一元函数微分学教案

第二章 一元函数微分学

一、 导数

（一）、导数概念

1、导数的定义：

设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ∆时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果当0→∆x 时，x

y

∆∆的极限存在，即x y

x ∆∆→∆0lim

x

x f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim

000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|

x x y ='

或

|0x x dx dy =或|0

)

(x x dx x df =

2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -∆+=∆

②算比值

x y ∆∆x

x f x x f ∆-∆+=

)

()( ③取极限x y x f y x ∆∆='='→∆0lim )(x

x f x x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

0 例1：根据定义求2

x y =在点3=x 处的导数。 解：2

2

3)3(-∆+=∆x y 2

)(6x x ∆+∆=

x x

y

∆+=∆∆6 6)6(lim lim 0

0=∆+=∆∆→∆→∆x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式

①x

x x x

x f x x f x f x ∆+=⇓∆-∆+='→∆00000)

()(lim

)(令 ②0

00)

()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→

时

＝当0)

()(lim

)(0000x x

x f x f x f x ⇓∆-='→∆ ③x f x f f x )

0()(lim )0(0-='→

4、左右导数的定义：

如果当)0(0-

+

→∆→∆x x 时，

x

y

∆∆的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左

导数），记为)(0x f +'［)(0x f -'］

000000)

()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='--

→∆→∆-

0000000)

()(lim )()(lim )(x x x f x f x x f x x f x f x x --=∆-∆+='++→∆→∆+

5、函数)(x f 在点0x 处可导的充要条件：

)(x f 在点0x 的左、右导数都存在且相等

即)(0x f '存在)(0x f +'⇔＝)(0x f -'

【或x y x ∆∆→∆0lim 存在x

y

x y x x ∆∆=∆∆⇔+

-→∆→∆00lim lim 】 6、函数的可导性与连续性的关系：

如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续，反之不一定成立。 即连续可导→

例如：||x y =在0=x 处连续，但不可导。 解：⎩⎨

⎧<-≥==0

,0

,||x x x x x y

0lim lim 0

=∆=∆→∆→∆x y x x 连续

又10

lim )()(lim )(0000-=--=-='--→∆→∆-x x x x f x f x f x x

10

lim )()(lim )(0000=-=-='++→→+x

x x x f x f x f x x

)0(+'f )0(-'≠f )0(f ∴不存在

7、导数)(0x f '与导函数)(x f '之间的区别，联系是什么？

①区别：)(0x f '是数值，)(),,(00是取定的x b a x ∈；)(x f '是函数x b a x (),,(∈是任意一

点）； ②联系：)()

(0|

x f x f x x '='=

注：导函数)(x f '简称导数

8、导数的物理意义和几何意义？ ① 物理意义：瞬时变化率

因变量相对自变量的瞬时变化率

②几何意义：曲线)(x f y =在点))((0,0x f x 处切线的斜率。此时曲线)(x f y =过点

))((0,0x f x 处的切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-

法线方程：)()(1

)(000x x x f x f y -'=- )0)((0≠'x f 例2、根据定义求x y =的导数

解：x x x y -∆+=

∆

x x x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00lim lim

)(lim 0x x x x x x x x +∆+∆-∆+=→∆x x x x +∆+=→∆1lim 0x 21

= 因此x

x 21)(=

' 或

x

dx x d 21

)(=

同理可推导：n x y = 1

-='n nx

y

例3、根据定义求x y sin =的导数

x

x x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆sin )sin(lim lim

00x

x

x x x ∆∆∆+

-=→∆2sin )2cos(2lim

0 x x

x

x x x cos 2

2sin

)2cos(lim

0=∆∆∆+-=→∆ 因此x x cos )(sin ='

同理可推导x x sin )(cos -=' 例4、根据定义求x y ln =的导数 x

x x x x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆ln )ln(lim lim

00x

x x x ∆∆+

=→∆)1ln(lim

0x x x x ∆→∆∆+=1

0)1ln(lim

x e x x x x x x x 1

ln ])1[ln(lim 1

10==∆+=∆→∆ 例5、求正弦曲线x y sin =在3

π

=x 时的切线方程和法线方程。

解：x y cos =' 2

13cos |

3

=='==

ππ

x y k

当3

π

=

x 时，2

3

3sin

=

=π

y 切线方程：)3

(2123π

-=-x y 即03363=+--πy x

法线方程：)3

(223π

--=-

x y 即：1203346=--+πy x

小结如何验证)(x f y =在0x 处的可导性：

⑴、用定义的三种表达形式之一；

⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等； ⑶、下列三种情况之一，函数在0x 处肯定不可导： ①、函数在0x 处不连续；

②、函数在0x 处左导数和右导数至少有一个不存在； ③、函数在0x 处左、右导数都存在，但不相等。

（二）、导数的基本公式与运算法则

1、导数的四则运算 ⑴、v u v u '±'='±)( 例5、x x x y ln sin 4

-+= 解：x

x x y 1cos 43-

+='