大数定律及其应用( 刘胜举200702014001)
概率论中的大数定律的解读与应用
概率论中的大数定律的解读与应用概率论作为一门重要的数学分支，研究的是随机事件的规律性和不确定性。
在概率论中，大数定律是一条非常重要的定律，它描述了随机事件在重复试验中的长期平均行为。
本文将对大数定律进行解读，并探讨其在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下大数定律的基本概念。
大数定律是指在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋于其概率。
换句话说，如果我们进行足够多次的试验，那么事件发生的频率将接近于事件发生的概率。
这个定律的重要性在于它揭示了随机事件的长期规律性，使我们能够对未知的随机事件进行预测和分析。
大数定律有两种主要形式，即辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律又称为弱大数定律，它指出当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率将收敛于其概率。
伯努利大数定律又称为强大数定律，它要求试验序列必须是独立同分布的，并且当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率几乎必定收敛于其概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的意义和应用价值。
首先，大数定律提供了一种有效的方法来估计随机事件的概率。
通过进行足够多次的试验，我们可以计算事件发生的频率，并将其作为事件概率的估计值。
这种方法在统计学中被广泛应用，可以用来估计样本的均值、方差等参数。
其次，大数定律在风险管理和金融领域中也有着重要的应用。
在金融市场中，价格的波动和变动往往是随机的，无法准确预测。
然而，通过大数定律，我们可以根据历史数据和试验结果，对未来的价格走势进行一定程度的预测和分析。
这对于投资者和风险管理者来说，具有重要的参考价值。
此外，大数定律还可以用来解释一些看似随机的现象。
例如，赌场中的赌博游戏，尽管每一局都是随机的，但通过进行足够多的试验，我们可以发现赌场总是能够赚取利润。
这是因为赌场利用了大数定律，确保了长期的盈利。
类似地，大数定律也可以解释为什么在大规模的抽奖活动中，中奖者总是符合一定的概率分布。
总之，概率论中的大数定律是一条重要的定律，它揭示了随机事件的长期规律性。
大数定律在统计学中的应用
大数定律在统计学中的应用
大数定律在统计学中有着广泛的应用。
它揭示了一个重要规律：当试验次数足够多时，随机事件的频率趋近于其概率。
这一原理为统计学提供了坚实的理论基础，使得我们能够对大量数据进行准确分析和预测。
首先，大数定律在抽样调查中发挥着关键作用。
在实践中，我们通常无法对总体中的每个个体进行精确测量，因此需要通过抽样来估计总体的性质。
大数定律确保了样本均值在样本量足够大时趋近于总体均值，因此我们可以通过对大量样本的分析来推断总体的特征。
这使得抽样调查成为一种高效且准确的方法，广泛应用于市场调研、民意调查和质量控制等领域。
其次，大数定律在频率稳定性方面也具有重要应用。
在统计学中，我们常常需要比较不同样本的统计量是否相同。
大数定律告诉我们，当样本量足够大时，样本统计量的概率分布趋近于稳定，因此我们可以比较不同样本的统计量来判断它们是否来自同一总体。
这种比较方法对于检验假设、评估差异和进行统计推断具有重要意义。
此外，大数定律还在中心极限定理中发挥了重要作用。
中心极限定理指出，无论总体分布是什么形状，只要样本量足够大，样本均值的分布就会趋近于正态分布。
这一原理使得我们能够利用正态分布的性质来分析样本均值，从而进行更准确的统计推断和估计。
总之，大数定律作为统计学中的重要原理，在抽样调查、频率稳定性和中心极限定理等方面都有着广泛的应用。
它帮助我们准确分析和预测大量数据，为统计学提供了理论基础和实践指导。
大数定理及其在生活中的应用
大数定理及其在生活中的应用摘要：大数定律是随机现象统计规律性的具体表现，它在概率论与数理统计中一直占着重要地位。
本文介绍了几种常用的大数定律，并给出一些简单应用，同时列写了一些生活中的大数。
关键词：大数定律历史应用大数概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验和观察才会呈现出来。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
也就是说，大数定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
概率论历史上第一个极限定理属于贝努里，后人称之为“大数定律”，又称弱大数理论，贝努里对微积分、微分方程、变分法，尤其是概率论的奠基性研究做出了重要贡献。
切比雪夫第一个给出伯努利大数定理的严格证明。
辛钦大数定律是辛钦在1929 年证得，证明的主要工具是特征函数。
常用的大数定理：（1）切贝雪夫大数定理：设是一列两两相互独立的随机变量，服从同一分布，且存在有限的数学期望a和方差σ2，则对任意小的正数ε，有：该定律的含义是：当n很大，服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。
（2）贝努里大数定律：设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有：该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是：当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
（3）辛钦大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，若Xi的数学期望存在，则服从大数定律:即对任意的ε>0 有：生活中的应用：（1）如果我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上是不可预知的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一，也就是正面向上还是反面向上是等概率的。
