初中数学竞赛专题培训(13)：梯形
初中数学知识归纳梯形的性质与判定
初中数学知识归纳梯形的性质与判定梯形是初中数学中一个重要的几何图形，它的性质与判定常常出现在数学考试中。
本文将对梯形的性质与判定进行归纳总结，帮助初中生们更好地理解和运用梯形。
梯形的定义：梯形是一个有四边的几何图形，其中两边是平行线段，另外两边则不一定平行。
这两个平行线段被称为梯形的上底和下底，两个非平行的边被称为梯形的斜边。
梯形上底和下底之间的垂直距离被称为梯形的高。
梯形的性质与定理：1. 梯形的对角线相等：梯形的两条对角线分别连接了梯形的非相邻顶点，而这两条对角线相等。
证明：画出梯形的对角线，然后利用平行线和同位角的性质，可以证明两条对角线相等。
2. 梯形的底角和顶角互补：梯形的底角和顶角之和为180度。
证明：利用平行线和同位角的性质，可以证明底角和顶角之和为180度。
3. 等腰梯形的性质：如果一个梯形的两个腰（斜边）相等，那么这个梯形就是等腰梯形。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的两个腰相等。
4. 等腰梯形的底角相等：如果一个梯形是等腰梯形，那么这个梯形的底角相等。
证明：利用等腰三角形的性质，可以证明一个梯形的底角相等。
5. 直角梯形的性质：如果一个梯形的一个内角是直角，那么这个梯形就是直角梯形。
证明：利用直角三角形的性质，可以证明一个梯形的一个内角是直角。
梯形的判定方法：在做题时，我们有时需要通过给定条件来判定一个四边形是否是梯形。
常用的判定方法有以下几种：1. 如果一个四边形的两条对角线相等，并且底角和顶角之和为180度，那么这个四边形是梯形。
2. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一对对角线相等，那么这个四边形是梯形。
3. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边平分了另一条边，那么这个四边形是梯形。
4. 如果一个四边形的两条对边都平行，并且有一条边垂直于另一条边，那么这个四边形是梯形。
通过以上性质与判定方法，我们可以更加准确地判断和运用梯形。
在解决几何问题时，我们可以根据题目给出的条件，应用相关的性质与判定方法，灵活运用，得出正确的结论。
初中数学竞赛专题培训(13)：梯形
初中数学竞赛专题培训第十三讲梯形与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以ED∥BF．又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以EC=DF．①又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以EC=EB．②由①，②EB=DF．下面证明EB与DF不平行．若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB DF．根据定义，EBFD是等腰梯形．例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC 且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知∠C=45°，从而∠NDC=45°．在△NDC中，∠DNC=90°(=∠DNB)，所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又AD=BN，所以 AD=BF．例4 如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F ，(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF 与△BEF的高，所以AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD(或BC)，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知AG2=AB2-BG2=(AD+BC)2-(BC-AD)2=102-62=82，所以 AG=8，从而 AH=GH=4，所以S△ABE=S△AEF+S△BEF例5 如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．(1)求证：ADCF是等腰梯形；(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．分析欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．解 (1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以EA=ED．又 AC=DF，所以 EC=EF．所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明△ACD≌△DFA(SAS)，所以 AF=DC．若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．综上所述，ADCF是等腰梯形．(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF．①由于△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)，②AF=3(厘米)，③FC=AC-3，④将②，③，④代入①四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF=(AD+DC+AC)-3+3=16(厘米)．例6 如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．分析首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R 分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA 及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC 与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以又RP是△OAD的中位线，所以因为 AD=BC，③由①，②，③得PQ=QR=RP，即△PQR是正三角形．说明本题证明引人注目之处有二：(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质．(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀使△PQR的三边相等．练习十三1．如图2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度数．2．如图2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．3．如图2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．4．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：。
初中数学梯形学习技巧
初中数学梯形学习技巧
初中数学梯形学习技巧主要包括理解梯形的基本性质、掌握梯形的基本公式和灵活运用辅助线。
