．故选：B．【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．7．（5分）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（）①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；④若用x表示y，则y＝﹣；A．①②B．②③C．②③④D．①③④【分析】根据方程组的解法可以得到x+y＝2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，【解答】解：关于x，y的二元一次方程组，①+②得，2x+2y＝4+2a，即：x+y＝2+a，（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，∴a＝﹣2，故①正确，（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，当a＝1时，x+y＝3，而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，因此②不正确，（3）方程组，解得，∴x+2y＝2a+1+2﹣2a＝3，因此③是正确的，（4）方程组，由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），即；y＝﹣+因此④是正确的，故选：D．【点评】考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．8．（5分）如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为l，则标号为①的正方形的边长为（）A．l B．l C．l D．l【分析】设两个大正方形边长为x，小正方形的边长为y，由图可知周长和列方程和方程组，解答即可．【解答】解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴两个大正方形相同、2个长方形相同．设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），∵大长方形周长＝l，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝l，∴8y＝l，∴y＝∵3个正方形和2个长方形的周长和为l，即：，∴16y+4x＝，∴x＝，则标号为①的正方形的边长，故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质和二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，要明确中心对称的性质，找出题目中的等量关系，列出方程组．注意各个正方形的边长之间的数量关系．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）9．（5分）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为45 ．【分析】设十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是9、新两位数﹣原两位数＝9”列方程组求解可得．【解答】解：设十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得：，解得：，∴原来的两位数为45，故答案为：45．【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意抓住相等关系列出方程是解题的关键．10．（5分）如图所示，矩形ABCD被分成一些正方形，已知AB＝32cm，则矩形的另一边AD＝29 cm．【分析】可以设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，根据已知AB＝CD＝32cm，可得到两个关于xy的方程，求方程组即可得解，然后求矩形另一边AD的长即可，仍可用xy表示出来．【解答】解：设最小的正方形的边长为x，第二小的正方形的边长为y，将各个正方形的边长都用x和y表示出来（如图），根据AB＝CD＝32cm，可得，解得：x＝4cm，y＝5cm．矩形的另一边AD＝x+2y+y+2y＝x+5y＝29cm．故答案填：29．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂图意根据矩形的性质列出方程组并求解．11．（5分）若2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0且xyz≠0，则＝．【分析】此题可先联立两个方程成为二元一次方程组然后求出x，y，z的比值，再把原式化简即可．【解答】解：∵2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0，将前式乘以2，后式乘以3，两式相减得：x＝4z，将前式乘以3，后式乘以2，两式相减得：y＝3z．∴．【点评】此题考查的是学生对于二元一次方程的解法的了解，能够较好的运用比值关系求解．12．（5分）如图，甲乙两车分别自A、B两城同时相向行驶，在C地相遇继续行驶分别达到B、A两城后，立即返回，在D处再次相遇．已知AC＝30千米，AD ＝40千米，则AB＝65 千米，甲的速度：乙的速度＝．【分析】设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据到C点时甲乙用时相同可列一个方程，再根据到达D时两人用时也相同可得第二个方程，求方程组的解即可．【解答】解：设甲速度为a，乙速度为b，BD为x千米，根据题意得：，解方程得x＝25，．则AB＝AD+BD＝65（千米）．故答案两空分别填：65、．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，看懂图意，根据题目给出的条件找出等量关系，列出方程组再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．13．（5分）若关于x，y方程组的解为，则方程组的解为．【分析】利用整体思想可得，【解答】解：利用整体思想可得，解得．【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是学会利用整体的思想解决问题．14．（5分）已知m，n均为正整数，且满足，则当m＝72 时，n取得最小值 5 ．【分析】先移项，用m表示出n，再根据n最小可得出关于m的不等式，求出m的取值范围，再由m，n均为正整数即可得出符合条件的m、n的值．【解答】解：移项得，n＝﹣﹣75＝﹣75，∵m、n为正整数，∴﹣75≥0，∴m≥67.5，若n取得最小值，则与75无限接近且m为正整数，∴当m＝72时，n最小＝5．【点评】本题考查的是解二元一次方程，解答此类题目时要注意此类方程属不定方程，由无数组解，要根据题意找出符合条件的未知数的对应值．三．解答题（共4小题，满分30分）15．（6分）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．【分析】（1）把甲乙求得方程组的解分别代入原方程组即可；（2）把甲乙所求的解分别代入方程②和①，求出正确的a、b，然后用适当的方法解方程组．【解答】解：（1）把代入方程组，得，解得：．把代入方程组，得，解得：．∴甲把a看成﹣5；乙把b看成6；（2）∵正确的a是﹣2，b是8，∴方程组为，解得：x＝15，y＝8．则原方程组的解是．【点评】此题难度较大，需同学们仔细阅读，弄清题意再解答．16．（8分）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示．试求图中阴影部分的总面积（写出分步求解的简明过程）【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于xy的两个方程，可求得解，从而可得到大长方形的面积，再根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积求解即可．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，x+3y＝14，①x+y﹣2y＝6，即x﹣y＝6，②①﹣②得4y＝8，y＝2，代入②得x＝8，因此，大矩形ABCD的宽AD＝6+2y＝6+2×2＝10．