12 2016陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

2016年各省高中数学联赛预选赛试题及详解答案(最值部分)

2016年各省高中数学联赛预选赛试及详解答案（最值部分）1、为正数y x ，，且y x a y x +≤+，则a 的最小值为（2）解：∵0y x >, ∴y x y x +，，均为正数，所以0a >y x xy 21y x yx a y x a y x 22++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥⇔+≤+，而1xy 2xy 2y x xy 2=≤+，所以211a 2=+≥ ∴2a ≥2、设1x 0<<，b a ，大于零的常数，x1b x a 22-+则的最小值为（()2b a +）解：∵1x 0<< ∴0x 1>-，又b a ,大于零的常数由柯西不等式可知：()()2222b a x1x b a x 1b x a +=-++≥-+，当且仅当b a a x +=时，等号成立。

3、已知正实数b a ，满足36b a 9=+，则b1a 1+最小值时，=ab （27）解：∵0b a >,，由柯西不等式可知：()943616b a 913b 1a 99b 1a 12==++≥+=+，即当且仅当b 1a 93=，代入36b a 9=+计算，得⎩⎨⎧==9b 3a 时，等号成立。

∴2793ab =⨯=4、若正数y x ，满足xy 5y 3x =+，则y 4x 3+的最小值为（5）解：∵0y x >, ∴xy 为正数∴5x39y 445x 3y 15xy y 3xy x xy 5y 3x =+⇔=+⇔=+⇔=+ 由柯西不等式可知：()5y 4x 3x3y 432x 39y 4452≥+⇔++≥+=当且仅当x 33y 42=，代入xy 5y 3x =+计算，得⎪⎩⎪⎨⎧==21y 1x 时，等号成立。

5、 z y x ，，为正数时，222z y x yz xz 4+++的最大值为（217）。

解：思路：如果分母的最小值可以化为类似常数项×()yz xz 4+的形式，那么最大值就为此常数项的倒数。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于（）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是（） A ．2log xB ．2log x -C ．2x -D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为（）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为（）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是 14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数（1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案