以下是一些具体的学习技巧：
1.理解梯形的基本性质：梯形是一组对边平行而另一组对边
不平行的四边形。
理解梯形的定义后，要进一步理解梯形的其他性质，如梯形的底、腰、高、中位线等。
2.掌握梯形的基本公式：掌握梯形的周长和面积公式，这是
解决梯形问题的基础。
梯形的周长公式为上底+下底+腰+腰，即L=a+b+c+d；梯形的面积公式为(上底+下底)×高
÷2，即S=(a+c)×h÷2。
同时，还要理解公式的变形，如高h=2S÷(a+c)，上底a=2s÷h-c，下底c=2s÷h-a等。
3.灵活运用辅助线：在解决梯形问题时，常常需要添加辅助
线来简化问题。
常用的辅助线有平移一腰、延长两腰、过梯形上底的两端点向下底作高、平移对角线、连接梯形一顶点及一腰的中点、过一腰的中点作另一腰的平行线等。
通过添加适当的辅助线，可以将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
4.多做练习：通过大量的练习，可以加深对梯形知识的理解
和记忆，提高解题能力。
在做练习时，要注意总结规律和方法，形成自己的解题思路。
5.建立知识网络：将梯形知识与其他数学知识联系起来，形
成完整的知识网络。
例如，可以将梯形与三角形、平行四边形等知识点进行比较和联系，加深对各种图形性质的理解。
总之，初中数学梯形学习需要注重基础知识的掌握和灵活运用辅助线的能力培养。
通过多做练习和总结规律，可以逐渐提高解题能力。
(完整版)梯形全章知识点总结
(完整版)梯形全章知识点总结
一、梯形的定义
梯形是指一个四边形，其中有两边是平行的。
梯形的两边平行的那一对叫做梯形的底边，与底边不平行的两条边叫做梯形的腰。
梯形的两个非平行边的夹角叫做梯形的顶角。
二、梯形的性质
1. 梯形的底边平行。
2. 梯形的对角线互相平分。
3. 梯形的两个底角之和等于180度。
4. 梯形的两对角线交点与底边中点连线垂直。
三、梯形的面积计算
梯形的面积计算可以使用以下公式：面积 = (上底 + 下底) ×高÷ 2
四、梯形的应用领域
梯形在日常生活和实际应用中具有广泛的应用，包括但不限于以下方面：
1. 建筑设计：梯形形状常用于建筑物的屋顶、天窗等设计中。
2. 道路设计：交通标志、道路线划等常常使用梯形形状。
3. 数学教育：梯形是数学教育中的基础概念，涉及到几何学的知识点。
五、梯形的实际例子
1. 楼梯：楼梯的形状通常是梯形，其中的台阶就是梯形的腰。
2. 水坝：水坝的形状也常常是梯形，用于控制水流。
3. 野球场：野球场的内外场界限线常常使用梯形形状。
六、梯形的重要性
梯形作为一种基本的几何形状，在数学和实际生活中具有重要的意义。
掌握梯形的性质和计算方法可以帮助我们理解更复杂的几何概念，应用于实际问题的解决中。
以上是对梯形的全章知识点总结，希望对您有所帮助。
如有任何疑问，请随时提出。
中考数学几何考点详解之梯形
中考数学几何考点详解之梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一样地，梯形的分类如下：2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
6、梯形中位线定理我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
明白“是如此”,确实是讲不出“什么缘故”。
全然缘故依旧无“米”下“锅”。
因此便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就专门难写出像样的文章。
因此,词汇贫乏、内容空泛、千篇一律便成了中学生作文的通病。
初二理实班数学竞赛 梯形
梯 形【知识提要】1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2．等腰梯形的性质：等腰梯形在同一底上的两个内角相等；两条对角线相等。
3．等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例1 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，若∠B ＋∠C=90°AD=7，BC=15，则EF 的长是 。
例2 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 恰好平分∠BCD ，若AD=3，BC=4，则CD 的长是（ ）。
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8第11届（2000年）初二培训例3 用四条线段：a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是（ ）。
（A ）13.5 （B ）11.5 （C ）11 （D ）10.5第11届（2000年）初二第1试例4 如图3，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD ＋BC 的长的大小关系是（ ）。
（A ）AB>AD ＋BC （B ）AB=AD ＋BC （C ）AB<AB ＋BC （D ）无法确定第8届（1997年）初二第2试AB CDEF 图1A BCDE图2AＣＥＤ图3例5 在凸四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＋BC=CD ＋DA ，则（ ）。
（A ）AD>BC （B ）AD<BC（C ）AD=BC （D ）AD 与BC 的大小关系不能确定第13届（2002年）初二第1试例6 如图4，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD<BC,点O 平分BC 且OA=OB ，若CD=54，BD=58，那么BC= 。
中考数学 梯形专题讲解
中考数学 梯形专题【基础知识概述】一、梯形：1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 2．特殊梯形: (1)等腰梯形：两腰相等的梯形． (2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形． 3．等腰梯形的性质(1) 等腰梯形的两腰相等．(2) 等腰梯形在同一底上的两个角相等． (3) 等腰梯形的对角线相等． 3．等腰梯形的判定(1)定义：两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形．二、梯形中常用的辅助线的添法：三、多边形：1．多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形．2．多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)·180°． 3．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°． 4．多边形的对角线(1)从n 边形的一个顶点，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形． (2)n 边形共有2)3( n n 条对角线.四、中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