（2）如果称量某个物体的重量，由于精度等各种因素的影响，当对同一物体重复称量多次时，可能会得到多个不同的数值，当称量次数的增加后，平均值逐渐接近于物体的真实重量。
大数定律在概率论中的应用
大数定律在概率论中的应用概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象和概率规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一个十分重要的概念。
大数定律指出，当试验次数足够多时，随机事件的频率将接近于其概率。
本文将重点探讨大数定律在概率论中的应用，并展示它在实际问题中的重要性。
一、大数定律概述大数定律是概率论的核心内容之一，它主要研究随机试验次数足够多时，事件发生频率的稳定性。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两类，其中弱大数定律是指事件发生频率的期望值可以逼近其概率值，而强大数定律则是指事件发生频率的几乎必然收敛于其概率值。
二、大数定律的应用1. 投资收益率大数定律在金融领域中有广泛的应用。
比如，当投资者进行大量投资时，根据大数定律，投资收益率的均值将逐渐接近投资组合的期望收益率。
这对于评估投资风险和预测未来收益具有重要意义。
2. 统计调查在统计调查中，大数定律可以保证样本的代表性和可信度。
通过采集足够多的样本，可以使样本统计量接近总体参数，从而得到对总体的准确推断。
这在社会调查、市场研究等领域中具有重要应用价值。
3. 数字模拟数字模拟是一种通过计算机模拟随机实验的方法，用于分析复杂系统的行为。
大数定律在数字模拟中扮演着重要的角色，通过大量的模拟实验，可以得到收敛准确的近似解。
这在工程设计、风险评估等领域中被广泛使用。
4. 股票市场分析大数定律在股票市场分析中有着重要的应用。
通过分析历史数据并进行足够多的交易，可以根据大数定律，得到股票价格的趋势和波动范围，从而指导投资决策。
5. 生物统计学在生物统计学中，大数定律可用于描述生物学实验结果的稳定性。
通过重复实验并取得足够多的样本，可以保证实验结果的可靠性，为疾病治疗、药品研发等提供科学依据。
三、大数定律的重要性大数定律在概率论中的应用广泛且重要。
它为我们理解和分析随机事件提供了可靠的数学基础，有助于我们从大量试验中总结规律，并为实际问题的解决提供准确的依据。
大数定律与中心极限定理的关系及其应用
论文题目：大数定律与中心极限定理的关系及其应用摘要：本文通过对概率论的经典定理——大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述,揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性.经过对中心极限定理的讨论,给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据.关于大数定律方面,较全面地分析和叙述了几种最常用的大数定律.同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;另外,叙述了各种大数定律以及中心极限定理各自之间,大数定律与中心极限定理之间的关系.同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系.最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在数理统计、误差、彩票学、近似计算、保险业及数学分析等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值.关键词：随机变量序列；大数定律；中心极限定理；应用ITitle：Law of large numbers and the relationship between the centrallimit theorem and its applicationAbstract: Based on the probability of a classic theorem : the law of large numbers central limit theorem in the independent distribution ; with the different distribution of both cases, it made more systematic exposition, and revealed the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability . Trough the central limit theorem discussion it will give out the random variables and the distribution of the normal distribution .About the law of large numbers, there are more comprehensive analysis and described several of the most commonly used on it. The content of the same central limit theorem also discussed the independent distribution and independent distribution of the two different perspectives. Also, it will discussed the relationship between the variety of narrative and the law of large numbers