2016年全国高中数学联赛陕西省预赛试题及答案一、选择题（每小题6分，共48分）1.已知集合{}1,2,3,10M = ，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（）A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个答案：C ．解：元素和为8的子集A 有：{}{}{}{}{}{}8,1,7,2,6,3,5,1,2,5,1,3,4，共6个．2.在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（）A．2BC ．2 D．答案：B ．解：不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），其中三个顶点的坐标分别是()()(2,0,0,0,.A O B -易知，△AOB的面积122S =⨯= 3.设,,a b c是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥ ，则()()c a c b -⋅- 的最大值是（）A．1 B．1 CD ．1 答案：A ．解：方法1：因为,1a b a b c ⊥===，所有0,a b a b ⋅=+=设向量c 与a b +的夹角为θ，则()()()22cos 11c a c b c c a b a bc c a b θθ-⋅-=-⋅++⋅=-⋅+=≤当且仅当cos 1θ=-，即θπ=时，等号成立．故()()c a c b -⋅-的最大值为1+方法2：依题意，不妨设()()()1,0,0,1,cos ,sin a b c θθ===，则()()()()()22cos 1cos sin sin 1cos sin cos sin 1.4c a c b θθθθπθθθθθ-⋅-=-+-⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭故当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()()c a c b -⋅-取得最大值，最大值为1+4.从1,2,,20 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（） A ．15 B ．110 C ．319 D ．338答案：D ．解：从这20个数中任取3个数，不同的取法共有3201140C =种．若取出的3 个数,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，所以a 、c 同为奇数，或同为偶数，且a 、c 确定后，b 随之而定．故所求的概率为2210103203.38C C p C +== 5.,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则AB 等于（） A ．3 B ．4 C． D．答案：C ．解：方法1：因为点A 、B 关于直线0x y +=对称，所以 1.AB k =设直线AB 的方程为y x b =+，代入23y x =-，得230.x x b ++-=……①由()1430b ∆=-->，得13.4b <设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，则1201.22x x x +==-从而，001.2y x b b =+=-又点11,22M b ⎛⎫--⎪⎝⎭在直线0x y +=上，所以110,22b -+-=即 1.b = 将1b =代入①，得220x x +-=．解得122, 1.x x =-= 所以()()2,1,1,2.A B --故AB =6.如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，M 是线段AG 的中点，则四棱锥M -BCD 的外接球的表面积为（） A ．π B ．32π CD解：如图，连结BG ．因为G 为正△BCD 的重心，所以AG ⊥平面BCD ，从而而.AG BG ⊥在Rt △AGB中，21,3AB BG ===AG ==于是，12MG AG ==在Rt △MGB 中，2MB =从而2MC MB ==所以22221.MB MC BC +==所以 .MB MC ⊥同理,.MC MD MD MB ⊥⊥所以三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以DAMDGBMB、MC、BD为棱的正方体的对角线的长．设三棱锥M-BCD的外接球半径为R，则2R B==故外接球的表面积234.2S Rππ==7.设函数()32f x x ax bx c=+++（,,a b c均为非零整数）．若()()33,f a a f b b==，则c的值是（）A．16-B．4-C．16答案：D．解：设()()32g x f x x ax bx c=-=++，则由()()33,f a a f b b==，得()()0.g a g b==所以a、b为方程()0g x=的两个根，则,.b ca b aba a+=-=消去b，得()()42111.11ac a aa a=-=-+--++因为c为整数，所以11a+=±，即0a=（舍去）或2a=-．故16.c=8.设非负实数,,a b c满足0ab bc ca a b c++=++>，则的最小值为（）A．2B．3CD．答案：A．解：不妨设a b c≥≥，由均值不等式，得()(((((((()2a b ca b b c c aa b b c c aab bc ca++=+++≥+++≥++当且仅当0c=且a b=时，等号成立．又0ab bc ca a b c++=++>2.≥由0,,c a b ab bc ca a b c==++=++，得2,0.a b c===故当a、b、c中有两个为2，一个为02.二、填空题（每小题8分，共32分）9.设数列{}n a中，4111,9a a==，且任意连续三项的和都是15，则2016a=．答案：5．解：依题意，对任意n N+∈，1212315.n n n n n na a a a a a+++++++=++=所以，3.n n a a +=从而，142113121,9,15 5.a a a a a a a =====--= 故201636723 5.a a a ⨯===10.设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是．答案：54.解：由432423n m m ==⨯⨯，得m 的最小值为32354.⨯=11.设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[]1,2x ∈，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．答案：17,.6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭解：因为()()2.xf xg x += ①所以()()2,xf xg x --+-=即()()2.xf xg x --+= ②由①、②得()()2222,.22x x x xg x h x ---+== 由()()20af x g x +≥，得()2222220.x xx x a ---++≥ ③ 令22x xt -=-，则由[]1,2x ∈，得315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且22222 2.x x t -+=+ 所以由③得2a t t -≤+对315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立．因为函数2t t +在315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当32t =时，min 217.6t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以176a -≤，即17.6a ≥- 12.设x R ∈，则函数()21324354f x x x x x =-+-+-+-的最小值为．答案：1．解：()12342345234514243234253541424232535414223 1.5253f x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-+-⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥---+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+-=当且仅当142430,0,025354x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤--≤-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即34x =时，等号成立．故()min 3 1.4f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan .20cos sin 55x y x y πππππ+=-（1）求y x的值；（2）在△ABC 中，若tan yC x =，求sin 22cos A B +的最大值．解：（1）由已知得tan 95tan .201tan 5y x y x πππ+=- 令tan yxθ=，则tantan 95tan201tan tan5πθππθ+=-，即9tan tan .520ππθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以9520k ππθπ+=+，即().4k k Z πθπ=+∈ 故tan tan tan 1.44y k x ππθπ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭ （2）由（1）得tan 1.C = 因为0C π<<，所以4C π=．从而，4A B π3+=，则322.2A B π=-所以223sin 22cos sin 22cos 2cos 22cos 2cos 2cos 1132cos .22A B B BB B B B B π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭=-+=-++⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值3.2二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆()222:12O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为60 ，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 面积S 的取值范围．解：因为菱形ABCD 有一个角为60，所以 △ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设△ACD 为等边三角形，如图所示．因为圆心O 到直线l 的距离为2r >，所以直线l 与圆相离．设直线CD的方程为y b +，则直线l 与CD 的距离为4.2d d -=又圆心O 到直线CD 的距离为2b，所以CD =由d =，得42b -=化简得22243.b b r -+=因为12r <<，所以232412.b b <-+<解得21b -<<，或1 4.r <<又)22222224.46ACDS S d b ∆===⨯=-因为函数)246S b =-在()2,1-和()1,4上分别单调递减，所以菱形ABCD 的面积S 的取值范围为.⎛ ⎝三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与△PAB 的外接圆O 交于另一点R ．求证：.PQ QR =证法1：如图，连结12O O ，分别交PQ 、PO 于点M 、N ，则12OO PQ ⊥，且M 为PQ 的中点．连结1PO 、2PO 、1OO 、2OO 、OQ 、OR ．因为PA 与圆2O 相切，所以2.PA PO ⊥ 又PA 为圆1O 与圆O 的公切线，所以1.PA O O ⊥ 所以21//.PO OO 同理，12//.PO O O所以四边形12PO OO 为平行四边形．从而，N 为PO 的中点．又M 为PQ 的中点，所以//MN OQ ，即12//.OO OQ 因为12OO PQ ⊥，所以OQ PQ ⊥，即.OQ PR ⊥ 又OP OR =，故Q 为PR 的中点，即.PQ QR =证法2：如图，连结AQ 、BQ 、AR 、BR ．因为PA 与圆2O 相切，PB 与圆1O 相切，所以,.APQ PBQ PAQ BPQ ∠=∠∠=∠ 所以△PAQ ∽△BPQ ，所以,PQ AQBQ PQ=即2.PQ AQ BQ =⋅ 又,AQR APQ PAQ APQ BPQ APB ∠=∠+∠=∠+∠=∠,QRA PRA PBA ∠=∠=∠所以△QAR ∽△.PAB同理，△QRB ∽△.PAB 所以△QQR ∽△.QRB所以QR QAQB QR=，即2.QR QA QB =⋅ 故22PQ QR =，即.PQ QR =四、（本题满分30分）设函数()1ln 1,f x x a a R x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭，且()f x 的最小值为0．（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足()()111,2n n a a f a n N ++==+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++ ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求.n S解：（1）()221,0.a x af x x x x x-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增，无最小值，不合题意．当0a >时，若0x a <<，则()0f x '<；若x a >，则()0f x '>．所以函数()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．所以()()min ln 1.f x f a a a ==-+设()()ln 10g a a a a =-+>，则()111.a g a a a-'=-= 若01a <<，则()0g a '>；若1a >，则()0g a '<．所以函数()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以()()10g a g ≤=，当且仅当1a =时，等号成立．图当1a =时，()f x 取得最小值0.（2）由（1）知，()1ln 1f x x x =+-，所以()112ln 1.n n n na f a a a +=+=++由11a =得，2 2.a =从而，33ln 2.2a =+因为1ln 212<<，所以32 3.a << 下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，2 3.n a <<（Ⅰ）当3n =时，结论已成立．（Ⅱ）假设当()3n k k =≥时，23k a <<．那么，当1n k =+时，有11ln 1k k ka a a +=++ 由（1）知，()()12ln 1h x f x x x=+=++在()2,3上单调递增．所以()()()23k h h a h <<，即()31ln 2ln 3 1.23k h a +<<++ 因为15ln 2,ln 323><，所以()23k h a <<，即12 3.k a +<< 即当1n k =+时，结论也成立．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，对一切整数3n ≥，都有2 3.n a <<所以[][]()11,22.n a a n ==≥故[][][][]()1231212 1.n n S a a a a n n =++++=+-=-五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：++≥证法1：不妨设a b c≤≤，则≤≤由切比雪夫不等式，得1.3a b c++=≤又由幂平均不等式，得≤=所以.a b c++≤所以.a b c++≤≥=由已知及均值不等式，得 3.a b c++≥=≥证法2：令A a b c=++，则0,,1a b cAA A<<，由幂级数展开式，得2121,a aA Aαα⎡⎤⎛⎫===+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中，1111121,1,2,.!kkn n n nkkα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==2121,b bA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121.c cA Aαα⎡⎤⎛⎫==+⋅+⋅+⎥⎪⎝⎭⎥⎦所以()()212223122122333311133a b c a b ca b cA Aa b c a b ca b cA Aαααααα⎤++++=+++⋅+⋅+⎥⎦⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥≥+++⋅+⋅+⎥⎥⎣⎦⎫=+⋅+⋅+⎪⎭==≥=注1：切比雪夫不等式设1212,,,,,,,n nx x x y y y为任意两组实数，若12nx x x≤≤≤且12ny y y≤≤≤或12nx x x≥≥≥且12ny y y≥≥≥，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（*）若12nx x x≤≤≤且12ny y y≥≥≥或12nx x x≥≥≥且12ny y y≤≤≤，则111111n n ni i i ii i ix y x yn n n===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（**）当且仅当12nx x x===或12ny y y===时，（*）和（**）中的等号成立．注2：幂平均不等式若αβ>，且0,0αβ≠≠，0,1,2,,ix i n>= ，则11.n ni ii ix xn nαβαβ11==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑。

