数学分析报告3期末练习题三参考问题详解

10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案 1. 试求极限.4

2lim

)0,0(),(xy xy y x +-→

解

(,)(0,0)(,)lim

lim

x y x y →→=

(,)1

lim 4x y →== . 2. 试求极限 .)()cos(1lim

2

22

2

22)

0,0(),(y x y x e

y x y x ++-→

解 由

2222

22

2

22222222(,)(0,0)(,)(0,0)22sin

1cos()2lim lim ()4()2x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→+-++=•++

1

002=⨯= . 3. 试求极限.1

sin 1sin )(lim )0,0(),(y

x y x y x +→

解 由于

(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim ()sin sin lim (sin sin sin sin )x y x y x y x y x y x y x y →→+=+ ,

又 2

y x =,

所以

(,)(0,0)11lim

sin sin 0x y x x y →=，(,)(0,0)11lim sin sin 0

x y y x y →= ,

所以

(,)(0,0)11lim ()sin sin 0x y x y x y →+= .

4. 试讨论.lim 4

22

)0,0(),(y x xy y x +→

解 当点),(y x 沿直线x y =趋于原点时，

23

2424

000

lim lim 0x x y x xy x x y x x →→=→==++.

当点),(y x 沿抛物线线2

y x =趋于原点时，

2

2424440001lim lim 2y y x y xy y x y y y →→=→==++ .

因为二者不等，所以极限不存在.

5. 试求极限.1

1lim

2

2

22)

0,0(),(-+++→y x y x y x

解 由

22

(,)(,)(0,0)

lim

lim

x y x y →→=

=(,)(0,0)

lim 1)2

x y →= .

6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y

u x u ∂∂∂∂ 解 令,,xy w y x v =+=

则

u f v f w f f y x v x w x v w ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ u f v f w f f x

y v y w y v

w ∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,x

e y = 求.dx

dz

解 由

'

21()1()dz y xy dx xy =++

2221(1)()1()1x x x

x x e x e xe xe x e +=+=++. 8. 求抛物面 2

22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程。

解 由于

4,2x y

z x z y

==,

在)3,1,1(M 处 ,4)3,1,1(=x z 2)3,1,1(=y z ，

所以, 切平面方程为

4(1)2(1)3x y z -+-=-.

即 4230x y z +--=

法线方程为

113

421x y z ---==-. 9. 求5362),(2

2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.

解 由

001,

2,

(1,2)5

x y f ==--=

(,)46,(1,2)0x x f x y x y f =---= (,)23,

(1,2)0

y y f x y x y f =----=

(,)4,(1,2)4xx xx f x y f =-= (,)1,(1,2)1

xy xy f x y f =--=-

(,)2,

(1,2)2

yy yy f x y f =--=-.

得

22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.

10. 求函数)2(),(2

2y y x e y x f x

++=的极值. 解 由于

222222(2)(22)0x x x x f e x y y e e x y y =+++=+++=

22(1)0

x y f e y =+=

解得驻点)1,1(--，

222222(22),(22),2x x xx x xy x

yy f e x y y e f e y f e =++++=+=

2

2

(1,1)0,

(1,1)0,(1,1)2xx xy yy A f e B f C f e -=--=>=--==--=

2

20,0AC B A -=>>

所以 )1,1(--是极小值点, 极小值为 .2)1,1(2

--=--e f 11. 叙述隐函数的定义.

答: 设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯ 对于方程0),(=y x F , 若存在集合X I ⊂与Y J ⊂，使得对于任何I x ∈，恒有唯一确定的J y ∈，使得(,)x y 满足方程0),(=y x F ,则称由方程0),(=y x F 确定了一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数。一般可记为

)(x f y = .,J y I x ∈∈ 且成立恒等式

(,())0,.F x f x x I ≡∈

12. 叙述隐函数存在唯一性定理的容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:

（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为点的某一区域2

R D ⊂上连续;

（ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,

则在点0P 的某邻域D P U ⊂)(0，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间

),(00αα+-x x 的函数（隐函数）)(x f y =，使得

1º ()00y x f =,),(00αα+-∈x x x 时)())(,(0P U x f x ∈且()0)(,≡x f x F ；