矩形ABCD面积＝14×10＝140（平方厘米），阴影部分总面积＝140﹣6×2×8＝44（平方厘米）．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，以及学生对图表的阅读理解能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．17．（8分）爸爸想送Mike一个书包和随身听作为新年礼物．在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，（1）求随身听和书包单价各是多少元．（2）新年来临赶上商家促销，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？【分析】（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，根据随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，列方程组求解；（2）根据两商家的优惠方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱．【解答】解：（1）设书包单价为x元，则随身听单价为y元，由题意得，，解得：．答：书包单价92元，随身听单价360元．（2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金：452×＝361.6（元）∵361.6＜400，∴可以选择在人民商场购买；在家乐福可先花现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，共花现金360+2＝362（元），∵362＜400，∴可以选择在家乐福购买．∵362＞361.6，∴在人民商场购买更省钱．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．18．（8分）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙5 8 10汽车运载量（吨/辆）汽车运费（元/辆）400 500 600（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆列出方程组即可．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，列出等式．【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得，解得．答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（14﹣a﹣b）＝120，化简得5a+2b＝20，即a＝4﹣b，∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，∴b只能等于5，从而a＝2，14﹣a﹣b＝7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，∴需运费400×2+500×5+600×7＝7500（元）．答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握。
2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题(解析版)
2020-2021学年浙江七年级数学下第二章《二元一次方程组》竞赛题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.方程(m−2016)x|m| − 2015+(n+4)y|n| − 3=2018是关于x、y的二元一次方程，则()A. m=±2016；n=±4B. m=2016，n=4C. m=−2016，n=−4D. m=−2016，n=4【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程．根据二元一次方程的定义可得：|m|−2015=1，|n|−3=1且m−2016≠0，n+4≠0，求出m、n的值．【解答】解：由题意得：|m|−2015=1，|n|−3=1，解得：m=±2016，n=±4，∵m−2016≠0，n+4≠0，解得：m≠2016，n≠−4，∴m=−2016，n=4．故选D．2.若k为整数，则使得方程(k−1999)x=2001−2000x的解也是整数的k值有()A. 4个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，要会用代入法判断二元一次方程的解．该题，主要用的是排除法．先把原方程变形为(k−1999)x+2000x=2001，得出x=2001k+1然后求出2001的因数有16个．【解答】解：原方程变形得：(k −1999)x +2000x =2001， ∴x =2001k+1，∵k 为整数，∴2001的因数有：1，3，23，29，69，87，667，2001，−1，−3，−23，−29，−69，−87，−667，−2001． ∴共有16个． 故选D ．3. 方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为{x =4y =6，则方程组{4a 1x +3b 1y =5c14a 2x +3b 2y =5c 2的解为( )A. {x =4y =6B. {x =5y =6C. {x =5y =10D. {x =10y =15【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据方程组解的定义即可判断；把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，即可得到一个关于x ，y 的方程组，即可求解． 【解答】解：∵方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2的解为{x =4y =6，∴将第二个方程组的两个方程的两边都除以5，可得{45x =435y =6∴{x =5y =10, 故选C ．4. 设实数x 、y 满足{|x |+2y =11x −|y |=8，则13x −y =( )．A. 2或143B. 2C. 2或−10D. −10【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，绝对值，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识，对x 、y 分类后化简绝对值，得二元一次方程组，求解后再计算13x −y 即可． 【解答】解：(1)当x >0，y >0时， 原方程组可化为{x +2y =11x −y =8 解得{x =9y =1(与x >0，y >0相符) ∴ 13x −y =2(2)当x >0，y <0时， 原方程组可化为{x +2y =11x +y =8解得{x =5y =3(与x >0，y <0不符，解不成立) (3)当x <0，y >0时， 原方程组可化为{−x +2y =11x −y =8 解得与x <0，y >0不符，解不成立) (4)当x <0，y <0时， 原方程组可化为{−x +2y =11x +y =8解得{x =53y =193(x <0,y <0不符，解不成立)故选B ．5. 已知关于x,y 的二元一次方程(2+3m )x +(2m −1)y −8−3m =0，当m 每取一个值时就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是( )A. {x =197,y =−187.B. {x =719,y =−718.C. {x =1,y =−2D. {x =−1y =2【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程.解法一：当m 每取一个值就得到一个方程，而这些方程有一个公共解，说明方程中不含m 的项，即含m 的项的系数相加为0，则可以得到关于x,y 的二元一次方程组，它的解就是这些方程的公共解．解法二：本题也可以采用特殊值法，即取两个m 的不同值，得到两个方程，联立方程组，求出来的解就是这些方程的公共解． 【解答】 解：法一：已知 (2+3m )x +(2m −1)y −8−3m =0， 整理2x +3mx +2my −y −8−3m =0， m (3x +2y −3)+2x −y −8=0， 根据题意，得{3x +2y −3=0,2x −y −8=0, 解得{x =197,y =−187.