(2021年整理)2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷含答案

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F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间:2016年3月4日下午3：00—5：00）班级:: 姓名：成绩:考生注意:1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（）A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上,BE 、CD 相交于点F ,设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为( ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ,c ，d ,有序实数对（a ,b ）与（c ，d )之间的运算“*"定义为： ()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，。

2016年全国高中数学联赛陕西预赛试题

2021年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题〔4月24日上午 8:30—11:00〕第一试一、选择题〔每题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，那么满足条件的子集A 共有〔〕A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是〔〕A. 2B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，那么()()c a c b -⋅-的最大值是〔〕A. 1+B. 1C.1 D. 1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，那么这3个数构成等差数列的概率为〔〕 A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，那么||AB 等于〔〕A. 3B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，那么三棱锥M BCD -的外接球的外表积为〔〕A. πB.32π C. D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++〔,,a b c 均为非零整数〕. 假设3()f a a =，3()f b b =，那么c 的值是〔〕 A. 16- B. 4- C. 4 D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，〔〕A. 2B. 3C.D.二、填空题〔每题8分，共32分〕9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，那么A C D B GM2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，那么m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，假设对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，那么实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，那么函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、〔此题总分值20分〕设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-．〔1〕求y x的值；〔2〕在ABC ∆中，假设，求sin 22cos A B +的最大值．二、〔此题总分值20分〕直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、〔此题总分值20分〕如图，圆1O 及圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 及圆2O 相切，圆2O 的弦PB 及圆1O 相切，直线PQ 及PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、〔此题总分值30分〕设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0，〔1〕求a 的值；〔2〕数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、〔此题总分值30分〕设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥．。

2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)

之和为 A．6858．【答】B.
3
（ B．6860．
3 2
）
C．9260．
2
D．9262．
注意到 (2k 1) (2k 1) 2(12k 1) ，由 2(12k 1) 2016 得 | k | 10 . 取 k ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，即得所有的不超过 2016 的“和谐数” ，它们的和为
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
2．三种图书的单价分别为 10 元、15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案共有（） A．9 种． B．10 种． C．11 种． D．12 种．【答】C. 设购买三种图书的数量分别为 a, b, c ，则 a b c 30 ，10a 15b 20c 500 ，易得 b 20 2a ，
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以
AH AM ，又 CD 1 ，所以 CD CM来自AH AM CM
①
设 AM x ，则 CM 5 x . 在 Rt△ ABM 中，可得 AH
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．

陕西省第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案

故
f
( y)
=
a3b 3
1 (3y2
−
y3 6
)
+
C1 y
+
C2
.
……………… 4 分
五、(本题满分 12 分) 计算 I =
3y
−
x
dx
−
5zdz
，曲线
:
x2
x2
+ +
y2 y2
+ z2 = = 2z
8
，从
z
轴
正向往坐标原点看去取逆时针方向.
【解】
曲线
也可表示为
z x
= 2， 2 + y2
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
I= − 4
+ 0
F ( x) F ( x)dx
=
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
y2
2
1
+
x y
=
x + yy x2 + y2
，即 (x + y)y =
y−x，
所以 f (1) = 0 ，曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y =1.