between their respective central limit theorem, and that of the law of large numbers and the central limit theorem. At the same time, it demonstrated the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally ,it gave out several aspects of application of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in mathematical statistics, error, lottery school, the approximate calculation, and the insurance industry and mathematical analysis, to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value.Keywords: Random variables ; Law of large numbers; Central limit theorem; ApplicationII目录摘要 (I)Abstract (II)第1章引言 (1)第2章大数定律及其证明 (2)2.1 几个相关定义 (2)2.2 大数定律及其证明 (4)第3章中心极限定理 (8)3.1 中心极限定理的提法 (8)第4章大数定律与中心极限定理的关系 (11)4.1 服从大数定律, 但不服从中心极限定理 (11)4.2 服从中心极限定理, 但不服从大数定律 (12)4.3 大数定律与中心极限定理都不服从 (13)4.4 大数定律、中心极限定理都服从 (13)第5章应用 (14)5.1“概率”及“数学期望”的确切定义 (14)5.2 解释测量(随机) 误差 (14)5.3 在数学分析中的应用 (15)5.4 在计算精确的近似概率方面的应用 (16)5.5 在彩票和保险业的应用 (17)结语 (20)参考文献 (21)致谢 (22)附录 (23)IIIIV第1章引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的. 深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.众所周知,中心极限定理是概率论中最重要、最基本的一个定理.中心极限定理揭示了离散型随机变量与连续型随机变量之间的内在联系, 为用连续型随机变量的分布,特别是标准正态分布对离散型随机变量进行概率计算提供了理论基础.基于中心极限定理的概率统计方法在生活中的应用,本文利用中心极限定理,分析了保险业和近似计算中的应用.第 1 页共27页第 2 页 共 27 页第2章 大数定律及其证明2.1 几个相关定义定义1[1] 设n (1,2,)n ξ= 为概率空间(,,)F P Ω上定义的随机变量序列（简称随机序列）,若存在随机变数ξ,使对任意0ε>,恒有：l i m {}0nn p ξξε→∞-≥=或lim {}1n n p ξξε→∞-≤=, 则称随机序列{}n ξ概率收敛于随机变量ξ（ξ也可以是一个常数）,并用下面的符号表示：lim ()n n p ξξ→∞=或pn ξξ−−→.定义 2[2][6][8] 设{}n ξ为随机变量序列, 数学期望n E ξ存在()1n ≥,如果对任意的0ε>.恒有:1111lim (())1nniin i i p E nnξξε→∞==-<=∑∑, 则称随机变量序列{}n ξ服从大数定律.定义 3 设{}n ξ为随机变量序列, 如果存在常数序列{}n a .对任意的0ε>.恒有:11lim ()1nin n i p a nξε→∞=-<=∑, 则称随机变量序列{}n ξ服从大数定律.注：定义2和定义3两种大数定律定义的讨论所谓大数定律, 它是揭示大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论.而大量随机现象即{}n ξ的平均结果是11nii n ξ=∑(n 充分大),其平均值是11()nii E nξ=∑.因此, 从这一角度来考虑,定义2是恰当的.定义3与定义2的不同点在于它并不要求随机变量n ξ的期望n E ξ存在(1n ≥),只要存在常数序列{}n a ,使对任意的0ε>.恒有11l i m ()1ni n n i pa nξε→∞=-<=∑即可.为了弄清这两种定义的异同,我们必须讨论数列{}n a 与数列{11()nii E nξ=∑}之间的关系.首先,当n E ξ(1n ≥)存在时,我们不难证明:0δ∀>,11lim (())0nn in i p a E nξδ→∞=-≥=∑这个结果表明在n E ξ(1n ≥)异存在时,只需取11()nn ii a E nξ==∑,(1n ≥).此时, 定义2 与定义第 3 页 共 27页3 是等价的.其次,当n E ξ(1n ≥)不存在时, 由定义2知{}n ξ不服从大数定律, 而此时, 存在常数列{}n a 使定义3仍然成立.综合上述定义2与定义3不是等价的.定义3不仅在形式上而且在内涵上比定义2更广泛.定义 4[3] 设{()}n F x 是分布函数序列,若存在一个非将函数()F x ,对于它的每一连续点x ,都有li m ()()n n F x F x →∞=,()()w n F x F x −−→,则称分布函数序列{()}n F x 弱收敛于()F x .定义5 设n ()(1,2,)F x n = , ()F x 分别是随机变量(1,2,)n n ξ= 及ξ的分布函数,若()()wn F x F x −−→,则称{}n ξ依分布收敛于ξ,亦记为Ln ξξ−−→,且有： （1）若p n ξξ−−→,则Ln ξξ−−→； （2）设c 为常数,则p n c ξ−−→的充要条件是Ln c ξ−−→. 逆极限定理：设特征函数列{()}n f x 收敛于某一函数()f t ,且()f t 在0t =时连续,则相应的分布函数列{()}n F x 弱收敛于某一分布函数()F x ,而且()f t 是()F x 的特征函数.