1.1《集合的含义与表示》ppt课件
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• 集合中元素的特性及应用 • 已知集合A含有两个元素x-3和2x -1,若-3∈A,试求实数x的值.
[思路分析] 分别令-3=x-3或-3=2x-1 → 解方程求x → 检验得x的值
[规范解答] ∵-3∈A, ∴-3=x-3 或-3=2x-1, 若-3=x-3,则 x=0.
• 此时集合A含有两个元素-3,-1,符合题 意. • 若-3=2x-1,则x=-1, • 此时集合A含有两个元素-4,-3,符合题 意, • 综上所述,满足题意的实数x的值为0或-1. • [规律总结] 1.根据集合中元素的确定性可以 解出字母的所有可能的值,再根据集合中元 素的互异性对集合中的元素进行检验. • 2.利用集合中元素的特性解题要注意分类讨 论思想的应用.
• [规律总结] 1.用列举法写集合应先弄清集合 中的元素是什么,是数还是点,还是其他元 素.另外还要弄清元素的个数.做到不重不 漏,一一列举出来,写在大括号内. • 2.用描述法表示集合,常用模式是{x|p(x)}, 其中x是集合的代表元素,p(x)为集合中元素 所具有的共同特征.要注意竖线不能省略, 同时表达要力求简练、明确. • 3.用描述法表示集合时,若描述部分出现元 素记号以外的字母,要对新字母说明其含义 或取值范围.
• 5.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A, 则实数x=________. • [答案] -1 • [解析] ∵x2∈A,∴x2=1,或x2=0,或x2 = x. • ∴x=±1,或x=0. • 当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互 异性, • ∴x=-1.
课堂典例讲练
• 集合的基本概念
• •
•
• •
• 元素与集合的关系 若2∉{x|x-a>0},则实数a的取值范 围是________. [思路分析] 由题意可知,2不具备集合中元 素的共同特征,因此建立不等式即可求出a的 取值范围. [规范解答] 因为2∉{x|x-a>0},所以2不满 足不等式x-a>0,即满足不等式x-a≤0,所 以2-a≤0,即a≥2. 所以实数a的取值范围是{a|a≥2}. [答案] {a|a≥2}
由实数 x、-x、|x|、 x 、- x3所组成的集合,最多含有 元素的个数为( A.2 C.4
[答案] A
2
2
3
) B.3 D.5
[解析]
因为 x =|x|,- x3=-x,当 x>0 时,它们依次
3
为:x,-x,x,x,-x,有两个不同的元素;当 x<0 时,它们 依次为 x,-x,-x,-x,-x,也只有两个不同的元素;当 x =0 时,只有一个元素 0.所以选 A.
表示,而 1,2
是两个整数, 所以不能表示点的坐标, 也不能表示方程组的解.
• 2.元素与集合的关系
知识 点 元素 与 集合 的
关系
概念
记法
读法
属于
a在集合A中 , 如果___________ a ∈A “a属于A” ___ 就说a属于A
关系
a不在集合A中 如果____________ , a∉A 不属于 ___ “a不属于A” 就说a不属于A
3.常用数集及表示符号
定义 记法 自然数 正整数 有理数 整数集 实数集 集 集 集
• D.美国NBA的篮球明星 • [答案] D • [解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构 成集合.因为选项A、B、C中所给对象都是
• 2.已知集合A表示不等式3-3x>0的解集, 则有( ) • A.3∈A B.1∈A • C.0∈A D.-1∉A • [答案] C • [解析] 3-3x>0可化为x<1,0<1,-1<1,所 以0∈A,-1∈A.
• [规律总结] 1.对于正整数集、自然数集、整 数集、有理数集、实数集,在数学上分别用 N+,N,Z,Q,R来表示,这些符号是我们 学习高中数学的基础,它大大简化了数学的 表示方法,应当熟练掌握. • 2.判断一个元素是不是某个集合的元素,主 要判断这个元素是否具有这个集合的元素的 共同特征.
所给下列关系正确的个数是(
易错疑难辨析
2x+3y=8 集合x,y 3x+2y=7
=________.
[错解]
2x+3y=8 由 3x+2y=7
解得 x=1,y=2,
∴集合应等于{1,2}.
[辨析]
本例主要考查集合的描述法,集合中的元素为数
2x+3y=8 ∵方程组 3x+2y=7 x=1, 的解为 y=2,
)
1 ①-2∈R;② 2∉Q;③0∈N+;④|-3|∉N+. A.1 C.3
[答案] B
B.2 D.4
1 - 是实数, 2是无理数,∴①②正确. 2
[解析]
N+表示正整数.∴③和④不正确.