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛及解析

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合,10}，A为M的子集，且子集A中各元素的和为8.则满足条件的子集A共有（）个.A. 8B. 7C. 6D. 52.在平面直角坐标系中，不等式组{√3x−y≤0,x−√3y+2≥0,y≥0表示的平面区域的面积是A. √32B. √3C. 2D. 2√33.设a、b、c为同一平面内的三个单位向量，且a⊥b.则(c-a)•(c-b)的最大值为（）.A. 1+√2B. 1-√2C. √2-1D. 14.从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A. 319B. 119C. 338D. 1385.已知A、B为抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点.则|AB|等于（）.A. 3B. 4C. 3√2D. 4√26.设函数f(x)=x3+ax2+6x+c(a、b、c均为非零整数).若f(a)=a3，f(b)=b3，则c的值为（）.A. -16B. -4C. 4D. 167.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为△BCD的重心，M为线段AG的中点.则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为（）.A. πB. 3π2C. √6π4D. √6π88.设非负实数a 、b 、c 满足ab +be +ca =a +b +c >0.则√ab +√bc +√ca 的最小值为（）. A. 2 B. 3 C. √3 D. 2√2第II 卷（非选择题）二、填空题9.在数列n 4=1，a 11=9，且任意连续三项的和均为15.则a 2016=________. 10.设m 、n 均为正整数，且满足24m =n 4.则m 的最小值为________.11.设函数f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f(x)+g(x)=2x ，若对x∈[1,2]，不等式af(x)+g(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围是__________．12.设a ∈R .则函数f (x )=|2x -1|+|3x -2|+|4x -3|+|5x -4|的最小值为_______. 三、解答题13.设x y 、均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-.（Ⅰ）求yx的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，若tan yC x=，求sin 22cos A B +的最大值. 14.已知直线l ：y =√3x +4，动圆⊙O ：x 2+y 2=r 2(1<r <2)，菱形ABCD 的一个内角为60°，顶点A 、B 在直线l 上，顶点C 、D 在⊙O 上.当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围. 15.如图，⊙O 1与⊙O 2交于P 、Q 两点，⊙A 的弦以与⊙O 2相切，⊙O 2的弦PB 与⊙O 1相切，直线PQ 与△P AB 的外接圆⊙O 交于另一点R .证明：PQ =QR .16.设函数f(x)=lnx +a(1x−1)（a ∈R ），且f (x )的最小值为0.（1）求a 的值；（2）若数列{a n }满足a 1=1，a n +l =f (a n )+2(n ∈Z +)，记S n =[a 1]+[a 2]+…+[a n ]，[m ]表示不超过实数m 的最大整数，求S n .17.记“∑”表示轮换对称和.设a 、b 、c 为正实数，且满足abc =1.对任意整数n ≥2，证明：∑√b+cn≥2n.参考答案1.C【解析】1.注意到，元素和为8的子集A有｛8}、｛1，7｝、｛2，6｝、｛3，5｝、｛1，2，5｝、｛1，3，4｝，共6个.选C.2.B【解析】2.由不等式组绘制可行域如图所示，则A(−2,0),B(1,√3)，不等式组表示的平面区域的面积是S=12×2×√3=√3 .本题选择B选项.3.A【解析】3.由a⊥b，|a|=|b|=|c|=1，知a·b=0，|a+b|=√2.设向量c与a+b的夹角为θ.则 (c-a)·(c-b)=c2-c·(a+b)+a·b=|c|2-|c||a+b|cosθ=1-√2cosθ≤1+√2，当且仅当cosθ=-1，即0=π时，上式等号成立.故(c-a)·(c-b)的最大值为1+√2.选A.4.D【解析】4.从这20个数中任取三个数，可构成的数列共有A 203个. 若取出的三个数a 、b 、c 成等差数列，则a +c =2b . 故a 与c 的奇偶性相同，且a 、c 确定后，b 随之而定. 从而，所求概率为p =2A 102A 203=138. 选D.5.C【解析】5.因为点A 、B 关于直线x +y =0对称，所以，设点A (a ，b )，B (-b ，-a ). 又点A 、B 在抛物线y =3-x 2上，则{b =3−a 2，−a =3−b2⇒{a =−2，b =−1 或{a =1，b =2.不妨设点A (-2，-1)，B (1，2).则|AB |=3√2. 选C. 6.D【解析】6.设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒ g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba ，ab =ca⇒ c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D. 7.B【解析】7.因为G 为正△BCD 的重心，所以，AG ⊥平面BCD ⇒AG ⊥BG . 在Rt △AGB 中， AB =1，BG =23×√32=√33⇒AG =√AB 2−BG 2=√63⇒MG = 12AG =√66. 在Rt △MGB 中，MB =√MG 1+BG2=√22⇒MC =MB =√22.则MB 2+MC 2=12=BC 2⇒MB ⊥MC .类似地⊥Ml )，MD ⊥MB .于是，三棱锥M -BCD 的外接球的直径等于以MB 、MC 、MD 为棱的正方体的体对角线长. 设三棱锥M -BCD 的外接球半径为R . 则2R =√3MB =√62.故外接球的表面积S =4πR 2=3π2. 选B. 8.A【解析】8.不妨设a ≥b ≥c .由均值不等式得(a+b +c)(√ab +√bc +√ca)≥(a +b)√ab +(b +c)√bc +(c +a)√ca ≥2√ab √ab +2√bc √bc +2√ca √ca =2(ab +bc +ca)，当且仅当c =0且a =b 时，上式等号成立.又ab +bc +ca =a +b +c >0，则√ab +√bc +√ca ≥2. 由c =0，a =b ，ab +bc +ca =a +b +c ，得a =b =2.故当a 、b 、c 中有两个为2、一个为0时，√ab +√bc +√ca 取得最小值为2. 选A. 9.5【解析】9.依题意，对任意n ∈Z +，有a n +a n +1+a n +2=a n +1+a n +2+a n +3=15⇒a n +3=a n . 则a 1=a 4=1，a 2=a 11=9，a 3=15-a 1-a 2=5. 故a 2016=a 3×672=a 3=5. 