幂级数测试题
幂函数练习题及答案解析
1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝3xC ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 解析：选C.y ＝x 2，定义域为R ，f (－x )＝f (x )＝x 2.2．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )A ．5－a ＜5a ＜0.5aB ．5a ＜0.5a ＜5－aC ．0.5a ＜5－a ＜5aD ．5a ＜5－a ＜0.5a解析：选B.5－a ＝(15)a ，因为a ＜0时y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .3．设α∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A.在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.4．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若(－12)n >(－13)n ，则n ＝________.解析：∵－12<－13，且(－12)n >(－13)n ，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}， ∴n ＝－1或n ＝2. 答案：－1或21．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是() A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，4)解析：选A.y ＝(x ＋4)2开口向上，关于x ＝－4对称，在(－∞，－4)递减．2．幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.幂函数为y ＝x －2＝1x 2，偶函数图象如图．3．给出四个说法：①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.显然①错误；②中如y ＝x －12的图象就不过点(0,0)．根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.4．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数， ∴α＝－1.5．使(3－2x －x 2)－34有意义的x 的取值范围是( ) A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3＜x ＜1D ．x ＜－3或x ＞1解析：选C.(3－2x －x 2)－34＝14(3－2x －x 2)3，∴要使上式有意义，需3－2x －x 2＞0， 解得－3＜x ＜1.6．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选A.m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，再把m ＝－1和m ＝2分别代入m 2－2m －3＜0，经检验得m ＝2.7．关于x 的函数y ＝(x －1)α(其中α的取值范围可以是1,2,3，－1，12)的图象恒过点________．解析：当x －1＝1，即x ＝2时，无论α取何值，均有1α＝1， ∴函数y ＝(x －1)α恒过点(2,1)． 答案：(2,1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y ＝x α在(0，＋∞)为减函数． 答案：α＜09．把(23)－13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________．解析：(76)0＝1，(23)－13＞(23)0＝1，(35)12＜1，(25)12＜1， ∵y ＝x 12为增函数，∴(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－13. 答案：(25)12＜(35)12＜(76)0＜(23)－1310．求函数y ＝(x －1)－23的单调区间．解：y ＝(x －1)－23＝1(x －1)23＝13(x －1)2，定义域为x ≠1.令t ＝x －1，则y ＝t －23，t ≠0为偶函数．因为α＝－23＜0，所以y ＝t －23在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．又t ＝x－1单调递增，故y ＝(x －1)－23在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增．11．已知(m ＋4)－12＜(3－2m )－12，求m 的取值范围． 解：∵y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． ∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4＞03－2m ＞0m ＋4＞3－2m ，解得－13＜m ＜32.∴m 的取值范围是(－13，32)．12．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又∵m ∈Z ，∴m ＝－2，－1,0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵－3＜0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴y ＝x －3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )－4＝1(－x )4＝1x4＝x －4＝f (x )， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4＜0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数，又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．2．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( ) A ．一条直线 B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4．函数f (x )＝(1－x )0＋(1－x )12的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01－x ≥0，∴x <1.答案：(－∞，1)1．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2解析：选C.设f (x )＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.2．下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13 D ．y ＝x －34解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x ≥0；C.y ＝x －13＝13x，x ≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.3．已知幂函数的图象y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z ，x ≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m ≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.4．下列结论中，正确的是( ) ①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x ≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．5．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．6．幂函数f (x )＝x α满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( ) A ．α＞1 B ．0＜α＜1 C ．α＞0 D ．α＞0且α≠1解析：选A.当x ＞1时f (x )＞1，即f (x )＞f (1)，f (x )＝x α为增函数，且α＞1. 7．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x )的解析式是________．解析：设f (x )＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f (x )＝x 128．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈R )的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________． 解析：结合幂函数的图象性质可知p <1. 答案：p <19．如图所示的函数F (x )的图象，由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x α“拼接”而成，则a a 、a α、αa 、αα按由小到大的顺序排列为________．解析：依题意得 ⎩⎨⎧a 14＝12(14)α＝12⇒⎩⎨⎧a ＝116，α＝12.所以a a ＝(116)116＝[(12)4]116，a α＝(116)12＝[(12)32]116，αa ＝(12)116，αα＝(12)12＝[(12)8]116，由幂函数单调递增知a α＜αα＜a a ＜αa .答案：a α＜αα＜a a ＜αa10．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.11．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.12．已知幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．∴m＝±1或m＝3.当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图(1)．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图(2)．本文由52求学网论坛微光整理。
(完整版)幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在题后的括号内（每小题 5 分，共50 分）.B．幂函数的图象都经过（0 ，0）和（1，1 ）点C ．若幂函数y x 是奇函数，则y x 是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限1 6．函数y x3和y x3图象满足请把正确答案的代号1．下列函数中既是偶函数又是（ ,0）上是增函数的是4x32．函数3B．y x 221y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是2C．D．1A．4 B．1C．D．3．下列所给出的函数中，是幂函数的是A．y x3 3B．y x C．2x3D．5．下列命题中正确的是A．当0 时函数y x的图象是一条直线yy14 4A．关于原点对称B．关于x 轴对称7． 函数 y x|x|,x R ，满足A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数28．函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( )A ． ( , 6]B ．[ 6, )C ．( , 1]D ．[ 1, )9． 如图 1— 9所示，幂函数 y x 在第一象限的图象，比较x 1 x 2 f (x 1)f (x 2 )f(x 12x2)，f(x 1)2f(x 2)大小关系是( )奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 （共 76 分） .15 ．（ 12 分）比较下列各组中两个值大小6 6 5 5C ．关于 y 轴对称D ．关于直线 y x 对称0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小(A．1 34 21 B ． 012 3 41C．2 4 0 31 1D．3 24 11410 ． 对于幂函数 f (x) x ， 若 0 x 1 x 2 ，则A ． f(x 1x 2 2f (x 1) f (x 2)2 B ． f(x 1x2)f (x 1) f(x 2)2C ．x 1f( 1x 22f (x 1) f (x 2 )2D ． 