一元函数微分学教案
10第三章一元函数微分学(中值定理及罗必塔法则)
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) A （或） xa() g( x) xa() g( x) xa() g( x)
5o
若函数是Βιβλιοθήκη 0,型可采用代数变形，化成
0 0
或
型；若是 1
,00
,0
型可采用对数或指数变形，化成
0 0
或
型.
例 3 求lim x 1 ． x1 x 1 ln x
f (0) (x3 x2 ) x0 0
∴ f (x) 满足罗尔定理的条件。由定理可得：
f ( ) 3 2 2 0
解得： 1
2 3
,
2 0
∵2 0 不在（-1，0）内，舍去；
∴
2 3
2.拉格朗日（Lagrange）中值定理： 如果函数 f(x)满足：
在(a, b)内至少存
10 在[a, b]上连续， 20 在(a, b)内可导；
解 这是 未定型，通过“通分”将其化为
0 未定型．
0
lim x1
x
x
1
1 ln x
lim
x1
x
ln (x
x (x 1) 1) ln x
lim
x1
x1 x ln
ln x 1 x x 1
1
x
lim x1 1
ln x 1 ln x
x
lim
x 1
1 x2
x
1 x
1 2
.
例4．求下列极限
定理： f (x) 和 g (x) 满足条件：
lim f (x) 0 (或）
xa
1o lim g(x) 0 (或）； xa
2o 在点 a 的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；
一元函数微分学
一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。
一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。
本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。
一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。
通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。
2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。
唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。
二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。
2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。
线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。
四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。
要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。
()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。
（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
高等数学讲义--一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则0000()()()l i m x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
高等数学课件第4章 一元函数微分学
要
熟
(1)1cs xcco xtd x csx cC ;
记
(12)
1 dxarcsinxC;
1 x2
(13)
2020/3/22
11x2dx微积分a--r不c定t积a分n 概念x 与性 质 C.
12
例1 求积分 (3x22x1)dx
3x2dx 2xdx 1dx
x3x2xC 注:最后结果
x
2
dx
21a(a1xa1x)dx
21a(d(aaxx)d(aaxx))
1(lnaxlnax)C 1 ln a x C公式!
或
2a1 x2
a2
dx
1 ln 2a
xa xa
2a C
ax
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
29
例6
1
dx
116x x2
1 d(x3)
20(x3)2
arcsin(x3)C 20
1 a)(x
dx b)
提示：拆项
[注 : 1 1( 1 1)] (xa)(xb) baxa xb
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
23
作业：
P164： 4-1 (2)(3)(7)(8) 4-3
预习4.2 换元积分法
2020/3/22
微积分--不定积分概念与性质
24
复习: F(x)dx F d(xF)(xC) F(x)C
如果函数 f ( x)在区间 I 内连续， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x )， 使 x I ， 都 有 F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学一、 导数（一）、导数概念一、导数的概念：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有概念，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，若是当0→∆x 时，xy ∆∆的极限存在，即x y x ∆∆→∆0limx x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dxx df = 二、依照概念求导数的步骤（即三步曲）①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ②算比值x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(x x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 0 例1：依照概念求2x y =在点3=x 处的导数。
解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆= x xy ∆+=∆∆6 6)6(lim lim 00=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数概念的几种不同表达形式 ①x x x xx f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)()(lim)(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时＝当0)()(lim)(0000x xx f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的概念：若是当)0(0-+→∆→∆x x 时，xy ∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆- 0000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+ 五、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -' 【或x y x ∆∆→∆0lim 存在xy x y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 六、函数的可导性与持续性的关系：若是函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必持续，反之不必然成立。
《函数的微分》教学设计
《函数的微分》教学设计教学目标：（知识与技能，过程与方法，情感态度价值观）（一）教学知识点1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.可以根据题意列举函数关系式，图画出来函数图象，并利用左右关系展开比较.（二）能力训练要求1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的融合，培育学生的数形融合意识.2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.（三）情感与价值观建议体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.教学难点自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.教学过程创设情境，导入课题，展示教学目标1.张大爷买了一个手机，想要办理一张电话卡，开米广场移动通讯公司业务员对张大爷了解说道：移动通讯公司开办了两种有关神州行的通讯业务：甲类使用者先缴纳15元基础费和，然后每通话1分钟交话费0.2元；乙类几百块月基础费和，每通话1分钟交话费0.3元。
你能够多亏张大爷挑选一种电话卡吗？2.展示学习目标：（1）、认知一次函数图象与一元一次不等式的关系。
（2）、能够用图像法解一元一次不等式。
（3）、认知两种方法的关系，可以挑选适度的方法求解一元一次不等式。
积极思考，尝试回答问题，导出本节课题。
写作自学目标，明晰探究方向。
从生活实例出发，引起学生的好奇心，激发学生学习兴趣学生独立自主研学指出探究方向，巡回指导学生，答疑解惑探究一：一元一次不等式与一次函数的关系。
问题1：结合函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：(1) x取何值时，2x-5=0？(2) x取哪些值时, 2x-5>0？(3) x挑哪些值时, 2x-5<0?(4) x取哪些值时, 2x-5>3?问题2：如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0 ? 当x取何值时，y<1 ?你是怎样求解的？与同伴交流使每个学生都资金投入至探究中来培养独立自主自学习惯小组合作互学巡回演出每个小组之间，引导学生用相同方法展开尝试，找寻最佳方案。
第3讲 一元函数微分学