车比雪夫不等式[4]：设ξ是一个随机变量,它的数学期望为a ,方差为2σ,则对任意的正常数ε恒有：22{},p a σξεε-≥≤（2-1）或有22{}1p a σξεε-<≥- （2-2）称（2-1）式或（2-2）式为车比雪夫不等式.以下就连续型随机变量来证明这个不等式.证 设的密度函数为()f x ,则有222()()()()()x EX x EX DX x EX f x dx x EX f x dx f x dx εεε+∞-∞-≥-≥=-≥-≥⎰⎰⎰{}22()x EX f x dx P x E X εεεε-≥==-≥⎰,第 4 页 共 27 页于是 {}2D XP x E X εε-≥≤这个不等式可解释为：对任意给定的正常数ε,可以作为两个区间(,)a ε-∞-和(,)a ε++∞.（1）式表示,在一次试验中,随机变量ξ的取值落在(,)(,)a a εε-∞-⋃++∞的概率小于等于22σε.不等式说明D X 越小,则X 的取值越集中在E X 附近.这进一步说明了方差是反映随机变量取值的离散程度的.2.2 大数定律及其证明大数定律形式有很多,我们仅介绍几种最常用的大数定律. 定理1[5][6] （车比雪夫大数定律）设随机变量12n ,,,,ξξξ 相互独立,它们的数学期望依次为12n ,,,,a a a ,方差依次为22212,,,,n σσσ 而且存在正常数k ,使得对一切1,2,i = 有2i k σ<,则对任意给定的正常数ε,恒有1111lim {}1nniin i i p annξε→∞==-<=∑∑证 设11nii nξξ==∑,则ξ的数学期望和方差分别为： 111111nnni ii i i i E E E a nn nξξξ===⎛⎫===⎪⎝⎭∑∑∑,222111111n nni iii i i D D D n n nξξξσ===⎛⎫===⎪⎝⎭∑∑∑由车比雪夫不等式,对任意给定的正数ε,有11111{}nni i i i p a nnξε==≥-<∑∑=22221222{}1111ni i D p E nk n k n n σξξξεεεεε=-<≥-=->-=-∑即 211111{}1nniii i p a k n nnξεε==≥-<=-∑∑.对不等式取极限,则得1111lim {}1nniin i i p a nnξε→∞==-<=∑∑车比雪夫大数定律表明,在一定条件下,当n 充分大时,n 个随机变量的算术平均值11nii nξ=∑偏离其数学期望的可能性很小.这也正是用一系列测量值的平均值来近似代替真值的做法的原则.第 5 页 共 27页推论 1 设随机变量12n ,,,,ξξξ 相互独立,且它们具有相同的分布及有限的数学期望和方差：E a ξ=,2(1,2,)D i ξσ== ,则对任意给定的正数ε,有11lim {}1nin i p a nξε→∞=-<=∑.此推论证明：n 个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量,当n 很大时,它们的算术平均值几乎是一个常数,这个常数就是它们的数学期望.定理 2[7]（辛钦大数定律）设12n ,,,,ξξξ 是相互独立的随机变量,而且有相同是的分布,具有有限的数学期望k ,(1,2,)E a k ξ== ,则对任意给定的0ε>,有11lim {}1nkn k p a nξε→∞=-<=∑.注：定理2中条件比定理1中的条件要宽,在定理1中要求方差有限,而定理2不需要这个条件.辛钦大数定律说明独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于它的数学期望值,它为在实际应用中用算术平均值估计数学期望提供了理论依据.证 因为12n ,,,,ξξξ 是具有相同分布的随机变量序列,故它们有相同的特征函数.设它们的特征函数为()f t ,由于k E ξ存在,故()f t 有展开式：'()(0)(0)()1()f t f f t ti a t οο=++=++,其中()t ο表示关于t 的高阶无穷小量. 再由独立性知,11nk k n ξ=∑的特征函数为：1nnt t t f ia n n n ο⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.对任意取定的数t ,有lim lim 1n niat n n t t t f ia e n n n ο→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.而iat e 是连续函数,且是单点分布的特征函数,由逆极限定理知：11nk k nξ=∑的分布函数弱收敛于()F x .其中,1,(),0,x a F x x a>⎧=⎨=⎩因此,11,nLkk a nξ=−−→∑由（2）式知:11nPkk anξ=−−→∑.定理 3[8]（贝努利大数定律）设n μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数, p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对任意给定的正数ε,有lim {}1nn p p nμε→∞-<= 或 lim {}0nn p p nμε→∞-≥=第 6 页 共 27 页证 令 0,1,2,1n k A Y k k A ⎧==⎨⎩ 第试验不发生，，第试验发生.显然12n n Y Y Y μ=+++ ,由于各次试验是独立的,从而12,,,,n Y Y Y 相互独立,又k Y 服从参数为P 的两点分布,所以(),()(1),(1,2,k k E Y P D Y P Pk ==-= . 由定理1有 lim {}1nn p p nμε→∞-<=.此定理表明:当n 很大时, n 重贝努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率,这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性,因此,在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.