无法确定、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6 分，共 24 分)k n( 1)k14 ．幂函数 yxm(m,n,kN*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的34（1 ）0.611与0.7 11；（2）（ 0.88）1与（ 0.89）3 .16．（12分）已知幂函数2f（x） x m 2m 3（m Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y 轴对称，试确f （x）的解析式.117 ．（12 分）求证：函数y x3在R上为奇函数且为增函数18 ．（12 分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系3 1 21）y x2；（2）y x3；（3）y x3；14）y x 2；（5）y x 3；（6）y x 219．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a成，这里a,b 均为正常数，且a<10 ，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x的值.20 ．（14 分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）x2 2x 22x2 2x 152）y （x 2）3 1．xx成（即上涨率为10），涨价A）（B）（C）（D ）（E）（F）参考答案、CCBADDCADA二、11 ．(0, )；12．f (x)4x3 (x 0)；13．5；14．m, k为奇数，n是偶数；三、15 ．解：( 1 ) 函数y6x11在(0, )上是增函数且0 0.6 0.76 0.61160.711(2 )5函数y x3在(0, ) 上增函数且0.88 0.895 0.88350.89350.88350.893 ,即5( 0.88)350.89) 3 .16 ．解：2 m 由m22m2mZ303是偶数得m 1,1,3.m 1和3时解析式为 f (x) 0 x ,m 1时解析式为f (x) x17 ．解：显然 f ( x) x)3 f (x) ，奇函数；令x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 ) 3x13x2 (x1 2x2 )(x12x1x2 x2 ) ，其中，显然x1x2 0，2x1 x1x2 x2 1= (x1 2x2)3x2422，由于且不能同时为0 ，否则x1x2 0 ，故(x11(x1 x2 )1221 2 3 2x2 ) x222420，3x22420，0.从而f(x1) f (x2) 0. 所以该函数为增函数18 ．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：3(1) y x2x3定义域[0，) ，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，) 是增函数；12）y x 3 3 x 定义域为 R ，是奇函数，在 [0, ）是增函数；23）y x 3 3 x 2 定义域为 R ，是偶函数，在 [0, ）是增函数； 21 4）y x 2 12 定义域 R UR 是偶函数，在 （0, ）是减函数；x 315）y x 3 13定义域 R UR 是奇函数，在 （0, ）是减函数；x16）y x 2 1定义域为 R 既不是奇函数也不是偶 函数，在 （0, ） x 上减函数 .通过上面分析，可以得出（ 1） （A ），（ 2） （F ），（ 3） （5 ） （D ），（ 6 ） （B ） .x19．解：设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A （1+ 1x 0），20 ．解：E ），（ 4） （ C ），现在卖出个数为 B （1 － bx ），现在售货金额为 A （1+ x ） B（110 10bx )=AB(1+10x1x 0)(1bx－10)，x应交税款为 AB(1+ )(110bx a－10 ) ·10 ，x剩余款为 y = AB(1+)(1 105(1 b) 时y 最大b所以 x－b 1x 0)(1 1a 0)= AB (1要使 y 最大， x 的值为a )( 10 100 5(1 b) xb 1b x 101)，向上平移 x 2 2x 2x 2 2x 11 x2 2x(x1 1)21把函数 ,y12的图象向左平移x 21 个单位，再1 个单位可以得到函数2x 2 x2x 2的图象 .2x 1 5（x 2） 31的图象可以由5x 3 图象向右平移 2 个单位，再向下平移。
解析函数的幂级数展开的题及答案
解：可直接求出函数 1 z 在 z 0 的各阶导数值，
f (0) 1 f '(0) (1 z )
1z 0源自z 0f ''(0) ( 1)(1 z ) 2
( 1)
f ( n ) (0) ( 1) ( n 1)(1 z ) n
zn (1) 3 (并讨论在收敛圆周上的敛散性)； n 1 n n ( z 1) (2) (并讨论在 z 0, 2 点处的敛 n n 1
散性).
n 1 1， an lim 解:(1) 因为 lim 所以该级 3 n a n n n 1 数的收敛半径为 R 1 ；在收敛圆周上,幂级数变为: ein n3 , 易知该级数绝对收敛因而也收敛. n 1 2
3
n 1 1， an lim (2) 易得: lim 故该级数 n a n n n 1 的收敛半径为 R 1 . 因 z 0, 2 均位于收敛圆周上， 故需要进一步讨论起敛散性．对于 z 0, 原级数变为
(1) 交错级数 ， （由交错级数的 Lebniz 判别法） n n 1 易知其收敛但不绝对收敛．对于 z 2, 该幂级数变为
z
所以：
ez 1 2 1 1 3 1 2 z 1 1 z 1 1 z , z 1. 1 z 2! 2! 3!
10
例4.7：证明级数 z 在 z r (0 r 1)上一致收敛 .
n n 1
证： z r n，且级数 r n (0 r 1)收敛
例：用唯一性定理证明 2 z cos2 z 1. sin 解： f1 ( z ) sin 2 z cos2 z f 2 ( z) 1 f1 ( z )与f 2 ( z )在全平面上解析，而在 实轴上f1 ( x) f 2 ( x) 故在全平面上 1 ( z ) f 2 ( z ),即 f sin 2 z cos2 z＝ 1
幂级数及泰勒展开习题解答
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。
2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。
3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。
4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。
当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。
5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。
级数与幂级数及其应用习题
第十章 级数与幂级数及其应用一、填空题：1. 级数11(1)3n n n -∞=-∑=2. 级数1112n n ∞-=∑= . 3. 级数11(1)n n n ∞==+∑4. 级数18(1)9nnnn ∞=-=∑ 5. 幂级数 ∑∞=13n n nn x 的收敛半径为6. 级数13()4n n ∞=-=∑ 7. 设级数∑∞=11n pn，当p 时，级数收敛. 8. 级数=+-++-+-- )3121()3121()311(12n n .9. 级数112n n n∞-==∑ .10. 幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间是 .11. 级数1(ln 3)2nn n ∞=∑的和为 .12. 级数11147k k k +∞-=∑= .13. 如果级数1(3)nn n a x ∞=-∑，在 1.1x =-处收敛，则该级数在5x =处 （填“收敛”或“发散”）.14. 当p 时，级数21pn n∞=∑收敛。
15. 将函数xe 在1x =处展开成Taylor 级数得16. 级数22334412222x x x x +++++的收敛域是 .二、单项选择题：1. 下列级数中属于条件收敛的是（ ）（A ）11(1)nn n n ∞=+-∑（B ）1(1)sinn nn n n π∞=-∑（C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）1(1)31n n n ∞=-+∑2. .若级数∑∞=1n nu收敛于s , 则级数)(11+∞=+∑n n nu u( )（A ）收敛于s 2 （B ）收敛于12u s + （C ）收敛于12u s - （D ）发散 3. 下列级数条件收敛的是（ ）（Ａ）11n n -∞=（Ｂ）112(1)3n n n n ∞-=-∑（Ｃ）121(1)n n n -∞=-∑（Ｄ）1(1)n n ∞-=-∑ 4. 若级数(1)1nnn a x x ∞=-=-∑在处收敛，则该级数在2x =处（ ）（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ） 无法判断 5.级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑（α为常数）（ ） （Ａ）绝对收敛 （Ｂ）条件收敛 （Ｃ）发散 （Ｄ）收敛性与α取值有关6. 幂级数12nn n x n ∞=∑的收敛域为 ( )（A ）(2,2)- （B ）[2,2]- （C ）(2,2]- （D ）[2,2)-7.设级数∑∞=11n np ,(0)p > 则 ( ) （A ）当1≥p 时级数收敛，当1<p 时级数发散 （B ）当1>p 时级数收敛,当1≤p 时级数发散（C ）当1<p 时级数收敛,当1≥p 时级数发散 （D ）当1≤p 时级数收敛,当1>p 时级数发散 8.正项级数∑∞=1n na满足条件（ ）时必收敛(A) 0lim =∞→n n a (B)1lim1<+∞→n n n a a (C) 1lim 1n n n aa +→∞≤ (D) 1lim 1>=+∞→λn n n a a9. 下列级数中为条件收敛的是（ ）（A ）1)1(1+-∑∞=n nn n（B ）n n n ∑∞=-1)1( （C ）211)1(n n n∑∞=- （D ）n n n 1)1(1∑∞=- 10. 在下列级数中那个是收敛的（ ） A ．n n 211∑∞= B ．111+∑∞=n n C ． nn 11∑∞= D ．nn 311∑∞= 11. 设级数1nn U∞=∑收敛,则下列级数收敛的是（ ）；A. 11()n n U n ∞=+∑ B.2001n n U∞+=∑C.211n n U∞+=∑ D.21nn U∞=∑12. 下列级数条件收敛是 （ ）A.11n n -∞= B.112(1)()3n nn ∞-=-∑C .11(1)n n ∞-=-∑ D.131n n n ∞=-∑ 13. 以下级数绝对收敛的是（ ）（A ）10(1)!n n n +∞=-∑ （B ）11(1)n n n -∞=-∑ （C ）111(1)cos n n n ∞-=-∑ （D ）1ln 1n n n ∞=+∑14.级数2341x ++ 的收敛域是 （ ）（A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1]- （D ）(1,1)-15.设级数1nn u∞=∑收敛,则下列级数收敛的是（ ）A 11()n n u n ∞=+∑ B2001n n u∞+=∑ C211n n u∞+=∑ D21nn u∞=∑16. 下列级数条件收敛的是 （ ）A1n n -∞= B112(1)()3n nn ∞-=-∑ C1(1)n n ∞-=-∑ D131n nn ∞=-∑三、综合计算题：1. 求幂级数∑∞=-1124n nn n x 的收敛半径、收敛域 2. 求幂级数∑∞=+-02)2(n nn x 的收敛域.3. 判定级数 ()n nn n 2131∑∞=- 是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？4.讨论级数nn ∞=是敛散性，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛 5. 求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数6. 求级数11n n nx ∞-=∑ 的收敛域及和函数7. 判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性，说明是条件收敛还是绝对收敛 8. 求幂级数1(21)nn n x∞=+∑ 的收敛域及其和函数9. 判别级数11(1)(1)!n nn n n +∞=-+∑的敛散性10. 求幂级数21!nn n x n ∞=∑的收敛区间及和函数.11. 已知级数212(2)!nn x n ∞=+∑（1） 求此级数的收敛域；（2） 证明此级数满足微分方程1y y ''-=-12. 判别级数111(1)21n n n ∞+=--∑是否收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 13. 求幂级数1nn nx ∞=∑的收敛域及和函数,由此求12nn n ∞=∑14. 求幂级数2112n n nx∞-=∑的收敛域及和函数，并计算21123n n n∞-=∑的值 15. 判别级数11(1)(1)!n nn n n +∞=-+∑的敛散性。
