2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学I卷(含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A.(-3,-32)B.(-3,32)C.(1,32)D.(32,3)2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y 是实数,则|x+yi|=( ) A.1B.√2C.√3D.23.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99C.98D.974.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13B.12C.23D.345.已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.函数y=2x 2-e |x|在[-2,2]的图象大致为( )8.若a>b>1,0<c<1,则( ) A.a c <b cB.ab c <ba cC.alog b c<blog a cD.log a c<log b c9.执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y 的值满足( )A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.811.平面α过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A,α∥平面CB 1D 1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB 1A 1=n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.√32B.√22C.√33D.1312.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)单调,则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共4小题,每小题5分.13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .14.(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(Ⅰ)求C;,求△ABC的周长.(Ⅱ)若c=√7,△ABC的面积为3√3218.(本小题满分12分)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?20.(本小题满分12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB=120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆.(Ⅰ)证明:直线AB 与☉O 相切;(Ⅱ)点C,D 在☉O 上,且A,B,C,D 四点共圆,证明:AB∥CD.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =acost ,y =1+asint (t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (Ⅰ)画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅰ)一、选择题1.D 易知A=(1,3),B=(32,+∞),∴A∩B=(32,3).故选D.2.B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi, ∴{x =1,y =1,∴|x+yi|=|1+i|=√12+12=√2.故选B. 3.C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n 项和公式及通项公式,得{S 9=9a 1+9×82d =27,a 10=a 1+9d =8,解得{a 1=-1,d =1,a n =a 1+(n-1)d=n-2,∴a 100=100-2=98.故选C.4.B 解法一:7:30的班车小明显然是坐不到了.当小明在8:00前到达,或者8:20之后到达,他等车的时间将不超过10分钟,故所求概率为10+1040=12.故选B.解法二:当小明到达车站的时刻超过8:00,但又不到8:20时,等车时间将超过10分钟,其他时刻到达车站时,等车时间将不超过10分钟,故等车时间不超过10分钟的概率为1-2040=12.5.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②由①得m 2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.6.A 由三视图可知,该几何体是一个球被截去18后剩下的部分,设球的半径为R,则该几何体的体积为78×43πR 3,即283π=78×43πR 3,解得R=2.故其表面积为78×4π×22+3×14×π×22=17π.选A.7.D 当x∈(0,2]时,y=f(x)=2x 2-e x, f '(x)=4x-e x. f '(x)在(0,2)上只有一个零点x 0,且当0<x<x 0时, f '(x)<0;当x 0<x≤2时, f '(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增,又f(2)-1=7-e 2<0,所以f(2)<1.故选D.8.C 解法一:由a>b>1,0<c<1,知a c>b c,A 错;∵0<c<1,∴-1<c-1<0,∴y=x c-1在x∈(0,+∞)上是减函数, ∴b c-1>a c-1,又ab>0,∴ab·b c-1>ab·a c-1,即ab c>ba c,B 错; 易知y=log c x 是减函数,∴0>log c b>log c a,∴log b c<log a c,D 错;由log b c<log a c<0,得-log b c>-log a c>0,又a>b>1>0,∴-alog b c>-blog a c>0,∴alog b c<blog a c,故C 正确.解法二:依题意,不妨取a=10,b=2,c=12.易验证A 、B 、D 均是错误的,只有C 正确. 9.C x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;x=12,y=2,n=3;x=32,y=6,此时x 2+y 2>36,输出x=32,y=6,满足y=4x.故选C.10.B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p=4p,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.11.A 如图,延长B 1A 1至A 2,使A 2A 1=B 1A 1,延长D 1A 1至A 3,使A 3A 1=D 1A 1,连结AA 2,AA 3,A 2A 3,A 1B,A 1D.易证AA 2∥A 1B∥D 1C,AA 3∥A 1D∥B 1C.∴平面AA 2A 3∥平面CB 1D 1,即平面AA 2A 3为平面α.于是m∥A 2A 3,直线AA 2即为直线n.显然有AA 2=AA 3=A 2A 3,于是m 、n 所成的角为60°,其正弦值为√32.选A.12.B 依题意,有{ω·(-π4)+φ=mπ,ω·π4+φ=nπ+π2(m 、n∈Z),∴{ω=2(n -m )+1,φ=2(m+n )+14π. 又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x)在(π18,5π36)上单调,得πω≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9, f(x)=sin (9x +π4)符合题意.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin (11x -π4),此时,当x∈(π18,536π)时,11x-π4∈(1336π,2318π), f(x)不单调,不合题意.故选B.二、填空题 13.答案 -2解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2. 14.答案 10解析 T r+1=C 5r (2x)5-r·(√x )r=25-rC 5r·x 5-r2,令5-r2=3,得r=4,∴T 5=10x 3,∴x 3的系数为10.15.答案 64解析 设{a n }的公比为q,于是a 1(1+q 2)=10,① a 1(q+q 3)=5,② 联立①②得a 1=8,q=12, ∴a n =24-n,∴a 1a 2…a n =23+2+1+…+(4-n)=2-12n2+72n =2-12(n -72)2+498≤26=64.∴a 1a 2…a n 的最大值为64.16.答案 216 000解析 设生产产品A x 件,产品B y 件,依题意,得{x ≥0,y ≥0,1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,设生产产品A,产品B 的利润之和为E 元,则E=2 100x+900y.画出可行域(图略),易知最优解为{x =60,y =100,此时E max =216 000. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=12,所以C=π3.(6分)(Ⅱ)由已知,得12absin C=3√32. 又C=π3,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC 的周长为5+√7.(12分)18.解析 (Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.(2分)又AF ⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.(3分) (Ⅱ)过D 作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.以G 为坐标原点,GF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.(6分)由(Ⅰ)知∠DFE 为二面角D-AF-E 的平面角,故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=√3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,√3). 由已知得,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.(8分) 又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角,∠CEF=60°.从而可得C(-2,0,√3).所以EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-4,√3),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,0).(10分) 设n=(x,y,z)是平面BCE 的法向量,则 {n ·EC ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3z =0,4y =0.所以可取n=(3,0,-√3).设m 是平面ABCD 的法向量,则{m ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.同理可取m=(0,√3,4).则cos <n,m>=n ·m |n ||m |=-2√1919. 故二面角E-BC-A 的余弦值为-2√1919.(12分)19.解析 (Ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分) 所以X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22 P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n 的最小值为19.(8分) (Ⅲ)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.(10分) 当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)20.解析 (Ⅰ)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A 的标准方程为(x+1)2+y 2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y≠0).(4分) (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-1)(k≠0), M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).由{y =k (x -1),x 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2-8k 2x+4k 2-12=0.则x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3. 所以|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=12(k 2+1)4k 2+3.(6分)过点B(1,0)且与l 垂直的直线m:y=-1k (x-1),A 到m 的距离为√k 2+1,所以|PQ|=2√42-(2)2=4√4k 2+3k +1.故四边形MPNQ 的面积S=12|MN||PQ|=12√1+14k 2+3.(10分)可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,8√3). 当l 与x 轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,8√3).(12分)21.解析 (Ⅰ)f '(x)=(x -1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).(2分) (i)设a=0,则f(x)=(x-2)e x, f(x)只有一个零点.(3分)(ii)设a>0,则当x∈(-∞,1)时, f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增.又f(1)=-e, f(2)=a,取b 满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a (b 2-32b)>0,故f(x)存在两个零点.(4分)(iii)设a<0,由f '(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e2,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.(6分)若a<-e 2,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时, f '(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时, f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))单调递减,在(ln(-2a),+∞)单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,+∞).(8分)(Ⅱ)不妨设x 1<x 2.由(Ⅰ)知,x 1∈(-∞,1),x 2∈(1,+∞),2-x 2∈(-∞,1), f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x 1+x 2<2等价于f(x 1)>f(2-x 2),即f(2-x 2)<0.由于f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2+a(x 2-1)2,而f(x 2)=(x 2-2)e x 2+a(x 2-1)2=0,所以f(2-x 2)=-x 2e 2-x 2-(x 2-2)e x 2.(10分) 设g(x)=-xe 2-x-(x-2)e x,则g '(x)=(x-1)(e 2-x-e x). 所以当x>1时, g '(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0. 从而g(x 2)=f(2-x 2)<0,故x 1+x 2<2.(12分) 22.证明 (Ⅰ)设E 是AB 的中点,连结OE.因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°.(2分)在Rt△AOE 中,OE=12AO,即O 到直线AB 的距离等于☉O 的半径,所以直线AB 与☉O 相切.(5分)(Ⅱ)因为OA=2OD,所以O 不是A,B,C,D 四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D 四点所在圆的圆心,作直线OO'.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又O'在线段AB 的垂直平分线上,所以OO'⊥AB.(9分) 同理可证,OO'⊥CD,所以AB∥CD.(10分)23.解析 (Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2+(y-1)2=a 2.C 1是以(0,1)为圆心,a 为半径的圆.(3分)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a 2=0.(5分)(Ⅱ)曲线C 1,C 2的公共点的极坐标满足方程组 {ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0,ρ=4cosθ.(6分) 若ρ≠0,由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2=0,由tan θ=2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a 2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分) a=1时,极点也为C 1,C 2的公共点,在C 3上.(9分) 所以a=1.(10分)24.解析 (Ⅰ)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x≤32,-x +4,x >32,(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)或x=5,(7分)当f(x)=-1时,可得x=13或x>5}.(9分) 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<13或1<x<3或x>5}.(10分)所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13。
2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科