10.54【解析】10.由n 4=24m =23×3m ，知m min =2×33=54. 11.[−176，+∞)【解析】11. 由f (x )+g (x )=2x ①⇒ f (-x )+g (-x )=2-x⇒-f (x )+g (x )=2-x . ②由式①、②得，g (x )=2x +2−x 2 ，f (x )=2x −2−x2.由af (x )+g (2x )≥0⇒a (2x -2-x )+22x +2-2x ≥0. ③令t =2x -2 –x ，由x [1，2]，得t ∈[32，154] ，且22x +2-2x =t 2+2.则对t ∈[32，154]由式③得−a ≤t +2t.因为函数t +2t在区间[32，154]内单调递增，所以t =√32时，(t +2t)min=176. 故−a ≤176，即a ≥−176.12.1【解析】12. 注意到，f(x)=2|x −12|+3|x −23|+4|x −34|+5|x −25|=2(|x −1|+|x −4|)+3(|x −2|+|x −4|+4|x −3|)≥2|(x −12)−(x −45)|+3|(x −23)−(x −45)| =2|45−12|+3|45−23|=1当且仅当(x −12)(x −45)≤0，(x −23)(x −45)≤0，x −34=0，即x =34时，等号成立. 故f （x ）min=f(34)=113.（Ⅰ）1；（Ⅱ）23.【解析】13.（Ⅰ）先对已知条件左右两边同除以x ，得到tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，再令tan y x θ=，即可得到9tan()tan520ππθ+=，从而得到θ的表达式，进而可求出yx的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出C 的值，从而可得到)(B A +的值，用B 表示A ，代入到sin 22cos A B +中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析：（Ⅰ）由已知得tan95tan 201tan 5yx y x πππ+=-，令θtan =xy ，则tan tan 95tan201tan tan 5πθππθ+=-，即9tan()tan 520ππθ+= 所以9520k ππθπ+=+，即()4k k Z πθπ=+∈. 故tan tan()14y k x πθπ==+=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得tan 1C =，因为0C π<<，所以4C π=，从而34A B π+=，则3222A Bπ=-.所以3sin 22cos sin(2)2cos 2A B B Bπ+=-+2cos 22cos 2cos 2cos 1B B B B =-+=-++2132(cos )22B =--+故当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +取得最大值为32. 14.(0，3√32)∪(2√32，6√3)【解析】14.因为菱形ABCD 有一个内角为60°，所以，△ACD 或△BCD 为等边三角形，不妨设为等边三角形，如图3.因为圆心O 到直线l 的距离为2>r ，所以，直线l 与⊙O 相离. 设l CD :y =√3x -b .则直线l 与CD 的距离d =|b−4|2.又圆心O 到直线CD 的距离为|b|2，故|CD|=2√r 2−(|b|2)2=√4r 2−b 2.由d=√32|CD|⇒|b−4|2=√32√4r 2−b 2⇒b 2−2b +4=3r 2.因为1<r <2，所以，3<b 2-2b +4<12⇒-2<b <1或1<b <4. 又S=2S ΔACD =2×√34|CD|2=2×√34(√3)2d 2=√36(b −4)2，而函数S 在区间(-2，1)、区间(1，4)内分别单调递减，故菱形ABCD 的面积S 的取值范围是(0，3√32)∪(2√32，6√3).15.见解析【解析】15.联结O 1O 2，分别与PQ 、PO 交于点M 、N ，则O 1O 2⊥PQ ，且M 为PQ 的中点.联结PO 1、PO 2、OO l 、OO 2、OQ 、OR . 因为P A 与⊙O 2相切，所以，P A ⊥PO 2. 又P A 为⊙O 1与⊙O 的公共弦，则P A ⊥O 1O . 于是，PO 2∥O 1O . 类似地，PO 1∥O 2O .所以，四边形PO 1OO 2为平行四边形. 从而，N 为PO 的中点.由M 为PQ 的中点，知MN ∥OQ ，即O 1O 2∥OQ . 因为O 1O 2⊥OQ ，所以，OQ ⊥PR .又OP =OR ，故Q 为PR 的中点，即PQ =QR . 16.(1) 当a =1时，f (x )取得最小值0. (2) S n =2n -1【解析】16. （1）f ′(x)=1x −a 2=x−a 2(x >0).当a ≤0时，f ′(x)>0，则f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，无最小值，不符合题意. 当a >0时，若0<x <a ，则f ′(x)<0；若x >a ，则f ′(x)>0.所以，函数f (x )在区间(0，a )内单调递减，在区间(a ，+∞)内单调递增. 故f (x )min =f (a )=ln a -a +1.设g (a )=ln a -a +1(a >0).则g ′(a)=1a −1=1−aa . 若0<a <1，则g ′(a)>0；若a >1，则g ′(a)<0.所以，函数g (a )在区间(0，1)内单调递增，在区间(1，+∞)内单调递减. 故g (a )≤g （1）=0.当且仅当a =1时，上式等号成立. 从而，当a =1时，f (x )取得最小值0. （2）由（1）知f(x)=lnx +1x−1.则a n +1=f (a n )+2=lna n +1a n+1.由a 1=1，得a 2=2. 从而，a 3=ln 2+32.因为12<ln 2<1，所以，2<a 3<3.下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，2<a n <3. 当n =3时，结论已成立. 假设n =k (k ≥3)时，2<a k <3. 当n =k +1时，有a k+1=lna k +1a k+1.由（1）知 h (x )=f (x )+2=lnx +1x+1 在区间(2，3)内单调递增. 所以，h （2）<h (a k )<h （3），即ln2+32<ℎ(a k )<ln3+13+1.由ln 2>12，ln 3<53⇒2<h (a k )<3⇒2<a k +1<3，即当n =k +1时，结论也成立.由归纳假设，知对一切整数n ≥3，均有2<a n <3. 于是，[a 1]=1，[a n ]=2(n ≥2).故S n =[ a 1]+[a 2]+…+[a n ] =1+2(n -1)-2n -1. 17.见解析【解析】17.不妨设a ≤b ≤c .则√b +c n ≥√c +b n ≥√a +b n ，b+c n ≤√c+a n ≤a+bn . 由切比雪夫不等式得∑a =∑(√b +c n ·√b+c n)≤13(∑√b +c n )(∑√b+c n ). 又由幂平均不等式得13∑√b +c n ≤√13∑(b +c)n =√23∑a n . 故∑a ≤√23∑a n (∑√b+c n ) ⇒√b+c n≥√23∑a n =√32(∑a)n−1n 由已知及均值不等式得∑a≥3√abc 3=3. 故√b+c n ≥√2n .。