证 作一次观察时n μ是定值, 作多次观察时n μ是随机变量,而且(,),n B n p μ 因此:n E np μ=,n D npq μ=,()n E n pμ=,()n D n pq n μ=.在车比雪夫不等式中,取 n n ξμ=,则a p =,2pq n σ=,于是对任意给定的正数ε,有21{}11()npq p p n nn μεε≥-<≥-→→∞,因而lim {}1nn p p nμε→∞-<=.定理 4 （泊松大数定律）设12n ,,,,ξξξ 是相互独立的随机变量, P{1}n n P ξ==, P{0}n n q ξ== (其中n P 1n q =-) ,则{}n ξ服从大数定律.证 由定理所设可得:11E()nn ini P P nξ===∑,2221111111()()24nnnn n n iiii i i P q D D P qnnnn ξξ===+⎛⎫==≤= ⎪⎝⎭∑∑∑. 由车比雪夫不等式得,对任意0ε>,有22()10{}4n n n D P P n ξξεεε≤-≥≤≤.两边取极限,得lim {}0n n n P P ξε→∞-≥=.泊松大数定律是贝努利大数定律的推广, 贝努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性;而泊松定理表明,当独立进行的随机试验的条件变化时, 频率仍然具有稳定性:随着n 的无限增大,在n 次独立试验中,事件 A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近.定理5[9][10] 马尔可夫(Marrkov) 大数定律)设{}k ξ是随机变量序列,若211lim()0nk n k D nξ→∞==∑,则对任意>0ε,均有1111lim {}1nnkkn k k p E nnξξε→∞==-<=∑∑,即{}k ξ服从大数定律.证 车比雪夫不等式得212111()111{}1nk nnk kkk k D np E nnξξξεε===≥-<≥-∑∑∑,取极限得:1111lim {}1nnkkn k k p E nnξξε→∞==-<=∑∑注：车比雪夫大数定律可又马尔可夫大数定律推出,更重要的是马尔可夫大数定律已经没有任何关于独立性的规定.第3章 中心极限定理直观上,如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机.因素的总合,其中每个随机因素的单独作用微不足道,而且各因素的作用相对均匀,那么它就服从(或近似地服从)正态分布,下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观.3.1 中心极限定理的提法定理 6[3][11]（林德贝格——列维定理(Lindeberg-Levy)中心极限定理）设随机变量12,,ξξ 是一列独立同分布的随机变量,并且具有数学期望k E a ξ=和方差22(0),1,2,k D k ξσσ=>= ,则对任意实数x ,有22lim ()t nkx n na P x edt x ξ--∞→∞⎛⎫-⎪⎪<==Φ ⎪ ⎪⎝⎭∑ （3-1）证 设k a ξ-的特征函数为()t ϕ,1nknk na ξ=-=∑∑的特征函数为nϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为()()20,k k E a D a ξξσ-=-=,所以'''2(0)0,(0)ϕϕσ==- 于是特征函数()t ϕ有展开式：2'''22221()()(0)(0)()1()22tt t t t t t ϕϕϕϕοσο=+++=-+,从而对任意固定的t ,有22221(),2nntt t t e n n n ϕο-⎡⎤⎡⎤=-+→→∞⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 而22te-是()0,1N 分布的特征函数,因此由特征函数的连续性定理即知（3-1）成立,定理得证.定理6又称独立同分布的中心极限定理,它表达了正态分布在概率论中的特殊地位,尽管k ξ的分布是任意的,但只要n 充分大,nkna ξ-∑近似服从标准正态分布(0,1)N .或者说,当n 很大时,独立同分布的随机变量kξ的和1nk k ξ=∑ 近似地服从正态分布2(,)N n n μσ.这就是那些（可以看作有许多微小的、独立的随机因素作用的总结果,而每一个因素的影响却都很小）随机变量,一般都可以近似地服从正态分布的理论依据,因而正态分布在理论上和应用上都具有极大的重要性.若(,)B n p ξ ,则当n 很大时,有()P a b ξ⎛⎫⎛⎫≤≤≈Φ-Φ⎝定理 7 （棣莫弗—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限定理） 设随机变量n η服从二项分布(,)B n p ,则对于任意区间[,]a b ,恒有22lim t nkb an na P a b dt ξ-→∞⎛⎫- ⎪ ⎪≤<=⎪ ⎪⎝⎭∑⎰二项分布的极限分布是正态分布 即如果(,)X B n p ,则221()()t nk b anaP a b dt b a ξ-⎛⎫- ⎪ ⎪≤<≈=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭∑⎰一般地,如果(,)X B n p ,则()P a X b P ⎛⎫≤<=≤<⎝b np a np --≈Φ-Φ说明:这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法.引理 设12,,ξξ 是独立随机变量序列,又k k E a ξ=,2(1,2,)k k D k ξσ== ,221nnkk B σ==∑,这时:（1） 若{}k ξ是连续型随机变量,密度函数为{}()n P x ,如果对任意0τ>,有2211lim()()0k nnk k x a B n k n x a P x dx Bτ->→∞=-=∑⎰（2） 若{}k ξ是离散型随机变量,k ξ的分布列为(),1,2,n nj nj P x P j ξ=== ,如果对任意0τ>,有()2211lim0nj k nnnjk kj n k x a B nxa P B τ→∞=->-=∑∑则称{}k ξ满足林德贝尔格条件.