2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知为虚数单位，复数，，则A. B. C. D.2. 已知平面向量，，如果，那么A. B. C. D.3. 函数的最小值为A. B. C. D.4. 的展开式中的系数等于A. B. C. D.5. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为A. B. C. D.6. 如图是底面半径为，高为的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为A. B. C. D.7. 为得到的图象，只需要将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 在数列中，，，，则A. B. C. D.9. 已知，都是实数，命题；命题：直线与圆相切，则是的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 若，满足约束条件则的最值为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 已知双曲线的焦点，在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，点在双曲线上，且，如果抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，那么A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知函数的定义域为实数集，，，则的值为．14. 已知三棱锥的顶点，，，在球的球面上，是边长为的等边三角形，如果球的表面积为，那么到平面距离的最大值为．15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，如果的面积等于，，，那么．16. 已知实数，都是常数，若函数的图象在切点处的切线方程为，与的图象有三个公共点，则实数的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. 设数列的前项和为，对任意正整数，．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．18. 某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出名同学组成参赛队，其中初中学部选出的名同学有名女生；高中学部选出的名同学有名女生，竞赛组委会将从这名同学中随机选出人参加比赛．（1）设“选出的人中恰有名女生，而且这名女生来自同一个学部”为事件，求事件的概率；（2）设为选出的人中女生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）求证：；（2）设平面平面，，，求二面角的正弦值．20. 已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个相异点，且．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在，使?若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 已知．（1）求证：当时取得极小值；（2）是否存在满足的实数，，当时，的值域为?若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．22. 如图，是的直径，与相切于，是的弦，是弧的中点，的延长线与交于．（1）求证：；（2）若，，求．23. 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数．在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）直接写出直线的普通方程、曲线的直角坐标方程；（2）设曲线上的点到直线的距离为，求的取值范围．24. 已知．（1）求证；（2）若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. D 【解析】由题意知，．2. B 【解析】因为，所以，解得，所以．3. C 【解析】因为，所以函数的最小值为．4. A 【解析】因为，令，得，所以展开式中的系数为．5. A【解析】由程序框图可得，；，；，；，；，；，，结束循环．输出的．6. B 【解析】由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积，所以被削掉的那部分体积为．7. D 【解析】将的图象向左平移个单位得到的图象．8. C 【解析】依题意，，，，，，，所以数列是以为周期的数列，所以，，所以．9. A 【解析】由题意得，即，所以是的充分但不必要条件．10. C【解析】作出可行域如图阴影部分所示，将直线平移至过点时，取得最小值．11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. B 【解析】设双曲线方程为，因为直线是双曲线的一条渐近线，所以又抛物线的准线为，所以又所以由得，设点为双曲线右支上一点，所以由双曲线定义得又，所以，所以在中，联立，解得．第二部分13.【解析】因为，，所以．14.【解析】因为是边长为的等边三角形，所以外接圆半径，因为球的表面积为，所以球的半径，所以球心到平面距离，所以球面上点到平面距离最大值为15.【解析】因为，所以，，因为，，所以，解得，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得．16.【解析】当时，，所以，所以又由得，，所以．因为与的图象有三个公共点，所以有三个根．显然为方程的一个根，所以还有两个相异的根，即与的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出图象，结合图象（图略）易得，解得或．第三部分17. （1）因为对任意正整数，，所以，所以，即，所以，解得．当时，，即，所以．所以数列的通项公式为．（2）由（）可得，所以，，所以，所以．18. （1）由已知，得．所以事件的概率为．（2）随机变量的所有可能取值为，，，．由已知得．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望．19. （1）设的中点为，连接，，因为，所以．又为的中点，所以．因为，所以，因为，所以平面．又平面，所以．（2）由（）知，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以，所以，，两两互相垂直．因为，，，所以．由为的中点，，，得，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，．所以取，解得所以是平面的一个法向量．同理可求得平面的法向量．设二面角的大小为，则．因为，所以，所以二面角的正弦值为．20. （1）根据已知设椭圆的方程为，焦距为，由已知得，所以，．因为以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，所以，所以，．所以椭圆的方程为．（2）根据已知得，由，得．所以．因为，所以．若，由椭圆的对称性得，即．所以能使成立．若，则，解得．设，，由得，由已知得，即．且，．由得，即．所以，所以，即．当时，不成立．所以，因为，所以，即．所以，解得或．综上，当，或或时，．21. （1）由已知得的定义域为．当时，．设，则．当时，是单调递增函数，也是单调递增函数．所以当时，单调递增．所以当时，，当时，．所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以当时，取得极小值．（2）由（1）知在上是单调递增函数，若存在满足的实数，，当时，的值域为，则，，即在上有两个不等的实根，．所以在上有两个不等的实根，．设，则．当时，，，所以．所以在上是单调递增函数，即当时，．所以在上没有实数根．所以不存在满足条件的实数，．22. （1）因为是的直径，与相切于，是弧的中点，所以，，所以．所以，所以．（2）设的延长线与的延长线交于点．因为 是弧 的中点，所以 ．因为 是 的直径，所以 ．所以 ．所以 ， ．在 中，， 所以 ．因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．由割线定理得， ，即，解得 ． 23. （1） 直线 的普通方程为 ．曲线 的直角坐标方程为 ．（2） 因为曲线 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以曲线 上的点的坐标可表示为 ． 因为 ，所以所以， 的最大值为． 所以 ，即 的取值范围为．24. （1），所以，所以．（2）由（1）知，，因为当且仅当，即时，“”成立，当时，取得最小值，因为对任意实数，都成立，所以，所以的取值范围为．。
2016届云南省曲靖市第一中学高考复习质量监测卷(四)数学(理)试题(word)
2016届云南省曲靖市第一中学高考复习质量监测卷（四）数学（理）试题(word)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,0=A ，{}02≤+∈=x x Z x B ，则集合{}B y A x y x t tC ∈∈+==,,所有真子集的个数为（ ） A ．3 B ．7 C ．8D ．15 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题，z p i z p z p :;2:;2:3221==的共轭复数为i +-1；z p :4的虚部为1，其中为真命题的是（ ）A ．)(31p p ∨⌝B ．32)(p p ∨⌝C ．)(43p p ⌝∧D ．42p p ∧ 3.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且b AD a AB ==,，则=BE （ ）A bB ．a +C ．b +D ．a 4.等差数列{}n a 中的40311,a a 是函数x x x x f 612)(23+-=的极值点，则=20162log a （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5③“在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >”的逆命题是真命题；④“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件. 其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n T ，则=2016T （ ） A ．20152014 B ．20162015 C ．20172016 D ．201820177.设)150cos 280(cos 21,38cos 40cos 128cos 50cos ),34sin 34(cos 212+-=+=-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8.函数14)62cos(2--=xx x y π的图象大致为（ ）9.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->,01,1,1y x y x 则22)2(y x +-的最小值为（ ） A ．5 B ．5 C ．29D ．22310.若x x x f sin )(+=，则使不等式0)1()(2≤-+-x f ax x f 在]3,1[∈x 上成立的实数a 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．),37[+∞ C ．]1,(-∞ D ．]37,(-∞11.已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象.下列关于函数)(x g ，说法正确的是（ ） A ．在]2,4[ππ上是增函数 B ．其图象关于直线4π-=x 对称C ．函数)(x g 是奇函数D ．当]32,6[ππ∈x 时，函数)(x g 的值域是]1,2[-12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=,0,log ,0,1)(21x x x x x f 若方程k x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则42332112)(x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．),23[+∞ B ．)0,(-∞ C ．]23,0( D ．)23,0(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆4:221=+y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的公切线有___条. 14.2，e 为单位向量，当e a ,的夹角为3π时，e a +在e a -上的投影为_____.15.已知)2,1(),1),12(tan(-=+=b a πθ，且b a ⊥，则=+)1252tan(πθ____. 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-=.21,15,10,14)(42x x x x x f π若数列{}n a 满足：n a a dx x f a n n 2,)(1201=-=+⎰，则n a n 的最小值为_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈=+N n n a S n n ,2. （1）证明：数列{}2-n a 为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）已知)1,cos 2(A m =，))6sin(,1(π+=A n ，且n m ∥，在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，32=a ，4=c .（1）求角A 的值；（2）求b 边的长和ABC ∆的面积. 19.（本小题满分12分），2015年某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式5+=x C ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-+=,6,16,60,783x x x k x S 已知每日的利润C S L -=，且当2=x 时，3=L . （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值. 20.（本小题满分12分）已知方程054222=+--+m y mx y x 所表示的曲线是圆C . （1）当2-=m 时，求圆C 被直线012:=+-y x l 所截得的弦长；（2）若圆C 与直线012=+-y x 相交于N M ,两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ，求m 的值. 21.（本小题满分12分） 已知函数xe x xf -=2)(.（1）判断函数)(x f 的单调性并给予证明；（2）若xe x xf xg +++=)1ln()()(，证明：),1[,21+∞∈∀x x ，且21x x ≠，都有212125)()(x x x g x g ->-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线M PM ,为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆O 于B A ,两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，连接AM BD ,，若NC MC =.求证：（1）ABP APM ∆∆~； （2）四边形PMCD 是平行四边形.23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，过点)4,2(--P 且倾斜角为4π的直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若PN MN PM ,,成等比数列，求a 的值. 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 函数31)(-++=x x x f .（1）求函数)(x f 的定义域A ；（2）设{}21<<-=x x B ，当实数))((,A C B b a R ∈时，证明：412abb a +<+.曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.B8.D9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题13.2 14.3 15.71- 16.221 三、解答题（1）证明：当1=n 时，211=+a S ，即11=a ， ∵n a S n n 2=+①，∴2),1(211≥-=+--n n a S n n ②，由①-②得，2,221≥=--n a a n n ， ∴2,221≥+=-n a a n n ，（3分） ∴2,2)2(21≥-=--n a a n n ，（5分）∵121-=-a ，∴数列{}2-n a 是以1-为首项，21为公比的等比数列.（6分） （2）解：由（1）得1)21(2--=-n n a ，∴1)21(2--=n n a .∵n a S n n 2=+，∴1)21(222-+-=-=n n n n a n S ，（8分）∴])21(22[])21(2[])21(0[110-+-+⋅⋅⋅++++=n n n T])21(211[)]22(20[1-+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=n n12)21(2211)21(12)22(--=-=--+-=n nn n n n .（12分） 18.解：（1）∵n m ∥，∴01)6sin(cos 2=-+πA A ，∴21)6sin cos 6cos (sin cos 21)6sin(cos =+⇒=+πππA A A A A ∴21)22cos 1(212sin 4321cos 21cos sin 232=++⇒=+A A A A A ， 即21)62sin(122cos 12sin 23=+⇒=++πA A A .（4分） ∵ππ220,0<<<<A A ，∴613626πππ<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .（6分）19.解：（1）由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=,6,11,60,282x x x x k x L （2分） ∵2=x 时，3=L ，∴282223+-+⨯=k，（4分） 解得18=k .（6分）（2）当60<<x 时，28182+-+=x x L ， ∴618818)8(2218]818)8(2[18818)8(2=+-⋅--≤+-+--=+-+-=x x x x x x L . 当且仅当xx -=-818)8(2，即5=x 时取得等号.（10分） 当6≥x 时，511≤-=x L .所以当5=x 时，L 取得最大值6.（11分）答：当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.（12分） 20.解：（1）当2-=m 时，圆C 的方程为18)2()2(22=-++y x ， 此时圆心)2,2(-C 的，半径23=R ，（2分） 圆心到直线l 达到距离为55124=+--=d ，（3分）圆C 截直线012:=+-y x l 所得弦长为1325182222=-=-d R .（5分） （2）∵圆45)2()(:222+-=-+-m m y m x C ， 即0452>+-m m ，∴1<m 或4>m .（6分）以MN 为直径的圆过坐标原点O ，即0=⋅ON OM .（7分） 设),(),,(2211y x N y x M ，则02121=+y y x x ，由⎩⎨⎧=+-=+--+012054222y x m y mx y x ，整理得035)42(52=-++-m x m x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+),35(51),2(522121m x x m x x ∵01)(2521212121=+++=+x x x x y y x x .