第三章 一元函数微分学本章主要内容有：一元（隐）函数求导方法、微分中值定理、Taylor 公式、不等式的证明、凸函数、导数的应用（极值、函数作图等）等.I 基本概念与主要结果一 导数与微分1 导数定义1 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若极限0)()(lim0x x x f x f x x --→ 存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f '. 等价形式：.lim )()(lim )()(lim )(00000000xy h x f h x f x x f x x f x f x h x ∆∆=-+=∆-∆+='→∆→→∆ 当上述极限不存在时，可研究其单侧极限，即左右导数.左导数：设函数)(x f y =在点0x 的左领域),(00x x δ-上有定义，若左极限)0()()(lim 000<∆<-∆-∆+-→∆x xx f x x f x δ 存在，则称该极限为函数f 在点0x 左导数，记作).(0x f -' 类似可定义右导数：xx f x x f x f x ∆-∆+='+→∆+)()(lim )(0000（δ<∆<x 0）. 左右导数统称为单侧导数.可导的充要条件：f 在点0x 可导⇔f 在点0x 的左右导数存在，且相等.有限增量公式：设)(x f 在点0x 可导，则x y xx f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim )()(lim)(， 由此得 ).()(0x o x x f y ∆+∆'=∆称之为f 在点0x 的有限增量公式. 注意，此公式对0=∆x 仍旧成立.若函数f 在区间I 上每点都可导，则称f 为I 上的可导函数，此时，若区间I 为闭区间，则区间的端点处的导数应理解为相应的单侧导数.2 导数的几何意义函数f 在点0x 可导的充要条件是：曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 存在不平行于y 轴的切线.若函数)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线方程为).)(()(000x x x f x f y -'=-注 此说明：可导一定存在切线，但存在切线未必可导.3 导数与连续的关系（1）f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续，但反之不成立.（2）f 在点0x 的左（右）导数存在，则f 在点0x 左（右）连续.4导函数的两大特性：（1）)(x f '无第一类间断点；（2）)(x f '具有介值性.其证明参看例1和例2.5 求导法则（1）四则运算法则设函数)(),(x v x u 在x 可导，则)()(),()(x v x u x v x u ⋅±在x 可导，当0)(≠v v 时，)()(v v x u 在x 可导，且 )()())()((x v x u x v x u '±'='±；)()()()())()((x v x u x v x u x v x u '+'='；.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2）复合函数求导的链式法则设)(x u ϕ=在点0x 可导，)(u f y =在点)(00x u ϕ=可导，则复合函数))((x f y ϕ=在点0x 可导，且).())(()))(((00x x f x f ϕϕϕ''='（3）反函数求导法则设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在点0y 某领域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在点)(00y x ϕ=可导，且.)(1)(00y x f ϕ'=' 6 参数方程求导法则设函数)(x f y =由参数方程 ,),(),(βαφϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 给出，若)(t x ϕ=具有反函数，)(),(t t φϕ可导，且0)(≠'t ϕ，则.)()(t t dx dy ϕφ''= 7 基本初等函数求导公式c c ,0='为常数； 1)(-='αααx x ；x x cos )(sin ='； x x sin )(cos -='；x x 2sec )(tan ='； x x 2csc )(cot -='；x x x tan sec )(sec ='； x x x cot csc )(csc -='；211)(arcsin x x -='； 211)(arccos xx --='；211)(arctan x x +='； 211)(arccot xx +-='； a a a x x ln )(='； x x e e =')(；a x x a ln 1)(log ='； .1)(ln x x =' 8 微分定义2 设函数)(x f y =在点0x 某领域内有定义，若y 在点0x 的改变量y ∆可以表示为)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是与x ∆无关的常数，)(x o ∆表示x ∆的高阶无穷小量，则称函数)(x f y =在点0x 可微，并称x A ∆为)(x f y =在点0x 的微分，记作)d (d 0x A x A y x x =∆== 或 )d ()(d 0x A x A x f x x =∆==. 9 可微与可导的关系函数f 在点0x 可微的充要条件是：f 在点0x 可导.10 一阶微分形式的不变性对函数)(u f y =，不论u 是自变量，还是中间变量，都有.d )(d u u f y '=此性质常用来求函数的导数.11 近似计算与误差估计.)()()(000x x f x f x x f ∆'+≈∆+绝对误差：x x f y ∆'≈∆)(0.相对误差：.)()(00x x f x f y y ∆'≈∆ 12 高阶导数函数)(x f y =一阶导数)(x f '的导数，称为二阶导数，记作)(x f ''；一般地，1-n 阶导数的导数称为n 阶导数，记为)()(x f n 或 n n n n dxy d dx x f d =)(. 二阶以及二阶以上导数都称之为高阶导数.高阶导数运算法则（1） )()())()(()()()(x v x u x v x u n n n ±=±.（2） Leibniz 公式 ∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x u 0)()()()()()]()([. 若干简单函数的n 阶导数：n n x n x -+--=ααααα)1()1()()( ；)2sin()(sin )(πn x x n +=； )2cos()(cos )(πn x x n +=； )1,0(ln )!1()1()(log 1)(≠>--=-a a ax n n n n x a ； n n n xn x )!1()1()(ln 1)(--=-； n x n x a a a )(ln )()(=；.)()(x n x e e =高阶导数的计算经常用到数学归纳法.13 高阶微分函数)(x f y =的一阶微分dy 的微分，称为二阶微分，记作y d 2；一般地，1-n 阶微分 y d n 1-的微分，称为n 微分，记作y d n ，即.)())(()()(1)1(1n n n n n n dx x f dx x f d y d d y d ===---二阶以及二阶以上的微分都称为高阶微分.注 （1）高阶微分不在具有形式不变性；（2）符号)(,,222x d x d dx 意义各不相同，22)(dx dx dx dx =⋅=，x d 2表示x 的二阶微分，而)(2x d 表示2x 的微分.二 微分中值定理1 极值定义3 若函数f 在点0x 的某领域)(0x U 内对一切)(0x U x ∈，都有))()(()()(00x f x f x f x f ≤≥，则称函数f 在点0x 取得极大（小）值，称点0x 为极大（小）值点，极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.注 极值是函数的局部性质，因此，极大值未必大于极小值.定理1（极值的第一充分条件）设函数f 在点0x 连续，在某领域),(00δx U 内可导.（1）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ，则)(x f 在点0x 取得极小值；（2）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ，当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ，则)(x f 在点0x 取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设函数f 在点0x 的某领域),(0δx U 内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且.0)(,0)(00≠''='x f x f（1）若0)(0<''x f ，则f 在0x 取得极大值；（2）若0)(0>''x f ，则f 在0x 取得极小值.注 仿定理2，由Taylor 定理可以给出借助于更高阶导数的极值判别充分条件.2 Fermat 定理设函数f 在点0x 某领域内有定义，且在点0x 可导，若0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f注（1）使得0)(='x f 的点x 称为f 的驻点或稳定点.（2）极值点未必是稳定点，稳定点未必是极值点. 对于可导函数来说，极值点一定是稳定点. 对于一般函数来说，极值点必为f 的稳定点或不可导点.（3）最值点未必是极值点，只有当最值点落在区间内部（即不是区间的端点）时，最值点才是极值点，此性质常用来寻找导数为零的点.（4）最值点必为极值点或区间的端点，或者说，最值点必为稳定点、不可导点或区间端点.3 Rolle 中值定理若函数f 满足如下条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线（x 轴）.