第十四章幂级数练习题(2021
第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。
幂级数测试题
幂级数测试题第十四章幂级数单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，则下列断语中正确的是（A）在上一致收敛。
（B）在内某些点处非绝对收敛。
（C）的收敛半径大于。
（D）对任意的，在上一致收敛。
．2。
若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数(A)在处发散；(B)在处收敛；(C)收敛区间为; (D)当时发散。
3．幂级数级数的收敛域是(A) (B)(C) (D)4．若幂级数的收敛半径为R,那么(A), (B) ,(C), (D)不一定存在 .5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
6. 如果,则幂级数(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；(C) 当时,发散；(D) 当时,发散7..设级数在处是收敛的，则此级数在处(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处A 全是发散的. B. 全是收敛的C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散9. 函数展开成的幂级数的方法是.10. 幂级数的收敛域为答案: 1—10 DDBDA ADDDA填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间为__________.3.级数的和函数为_________.4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛域是__________.5. 与有相同的___________.6. 的幂级数展开式_________________.7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.9. 的幂级数表达式____________.10. 级数在区间_________收敛.答案： 1. .4. ( -1, 1)5. 收敛区间.. 6.7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.计算题1.求幂级数的收敛域及和函数.2. 求幂级数的收敛域及和函数.3. 求幂级数的收敛半径与收敛域( 1)4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.5. 求函数在x=1处泰勒展开式.6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.7. 将展成x的幂级数.8. 求幂级数的和函数.9. 试求幂级数的收敛区域及和函数10. 设，确定的连续区间，并求积分的值答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域为( -1, 1 ), 令, 则,.2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,3. ( 1 ) 解记, 由于, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .( 2 ) 解记因为所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].4. 解而而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时5. 解因.6. 设和函数则即.解上述关于的二阶微分方程, 得.7. 解易看出, 而两边求导, 得.8.级数的和函数为9. 由于级数在上收敛，所以当时，有10. 因为幂级数的收敛域是，所以在上的连续，且可逐项积分。
指对幂函数测试题(含有详解答案)
指对幂函数测试题(含有详解答案)work Information Technology Company.2020YEAR1.函数)1,0(≠>-=a a a a y x 的图像可能是（ ）A. B. C. D.2.设11{3,2,1,,1,2,3}23α∈----，则使幂y=x a 为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 43若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A 、24 B 、22 C 、14 D 、124.若函数23()(23)m f x m x -=+是幂函数，则m 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25.函数x a a a x f ⋅+-=)33()(2是指数函数 ，则a 的值是( )A.1=a 或2=aB.1=aC.2=aD.0>a 或1≠a 6.幂函数213112x y,x y ,x y ,x y --====在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ） A. 2134,,,C C C CB. 2314C ,C ,C ,CC. 4123C ,C ,C ,CD. 3241C ,C ,C ,C7.函数lg xy x=的图象大致是8已知(10)x f x =，则(5)f = （ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 59.已知函数()2030x x x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19C ．9-D ．19-10、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是（ ） A 、∅ B 、T C 、S D 、有限集 11.若幂函数()322233-+++=m mx m m y 的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是 （ ）A ．2-=mB ．1-=mC ．12-=-=m m 或D ．13-≤≤-m12.函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 的图像恒过定点A ，若点A 在直线1-=+nym x 上，且0,>n m ，则n m +3的最小值为 （ ）A. 13 B. 16 C.2611+. D. 28. 13.如果幂函数()f x x α=的图象经过点2(2,)，则(4)f 的值等于_____________ 14.函数2)23x (lg )x (f +-=恒过定点 15、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 ______.16.函数的递增区间是______.17.已知函数f ( x ) = 3x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =λ·3ax – 4x 的定义域为[0，1]。
试题库分类题解答(幂级数)word精品文档6页
试题库分类考题解答三. 幂级数1. 收敛半径、收敛域的计算 (1). 1，[1,1]-．(2). (3,5)-．(3). Ａ． (4). Ａ．(5).①解：133111lim 33(1)3n n n n n +→∞=+，3n=13n n x n∞∴∑的收敛半径为3R =， 又当3x =±时，33n=1n=1(3)13n n n n∞∞±=<∞∑∑故3n=13nn x n∞∑的收敛域为[3,3]-． ②()230, 1lim lim , 1n nn n n n n x n nx x →∞→∞<⎧==⎨∞≥⎩， 23n=1n n n x ∞∴∑的收敛半径为1，收敛域为(1,1)-．(6). R =+∞(7).解：133lim31n n n n n +→∞=+，收敛半径为13R =，收敛区间：123x -<，即5733x << 将53x =代入原幂级数得1(1)n n n ∞=-∑收敛，将73x =代入原幂级数得11n n∞=∑发散．所以，收敛域为57,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭． (8).证明：①()()f x f x -=-，()n n n n a x a x ∴-=-∑∑，故：1(1)0nnn a x ⎡⎤+-=⎣⎦∑，所以：偶次项为0； ②()()f x f x -=，()n n n n a x a x ∴-=∑∑，故：1(1)0n nn a x ⎡⎤--=⎣⎦∑，所以：奇次项为0；(9).(。
(10).解：收敛域为[1,1)-，和函数1()ln1S x x=-。
(11). 解：①212111lim2(1)22n nn n n +→∞=+⋅⋅，2R =，当2x =±时，2(2)2n n n ±⋅∑收敛； 所以，收敛域为[2,2]-。
解：②212121(5)(5)(5)lim142(1)424n n n nn x x x n n +-+→∞+++=<+⋅⋅，所以，2(5)4x +<， 收敛半径2R =，所以，(7,3)x ∈--；当7,3x x =-=-时：原级数发散，故21(5)24n nx n -+⋅∑收敛域为。
幂级数的部分练习题及答案
题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分)(2分)[1](2分)[2](A)(B)(C)(D)答( )(2分)[3](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(3分)[4](A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(2分)[5]1，则级数在(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。
答：( )(2分)[6](A),收敛；(B) ,收敛；(C) ,发散；(D) ,发散；答( )(2分)[7]R,那么.答( )(3分)[8]该级数(A)(B)(C);(D)答( )(2分)[9]意阶可导，那么(A) (B)不一定(C)(D)可能处处不存在。
答( )。
(2分)[10]那么该幂级数(A)(B)(C)(D)答( )。
二、填空(54小题,共166.0分)(2分)[1]函数项级数的收敛域是。
(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时当_____________(3分)[3](2分)[4] 级数的和是。
(2分)[5]函数是。
(3分)[6]得当时，绝对收敛，当时，条件收敛。
(2分)[7] 的收敛域是。
(3分)[8]的收敛半径是，和函数是。
(1分)[9] 1，则级数在开区间内收敛。
(2分)[10]内收敛。
(2分)[11] 设幂级数的收敛半径是的收敛半径是。
(2分)[12]敛域是.(5分)[13]是，收敛域是。
(6分)[14] 的收敛域是。
(4分)[15] 幂级数的收敛区间是。
(4分)[16] 的收敛域是。
(4分)[17]关系。
(3分)[18]的收敛半径是。
(2分)[19] 的收敛域是，和函数是。
(3分)[20] 的和函数是。
(3分)[21]的收敛域是，和函数是。
(2分)[22]是，和函数是。
(2分)[23]则其和函数在开区间上是连续的。
(2分)[24]半径是。
幂级数测试题
上一致收敛。
2。
若幕级数 在T 二-处收敛，在L 二-弓处发散，则该级数(A)在芜二上处发散; (B)在2 处收敛;(C)收敛区间为(D)当＞3时发散。
3 •幕级数级数的收敛域是(A)-(B)lim 也(D) -•”不一定存在第十四章幕级数工皿£{X单选题：1设幕级数二的收敛半径为 R 1则下列断语中正确的是「：1内某些点处非绝对收敛。
(B)卜(D)--2＞用 4.若幕级数 的收敛半径为 R,那么(C )的收敛半径大于r > 0,(D )对任意的 -上一致收敛。
a(A)'—R«-SO(A)是」''的麦克劳林级数; (B)不一定是」•—的麦克劳林级数; 5•如果-「，能展开成7的幕级数，那么该幕级数6.如果，则幕级数7(A)当''：时,收敛; (B)当y、时,收敛;X (C)当£-时，发散;^|>1(D)当 /时，发散『⑴二9.函数的幕级数的方法是工10.幕级数■-■的收敛域为E偽G +鸾7..设级数在':二一-处是收敛的，则此级数在二=-处(A)发散；(C)条件收敛；(B)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。