（9分）29201)2(5435=⇒=+++-⇒m m m ，（11分） 经检验，此时0)35(20)42(2>--+=∆m m ，且满足1<m 或4>m ， ∴292=m .（12分） 21.（1）解：)(x f 为单调递减函数，证明如下：由题意得函数)(x f 的定义域为R , ∵x e x x f -='2)(，∴x e x f -=''2)(， 令0)(=''x f ，解得2ln =x .（2分）当)2ln ,(-∞∈x 时，0)(>''x f ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(<''x f . ∴022ln 2)2(ln )(max <-='='f x f ， 从而)(x f 在R 上为单调递减函数.（4分）（2）证明：∵1),1ln()1ln()()(2->++=+++=x x x e x x f x g x ，∴)1(0121)21(2112)(2->>+++=++='x x x x x x g ， 即)(x g 在),1(+∞-上是增函数，故)(x g 在),1[+∞上也是增函数.（6分）由题意不妨设211x x <≤，要证212125)()(x x x g x g ->-成立， 由于0),()(2121<-<x x x g x g ，则只需证12122525)()(x x x g x g ->-成立112225)(25)(x x g x x g ->-⇔成立.（9分）令x x g x h 25)()(-=，则只需证函数)(x h 在),1[+∞上是增函数，以下进行证明：∵)1(2)1)(34(25112)(25)1ln()(2+-+=-++='⇒-++=x x x x x x h x x x x h ， 当1≥x 时，0)(≥'x h ，∴)(x h 在),1[+∞上是增函数， 综上，所证明结论成立.（12分）22.证明：（1）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点， ∴NB NA PN MN ⋅==22，∴PNNANB PN =. 又∵BNP PNA ∠=∠，∴BNP PNA ∆∆~， 又PBN APN ∠=∠，即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =，∴BAC MAC ∠=∠，∴PAB MAP ∠=∠， ∴ABP APM ∆∆~.（5分）（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠， 即CPM PCD ∠=∠，∴CD PM ∥.∵ABP APM ∆∆~，∴BPA PMA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴MCP BPA PMA ∠=∠=∠，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC ∥，∴四边形PMCD 是平行四边形.（10分） 23.解：（1）θθρcos 2sin 2a =可变为θρθρcos 2sin 22a =， ∴曲线C 的直角坐标方程为ax y 22=.（2分）直线l 的参数方程为为参数）为参数）t t y t x t t y t x (,224,222(,4sin 4,4cos 2+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ππ.（5分） （2）将直线l 的参数表达式代入曲线C 得0416)224(212=+++-a t a t ， ∴a t t a t t 832,22282121+=+=+.(7分） 又2121,,t t MN t PN t PM -===， 由题意知，21221212215)(t t t t t t t t =+⇒=-，代入解得1=a .（10分）24.（1）解：由题意得031≥-++x x ，（1分）则⎩⎨⎧≥-----<031,1x x x 或⎩⎨⎧≥-++-≤≤-031,01x x x 或⎩⎨⎧≥-++>031,0x x x （3分）解得),1[]2,(+∞--∞= A .（5分） （2）证明：∵)1,1()(-=A C B R ，（6分） 又ab b a abb a +<+⇔+<+42412， 而1644)4()(4222222--+=+-+b a b a ab b a)4)(4()4(4)4(22222a b b b a --=-+-=.（8分）∵)1,1(,-∈b a ，∴0)4)(4(22<--a b ，∴22)4()(4ab b a +<+，∴412abb a +<+.（10分）。
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测卷(六)数学(理)试题 含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2102x x x ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<,则()RA B =（ ）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <<2。
复数321i z i+=-(i 为虚数单位）的共轭复数z 为（ )A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i +D ．1522i -3。
阅读如图1的程序框图,若输入6n =，则输出k 的值为( ）A ．3B ．4C ．5D ．6图14。
某几何体的三视图如图2所示,当xy 最大时，该几何体的体积为（ ） A ．5306B ．5304C ．5302D ．5156图25。
已知m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m n ,m α⊂，n β⊂，则//αβD ．若//m n ,m α⊥，n β⊥，则//αβ7。
五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起,则不同的坐法种数为( ）A ．12B ．24C ．36D ．488。
下列结论正确的个数是（ )①cos 0α≠是22k παπ≠+(k ∈Z )的充分必要条件;②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”,用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上"，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN (0σ>)，若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6． A ．4 B ．3 C ．2D ．19。
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测卷(五)数学(理)试题 含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|0}N x x =≤，则集合{|1}x x ≥=（ ） A ．MNB ．MN C ．()RCMN D ．()RCM N2。
函数212()log(1)f x x =-的单调递增区间为（ )A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞- 3。
圆22(1)1xy +-=被直线0x y +=分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（ ）A ．1：1B ．2：1C ．3：1D ．4：14。
设,m n 是空间两条直线，,αβ是空间两个平面,则下列命题中不正确的是（ ）A ．若,//m n αα⊂,则//n mB ．若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥C ．若,n n αβ⊥⊥，则//αβD ．若,m n αα⊂⊥，则m n ⊥5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈恒有(2)()(2)f x f x f -=+,当(0,1)x ∈时，2()f x x x =-，则3()2f =（）A ．34B ．34-C ．14-D ．146.设实数(1,2)a ∈，关于x 的一元二次不等式222(32)3(2)0x a a x a a -++++<的解为（ ） A ．2(3,2)a a+ B ．2(2,3)aa + C ．(3,4) D ．(3,6)7.某几何体的正视图和侧（左）视图都是边长为2的正方体，俯视图是扇形，体积为2π，该几何体的表面积为（ ） A ．84π+ B ．44π+ C ．82π+ D ．42π+ 8。
已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+,则()f x 的值域为（ ）A ．[5,9]B ．21[5,]4C ．21[,9]4D ．[6,10]9。
已知ABC ∆是锐角三角形，则点(cos sin ,sin cos )P B A B A --在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10。
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1卷及解析
开始 输入x,y,nny y n x x =-+=,213622≥+y x1+=n n2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则( )（A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a ( )（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若101a b c >><<，，则( ) （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c < （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )（A ）（B ）（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足( ) （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为( )(B (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =________.(14) 5(2x 的展开式中，x 3的系数是________.（用数字填写答案）（15）设等比数列错误!未找到引用源。
云南省2016届高中毕业生3月统一检测理综试题
2016 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科综合生物试题2016.3.22本试卷分第I 卷（选择题〉和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1 至5 页，第II 卷6 至16 页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交囚。
满分300 分，考试用时150 分钟。
第I 卷（选择题，共126 分）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷上的答案无效。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12本卷共21 小题，每小题6 分，共126 分。
一、选择题：本大题共13 小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 关于淀粉、蛋白质和核酸的叙述，正确的是A. 都含C、H、0、N四种元素B. 都是由单体聚合而成的多聚体C. 合成过程都需要模板D. 都具有功能的多样性2. 在研究温度对发菜光合作用和呼吸作用的影响时，得到右图所示的实验结果。
下列分析不正确的是A. 发菜无叶绿体，但可进行光合作用B. 光合作用和呼吸作用都有［H］的产生和消耗C. 25℃后发菜制造的氧气量逐渐下降D. 45°C 时，C02固定和C 3 还原仍能进行3.右图表示发生在常染色体上的变化，下列叙述不正确的是A. 该变异能通过显微镜观察到B. 该变异发生在两条非同源染色体之间C. 该过程导致的变异属于基因重组D. 该变异导致染色体上基因的排列顺序发生改变4. 关于内环境及稳态的叙述，不正确的是A. 细胞外液约占人体体液组成的2/3B. 一个细胞直接生活的内环境可能不止一个C. 抽搐反应是内环境成分稳态失调所引起的D. 当外界环境变化过于剧烈时，内环境稳态可能遭到破坏5. 下列过程能双向进行的是A. 植物生长素的极性运输B. 能量在生态系统中的流动C. 反射活动中，兴奋在神经纤维上的传导D. HIV 病毒的遗传信息在DNA 和RNA 之间的流动6. 下列实验未用到模型方法的是A. 制作真核细胞的三维结构B. 制作DNA 双螺旋结构C. 探究酵母菌种群数量变化规律D. 探究酵母菌细跑呼吸的方式29．（11分）某课外活动小组用淀粉酶探究pH对酶活性的影响，得到下图所示的实验结果。
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测卷(四)数学(理)试题 Word版含答案
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}1,0=A ，{}02≤+∈=x x Z x B ，则集合{}B y A x y x t tC ∈∈+==,,所有真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．8D ．15 2.下面是关于复数iz -=12的四个命题，z p i z p z p :;2:;2:3221==的共轭复数为i +-1；z p :4的虚部为1，其中为真命题的是（ ）A ．)(31p p ∨⌝B ．32)(p p ∨⌝C ．)(43p p ⌝∧D ．42p p ∧ 3.若四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且b AD a AB ==,，则=BE （ ） A ．+21 B ．21+ C ．+-21 D ．21- 4.等差数列{}n a 中的40311,a a 是函数x x x x f 612)(23+-=的极值点，则=20162log a （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5③“在ABC ∆中，若B A sin sin >，则B A >”的逆命题是真命题；④“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件. 其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n T ，则=2016T （ ） A ．20152014 B ．20162015 C ．20172016 D ．201820177.设)150cos 280(cos 21,38cos 40cos 128cos 50cos ),34sin 34(cos 212+-=+=-=c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8.函数14)62cos(2--=x x x y π的图象大致为（ ）9.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤->,01,1,1y x y x 则22)2(y x +-的最小值为（ ） A ．5 B ．5 C ．29 D ．223 10.若x x x f sin )(+=，则使不等式0)1()(2≤-+-x f ax x f 在]3,1[∈x 上成立的实数a的取值范围是（ ）A ．),1[+∞B ．),37[+∞C ．]1,(-∞D ．]37,(-∞ 11.已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象.下列关于函数)(x g ，说法正确的是（ ）A ．在]2,4[ππ上是增函数 B ．其图象关于直线4π-=x 对称C ．函数)(x g 是奇函数D ．当]32,6[ππ∈x 时，函数)(x g 的值域是]1,2[- 12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=,0,log ,0,1)(21x x x x x f 若方程k x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则42332112)(x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．),23[+∞ B ．)0,(-∞ C ．]23,0( D ．)23,0(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆4:221=+y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的公切线有___条.14.2=，为单位向量，当,的夹角为3π时，+在-上的投影为_____. 15.已知)2,1(),1),12(tan(-=+=πθ，且⊥，则=+)1252tan(πθ____. 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-=.21,15,10,14)(42x x x x x f π若数列{}n a 满足：n a a dx x f a n n 2,)(121=-=+⎰，则na n的最小值为_____. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*∈=+N n n a S n n ,2.（1）证明：数列{}2-n a 为等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）已知)1,cos 2(A =，))6sin(,1(π+=A n ，且n m ∥，在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，32=a ，4=c . （1）求角A 的值；（2）求b 边的长和ABC ∆的面积. 19.（本小题满分12分），2015年某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式5+=x C ，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式：⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-+=,6,16,60,783x x x k x S 已知每日的利润C S L -=，且当2=x 时，3=L . （1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值. 20.（本小题满分12分）已知方程054222=+--+m y mx y x 所表示的曲线是圆C . （1）当2-=m 时，求圆C 被直线012:=+-y x l 所截得的弦长；（2）若圆C 与直线012=+-y x 相交于N M ,两点，且以MN 为直径的圆过坐标原点O ，求m 的值.21.（本小题满分12分） 已知函数xe x xf -=2)(.（1）判断函数)(x f 的单调性并给予证明；（2）若xe x xf xg +++=)1ln()()(，证明：),1[,21+∞∈∀x x ，且21x x ≠，都有212125)()(x x x g x g ->-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线M PM ,为切点，过PM 的中点N ，作割线NAB ，交圆O 于B A ,两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，连接AM BD ,，若NC MC =. 