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷

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五, (本题满分 30 分) 设 ��, ��, �� 为正实数, 且满足 �� = 1, 对任意整数 �� ≥ 2, 证明: �� + �� + �� ≥ 3 . √�� + �� √�� + �� √�� + �� √�� 2
A. ��
B.
3 2
��
C.
√6 4
��
D.
√6 8
��
7. 设函数 �� (��) = ��3 + ��2 + �� + ��(��, ��, �� 均为非零整数). 若 �� (��) = ��3, �� (��) = ��3, 则 �� 的值是 ( ).
均为非零实数,
且满足
��
sin
�� 5
��
cos
�� 5
+ �� cos − �� sin
�� 5 �� 5
=
t
an
9�� 20
(1)
求
��
的值;
(2)
在
△��
中,
若
tan ��
A. 2

陕西数学奥赛真题答案解析

陕西数学奥赛真题答案解析在数学领域里，陕西省一直是一个有着辉煌历史的地区。

每年，陕西省都会举办数学奥林匹克竞赛，吸引了许多优秀的中小学生参与。

在这项竞赛中，学生们需要通过解答各种难题来展示自己的数学能力。

为了能更好地理解真题的解答方法，让我们来分析一些陕西数学奥赛的真题。

首先，我们来看一道概率题。

题目如下：某商店每天有1位男客人和2位女客人光顾。

某天，我们随机选取了一个顾客，请问他是男客人的概率是多少？解答：在这个题目中，我们可以使用条件概率的概念来解答。

设事件A为选中的顾客是男客人，事件B为所选顾客为男客人的情况下其它两位客人都是女客人。

那么，我们需要求解的概率就是事件A发生的概率。

根据条件概率的定义，我们可以得到以下公式：P(A) =P(A|B) * P(B)。

根据题目的条件，我们可以知道P(A|B) = 1，因为事件B发生，那么选中的顾客一定是男客人。

又因为一共有3位顾客，其中1位是男客人，所以P(B) = 1/3。

将这些值代入公式，我们可以得到P(A) = 1/3。

所以，被选中的顾客是男客人的概率为1/3。

接下来，我们考虑一道几何问题。

题目如下：在一个正方形的内部，有一个边长为a的正方形，如果将两个正方形的边平行地旋转，使得两个正方形的其中一个顶点在另一个正方形的边上，求旋转的过程中两个正方形的面积之比。

解答：首先我们假设较小的正方形是A，较大的正方形是B，边长为a的正方形的面积是S。

我们可以通过旋转来改变正方形A的位置，使得其一个顶点与正方形B的边相交。

设旋转的角度为θ。

根据题意的旋转，我们可以知道，随着旋转角度的增大，正方形A的边与正方形B的边发生交点（即边与边共线），直到旋转角度为90度。

在这个过程中，正方形A和正方形B的共有部分面积是一个与旋转角度θ有关的函数。

我们设这个函数为f(θ)。

当θ为0度时，正方形A和正方形B没有重叠部分，所以f(0) = 0。

当θ为90度时，正方形A完全在正方形B内部，所以f(90) = S。

2016陕西中学考试数学精彩试题及问题详解

2016年陕西中考一、选择1、计算：=⨯-2)21(（）A -1B 1C 4D -42、如图，下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成，则它的左视图是（）3、下列计算正确的是（）A 42243x x x =+B y x x y x 63222=⋅C 2232)3()6(x x y x =÷D 229)3(x x =-4、如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E 。

