【教学设计】《表面涂色的正方体》(数学苏教版六上)
《表面涂色的正方体》教学设计
教材分析：
一个较大的正方体的6个面上都涂了颜色。如果把这个正方体切成若干个同样大的小正方体，这些小正方体的6个面上不会都涂了颜色。切成的小正方体可能有多少面涂了颜色？其中有没有规律？会是什么规律？回答这些问题是这次活动的数学内容。
较大正方体切成的小正方体，分布在大正方体的各个位置上。正是由于各个小正方体在大正方体上的位置不同，所以它们涂颜色面的个数不同。研究小正方体涂色面的规律，要分类整理各种小正方体的原来位置，与刚刚教学的正方体知识有联系，对空间想象力提出了新的内容与要求，有益于学生空间观念的发展。
设计意图：
教材分三段安排学生开展探索规律的活动，依次是：提出问题与观察想象、揭示规律与写出关系式、回顾过程与反思体验。
（一）提出问题，呈现现象，数数想想，初步发现规律
大正方体切成的小正方体个数越多，数出表面涂颜色的小正方体个数就越难。教材由少到多，逐渐增加难度：先把大正方体的每条棱平均分成2份，图示一个表面涂了颜色的大正方体被平均分的情境，让学生看着实物图数数、想想、说说，“能切成多少个大小相等的小正方体？有几个面涂了颜色？”这是多数学生没有想过的、富有挑战性的问题。教材希望学生围绕小正方体“有多少个面涂有颜色，哪些面涂了颜色”这些问题进行思考和讨论，发现切成的每个小正方体都有3个面涂了颜色，3个面没有涂颜色。从切成的小正方体
的面有些在大正方体的表面上、有些在大正方体的里面，找到小正方体有涂色的面，也有没涂色面的原因。
接着把大正方体的每条棱平均分成3份，并切出大小相等的小正方体。这时的情况就比较复杂了，有些小正方体的3个面上涂了颜色，有些小正方体的2个面上涂了颜色，有些小正方体的1个面上涂了颜色，有些小正方体所有面上都没有涂颜色。教学应引导学生研究，为什么小正方体涂颜色面的个数不同？引导他们认识到由于有些小正方体在大正方体的顶点位置、有些在大正方体棱的位置、有些在大正方体表面的中间位置、有些在大正方体的里面，所以有3面涂色的、2面涂色的、1面涂色的、没有面涂色的小正方体，并且理解小正方体最多有3面涂了颜色。
然后把大正方体的每条棱平均分成4份、5份，仍然切成大小相同的小正方体，继续研究小正方体面上涂颜色的问题。由于学生已经研究过大正方体每条棱平均分成3份的情况，其中的研究方法与经验可以应用于更加复杂些的情形之中，所以教材同时呈现了大正方体每条棱平均分成4份和5份的实物图，让学生独立进行研究活动，并把数得的结果填在教材的表格里。
学生从表格里的数据中会发现：随着把大正方体的每条棱平均分的份数越来越多，切出的小正方体中，3面涂颜色的总是8个，2面涂颜色、1面涂颜色、没有面涂颜色的小正方体的个数也越来越多。于是会思考，为什么3面涂颜色的小正方体总是8个？2面涂色、1面涂色、没有面涂色的小正方体的个数有没有规律？能不能计算？这就进入了问题情境，产生了探索规律的兴趣。
仔细观察与想象，能够发现：一个正方体被切成若干个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置上，大正方体有8个顶点，3面涂色的小正方体一定是8个。2面涂色的小正方体个数不固定，可能没有，可能是12个、24个、36个……这些数都是12（大正方体棱的条数）的倍数，这些小正方体总在大正方体每条棱的中间位置上。1面涂色的小正方体个数也不固定，可能没有，可能6个、24个、54个……这些数分别是6（大正方体面的个数）的1倍、4（22）倍、9（32）倍……这些小正方体在大正方体每个面的中间位置上。没有面涂色的小正方体个数仍然不固定，可能没有，可能1个、8个、27个……这些数刚好是0、13、23、33……这些小正方体都在大正方体的里面。
（二）写出含有字母的关系式，用数学模型表达规律
3面涂色的小正方体一定是8个，个数确定且不变就是规律。
2面涂色的小正方体在大正方体每条棱中间位置上，个数虽然不固定，却是有规律的，这就可以用数学的方法与形式来刻画规律。教材引导学生联系用字母表示数的经验，用a表示2面涂色小正方体的个数，n表示大正方体的棱平均分的份数。这样，2面涂色的小正方体个数可以通过式子12（n-2）计算，a＝12（n-2）概括地表示了2面涂色小正方体个数与大正方体棱平均分的份数的关系。在学生写出含有字母的式子时，要让他们看到2面涂色小正方体的个数与两个要素有关：一与正方体棱的条数有关；二与大正方体的棱被平均分的份数有关。大正方体的每条棱都平均分成n份，沿着每条棱的2面涂色的小正方体有（n-2）个。大正方体有12条棱，2面涂色的小正方体一共有12（n-2）个。教学应引导学生结合填写在表格里的数据，得出（n-2）并理解其意思。学生用含有字母的式子表示数量关系，是参与一次建立数学模型的活动，不应要求他们记忆和应用写出的式子，也不应要求把这个用字母表示的关系式作为基础知识加以掌握，但应该经历写出式子的过程。