（2）此定理可推广为：若函数f 在开区间),(b a （有界或无界区间）内可导，且)(lim )(lim x f x f bx a x -+→→=， 其中极限可以是有限数，或∞+，或∞-，在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.0)(='ξf4 Lagrange 中值定理若函数f 满足下列条件：（1）f 在闭区间],[b a 上连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()(ab a f b f f --='ξ 注（1） 几何意义：若函数f 满足上述条件，则在曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf ，使得该点处的切线平行于曲线端点连线.（2）几种不同的表示形式：b a a b f a f b f <<-'=-ξξ),)(()()(；10),))((()()(<<--+'=-θθa b a b a f a f b f ；10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f ；.)()()(ξf a f b f a b '-=-特别注意最后一式在解题中的应用.若令0,x a x b ==，则中值定理又可写成).())(()(00x f x x f x f +-'=ξ5 Cauchy 中值定理若函数)(),(x g x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）在开区间),(b a 内g f '',不同时为零；（4）)()(b g a g ≠，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得.)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ 几何意义：若在直角坐标平面uv 内的曲线参数方程],,[),(),(b a x x f v x g u ∈⎩⎨⎧== 满足上述条件，则曲线上至少存在一点))(),((ξξv u ，使得该点的切线平行于曲线两端点的连线.6 Taylor 定理（公式）若函数f 在点0x 存在n 阶导数，则称由这些导数构造的n 次多项式∑=-=nk k n x x k x f x T 000)()(!)()( 为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，)(x T n 中的各项系数),,2,1(!)(0)(n k k x f k =称为Taylor 系数.带Peano 型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有).)(()()(0n n x x o x T x f -+=带Lagrange 型余项的Taylor 公式：若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导数，在),(b a 内存在1+n 阶导数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点ξ，ξ介于x 与0x 之间，使得.)()!1()()()(10)1(++-++=n n n x x n f x T x f ξ 当00=x 时，上述两个公式又称为Maclaurin 公式.注意比较两种不同类型余项的Taylor 公式的条件与结论，前者给出了定性的描述，后者给出了定量的刻画，注意它们在不同场合的应用.几种常见函数的Maclaurin 公式：)(!!212n nxx o n x x x e +++++= ；)()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+++-=n n n x o n x x x x x ； )()!2()1(!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= ； )(32)1ln(32n nx o n x x x x x ++++-=+ ； )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++--++-++=+ααααααα ； ).(1112n n x o x x x x+++++=- 注意以上几个公式在不定式极限计算中的应用.7 微分中值定理之间的关系（1）Rolle Lagrange Cauchy Taylor ⇒⇒⎭⎬⎫； （2）微分中值定理的推广设函数h g f ,,在区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，定义)()()()()()()()()()(x h x g x f b h b g b f a h a g a f x F =， 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得 .0)()()()()()()()()()(='''='ξξξξh g f b h b g b f a h a g a f F 特别地，若令1)(,)(≡=x h x x g ，即得Lagrange 中值定理（若再有)()(b f a f =，便是Rolle 中值定理）；若令1)(≡x h ，便得Cauvhy 中值定理的另一形式：)].()()[()]()()[(a g b g g a g b g f -'=-'ξξ若附加Cauchy 中值定理的条件，可得到Cauchy 中值定理一样的形式.8 应用（1）判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数问题；（2）对于给定的可微函数得到某些中值公式，并证明某些等式或不等式；（3）推倒某些可微函数的整体性质，如单调性，有界性，最值，一致连续性，以及某些导函数的极限等问题；（4）求解某些不定式极限问题（L ’Hospital 法则，等价无穷小替换）；（5）研究函数曲线的形态，如曲线的单调性，凹凸性，渐进线，极值等，描绘某些函数的图象；（6）近似计算，方程近似求解等.中值定理的灵活运用是本章重点和难点. 如果要解决的问题中含有未知的“ξ”，首先应分析题目中所给函数的条件，若仅有连续性条件，则只能用闭区间上连续函数的性质，而不能使用微分中值定理；若有可微性条件，往往要用到微分中值定理；若函数二阶可导，往往要两次使用罗尔或拉格朗日中值定理，或直接使用泰勒公式；若存在三阶或三阶以上导数，则泰勒公式是首选. 其次，要对所证明的等式或不等式进行适当的恒等变形，使之符合定理的形式.三 凸函数1 凸函数的几种定义及其等价关系：定义1 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，)1,0(∈∀λ，有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数. 反之，如果总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+，则称f 为I 上的凹函数. 式中的不等号改为严格不等号时，称之为严格凹函数.下面仅就凸函数进行讨论.定义2 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x ∈∀21,，有2)()()2(2121x f x f x x f +≤+. 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义3 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，有2)()()(211x f x f n x x f n ++≤++ . 称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时，称为严格凸函数.定义4 设函数)(x f 在区间I 有定义，如果I x x n ∈∀,,1 ，1,01=≥∀∑=ni i i λλ，有)()()(21111x f x f x x f n n n λλλλ++≤++ .称函数)(x f 为I 上的凸函数，式中“≤”改为“<”时称为严格凸函数.定义5 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果曲线)(x f y =的切线保持在曲线的下方， 称函数)(x f 为I 上的凸函数；若除切点外，切线严格保持在曲线的下方，则称之为严格凸函数.定义 6 设函数)(x f 在区间I 有定义且可导，如果)(x f '单增，称函数)(x f 为I 上的凸函数.注 定义1与定义4等价；定义2与定义3等价；当)(x f 连续时，定义1至定义4均等价；当函数可导时，以上6个定义均等价.由定义6立得定义7 若函数)(x f 在I 存在二阶导数，则)(x f 为凸函数⇔0)(≥''x f .（辽宁师大） 2 凸函数的性质与定理定理1 设函数)(x f 在I 有定义，则下列条件等价：321321,,,x x x I x x x <<∈∀，（1）)(x f 为I 上的凸函数；（2）13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （3）23231313)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （4）23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--； （5）曲线)(x f y =上三点))(,()),(,()),(,(332211x f x C x f x B x f x A 所围成的有向面积0)(1)(1)(121332211≥x f x x f x x f x . 推论1（清华大学）若函数)(x f 为I 上的凸函数，则321321,,,x x x I x x x <<∈∀，13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--2323)()(x x x f x f --≤. 推论2 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，过0x 的弦的斜率0)()(x x x f x f k --= 是x 的增函数，且当函数为严格时凸函数时，斜率k 严格单调递增.推论3 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I 上任意四点v u t s <<<，有uv u f v f s t s f t f --≤--)()()()(. 事实上也是充分条件.推论4 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则I x ∈∀0，在0x 的左右导数均存在，皆为增函数，且.int ),()(I x x f x f ∈∀'≤'+-.