故这个公共解是{x =197,y =−187. 故选A ． 法二：令m =1，得 5x +y −11=0. 令m =0，得 2x −y −8=0.联立方程组,得{5x +y −11=0,2x −y −8=0解得 {x =197,y =−187.故这个公共解是{x =197,y =−187.故选A ．6. 已知关于x ，y 的方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1，以下结论：①当x =1，y =2时，k =3；②当k =0时，方程组的解也是y −x =17的解；③存在实数k ，使x +y =0；④不论k 取什么实数，x +9y 的值始终不变，其中正确的是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的解法和二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【解答】解：①把x =1，y =2代入原方程可得：{1+2×2=k +22×1−3×2=3k −1, 解出{k =3k =−1，故①不正确；②当k =0时，原方程组可整理得：{x +2y =22x −3y =−1, 解得：{x =47y =57,把{x =47y =57代入y −x =17得： y −x =57−47=17，即②正确；③解方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1得： {x =9k +47y =−k +57, 若x +y =0， 则9k+47+−k+57=0，解得：k =−98，即存在实数k ，使得x +y =0， 即③正确；④解方程组{x +2y =k +22x −3y =3k −1得： {x =9k +47y =−k +57, ∴x +9y =9k+47+9×−k+57=7，∴不论k 取什么实数，x +9y 的值始终不变，故④正确． 故选C ．7. 爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下则小明9:00时看到的两位数是( )A. 54B. 45C. 36D. 27【答案】D 【解析】 【试题解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，及二元一次方程组的解法．正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明9：00时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，根据两位数之和为9可列一个方程，再根据匀速行驶，9：00～9：45时行驶的里程数除以时间等于9：45～12：00时行驶的里程数除以时间列出第二个方程，解方程组即可． 【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x ，个位数为y ，即为10x +y ；则9：45时看到的两位数为x +10y ，9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y +x)−(10x +y)；则12：00时看到的数为100x +y ，9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x +y)−(10y +x)；由题意列方程组得：{x +y =910y+x−(10x+y)34=100x+y−(10y+x)94，解得：{x =2y =7，所以9：00时看到的两位数是27， 故选：D ．8. 某校七年级(1)班同学为“希望工程”共捐款206元，捐款情况如下表所示：由于不小心被墨水污染，表格中捐款4元和5元的人数已经看不清楚．根据已有的信息推断，捐款4元和5元的人数不可能为 ( )A. 6，24B. 8，22C. 11，20D. 16，16【答案】B 【解析】 【试题解析】 【分析】考查了二元一次方程整数解的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程求出整数解．通过理解题意可知本题只存在一个等量关系，即捐款总数=206，结合实际情况解应用题． 【解答】解：设捐款4元的人数为x ，捐款5元的人数是y ， 依题意得：2×6+4x +5y +10×5=206，解得y =144−4x5=4×36−x 5．所以y 为4的倍数， ∵xy 均为非负整数，∴{x =1y =28，{x =6y =24，{x =11y =20，{x =16y =16，{x =21y =12，{x =26y =8，{x =31y =4，{x =36y =0， 故捐款4元和5元的人数不可能为8，22． 故选：B ．9. 若4x −3y −6z =0，x +2y −7z =0(xyz ≠0)，则5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2的值等于( )A. −12B. −192C. −15D. −13【答案】D【解析】解：由{4x −3y −6z =0x +2y −7z =0 解得{x =3zy =2z , 代入5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2=45z 2+8z 2−z 218z 2−12z 2−10z 2=−13，故选：D ．先由{4x −3y −6z =0x +2y −7z =0解得{x =3z y =2z.，再代入5x 2+2y 2−z 22x 2−3y 2−10z 2即可．本题的实质是考查三元一次方程组的解法，通过解方程组，了解把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数，组成该未知数的二元一次方程组．10. 已知整数x ，y ，z ，满足x ≤y <z ，且{|x +y |+|y +z |+|z +x |=4,|x −y |+|y −z |+|z −x |=2,那么x 2+y 2+z 2的值等于( )．A. 2B. 14C. 2或14D. 14或17【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法以及代数式求值，解题关键是利用加减消元法结合x 、y 、z 为整数的条件求出x 、y 、z 的值.根据x ≤y <z 对第二个方程去绝对值化简，可得出z =x +1，再根据x ，y ，z 是整数且y <z 得出x =y ，将z =x +1和x =y 代入第一个方程可求出x 的值，进而得出y 和z 的值代入计算即可得出答案． [详解]解：∵x ≤y <z ，∴|x −y |=y −x, |y −z |=z −y, |z −x |=z −x,因而第二个方程可化简为：2z −2x =2, 即z =x +1．∴|x −y |+|y −z |=1.又∵ y <z,且y,z 为整数， ∴|y −z |≥1．∴|x −y |=0.∴x =y ．方程|x +y |+|y +z |+|z +x |=4中， 把x =y 代入得，2|x |+2|x +z |=4.∴|x |+|x +z |=2把z =x +1代入上式，得|x |+|2x +1|=2. ∴|x |=1,即x =±1.|2x +1|=1,即x =0或 x =−1.∴x =−1. ∴z =x +1=0. ∴y =x =−1.∴x 2+y 2+z 2=(−1)2+(−1)2+0=2.故选A ．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 已知{x =3y =4是方程ax +by =7的一个解，求方程组{x +y =3a +4b +1x −y =−8b −6a −2的解为：___________． 【答案】{x =−4y =12 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解及二元元一次方程组的解法有关知识，先把方程的解代入ax +by =7中，得出3a +4b =1，然后再代入解答． 【解答】解：把{x =3y =4代入ax +by =7中可得3a +4b =7，把3a +4b =7代入方程组中可得{x +y =8x −y =−16，解得：{x =−4y =12．故答案为{x =−4y =1212. 4x a+2b−5−2y 3a−b−3=8是二元一次方程，那么4a +b =______．