• 集合的表示方法
• 用适当的方法表示下列集合 • (1)一次函数y=x与y=2x-1图像的交点组成 的集合; • (2)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合; • (3)被5除余1的正整数组成的集合; • (4)坐标平面内坐标轴上的点集. • [思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出
•
考察下列每组对象能否构成一个集
合: • ①美丽的小鸟;②不超过20的非负整数;③ 立方接近零的正数;④直角坐标系中,第一 象限内的点. • [思路分析] 要判断每组对象能否构成集合, 关键是分析各组对象所具有的条件是否明 确.若明确,则能构成集合;否则不能构成 集合.
• [规范解答] ①中“美丽”的范畴太广,不具 有明确性,因此不能构成集合;②中的对象 可以列举出来: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17, 18,19,20,共21个数;③中接近0的界限不明 确;④中的对象有无限个,但条件明确,即 所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中. • 综上可知②④能构成集合,①③不能构成集合. • [规律总结] 判断元素能否构成集合,关键看 这些元素是否具有确定性和互异性.如果条 件满足就可以断定这些元素可以构成集合, 否则不能构成集合.
• 3.下列集合中,不同于另外三个集合的是 ( ) • A.{x|x=1} B.{x|x2=1} • C.{1} D.{y|(y-1)2=0} • [答案] B • [解析] 选项A、C、D中集合的元素为1,而 选项B中,集合中元素为±1,故选B.
4.用符号“∈”或“∉”填空. (1)若A={x|x2=x},则-1________A; (2)若B={x|x2+x-6=0},则3________B; (3)若C={x∈N|1≤x≤10},则8________C, 9.1________C. [答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉ [解析] (1)∵A={x|x2=x}={0,1},∴-1∉A. (2)∵B={x|x2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)= 0}={-3,2},∴3∉B. • (3)∵C={x∈N|1≤x≤10}= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∴8∈C,9.1∉C. • • • • • • • •
• 问题1:数学家说的集合是指什么? • 问题2:网中的“大鱼”能构成集合吗?
• • • • •
1.集合、元素 (1)集合定义 某些对象 的全体称为集合. 一般地,指定的________ (2)集合的记法 大写字母A,B,C,D,… 集合通常用________________________ 标 记. • (3)元素 每个对象 叫作集合的元素. • 集合中的________
第一章
§1 集合的含义与表示
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明 白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊 敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”集 合是不加定义的概念,数学家很难回答那位 渔民. • 有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下 渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学 家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集 合!”
• 下列说法: • ①地球周围的行星能构成一个集合; • ②实数中不是有理数的所有数能构成一个集 合; • ③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合. • 其中正确的个数是( ). • A.0 B.1 • C.2 D.3 • [答案] B
• [解析] ①是错误的,因为“周围”是个模糊 的概念,随便找一颗行星无法判断其是否属 于地球的周围,因此它不满足集合元素的确 定性. • ②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个, 但任给一个元素都能判断出其是否属于这个 集合. • ③是错误的,因为集合中的元素具有无序性.
N N+ Q _____ _____ _____ _____ Z R ____
• 4.集合的表示方法 • (1)列举法 一一列举出来 • 把集合中的元素______________ 写在 大括号 内的方法. ________ • (2)描述法 属于一个集合 • 用确定的条件表示某些对象____________ , 大括号 内的方法. 并写在______
对(1,2),不是数 1,2.
[正解]
∴集合为{(1,2)}.
[ 规律总结 ]
以数或点为元素的集合分别叫作数集或点
集,这是我们研究的主要对象,因而研究集合必须搞清集合的 元素是什么. 本例做错的原因是不明白集合的代表元素(x, y)是一个点的
x=1 坐标,二元一次方程组的解只能用(x,y)或 y=2
5.集合的分类
来自百度文库
∅ 空集:不含任何元素,记作 按含有元素 有限集 :含有有限个元素 集合 非空集合:的个数分为 无限集 :含有无限个元素
• 1.下列各组对象中不能构成集合的是(
)
• A.《成才之路》教育集团的全体员工
• B.2014年全国经济百强县
• C.2015年考入北京大学的全体学生
• • • • • •
用适当的方法表示下列集合: (1){15的正因数}; (2)三角形的全体构成的集合; (3)A={(x,y)|x+y=4,x∈N+,y∈N+}; (4)满足不等式3x+1≤0的所有实数的集合. [解析] (1)15=1×3×5.故集合可表示为 {1,3,5,15}. • (2){x|x是三角形}或{三角形}. • (3){(1,3),(2,2),(3,1)}. • (4){x|3x+1≤0}.
来可用列举法;用描述法表示集合,关键是理解题 目中元素是什么,满足什么条件.解答(1)可联立方 程求解.解答(2)可先解方程,再按要求改写.(3)、 (4)可根据集合中元素性质改写.
[规范解答]
y=x (1)由 y=2x-1
x=1 ,解得 y=1
.
故一次函数 y=x 与 y=2x-1 图像的交点组成的集合为 {(1,1)}. (2)方程 x(x2-1)=0 的实数根为 0,1,-1, 故其实数根组成的集合为{-1,0,1}. (3)根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x =5n+1,n∈N}. (4)注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标其中之一为 0,故 可表示为{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}.