推论5 若函数)(x f 为I 上的凸函数，则)(x f 在I int 内连续.定理2（中国科技大学）设函数)(x f 在区间I 有定义，则)(x f 为凸函数的充要条件是：R I x ∈∃∈∀α,0 ，使得I x ∈∀，有)()()(00x f x x x f +-≥α.证 （1）必要性因为)(x f 为凸函数，由推论4知： I x ∈∀0，)(0x f -'存在，且00)()(x x x f x f --单增趋于)(0x f -'（-→0x x ），由此，任取)(0x f -'≥α，则当0x x <时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.同理，当)(0x f +'≤α时，则当0x x >时，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.而)()(00x f x f +-'≤'，所以存在α：)()(00x f x f +-'≤≤'α，I x ∈∀，有 )()()(00x f x x x f +-≥α.（2）充分性设321x x x <<是定义域上的任意三点，由已知条件，对2x ，存在α，使得I x ∈∀，有)()()(22x f x x x f +-≥α.分别令31,x x x x ==可得23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤≤--α. 由定理1知)(x f 为凸函数.推论1 设函数)(x f 在I 内可导，则)(x f 为凸函数的充要条件是：,0 I x ∈∀有)())(()(000x f x x x f x f +-'≥.推论2 若函数)(x f 为I 凸函数，则,0 I x ∈∀在曲线)(x f y =上，过点))(,(00x f x 可作一直线l ，使曲线位于直线l 之上.若f 为严格凸函数，则除点))(,(00x f x 外，曲线严格地位于直线l 的上方.II 典型例题与方法一 导函数的两大特性1 导函数无第一类间断点例1（南京大学）设函数)(x f 在),(b a 内处处可导. 证明：),(b a 中的点或为)(x f '的连续点，或为)(x f '的第二类间断点.证 只需证明：若)(x f '在点),(0b a x ∈左右极限存在，则)(x f '在该点连续. 由已知条件知函数)(x f 在点),(0b a x ∈可导，由右导数定义及微分中值定理得)(),(lim )()(lim )()(0000000x x f x x x f x f x f x f x x x x <<'=--='='+→+→+ξξ. 由假设)(x f '在点0x 存在右极限，根据上式可得)0()(lim )(000+'='='+→x f f x f x x ξ. 同理可证：若)(x f '在点0x 存在左极限，则必有)0()(lim )(000-'='='-→x f f x f x x ξ. 因此，)(x f '在点),(0b a x ∈连续，从而无第一类间断点.思考题1（西安交大2003）设)(x f 在),(b a 内可导，证明：（1）),(0b a x ∈∀，)(x f '在0x 处不可能发生第一类间断；（2）当)(x f '在),(b a 内单调时，)(x f '必在),(b a 内连续.思考题2（武汉大学）若函数)(x f 在),(b a 可导，)(x f '在),(b a 内单调，则)(x f '在),(b a 内连续.思考题3（北京大学）设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且存在极限l x f a x ='+→)(lim ，则右导数存在，且.)(l a f ='+思考题4（中科院）设⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,)(x x x x f 证明：不存在一个函数以)(x f 为其导函数.2 导函数具有介值性例2（G. Darboux 定理）（西安交大，武汉大学，北京师范大学,北航2001）若函数)(x f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f '<'，则c ∀：)()(b f c a f '<<'，),(b a ∈∃ξ，使得c f =')(ξ.提示： 作辅助函数cx x f x g -=)()(，则)(x g 在],[b a 可导，且0)()(,0)()(>-'='<-'='c b f b g c a f a g .只需证明：),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg .事实上，由于0)()(lim)(<--='+→ax a g x g a g a x ，则当a x >而充分接近a 时，)()(a g x g <. 同理可证：当b x <而充分接近b 时，)()(b g x g <. 这样)(x g 的最小值点ξ必落入),(b a 内，从而为)(x g 的极值点，由Fermat 定理知0)(='ξf .严格证明请读者自己给出.例3（武汉大学）设有界函数)(x f 实数集R 上二次可微. 证明：R x ∈∃0，使得0)(0=''x f .证法一 若)(x f ''在R 上变号，由导函数的介值定理知R x ∈∃0，使得0)(0=''x f . 若)(x f ''在R 上不变号，不妨设0)(>''x f ，此表明)(x f '严增，因此存在0)(,≠'∈c f R c .由泰勒定理得2))((21))(()()(c x f c x c f c f x f -''+-'+=ξ， 其中ξ介于x 与c 之间. 由 0)(>''x f 知0)(>''ξf . 于是，若0)(>'c f ，令+∞→x 得+∞→)(x f ，若0)(<'c f ，令-∞→x 得+∞→)(x f ，这与)(x f 有界矛盾，故)(x f ''在R 上变号，从而结论成立.证法二 若R b a ∈<∃，使得)()(b f a f '='，由Rolle 定理知结论成立. 若,,R b a ∈∀)()(b f a f '≠'，则)(x f '在R 上严格单调. 事实上，若不然，则321x x x <<∃,有)()()(321x f x f x f '>'<' 或 )()()(321x f x f x f '<'>'，由导函数的介值定理知：),,(),,(3221x x b x x a ∈∈∃有)()(b f a f '='，与假设矛盾，故)(x f '在R 上严格单调. 不妨设严格单增，则存在0)(,≠'∈c f R c . 若0)(>'c f ，则当c x >时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(+∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.若0)(<'c f ，则当c x <时，由拉格朗日中值定理得)())(()()(-∞→+∞→-'+=x c x f c f x f ξ.由此得)(x f 在R 无界，这与已知条件矛盾，故命题为真.二 导数与可微问题1 显函数求导问题例4（武汉大学2003）设dt t t x F x ⎰-=1ln )(，求).(x F '解 由左右导数定义得xdtt t dt t t x F x F F x x x ⎰⎰--→→+-=-='++1010ln ln lim )0()(lim )0(xdt t t xdtt t xx xx ⎰⎰++→→==0000ln limln lim0ln lim 0==+→x x x ；同理可求：,0)0(='-F 所以.0)0(='F例5（北京大学2002）设x x x x f arcsin 1)(2+-=，求).(x f ' 解 .121111)(22222x x x x x x f -=-+---='例6（人民大学2001）设2111arcsin )1()(xxe x x xf x +-++=-，求).1(f ' 解 记1)1()(-+=x e x x x g ，则212ln 41)1ln(21)(ln +-++=x x x x g ，两边关于x 求导得]2141)1(21)[()(-++='x x x g x g ， .0)1(='g222222112)1(211)1(11)11(arcsinx x x x x x x x x ++--+-⋅+--='+-，22)11(arcsin12-=+-=x x x ， 所以，.22)1(-='f 例7（北京科技大学1998）设0>x ，⎰=2sin )(x xdu uuxx f ，求).(x f ' 解 0,0>∃>∀αx ，使得)1,(,22+∈ααx x ，在矩形区域]1,[]1,[22+⨯+αααα上，)sin (,sin u uxx u ux ∂∂ 均连续，所以xx x x x du u ux x f x x x 23sin 2sin )sin ()(2-⋅+'='⎰xx x uxdu x x23sin sin 2cos 2-+=⎰xx x x x x x 2323sin sin 2sin sin -+-=.sin 2sin 323xx x -=例8（西北工业大学）设)))((()(,1)(2x f f f x f xxx f n =+=（n 个f ），求).(x f n '解 由数学归纳法易证：.,1)(2+∈+=Z n nx x x f n于是.)1(111)1()(3222222nx x nx nx nx nx nxx x f n +=++-+='+='思考题5 求下列函数的导数： （1）)sin(sin x x xy =（复旦大学1999）；（2）xx y cos tan =（复旦大学1998）； （3）⎩⎨⎧≥+<=,0),1ln(,0,cos 2x x x x y （华东师大1998）（4）1ln arctan 22+-=x xx e e e y （山东大学）；（5）x x x y arcsin 12+-=（北京大学2002）； （6）⎰++=tudu e y sin 111)1( （北京化工大学）；（7）)12sin(212x x x y +++-= （广西大学）.2 分段函数求导问题例9 设.0)0(=f 证明：)(x f 在点0=x 处可微的充要条件是：存在在点0=x 处连续的函数)(x g ，使得)()(x xg x f =，且).0()0(g f ='证 由导数的定义易证充分性成立，只证必要性. 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g则由题设及导数定义得)0()0()(lim )(lim)(lim 00f xf x f x x f xg x x x '=-==→→→， 即)(x g 在0=x 处连续，且由)(x g 的定义得)()(x xg x f =.