二元一次方程组第4讲竞赛—不定方程、方程组应用题

二元一次方程组——不定方程、方程组应用题

1、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。这个“不定方程”是指方程解的不确定性。

2、若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。这个不定也是指方程组的解的不确定。

3、形如ax+by=c （a 、b 、c 都是整数，且ab ≠0)的方程称为二元一次不定方程，二元一次不定方程是最简单的不定方程。一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题：

（1）若（a ，b ）=d ，且d 不能整除c ，则不定方程ax+by=c 没有整数解。

（2）若00,x y 是方程ax+by=c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩

（t 为整数）是方程的全部整数解（称通解）。

4、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活运用：奇偶性、 整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。

5、求整系数不定方程ax+by=c 的整数解，通常有以下几个步骤：

（1）判断有无整数解

（2）求一个特解

（3）写出通解

（4）由整数t 同时要满足条件（不等式组），代入（2）中表达式，写出不定方程的正整数解。

6、解不定方程组的基本方法：

（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示

（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解

（3）运用整体思想方法求解。

【练习1】判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解

①2x+4y=7 ②2x+5y=1

【练习2】求不定方程31x+23y=185的整数解。

【练习3】①求方程7x+4y=100的正整数解： ②求方程6x+22y=90的非负整数解

【练习4】求方程组102518x y z x y z ++=⎧⎨

++=⎩

的非负整数解。

【练习5】求方程3x-y-6z=2的整数解。

【练习6】求不定方程2（x+y）=xy+7的整数解。

【练习7】小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，5角钱刚好买几块橡皮和几只铅笔？【练习8】公鸡一只值钱5，母鸡一只值钱3，小鸡三只值钱1。今有钱100，买鸡100只，公鸡、母鸡、小鸡各几只？【练习9】篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球的个数是足球的7倍，那么其中排球的个数是多少？

【练习10】1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是多少岁？

【练习11】一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝色球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所有数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个

数最多不超过多少个？

【练习12】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则三组的同学人数的总和是多少？

【练习13】若正整数x，y满足2004x=15y，则x+y的最小值是多少？

【练习14】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒子、3粒、4粒或6粒的取出，最终盒内都剩1粒棋子，如果每次11粒地取出，那么正好取完，问：盒子里共有多少粒棋子？

【练习15】

【练习16】

【练习17】

【练习18】

【练习19】

【练习20】1992-（2984-1992）=1000

【练习21】

【练习22】

【练习23】一个自然数N被10除余9，被9除余8，被8除余7，被7除余6，被6除余5，被5除余4，被4除余3，被3除余2，被2除余1，则N的最小值是多少/

7、列方程组解应用题：关键是找出题中的已知量，未知量，及它们之间的等量关系，其中包含数量之间的基本关系，

题中所给的等量关系，及一些隐含关系。可以根据需要设多个未知数，列多元方程解题。一般有几个未知数就要有几个方程，当方程个数少于未知数个数时，按照不定方程解法，和题中的一些限制条件去找合适的解。

【练习24】

【练习25】

【练习26】

【练习27】

【练习28】

【练习29】

【练习30】

【练习31】

【练习32】

【练习33】

【练习34】一种月刊，每期定价2.5元，某中学初一年级组织集体订阅，有些学生订半年，而另一些学生订全年，共需1320元，如果订全年的改订半年，订半年的改订全年，则需1245元。问共有多少学生订阅。

【练习35】有一6位正整数，把它的第一位数字移到末位，所得的6位数比原6位数的3倍还多5173，求原来的6位数。

【练习36】今有若干克4%的盐水，蒸发了一些水分以后变成了10%的盐水，再加进300克4%的盐水，混合后变为

6.4%的盐水。问最初盐水是多少克？

【练习37】某个团队的成员要从A地到相距18千米的B地去，只有一辆汽车，所以把全体人员分成甲乙两组，先让甲组乘车，乙组步行，同时出发；开到途中C地，甲组人员下车步行，汽车回去接乙组，把乙组人员送到B 地时，甲组也恰好同时到达B地。设车速每小时60千米，步行每小时4千米，求AC两地之间的距离。

【练习38】若时钟的时针在4点和5点之间，且与分针所夹角为直角，求此时间。

【练习39】甲、乙、丙三人相聚，谈起年龄问题。甲说：我和乙的年龄加起来比丙大13岁；丙说：我和乙的年龄加起来比甲大15岁；乙说：你们俩的年龄加起来比我只多了11岁。那么他们年龄最大相差几岁？

【练习40】山脚下有一池塘，山泉以固定的流量不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台抽水机则1小时后正好把池塘中水抽完，若用两台则20分针正好抽完。问，若用三台抽水机，则需要多少时间抽完水？

解：设原有水a升，山泉流量为x升/分，抽水机抽水流量为y升/分，若用三台，需要t分抽完则：

【练习41】某校有100名学生在语数外三科联赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，即参加语文又参加数学竞赛的有14人，即参加数学又参加外语竞赛的有13人，即参加语文又参加外语竞赛的有9人，有1人这三项都不参加。问三项都参加的都有多少人？

【练习42】某班参加一次智力竞赛，共a、b、c3题。每题或者得满分或者得0分，其中a满分20分，b、c满分都是25分。竞赛结果，每个学生至少答对1题，3题全对的有1人，答对其中两题的有15人。答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，.问这个班的平均成绩是多少分？