例1．（1）某多边形的内角和与外角和共1080°，则多边形的边数是___________.（2）________边形的内角和是外角和的2倍； _______边形的内角和与外角和相等． （3）n 边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是1∶3，n 边形的对角线有_____条．（1）作两高 （2）平移腰 （3）平移对角线 （4）延长两腰 中点 （6）构造全等三角中点 中点 （5）作中位线ABCD等腰梯形的常见辅助线的作法【法一：平移对角线，然后两条对角线和底构成一个等腰三角形】例2：已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD 的长.和梯形的面积变式：如图,等腰梯形中, ,,且 ,是高,是中位线,求证：．【法二：平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形】例3：如图,在梯形ABCD 中,.求证：.变式：如图，四边形ABCD 中，AB ‖CD ，B D ∠=∠2,若AD=a,AB=b,则CD 的长是 .A D BCBCD A【法三：遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构造全等三角形解决问题】例4：如图，E 是梯形ABCD 的腰AD 的中点，且AB+CD=BC ，试说明 1. BE 平分∠ABC. CE 平分∠BCD 2. CE ⊥BE 3. ABCD BCE S S 21变式：1.已知：如图,在梯形 中,是 的中点,且 .求证：.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，若△AEB 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ） A.S 25B.2SC.S 47D.S 49【法四：从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题】例5：如图，ABCD 是梯形，AB ∥DC,AB=5，BC=23，∠BCD=45°，∠CDA=60°，DC 的长度AD BC EA BCD1S 2SS 3BCDA 【法五：即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形】例6 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。
中考梯形知识点总结
中考梯形知识点总结一、定义梯形是指有两边平行的四边形。
其中，两个平行的边称为梯形的上底和下底，两个不平行的边称为梯形的斜边，两个斜边之间的夹角称为梯形的两个底角。
二、性质1. 梯形的对角线的交点形成一个四边形，且这个四边形的两条对角线相等。
2. 梯形的上底和下底的中点连线平行于斜边中点连线，且长度是斜边的一半。
3. 梯形的对角线长度满足勾股定理。
4. 梯形的每个底角的补角相等。
5. 梯形的上底和下底的长度之和等于两条平行边的平均值乘以高。
三、计算方法1. 梯形的面积计算公式为：$S = \frac{(a + b) \times h}{2}$，其中$a$为上底，$b$为下底，$h$为高。
2. 已知梯形的面积、上底和下底中的两个量，可以通过解一元二次方程求解第三个量。
3. 通过梯形的对角线长度和夹角的关系，可以求解梯形的面积。
四、相关定理1. 梯形的高与上底、下底和斜边的关系：梯形的高是平行于上底和下底的线段，且与两条底的距离相等。
2. 梯形的底角定理：梯形的两个底角相等。
3. 梯形的对角线定理：梯形的对角线长度之差等于上底和下底的长度之差，即$AC - BD =|a - b|$。
4. 相似梯形定理：如果两个梯形的对应角相等，则这两个梯形是相似的。
五、常见题型1. 求梯形的面积：根据已知条件，计算梯形的面积。
2. 求梯形的上底或下底：通过已知条件，解一元二次方程求解。
3. 求梯形的高：通过梯形的公式和已知条件，求解梯形的高。
4. 求解梯形的对角线长度：根据勾股定理，求解梯形的对角线长度。
5. 判定梯形的性质：根据已知条件，判断是否为梯形，或者是否为相似梯形。
总之，梯形作为几何图形的一个重要内容，在中考中占据着一定的比重。
学生需要熟练掌握梯形的定义、性质、计算方法和相关定理，并能够灵活运用到解决问题中。
只有通过平时的练习和复习，才能够在中考中取得好成绩。
中考数学专题《梯形》复习课件(共13张PPT)
A
D
B
C
1.梯形的定义及类型：
一组对边平行而 四边形 另一组对边不平行 梯形
2.等腰梯形的性质
(1)等腰梯形两底平行,两腰相等
A
AD∥BC, ABຫໍສະໝຸດ CD(2)等腰梯形同底上两角相等
∠A= ∠D, ∠B= ∠C
B
(3)等腰梯形对角线相等 AC=BD
(4)等腰梯形是轴对称图形
等腰梯形 直角梯形
D C
议一议:
A
D
A
D
B
EFC
BE
FC
如果将本题改为(1)已知下底、腰、高，求上底；
（2）已知上底、下底、腰，求高.你能解决这 个问题吗？说出你的思路.
例2.如图四边形ABCD是等腰梯形,AD=BC,AD=5,CD=2,AB=8, 求梯形ABCD的面积
D
C
A
D
A
EF
BE
BF
C
例3.已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC⊥BD,AD=3cm, BC=7cm. 求梯形的面积.
的面积S.
A
D
O
B
C
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
初中数学竞赛——正方形和梯形.docx
第 3 讲正方形和梯形知识总结归纳一. 正方形的定义：定义：邻边相等的矩形叫正方形，或者有一个角为直角的菱形叫正方形．正方形既是矩形又是菱形．二. 正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．（1）边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行．（2）角：四个角都是直角．（3）对角线：对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．（4）对称性：正方形是轴对称图形，有4条对称轴．（5）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的的夹角是 45 ；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．三. 正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形．四.五.六.七.（2）有一个角是直角的菱形是正方形．梯形的相关定义：（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（2）梯形的腰：梯形中不平行的两边叫梯形的腰．（3）梯形的高：梯形两底间的距离角梯形的高．（4）等腰梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫等腰梯形．等腰梯形的性质：（1）等腰梯形是轴对称图形，上下底中点所在的直线是对称轴．（2）等腰梯形同一底边上的两个角相等．（3）等腰梯形的两条对角线相等．等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形．（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形的中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做三角形的中位线．（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半．典型例题一. 正方形【例 1】如图，正方形ABCD中，△EBC是正三角形，求∠ EAD的度数．DAEB C【例 2】如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PE BC 于 E ，PF CD于 F ，求证： AP EF ．【例 3】如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BF⊥CE于G交AD于F，求证：CE=BF．A F DEB C【例 4】如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交于F，求证：CF DE ．【例 5】如图，在正方形ABCD 中， E 为 BD 上一点， AE 的延长线交 BC 的延长线于F ，交 CD 于 H ，G 为 FH 的中点，求证： EC CG 。