例10（中科院2003，湘潭大学）设m 为自然数，在),(+∞-∞上定义函数f 为⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x x x x f m（1）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处连续； （2）当m 为何值时，)(x f 在点0=x 处可导；（3）当m 为何值时，)(x f '在点0=x 处连续. 解（1）要使0)0(1sin lim )(lim 0===→→f x x x f m x x ，当且仅当.2≥m（2）由导数定义得xx x f x f m x x 1sin lim )0()(lim100-→→=-，要使f 在0=x 处可导，即上式极限存在，当且仅当2≥m ，且.0)0(='f（3）当0≠x 时，,1cos 1sin )(21x x xmx x f m m ---=' （*）要使)(x f '连续，当且仅当极限)0()(lim 0f x f x '='→成立. 由（2）知2≥m ，因此，由（*）式知，当且仅当02>-m ，即.3≥m思考题6（山东大学）试作一函数在),(+∞-∞内二阶可微，使得)(x f ''在0=x 处不连续，其余处处连续.思考题7（华东化工学院） 确定常数b a ,，使函数⎩⎨⎧≤>+=,1,,1,)(2x x x b ax x f 处处连续，且可微.例11（内蒙古大学）讨论函数⎩⎨⎧∈+∈-=,\),1(,),1()(Q R x x x Q x x x x f的连续性和可微性.解 首先证明：)(x f 在0=x 处连续. 事实上0)0(=f ，且)1,0(U x ∈∀时，有x f x f 2)0()(≤-，因此，)1(2,0<=∃>∀δεδε，当),0(δU x ∈时，有ε<-)0()(f x f ，所以，)(x f 在0=x 处连续. 下证)(x f 在任意点00≠=x x 处不连续. 事实上，分别取收敛于0x 的有理点列{}n a 和无理点列{}n b ，有),1()1(lim )(lim 00x x a a a f n n n n n -=-=∞→∞→),1()1(lim )(lim 00x x b b b f n n n n n +=-=∞→∞→显然当00≠x 时，)1()1(0000x x x x +≠-，由海涅定理（归结原则）知极限)(lim 0x f x x →不存在，从而不连续，当然不可微.最后证明：)(x f 在点0=x 处可微. 事实上，当0≠x 时，有x xxx f x f x f =-=--)(1)0()(，从而有1)0()(lim=-→xf x f x ，即.1)0(='f例12（哈尔滨工大）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=,0,,0,cos )()(x a x xxx g x f 其中)(x g 具有二阶连续导数，且.1)0(=g（1）确定a 的值，使)(x f 在点0=x 连续； （2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.解（1）由洛必达法则得)0()sin )((lim cos )(lim)(lim 000g x x g xxx g x f x x x '=+'=-=→→→，要使)(x f 在0=x 处连续，必须使).0(g a '=（2）当0≠x 时，2cos )()sin )(()(xxx g x x g x x f +-+='； 当0=x 时，由定义及洛必达法则得x g x xx g x f x f f x x )0(cos )(lim )0()(lim )0(00'--=-='→→ 20)0(cos )(lim xg x x x g x '--=→ x xg x g x 2sin )0()(lim 0+'-'=→.21)0(21+''=g所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+''≠+-+'='.0),1)0((21,0,cos )()sin )(()(2x g x xxx g x x g x x f（3）由于2cos )()sin )((lim)(lim xxx g x x g x x f x x +-+'='→→x xx g x x g x x g x x 2sin )(sin )()cos )((lim0-'-+'++''=→2cos )(lim 0xx g x +''=→)1)0((21+''=g所以，)(x f '在0=x 处连续.例13（中科院2002，西安电子科技大学）设)(x f 为二次连续可微函数，且.0)0(=f定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明：)(x g 连续可微.证 当0≠x 时，2)()()(x x f x f x x g -'='；当0=x 时，200)0()(lim)0()(lim)0(x f x x f x g x g g x x '-=-='→→ x f x f x 2)0()(lim 0'-'=→).0(21f ''=且有)0()0(212)(lim )()(lim)(lim 0200g f x x f x xx f x f x x g x x x '=''=''=-'='→→→， 即)(x g '在0=x 处连续，当0≠x 时，)(x g '显然连续，所以)(x g '连续可微.思考题8（云南大学，吉林大学）设)(x f 在R 上有二阶连续的导数，且0)0(=f . 令⎪⎩⎪⎨⎧='≠=,0),0(,0,)()(x f x x x f x g证明（1）)(x g 在R 上连续；（2）)(x g 在R 上可微；（3）)(x g '在R 上连续.3 抽象函数的导数与可微问题例14 设在领域),0(δU 内函数g f ,满足)()(x g x f ≤，且 .0)0()0(='=g g 求).0(f '解 由已知条件得0)0()0(=≤g f ，即.0)0(=f 于是),0(0δU x ∈∀，有.)0()()()()0()(0xg x g x x g x x f x f x f -=≤=-≤由0)0(='g 得0)0()(lim=-→x g x g x ，从而由两边夹定理得0)0()(lim=-→xf x f x ，即.0)0(='f例15 设函数)(x ϕ在a x =处连续，分别讨论下列函数在a x =处是否可导： （1）)()()(x a x x f ϕ-=； （2）)()(x a x x f ϕ-=； （3）.)()()(x a x x f ϕ-=解（1）可导. 由)(x ϕ在a x =处连续及导数定义得).()(lim )()(lim)(a x ax a f x f a f a x ax ϕϕ==--='→→ （2）因为)()(lim )()(lim )(a ax x a x a x a f x f a f a x a x ϕϕ=--=--='++→→+；同理可得).()(a a f ϕ-='- 所以当0)(=a ϕ时，)()(a f a f -+'='，可导；否则不可导.（3）类似（1）可得)()(a a f ϕ='，所以可导.例16（人民大学2001）设函数)(x f 连续，)0(f '存在，并且满足：.,,)()(41)()()(R y x y f x f y f x f y x f ∈∀-+=+（1）证明：)(x f 在R 上可微；（2）若,21)0(='f 求).(x f 解（1）令0==y x 得)0(41)0()0(2f f f -=， 解之得.0)0(=f 由)0(f '存在知存在极限).0()(limf hh f h '=→ 从而，R x ∈∀，由假设条件可得hx f h f x f h f x f h x f h x f h h )()()(41)()(lim)()(lim 00--+=-+→→ )()(41)(41)(lim 20h f x f x f h h f h -+⋅=→ )](41)[0(2x f f +'=，所以，)](41)[0()(2x f f x f +'='，即)(x f 在R 上可微.（2）记)(x f y =，则有)41(212y y +='，整理得dx y y d =+2)2(1)2(， 两边积分得c x y +=2arctan ，即).tan(21c x y += 注意到0)0(=y ，由此得0=c ，故所求函数为.tan 21)(x x f y == 例17（中科院2003） 设函数f 在点0=x 连续，且满足.)()2(lim 0A xx f x f x =-→ 求证：)0(f '存在，并且.)0(A f ='证 由极限定义知，0,0>∃>∀δε，当),0(0δU z ∈时，有ε<--A zz f z f )()2(，即.)()2(εε+<-<-A zz f z f A任取),0(0δU x ∈，令n m x z m,,2,1,2 ==-，则有)(2)()2()(2εε+<-<---A xz f z f A m m m m ，.,,2,1n m =将上述n 式相加得).)(21()2()())(21(εε+-<-<-----A xx f x f A n n n令∞→n ，则由f 在0=x 处连续得εε+≤-≤-A xf x f A )0()(，即ε≤--A xf x f )0()(，由导数定义知.)0(A f ='.例18 设函数)(x f 在点a 处连续，且)(x f 在点a 处可导，证明：)(x f 在点a 处也可导.解 若0)(>a f ，由连续函数的保号性知，存在点a 的某领域)(a U ，使得)(a U x ∈时，0)(>x f ，从而有ax a x a x x f ax a f x f a x a f x f =→→'=--=--)()()(lim )()(lim ，即)(x f 在点a 可导.同理可证：当0)(<a f 时，)(x f 在点a 也可导.当0)(=a f 时，由)(x f 在点a 可导，可设其导数为A ，则有a x x f a x a f x f A ax ax -=--=→→)(lim)()(lim，由此知：当+→a x 时，可得0≥A ；当-→a x 时，可得0≤A ，故.0=A 即,0)(lim =-→ax x f a x 则0)(lim =-→a x x f a x ，所以 0)(lim )()(lim =-=--→→ax x f a x a f x f a x a x . 