求证：（1）ABP APM ∆∆~； （2）四边形PMCD 是平行四边形.23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，过点)4,2(--P 且倾斜角为4π的直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）若PN MN PM ,,成等比数列，求a 的值. 24.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 函数31)(-++=x x x f .（1）求函数)(x f 的定义域A ；（2）设{}21<<-=x x B ，当实数))((,A C B b a R ∈时，证明：412ab b a +<+.曲靖一中高考复习质量监测卷四理科数学参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.A6.C7.B8.D9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题13.2 14.3 15.71- 16.221三、解答题（1）证明：当1=n 时，211=+a S ，即11=a ， ∵n a S n n 2=+①，∴2),1(211≥-=+--n n a S n n ②， 由①-②得，2,221≥=--n a a n n ， ∴2,221≥+=-n a a n n ，（3分） ∴2,2)2(21≥-=--n a a n n ，（5分）∵121-=-a ，∴数列{}2-n a 是以1-为首项，21为公比的等比数列.（6分） （2）解：由（1）得1)21(2--=-n n a ，∴1)21(2--=n n a .∵n a S n n 2=+，∴1)21(222-+-=-=n n n n a n S ，（8分）∴])21(22[])21(2[])21(0[110-+-+⋅⋅⋅++++=n n n T])21(211[)]22(20[1-+⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++=n n12)21(2211)21(12)22(--=-=--+-=n nn n n n .（12分） 18.解：（1）∵n m ∥，∴01)6sin(cos 2=-+πA A ，∴21)6sin cos 6cos (sin cos 21)6sin(cos =+⇒=+πππA A A A A∴21)22cos 1(212sin 4321cos 21cos sin 232=++⇒=+A A A A A ， 即21)62sin(122cos 12sin 23=+⇒=++πA A A .（4分） ∵ππ220,0<<<<A A ，∴613626πππ<+<A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .（6分）19.解：（1）由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<+-+=,6,11,60,282x x x x k x L （2分） ∵2=x 时，3=L ，∴282223+-+⨯=k，（4分） 解得18=k .（6分） （2）当60<<x 时，28182+-+=x x L ， ∴618818)8(2218]818)8(2[18818)8(2=+-⋅--≤+-+--=+-+-=x x x x x x L . 当且仅当xx -=-818)8(2，即5=x 时取得等号.（10分） 当6≥x 时，511≤-=x L .所以当5=x 时，L 取得最大值6.（11分）答：当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元.（12分） 20.解：（1）当2-=m 时，圆C 的方程为18)2()2(22=-++y x ， 此时圆心)2,2(-C 的，半径23=R ，（2分） 圆心到直线l 达到距离为55124=+--=d ，（3分） 圆C 截直线012:=+-y x l 所得弦长为1325182222=-=-d R .（5分） （2）∵圆45)2()(:222+-=-+-m m y m x C ，即0452>+-m m ，∴1<m 或4>m .（6分）以MN 为直径的圆过坐标原点O ，即0=⋅.（7分） 设),(),,(2211y x N y x M ，则02121=+y y x x ，由⎩⎨⎧=+-=+--+012054222y x m y mx y x ，整理得035)42(52=-++-m x m x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+),35(51),2(522121m x x m x x ∵01)(2521212121=+++=+x x x x y y x x .（9分）29201)2(5435=⇒=+++-⇒m m m ，（11分）经检验，此时0)35(20)42(2>--+=∆m m ，且满足1<m 或4>m ， ∴292=m .（12分） 21.（1）解：)(x f 为单调递减函数，证明如下： 由题意得函数)(x f 的定义域为R , ∵xe x xf -='2)(，∴xe xf -=''2)(， 令0)(=''x f ，解得2ln =x .（2分）当)2ln ,(-∞∈x 时，0)(>''x f ；当),2(ln +∞∈x 时，0)(<''x f . ∴022ln 2)2(ln )(max <-='='f x f ， 从而)(x f 在R 上为单调递减函数.（4分）（2）证明：∵1),1ln()1ln()()(2->++=+++=x x x e x x f x g x，∴)1(0121)21(2112)(2->>+++=++='x x x x x x g ， 即)(x g 在),1(+∞-上是增函数，故)(x g 在),1[+∞上也是增函数.（6分） 由题意不妨设211x x <≤，要证212125)()(x x x g x g ->-成立，由于0),()(2121<-<x x x g x g ，则只需证12122525)()(x x x g x g ->-成立 112225)(25)(x x g x x g ->-⇔成立.（9分） 令x x g x h 25)()(-=，则只需证函数)(x h 在),1[+∞上是增函数，以下进行证明：∵)1(2)1)(34(25112)(25)1ln()(2+-+=-++='⇒-++=x x x x x x h x x x x h ， 当1≥x 时，0)(≥'x h ，∴)(x h 在),1[+∞上是增函数， 综上，所证明结论成立.（12分）22.证明：（1）∵PM 是圆O 的切线，NAB 是圆O 的割线，N 是PM 的中点， ∴NB NA PN MN ⋅==22，∴PNNANB PN =. 又∵BNP PNA ∠=∠，∴BNP PNA ∆∆~， 又PBN APN ∠=∠，即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =，∴BAC MAC ∠=∠，∴PAB MAP ∠=∠， ∴ABP APM ∆∆~.（5分）（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠， 即CPM PCD ∠=∠，∴CD PM ∥.∵ABP APM ∆∆~，∴BPA PMA ∠=∠，∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴MCP BPA PMA ∠=∠=∠，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC ∥，∴四边形PMCD 是平行四边形.（10分） 23.解：（1）θθρcos 2sin2a =可变为θρθρcos 2sin 22a =，∴曲线C 的直角坐标方程为ax y 22=.（2分）直线l 的参数方程为为参数）为参数）t t y t x t t y t x (,224,222(,4sin 4,4cos 2+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ππ.（5分） （2）将直线l 的参数表达式代入曲线C 得0416)224(212=+++-a t a t ， ∴a t t a t t 832,22282121+=+=+.(7分） 又2121,,t t MN t PN t PM -===，由题意知，21221212215)(t t t t t t t t =+⇒=-，代入解得1=a .（10分）24.（1）解：由题意得031≥-++x x ，（1分）则⎩⎨⎧≥-----<031,1x x x 或⎩⎨⎧≥-++-≤≤-031,01x x x 或⎩⎨⎧≥-++>031,0x x x （3分）解得),1[]2,(+∞--∞= A .（5分） （2）证明：∵)1,1()(-=A C B R ，（6分） 又ab b a abb a +<+⇔+<+42412， 而1644)4()(4222222--+=+-+b a b a ab b a)4)(4()4(4)4(22222a b b b a --=-+-=.（8分）∵)1,1(,-∈b a ，∴0)4)(4(22<--a b ，∴22)4()(4ab b a +<+，∴412abb a +<+.（10分）。
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测(五)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|31}M x x =-<<，{|0}N x x =≤，则集合{|1}x x ≥=（ ）A ．M NB ．M NC ．()R C M ND ．()R C M N 【答案】C 【解析】试题分析：{}30M N x x =-<≤ ,{}1M N x x =< ,{}()0R C M N x x =≥ ,故选C. 考点：集合的运算.2.函数212()log (1)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞- 【答案】D考点：函数的单调性.3.圆22(1)1x y +-=被直线0x y +=分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．4:1 【答案】C 【解析】试题分析：圆心)1,0(到直线0x y +=的距离为22，半径为1，则0x y +=截圆的弦所对的劣弧的圆心角为090，则较长弧长与较短弧长之比439090360=-.故选C. 考点：直线与圆的位置关系.4.设,m n 是空间两条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．若,//m n αα⊂，则//n m B ．若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥ C ．若,n n αβ⊥⊥，则//αβ D ．若,m n αα⊂⊥，则m n ⊥ 【答案】A考点：点线面的位置关系.5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈恒有(2)()(2)f x f x f -=+，当(0,1)x ∈时，2()f x x x =-，则3()2f =（ ）A ．34B ．34-C ．14-D ．14【答案】D 【解析】试题分析：()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，由(2)()(2)f x f x f -=+得(0)(2)(2),(2)0f f f f =+∴=，又13()()(2)22f f f -=+，231111()()()[()()]22222f f f ∴=-=-=--14=，故选D. 考点：函数的性质.6.设实数(1,2)a ∈，关于x 的一元二次不等式222(32)3(2)0x a a x a a -++++<的解为（ ）A ．2(3,2)a a + B ．2(2,3)a a + C ．(3,4)D ．(3,6) 【答案】B 【解析】 试题分析：22222(32)3(2)0,[(2)][3]0,23,x a a x a a x a x a a a -++++<∴-+-<+<∴223a x a +<<，故选B.考点：一元二次不等式的解法.7.某几何体的正视图和侧（左）视图都是边长为2的正方体，俯视图是扇形，体积为2π，该几何体的表面积为（ ）A ．84π+ B ．44π+ C ．82π+ D ．42π+ 【答案】A考点：简单空间图形的三视图. 8.已知函数9()(03)1f x x x x =+≤≤+，则()f x 的值域为（ ） A ．[5,9] B ．21[5,]4 C ．21[,9]4D ．[6,10] 【答案】A 【解析】 试题分析：99()11,03,114,11f x x x x x x x =+=++-≤≤∴≤+≤∴++ 5)(,31min ==+x f x ， 9)(,11max ==+x f x ，故选A.考点：基本不等式.【易错点晴】本题主要考查了基本不等式的运用。
2016年高考全国一卷理科数学试卷【精选文档】
2016年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合}032|{},034|{2>-=<+-=x x B x x x A ，则A ∩B =A. )23,3(--B 。
)23,3(-C. )23,1(D. )3,23(2. 设(1 + i ）x = 1 + y i ，其中x 、y 是实数，则｜ x + y i | =A. 1B.2C 。
3D. 23. 已知等差数列｛a n ｝前9项和为27，a 10 = 8，则a 100 =A. 100B 。
99C. 98D 。
974. 某公司的班车在7：30、8:00、8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A.31 B.21 C 。
32 D.43 5. 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 A. )3,1(-B. )3,1(-C 。
)3,0(D. )3,0(6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。
若该几何体的体积是328π，则它的表面积是 A. π17 B 。
π18 C. π20D. π287. 函数y = 2x 2 — e ｜x ｜在[-2，2］的图象大致为2016.6A. B 。
C 。
D.8. 若a > b 〉 0,0 < c <1，则A. ccba < B 。
cc baab <C. c b c a a b log log <D. c c b a log log <9. 执行右面的程序框图，如果输入的x = 0，y = 1，n = 1，则输出的x 、y 的值满足A. y = 2xB. y = 3xC. y = 4xD. y = 5x10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知52||，24||==DE AB ,则C 的焦点到准线的距离为 A. 2B. 4C. 6D. 811. 平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α //平面CB 1D 1,α ∩平面ABCD = m ,α ∩平面ABB 1A 1 = n ，则m 、n 所成角的正弦值为A.23B.22C.33D.3112. 已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，)(4x f x 为π-=的零点，)(4x f y x ==为π图象的对称轴，且)365,18()(ππ在x f 单调，则ω的最大值为A. 11B. 9C 。
2016年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)
2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合S ＝{x|(x −2)(x −3)≥0}，T ＝{x|x >0}，则S ∩T ＝（ ）A.[2, 3]B.(−∞, 2]∪[3, +∞)C.[3, +∞)D.(0, 2]∪[3, +∞)2. 若z ＝1+2i ，则4i z⋅z −1=( ) A.1B.−1C.iD.−i3. 已知向量BA →=(12, √32)，BC →=(√32, 12)，则∠ABC =( ) A.30∘ B.45∘C.60∘D.120∘4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A 点表示十月的平均最高气温约为15∘C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5∘C ．下面叙述不正确的是（ ）A.各月的平均最低气温都在0∘C 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20∘C 的月份有5个5. 若tanα=34，则cos 2α+2sin2α=( )A.6425B.4825C.1D.16256. 已知a =243，b =323，c =2513，则（ ）A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b7. 执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=()A.3B.4C.5D.68. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cosA=()A.3√1010B.−√1010C.√1010D.−3√10109. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+36√5B.54+18√5C.90D.8110. 在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A.4πB.9π2C.6π D.32π311.已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A.1 3B.12C.23D.3412. 定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A.18个B.16个C.14个D.12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为________．函数y=sinx−√3cosx的图像可由函数y=sinx+√3cosx的图像至少向右平移________个单位长度得到．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程是________．已知直线l:mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l 的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|=2√3，则|CD|=________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=3132，求λ．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1−7分别对应年份2008−2014．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i 7i=1y i =40.17，√∑(7i=1y i −y)2=0.55，√7≈2.646． 参考公式：r =∑n √∑(n i=1t i −t )2∑(n i=1y i −y)2，回归方程y ^=a ^+b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^=∑n∑(n i=1t i −t )2，a ^=y −b ^t ．如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD // BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．