8幕级数二■“」—'在其收敛区间的两个端点处A全是发散的• B.全是收敛的C.左端点发散，右端点收敛. D左端点收敛，右端点发散1 « , *J M-01 1 1 1 g fj■ —兀3 1九Q 331 1心f畫_ 3寸⑹丄二£丫(一1珂琴(-3<z<3) 3H_0 < 3 )(D)一二二-们(0<A<6)A J B-0 \ /(&[-2,2] ⑻(-2.2) (O (-2,2] (2?) [-2,2)(_g叔)答案：1 —10 DDBDA ADDDAB1填空题：1.若幕级数：」(a >0)在I C l - tJ ：-内收敛,则戈应满足是一等差数列「「：则幕级数收敛收敛.(0 3 <]). 答案：1. '2.(-3弋1)3. E (x)-1 —工十士务肆士血念+ 1），2.设幕级数―-的收敛半径为2,则级数的收敛区间为 __________ .3•级数1+丸17）+“（1-対4”.+ /（1-期*"・的和函数为域是 __________VDv V VM-1乙私沁 L 叫工 5. 41 与池-1有相同的 ____________6. -二工的幕级数展开式7. 幕级数只有在 __________ 区间内才有和函数.8. 经过逐项微分或逐项积分后幕级数 _____________ 不变. △•I9. 如-* *的幕级数表达式 __________________ . 10. 级数■- ■' ■■- ■■' - '" ' 1■-在区间4. ( -1, 1)5.收敛区间.: * j1.求幕级数’i 的收敛域及和函数2. 求幕级数.Ll'--的收敛域及和函数3. 求幕级数的收敛半径与收敛域6.(-00 <x < +00)7.收敛.8.收敛半径. 计算题Z 9. 用-1申丄---- X w!S咗 1 1 Q工於迟（1+£ +…+5 ⑵工才5. 求函数’八 -■ —'' -■■'-、在x=1处泰勒展开式.22禺己6. 设幕级数匚’’ 当；•、1时有|lx. 1且＜1求该幕级数的函数•7•将-''_ 1■' ■展成x的幕级数.口7 叫愛8. 求幕级数的和函数.Z 加+9. 试求幕级数的收敛区域及和函数lim答案：1.解因1 且当?. - 时级数都发散，故该级数的收敛域10.设'「,确定-“的连续区间，并求积分的值(1^1<为(-1, 1 ),令「_/ (◎盈=：甘(IM v 1)恥恤心+ \二12.解：收敛半径’'1''1,当v=±-时,原级数发散，故原级数的收敛域为(-1, 1 ).设其和函数为J 1'也X)=工/心+ 口尹=J为城总+ 1)才7 = X工仗+ 1)护JE-1CD-lim帛T ■讐lim2B +lim —20 12-H 30W>1所以收敛半径 R=1,收敛域为［-1, 1 ].ln(l — =-d1 Ia* = 1 + — + ■■■-!■—3. ( 1 )解记，由于=1,故收敛半径R=1,收敛区间为（-1, 1 ）当'1时,由于'；w ■-：1,故级数发散,所以该级数的收敛域为（-1, 1 ）.血=9（2 ）解记 二 因为•J /(r) = lii(l+ z+? + ?+x 4) = lnt 匕二 0丰1)4.解 1一 •'•-Infl- x 5) - lnfl- x)疋 工Xln(l — 2C)=— 盂 1 - - ----- - -I 2 3 用 (,?°0 尹〕z H — H 1d —2 3甘 丿耳盅pi 丄乙一2,-乳,.而级数与 的收敛域都是［-1, 1 ］,故当-•时ln(l + x+?+^ + /) = lnfl-z 3) - x)5卍X + ----- -- ------ --- \「3H兀X2 n2 «5.解因炖皿 AD=(2-8Z -F21?)|^=15rW = (-3+42^) |^=34F 广〔1)=42. 严(l)"g4)../(x) =£ + 15(Z -1) + U(^-1)3+ 7(X -1)\ X e (-00,400)E（沪Z轴F=瓦叫产' 6.设和函数则II 21II 2!两边求导，得8.级数的和函数为畑十洽斗+，吃字—心也卫功=£（一1）叫片=北刀（一1）沖/右1=X 送(_1)林%JC鼻! S!"l3即^）-;?w = o?^（o）= ^=<住（0）= ^ = 1.屯、E㈤二？才十3尸解上述关于」」的二阶微分方程，得二 - .7. 解易看出• f ，r',而2 2Jx* - r（l+—+ —+ …）=r+—--1--—丰…9.由于级数在一「上收敛,所以当’L 一时，有=22 ②+ 1)疋=2迟Mr1+ 迟F(Tio.因为幕级数的收敛域是一•••，所以/W 在一・上的连续,4.设©二如=1.% =比+碍M◎二23严匚证明当5. N-0的收敛半径分别为-'4'Z仏+編片幕级数绝对收严、- 1丿+貞）且可逐项积分。
高等数学幂级数专项练习
幂级数专题训练解题策略4 利用幂级数的求和公式利用幂级数的求和公式求数列的极限，其原理是： 设有幂级数n n nx a∑∞=1，我们想办法求出其和函数)(x S （怎样求和函数见注解），则)(1x S x ann n=∑∞=，即)( (2211)x S x a x a x a x a n n n n n =++++=∑∞=，令0x x =，则有)(......0020201x S x a x a x a nn =++++，而 )...(lim ......020*********nn n n n x a x a x a x a x a x a +++=++++∞→，于是 )()...(lim 0020201x S x a x a x a nn n =+++∞→，即无穷多项相加的数列的极限求出了。
注解 怎样求幂级数n n nx a∑∞=1的和函数)(x S 呢？一般来说，有这几种情况：（1）若n n nx a∑∞=1是等比级数，则利用等比数列的求和公式即可；例如：级数.....12642++++++n x x x x 是公比为2x q =的等比级数，因此其和为2264211 (1x)x x x x n -=++++++，且12<=x q ； 注意求等比级数的和时，一定要注明公比属于1-和1+之间。
（2）若n n nx a∑∞=1不是等比级数，但将其逐项求导后是等比级数，则先求导变成等比级数求出和函数，再通过积分变回原级数的和函数。
例如，级数 (1)2)1( (7531)21753+--++-+--+n x x x x x n n 不是等比级数，但将其求导后有...)1( (1221)642+-++-+--+n n x x x x 是一个公比为2x q -=的等比级数，于是依据等比级数的求和公式有222164211...)1( (1x)x x x x n n +=+-++-+--+，且12<-=x q （即1<x ）， 于是两边积分有⎰⎰+=+-++-+--+xxn n dx x dx xx x x 0222164211]...)1(...1[，即有x x dx x n x x x x x xx n n arctan arctan 11 (1)2)1( (7530021)21753==+=+--++-+-⎰-+，且1<x 。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
幂函数的运算专项练习50题(有答案)
幂函数的运算专项练习50题(有答案)以下是50道关于幂函数运算的练题，每题都有详细的答案供参考。
1. 计算 2^3。
答案：2^3 = 8。
2. 计算 (-3)^4。
答案：(-3)^4 = 81。
3. 计算 (4^2)^3。
答案：(4^2)^3 = 4^6 = 4096。
4. 计算 (2^3)(2^4)。
答案：(2^3)(2^4) = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
5. 计算 (2^3)^4。
答案：(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。
6. 计算 (2^3)/2。
答案：(2^3)/2 = 2^(3-1) = 2^2 = 4。
7. 计算 (2^4)/(2^2)。
答案：(2^4)/(2^2) = 2^(4-2) = 2^2 = 4。
8. 计算 (-5^2)-3.答案：(-5^2)-3 = (-25)-3 = -28。
9. 计算 (-5)^2-3.答案：(-5)^2-3 = 25-3 = 22。
10. 计算 (-2)^3-(-2)^2.答案：(-2)^3-(-2)^2 = -8-4 = -12。
11. 计算 (-3)^2-(-3)^3.答案：(-3)^2-(-3)^3 = 9-(-27) = 36。
12. 计算 (2^3)^2/2^2.答案：(2^3)^2/2^2 = 2^6/2^2 = 64/4 = 16。
13. 计算 (2^3)^2/2^3.答案：(2^3)^2/2^3 = 2^6/2^3 = 64/8 = 8。
14. 计算 (2^3)^2-(2^2)^3.答案：(2^3)^2-(2^2)^3 = 2^6-2^6 = 64-64 = 0。
...(以下省略)这些练题旨在帮助您熟悉幂函数的运算规则和性质，通过练可以更好地掌握幂函数的计算方法。
每一题都有详细的答案解析，如果您有任何疑问或需要进一步讲解，请随时向我提问。
祝您练习顺利！。
高数幂级数训练真题
§8.2 幂级数一．函数项级数及其收敛域与和函数1．函数项级数概念设()x u n () ,3,2,1=n 皆定义在区间I 上，则()x u n n ∑∞=1称为区间I 上的函数项级数2．收敛域设I 0∈x ，如果常数项级数()01x u n n∑∞=收敛，则称0x是函数项级数()∑∞=1n n x u 的收敛点，如果()∑∞=1n nx u 发散，则称0x是()∑∞=1n n x u 的发散点。
函数项级数()∑∞=1n nx u 的所有收敛点构成的集合就称为收敛域。
所有发散点构成的集合称为发散域。
3．和函数 在()∑∞=1n n x u 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此()()∑∞==1n n x u x S ，∈ x 收敛域称)(x S 为函数项级数()∑∞=1n n x u 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。
二．幂级数及其收敛域1．幂级数概念()∑∞=-10n nn x x a 称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0( =n a n 称为幂级数的系数，是常数。
当00=x 时，∑∞=0n n nx a称为x 的幂级数。
一般讨论∑∞=0n nn x a 有关问题，作平移替换就可以得出有关()∑∞=-0n nn x x a 的有关结论。
2．幂级数的收敛域幂级数∑∞=0n n nx a的收敛域分三种情形（1）收敛域为),(+∞-∞，亦即∑∞=0n n nx a对每一个x 皆收敛。
我们称它的收敛半径+∞=R 。
（2）收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞=0n n nx a皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。
（3）收敛域为),(R R -或]R R ,(-或[),R R -或[]R R ,-中的一种，我们称它的收敛半径为R )0(+∞<<R 。
所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。
而)3(的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)n n n a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( )(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是( ).(A) 1(1);210n n nn ∞=-+∑(B) 11n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑(D)11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1n n a ∞=∑收敛于S ，则级数()121n n n n a a a ∞++=++=∑( )(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关.5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1()2S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4 (D) 12.二、填空题1、 设14n n u ∞==∑，则111()22n nn u ∞=-=∑( ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ∞=+∑的收敛区间为( )3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( )4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为( )三、计算与应用题1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ∞=+∑的和函数5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α> 时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1）求()211n n n a a n∞+=+∑（2）试证：对任意常数0λ>，级数1nn a nλ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示 一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值.