初中数学重点梳理：梯形
梯形知识定位梯形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，梯形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习特殊四边形、多边形乃至立体几何的重要基础。
梯形的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中梯形相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3、过底的顶点作另一底的垂线。
熟悉以下基本图形、基本结论：【例题精讲】2、中位线概念性质（1）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半（2）梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半例题精讲【试题来源】【题目】在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.【答案】如下解析【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，∴△ABN≌△ADN．②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=23．∴点M到AD的距离为2 3．∴AH=2．∴DH=6+2=8．（2）∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4．∴CM=CN．∴AC=6 2．∴CM=CN=AC-AN=6 2-6．故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形【知识点】梯形【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．【答案】如下解析【解析】解：∵E，D是△ABC的边AB，AC的中点，∴ED∥BF．∵DF∥EC，∴ECFD是平行四边形，∴EC=DF．∵E是Rt△ABC斜边AB上的中点，∴EC=EB．∴EB=DF．假设EB∥DF，∵EC∥DF，∴EC∥EB，∴这与EC与EB交于E矛盾，∴EB不平行于DF．∴EBFD是等腰梯形．【知识点】梯形【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O．求∠BCD的度数．【答案】75°【解析】解：过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2+BF2=AB2，即又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，【知识点】梯形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．【答案】如下解析【解析】解：连接DN，∵N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，∴ND=NC．已知AD∥BC及∠ADC=135°，∴∠C=45°，∴∠NDC=45°（等腰三角形性质）．在△NDC中，∠DNC=90°（三角形内角和定理），∴ABND是矩形，∴AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．∴△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，∴BN=BF，已证得AD=BN，∴AD=BF．【知识点】梯形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．【答案】20【解析】解：取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD，过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知：AG2=AB2-BG2=（AD+BC）2-（BC-AD）2=102-62=82，∴AG=8，从而AH=GH=4，∴S△ABE=S△AEF+S△BEF= EF•AH+ EF•GH= EF•（AH+GH）= EF•AG= 1/2×5×8=20．【知识点】梯形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CB，对角线AC与BD交于O，∠ACD=60°，点S、P、Q分别是OD、OA、BC的中点．求证：△PQS是等边三角形．【答案】如下解析【解析】证明：连CS，∵ABCD是等腰梯形，且AC与BD相交于O，∴AO=BO，CO=DO．∵∠ACD=60°，∴△OCD与△OAB均为等边三角形．∵S是OD的中点，∴CS⊥DO．在Rt△BSC中，Q为BC中点，SQ是斜边BC的中线，∴SQ= BC．同理BP⊥AC．在Rt△BPC中，PQ= BC．又SP是△OAD的中位线，∴SP= AD= BC．∴SP=PQ=SQ．故△SPQ为等边三角形．【知识点】梯形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在直角梯形OABD中，DB∥OA，∠OAB=90°，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，对角线OB，AD相交于点M．OA=2，AB=2，BM：MO=1：2．（1）求OB和OM的值；（2）求直线OD所对应的函数关系式；（3）已知点P在线段OB上（P不与点O，B重合），经过点A和点P的直线交梯形OABD 的边于点E（E异于点A），设OP=t，梯形OABD被夹在∠OAE内的部分的面积为S，求S 关于t的函数关系式．【答案】如下解析【解析】解：（1）∵∠OAB=90°，OA=2，AB=2，∴OB=4，∵=，∴=，∴OM=．（2）由（1）得：OM=，∴BM=，∵DB∥OA，易证==，∴DB=1，D（1，2），∴过OD的直线所对应的函数关系式是y=2x依题意：当0＜t≤时，E在OD边上，分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，∵tan∠PON==，∴∠PON=60°，OP=t．∴ON=t，PN=t，∵直线OD所对应的函数关系式是y=2x，设E（n，2n）易证得△APN∽△AEF，∴=，∴=，整理得：=，∴8n﹣2nt=2t﹣nt，∴8n﹣nt=2t，n（8﹣t）=2t，∴n=．