（1）证明：MN // 平面PAB ；（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR // FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．设函数f(x)=αcos2x +(α−1)(cosx +1)，其中α>0，记|f(x)|的最大值为A ． （1）求f′(x)；（2）求A ；（3）证明：|f ′(x)|≤2A ．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]如图，⊙O 中AB^的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．（1）若∠PFB =2∠PCD ，求∠PCD 的大小；（2）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|2x −a|+a ．(1)当a =2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x −1|，当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2016年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出S 中不等式的解集确定出S ，找出S 与T 的交集即可．【解答】由S 中不等式解得：x ≤2或x ≥3，即S ＝(−∞, 2]∪[3, +∞)，∵ T ＝(0, +∞)，∴ S ∩T ＝(0, 2]∪[3, +∞)，2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】z ＝1+2i ，则4i zz −1=4i (1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ． 3.【答案】A【考点】向量模长的计算数量积表示两个向量的夹角数量积的坐标表达式【解析】根据向量BA →,BC →的坐标便可求出BA →⋅BC →，及|BA →|,|BC →|的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC 的值，根据∠ABC 的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：BA →⋅BC →=√34+√34=√32，|BA →|=|BC →|=1, ∴ cos∠ABC =BA →BC →|BA →||BC →|=√32,又0≤∠ABC ≤180∘,∴ ∠ABC =30∘．故选A ．4.D【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知平均最高气温高于20∘C的月份为七月和八月，有2个，所以选项D不正确．故选D．5.【答案】A【考点】三角函数的化简求值【解析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34916+1=6425．故选A．6.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：a=243=1613，b=323=913，c=2513，由幂函数y=x13在(0,+∞)上单调递增，可得b<a<c．故选A．7.【答案】B【考点】程序框图【解析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=10，n=2，不满足条件s>16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3，不满足条件s>16，执行循环体，a=−2，b=6，a=4，s=20，n=4，满足条件s>16，退出循环，输出n的值为4．故选B.8.【答案】B【考点】余弦定理【解析】作出图形，再根据余弦定理即可求得答案．【解答】解：如图所示，设△ABC中角A,B，C对应的边分别为a,b，c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ.∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD=ℎ=13BC=13a，∴BD=AD=13a，CD=23a.在Rt△ADC中，cosθ=ADAC=a3√(13a)+(2a3)=√55，故sinθ=2√55，∴cosA=cos(π4+θ)=cosπ4cosθ−sinπ4sinθ=√22×√55−√22×2√55=−√1010．故选B．9.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图可知该多面体为一个斜四棱柱，底面是边长为3的正方形，该斜四棱柱是棱长为6的正方体的一部分，如图所示，其面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5．故选B．10.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】根据已知可得直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r=6+8−102=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球半径为32，此时V的最大值43π×(32)3=9π2.故选B.11.【答案】A【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】本题考査椭圆方程与几何性质．【解答】解：由椭圆的对称性，不妨设OE的中点为N，直线l的方程为y=k(x+a)(k>0)，分别令x =−c 与x =0得|FM|=k(a −c)，|OE|=ka ，由△OBN ∼△FBM 得|ON||FM|=|OB||BF|，即ka 2k(a−c)=a a+c ，整理得c a =13，所以椭圆离心率为e =13．故选A ．12.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：当m =4时，数列共有8项，由题可知，a 1=0，a 8=1，分类考虑：①当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；②当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C 32⋅C 31=9个；③当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C 21⋅C 21=4个．综上，共有1+9+4=14个．故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【答案】32【考点】简单线性规划【解析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y 轴的截距最大值．【解答】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大，由{x −2y =0x +2y −2=0得D(1, 12)， 所以z ＝x +y 的最大值为1+12=32；【答案】2π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】令f(x)=sinx+√3cosx=2in(x+π3)，则f(x−φ)=2in(x+π3−φ)，依题意可得2in(x+π3−φ)=2in(x−π3)，由π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，可得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∴f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)(φ>0)，令2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，则π3−φ=2kπ−π3(k∈Z)，即φ=2π3−2kπ(k∈Z)，当k=0时，正数φmin=2π3，故答案为：2π3．【答案】2x+y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数奇偶性的性质【解析】由偶函数的定义，可得f(−x)=f(x)，即有x>0时，f(x)=lnx−3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f(x)为偶函数，可得f(−x)=f(x)，当x<0时，f(x)=ln(−x)+3x，设x>0时，则−x<0,故f(x)=f(−x)=lnx−3x，f′(x)=1x−3，可得f(1)=ln1−3=−3，f′(1)=1−3=−2，则曲线y=f(x)在点(1, −3)处的切线方程为y−(−3)=−2(x−1)，即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【答案】4【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心O到直线l的距离为d，则2√12−d2=2√3,∴d=3，即√3|√m2+1=3，∴m=−√33.此时直线l的方程为−√33x+y−2√3=0.∴l的倾斜角为30∘，如图所示.过C作BD的垂线，垂足为E，则|CE|=|AB|=2√3.∵CE//l，∴∠ECD=30∘，∴|CD|=|CE|cos30∘=4.故答案为：4.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【答案】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n−S n−1=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ⋅(λλ−1)n−1．(2)若S5=3132，则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．【答案】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t 值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】 解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵ r =∑=7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i −y)2∑7√∑(7i=1t i −t )2∑(7i=1y i−y)22√7⋅0.55≈ 2.892.9106≈0.996，∵ 0.996>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）b ^=∑=n ∑(ni=1t i −t )2∑≈7∑t i27i=1−7t 2 2.8928≈0.103，a ^=y −b ^t ≈1.331−0.103×4≈0.92，∴ y 关于t 的回归方程^y=0.10t +0.92，2016年对应的t 值为9， 故^y=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【答案】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ， 则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AFAN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面平行 【解析】（1）法一、取PB 中点G ，连接AG ，NG ，由三角形的中位线定理可得NG // BC ，且NG =12BC ，再由已知得AM // BC ，且AM =12BC ，得到NG // AM ，且NG ＝AM ，说明四边形AMNG 为平行四边形，可得NM // AG ，由线面平行的判定得到MN // 平面PAB ； 法二、证明MN // 平面PAB ，转化为证明平面NEM // 平面PAB ，在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ，由已知PA ⊥底面ABCD ，可得PA // NE ，通过求解直角三角形得到ME // AB ，由面面平行的判定可得平面NEM // 平面PAB ，则结论得证； （2）连接CM ，证得CM ⊥AD ，进一步得到平面PNM ⊥平面PAD ，在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．然后求解直角三角形可得直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值． 【解答】证明：法一、如图，取PB 中点G ，连接AG ，NG ， ∵ N 为PC 的中点，∴ NG // BC ，且NG =12BC ，又AM =23AD =2，BC ＝4，且AD // BC ， ∴ AM // BC ，且AM =12BC ，则NG // AM ，且NG ＝AM ，∴ 四边形AMNG 为平行四边形，则NM // AG ， ∵ AG ⊂平面PAB ，NM 平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ； 法二、在△PAC 中，过N 作NE ⊥AC ，垂足为E ，连接ME ， 在△ABC 中，由已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，得cos∠ACB =42+32−322×4×3=23，∵ AD // BC ，∴ cos∠EAM =23，则sin∠EAM =√53，在△EAM 中，∵ AM =23AD =2，AE =12AC =32，由余弦定理得：EM =√AE 2+AM 2−2AE ⋅AM ⋅cos∠EAM =√94+4−2×32×2×23=32，∴ cos∠AEM =(32)2+(32)2−42×32×32=19，而在△ABC 中，cos∠BAC =32+32−422×3×3=19，∴ cos∠AEM ＝cos∠BAC ，即∠AEM ＝∠BAC ， ∴ AB // EM ，则EM // 平面PAB ．由PA ⊥底面ABCD ，得PA ⊥AC ，又NE ⊥AC ， ∴ NE // PA ，则NE // 平面PAB ． ∵ NE ∩EM ＝E ，∴ 平面NEM // 平面PAB ，则MN // 平面PAB ；在△AMC 中，由AM ＝2，AC ＝3，cos∠MAC =23，得CM 2＝AC 2+AM 2−2AC ⋅AM ⋅cos∠MAC =9+4−2×3×2×23=5．∴ AM 2+MC 2＝AC 2，则AM ⊥MC ， ∵ PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，∴ 平面ABCD ⊥平面PAD ，且平面ABCD ∩平面PAD ＝AD ， ∴ CM ⊥平面PAD ，则平面PNM ⊥平面PAD ．在平面PAD 内，过A 作AF ⊥PM ，交PM 于F ，连接NF ，则∠ANF 为直线AN 与平面PMN 所成角．在Rt △PAC 中，由N 是PC 的中点，得AN =12PC =12√PA 2+PC 2=52， 在Rt △PAM 中，由PA ⋅AM ＝PM ⋅AF ，得AF =PA⋅AM PM=√42+22=4√55， ∴ sin∠ANF =AF AN=4√5552=8√525．∴ 直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8√525．【答案】(1)证明：连接RF ，PF ，由AP =AF ，BQ =BF 及AP // BQ ，得∠AFP +∠BFQ =180∘， ∴ ∠PFQ =90∘， ∵ R 是PQ 的中点， ∴ RF =RP =RQ ， ∴ △PAR ≅△FAR ，∴ ∠PAR =∠FAR ，∠PRA =∠FRA ，∵ ∠BQF +∠BFQ =180∘−∠QBF =∠PAF =2∠PAR ， ∴ ∠FQB =∠PAR ， ∴ ∠PRA =∠PRF ， ∴ AR // FQ ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【考点】抛物线的求解轨迹方程【解析】(1)连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR // FQ；(2)利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】(1)证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP // BQ，得∠AFP+∠BFQ=180∘，∴∠PFQ=90∘，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≅△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180∘−∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PRF，∴AR // FQ．(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，F(12, 0)，准线为x=−12，S△PQF=12|PQ|=12|y1−y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=12|FN||y1−y2|，∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N(1, 0)．设AB中点为M(x, y)，由{y12=2x1y22=2x2得y12−y22=2(x1−x2)，又y1−y2x1−x2=yx−1，∴yx−1=1y，即y2=x−1．∴AB中点轨迹方程为y2=x−1．【答案】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．【考点】利用导数研究函数的单调性三角恒等变换综合应用【解析】本题考查三角恒等变换、导数的计算、三角函数的有界性．【解答】（1）解：f′(x)=−2αsin2x−(α−1)sinx．（2）解：当α≥1时，|f(x)|=|αcos2x+(α−1)(cosx+1)|≤α+2(α−1)=3α−2=f(0)．因此A=3α−2．当0<α<1时，将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α−1)cosx−1．令g(t)=2αt2+(α−1)t−1，则A是|g(t)|在[−1,1]上的最大值，g(−1)=α，g(1)= 3α−2，且当t=1−α4α时，g(t)取得极小值，极小值为g(1−α4α)=−(α−1)28α−1=α2+6α+18α．令−1<1−α4α<1，解得α>15．（i）当0<α≤15时，g(t)在(−1,1)内无极值点，|g(−1)|=α，|g(1)|=2−3α，|g(−1)|<|g(1)|，所以A=2−3α．（ii）当15<α<1时，由g(−1)−g(1)=2(1−α)>0，知g(−1)>g(1)>g(1−α4α)．又|g(1−α4α)|−|g(−1)|=(1−α)(1+7α)8α>0，所以A=|g(1−α4α)|=α2+6α+18α．综上A={2−3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1, 3α−2,α≥1.（3）证明：由（1）得|f′(x)|=|−2αsin2x−(α−1)sinx|≤2α+|α−1|．当0<α≤15时，|f′(x)|≤1+α≤2−4α<2(2−3α)=2A．当15<α<1时，A=α8+18α+34≥1，所以|f′(x)|≤1+α<2A．当α≥1时，|f′(x)|≤3α−1≤6α−4=2A．