而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可.3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑ ()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+.提示: ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn n n n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1x n nf x x x ∞==--∈-∑提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e x n xf x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,00110n x x n n -<=<,故当1α> 时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章 曲线积分与曲面积分测试题 一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( )(A) 1;- (B) 0; (C) 1; (D) 2.2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于( )(A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于( )(A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a (D) 0.4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，则d cx s ⎰等于( )(A) 23;a (B) 0; (C) 2;a (D)213a .5、设∑为下半球z =Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y ∑⎰⎰不等于( )(A) d ;v Ω-⎰⎰⎰(B) 2π00d d r θ⎰⎰;(C) 2π00d d ;ar θ-⎰⎰ (D) ()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( )4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于( )5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x-++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( )三、计算与应用题1、求()()x ysin d cos d L I e y b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d L I y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x .答案：()e ()e 1x xf x x=-提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性，知2()()()e 0x xf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可.四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证： （1）sin sin sin sin e d e d e d e d y x y x LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --⎰≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示 一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、1、3πa -；2、4π-；3、；4、4π3；5、211x+. 三、1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式.2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L L I y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰. 3、答案：ξηζ===max W =. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3d OMW yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=++==⎰⎰再求W ξηζ=在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案： ()3d π,,2Sz s x y z ρ=⎰⎰.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022x y X Y zZ ++=，点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z z ρ-⎛⎫=++⎪⎝⎭. 5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑=++=⎰⎰.提示：添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式.注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰的积分等于3d d Dxy x y ⎰⎰为0.6、提示：（1）左边=()π0πsin sin sin sin 0π0πe d πe d πe +e d y x x x y x x ---=⎰⎰⎰，同理，右边=()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰（2）由（1）得sin sin e d ed y xLx y y x --⎰=()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而由sin e x 和sin e x -泰勒展开式知道()π20π2sin d x x +⎰≤()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰，而()π2205π2sin d π2x x +=⎰.第九章 重积分测试题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰( ).(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰;(B) 2cos sin Dx ydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 02、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是xoy 平面上由20,y y x == 和1x =所围区域，则(,)f x y 等于( ).(A) xy ; (B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设22222123d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y I x y x y I x y x y ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(){}22,1D x y x y =≤+，则( ).(A) 321I I I >>; (B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D)312I I I >>4、设空间闭区域Ω由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分，则( ).(A) 1d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B) 1d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(C) 1d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (D) 1d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、设空间闭区域({,,z x y z Ω=，d I z v Ω=⎰⎰⎰，则下列将I 化为累次积分中不正确的是( ).(A)22π1d d d rI r r zθ=⎰⎰;(B)π2π240d d cos sin d I θϕϕρϕρ=⋅⎰⎰;(C) 122201πd π(2)d I z z z z z =+-⎰⎰; (D) 221004d d x y I x y z z +=⎰二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰的值等于( )2、设(){}22,1D x y x y =≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r De x y x y r -→++⎰⎰的值等于( )3、积分222d e d y xI x y -=⎰⎰的值等于( )4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++⎰⎰⎰≤可化为定积分0()d Rx x ϕ⎰，则()x ϕ等于( ) 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+⎰⎰⎰≤的值等于( )三、计算与应用题1、求)d d DI y x y =⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域. 2、求{}22max ,e d d x y DI x y =⎰⎰，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v Ω=+⎰⎰⎰，Ω由z =z =确定.5、计算112111224d e d d e d y y xxy I y x y x =+⎰⎰⎰.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A=⎰，证明11201d ()()d 2x I x f x f y y A ==⎰⎰.第九章 重积分测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、1、22222πR 4x y ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b .三、1、答案：()163π-29I =. 提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可.3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π42002d d ()d r I r r z z θ=+⎰⎰⎰即可.4、答案：π8I =.提示: d 0x v Ω=⎰⎰⎰, ππ122400d 4d d cos sin d z v θϕρϕρϕρΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5、答案：3e 8I =- 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t z V zx y h t ⎡⎤+-⎣⎦==⎰⎰⎰≤；再求出雪堆的侧面积22221()213πd ()12x y h t S x y h t +==⎰⎰≤； 由题意d 0.9d V S t =-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，并利用1111000001d ()()d d ()()d d ()()d 2y xy f x f y x x f x f y y x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第八章 多元函数微分法及应用测试题 一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()xy f t dt x∂=∂⎰( ).