若∠C ＝50°，则∠AED＝（）A 65°B 115°C 125°D 130°5、设点A （a ，b ）是正比例函数x y 23-=图像上的任意一点，则下列等式一定成立的是（）A 032=+b aB 032=-b aC 023=-b aD 023=+b a6、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（）A 7B 8C 9D 107、已知一次函数5+=kx y 和7'+=x k y 。

假设k ＞0且k ’＜0，则这两个一次函数图像的交点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限8、如图，在正方形ABCD 中，连接BD ，点O 是 BD 的中点，若M 、N 是边AD 上的两点，连接MO 、NO ，并分别延长交边BC 于两点M ’、N ’，则图中的全等三角形共有（）A 2对B 3对C 4对D 5对9、如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（） A 33 B 34 C 35 D 3610、已知抛物线322+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为（）A 21B 55 C 552 D 2 二、填空 11、不等式0321<+-x 的解集是_________ 12、二选一A 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是______B 运用科学计算器计算：≈︒'5273sin 173______（结果精确到0.1）13、已知一次函数42+=x y 的图像分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，若这个一次函数的图像与一个反比例函数的图像在第一象限交于点C ，且AB ＝2BC ，则这个反比例函数的表达式为_____________。

陕西省奥数竞赛试题

陕西省奥数竞赛试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个整数能被4整除，那么它的最后两位数之和也能被4整除。

这个说法是：A. 正确B. 错误2. 一个圆的半径增加1厘米，其面积增加的值是：A. πB. 2πC. 4πD. 6π3. 以下哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 9D. 74. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项5. 一个等差数列的前三项分别为3, 5, 7，那么第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 23二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，其体积是________厘米³。

7. 如果一个数的平方减去这个数等于5，那么这个数是________。

8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，其斜边长是________厘米。

9. 一个数列的前三项是2, 4, 8，如果这是一个等比数列，那么第四项是________。

10. 如果一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值不变，这个数是________。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，(1+1/n)^n的值总是大于2。

12. 一个圆内接正六边形的边长为a，求这个圆的半径。

13. 给定一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，这个数列的每一项都是前两项的和。

求第20项的值。

四、综合题（每题15分，共30分）14. 一个农场主有一块土地，他想将这块土地划分成若干个正方形区域，使得每个区域的面积都相等。

他发现，如果划分成边长为1米的正方形，他将有剩余的土地；如果划分成边长为2米的正方形，他将有剩余的土地；但是如果划分成边长为3米的正方形，土地刚好用完。

求这块土地的最小可能面积。

15. 一个班级有50名学生，老师想通过抽签的方式选出5名学生参加一个活动。

如果班级中的每个学生被选中的概率相等，求至少有两名学生生日在同一天的概率。

2016年陕西省高中数学竞赛试题及参考答案

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4月24日上午 8:30—11:00）第一试一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组303200x y x y y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（）A.32B. 3C. 2D. 233、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（）A. 12+B. 12-C. 21-D. 14、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（）A.15 B. 110 C. 319 D. 3385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（）A. 3B.4 C. 32 D. 426、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（） A. π B.32π C. 64π D. 68π 7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）.若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（）A. 16-B. 4-C. 4D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，则ab bc ca ++的最小值为（）A.2 B.3 C. 3 D. 22ACDBG M二、填空题（每小题8分，共32分）9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-．（1）求yx的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x =，求sin 22cos A B +的最大值．二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．ABPOQR1O 2O ⋅⋅⋅四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x=+-∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥参考答案：第一试一、CBAD CBDA二、（9）5；（10）54；（11）17[,)6-+∞；（12）1.第8题提示：法一：法二：第12题提示：1234()23452345f x x x x x=-+-+-+-，根据绝对值的几何意义，当34x=时，()f x最小．第二试一、（1）依题意有tan95tan 201tan 5y x y x πππ+=-，9tan tan205tan 1941tan tan 205y x πππππ-∴===+⋅．（2）tan 1C =，4C π∴=，34A B π+=，23sin 22cos sin(2)2cos cos 22cos 2cos 2cos 12A B B B B B B B π∴+=-+=-+=-++ 2132(cos )22B =--+，当1cos 2B =，即3B π=时，sin 22cos A B +的最大值为32．二、设直线CD方程方程为y b =+，则直线AB 与CD 间距离为42b -，60ABC ∠=，42sin 60b b BC --∴==，原点到直线CD的距离为2b，CD ∴==，由BCCD ==22324r b b =-+．12r <<，232412b b ∴<-+<，解得24b -<<且1b ≠．2444)263b b Sb --==-， S∴的取值范围为0S <<且S ≠三、提示:由APQBPQ ∆∆，得AQ APPQ PB=, （1）由ARQ ABP ∆∆，得AQ QRAP PB=，即AQ AP QR PB =，（2）由（1）、（2）两式，得AQ AQPQ QR=，PQ QR ∴=．四、（1）1a =．（2）11ln 1n n na a a +=++， ln 1x x ≤-，ln 1x x ∴-≥-，即1ln 1x x≥-， ∴当2n ≥时，1111112n n n a a a --≥-++=，下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，3n a <．设3k a <，1()ln 1f x x x=++在(2,3)上为单调增函数， 114ln 31ln 333k a +∴<++=+，易证4ln 333+<，13k a +∴<．∴当2n ≥时，[]2n a =，122221n S n =++++=-，11S =，∴当N n +∈时，21n S n =-．五、法一：法二：。