4 隐函数的求导问题例19（浙江大学2001）设可微函数)(x y y =满足方程x x e ye y y x 7sin 2-+-=，求).0(y '解 方程两边关于x 求导得,7cos 2sin 2-+'+-'-='x e x y e ye e y y y y x x将0=x 代入原方程得.0)0(=y 再将0,0==y x 代入上式得72)0()0(-+'-='y y ，故.25)0(-='y5 参数方程求导例20（华东理工大学）设⎰=21ln )(t udu u t x ，⎰=122ln )(tudu u t y ，求.dxdy 解 由参数方程求导公式得.ln 2ln 222225t t t t t dtdx dt dy dx dy -=-== 例21（北京化工大学）已知⎰++=tudu e y sin 111)1(，其中)(x t t =是由⎩⎨⎧==,sin ,2cos v t v x 所确定，求.dxdy解 由所给参数方程可得 2221sin 21t v x -=-=，从而有.4)1(cos 4)1(cos sin 11sin 11t e t t e t dtdx dt dy dx dy t t +++-=-+==6 反函数求导例22（厦门大学）已知k ke x f x,)(='为不等于零的常数，求)(x f 的反函数的二阶导数.解 记)(x f y =，其反函数记为)(y x ϕ=，则)(1)(x f y '='ϕ， 于是.1)]([)())(1())(1()(223x e k x f x f dxdy x f dx d x f dy d y -='''-='='=''ϕ7 高阶导数与高阶微分例23（中国地质大学2002）设)(x f ''存在，且满足方程)(y x f y +=，求.,22dxy d dx dy 解 方程两边关于x 求导得)1)((y y x f y '++'='， （1）解之得.)(1)(y x f y x f y +'-+'=' （2）由（1）式继续关于x 求导得y y x f y y x f y ''⋅+'+'++''='')()1)((2，解之方程，并将得（2）式代入化简可得.))(1()(3y x f y x f y +'-+''='' 注 求二阶导数，往往并不是直接求一阶导数的导数，而是转化为含有一阶导数的方程两边求导问题，这样往往能大大降低计算量.例24（复旦大学1998）已知)()()(2x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ'在a x =的某领域内连续，求).(a f ''解 由于)()()()(2)(2x a x x a x x f ϕϕ'-+-='，所以.0)(='a f 由导数定义及)(x ϕ'的连续性假设得)]()()(2[lim )()(lim )(a a x x ax a f x f a f a x a x ϕϕ'-+=-'-'=''→→).(2a ϕ=例25 已知⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 求.,22dx y d dx dy 解 由参数方程求导公式得ttt a t a dx dy cos 1sin )cos 1(sin -=-=， )cos 1()cos 1(sin )cos 1(cos )()(2222t a t t t t dt dx dx dydt d dxdy dx d dx y d ----===.)cos 1(12t a --= 注 求参数方程表示的函数的二阶导数，通常情况下并不是直接套用公式，而是求一阶导数（它是参数的函数）关于参变量的导数，再除以自变量关于参变量的导数. 这种方法也适用于更高阶的导数.例26（北京工业大学）设x x x f ωsin )(=，求证：.,2,1),cos 2sin ()1()(122)2( =--=-n x n x x x f n n n n ωωωω解 当1=n 时，x x x x f ωωωcos sin )(+='，x x x x f ωωωωsin cos 2)(2-=''，即1=n 时，结论成立. 假设k n =时结论成立，即)cos 2sin ()1()(122)2(x k x x x f k k k k ωωωω---=，则当1+=k n 时，有]sin 2cos sin [)1()(2122)12(x k x x x x f k k k k k ωωωωωω++-=++]cos sin )12([)1(122x x x k k kkωωωω+++-=，]sin cos cos )12([)1()()1(21212)22(x x x x k x f k k k k k ωωωωωω++++-++-=]cos )1(2sin [)1(12)1(21x k x x k k k ωωωω++++--=，由数学归纳法知结论成立.例27（华中科技大学）设x x f arctan )(=，求).0()(n f解法一 当1<x 时，有∑∞=-=+='022)1(11)(n n n x x x f ， 从而)(x f 的Maclaurin 展式为∑∞=++-=01212)1()(n n nn x x f ， 因此，⎩⎨⎧+=-==.12,)!2()1(,2,0)0()(k n k k n fkn 解法二记)(x f y = ，则211x y +='，即.1)1(2='⋅+y x上式两边关于x 求导得02)1(2='+''⋅+y x y x .利用Leibniz 公式，上式两边求n 阶导数得.0)1()1(2)1()1()2(2=+++++++n n n y n n xy n y x例28（南京大学）求 ).0()ln (2>x x x d n 解 记x x y ln 2=，则x x x y +='ln 2， 3ln 2+=''x y ，,2xy ='''，.3,1)!3(2)1(21)(≥--=--n x n y n n n所以，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=--.)!3(2)1(,2,)3ln 2(,1,)1ln 2()ln (2122n n n n dx x n n dx x n dx x x x x d注 求高阶导数或高阶微分通常有四种方法：数学归纳法，Leibuniz 公式，递推公式法和幂级数方法.思考题9（同济大学）试用数学归纳法证明：.)1()(11)(11x n n n xn e xe x+--= 例29（华东师大2000）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,1,0,sin )(x x x xx f求).0()(n f解 由x sin 的幂级数展开式得：当0≠x 时，++-+++-=)!12()1(!5!31sin 242n x x x x x n n，从而由幂级数的逐项可微性，有0)0()(lim)0(0=-='→xf x f f x ，31)(!32lim )sin (lim )0()(lim )0(000-=+-='='-'=''→→→x x o x x x xx f x f f x x x ， 031)(10131lim )0()(lim )0(2200=+++-=''-''='''→→xx o x x f x f f x x ， 51)(51lim )0()(lim )0(00)4(=+='''-'''=→→x x o x x f x f f x x ，由数学归纳法易证：.,2,1,2,11)1(,12,0)0()( =⎪⎩⎪⎨⎧=+--==k k n k k n f kn 思考题10（浙江大学2002）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 求).0()(n f8 其它相关问题例30（湖北大学2001）设)(x f 为可导函数. 证明：若1=x 时，有)()(22x f dxd x f dx d =， 则必有0)1(='f ，或 .1)1(=f证 由复合函数求导法则得)(2)(22x f x x f dx d'⋅=， )()(2)(2x f x f x f dxd '=， 由已知条件得)()()(2x f x f x f x '='，将1=x 代入上式得0)]1(1)[1(=-'f f ，从而可得0)1(='f ，或 .1)1(=f例31（四川大学1999）函数xe y -=在0=x 处是否连续，是否可导，是否有极值，为什么？解 函数xey -=在0=x 处连续，不可导，有极大值，极大值为1. 事实上，ue y =连续，x u -=连续，由复合函数连续性定理知xe y -=在0=x 处连续. 又⎪⎩⎪⎨⎧<=>=-,0,,0,1,0,x e x x e y xx （1）由洛必达法则（或等价无穷小替换）得1lim 1lim )0(00-=-=-='-→-→+++x x x x e xe y ；1lim 1lim )0(00==-='--→→-x x x x e xe y ，即)0()0(-+'≠'y y ，所以函数在0=x 处不可导. 由（1）式知，函数在0<x 时单调递增，在0>x 时单调递减，所以在0=x 处取得极大值，极大值为.1)0(=y例32（北京科技大学，东北师大）设)(x f 在点a x =某领域有定义，且在该领域内可导，计算极限.0,0,)()(lim≠≠+-+→βαβαtt a f t a f t解 由导数定义得tt a f t a f t )()(lim0βα+-+→ta f t a f t a f t a f t t βββααα)()(lim )()(lim 00-+--+=→→).()(a f '-=βα注（1）不能使用洛必达法则；（2）只要f 在a x =处可导，结论仍然成立.例33（武汉大学）社函数)(x f 在点0x 的某领域)(0x U 内有定义. 证明：到数)(0x f '存在的充要条件是：存在这样的函数)(x g ，它在)(0x U 内有定义，在点0x 连续，且在)(0x U 内成立等式：).()()()(00x g x x x f x f -+=证 充分性显然，下证必要性.令⎪⎩⎪⎨⎧='≠--=.),(,,)()()(00000x x x f x x x x x f x f x g 则容易验证)(x g 满足题目中的条件，所以命题成立.例34 设函数)(x f 定义在R 上，证明：（1）若)(x f 是奇函数，则奇数阶导数是偶函数，偶数阶导数是奇函数； （2）若)(x f 是偶函数，则奇数阶导数是奇函数，偶数阶导数是偶函数； （3）若)(x f 是奇函数，则0)0(,0)0()2(==n f f （n 是正整数）；（4）若)(x f 是偶函数，则.,2,1,0,0)0()12( ==+n fn证（1）若)(x f 是奇函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f --=，两边求导得)()(x f x f -'='， )()(x f x f -''-=''，一般地，我们有.