由此，S△OAE=OA•EF=×2×2×，∴S=（0＜t≤），当＜t＜4时，点E在BD边上，此时，S梯形OABD=S△ABE+S梯形OAED，∵DB∥OA，易证：△EPB∽△APO，∴=，∴=，BE=，S△ABE=BE•AB=××2=×2==，∴S=（1+2）×2﹣×2=3﹣×2=﹣+5，综上所述：S=．（3）解法2：①∵∠AOB=90°，OA=2，AB=2，易求得：∠ABO=30°，∴OB=4．解法2：分别过E，P作EF⊥OA，PN⊥OA，垂足分别为F和N，由①得，∠OBA=30°，∵OP=t，∴ON=t，PN=t，即：P（t，t），又（2，0），设经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=kx+b，则，解得：k=，b=，∴经过A，P的直线所对应的函数关系式是y=x+．依题意：当0＜t≤时，在OD边上，∴E（n，2n），在直线AP上，∴﹣+=2n，整理得：﹣=2n，∴n=，∴S=（0），当＜t＜4时，点E在BD上，此时，点E坐标是（n，2），因为E在直线AP上，∴﹣+=2，整理得：+=2∴8n﹣nt=2t，∴n=，BE=2﹣n=2﹣=，∴S=（1+2）×2﹣×2=3﹣×2=﹣+5，综上所述：S=．【知识点】梯形【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．【答案】如下解析【解析】证明：连接EF，EA，ED，AE与DF相交于O，过O作OO1⊥A1E1于Q1，∵D，E，F分别是三边的中点，∴EF∥AD，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴OD=OF，OA=OE，∵AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．∴AA1∥FF1∥DD1∥EE1∥OO1，∴OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，∴（AA1+EE1）=（FF1+DD1）=OO1，即AA1+EE1=FF1+DD1．【知识点】梯形【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，则四边形ABCD的面积为．【答案】25【解析】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，DF⊥BC于F∵DE∥AC，AD∥BC∴DE=AC=BD∴三角形BDE是等腰三角形∵∠BOC=120°∴∠BDE=120°∴∠OBC=∠OCB=30°∴DF=BD=5，BF=BD=5，BE=2BF=10．在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS）∴根据梯形的面积等于三角形BDE的面积，即×10×5=25．【知识点】梯形【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知BC=7，MN=3，则EF的长为（）【答案】4【解析】解：作NG∥AB交BC于G，NH∥CD交BC于H，∵AD∥BC，∴BG=AN，CH=ND，∵M，N分别是BC，AD的中点，∴BG=CH，∴GM=HM，∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠HGN=30°，∠NHG=60°，∴∠GNH=90°，∴MN=GH=（BC﹣AD），∴AD=1，∴EF=（BC+AD）=4．【知识点】梯形【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】如图所示，四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，▱ABED的面积是36cm2，则四边形ABCD的周长为（）【答案】46【解析】解：∵四边形ABED与四边形AFCD都是平行四边形，▱ABED的面积是36cm2，∴▱AFCD的面积是36cm2∵AG=3，DG=4，∴AG是平行四边形ABED的高，DG是平行四边形AFCD的高，∴DE=AB=12，CD=AF=9，又∵△AGD是直角三角形，∴AD=BE=CF=5如图，延长CD与BA延长线交于H，可得CH=CD+DH=CD+AG=12，BH=ED+DG=16，∵∠EDC=∠EGF=∠BAF=90°，∴∠HAG=∠AGD=∠HDG=90°，∴四边形AGDH是矩形，即△BHC是直角三角形，则BC=20，∴ABCD周长为AB+BC+CD+DA=12+20+9+5=46．【知识点】梯形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于O，∠AOD=120°，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点．（1）判断△SPQ的形状并证明你的结论；（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面积；（3），求的值．【答案】如下解析【解析】解：（1）连接SC、PB，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，∴△ADC≌△BCD，∴∠ODC=∠OCD，∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，而∠AOD=120°，则∠DOC=60°，∴△ODC是等边三角形，∵S为OD的中点，∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，∴PS=AD，SQ=BC，PQ=BC，故可得△SPQ是等边三角形；（2）作DE⊥AB，垂足为E，∵AB=5，CD=3，∴AE==1，BE=5﹣1=4，∴DE=BE•tan60°=4，在Rt△ADE中，AD==7，∴PS=PQ=SQ=，∴S△PQS=；（3）设CD=a，AB=b（a＜b），BC2=SC2+BS2=+=a2+b2+ab，∴S△SPQ=（a2+ab+b2），又，S△AOD=S△BOC=CS×OB=×a×b=ab，∴8×（a2+ab+b2）=7×ab，即2a2﹣5ab+2b2=0，∴（a﹣2b）（2a﹣b）=0，∴a=2b（不合题意舍去）或2a=b，∴化简得=，故=．【知识点】梯形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上一动点，PE⊥AB，PF ⊥CD，问PE+PF的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．【答案】能【解析】解：能．证明：过点B作BG⊥CD，垂足为G，过点P作PH⊥BG，垂足为H，∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，∴四边形PHGF是矩形，∴PF=HG，PH∥CD，∴∠BPH=∠C，在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，∴∠PBE=∠BPH，∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，∴△PBE≌△BPH（AAS）∴PE=BH，∴PE+PF=BH+HG=BG．故PE+PF的值是为一定值．【知识点】梯形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E为腰AB上一点．（1）若CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1，S2，若2S1=3S2，求．