【答案】10【解析】解：由意义可知：{a +2b −5=13a −b −3=1解得：{a =2b =2∴4a +b =10， 故答案为：10根据二元一次方程的定义即可求出a 与b 的值．本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．13. 如果{x =2y =3是方程组{ax +by =7bx +ay =−2的解，那么代数式a 2−b 2的值为______．【答案】−9【解析】解：把{x =2y =3代入方程组{ax +by =7bx +ay =−2中，可得：{2a +3b =72b +3a =−2，解得：{a =−4b =5，把a =−4，b =5代入a 2−b 2=16−25=−9， 故答案为：−9把x 与y 的值代入方程组求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．14. 若关于x 、y 的二元一次方程组{3x −my =52x +ny =6的解是{x =1y =2，则关于a 、b 的二元一次方程组{3(a +b )−m (a −b )=52(a +b )+n (a −b )=6的解是_____．【答案】{a =32b =−12【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，将{x =1y =2代入{3x −my =52x +ny =6求出m 与n 的值，再将m 与n 的值代入所求不等式组即可求出解． 【解答】解：将{x =1y =2代入{3x −my =52x +ny =6得：{3−2m =52+2n =6, 解得：{m =−1n =2, 将{m =−1n =2代入{3(a +b )−m (a −b )=52(a +b )+n (a −b )=6得：{3(a +b )+(a −b )=52(a +b )+2(a −b )=6, 解得：{a =32b =−12．15. 已知关于x ，y 的方程组{3x +y =244x +ay =18有正整数解，则整数a 的值为____．【答案】−1 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与二元一次方程的整数解.根据题意可以先求出第一个方程的正整数解，然后将正整数解逐一代入a =18−4x y即可求解．【解答】解：由3x +y =24得，y =24−3x ， ∵关于x ，y 的方程组有正整数解，∴该方程组正整数解有{x =1y =21或{x =2y =18或{x =3y =15或{x =4y =12或{x =5y =9或{x =6y =6或{x =7y =3, 又由4x +ay =18得a =18−4x y(x 、y 为正整数)将上述方程组的正整数解逐一代入，当{x =6y =6时，a =−1(符合题意) 故答案为：−1．16. 在解关于x ，y 的方程组{ax +by =2cx −7y =8时，老师告诉同学们正确的解是{x =3y =−2，粗心的小勇由于看错了系数c ，因而得到的解为{x =−2y =2，则abc 的值为多少？ 【答案】−40 【解析】 【分析】本题是解二元一次方程的逆向思维，把所求得的x 、y 的值代入方程即可求出c 的值，然后再利用算错的学生的答案找到另一方程，与代入得到的方程组成方程组，解出a 、b 的值，最后代入求值即可． 【解答】解：将{x =3y =−2代入{ax +by =2cx −7y =8中的第二个方程，解得：c =−2．将两组解代入重组关于a 、b 的二元一次方程组{3a −2b =2−2a +2b =2,解得{a =4b =5．解得abc =4×5×(−2)=−40． 故答案为−40．17. 现安排一批工人完成一项工作，如果这批工人同时开始工作，且每个工人的工作效率相同，那么9 ℎ可以完工；如果开始先安排1人做，以后每隔t(ℎ)(t 为整数)增加1人，且每个人都一直做到工作全部完成，结果最后一个人做的时间是第1人做的时间的15，那么第一人做的时间是__________h ． 【答案】15【解析】 【分析】本题考查了工程问题中工作总量=工作效率×工作时间的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程组是关键． 设总共有n 个工人完成这项工程，第1个工人用了x 小时，第2个工人用了(x −t)小时，第3个工人用了(x −2t)小时，…，第n 个工人用了[x −(n −1)t]小时，由这n 个人完成的工作时间之和为9n 建立方程，及最后一个人做的时间是第1人时间的15建立方程，从而构成方程组，求出其解即可． 【解答】解：设总共有n 个工人完成这项工程，第1个工人用了x 小时，第2个工人用了(x −t)小时，第3个工人用了(x −2t)小时，…，第n 个工人用了[x −(n −1)t]小时． 由题意，得{x +(x −t )+(x −2t )+...+x −(n −1)t =9n①x =5[x −(n −1)t ]②，由①得2x =18+(n −1)t ③ 由②得x =5x −5(n −1)t5(n −1)t =4x (n −1)t =45x④将④代入③：2x =18+45x10x =90+4x 6x =90x =15． 故答案为15．18. 如图，宽为50cm 的大长方形由10个完全相同的小长方形拼成，则一个小长方形的面积为___cm 2．【答案】400 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽=50cm ，小长方形的长+小长方形宽的4倍=小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【解答】解：设一个小长方形的长为xcm ，宽为ycm ， 则可列方程组{x +y =50x +4y =2x ，解得{x =40y =10，则一个小长方形的面积=40cm ×10cm =400cm 2． 故答案为400．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）19. 请你根据所学的二元一次方程(组)的有关知识，解答下列问题：(1)下面四对数值：①{x =−1y =−7；②{x =3y =1；③{x =12y =4；④{x =−3y =−1，其中，满足二元一次方程2x −y =5的值是_______；(只填序号)(2)已知二元一次方程2x −y =5与−3x +4y =−5有一个公共解，求这个公共解； (3)若有关于x ，y 的二元一次方程(1−m)x +my =3−2m ，无论m 取何值，总有确定的一对x ，y 的值满足此方程，求出这对值． 【答案】解：(1)①② ；(2){2x −y =5①−3x +4y =−5②,解得：{x =3y =1；(3)∵(1−m)x +my =3−2m ， ∴ x −mx +my −3+2m =0， 即m(2−x +y)+(x −3)=0， ∵m 可取任意值则{2−x +y =0x −3=0 ，∴{x =3y =1 ． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及加减消元法解二元一次方程组．(1)将各组数据代入2x −y =5，判定即可； (2)解关于x 、y 的二元一次方程组即可；(3)将二元一次方程(1−m)x +my =3−2m 化为m(2−x +y)+(x −3)=0，因为无论m 取何值，总有确定的一对x ，y 的值满足此方程，所以可得{2−x +y =0x −3=0 ，解得即可． 【解答】解：(1)①{x =−1y =−7代入方程，左边=2×(−1)+7=5=左边；②{x =3y =1代入方程，左边=2×3−1=5=左边；③{x =12y =4代入方程，左边=2×12−4=−2≠左边； ④{x =−3y =−1代入方程，左边=2×(−3)−(−1)=−5≠左边；∴①②是方程程2x −y =5的解， 故答案为①②； (2)见答案； (3)见答案．20. 已知关于x ，y 的方程组{x +2y −6=0x −2y +mx +5=0(1)请直接写出方程x +2y −6=0的所有正整数解； (2)若方程组的解满足x +y =0，求m 的值；(3)无论实数m 取何值，方程x −2y +mx +5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解？(4)若方程组的解中x 恰为整数，m 也为整数，求m 的值． 