1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间位置上，个数也是既不固定又有规律的。也可以用含有字母的式子来表达规律，不过式子更加复杂些。1面涂色的小正方体个数与大正方体面的个数“6”有关，还与大正方体的棱被平均分的份数有关。如果用b表示1面涂色小正方体的个数，n表示大正方体的棱被平均分的份数，那么大正方体一个面上能切出1面涂色的小正方体（n-2）2个，6个面一共能切出1面涂色的小正方体6（n-2）2个。式子b＝6（n-2）2表示1面涂色小正方体的个数与大正方体的棱被平均分的份数之间的关系。
一个面也不涂色的小正方体都在大正方体的内部。如果用c表示没有涂色面的小正方体个数，n表示大正方体的棱平均分的份数，那么这些没有涂色面的小正方体形成一个棱长为（n-2）的正方体，其中有（n-2）3个小正方体。式子c=（n-2）3表示没有涂色面的小正方体个数与大正方体的棱长被平均分的份数之间的关系。
学生独立得出上面这些关系式会有点困难，部分学生理解这些关系式也不容易，可以在教师帮助下写出和解释这些关系式。一定要把观察想象和揭示规律有机结合，在学生观察想象达到一定程度时，组织他们用适当的形式表达规律，用自己的语言解释规律。
（三）回顾发现规律的过程，体会其中的经验
回顾与反思是数学学习的重要步骤。当学生完成一段数学活动以后，及时回顾活动过程，反思活动的方式方法，有利于他们积累数学活动经验，增添继续学习数学的后劲。这次探索规律教学的最后，要求学生说说自己的收获，体会如何仔细观察、充分想象，如何通过数数、算算找到有关数据，如何根据数据归纳出规律，如何用含有字母的式子准确、清楚、概括地表达规律……这些体会的作用与价值，将体现在以后的数学学习之中。
表面涂色的正方体
教学目标：
1．通过活动，积累由特殊到一般寻找数学规律的数学经验。
2．进一步培养用分类计数的方法解决问题的能力，发展空间想象力。
教学重点：
找出小正方体涂色以及它所在的位置的规律。
教学难点：
一面、两面、三面涂色小正方体个数以及它所在位置的规律。
课前准备：
27个1立方厘米的正方体
教学过程：
一、引入新课
谈话：课前，我们通过魔方认识了三面涂色、两面涂色、一
面涂色的相关情况，谁能说说在魔方中三面涂色、两面涂色、一面涂色的部件分别处在魔方的什么位置?能不能通过旋转把魔方中三面涂色的部分移到两面涂色或只有一面涂色的位置?
看来三面涂色、两面涂色、一面涂色的位置是确定的。今天，我们就来一起探究跟表面涂色有关的正方体的计数问题。
板书：分类计数。
课件出示问题：
把一个表面都涂上颜色的正方体木块，切成64块大小相同的小正方体。
(1)三面涂色的小正方体有多少块?
(2)两面涂色的小正方体有多少块?
(3)一面涂色的小正方体有多少块?
二、探究正方体中表面涂色的小正方体
(一)棱长为4的正方体
提问：三面涂色的小正方体有多少个?处在什么位置上的小正方体才会是三面涂色的? (课件显示)闭上眼睛想一想三面涂色的小正方体在什么位置。
提问：两面涂色的小正方体有多少个?处在什么位置? (课件显示)
这个数据可以通过怎样的计算获得?
提问：一面涂色的小正方体有多少个?处在什么位置?
(课件显示)这个数据该通过怎样的计算获得?
追问：六面都没有涂色的小正方体有多少个?这样的小正方体处在什么位置?它的个数该如何计算?
引导：将大正方体剥去“表皮”，剩下的是什么样子?
指出：六面都没有涂色的小正方体在大正方体的中间。
两种算法 ：64—8—24—24＝8(个)，2×2X 2= 8(个)。
操作教具，验证学生的发现：
(1)将处在顶层的4个顶点上的4个小正方体从教具中取下，让学生见证“三面涂色”。
(2)将处在非底层的8条棱上的16个小正方体取下，让学生明确计算方法、见证“两面涂色”。同时追问：还有的两面涂色的小正方体在哪里?
(3)取出其中一面涂色的小正厅体，让学生明确计算方法，见证“一面涂色”。
(4)呈现“六面都没有涂色”的小正方体(由8个小正方体组成的棱长为2的正方体)。
(5)将最底层的小正方体按类归位 ，验证计数的结果及计算方法。
要求：将正方体的棱长各种正方体的个数及计算方法填在活动记录表。
引导：计算所需的数据与原正方体的棱长有什么关系?
(二)棱长为3的正方体
学生自主完成，将探究结果填在活动记录表。完成后指名汇报交流。
(三)棱长分别为5、6的正方体
学生自主完成，将探究结果填在活动记录表，并在小组内交流。
投影呈现学生的活动记录结果，通过课件呈现实物加以验证。引导学生初步发现正方体表面涂色问题的一般规律。
(四)棱长为a的正方体
提问：如果棱长为n，三面涂色的小正方体有几个?两面涂色、一面涂色和六面都没有涂色的小正方体个数分别怎样表示?
(五)延伸思考
课件出示问题：将一个长7厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块表面涂色后，切成棱长为1厘米的小正方体木块，三面涂色、两面涂色和一面涂色的木块各有几个?
三、课堂总结
通过今天的探究活动，你有什么发现呢？
教学反思：