(A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡（常数）的（ ）.(A) 充要条件； (B)充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（ ） （A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立； （B ）(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；（C ） (,)f x y 在D 内可微分； （D ）以上结论都不对 4、42002lim3x y xyx y →→+的值为（ ）(A)∞ ； (B) 不存在； (C) 23； (D) 0.5、设有三元函数ln e 1xz xy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）.（A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =. 二、填空题1、设(,)cos()(2xy f x y e x y π=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b''===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x ϕ=，则(1)ϕ'的值为（ ）.3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（ ）方向的方向导数最大三、计算和应用题1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0≡/''g ，如果222222242f y zy x z x z ''=∂∂+∂∂∂+∂∂，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y x y xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1）设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2）现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y bF z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点.第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示 一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D. 二、 1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326o gradu i j k =--.三、1、答案：2,2a b ==-.提示： 利用xyyx f f ''''=这一条件. 2、答案：1k =-. 提示:g f f xz'+'+'=∂∂21，g k f f y z '+'+'-=∂∂21，g f f f x z ''+''+''+''=∂∂221211222，g k f f f yz ''+''+''-''=∂∂2221211222， g k f f y x z ''+''+''-=∂∂∂22112，()g k k f y zy x z xz ''+++''=∂∂+∂∂∂+∂∂222222222142， 又因为0≡/''g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：,,333a . 提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的极值就可.4、答案：1221122d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy y 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' A=2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.6、答案: 00(,)g x y ==攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模.然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可. 四、答案: 通过定点(),,M a b c . 第六章 微分方程测试题 一、选择题1、设()y f x =是240y y y '''-+=的解,若0()0f x >且0()0f x '=,则在0x 点()f x ( ).(A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448x y y y e '''-+=的一个特解应具有形式 ( ) (,,,a b c d 为常数).(A) 2;x ce (B) 22;x dx e (C) 2;x cxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为( ).(A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++ (D) *2ecos .y ax bx c x =+++4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为( ).(A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为( ).(A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题1、已知微分方程23e x y y y -'''--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为( ).2、以12e ,e x x y y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( ).3、若连续函数()f x 满足()0()e xf t f x dt =⎰，则()f x 等于( ). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++，其中α是比x ∆(0)x ∆→高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于( ).5、2e x y y y x '''++=的通解为( ). 三、计算和应用题1、 设2e(1)e xx y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解，求该微分方程的通解.2、 设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d xx y x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =所满足的微分方程;(2) 求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y '==的解. 3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+⎰，求()f x . 5、 已知连续函数()f x 满足()100()()d e 2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+⎰⎰，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f ⎡⎤-⎣⎦，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题证明方程()y y f x ''+=（其中()f x 连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-⎰，其中为任意常数.第六章 微分方程测试题答案与提示 一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、1、3121e e e 4xxx c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x x y c c x x -=++-. 三、1、答案：2212e e e (1)e x x x x c c x ++++.提示：将2e (1)e x x y x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,αβγ的值，然后再去求解微分方程.2、答案: (1) sin y y x ''-=;(2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案: 2e 2e x x y y y x '''--=-.提示: 21312e ,=e x x y y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y '''--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案: 32()3e 2e x x f x =-.5、答案: 21()12e 2xf x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.提示：作代换xu t =，则1002()d 2()dt xx f xu u f t =⎰⎰. 6、答案: 3()1xf x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3t t f t f f x x ⎡⎤-=⎣⎦⎰，然后两边求导. 四、略.第五章 定积分及应用测试题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0st I t f tx x t s =>>⎰，则I 的值是( ). （A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数； （C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ).(A) 12212cos ln(1)d x x x -+⎰ (B) 233(1)e d x x x -+⎰(C) 4222sin cos d 1x x x x ππ-+⎰(C) 211(d x x -⎰ 3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>，令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰，则( ).(A) 321S S S >>; (B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D)132S S S >>.4、已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，则220sin d x x x +∞⎰的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4 (D) π-1.5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt lim xx f x t x→-⎰的值等于( ).(A)不存在； (B) 0; (C) (0);f ' (D) 1(0).2f ' 二、填空题 1、设()f x 连续，31()dt x f t x -=⎰，则(7)f 等于( ).2、定积分3π43π4(1arctan x x -+⎰的值为( ). 3、定积分11()e d x x x x -+⎰的值为( ).4、若积分(21)d 4a a x x --=-⎰,则常数a 的值等于( ).5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x π''+=⎰，求(0)f . 2、计算21x x x --⎰3、设2π20sin ()d 12cos t f x t x t x =++⎰，求(1)(0)f f 4、 计算π320sin d sin cos xx x x+⎰.5、设3e e ()ln ()d xf x x f x x =+⎰，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]10()()d f x xf xt t +⎰与x 无关，求()f x . 四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x '>，证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示 一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、1、112；2、2；3、2；4、2；5、3712. 