幂级数测试题

第十四章幂级数

单选题：1设幂级数的收敛半径为R ，

则下列断语中正确的是

（A）在上一致收敛。

（B）在内某些点处非绝对收敛。

（C）的收敛半径大于。

（D）对任意的，在上一致收敛。

．2。若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数

(A)在处发散；(B)在处收敛；

(C)收敛区间为; (D)当时发散。

3．幂级数级数的收敛域是

(A) (B)

(C) (D)

4．若幂级数的收敛半径为R,那么

(A), (B) ,

(C), (D)不一定存在 .

5．如果能展开成的幂级数，那么该幂级数

(A) 是的麦克劳林级数；(B)不一定是的麦克劳林级数；

(C)不是的麦克劳林级数；(D) 是在点处的泰勒级数。

6. 如果,则幂级数

(A)当时,收敛；(B) 当时,收敛；

(C) 当时,发散；(D) 当时,发散

7..设级数在处是收敛的，则此级数在处

(A)发散；(B)绝对收敛；

(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。

8幂级数在其收敛区间的两个端点处

A 全是发散的. B. 全是收敛的

C. 左端点发散, 右端点收敛. D 左端点收敛, 右端点发散

9. 函数展开成的幂级数的方法是

.

10. 幂级数的收敛域为

答案: 1—10 DDBDA ADDDA

填空题：1. 若幂级数在内收敛, 则应满足__________.

2. 设幂级数的收敛半径为2, 则级数的收敛区间

为__________.

3.级数的和函数为_________.

4. 设是一等差数列, 则幂级数收敛

域是__________.

5. 与有相同的___________.

6. 的幂级数展开式_________________.

7. 幂级数只有在___________区间内才有和函数.

8. 经过逐项微分或逐项积分后幂级数___________不变.

9. 的幂级数表达式____________.

10. 级数在区间_________收敛.

答案： 1. .

4. ( -1, 1)

5. 收敛区间.

. 6.

7. 收敛. 8. 收敛半径. 9.

计算题

1.求幂级数的收敛域及和函数.

2. 求幂级数的收敛域及和函数.

3. 求幂级数的收敛半径与收敛域

( 1)

4. 将函数展开为的幂级数, 并指出收敛域.

5. 求函数在x=1处泰勒展开式.

6. 设幂级数当时有且求该幂级数的函数.

7. 将展成x的幂级数.

8. 求幂级数的和函数.

9. 试求幂级数的收敛区域及和函数

10. 设，确定的连续区间，并求积分的值

答案: 1. 解因且当时级数都发散, 故该级数的收敛域

为( -1, 1 ), 令, 则

,

.

2. 解: 收敛半径, 当时, 原级数发散, 故原级数的收敛域为( -1, 1 ). 设其和函数为,

3. ( 1 ) 解记, 由于

, 故收敛半径R=1, 收敛区间为( -1, 1 )

当时, 由于, 故级数发散, 所以该级数的收敛域为( -1, 1 ) .

( 2 ) 解记因为

所以收敛半径R=1, 收敛域为[ -1, 1 ].

4. 解

而

而级数与的收敛域都是[ -1, 1 ], 故当时

5. 解因

.

6. 设和函数则

即.

解上述关于的二阶微分方程, 得.

7. 解易看出, 而

两边求导, 得.

8.级数的和函数为

9. 由于级数在上收敛，

所以当时，有

10. 因为幂级数的收敛域是，所以

在上的连续，

且可逐项积分。

.

证明题： 1. 设在内收敛, 若也收敛, 则

.

2. 设f为幂级数在( -R, R ) 上的和函数, 若f为奇函

数, 则原级数仅出现奇次幂的项, 若 f 为偶函数, 则原级数仅出现偶次幂的

项.

3. 设函数定义在[ 0, 1]上, 证明它在(0, 1 ) 满足下述方程:

4. 设证明当时, 级数收敛.

5.设幂级数，的收敛半径分别为，设，证明：当时，幂级数

绝对收敛。

6. 设，求证：

其中

7. 设，，。证明：当时，满足方程。

8. 若幂级数的收敛半径为R(>0), 且在(或时收敛, 则级数在[ 0, R]

( 或[-R, 0 ] )上一致收敛.

9. 设函数在区间内的各阶导数一致有界,即存在正数M, 对一切, 有, 证

明: 对内任一点与有

.

10. 证明: 满足方程.

答案: 1. 证明: 因为当收敛, 有

又当时, 收敛, 从而可知在左连续,于是.

2. , ,

当为奇函数时, 有, 从而

,

这时必有.

当为偶函数时, 有

此式当且仅当.

3.证明: 设则

.

所以

故. 0

4. 因为

所以, ,

取极限得到, 从而级数的收敛半径

故时, 级数收敛.

5. 对于任意，由于，

所以，绝对收敛。

又

所以绝对收敛。

6. 时, ，

，

故

从而

7. 由于，幂级数的收敛半径是1，

所以当时，可微，

且

故

即满足方程。

8. 证明: 设级数在时收敛, 对于有