【答案】解：(1)方程x +2y −6=0，2x +y =6， 解得：y =6−2x ，当y =1时，x =4；当y =2时，x =2，方程x +2y −6=0的所有正整数解为：{x =2y =2，{x =4y =1；(2)由题意得：{x +y =0x +2y −6=0，解得{x =−6y =6，把{x =−6y =6代入x −2y +mx +5=0，解得m =−136； (3)x −2y +mx +5=0，(1+m)x −2y =−5， ∴当x =0时，y =2.5， 即固定的解为：{x =0y =2.5，(4){x +2y −6=0 ①x −2y +mx +5=0 ②，①+②得：2x −6+mx +5=0， (2+m)x =1， x =12+m ，∵x 恰为整数，m 也为整数， ∴2+m 是1的约数， 2+m =1或−1， m =−1或−3．【解析】(1)将x 做已知数求出y ，即可确定出方程的正整数解．(2)将x +y =0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得x 、y 的值，再代入第二个方程中可得m 的值；(3)当含m 项为零时，取x =0，代入可得固定的解；(4)求出方程组中x 的值，根据x 恰为整数，m 也为整数，确定m 的值．此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．21. 解方程组{x 1+x 2=x 2+x 3=x 3+x 4=⋯…=x 2019+x 2020=x 2020+x 2021=1x 1+x 2+x 3+⋯…+x 2019+x 2020+x 2021=2021 【答案】解：{x 1+x 2=x 2+x 3=x 3+x 4=⋯…=x 2019+x 2020=x 2020+x 2021=1 ①x 1+x 2+x 3+⋯…+x 2019+x 2020+x 2021=2021 ②由①得：x 1=x 3=x 5=⋯…=x 2017=x 2019=x 2021， x 2=x 4=x 6=⋯…=x 2018=x 2020，因为1到2021中，奇数有1011个，偶数有1010个， 则可得方程组解得：{x 1=1011x 2=−1010． 故x 1=x 3=x 5=⋯…=x 2017=x 2019=x 2021=1011，x 2=x 4=x 6=⋯…=x 2018=x 2020=−1010【解析】本题考查的是解二元一次方程组有关知识，先寻找x 1,x 3,x 5,……,x 2017,x 2019，x 2021及x 2,x 4,x 6,……,x 2018,x 2020彼此间的联系，然后根据这些联系重新联立组成新的方程组，解方程组即可得解．22. 阅读探索：解方程组{(a −1)+2(b +2)=6,2(a −1)+(b +2)=6.解：设a −1=x ，b +2=y ，原方程组可变为{x +2y =6,2x +y =6, 解得{x =2,y =2,即{a −1=2,b +2=2.∴{a =3,b =0. 此种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解方程组{(a3−1)+2(b5+2)=4,2(a 3−1)+(b5+2)=5.(2)能力运用：已知关x ，y 的方程组{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2的解为{x =5,y =3,求关于m ，n 的方程组{5a 1(m +3)+3b 1(n −2)=c 1,5a 2(m +3)+3b 2(n −2)=c 2的解．【答案】解：(1)设a3−1=x ，b5+2=y ， 原方程组可变为{x +2y =42x +y =5，解得{x =2y =1，即{a 3−1=2b5+2=1，解得{a =9b =−5(2)设5(m +3)=x ，3(n −2)=y ， 原方程组可变为{a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2. 由已知{x =5y =3，得{5(m +3)=53(n −2)=3， 解得{m =−2n =3．【解析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是认真审题，理解阅读材料提供的换元法思路，准确换元．(1)拓展提高，观察阅读材料的解题方法，理解换元法； 设a3−1=x ，b5+2=y ，根据材料中的结论确定出关于x 与y 方程组，求出解得到x 与y 的值，即可求出a 与b 的值； (2)能力运用，设{5(m +3)=x3(n −2)=y，根据已知方程组的解确定出m 与n 的值即可.23. 数轴上有两个动点M ，N ，如果点M 始终在点N 的左侧，我们称M 是点N 的“追赶点”.如图，数轴上有两个点A ，B ，它们表示的数分别为−3，1.已知M 是点N 的“追赶点”，且点M ，N 表示的数分别为m ，n ．(1)由题意易知，A 是点B 的“追赶点”，AB =1−(−3)=4(AB 表示线段AB 的长，以下相同)；类似地，MN =__________；(2)在A ，M ，N 三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含m 的代数式来表示n ．(3)若AM =BN ，MN =43BM ，求m 和n 的值． 【答案】解：(1)n −m(2)分为三种情况：①如解图1，当M 是AN 的中点时，AM =MN ． 因为AM =m −(−3)=m +3，MN =n −m ， 所以m +3=n −m ． 所以n =2m +3；②如解图2，当A 是MN 的中点时，AM =AN ． 因为AM =−3−m ，AN =n −(−3)=n +3， 所以−3−m =n +3． 所以n =−m −6；③如解图3，当N 是MA 的中点时，MN =AN. 因为MN =n −m ，AN =−3−n ， 所以n −m =−3−n ． 所以n =12m −32.综上所述，n =2m +3，n =−m −6或n =12m −32； (3)因为AM =BN ，所以|m +3|=|n −1|． 因为MN =43BM ， 所以n −m =43|m −1|．所以分3种情况： ①当m >1时，因为n >m ，所以n >1． 所以可得{m +3=n −1n −m =43(m −1)解得{m =4n =8②当−3<m <1时，因为MN =43BM ，n >m ，n >1， 所以可得{m +3=n −1n −m =−43(m −1)解得{m =−2n =2③当m <−3时，同②可得n >1， 所以可得{−m −3=n −1n −m =−43(m −1)解得{m =−5n =3综上所述，{m =4n =8或{m =−2n =2或{m =−5n =3．【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用以及数轴上两点间的距离公式，解决该题型题目时，结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程组是关键． (1)由两点间距离直接求解；(2)分①M 是A 、N 的中点；②当A 点是MN 点中点时；③N 是MA 的中点时，三种情况分别求解即可；(3)由已知可得|m +3|=|n −1|，n −m =43|m −1|，分情况求解即可． 【解答】解：(1)MN =n −m ， 故答案为n −m ； (2)见答案； (3)见答案．24. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．(加工时接缝材料不计)(1)若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；(2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板a 张，全部加工成上述两种纸盒，且120<a <136，试求在这一天加工两种纸盒时，a 的所有可能值．【答案】(1)设加工竖式纸盒x 个，加工横式纸盒y 个， 根据题意得：{x +2y =10004x +3y =2000，解得：{x =200y =400．答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个． (2)设加工竖式纸盒m 个，加工横式纸盒n 个， 根据题意得：{m +2n =504m +3n =a ，∴n =40−a5．∵n 、a 为正整数， ∴a 为5的倍数， 又∵120<a <136，∴满足条件的a 为：125，130，135．【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合长、正方形纸板的张数列出关于x 、y 的二元一次方程组；(2)通过解二元一次方程组用含a 的代数式表示出n 值．(1)设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板50张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合120<a< 136即可求出a的值，此题得解．。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题10 二元一次方程及第三方应用