【答案】如下解析【解析】解：（1）设AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，则BF=AD，DF=AB=4x，CF=BC﹣BF=2AD，FG：BE=CF：BC=2：3，所以，FG=2x，DG=DF﹣FG=4x﹣2x=2x，G为DF边的中点，又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，G为DF边的垂足，所以，CD=CF，又CD=AB=DF，所以，三角形DFC为等边三角形，所以∠DFC=60°，所以∠B=∠DFC=60°；（2）如图，把梯形ABCD补成平行四边形ABCF，连接AC，设S△BCE=3s，S四边形AECD=2s，则DF=2AD，又设S△ACD=x，则S△ACE=2s﹣x，S△CDF=2x，由S△ABC=S△ACF，得3s+2s﹣x=x+2x，则x=s，∴S△ACE=2S﹣s，S△ACE=s，故===4．【知识点】梯形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．（1）求BC、AD的长度；（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】如下解析【解析】解：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°∴∠DBC=30°∴BC=2CD=6cm由已知得：梯形ABCD是等腰梯形∴∠ABC=∠C=60°∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=30°∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°∴∠ABD=∠ADB∴AD=AB=3cm（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t∴PC=6﹣2tQ作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=t∴S梯形ABCD﹣S△PCQ=﹣（6﹣2t）t=（2t2﹣6t+27）（0＜t＜3）（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5∵S梯形ABCD=，S△ABD=×3××3∴S△ABD=×S梯形ABCD∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=S梯形ABCD1∴（2t 2﹣6t+27）=×整理得：4t 2﹣12t+9=0∴t=，即当t=秒时，PQ 把梯形ABCD 分成两部分的面积比为1：5．【知识点】梯形【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。
梯形的性质与判定
梯形的性质与判定梯形是初中数学中常见的一个几何图形，其形状特点独特，具有一些特殊的性质和判定方法。
通过本文，将详细介绍梯形的性质和如何进行梯形的判定。
梯形的定义和性质：梯形是指具有两条平行边的四边形，其它两边不平行，即梯形的两个邻边互不平行。
根据梯形的性质，我们可以得出以下结论：1. 梯形的对边相等：梯形的两条平行边之间的距离恒定，因此梯形的两个对边长度相等。
2. 梯形的角性质：梯形的非平行边所对应的两组内角互补，即相加为180度。
3. 梯形的中线性质：梯形的两条平行边的中线互相平行，且等于非平行边长之和的一半。
梯形的判定方法：在解决梯形问题时，我们需要根据给定的图形条件进行判定，以确认是否是梯形。
常见的梯形判定方法有以下几种：1. 判定两组对边是否相等：如果两组对边相等，则可以肯定该图形是梯形。
2. 判定两组内角互补：如果两组内角相加为180度，则可以肯定该图形是梯形。
3. 判定两条平行边：如果两条平行边的中线相等，则可以肯定该图形是梯形。
通过以上的判定方法，我们可以快速准确地确定一个四边形是否是梯形。
示例分析：以下我们通过一个示例来具体分析梯形的性质和判定。
假设我们有一个四边形，其中两条边平行，另外两条边不平行。
我们需要判定这个四边形是否是梯形。
首先，我们可以通过测量两组对边的长度来判断是否相等。
如果两组对边长度相等，那么可以确定这是一个梯形。
其次，我们可以通过测量两组内角的度数和是否为180度来进行判定。
如果两组内角互补，那么可以确定这是一个梯形。
最后，我们还可以通过测量两条平行边中线的长度来进行判定。
如果这两条平行边的中线相等，那么可以确定这是一个梯形。
通过以上的判定方法，我们可以快速准确地确定一个四边形是否是梯形，并进一步分析其性质和特点。
总结：梯形是一个具有两条平行边且两边不平行的四边形，具有一些特殊的性质和判定方法。
我们可以通过测量对边长度、内角互补以及平行边中线长度来快速准确地判断一个四边形是否是梯形。
梯形的概念与性质
梯形的概念与性质梯形是一种基本的几何形状，在数学中有着重要的应用和性质。
本文将介绍梯形的概念、特点和性质，并通过例题加以说明和证明。
一、概念梯形是指一个四边形，其中两边是平行线段，而另外两边不平行。
具体来说，一般将平行线段称为梯形的上底和下底，而连接上底和下底的线段称为梯形的两条斜边。
梯形的两条斜边可以相等，也可以不相等。
当两条斜边相等时，梯形被称为等腰梯形。
二、特点梯形的特点有以下几点：1. 梯形的上底和下底平行，而且长度不相等。
2. 梯形的两条斜边可以相等，也可以不相等。
3. 梯形的四个内角之和是360度。
三、性质梯形的性质可以通过几何运算和推理进行证明。
1. 梯形的两个底角（上底和下底的对角）是相等的。
证明：设梯形ABCD的上底为AB，下底为CD，斜边为AD和BC。
延长AD和BC相交于点E，连接BE和AC。
由于线段AB和CD平行，所以AD与BC的内角相等，即∠DAB≌∠BCD。
由于平行线与截线，∠BCD的对角∠BCE等于∠DCB，所以∠DCB≌∠BCD。
又由于三角形ABC和DEC的内角和等于180度，所以∠BAC+∠ACB+∠DCE+∠ECB=180度。
由上一步得到的结论，∠ACB=∠DCE，所以∠BAC+∠BCA+∠DEC+∠EBC=180度。
根据梯形的性质，∠BAC+∠BCA=180度，所以∠DEC+∠EBC=180度。
因此，∠DEC=∠ACB，即梯形的两个底角是相等的。
2. 梯形的两个腰角是相等的。
证明：同理可得，梯形的两个腰角∠ADC和∠BCD是相等的。
3. 等腰梯形的高线（连接上底和下底垂直的线段）和斜边的垂直平分线（分别垂直平分上底和下底的线段）相交于同一点。
证明：设等腰梯形ABCD的上底为AB，下底为CD，斜边为AD 和BC，高线和斜边的垂直平分线交于点O。
连接AO和OB，延长CD交于点E。
由于AO和BO平分∠DAB和∠ABC，所以∠DAO=∠DCO，∠CBO=∠BAO。
由于AD和BC平行，所以∠DAO和∠CBO是对应角，从而相等。
中考数学考前专题：梯形
梯形【复习要点】1、梯形的定义：一组对边 而另一组对边 的四边形.2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质.（2）等腰梯形的两腰 ，对角线 . （3）等腰梯形同一底边上的两个 相等. 3、等腰梯形的判定：（1）两腰 的梯形；（2）同一底上的 的梯形； （3）对角线相等的梯形.4、直角梯形的定义：有一个角是 的梯形.5、三角形与梯形的中位线：（1）平行线等分线段成比例定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.（2）连结三角形两边 的线段叫做三角形的中位线. （3）连结梯形两边 的线段叫做梯形的中位线.（4）三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的 . （5）梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的 . （6）过三角形的一边中点与另一边平行的直线必 第三边. （7）经过梯形一腰上的中点且与底边平行的直线，必 另一腰.【实弹射击】 一、选择题。