2016年全国初中数学联赛试题和参考答案(ABC卷)

第一试(A)
一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）把 x [ x] 称为 x 的小数部分.已知 t 1．用 [ x] 表示不超过 x 的最大整数，
1 ，a 是 t 的小数部分， 2 3
（）
b 是 t 的小数部分，则
A.
1 1 2b a
B.
1 ． 2
3 ． 2
C. 1 ．
D. 3 ．
【答】A. ∵t
1 2 3 ，而 3 2 3 4 ，∴ a t 3 3 1 . 2 3
又∵ t 2 3 ，而 4 2 3 3 ，∴ b t (4) 2 3 . ∴
1 1 1 1 2 3 3 1 1 . 2b a 2(2 3) 2 2 2 3 1
得m
3 3 ， n 2 3 .所以，点 C 的坐标为 ( , 2) . 2 2
2．在四边形 ABCD 中， BC // AD ， CA 平分 BCD ， O 为对角线的交点，． CD AO ， BC OD ，则 ABC ＝【答】 126 . 因为 BC // AD ， CA 平分 BCD ，所以 DAC ACB ACD ，所以 DA DC ，又 CD AO ，所以 AD AO ，所以 ADO AOD . 记 DAC ACB ACD ＝， ADO AOD .
A M D H B C
CD 1 ，对角线的交点为 M ，则 DM ＝
A.
（ D.
）
3 ． 2
B.
5 ． 3
C.
2 ． 2
1 ． 2
【答】D. 作 AH BD 于点 H ，易知△ AMH ∽△ CMD ，所以

全国高中数学联赛陕西赛区预赛

2013 年全国高中数学联赛陕西赛区初赛试题参照答案及评分标准第一试1. 设 A 、B 是两个非空的有限集，全集，且U中含有m个元素.若() () 中含有 n 个元素，则中所含元素的个数为______.解：.注意到， () ()=() ，由韦恩图知，中含有个元素.2. 已知△ ABC 的三个内角 A 、B 、 C 所对的边分别为a、 b、 c，且知足.则的值是 ______.解：.由题设及正弦定理，得故 =.3. 在直角坐标系中，已知三点. 若向量与在向量方向上的投影相同，则的值是 ______.解： 2.[方法 1]向量、在向量方向上的投影分别为.依题意得·=·，即.故.[方法 2]因为向量与在向量方向上的投影相同，因此AB⊥ OC，即·= 0.因此，即 3a –4b = 2 .4. 已知正三棱锥 P-ABC 的侧棱与底面所成的角为 45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解： .如图 1 ，设正三棱锥P-ABC 的底面边长为 a， E 为 AB 的中点，则∠ PCE为侧棱 PC与底面 ABC所成的角，即.P 过点 A 作 AF⊥ PC，垂足为 F，由对称性知， BF⊥ PC，故∠ AFB 为F侧面 PAC 与 PBC 所成的角 .在等腰直角△EFC 中，.因此.A CE在△ AFB 中， cos∠ AFB =.B图 15.已知三个互不相等的整数 x、y、z 之和介于 40 与 44 之间，若 x，y，z 依次组成公差为 d 的等差数列，依次组成公比为q 的等比数列，则 d q 的值是 ______.解： 42.由，得.又由，得，即.因为，因此.又，因此.因为 y 为整数，因此. 进而.因此.故 d· q = 42 .6 . 设点 P、Q 分别在直线和上运动，线段PQ的中点为，且.则的取值范围是______.解： [1，3) .[方法 1]设 P() 、Q()，则，，且.两式相加，得，即.因此，则.进而，在上单一递加 .故 1.[ 方法 2] 易知，点 M 在直线上 .又点 M 的坐标知足，因此点 M 在如图 2 所示的射线： y=3x-4 (x≥2)上，其中点.因为表示射线上的点与原点O 连线的斜率，因此.7.在一个圆上随机取三个点，按次连接成一个三角形，则该三角形为锐角三角形的概率是 ______ .解： .没关系设△ ABC 是半径为 1 的圆的任一内接三角形，∠A、∠ B 所对的弧长分别为 x、 y，则有，.这个不等式组表示如图 3 所示的△ POQ 地区（不含界线），其面积为.若△ ABC 为锐角三角形，则x、 y 知足，，.这个不等式组表示如图 3 所示的△ DEF 地区（不含界线），其中 D、 E、 F分别为 OP、 OQ、 PQ 的中点，其面积为.故所求概率为.8. 设，则M的个位数字为______.解： 1.y4M2M0o24x图 2yQ 2πEFo2πD P x图 3设 a、 b 为正整数，则的个位数字与的个位数字相同.进而，的个位数字与的个位数字相同3.因此的个位数字与的个位数字相同 3.又的个位数字与的个位数字相同8，故 M 的个位数字与的个位数字相同 1.9. 若随意，都有，的是 ______.解： .[方法 1]由知，随意，都有，其中，的系数，⋯ .因此，，，，解得，，，，..故.[方法2]在已知等式中，令，得.代入已知等式，化得.令，得.代入上式，化得.再令，得.用同的方法，得，.故.10.若______ .解： 4.(1)若存在正整数j，使得(⋯， 5，定)，.上式等号能够建立. 比方，取，，，，.(2)若随意正整数i，都有(⋯， 5，定)，要么且，要么或.若是且，有，，矛盾.因此，或.以上两种情况，都有.进而，.合 (1)、 (2)， M的最大 4.。