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=---=-=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（2）若)(x f 为偶函数，则R x ∈∀，有)()(x f x f -=，仿上可得.,2,1,2),(,12),()()2()12()( =⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-n n k x fn k x f x fn n k由奇偶函数的定义知结论成立.（3）由奇函数的定义得)0()0(f f -=，所以.0)0(=f 同时，由已证结论（1）立得.0)0()2(=n f（4）由（2）立得.0)0()12(=+n f例35（人民大学2001）设,cos 1sin 1)(2425x xxx x f +⋅+=求.)(),0(11)6()6(⎰-dx x f f解 容易验证)(x f 为奇函数，由上题结论知)()6(x f 也为奇函数，所以.0)(,0)0(11)6()6(==⎰-dx x f f例36（东北师大）证明：若)(x f 在R 上连续，且对任意R y x ∈,，有)()()(y f x f y x f =+，则)(x f 在R 上可微.证 若0)(≡x f ，或1)(≡x f ，则命题显然成立. 若)(x f 不恒为零，也不恒等于1，则R x ∈∃0，使得0)(0≠x f ，由此得0)()()()(000≠-=+-=x f x x f x x x f x f ，从而.0)(≠x f 由归纳法，对任意正整数m ，有。
D第二章 一元函数微分学精选文档PPT课件
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
yf(x)
N
T
CM
极限位置即
o
x0
xx
M N 0, NM 0.T设 M (x 0 ,y 0 )N ,(x ,y ).
割线 MN的斜率为 tan y y0 f(x) f(x0),
N 沿 C 曲 M 线 ,x x 0 , x x0
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
7
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度 ★ 如果y函 f(x数 )在开I内 区的 间每 处都, 就 可称 导f(函 x)在 数 开I内 区可 间 . 导
8
★ 对于任x 一I,都对应f(着 x)的一个确定的 导数.这 值个函数叫做原 f(x)来 的函 导数 函 . 数
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x )
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 )
(1)x11
《函数的微分》教学设计-文档资料
《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。
本节主要介绍微分的概念。
这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。
所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。
如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。
1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。
1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。
1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。
2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。
2.2教学难点微分的实际应用。
3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。
4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。
例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。
通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。
但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。
从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。
从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。
4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。
教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第三章一元函数微分学及其应用-电子课件
分析：运动员跳水过程可以视为自由落体
运动，该案例实际上一个求变速直线运动
第
的瞬时速度问题。
一
节
运动跳下的距离和时间的关系为：s 1 gt 2 4.9t 2
2
导 数 的
如果运动员起跳时间记为 t 0 ，则入水时间为t 28 2.4(s)
4.9
概
我们用一些持续缩短的时间间隔 [2.4,2.4 t]上的平均速度
导
特别地，若
lim
x0
y x
,
也称函数
y
f
(x) 在
数 的 概
点 x0 的导数为无穷大，其属于导数不存在 的情形。
念
导数定义的 等价形式
前面两个案例中的导数：
第
v(t0
)
s(t0
)
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0
)
一
节 导
k
f (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
数
的
概
念
y
y 1 3(x 1) , 3x y 2 0
法线方程：
y 1 1 (x 1) , 3
x 3y 4 0
可导与连续的关系 可导必定连续，反之则不成立。
第
一 节
例如函数 f (x) x 在点 x 0处连续但不可导，
导
因为
数 的 概
f
(0)
lim
x0
f (0 x) f (0)
x
lim x0
导
增量的比值的极限，即平均变化率的极限。
数
的
概
类似问题还有：
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
一元函数微分学及其应用(课件)
从而可知物体在 t 3s 时刻的瞬时速度为34 m/s。
22
第二节 导数的运算 三、复合函数求导法则
引例3 已知 y sin 2x，求 y
解 这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：
y (sin 2x) (2sin x cos x) 2[(sin x)cos x sin x(cos x)] 2(cos2 x sin2 x) 2 cos 2x
0.000001
0.0000001 0.00000001
…
事实上，利用极限思想， 物体在t0 时刻的瞬时速度 可以表示为
v
20.0005
20.00005
20.000005 20.0000005 20.00000005
…
v(t0 )
lim
t 0
s t
ltim0(10t0
5t)
10t0
5
第一节 导数的概念
定义3.1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义，且极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在点 x0 处的导数，记作
f (x0 ) 或
y |xx0
或
dy dx
或
x x0
df (x) dx
x x0
也称函数 f (x) 在点 x0 处可导。
x0
x0
在点 x 0 处的连续性。
又 y f (0 x) f (0) x ，从而
x
x
x
lim
y
lim
x 1
x0 x x0 x
y
x
lim lim 1
同济大学高等数学教案第二章一元函数微分学及其应用
第二章 函数的导数与微分
授课序号 01
教学基本
教学课题 第二章 第一节 导数的概念及基本求导公式
指标
课的类型 新知识课
教学方法 教学重点
参考教材
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
ห้องสมุดไป่ตู้
导数定义，导数的集合意义，可导和连续之间的 教学难点
关系，导数的四则运算
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》 作业布置
（3）
u v
x x
u
'
x
v
x
v2
u x
x
v
'
x
（
v
x
0
）.
定理 3 如果单调函数 x y 在某一区间 I y 内可导，且 y 0 ，则它的反函数 y f x 在对应的区
间 Ix x x y, y I y 内也可导，且
f
x
1
y
y f x .
三、主要例题： 例 1 求函数 y x3 在 x 1处的导数 f (1) .
黑板多媒体结合
导数的定义，用导数定义求极限
课后习题
大纲要求 理解导数的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。
掌握导数的四则运算法则
教 学 基本内容
一、基本概念：
1、导数的定义
定义 设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相
3、相关变化率
设
x
t
、
y
t
均可导，且由
x y
t t
确定了 x 与 y 之间存在着某种关系，这样 dx 与 dy （变 dt dt
高等数学教案--一元函数微积分学
dy df ( x) , .即有 dx dx
注意：导函数是一个函数，而函数在某一点处的导数是一个实数，它是导函数在该点处的函数 值,即 f ′( x0 ) = f ′( x )
x = x0
。
例 2 求函数 f ( x) = C （ C 为常数）的导数. 解 即
f ′( x) = lim
h →0
经过的路程 .但现在是作变速直线运动,物体每时每刻的速度 所花的时间 是不相同的.而对非匀速运动,上述公式表达的是在时间段的平均速度,而不是某时刻的速度. 求瞬时速度的想法是: 瞬时速度=平均速度当时间间隔无限缩小时的极限.