所以|f′(x)|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中AB^的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180∘，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180∘，可得∠PCD=60∘；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数；（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O 中AB^的中点为P ，可得∠4=∠5， 在△EBC 中，∠1=∠2+∠3，又∠D =∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D =∠1，则四点E ，C ，D ，F 共圆，可得∠EFD +∠PCD =180∘，由∠PFB =∠EFD =2∠PCD ，即有3∠PCD =180∘，可得∠PCD =60∘；（2）证明：由C ，D ，E ，F 共圆，由EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G可得G 为圆心，即有GC =GD ，则G 在CD 的中垂线，又CD 为圆G 的弦，则OG ⊥CD ．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C 1的普通方程，运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C 2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t ，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P 的直角坐标． 另外：设P(√3cosα, sinα)，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P 的坐标．【解答】曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数）， 移项后两边平方可得x 23+y 2＝cos 2α+sin 2α＝1， 即有椭圆C 1:x 23+y 2＝1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)＝2√2，即有ρ(√22sinθ+√22cosθ)＝2√2， 由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得x +y −4＝0，即有C 2的直角坐标方程为直线x +y −4＝0；由题意可得当直线x +y −4＝0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x +y −4＝0平行的直线方程为x +y +t ＝0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2−3＝0， 由直线与椭圆相切，可得△＝36t 2−16(3t 2−3)＝0，解得t ＝±2，显然t ＝−2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|=√1+1=√2，此时4x 2−12x +9＝0，解得x =32， 即为P(32, 12)． 另设P(√3cosα, sinα)，由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα−4|√2 π此时可取α=π6，即有P(32, 12)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a＝2时，由已知得|2x−2|+2≤6，由此能求出不等式f(x)≤6的解集．（2）由f(x)+g(x)＝|2x−1|+|2x−a|+a≥3，得|x−12|+|x−a2|≥3−a2，由此能求出a的取值范围．【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=|2x−2|+2，∵f(x)≤6，∴|2x−2|+2≤6，∴|2x−2|≤4，∴|x−1|≤2，∴−2≤x−1≤2，解得−1≤x≤3，∴当a=2时，不等式f(x)≤6的解集为{x|−1≤x≤3}．(2)∵g(x)=|2x−1|，∴f(x)+g(x)=|2x−1|+|2x−a|+a≥3，∴ 2|x−12|+2|x−a2|+a≥3，∴|x−12|+|x−a2|≥3−a2，当a≥3时，不等式恒成立；当a<3时，|x−12|+|x−a2|≥12|a−1|≥3−a2>0，∴(a−1)2≥(3−a)2，解得a≥2，即2≤a<3；综上所述，a的取值范围是[2, +∞)．。
云南省曲靖市第一中学2016届高三高考复习质量监测卷(
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2102x xx ⎧+⎫A =≤⎨⎬-⎩⎭，{}1x x B =<，则()RA B =ð（ ）A ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}12x x ≤<C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <<2.复数321iz i +=-（i 为虚数单位）的共轭复数z 为（ ） A ．1522i -+ B ．1522i -- C ．1522i + D ．1522i -3.阅读如图1的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6图14.某几何体的三视图如图2所示，当xy 最大时，该几何体的体积为（ ）A ．6 B ．4 C ．2D ．6图25.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α C ．若//m n ，m α⊂，n β⊂，则//αβ D ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ7.五个人坐成一排，甲和乙坐在一起，乙不和丙坐一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 8.下列结论正确的个数是（ ） ①cos 0α≠是22k παπ≠+（k ∈Z ）的充分必要条件；②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛硬币出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛硬币出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()()()111224P AB =P A P B =⨯=； ④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,σN （0σ>），若ξ位于区域()0,1内的概率为0.4，则ξ位于区域()1,+∞内的概率为0.6．A ．4B ．3C ．2D ．19.()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()33f x f x -=+，当03x <<时，()()22log 2f x x =-+，则当06x <<时，不等式()()30x f x ->的解集是（ ）A ．()()0,23,4B ．()()0,24,5C ．()()2,34,5D ．()()2,33,410.已知函数()sin f x x x ωω=+（0ω>），062f f ππ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则ω等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511.已知()1F ,0c -，()2F ,0c 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足212F F 2c P ⋅P =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．⎛⎝⎦ B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．12⎡⎢⎣⎦D ．⎣⎦12.设函数()()()22ln 22f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使得()015f x ≤成立，则实数a 的值为（ ） A ．110 B ．25C ．15 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,2a =，()1,1b =-，且()a b b λ+⊥，则2a b λ-的值为 ．14.若4m x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则二项式6展开式中含x 项的系数是 ．15.设命题:p 2203600x y x y x k +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩（x ，y ，R k ∈，且0k >）；命题:q ()2215x y -+≤（x ，R y ∈）．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n nnS a S ++=（2n ≥），123a =-，则n S 为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边长，且()222cos a bc b c -A =+．（I ）求角A 的大小；（II ）若sin sin C 1B +=，2b =，试求C ∆AB 的面积．18.（本小题满分12分）新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为0.06，只选修甲和乙的概率是0.09，至少选修一门课程的概率是0.82，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（I ）求学生小张选修甲的概率；（II ）记“函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（III ）求ξ的分布列和数学期望．19.（本小题满分12分）在等腰梯形CD AB 中，D//C A B ，1D C 2A =B ，C 60∠BA =，N 是C B 的中点，将梯形CD AB 绕AB 旋转90，得到C D ''AB （如图3）． （I ）求证：C C 'A ⊥B ；（II ）求二面角C C 'A -N -的余弦值．图320.（本小题满分12分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）经过点⎛M ⎝⎭，，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点．设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）当2m =-时，求∆OAB 的面积的最大值；（III ）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足Q λOP =O ，求实数λ的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数()322f x x x a =-+，()()2ln 1g x x m x =++． （I ）若()f x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，求实数a 的值； （II ）若()g x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（III ）在（I ）的条件下，当1m =时，令()()()F x f x g x =+，试证明311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图4，EP 交圆于E ，C 两点，D P 切圆于D ，G 为C E 上一点且G D P =P ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F ． （I ）求证：AB 为圆的直径；（II ）若C D A =B ，求证：D AB =E ．图423.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-（I ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （II ）设曲线1C 与2C 的公共点为A ，B ，求PA ⋅PB 的值．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =-，()3g x x a =-++，R a ∈． （I ）解关于x 的不等式()6g x >；（II ）若函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，求实数a 的取值范围．曲靖一中高考复习质量监测卷六理科数学参考答案一、选择题二、填空题13.60 15.02k <≤ 16.12n n +-+ 三、解答题 17.解：（I ）()222cos a bc b c -A =+，又2222cos a b c bc =+-A ，∴22222cos 2cos 2b c bc bc b bc c +-A -A =++． ∴4cos 2bc bc -A =． ∴1cos 2A =-．0π<A <，∴23πA =．…………………（5分） （II ）sin sin C 1B +=，∴sin sin 13π⎛⎫B +-B = ⎪⎝⎭．sin sincos cossin sincos cossin 3333ππππB +B -B =B +Bsin 13π⎛⎫=B += ⎪⎝⎭．…………………（8分）又B 为三角形内角，∴32ππB +=，6πB =，∴C 6π=，∴2b c ==，∴C ∆AB的面积C 1sin 2S bc ∆AB =A =12分）18.解：（I ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得()()()()()()110.0610.0911110.82x y z xy z x y z --=⎧⎪-=⎨⎪----=⎩，解得0.250.60.4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以学生小张选修甲的概率为0.25．…………………（4分） （II ）若函数()2f x x x ξ=+为R 上的偶函数，则0ξ=，若0ξ=时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，∴()()()()()()()()01110.250.60.410.2510.610.40.24xyz x y z ξP A =P ==+---=⨯⨯+---=，∴事件A 的概率为0.24．…………………（8分）（III ）依题意知0ξ=，2， 则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为00.2420.76 1.52ξE =⨯+⨯=．…………………（12分）19.（I ）证明：1D C 2A =B ，N 是C B 的中点， ∴D C A =N ．又D//C A B ，∴四边形CD AN 是平行四边形， ∴DC AN =．又CD AB 为等腰梯形，C 60∠BA =，∴D AB =BN =A ， ∴四边形CD AN 是菱形， ∴1C DC 302∠A B =∠B =，∴C 90∠BA =，即C A ⊥AB ．平面C 'AB ⊥平面C AB ，平面C 'AB 平面C AB =AB ，∴C A ⊥平面C 'AB ．又C 'B ⊂平面C 'AB ，∴C C 'A ⊥B ．…………………（6分） （II ）解：C A ⊥平面C 'AB ，同理C 'A ⊥平面C AB ．如图1建立空间直角坐标系xyz A -，设1AB =，则()1,0,0B，()C，(C '，12⎛⎫N ⎪ ⎪⎝⎭，则(C 'B =-，(CC 0,'=． 设平面C C 'N 的法向量为()111,,n x y z =，C 0CC 0n n ⎧'B ⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩⇒()3,1,1n =．设平面C 'AN 的法向量为()222,,m x y z =，C 0n n ⎧AN ⋅=⎪⎨'A ⋅=⎪⎩()3,1,0m ⇒=-， 设二面角C C 'A -N -的平面角为θ，∴5cos n m n m θ⋅==-，∴二面角C C 'A -N -的余弦值为12分）20.解：（I ）由题意得：c a =，222a b c -=， ∴b c=．又椭圆经过点⎛M ⎝⎭，则2213124a b +=， 解得1c =，所以22a =，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…………………（3分）（II ）当2m =-时，即直线:l 2y kx =-，216240k ∆=->，得232k >， 122812k x x k +=+，122612x x k=+，所以AB == 又点O 到直线l 的距离为h =，∴∆OAB的面积1122S h ∆OAB=⋅AB ⋅==． 令t =0t >），得2223k t =+，则S t t∆OAB ==≤=+当且仅当4t t =，即2t =时等号成立，此时272k =且满足0∆>， 所以S ∆OAB ．…………………（6分） （III ）由2222y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=，122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+， 可得()121222212m y y k x x m k+=++=+．…………………（7分） 由向量加法得OA +OB =OP ，Q λOP =O ，∴Q λOA+OB =O ．①当0m =时，点A ，B 关于原点对称，则0λ=，此时不构成平行四边形，∴舍去； ②当0m ≠时，点A ，B 不关于原点对称，设点()00Q ,x y ，则由Q λOA+OB =O 得()()01201211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（0λ≠）， 即()()020*******km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩．…………………（9分） 由点Q 在椭圆C 上，得220022x y +=，化简得()()2222241212m k k λ+=+．2120k +≠，∴()222412m k λ=+．①又()()()2222221641222812k m k m k m ∆=-+-=+-，0∆>得2212k m +>，②联立①、②得2224m m λ>，0m ≠，∴24λ<，即22λ-<<且0λ≠．综上：22λ-<<且0λ≠．…………………（12分）21.（I ）解：因为()322f x x x a =-+，所以()234f x x x '=-．令()0f x '=，得0x =或43x =． 又()f x 在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递增，在(]0,1上递减， 所以()()max 00f x f a ===．…………………（2分）（II ）解：因为()222211m x x m g x x x x ++'=+=++， 又函数()g x 在定义域上是单调函数，所以()0g x '≥或()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．若()0g x '≥在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递增函数， 则221122222m x x x ⎛⎫≥--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立， 由此可得12m ≥．