专题10二元一次方程及第三方应用专题解读】不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容非常丰富.我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.思维索引例1.已知二元一次方程mx＋ny＝10的两组解12xy=-⎧⎨=⎩和31xy=⎧⎨=-⎩，（1）求3m＋7n的值；（2）求m＋3n的值.例2.已知关于x，y的方程组260250 x yx y mx+-=⎧⎨-++=⎩（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.例3.阅读理解解方程组(1)2(2)6 2(1)(2)6 a ba b-++=⎧⎨-++=⎩解：设a－1＝x，b＋2＝y，原方程组可变为26 26 x yx y+=⎧⎨+=⎩解方程组得：22xy=⎧⎨=⎩即1212ab-=⎧⎨+=⎩所以30 ab=⎧⎨=⎩此种解方程组的方法叫换元法.（1）如果关于x、y的二元一次方程组316215x ayx by-=⎧⎨+=⎩的解是71xy=⎧⎨=⎩，求关于x、y的方程组的解：①3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩②3(2)1623(2)153x y ay b x y y -⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩（2）若关于x ，y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组22ax by cmx ny p -=⎧⎨+=⎩的解.（3）已知关于x ，y 的方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为53x y =⎧⎨=⎩，求关于m 、n 的方程组1112225(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=⎧⎨++-=⎩的解.素养提升1.方程22(1)(2)1x y ++-=的整数解有（ ）A .1组B .2组C .4组D .无数组 2.若二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解21x y =⎧⎨=⎩，则a ＋b 的值为（ ）A .3B .－3C .6D .93.若二元一次方程组323212x y x ay +=⎧⎨+=⎩中的x 与y 互为相反数，那么a 的值是（ ）A .4B .－3C .－2D .74.若11xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组1328mx nymx ny+=⎧⎨+=⎩的解，则5m＋6n的值为（）A.60B.0C.－40D.115.关于x与y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x＋3y＝32的解，则k的值是（）A.4B.8C.12D.146.方程组42112x ykx y-=⎧⎪⎨+=⎪⎩的解中x与y相等，则k＝ .7.关于x、y的方程组343232x ymx y+=⎧⎨+=⎩的解中x与y的和等于1，则m的值是 .8.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有种不同的买法.9.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格为分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个.10.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表：种数学用品各买一件共需元11.（1）求方程15x＋52y＝6的所有整数解.（2）求不定方程5x＋7y＝978的正整数解的组数.12.（1）若二元一次方程组3324x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为x ay b =⎧⎨=⎩，求a －b 的值.（2）若二元一次方程组25264x y ax by +=-⎧⎨-=-⎩和35368x y bx ay -=⎧⎨+=-⎩有相同的解，求2020(2)a b +的值.13.P n 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：(1)24n n n P -=·2()n an b -+（其中a ，b 是常数，n ≥4） （1）通过画图，可得：四边形时，P 4＝ ；五边形时，P 5＝ ； （2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值.14.已知关于x 、y 的方程组111ax by c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩（1）把x 换成m ，y 换成n ，得到方程组111am bn c a m b n c +=⎧⎨+=⎩，则这个方程组的解是( )( )m n =⎧⎨=⎩；（2）把x 换成2x ，y 换成4y ，得到方程组1112424ax by c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则2( )4( )x y =⎧⎨=⎩，所以这个方程组的解是( )( )x y =⎧⎨=⎩；（3）参照以上方法解方程组111243243ax by ca xb yc +=⎧⎨+=⎩15.在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？专题10二元一次方程及第三方应用思维索引】例1．(1)74；(2)30；例2．(1)22xy=⎧⎨=⎩，41xy=⎧⎨=⎩；(2)136m=-；(3)2.5xy=⎧⎨=⎩；(4)m＝－1或一3．例3．(1) ①71x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得43xy=⎧⎨=⎩；②272113x yy-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得203xy=⎧⎨=⎩；(2)13xy=⎧⎨=-⎩；(3)设5(3)3(2)m xn y+=⎧⎨-=⎩，可得5(3)53(2)3mn+=⎧⎨-=⎩，解得：23mn=-⎧⎨=⎩.素养提升】1．C；2．A；3．C；4．B；5．A；6．0；7．1；8．2；9．15；10．1000；11．(1)42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数)；(2)871345x ty t=-⎧⎨=+⎩(1345t>-)；12．(1)1；(2)1；13．(1)画出图形如下．当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．(2)56ab=⎧⎨=⎩．14．(1)34mn=⎧⎨=⎩；(2)321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩；(3)923xy⎧=⎪⎨⎪=⎩．15．4；。
二元一次方程组培优竞赛专题讲解
专题:二元一次方程组例1、二元一次方程组的解x - v = 21、若m 使方程组的解的和为6,则m 的值为多少?x + 2y = m2、已知方程组ax""-16的解应为x =8 ，小明解题时把c 抄错了，得到解cx+20y = —224 y = -10例2、二元一次方程组的两种通用解法x —1 - y(1)用代入法解方程组-yJ 2x - 3y = 5Px+3y=1(2)用加减法解方程组彳 \J 3x 5 y = 1例3、解二元一次方程组及高元一次方程组(综合)k ，且 a 1 a 2 a 3 a 4 a^j 0，求 k 的值。