1、已知梯形的上底边长是6cm ，它的中位线长是8cm ，则它的底边长是（ ） A 、8cm B 、10cm C 、12cm D 、14cm2、 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，有如下四个结论：①AC=BD ；②AC ⊥BD ；③等腰梯形ABCD 是中心对称图形；④△AOB ≌△DOC ．则正确的结论是（ ） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．①②③④图1 图2 图3 图4 3、如图2，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（ ）Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30°4、如图3，梯形ABCD 中，AD BC ∥．90C =∠，且AB AD =．连结BD ，过A点A D ECB作BD 的垂线，交BC 于E ．如果3cm EC =，4cm CD =，那么，梯形ABCD 的面积是___________2cm ．5、如图4，在等腰梯形ABCD 中，//,5,7A B D C A D B C D C A B ====，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD DC →向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动.在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ） A 、3s B 、4s C 、5s D 、6s 二、填空题。
梯形(进阶)知识讲解
梯形(进阶)知识讲解梯形是一种四边形，它有两条平行边，并且其他两条边不平行。
在这个进阶知识讲解中，我们将探讨梯形的属性和特性。
梯形的定义梯形是一个四边形，其中两条边是平行边，记为底边和顶边，其他两条边被称为腰线。
梯形的两个对角线可能相交或不相交。
梯形的性质1. 底边和顶边平行：梯形的底边和顶边是平行的，这是梯形的基本特征。
底边和顶边平行：梯形的底边和顶边是平行的，这是梯形的基本特征。
2. 腰线不平行：梯形的腰线不平行，这意味着腰线的长度不相等。
腰线不平行：梯形的腰线不平行，这意味着腰线的长度不相等。
3. 对角线的相交情况：梯形的对角线可能相交或不相交。
当对角线相交时，它们会在一点（交点）相交。
对角线的相交情况：梯形的对角线可能相交或不相交。
当对角线相交时，它们会在一点（交点）相交。
4. 底角和顶角：梯形的底边和顶边之间的内角被称为底角和顶角。
底角可以表示为∠A和∠D，顶角可以表示为∠B和∠C。
底角和顶角：梯形的底边和顶边之间的内角被称为底角和顶角。
底角可以表示为∠A和∠D，顶角可以表示为∠B和∠C。
5. 底边和顶边上的夹角：梯形的底边和顶边与腰线之间的角被称为底边夹角和顶边夹角。
底边夹角可以表示为∠BAD和∠CDA，顶边夹角可以表示为∠ABC和∠DCB。
底边和顶边上的夹角：梯形的底边和顶边与腰线之间的角被称为底边夹角和顶边夹角。
底边夹角可以表示为∠BAD和∠CDA，顶边夹角可以表示为∠ABC和∠DCB。
梯形的面积和周长计算梯形的面积和周长可以使用以下公式：- 面积：梯形的面积可以通过底边和顶边的长度以及梯形的高来计算。
公式为：$面积 = \frac{(底边长度 + 顶边长度) \times高}{2}$。
面积：梯形的面积可以通过底边和顶边的长度以及梯形的高来计算。
公式为：$面积 = \frac{(底边长度 + 顶边长度) \times 高}{2}$。
- 周长：梯形的周长可以通过将所有边的长度相加来计算。
七年级数学梯形知识点
七年级数学梯形知识点梯形是初中数学中的重要知识点，作为七年级学生，掌握梯形的相关知识非常重要。
梯形是一个四边形，其中有两个对边是平行线段但长度不相等，这两个线段被称为“上底”和“下底”，而连接这两个底的两条边被称作“斜边”，这两条边长度不一。
接下来，我们将探讨梯形相关的基本定义，性质和计算公式。
1. 梯形的分类梯形可以根据其顶点角的大小分为几种不同类型。
当一个梯形的两个非平行边都小于直角时，它被称为“直角梯形”。
如果梯形的两个顶点角相等，那么这个梯形是“等腰梯形”。
在一组平行线之间，如果两个梯形有相同的底，并且这两个梯形在相同位置上具有相同高，则我们称这两个梯形是“全等梯形”。
2. 梯形的性质梯形有多种性质，我们来看看其中最重要的几个。
（1）梯形的两个底线段是平行的。
（2）梯形上下底内角和为180度。
即∠A+∠D=∠B+∠C=180°。
（3）任意一条梯形的斜边相加的和等于梯形的上下底之和。
（4）由等腰梯形中两条斜边与底线段的垂线交点可以恰好构成一个矩形。
3. 梯形的计算公式我们在计算梯形的周长或面积时需要使用的公式如下：（1）梯形的面积公式：梯形的面积公式为S=1/2（a+b）h，其中a和b是长度为上底和下底的线段，h是梯形的高。
（2）梯形的周长公式：梯形的周长公式为C=a+b+c+d，其中a和b是长度为上底和下底的线段，c和d是长度为两条斜边的线段。
4. 梯形的应用梯形作为初中数学中重要的图形，不仅仅存在于教材中，还被广泛应用于实际生活中。
例如，我们可以用梯形来计算房屋的外立面面积；桌子和椅子的座位坐垫也常常采用梯形设计，梯形作为日常生活中的常见形状，不可忽视。
总结：梯形是初中数学中的重要知识点。
理解梯形的基本定义，性质和计算公式对于掌握初中数学知识至关重要。
通过掌握梯形的相关知识和应用，我们可以更加深入地理解梯形所代表的广泛而重要的图形。
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初中数学竞赛专题培训第十三讲梯形
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用．
例1 如图2-43所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．
分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明(1)EB=DF；(2)EB不平行于DF．
证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以
ED∥BF．
又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以
EC=DF．①
又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以
EC=EB．②
由①，②
EB=DF．
下面证明EB与DF不平行．
若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EB DF．
根据定义，EBFD是等腰梯形．