三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分.2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性.3、答案：1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-.提示：πππ333322200sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x x x x x x+==+++⎰⎰⎰.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e x f x -=.提示：令()[]11000()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =+=+=+⎰⎰⎰，由()0F x '=得()()0f x f x '+=，所以e ()0xf x '⎡⎤=⎣⎦. 四、提示：()()()10,,()()d t t a b S t t a f t f x x ∀∈=--⎰，()()2()d ,bt S t f x x b t =--⎰ 令()()12()3t S t S t ϕ=-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题 一、单项选择题1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x xf x →存在的( )条件.(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关.2、设22212lim()n nn n n →∞+++= ( ). (A) 22212lim lim lim0n n n nn n n →∞→∞→∞+++=; (B) ∞;(C) 21+2+1lim2n n n →∞+=; (D) 极限不存在.3、设()=232x x f x +-，则当0x →，有 ( ).(A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小;(C) ()f x 是比x 高阶的无穷小; (D) ()f x 是比x 低阶的无穷小.4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的( ).(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点; (D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题7、 若2211()3f x x xx +=++，则()f x =()． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则a = ( )．9、n →∞()．10、设2013sin coslim (1cos )(e 1)x x x x x x →+=+- ( )． 5、已知25lim 232n a bn n →∞++=-，则a = ( )，b = ( )．三、计算与应用题1、设0, 0(), 0x f x x x ⎧=⎨>⎩≤，20, 0(), 0x g x x x ⎧=⎨->⎩≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x[()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩≤，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续，应当怎样选择数a3、设11e , 0()ln(1), 10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<⎩≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．4、计算极限tan π2lim(sin )x x x →．5、计算极限123lim()21x x x x +→∞++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示 一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、1、答案：[()] = (),f f x f x [()]0,g g x = [()]0,f g x = [()]()g f x g x =.2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．4、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+⎩≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ).(A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=; (D)2,1a b ==-.2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ⎧-+>=⎨⎩≤ ( ).(A)不连续; (B)连续，但不可导;(C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数.3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ' ( ).(A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数; (C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数.4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( ).(A) 02()f x '; (B)0()f x '-; (C) 0()f x '; (D)0()f x '-.5、设()sin cos 2xf x x =+，则(15)(π)f = ( ).(A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（ 充分 ）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（ ）条件．12、设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f '= ( )． 13、设()f x 为可微函数，则当0x ∆→时，在点x 处的d y y ∆-是关于x∆的( )无穷小.14、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩，则3π4d d t x y == ( 1-)，223 π4d d t xy == () ．15、设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d y x=( )． 三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 00 , 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1, 0() 1 , 0x x f x xx ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩，求 ()f x '. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x '存在，求d d y x. 4、设y =2d x y =. 5、用对数求导法计算函数y =的导数 6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，且,(,)x y ∀∈-∞+∞，恒有()()()f x y f x f y +=⋅，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x →=，证明()f x 在),(+∞-∞内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ．二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、3πa -；5、1． 三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 , 0x x x f x xx ⎧-+⎪≠'=⎨⎪=⎩． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x x yf f f x x ''=+.4、答案：67211d [7()]d 7y x x x-=-；2d (ln 7)d 144x y x ==-⋅． 5、答案：45(3)145[](1)2(2)31x y x x x x -'=⋅+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n y x -=+. 四、提示: ,(,)x y ∀∈-∞+∞，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=⋅⋅，00()limlim ()()().x x yf x f xg x f x x →→∆'==⋅=∆第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 ( ).(A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x ; (D) ln(2)x -.2、设00()()0f x f x '''== ，0()0f x '''>，则( ).(A) 0()f x '是()f x '的极大值; (B) 0()f x 是()f x 的极大值;(C)0()f x 是()f x 的极小值; (D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点.3、设函数()f x 在[0,1]上满足()0f x ''>，则(1)f '，(0)f '，(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是 ( ).(A) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-; (B) (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->; (C) (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>; (D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. 4、指出曲线2()3xf x x =-的渐近线 ( ). (A) 没有水平渐近线; (B)只有一条垂直渐近线;(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线; (D) 只有水平渐近线.5、曲线53(5)2y x =-+ ( ).(A) 有极值点5x =，但无拐点; (B) 有拐点(5,2)，但无极值点;(C) 有极值点5x =，且(5,2)是拐点; (D) 既无极值点，又无拐点.二、填空题16、设常数0k >，函数()ln ex f x x k =-+在(0,)+∞内零点的个数为（ ）．17、若2sin 2e 1,0() , 0 ax x x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续，则a = ( )．18、曲线1ln(e )(0)y x x x =+>的渐近线方程为 ( )． 19、240ln(1)ln(1)ln(1)lim x x x x x →+---= ()． 5、若()f x 是x 的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x 轴，那么函数()f x 的表达式是 ( )． 三、计算与应用题1、当a 为何值时，1sin sin 33y a x x =+在π3x =处有极值求此极值，并说明是极大值还是极小值.2、求0e ln(1)1lim arctan x x x x x→+---.3、求11cos0sin lim()x x x x-→. 4、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点. 5、求数列的最大项.6、曲线弧sin (0π)y x x =<<上哪一点处的曲率半径最小求出该点处的曲率半径. 四、证明题设()f x 在(,)a b 内二阶可导，且()0f x ''≥. 证明对于(,)a b 少内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+-+≤.第三章综合测试题答案与提示 一、1、B ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B ． 二、1、2；2、2-；3、1ey x =+；4、112；5、43416x x x -+．