x =12y~ -13则a 2 b 2 c 2值为多少?'23x+17y =63(1)解方程组也+ 23二57(2)解方程组2x-2216y-3 1 02y -1(3)解方程组《⑸若1 1 5-------- 十 -------- =——x y y z 612 xy 1I -------- -- -l3x + 2y 8(4)解方程组—J2x 3y 7a ? a 3a 4 a 1 a r *3*4 *5a 2a r a ? a 4_ a r a ? a 3a 3a 4a 1 a 2a 3 a 4a5x-1 1bcdef ,-------- =4aacdef-------- =9babdef “-------- =16⑹已知正数a,b,c,d,e, f满足解方程组d，求(a c e^(^ d f)的值abcef 1d - 4abcdf 1e - 9abcde _ 1f _167、解方程组X1•屜=X2 •怡=X3 • X4二…二畑7 •为99厂畑8为999二1X1 X? ' ... X1998 X1999 = 1999例4、含绝对值的方程组1、解方程组即3：二12、解方程组h+2寫3例5、含字母系数方程组的解及杂题对于x、y的方程组与b i、a2与b2都至少有一个不等于零，则①：」——时，原方程组有惟一解;O)b I 产c I③匚丁二时，原方程组无解.a i、b i、c i、a2、b2、C2均为已知数，且a iGi D| CI②，.；「时，原方程组有无穷多组解;y = kx b1、当k，b为何值时，方程组y.(3k-1)X 2 有唯一解，无解，有无穷多解?2、已知关于x,y 的二元一次方程（a-1）x • （a • 2）y • 5-2a = 0, a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个解吗？4x —- 3y - 64、已知m 是整数，方程组6x _my ：26有整数解，求口的值 5、已知x !,x 2,...x n 中每一个数值只能取-2,0,1中的一个，且满足x , x 2 ..^ x^ -17,X ： - x - ... - X n 2= 37, 求 x |3 * x f ... x n 的值。
二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)
二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得）2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
(完整版)二元一次方程组培优竞赛专题讲解
4、解方程组 时，一学生把 看错后得到 ，而正确的解是 ，
则 值为（）
A．不能确定B． C． 不能确定D．
5、若关于 的方程组 无解，则 的值为（）
A． B． C． D．
6、 是给定的整数，某同学分别计算 时代数式 的值，依次得到下列四个结果，已知其中3个是正确的，那么错误的是（）
A． B． C． D．
7、若 都不为0，由方程组 可得 是（）
A． B． C． D．
8、若 ，则 。
9、已知二元一次方程组 ，则 ， 。
10、已知方程组 的解为 ，则 。
11、已知关于 的方程组 的解是整数， 是正整数，那么 ________。
12、已知方程组 的解为 ，则方程组 的解是。
13、已知关于x，y的方程组
(3)解方程组 (4)解方程组
(5)若
，且 ，求 的值。
(6)已知正数 满足解方程组 ，求 的值。
7、解方程组
例4、含绝对值的方程组
1、解方程组 2、解方程组
例5、含字母系数方程组的解及杂题
对于x、y的方程组 中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数，且a1
与b1、a2与b2都至少有一个不等于零，则
专题:二元一次方程组
例1、二元一次方程组的解
1、若 使方程组 的解的和为6，则 的值为多少？
2、已知方程组 的解应为 ，小明解题时把 抄错了，得到解 法
(1)用代入法解方程组 (2)用加减法解方程组
例3、解二元一次方程组及高元一次方程组（综合）
(1)解方程组 (2)解方程组
5、已知 中每一个数值只能取 中的一个，且满足 求 的值。
【拓展训练】
1、若一个两位正整数的十位上的数字与个位数上数字的和为6，那么符合条件的两位数的个数是（）个
基础 百度第四讲 二元一次方程组一三元一次方程组培优竞赛专项训练
第四讲 二元一次方程组【知识点一：二元一次方程的定义】定义：1.方程有两个未知数 ，并且未知数的次数都是1，像这样的方程 ，我们把它叫做二元一次方程。
把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 。
例1下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）。
A 、B 、C 、D 、【巩固练习】1、若753313=+--m n m y x是关于x 、y 二元一次方程，则m =_________，n =_________。
2、下列方程中，那些是二元一次方程？（1）y y -8x = (2)3xy = (3)9y -2x 2= (4)y x -1 2= (5)y y x =+3、方程（k 2-4）x 2+(k-2)x+(k-6)y=k+8是关于x 、y 的方程，则：当k 为何值时，方程为一元一次方程？当k 为何值时，方程为二元一次方程？【知识点二：二元一次方程（组）的解定义】1.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解， 二元一次方程有无数个解。
2.一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。
【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩； ③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩】例1、设方程组()⎩⎨⎧=--=-.433,1by x a by ax 的解是⎩⎨⎧-==.1,1y x 那么b a ,的值分别为（ ）例2、若方程组162ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ）.A a=6,b=-1 .B 2,1a b == .C a=3,b=-2 .D 2,2a b ==-例3、星若方程组⎩⎨⎧=+=-9.30531332b a b a 的解是⎩⎨⎧==2.13.8b a ，则方程组⎩⎨⎧=--+=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(4y x y x 的解是 （ ）A ． ⎩⎨⎧==2.23.6y x B ．⎩⎨⎧==2.13.8y x C ． ⎩⎨⎧==2.23.10y x D ． ⎩⎨⎧==2.03.10y x 【巩固练习】1、二元一次方程3x+2y=15的整数解是________。
不定方程(组)及其应用专题讲座
例题讲解：
例题9甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵, 其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都 植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数 大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树
棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5. 因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2, 得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增 大13,仍是上式的解.
x y 3y 4 ，则3x 1 3y 4 3y 4 3y 4
x 1 x 1 x 0 ， ， 程组 的正整数解。 解： （1）×2+（2）： x+y=4 （3） 由（3）得：y=4-x; 把y=4-x代入（1）：z=x-2. 因为x和y、z都是正整数，所以： x ＞ 0, 4-x＞0, 且x-2＞0； 解这个不等式组得： 4＞x＞2, 即x= 3. 那么y=4-x=4-3=1， z=x-2=3-2=1. 故此方程组的正整数解为： x= 3， y=1，z=1。 (附:当k为何负整数时，方程组{3x+2y=k+1、 4x+3y=k-1的解时满足x>y且x-y>6?)