定理 8 （林德贝格定理） 设独立随机变量序列12,,ξξ 满足林德贝尔格条件,则当时,对任意的,有()2211lim y nx k k n k nP a x edy B ξ--∞→∞=⎛⎫-<=⎪⎝⎭∑这个定理证明了由大量微小而且独立的随机因素引起并积累而成的变量,必将是一个正态随机变量,由林德贝尔格条件可看到定理并不要求各个加项“同分布”,因而它比前述的林德贝尔格——勒维定理更强,事实上林德贝尔格——勒维定理可以由它推出.定理 9 （李雅普诺夫定理） 设12,,ξξ 是独立随机变量序列,又k kE a ξ=,2(1,2,)k k D k ξσ== ,记221nnkk B σ==∑,若存在0δ>,使有22110,nk kk nE a n B δδξ++=-→→∞∑,则对任意的实数x ,有()2211lim y nx k k n k n P a x edy B ξ--∞→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑定理9又称独立非同分布的中心极限定理,李雅普诺夫定理可以解释如下：假定被研究的随机变量可以表示为大量独立随机变量的总和,且总和中的每个单独的随机变量对于总和又不起主要作用,那么可以认为这个随机变量近似地服从正态分布.讨论了独立随机变量和的分布的极限问题,在一定条件下,这些分布弱收敛于退化分布,这就是大数定律.凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理,在概率论中统称为中心极限定理.具体一点说,中心极限定理回答的是(独立或弱相依)随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的.中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉,是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础.第4章 大数定律与中心极限定理的关系概率论中关于独立随机变量序列的极限理论, 已相当完整, 各种问题已有了令人满意的回答,但由于一般教材中, 特别是工科教材, 只介绍一、二个最简单的基本定理,若弱大数定律只介绍切比契夫定理的特殊情况, 中心极限定理只介绍同分布的林德贝格——列维定理(Lindeberg-Levy)的特殊情况——德莫弗—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理.仅少数教材提及林德贝格条件. 这几个定理的条件又都是充分条件, 我们容易产生这样的问题: 大数定律与中心极限定理之间究竟有什么关系? 服从大数定律的是否服从中心极限定理? 反之又如何? 是否有两者都服从或都不服从的随机序列?因教材知识所限, 这些问题不太好回答, 现拟补充几个定理, 以简单的例子加以说明.定理10[12](格涅坚克定理) 设有相互独立的随机变量序列{}k ξ, 则对0ε∀>,11lim {()}1nkk n k p E nξξε→∞=-<=∑的充要条件是2221()lim[]0()nk k n k k k E E nE ξξξξ→∞=-=+-∑.定理11 (马尔科夫定理) 随机变量序列{}k ξ, 若211()0nk k D nξ=→∑,则对0ε∀>, 有11lim {()}1nkk n k p E nξξε→∞=-<=∑.定理12 (费勒定理) 对相互独立随机变量序列{}k ξ, 若∃常数n M ,使1max k n k nM ξ≤≤≤,且limn n nM B →∞=, 则{}k ξ服从中心极限定理.设{}k ξ为相互独立的随机变量序列, 以下在,,()k k j k j P P ξα==中, 令,,,k j k j P α取不同的值, 以说明不同的情形.4.1[12][13] 服从大数定律, 但不服从中心极限定理令(),1,1210,121k k P k α==-+,(),2,221,21k k k P k α==+,(),3,321,21k k k P k α==+,1,2,3,k = ,即()21(0)11k P k ξ==-+,()21()()21k k P k P k k ξξ===-=+可知0,k E ξ=()2221k k kD E k ξξ==+,()222111nnnk k k kB D k ξ====+∑∑因222110,n B n n nn<⋅→→∞, 由马尔科夫定理知, 大数定律成立, 但中心极限定理不成立. 这是因为12111(0)(0,0,,0)(0)(0)nnk n kkk k k P P P P ξξξξξξ∞==========≥=∑∏∏()2111(1)021nk k ==-=>+∏若服从中心极限定理,则取120,0x x <>,有22211211()t nx kx k nP x x edt B ξ-=<<=∑, 当12,x x 充分靠近 0 时,222112t x x e dt -<. 这就出现了矛盾. 