若物体作匀速运动,则速度 = 先求平均速度：给时间 t 0 一个增量 ∆ t ,当时间 t 由 t 0 变到 t 0 + ∆t 时,物体由点 M 0 到达点 M , 对应于时间 t 的增量 ∆t ,物体所走路程 s 有相应增量 ∆s = s (t 0 + ∆t ) − s(t 0 ) ， 从而在 t 0 到 t 0 + ∆t 这段时间内的平均速度 V 为
f ′( x) = lim
∆ x →0
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ( x + ∆x ) 3 − x 3 = lim ∆ x →0 ∆x ∆x
= lim [(3 x 2 + 3 x∆x + (∆x) 2 ] = 3 x 2 .
∆x → 0
由 此 可 见 , 对 y = x 3 定 义 域 内 任 任 一 点 x ∈ ( −∞,+∞ ) 处 的 导 数 存 在 , 且 导 数 值 为
ah −1 , 又 x→a h 1 log a
1 (1 + t ) t
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第二章 一元函数微分学一、 导数（一）、导数概念1、导数的定义：设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，xy∆∆的极限存在，即x yx ∆∆→∆0limxx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|x x y ='或|0x x dx dy =或|0)(x x dx x df =2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆②算比值x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(xx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim0 例1：根据定义求2x y =在点3=x 处的导数。
解：223)3(-∆+=∆x y 2)(6x x ∆+∆=x xy∆+=∆∆6 6)6(lim lim 00=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式①xx x xx f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)()(lim)(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→时＝当0)()(lim)(0000x xx f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→4、左右导数的定义：如果当)0(0-+→∆→∆x x 时，xy∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--→∆→∆-0000000)()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+5、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -'【或x y x ∆∆→∆0lim 存在xyx y x x ∆∆=∆∆⇔+-→∆→∆00lim lim 】 6、函数的可导性与连续性的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续，反之不一定成立。
即连续可导→例如：||x y =在0=x 处连续，但不可导。
解：⎩⎨⎧<-≥==0,0,||x x x x x y0lim lim 0=∆=∆→∆→∆x y x x 连续又10lim )()(lim )(0000-=--=-='--→∆→∆-x x x x f x f x f x x10lim )()(lim )(0000=-=-='++→→+xx x x f x f x f x x)0(+'f )0(-'≠f )0(f ∴不存在7、导数)(0x f '与导函数)(x f '之间的区别，联系是什么？①区别：)(0x f '是数值，)(),,(00是取定的x b a x ∈；)(x f '是函数x b a x (),,(∈是任意一点）； ②联系：)()(0|x f x f x x '='=注：导函数)(x f '简称导数8、导数的物理意义和几何意义？ ① 物理意义：瞬时变化率因变量相对自变量的瞬时变化率②几何意义：曲线)(x f y =在点))((0,0x f x 处切线的斜率。
此时曲线)(x f y =过点))((0,0x f x 处的切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-法线方程：)()(1)(000x x x f x f y -'=- )0)((0≠'x f 例2、根据定义求x y =的导数解：x x x y -∆+=∆x x x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim)(lim 0x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆x x x x +∆+=→∆1lim 0x 21= 因此xx 21)(=' 或xdx x d 21)(=同理可推导：n x y = 1-='n nxy例3、根据定义求x y sin =的导数xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆sin )sin(lim lim00xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2cos(2lim0 x xxx x x cos 22sin)2cos(lim0=∆∆∆+-=→∆ 因此x x cos )(sin ='同理可推导x x sin )(cos -=' 例4、根据定义求x y ln =的导数 xx x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ln )ln(lim lim00xx x x ∆∆+=→∆)1ln(lim0x x x x ∆→∆∆+=10)1ln(limx e x x x x x x x 1ln ])1[ln(lim 110==∆+=∆→∆ 例5、求正弦曲线x y sin =在3π=x 时的切线方程和法线方程。
解：x y cos =' 213cos |3=='==ππx y k当3π=x 时，233sin==πy 切线方程：)3(2123π-=-x y 即03363=+--πy x法线方程：)3(223π--=-x y 即：1203346=--+πy x小结如何验证)(x f y =在0x 处的可导性：⑴、用定义的三种表达形式之一；⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等； ⑶、下列三种情况之一，函数在0x 处肯定不可导： ①、函数在0x 处不连续；②、函数在0x 处左导数和右导数至少有一个不存在； ③、函数在0x 处左、右导数都存在，但不相等。
（二）、导数的基本公式与运算法则1、导数的四则运算 ⑴、v u v u '±'='±)( 例5、x x x y ln sin 4-+= 解：xx x y 1cos 43-+='⑵、v u v u uv '+'=')( 当C u =时，u c cu '=')(w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(例6、x x y cos 7=解：x x y cos )(7'=')(cos 7'+x x x x cos 76=x x sin 7-例7、axx y a ln ln log ==解：ax x a y ln .1)(ln ln 1='=' 即：ax x a ln .1)(log ='⑶、2)(v v u v u v u '-'=' )0(≠v 例8、x y tan =解：x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ('-'='='x x x 222cos sin cos -=x x22sec cos 1== 即：x x 2sec )(tan ='同理可推得x x 2csc )(cot -=' 例9、x y sec =解：x x x y 2cos )(cos )cos 1('-='='xx2cos sin =x x tan .sec = 类似可得：x x x cot .csc )(csc -='2、导数的基本公式1、0)(='C2、1)(-='αααx x3、)1,0(ln )(≠>='a a a a a x x4、x x e e =')(5、)1,0(ln 1)(log ≠>='a a ax x a 6、xx 1)(ln =' 7、x x cos )(sin =' 8、x x sin )(cos -='9、x x 2sec )(tan =' 10、x x 2csc )(cot -='11、x x x tan sec )(sec =' 12、x x x cot csc )(csc -=' 13、211)(arcsin xx -=' 14、211)(arccos xx --='15、211)(arctan x x +=' 16、211)cot (x x arc +-='（三）、求导方法1、 复合函数求法设函数)(u f y =、)(x u ϕ=且)(x ϕ在点x 处可导，)(u f 在对应点u 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在点x 处可导，且)()(x u f dxdyϕ''= 或写成dx du du dy dx dy .=或写成dxdu du df dx df .=例10、x y 3cot =解：函数的复合形式3u y =、x u cot =)(cot )(3''='x u y )csc (322x u -=x x 22csc cot 3-=例11、3sin ln x y =解：函数的复合形式w y ln =、u w sin =、3x u =322332cot .33.cos .sin 13.cos 1x x x x xx u w y ===' 2、分段函数的求导法 设分段函数⎩⎨⎧≥<=00),(),()(x x x v x x x u x f求其导数)(x f '的步骤①按导数公式分别求)(x u '、)(x v '②判定)(x f 在分段点0x 处的连续性，若在分段点)(x f 不连续，则)(x f 在点0x 不可导，如果)(x f 在点0x 处连续，则继续讨论。
③求分段点的左（右）导数)(lim 0x u x x '-→、)(lim 0x v x x '+→，如果)(lim 0x u x x '-→)(lim 0x v x x '=+→，则)(x f 在点0x 处可导。