例题讲解：
例题10甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6 棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人 都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵 数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：为使10y-5在100与200之间,只有y
=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有 4+10=14(人),共有18+14=32(人). 答：甲、乙两小队共有32人。
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二元一次方程组——不定方程、方程组应用题
1、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。
这个“不定方程”是指方程解的不确定性。
2、若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。
这个不定也是指方程组的解的不确定。
3、形如ax+by=c （a 、b 、c 都是整数，且ab ≠0)的方程称为二元一次不定方程，二元一次不定方程是最简单的不定方程。
一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题：
（1）若（a ，b ）=d ，且d 不能整除c ，则不定方程ax+by=c 没有整数解。
（2）若00,x y 是方程ax+by=c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩
（t 为整数）是方程的全部整数解（称通解）。
4、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活运用：奇偶性、 整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。
5、求整系数不定方程ax+by=c 的整数解，通常有以下几个步骤：
（1）判断有无整数解
（2）求一个特解
（3）写出通解
（4）由整数t 同时要满足条件（不等式组），代入（2）中表达式，写出不定方程的正整数解。
6、解不定方程组的基本方法：
（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示
（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解
（3）运用整体思想方法求解。
【练习1】判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解
①2x+4y=7 ②2x+5y=1
【练习2】求不定方程31x+23y=185的整数解。
【练习3】①求方程7x+4y=100的正整数解： ②求方程6x+22y=90的非负整数解
【练习4】求方程组102518x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩
的非负整数解。
【练习5】求方程3x-y-6z=2的整数解。
【练习6】求不定方程2（x+y）=xy+7的整数解。
【练习7】小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，5角钱刚好买几块橡皮和几只铅笔？【练习8】公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1。
今有钱100，买鸡100只，公鸡、母鸡、小鸡各几只？【练习9】篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球的个数是足球的7倍，那么其中排球的个数是多少？
【练习10】1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是多少岁？
【练习11】一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝色球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所有数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个
数最多不超过多少个？
【练习12】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则三组的同学人数的总和是多少？
【练习13】若正整数x，y满足2004x=15y，则x+y的最小值是多少？
【练习14】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒子、3粒、4粒或6粒的取出，最终盒内都剩1粒棋子，如果每次11粒地取出，那么正好取完，问：盒子里共有多少粒棋子？
【练习15】
【练习16】
【练习17】
【练习18】
【练习19】
【练习20】1992-（2984-1992）=1000
【练习21】
【练习22】
【练习23】一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是多少/
7、列方程组解应用题：关键是找出题中的已知量，未知量，及它们之间的等量关系，其中包含数量之间的基本关系，
题中所给的等量关系，及一些隐含关系。
可以根据需要设多个未知数，列多元方程解题。
一般有几个未知数就要有几个方程，当方程个数少于未知数个数时，按照不定方程解法，和题中的一些限制条件去找合适的解。
【练习24】
【练习25】
【练习26】
【练习27】
【练习28】
【练习29】
【练习30】
【练习31】
【练习32】
【练习33】
【练习34】一种月刊，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年，而另一些学生订全年，共需1320元，如果订全年的改订半年，订半年的改订全年，则需1245元。
问共有多少学生订阅。
【练习35】有一6位正整数，把它的第一位数字移到末位，所得的6位数比原6位数的3倍还多5173，求原来的6位数。
【练习36】今有若干克4%的盐水，蒸发了一些水分以后变成了10%的盐水，再加进300克4%的盐水，混合后变为
6.4%的盐水。
问最初盐水是多少克？
【练习37】某个团队的成员要从A地到相距18千米的B地去，只有一辆汽车，所以把全体人员分成甲乙两组，先让甲组乘车，乙组步行，同时出发；开到途中C地，甲组人员下车步行，汽车回去接乙组，把乙组人员送到B 地时，甲组也恰好同时到达B地。
设车速每小时60千米，步行每小时4千米，求AC两地之间的距离。
【练习38】若时钟的时针在4点和5点之间，且与分针所夹角为直角，求此时间。
【练习39】甲、乙、丙三人相聚，谈起年龄问题。
甲说：我和乙的年龄加起来比丙大13岁；丙说：我和乙的年龄加起来比甲大15岁；乙说：你们俩的年龄加起来比我只多了11岁。
那么他们年龄最大相差几岁？
【练习40】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台抽水机则1小时后正好把池塘中水抽完，若用两台则20分针正好抽完。
问，若用三台抽水机，则需要多少时间抽完水？
解：设原有水a升，山泉流量为x升/分，抽水机抽水流量为y升/分，若用三台，需要t分抽完则：
【练习41】某校有100名学生在语数外三科联赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，即参加语文又参加数学竞赛的有14人，即参加数学又参加外语竞赛的有13人，即参加语文又参加外语竞赛的有9人，有1人这三项都不参加。
问三项都参加的都有多少人？
【练习42】某班参加一次智力竞赛，共a、b、c3题。
每题或者得满分或者得0分，其中a满分20分，b、c满分都是25分。
竞赛结果，每个学生至少答对1题，3题全对的有1人，答对其中两题的有15人。
答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，.问这个班的平均成绩是多少分？
【练习43】【练习44】【练习45】【练习46】【练习47】
【练习48】
【练习49】
【练习50】
【练习51】。