所以中心极限定理不成立.4.2 服从中心极限定理, 但不服从大数定律取,,()k k j k j P P ξα==,为1()2k P k ξ==,1()2k P k ξ=-=,1,2,,k = 可知0,k E ξ=2k D kξ=,221nn k B k ==∑, 又 3333322221(1)(1)lim limlim3(1)n n n nn nnn n n n BB B n →∞→∞→∞++-+-===-+,即 313223limlim13n n nnnn B B -→∞→∞==,()12133lim1n nnB -→∞=又 1ax k k nM n ξ≤≤≤,()1213limlim03n n nn nB n→∞→∞-==则由费勒定理知中心极限定理成立, 但不服从大数定律, 这是因为2()x x R n x∈+, 为凸函数, 由琴生不等式222222222()kkkkE kE n n E n kξξξξ≥=+++,而 222222111111,244nnn k k k kkn k n n knnnn===+≥==→→∞++∑∑∑由格涅坚克定理知, {}k ξ不服从大数定律.4.3 大数定律与中心极限定理都不服从取,,()k k j k j P P ξα==,为1(2)2k k P ξ==,1(2)2k k P ξ=-=,可知0,k E ξ=4k k D ξ=,21144(41)3nnknnk k k B D ξ=====-∑∑, 当 n充分大时24n n B >,即2n n B >21112222(21)2n nn n n kk k k ξξ+==≤≤+++=-<∑∑,112nkk nB ξ=<∑故11lim (2)1(2)(2)1nkn k nP B ξ→∞=<=≠Φ-Φ-<∑可知不服从中心极限定理, 又22222222111144()44kknnnnkkknk k k k kkE E nn E n n ξξξξ====≥=>++++∑∑∑∑22111444(41),4433nknnnk n n n ===⋅-→→∞++∑,由格涅坚克定理知不服从大数定律.4.4 大数定律、中心极限定理都服从若{}k ξ为同分布且有有限期望及大于零的方差, 则由教材中定理易知两者都服从. 这时有11lim (())1nkk n k P E nξξε→∞=-<=∑.但括号中的事件概率, 究竞有多大? 大数定律未能回答. 而根据中心极限定理有22111(())()x nnkk kk k k P E P E edx nεξξεξξσ-==≤-<=-<≈∑其中2k D σξ=, 这样看来在所假定的条件下, 中心极限定理比大数定律更精确.第5章 应用大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现. 因此,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.5.1[3] “概率”及“数学期望”的确切定义在给出二者定义时,都采用“稳定”一词,这是一种不确切的描述.依据大数定律可给出更确切的表达,即:概率——独立重复实验中,事件A 出现的频率11nPii Pnξ=−−→∑,则该常数P 即为概率.数学期望——对于任一0ε>,有11lim ()1nin i p nξμε→∞=-<=∑,则()k E μξ=称为数学期望.5.2 解释测量(随机) 误差根据大数定律,对于随机误差12,,,n δδδ ,应有11nPii nδ=−−→∑.这说明当测量次数较多时, 实测数据的平均值11nii a nδ=+∑和预测真值a 的差值能以很大概率趋于0,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的.例1[14] 某种仪器测量已知量A 时,设n 次独立得到的测量数据为12,,,n x x x ,如果仪器无系统误差,问:当n 充分大时, 是否可取作为仪器测量误差的方差的近似值?解 把(1,2,,)i x i n = 视作n 个独立同分布的随机变量的观察值,则()i E x μ=,2(),(1,2,,)i D x i n σ== .仪器第i 次测量的误差i x A -的数学期望()i E x A A μ-=-,方差2()i D x A σ-=.设2(),1,2,,i i Y x A i n =-= ,则i Y 也相互独立服从同一分布.在仪器无系统误差时()0i E x A -=,即有A μ=,222()()()()(1,2,,)i i i i i E Y E x A E x Ex D x i n σ⎡⎤⎡⎤=-=-===⎣⎦⎣⎦由车比雪夫定律,可得: 211lim {}1nin i p Ynσε→∞=-<=∑即 ()2211lim {}1nin i p x A nσε→∞=--<=∑从而确定,当n →∞时,随机变量()211ni i x A n=-∑依概率收敛于2σ,即当n 充分大时可以取()211nii x A n=-∑作为仪器测量误差的方差.5.3 在数学分析中的应用例2[1] 假设()22212121,,,:,0,,12n n n n nG x x x x x x x x ⎧⎫=+++≤≤≤⎨⎬⎩⎭,求其极限. 解 假设随机变量(1,2,)n n ξ= 在[]0,1上有均匀分布,而且相互独立,有112D ξ=,2112E ξ=,易见(){}22111,,2nn n n n Gn dx dx P G P ξξξξ⎧⎫=∈=++≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰ ()()222222211111111111266nn n ii P P E P E n n nξξξξξξξ=⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++≤=++-≤≥-≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑ 由1,,n ξξ 独立同分布,可见221,,,n ξξ 独立同分布.根据辛钦大数定律知:2111lim ()16ni i n i p E nξξ→∞=-≤=∑从而1lim1nn G n dx dx →∞=⎰⎰ .例3 用概率方法证明维尔斯特拉斯[w eierstrass ]定理.假定()f x 在闭区间[],a b 上是连续的,那么,存在一列多项式12(),(),B x B x ,一致收敛于函数()f x ,[],x a b ∈.证 不妨设0,1a b ==.假设()f x ,[]0,1x ∈是连续函数,那么()f x 在[]0,1上一致连续并且有界.对于任意[]120,0,0,1x x ε>≤∈存在0δ>,使12()()2f x f x ε-<,只要12x x ε-<.此外,对于一切01x ≤≤,有()f x k ≤(常数).