…………………（4分） 若()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立，即函数()g x 是定义域上的单调递减函数， 则221122222m x x x ⎛⎫≤--=-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上恒成立， 因为211222x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭在()1,-+∞上没有最小值， 所以不存在实数m 使()0g x '≤在()1,-+∞上恒成立．…………………（6分） 综上所述，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．…………………（7分）（III ）证明：在（I ）的条件下，当1m =时，()()()()32F ln 1x f x g x x x x =+=-++，则()()232311F 3211x x x x x x x +-'=-+=++， 显然当()0,x ∈+∞时，()F 0x '>，所以()F x 在()0,+∞上单调递增，所以()()F F 00x >=，即()23ln 1x x x +>-在()0,+∞上恒成立． 令()10,x n=∈+∞（n *∈N ），．…………………（10分） 则有23111ln 1n n n ⎛⎫+>-⎪⎝⎭， 即311ln n n n n+->（n *∈N ）恒成立．…………………（12分） 22.证明：（I ）D G P =P ，∴DG GD ∠P =∠P ． D P 为切线，∴D D ∠P A =∠BA ．GD G ∠P =∠E A ，∴D G ∠BA =∠E A ．∴D D G D ∠BA +∠BA =∠E A +∠BA ，由三角形内角和，得D F ∠B A =∠P A ．∴F A ⊥EP ，∴F 90∠P A =，D 90∠B A =，∴AB 为圆的直径．…………………（5分）（II ）如图2，连接C B ，DC ． AB 是直径，∴D C 90∠B A =∠A B =．在Rt D ∆B A 与Rt C ∆A B 中，AB =BA ，C D A =B ，从而Rt D Rt C ∆B A ≅∆A B ，于是D C ∠AB =∠BA ．DC D ∠B =∠AB ，∴DC C ∠B =∠BA ，∴DC//AB ．AB ⊥EP ，∴DC ⊥EP ，DC ∠E 为直角，∴D E 为直径．由（I ）知AB 为圆的直径，∴D E =AB ．…………………（10分）23.解：（I ）因为曲线1C 的参数方程为431x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）， 所以曲线1C 的普通方程为3440x y --=．又曲线2C 的极坐标方程为8cos 1cos 2θρθ=-， 所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．…………………（4分）（II ）当0t =时，0x =，1y =-，所以点()0,1P -．由（I ）知曲线1C 是经过点P 的直线，设它的倾斜角为α，则3tan 4α=， 所以3sin 5α=，4cos 5α=， 所以曲线1C 的参数方程为45315x y ⎧=T ⎪⎪⎨⎪=-+T ⎪⎩（T 为参数）， 将上式代入24y x =，得29110250T -T+=， 所以12259PA ⋅PB =T T =．…………………（10分） 24.解：（I ）关于x 的不等式即36x a -++>，即36x a +<-，当6a ≤时无解；当6a >时，由()636a x a --<+<-，即39a x a -<<-，求得不等式解集为()3,9a a --（6a >）．…………………（4分）（II ）函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方，故()()20f x g x ->，等价于213a x x <-++．设()31,32135,3131,1x x h x x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=--<≤⎨⎪+>⎩根据函数()h x 的单调减区间为(],1-∞、增区间为()1,+∞，可得当1x =时，()h x 取得最小值为4，∴当4a <时，函数()2y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的上方．…………………（10分）。
2016届昆明市市统测理数(一)
2016届昆明市市统测理数(一)秘密★启用前【考试时间：10月12日 1 5：00-17：00】昆明市2016届高三摸底调研测试理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集U=R，集合A={x| x(x -3)>0}，则C A=U(A) [0，3](B)(0，3)(C) (-∞,0) U(3,+ ∞)(D) (-∞,0] U[3,+ ∞)(2) 设复数z满足(13)3,i z i z-=+=则(A)一i (B) i (C)34 55i- (D) 3455i+(3)设命题p：∀x∈R ，2x>0，则⌝p为(A) ∀x∈R, 2x<0(B) ∀x∈R, 2x<0(C) ∃xo∈R, 2xo <0(D) ∃3xo∈R, 2xo <0(4) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8+4π(B) 8+2π(C) 8+4π3(D) 8+2π3(5)设a，b∈N*，记R(a\b)为a除以b所得的余数．执行如图所示的程序框图，若输入a=243，b=45，则输出的值等于(A) 0(B) 1(C) 9(D) 18(6)已知ω>0，在函数y=sinωx与y=cosωx的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=(A)1 (B)2 (C)π(D) 2πu u u r u u u r，AP与CD (7)己知四边形ABCD为正方形，3=BP CPu u u r u u u r u u u r交于点E，若PE mCP nPD=+则m-n=(A)一23 (B) 23 (C) —13 (D) 13(8)己知a ∈（0，2π），cos(a +4π)= 一35，则tan a = (A) 17 (B) 7 (C) 34(D) 43(9)四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若 某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功，否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有2人游戏成功的概率为(A) 127 (B) 827 (C) 1127 (D) 89(10)已知F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，过F 1的直线分别交C 的左，右两支于A ，B 两点，若△AF 2B 为等腰直角三角形，且∠AF 2B=90°，那么C 的离心率为(A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3(11)已知曲线f(x)=e 2x - 2e x+ax -1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为(A)(3，+∞) (B) [3，72] (C) (一∞，72] (D)(0，3)(12)棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为(A) 23a： (B) 22a (C) 233 (D) 2a2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2016届云南省高三上学期第一次月考数学(理)(解析版)
云南省2016届高三上学期第一次月考数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合M={x||x|<2}，N={x|x2−2x−3<0}，则集合M∩NA.{x|x<−2}B.{x|x>3}C.{x|−1<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】本题考查集合的运算，意在考查考生的运算求解能力.M={x||x|≤2}={x|−2<x<2}，N=x x2−2x−3<0={x|−1<x<3}，则集合M∩N={x|−1<x< 2}.故本题正确答案为C.2．已知复数z=i21+i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】本题考查复数的四则运算，意在考查考生的运算求解能力.复数z=i21+i=−1×(1−i) (1+i)(1−i)=−1+i2，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限.故本题正确答案为B.3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A【解析】本题考查简单空间几何体的三视图，意在考查考生的空间想象能力及逻辑推理能力.圆柱的正视图为矩形，故不可能为圆柱.故本题正确答案为A.4．下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是A.y=x3B.y=2−|x|C.y=−x2+1D.y=|x|+1【答案】D【解析】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.y=x3为奇函数，y=2−x在(0,+∞)上是减函数，y=−x2+1在(0,+∞)上是减函数，y=|x|+1既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数.故本题正确答案为D.5．阅读下面的程序框图，则输出的s =A.14B.30C.20D.55【答案】B【解析】本题考查直到型循环结构的程序框图，意在考查考生的分析理解能力.S =0，i =1，第一次进入循环体，S =1，i =2，判断为否，第二次进入循环体，S =5，i =3，判断为否，第三次进入循环体，S =14，i =4，，判断为否，第四次进入循环体，S =30，i =5，判断为是，退出循环，输出S =30.故本题正确答案为B.6．a ，b ，c ，d ∈R +，设S =a a +b +d+b b +c +a+c c +d +b+d d +a +c，则下列判断中正确的是A.0<S <1B.3<S <4C.2<S <3D.1<S <2【答案】D【解析】本题考查利用放缩放求式子的范围，意在考查考生的运算求解能力.由故a ，b ，c ，d ∈R +，则S >aa +b +c +d +ba +b +c +d +ca +b +c +d +da +b +c +d =a +b +c +da +b +c +d =1,且S <aa +b +bb +a +cc +d +dd +c =a +ba +b +c +d c +d =2,则1<S <2.本题正确答案为D.7．等差数列{a n }中，如果a 1+a 4+a 7=39，a 3+a 6+a 9=27，数列{a n }前9项的和为 A.297 B.144 C.99 D.66【答案】C【解析】本题考查等差数列的性质、等差数列求和，意在考查考生的运算求解能力.a 1+a 4+a 7=39得3a 4=39，a 4=13，a 3+a 6+a 9=27得3a 6=27，a 6=9，S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9(13+9)2=99.故本题正确答案为C.8．已知a=21.2,b=(12)−0.8,c=2log52，则a,b,c的大小关系是A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a【答案】D【解析】本题考查指数函数、对数函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.b=(12)−0.8=20.8，由函数y=2x为增函数，则a>b>1，c=2log52=log54<1，故c<b<a.故本题正确答案为D.9．要得到函数y=cos2x的图像，只需把y=sin2x的图像A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位 D.向右平移π2个单位【答案】A【解析】本题考查三角函数图像的平移，意在考查考生的分析理解能力.函数y=cos2x=sin(2x+π2)=sin[2(x+π4)]，要得到函数y=cos2x的图像，只需把y=sin2x的图像向左平移π4个单位.故本题正确答案为A.10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=−3ty=4+t(t为参数)，以O为极点，射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρ=4sinθ，曲线C1与C2交于M、N两点，则线段MN的长度为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题考查参数方程与极坐标方程的应用，意在考查考生的运算求解能力.曲线C2化为普通方程为x2+y2=4y，由曲线C1代入得，t2+t=0，得t1=0或t2=−1，故线段MN的长度为2|t1−t2|=2.故本题正确答案为B.11．函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如下图所示，则x12+x22等于A.289B.169C.109D.89【答案】B【解析】本题考查利用函数图像求函数的解析式及函数的极值点，意在考查考生的分析理解能力.由图可得f(x)=x(x+1)(x−2)=x3−x2−2x，则x1,x2为f′(x)=3x2−2x−2=0的两根，则x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(23)2+2×23=169.故本题正确答案为B.12．若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值3，则实数a的值为A.−4或8B.−1或−4C.−1或5D.5或8【答案】A【解析】本题考查函数的最值，意在考查考生的运算求解能力.由f(x)=|x+1|+|2x+ a|，当a=2时，f(x)=3|x+1|≥0，不合题意，当a<2时，f(x)=−3x−a−1,x≤−1−x−a+1,−1<x<−a23x+a+1,x≥a2，f(x)min=f(−a2)=3得a=−4；当a>2时，f(x)=−3x−a−1,x≤a2x+a−1,−a2<x<−13x+a+1,x≥−1，f(x)min=f(−a2)=3得a=8；故本题正确答案为A.二、填空题：共4题13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3=4,a5=16,则a32+2a2a6+a3a7=____ 【答案】400【解析】本题考查等比数列的性质，意在考查考生的运算求解能力.a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(4+16)2=202=400.故本题正确答案为400.14．函数y=sin x+3cos x的最大值【答案】2【解析】本题考查三角函数恒等变换，意在考查考生的运算求解能力.y=sin x+3cos x=2sin(x+π3)，则函数y=sin x+3cos x的最大值2.故本题正确答案为2.15．已知x+y=−1且x<0,y<0，求xy+1xy的最小值【答案】174【解析】本题考查基本不等式的性质，意在考查考生的运算求解能力.依题意，1=(−x)+(−y)≥2(−x)(−y)得xy≤14，当且仅当x=y=−12时取等号，令xy=t,t∈(0,14]，则xy+1xy=t+1t,t∈(0,14]，由f(t)=t+1t,t∈(0,14]在(0,14]上递减，则t+1t ≥4+14=174.则xy+1xy的最小值为174.故本题正确答案为174.16．过半径为2的圆外一点P作圆的两条切线PA,PB，切点分别为A,B，则PA⋅PB的最小值【答案】82−12【解析】本题考查直线与圆相切的性质、平面向量数量积、基本不等式的性质，意在考查考生的推理论证能力及运算求解能力.不妨取P(m,0)，A(2cosθ,2sinθ)，B(2cosθ,−2sinθ)，θ∈(0,π)，由OA⋅PA=(2cosθ,2sinθ)⋅(2cosθ−m,2sinθ)=2cosθ(2cosθ−m)+4sin2θ=0，得cosθ=2m，PA⋅PB=(2cosθ−m,2sinθ)⋅(2cosθ−m,−2sinθ)=(2cosθ−m)2−4sin2θ=8cos2θ−4m cosθ+m2−4=32m2+m2−12≥232m2×m2−12=82−12.故本题正确答案为82−12.三、解答题：共6题17．已知直线l的参数方程是x=22t,y=22t+42,(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．(1)求圆心C的直角坐标；(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【答案】解：(1)∵ρ=2cosθ−2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ−2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−2x+2y=0，即(x−22)2+(y+22)2=1，∴圆心直角坐标为(22,−22).(2)方法1：直线l上的点向圆C引切线长是(2 2t−22)2+(22t+22+42)2−1= t2+8t+40=(t+4)2+24≥26，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2 6.方法2：∴直线l的普通方程为x−y+42=0，圆心C到直线l距离是|22+22+42|2=5，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是52−12=2 6.【解析】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系,意在考查考生的运算求解能力.(1)圆C极坐标方程化为普通方程，从而得出圆心C的直角坐标；(2)方法1：直线l上的点向圆C引切线长是(2 2t−22)2+(22t+22+42)2−1= t2+8t+40=(t+4)2+24≥26，求得切线长的最小值.方法2：利用圆心的直线的距离求得切线长的最小值.18．设函数f(x)=|x+1|+|x−4|−a(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)+12a≥1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−4|−1=−2x+2 , x≤−1 4 , −1<x<4 2x−4 ,x≥4, , .∴f(x)min=4.值域4,+∞.(2) f(x)+12a≥1对任意的实数x恒成立⇔a2−4a−12a≤0⇔a≤−2或0<a≤6综上，实数a的取值范围为−∞,−2∪0,6.【解析】本题考查函数的值域、不等式恒成立问题，意在考查考生的运算求解能力.(1)当a=1时，按照零点分区间求得函数的最小值，从而求得函数的值域.(2)f(x)+12a≥1对任意的实数x恒成立等价于a2−4a−12a≤0，从而求得a的取值范围.19．已知ΔABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．且(a−c)(sin A+sin C)=(a−b)sin B。
2016届云南省高三下学期第一次高中毕业生复习统一测试数学(理)试题(解析版)
【考点】简单的线性规划．
11．在长为 3 m的线段 AB 上任取一点 P ，则点 P 与线段 AB 两端点的距离都大于 1 m
的概率等于（ ）
1
A．
2
【答案】 D
1
B．
4
2
C．
3
1
D．
3
【解析】试题分析：设线段 AB 的三等分点分别为 C , D （如图所示） ，因为点 P 与线段