例2 如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC 且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．
分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．
解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设AB=a，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知
AF2+BF2=AB2，
即
又
BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2，
由于BC=DB，所以，在Rt△BED中，
从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理)．在△CBD中，
例3 如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：AD=BF．
分析 MF是DC的垂直平分线，所以ND=NC．由AD∥BC及∠ADC=135°知，∠C=45°，从而∠NDC=45°，∠DNC=90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而AD=BN=BF．
证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以ND=NC．由已知，AD∥BC及∠ADC=135°知
∠C=45°，
从而
∠NDC=45°．
在△NDC中，
∠DNC=90°(=∠DNB)，
所以ABND是矩形，所以
AF∥ND，∠F=∠DNM=45°．
△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BN=BF．又
AD=BN，
所以 AD=BF．
例4 如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．
分析由于AB=AD+BC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论)．取腰AB的中点F ，(或BC)．过A引AG⊥BC于G，交EF于H，则AH，GH分别是△AEF 与△BEF的高，所以
AG2=AB2-BG2=(8+2)2-(8-2)2=100-36=64，
所以AG=8．这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求．
解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知
EF∥AD(或BC)，
过A作AG⊥BC于G，交EF于H．由平行线等分线段定理知，AH=GH且AH，GH均垂直于EF．在Rt△ABG中，由勾股定理知
AG2=AB2-BG2
=(AD+BC)2-(BC-AD)2
=102-62=82，
所以 AG=8，
从而 AH=GH=4，
所以
S△ABE=S△AEF+S△BEF
例5 如图2-47所示．四边形ABCF中，AB∥DF，∠1=∠2，AC=DF，FC＜AD．
(1)求证：ADCF是等腰梯形；
(2)若△ADC的周长为16厘米(cm)，AF=3厘米，AC-FC=3厘米，求四边形ADCF的周长．
分析欲证ADCF是等腰梯形．归结为证明AD∥CF，AF=DC，不要忘了还需证明AF不平行于DC．利用已知相等的要素，应从全等三角形下手．计算等腰梯形的周长，显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件，才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长．
解 (1)因为AB∥DF，所以∠1=∠3．结合已知∠1=∠2，所以∠2=∠3，所以
EA=ED．
又 AC=DF，
所以 EC=EF．
所以△EAD及△ECF均是等腰三角形，且顶角为对顶角，由三角形内角和定理知∠3=∠4，从而AD∥CF．不难证明
△ACD≌△DFA(SAS)，
所以 AF=DC．
若AF∥DC，则ADCF是平行四边形，则AD=CF与FC＜AD矛盾，所以AF不平行于DC．
综上所述，ADCF是等腰梯形．
(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF．①
由于
△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米)，②
AF=3(厘米)，③
FC=AC-3，④
将②，③，④代入①
四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF
=(AD+DC+AC)-3+3
=16(厘米)．
例6 如图2-48所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点．求证：△PQR是等边三角形．
分析首先从P，R分别是OA，OD中点知，欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半，为此，只需证明QR，QP等于腰长之半即可．注意到△OAB与△OCD均是等边三角形，P，R 分别是它们边上的中点，因此，BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线，因此，PQ=RQ=腰BC之半．问题获解．
证因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等．进而推知，∠OAB=∠OBA 及∠OCD=∠ODC．又已知，AC与BD成60°角，所以，△ODC与△OAB均为正三角形．连接BP，CR，则BP⊥OA，CR⊥OD．在Rt△BPC 与Rt△CRB中，PQ，RQ分别是它们的斜边BC上的中线，所以
又RP是△OAD的中位线，所以
因为 AD=BC，③
由①，②，③得
PQ=QR=RP，
即△PQR是正三角形．
说明本题证明引人注目之处有二：
(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质，如正三角形OAB边OA上的中点P，可带来BP⊥OA的性质，进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质．
(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的
髀
使△PQR的三边相等．
练习十三
1．如图2-49所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥CD．求∠A的度数．
2．如图2-50所示．梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC交BC于E，△ABE的周长=13厘米，AD=4厘米．求梯形的周长．
3．如图2-51所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点．求EF．
4．如图2-52所示．梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰DC的中点，MN⊥AB于N，且MN=b，AB=a．求梯形ABCD的面积．
5．已知：梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=36°，∠B=54°，M，N分别是DC，AB的中点．求证：。