三、1、答案：2,a =π3y =.2、答案：12-.3、答案：13e -.4、答案： (1,2)和(1,2)--． 56、答案: π(,1)2处的曲率半径最小，值为1.四、略．第四章综合测试题 一、单项选择题1、=⎰( ).(A) C +; (B) arctan x C +; (C)12C; (D) C .2、已知()f x 的一个原函数是2ex -，求()d xf x x '=⎰ ( ).(A) 222e x x C --+; (B) 222e x x C -+;(C) 22e (21)x x C ---+; (D) 以上答案都不正确. 3、已知()d ()f x x F x C =+⎰，则()d f b ax x -=⎰ ( ).(A) ()F b ax C -+; (B) 1()F b ax C a--+; (C) ()aF b ax C -+; (D) 1()F b ax C a-+.4、已知曲线上任一点的二阶导数6y x ''=，且在曲线上(0,2)-处的切线为236x y -=，则这条曲线的方程为( ).(A) 322y x x =--; (B) 332360x x y +--=; (C) 32y x x =-; (D) 以上都不是. 5、若()()F x f x '=，则d ()F x =⎰ ( ).(A) ()f x ; (B) ()F x ; (C) ()f x C +; (D) ()F x C +.二、填空题20、设函数()f x 的二阶导数()f x ''连续，那么()d xf x x ''=⎰( ).21、若(e )1x f x '=+，则()f x = ( ).22、已知曲线()y f x =上任意点的切线的斜率为336ax x --，且1x =-时，112y =是极大值，则()f x =()；()f x 的极小值是 ( ). 23、23ed x x x =⎰ ().5、[(()] d f x xf x x '+=⎰ ( ).三、计算与应用题 1、求不定积分d e e x xx--⎰.2、求不定积分4tan d x x ⎰.3、求不定积分e cos d ax bx x ⎰.4、求不定积分x ⎰.5、求不定积分x ⎰.6、求不定积分382d (1)x x x +⎰. 四、证明题设()F x 是()f x 的一个原函数，且(0)1F =，()2()f x x F x =，证明： 2()1dx ln(12)()4f x x C f x =++'⎰.第四章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C ；3、B ；4、B ；5、D ． 二、1、()()xf x f x C '-+；2、ln (0)x x C x +>；3、323622x x x --+，8-； 4、221e (1)2x x C -+；5、()xf x C +． 三、1、答案：e 11ln 2e 1xx C -++.2、答案：31tan tan 3x x x C -++ 3、答案：221e (cos sin )axa bxb bx C a b+++ 4、答案：C5、答案：(1)x arc C +.6、答案: 4481arctan 8(1)8x x C x +++.四、提示：()2()f x x F x =()2()F x x F x '⇒=2ln ()F x x C ⇒=+， 由(0)1F =，得22()e ()2e x x F x f x x =⇒=2()()12f x xf x x ⇒='+，2()1dx ln(12)()4f x x C f x ⇒=++'⎰. 第七章综合测试题 一、单项选择题1、点(2,3,1)M -关于xOy 平面的对称点是( ).(A) (2,3,1)--; (B) (2,3,1)---; (C) (2,3,1)--; (D)(2,3,1)--.2、已知平面通过点(,,0)k k 与(2,2,0)k k ，其中0k ≠，且垂直于xOy 平面，则该平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=的系数必定满足( ).(A) ,0A B C D =-==; (B) ,0B C A D =-==;(C) ,0C A B D =-==; (D) ,0C A B D ===.3、直线50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩的标准方程是( ).(A) 41413x y z -+==-; (B) 41413x y z --==;(C) 41413x y z -+==--; (D) 41413x y z --==-. 4、点(4,3,5)M -到x 轴的距离是的( ).(A) ; (B) ; (C) ;5、方程22214y x z -+=表示( ).(A) 旋转双曲面; (B) 双叶双曲面; (C) 双曲柱面; (D)锥面.二、填空题24、设(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= ( ) 25、若13a =，19b =，24a b +=，则a b -= ( ) 26、直线73121x y z +-==-上与点(3,2,6)的距离最近的点是 ( ) 27、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面4280x y z -+-=垂直，则此平面方程为 ()28、曲线22222z x y z x⎧=+⎨=-⎩关于xOy 面的投影柱面方程是( )三、计算与应用题1、设375a b a b +⊥-，472a b a b -⊥-，求(,)a b ∧.2、设4a =, 3b =, (,)6a b π∧=，求以2a b +和3a b -为边的平行四边形的面积.3、设一平面垂直于平面0z =，并通过从点(1,1,1)-到直线10y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，求此平面的方程.4、求锥面z 与柱面22z x =所围立体在三个坐标面上的投影5、在平面2320x y z +-+=和平面55430x y z +-+=所确定的平面束内，求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,3,1)- .6、光线沿直线30:10x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面π:10x y z +++=，求反射线所在的直线方程. 四、证明题设M 为ABC ∆的重心，证明：对于任意一点O ，有1()3OM OA OB OC =++.第七章综合测试题答案与提示 一、1、C ；2、A ；3、A ；4、B ；5、A ．。
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第十四章幂级数
单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，
则下列断语中正确的是
（A）在上一致收敛。
（B）在内某些点处非绝对收敛。
（C）的收敛半径大于。
（D）对任意的，在上一致收敛。
．2。
若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数
(A)在处发散；(B)在处收敛；
(C)收敛区间为; (D)当时发散。
3．幂级数级数的收敛域是
(A) (B)
(C) (D)
4．若幂级数的收敛半径为R,那么
(A), (B) ,
(C), (D)不一定存在 .
5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数
(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；
(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。
6. 如果,则幂级数
(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；
(C) 当时,发散；(D) 当时,发散
7..设级数在处是收敛的，则此级数在处
(A)发散；(B)绝对收敛；
(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。
8幂级数在其收敛区间的两个端点处
A 全是发散的. B. 全是收敛的
C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散
9. 函数展开成的幂级数的方法是
.
10. 幂级数的收敛域为
答案: 1—10 DDBDA ADDDA
填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.
2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间
为__________.
3.级数的和函数为_________.
4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛
域是__________.
5. 与有相同的___________.
6. 的幂级数展开式_________________.
7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.
8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.
9. 的幂级数表达式____________.
10. 级数在区间_________收敛.
答案： 1. .
4. ( -1, 1)
5. 收敛区间.
. 6.
7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.
计算题
1.求幂级数的收敛域及和函数.
2. 求幂级数的收敛域及和函数.
3. 求幂级数的收敛半径与收敛域
( 1)
4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.
5. 求函数在x=1处泰勒展开式.
6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.
7. 将展成x的幂级数.
8. 求幂级数的和函数.
9. 试求幂级数的收敛区域及和函数
10. 设，确定的连续区间，并求积分的值
答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域
为( -1, 1 ), 令, 则
,
.
2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,
3. ( 1 ) 解记, 由于
, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )
当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .
( 2 ) 解记因为
所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].
4. 解
而
而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时
5. 解因
.
6. 设和函数则
即.
解上述关于的二阶微分方程, 得.
7. 解易看出, 而
两边求导, 得.
8.级数的和函数为
9. 由于级数在上收敛，
所以当时，有
10. 因为幂级数的收敛域是，所以
在上的连续，
且可逐项积分。
.
证明题： 1. 设在内收敛, 若也收敛, 则
.
2. 设f为幂级数在( -R, R ) 上的和函数, 若f为奇函
数, 则原级数仅出现奇次幂的项, 若 f 为偶函数, 则原级数仅出现偶次幂的
项.
3. 设函数定义在[ 0, 1]上, 证明它在(0, 1 ) 满足下述方程:
4. 设证明当时, 级数收敛.
5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数
绝对收敛。
6. 设，求证：
其中
7. 设，，。
证明：当时，满足方程。
8. 若幂级数的收敛半径为R(>0), 且在(或时收敛, 则级数在[ 0, R]
( 或[-R, 0 ] )上一致收敛.
9. 设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M, 对一切, 有, 证
明: 对内任一点与有
.
10. 证明: 满足方程.
答案: 1. 证明: 因为当收敛, 有
又当时, 收敛, 从而可知在左连续,于是.
2. , ,
当为奇函数时, 有, 从而
,
这时必有.
当为偶函数时, 有
此式当且仅当.
3.证明: 设则
.
所以
故. 0<x<1.
4. 因为
所以, ,
取极限得到, 从而级数的收敛半径
故时, 级数收敛.
5. 对于任意，由于，
所以，绝对收敛。
又
所以绝对收敛。
6. 时, ，
，
故
从而
7. 由于，幂级数的收敛半径是1，
所以当时，可微，
且
故
即满足方程。
8. 证明: 设级数在时收敛, 对于有
=
已知级数收敛, 函数列在上递减且一致有界, 即
由阿贝耳判别法知, 级数在上一致收敛.
9. 证: 对由于
,
所以.
10.证: 因幂级数的收敛区间为, 它可以在内逐项微分任意次, 从而,
, 将代入有
.。