12 2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

（4月24日上午 8:30—11:00）

第一试

一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合={1,2,310}M ，，

，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）

A. 8个

B. 7个

C. 6个

D. 5个

2

、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪

+≥⎨⎪≥⎪⎩

表示的平面区域的面积是（ ）

A.

B. C. 2

D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（ ）

A. 1+

B. 1

C. 1-

D. 1

4、从1,2,

,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A.

15 B. 110 C. 3

19 D. 138

5、,A B 是抛物线2

3y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）

A. 3

B.

4

C.

D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，

则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ）

A. π

B. 32

π

C.

D. 7、设函数3

2

()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3

()f a a =，3

()f b b =，则c 的值是（ ）

A. 16-

B.

4- C. 4 D. 16

8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>

的最小值为（ ）

A.

2 B. 3

C.

D.

A D

B

G M

二、填空题（每小题8分，共32分）

9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.

10、设,m n 均为正整数，且满足4

24m n =，则m 的最小值是_______________. 11、设()()f x g x 、分别是定义在

R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对

[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.

12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.

第二试

一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足

sin

cos

95

5tan 20cos sin 55

x y x y π

π

πππ+=-．

（1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x

=，求sin 22cos A B +的最大值．

二、（本题满分20

分）已知直线:4l y =+，动圆222

:(12)O x y r r +=<<，菱形

ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱

形ABCD 的面积S 的取值范围．

三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：

PQ QR =．

A

B

P

O

Q

R

1O 2

O ⋅⋅

⋅

四、（本题满分30分）设函数1

()ln (1),f x x a a R x

=+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设

[][][][]123n n S a a a a =+++

+，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．

五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：

≥．