高数竞赛试题及答案

2013年第五届全国大学生数学竞赛

暨第五届甘肃农业大学选拔赛试题

1.当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n ax 为等价无穷小,求n 与a 的值. 答案:7,2==a n

2.证明:2

1ln cos 112

x x x x x ++≥+-,11x -<<. 3.设奇函数)(x f 在]1,1[-上具有二阶导数,且1)1(=f .证明:

(1)存在)1,0(∈ξ,使得1)(='ξf ;

(2)存在)1,1(-∈η,使得1)()(='+''ηηf f .

4.如图，曲线C 的方程为)(x f y =,点(2 , 3)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0 , 0)与(2 , 3)

处的切线,其交点为(4 , 2).设函数)(x f 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+3

0 2d )()(x x f x x . 答案:20 5.过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区

域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所的旋转体的体积. 答案:2A =,)1

e (π232-=x V 6.设函数()y

f x =由参数方程22(1)()

x t t t y t ϕ⎧=+>-⎨=⎩所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ϕ具有二阶导数,曲线()y t ϕ=与2

213e d 2e

t u y u -=+⎰在1t =处相切,求函数()t ϕ. 答案:3211()(3)22e e t t t t ϕ=++-+(1)t >-. 7.求函数y x x y y x f ++=e )3

(),(3

的极值. 答案:31e ),1(34min --=-f 8.设平面区域D 由直线x y y x 3,3==及8=+y x 所围成,计算⎰⎰D y x x d d 2. 答案:

3

416 9.已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周222x y x +=到点(2,0),再沿圆周224x y +=到点(0,2)的曲线段,求曲线积分⎰-++=L y y x x x y x I d )2(d 332. 答案:π42

- 10.设数列}{n a 满足条件:1,310==a a ,0)1(2=---n n a n n a )2(≥n ,)(x s 是幂级数n n n

x a ∑∞=0的和函数.

(1)证明:0)()(=-''x s x s .(2)求)(x s 的表达式. 答案:x x x s e e 2)(+=-.