AB 两端点的距离都大于 1 m ，所以 P 在线段 CD 上，则点 P 与线段 AB 两端点的距离
6
6
3
6
y cos 2x
的图象，只需要将 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位；故选 D．
6
6
【考点】 1.诱导公式； 2.三角函数的图像变换．
1
1
8．在数列 an 中， a1
2 , a2
3 , an an 2 1 ，则 a2016 a2017 (
)
5
A．
6
【答案】 C
7
B．
3
7
C．
2
D． 5
25 2
；故选 B．
3
3
【考点】 1.三视图； 2.组合体的体积．
7．为得到 y cos 2x
的图象，只需要将 y sin 2x 的图象（ ）
6
A．向右平移 个单位
3
B．向右平移 个单位
6
C．向左平移 个单位
3
D．向左平移 个单位
6
【答案】 D
【
解
析
】
试
题
分
析
：
因
为
y cos(2 x ) cos( 2x) sin(2x ) sin[ 2(x )] ， 所 以 为 得 到
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全卷123
开始 输入x,y,nny y n x x =-+=,213622≥+y x1+=n n2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷1）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分.（1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则( )（A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2（2）设yi x i +=+1)1(，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a ( )（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43（5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( )（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π（8）若101a b c >><<，，则( ) （A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c < （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )（A ）（B ）（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足( ) （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1， a 平面ABCD =m ， a 平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为( )(B (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13) 设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =________.(14) 5(2x 的展开式中，x 3的系数是________.（用数字填写答案）（15）设等比数列错误!未找到引用源。
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2016年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数121,1z i z i =+=-，则12z z =（ D ） A ．12-B ．12C ．i -D ．i 2.已知平面向量()()3,6,,1a b x ==-，如果//a b ，那么||b =（B ） AB．2 C ．3 D ．323.函数22sin cos 2sin y x x x =-的最小值为（C ）A ．-4 B．1- C．1 D ．-24. 101x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数等于（ A ）A ．45B ．20C ．-30D ．-90 5.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ A ） A ．94 B ．86 C ．73 D ．566.下图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，俯视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（ B ） A ．23π+ B ．523π- C ．53-2π D ．223π-7.为得到cos(2)6yx π=-,只需要将sin 2y x =的图像（ D ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位8.在数列{}n a 中，12211,,123n n a a a a +===，则20162017a a +=( C ) A ．56 B ．73 C ．72D ．59.已知,a b 都是实数，:2:；P a b q +=直线0x y +=与圆()()222x a y b -+-=相切，则p 是q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10. 若,x y 满足约束条件4335251-+x y x y x -≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ C ）A ．6B ．5C ．3D ．111.在长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率等于（ D ）俯视图侧视图正视图A ．12 B ．14 C ．23 D ．1312.已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=（ D ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0第Ⅱ卷二、填空题13.已知函数()f x 的定义域为实数集R ，()lg ,0,90,0x x x R f x x x >⎧∀∈-=⎨-≤⎩，则()()10100f f --的值为 -8 .14.已知三棱锥P ABC -的顶点、、B 、C P A 在球O 的表面上，ABC ∆边三角形，如果球O 的表面积为36π，那么P 到平面ABC 距离的最大值为3+15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，如果ABC ∆的面积等于8，5a =,4tan 3B =-,那么sin sin sin a b cA B C ++++=416.已知实数,a b 都是常数，若函数2112x a x y be x --=++的图象在切点10,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2113420,2x a x x y y be x --+-==++与()31y k x =-的图象有三个公共点，则实数k 的取值范围是1(,)(0,)4-∞-⋃+∞. 三、解答题17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，322n n a S -=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求证：221n n n S S S ++<.(Ⅰ)解：∵对任意正整数n ，322n n a S -=，∴11322n n a S ++-= ∴1133220n n n n a a S S ++--+=，即()113320n n n n a a S S ++---= ∴113320n n n a a a ++--=，解得13n n a a +=. 当1n =时，11322a S -=，即12=a .∴123n n a -=⨯ ∴数列{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯.(II)证明：又（I ）可得-12(13)313n n n S ⨯-==- 1212212131,S 3 1.430..n n n n n n n n n n n S S S S S S S ++++++++∴=-=-∴-=-⨯<∴<18. (本小题满分12分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.(Ⅰ)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ,求事件A 的概率()P A ；(Ⅱ)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解： (Ⅰ) 由已知，得()2222233348635C C C C P A C +==， 所以事件A 的概率为635. (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -===.所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()12341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19. (本小题满分12分)如图，在三棱锥A BCD -中，,,CD BD AB AD E ⊥=为BC 的中点.(Ⅰ)求证：AE BD ⊥；(Ⅱ)设平面ABD ⊥平面,2,4BCD AD CD BC ===，求二面角B AC D --的正弦值.(Ⅰ)证明：设BD 的中点为O ，连接,AO EO ， ∵AB AD =，∴AO BD ⊥， 又∵E 为BC 的中点，∴//EO CD ， ∵CD BD ⊥，∴EO BD ⊥. ∵OAOE O =，∴BD ⊥平面AOE ，又∵AE ⊂平面AOE ，∴AE ⊥BD . (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：AO BD ⊥，EO BD ⊥，∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AO ⊂平面ABD ， ∴AO ⊥平面BCD .∵EO ⊂平面BCD ,∴AO EO ⊥,yB∴、、OE OD OA 两两互相垂直. ∵CD BD ⊥,4,2,BC CD BD ==∴==由O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =得1BO OD OA ====，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()0,0,0,0,0,1,0,,,O A B C D ，∴()()()0,3,1,2,3,1,0,3,1AB AC AD =--=-=-.设平面ABC 的一个法向量为(),,nx y z =，则,n AB n AC ⊥⊥.∴020z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩,取y =33x z =⎧⎨=⎩，∴()3,3,3n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量()0,m =. 设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||7||||m n m nθ⋅==. ∵0θπ<<.∴sin 7θ==，∴二面角B AC D --的正弦值为7. 20. (本小题满分12分)已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆E 交于、A B 两个相异点，且AP PB λ=.(Ⅰ) 求椭圆E 的方程；(Ⅱ)是否存在m ，使4OA OB OP λ+=？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)根据已知设椭圆E 的方程为()222210y x a b a b +=>>，焦距为2c ，由已知得c a =2222,4a c b a c ==-=.∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为∴2,1a b ==∴==.∴椭圆E 的方程为2214y x +=. (Ⅱ)根据已知得()0,P m ，由AP PB λ=，得()OP OA OB OP λ-=-.∴()1OA OB OP λλ+=+.∵4OA OB OP λ+=,∴()14=OP OP λ+，若0m =，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=. ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立. 若0m ≠，则14λ+=，解得3λ=.设()()1122,,,A x kx m B x kx m ++，由22440y kx mx y =+⎧⎨+-=⎩得()2224240kx mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>. 且212122224,44km m x x x x k k --+==++.…10分由3AP PB =得123x x -=，即123x x =-.∴()21212340x x x x ++=, ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=.当21m =时，222240m k m k +--=不成立.∴22241m k m -=-,∵2240k m -+>,∴2224401m m m --+>-,即()222401m m m ->-.∴214m <<,解得21m -<<-或12m <<.综上述，当21m -<<-或0m =或12m <<时，4OA OB OP λ+=.21. (本小题满分12分)已知()()ln 212321x f x x x +=+-+.(Ⅰ)求证：当 0x =时，()f x 取得极小值；(Ⅱ)是否存在满足0n m >≥的实数,m n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ)证明：由已知得()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 当12x >-时，()()()()()22222ln 21882ln 21'22121x x x x f x x x -++++=-=++. 设()()2882ln 21F x x x x =+++，则()()()2'21F x f x x =+，当12x >-时，22188822x x x ⎡⎤⎛⎫+=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦是单调递增函数，()2ln 21x +也是单调递增函数， 当12x >-时，()()2882ln 21F x x x x =+++单调递增. ∴当102x -<<时，()()00F x F <=，当0x >时，()()00F x F >=. ∴当102x -<<时，()'0f x <，()f x 单调递减，当0x >时，()'0f x >，()f x 单调递增.∴当0x =时，()f x 取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[)0,+∞上是单调递增函数，若存在满足0n m >≥的实数m ，n ，当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[],m n ，则()(),f m m f n n ==，即()f x x =在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n .∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上有两个不等的实根m ，n ，设()()2273ln 21H x x x x =++-+，则()28185'21x x H x x ++=+.当0x >时，210x +>，281850x x ++>，所以()28185'021x x H x x ++=>+， ∴()H x 在[)0,+∞上是单调递增函数，即当0x ≥时，()()03H x H ≥=.∴()2273ln 210x x x ++-+=在[)0,+∞上没有实数根.所以，不存在满足条件的实数m ，n .请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于,C AB 是⊙O 的弦，D 是AC 弧的中点，BD 的延长线与CE 交于E .(Ⅰ)求证： BC CD BD CE ⋅=⋅； (Ⅱ)若93,5CE DE ==，求AB .（Ⅰ）证明：∵BC 是⊙O 的直径，EC 与⊙O 相切于C ，D 是AC 弧的中点， ∴,90CBD ECD BDC CDE BCE ∠=∠∠=∠=∠=， ∴BCD ∆∽CED ∆. ∴BC BDCE CD=， ∴BC CD BD CE ⋅=⋅.（Ⅱ）解：设BA 的延长线与CD 的延长线交于F ， ∵D 是AC 弧的中点，∴ABD CBD ∠=∠，CB∵BC 是⊙O 的直径，∴90BDC BDF ∠=∠=， ∴BDC BDF ∆≅∆.∴,CD FD BC BF ==,在Rt CDE ∆中，125CD ==. ∴125FD =. ∵90BDC BCE ∠=∠=,∴2CD BD DE =⋅,∴2165CD BD DE ==,∴4BC ==,∴4BF =.………………………………8分 由割线定理得()FB AB FB FD FC -⋅=⋅， 即()12244455AB -⨯=⨯，解得2825AB =. ∴2825AB =. 23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-⎧⎨=+⎩,（t 为参数），在以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=.(Ⅰ)直接写出直线l 、曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上的点到与直线l 的距离为d ，求d 的取值范围. 解：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为30x y -+=， 曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=.（Ⅱ）∵曲线C 的直角坐标方程为2233x y +=，即2213y x +=，∴曲线C 上的点的坐标可表示为()cos αα. ∵2sin 3106πα⎛⎫-+≥>⎪⎝⎭，∴2sin3dπα⎛⎫-+⎪===，∴d2，d2.d≤≤即d的取值范围为22，⎣⎦.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()2122f x x x x=-++++.(Ⅰ)求证：()5f x≥；(Ⅱ)若对任意实数()229,1521x f x aa-<++都成立，求实数a的取值范围. （Ⅰ）证明：∵()43,25,2127,1243,2x xxf xx xx x--≤-⎧⎪-<≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎪+>⎩，∴()f x的最小值为5，∴()5f x≥.(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知：()152f x-的最大值等于5.∵()222299111511a aa a+=++-≥-=++，“=”成立()22911=aa⇔++，即a=∴当a=时，2291aa++取得最小值5.当a≠22951aa+>+，又∵对任意实数x，()2291521-f x aa<++都成立，∴a≠∴a的取值范围为a≠。