现在,建立一多项式:()(1)nm m n m n n n m m B x Ef f C x x n n ξ-=⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑,其中n ξ服从二项分布, 参数为1n ≥, 而[]0,1x ∈, 显然(0)(0)n B f =,(1)(1)n B f =.由贝努利大数定律知()limnn x P nξ→∞=,[]0,1x ∈现在证明()n n B x f n ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭一致收敛于()f x ,[]0,1x ∈.由于0(1)1nm m n m n m C x x -=-=∑,可见()()0()(1)nmmn mn n m m B x f x f f x C x x n -=⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑,由此可得:()()0()(1)nm m n m n n m m B x f x f f x C x x n -=⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭∑()()(1)(1)m m n m m m n mn n mm x x nnm m f f x C x x f f x C x x n n δδ---<-≥⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑2(1)222m m n mn n mx nkC x x kP x n δεεξδ--<⎧⎫<+-=+-≥⎨⎬⎩⎭∑. 由于对任意[]0,1x ∈,Pnxnξ−−→可见存在N ,使当时n N ≥,4nP x n kξεδ⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭ 从而,当n N ≥时,对于一切[]0,1x ∈,有:()()22422n B x f x k kεεεεε-<+=+= .即()n B x 关于[]0,1x ∈一致收敛于()f x .5.4 在计算精确的近似概率方面的应用例4[15] 现有一大批种子,其中良种占1/6 ,今在其中任选6000 粒,试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少?解 设取出的种子中的良种粒数为X ,则1(6000,)6X B 于是1600010006E X n p ==⨯= 155(1)60001000666D X np p =-=⨯⨯=⨯(1) 要估计的规律为{}1110006060006100XP P X ⎧⎫-<=-<⎨⎬⎩⎭相当于在切比雪夫不等式中取60ε=,于是{}21110006016000610060X D X P P X ⎧⎫-<=-<≥-⎨⎬⎩⎭ 由题意得 25111100010.23150.76856063600D X-=-⨯⨯=-= 即用切比雪夫不等式估计此概率不小于0.7685.(2) 由拉普拉斯中心极限定理,对于二项分布1(6000,)6B ,可用正态分布5(1000,1000)6N ⨯近似, 于是所求概率为{}11940106060006100X P P X ⎧⎫-<=<<⎨⎬⎩⎭ 2(2.0785)10.9625≈Φ-Φ≈Φ-≈从本例看出:用切比雪夫不等式只能得出来要求的概率不小于0.7685,而用中心极限定理可得出要求的概率近似等于0.9625.从而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的.但由于它的要求比较低,只要知道X 的期望和方差,因而在理论上有许多运用.当i X 独立同分布(可以是任何分布),计算1()n P a X X b <++≤ 的概率时,利用中心极限定理往往能得到相当精确的近似概率,在实际问题上广泛运用.5.5[16][17] 在彩票和保险业的应用大数定律和中心极限定理是概率论中两类具有极大意义的重要定理. 大数定律证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作是总体平均值(数学期望) ,它是“算术平均值法则”的理论基础;中心极限定理比大数定律更为详细具体,它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下,不论总体的分布如何,样本均值总是近似的服从正态分布. 正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占有特殊的地位,是正态分布得以广泛应用的理论基础. 本文通过对彩票学和保险业等几个具体事例的引用展现了大数定律和中心极限定理的实际应用.大数定理在实际生活中应用十分广泛,我们现在以生活中最平常的但都很感兴趣的事情——彩票为例来详细阐述一下大数定理在彩票学中的应用.我们知道概率论是研究现实世界随机现象的科学,是近代数学的重要组成部分. 它在自然科学以及经济工作中都有着广泛的应用,同时也是数理统计的基础. 彩票投注的中奖概率分布完全符合它的原理. 彩票的投注方法是一个玩数字游戏. 彩票号码的摇出是随机事件,也可以说是一随机现象,属概率论的一个基本概念. 首先我们应该先清楚什么是随机现象? 我们说随机现象的特点是:事先不能预言其结果,具有偶然性;另一方面,在相同条件进行大量的重复试验,会呈现出某种规律性(特别是随机开奖次数的不断增多).例如:在相同条件下,多次抛掷质量均匀的同一枚硬币,则出现正面向上的次数约占总抛次数的一半,而且随着抛掷次数的增加,正面向上次数是总抛次数的12.这就是概率论的统计结果.(请看下面5次抛币的试验结果)有人曾经做过抛掷硬币的试验,试验结果记录如下:投掷次数N,正面向上次数M.M0.5181=2048N=1061N M==4040M0.5069N=2048N M=M0.5016N=6019=12000N M=M0.5005=24000N=12012N M==30000M0.4996N=14984N M=M0.5011N=36124=72088N M=由上述情况可以看出投掷次数很大时,其频率稳定于0.5彩票每期摇出的中奖号码(基本号码和特别号码)是一个随机事件,既然是随机事件,必有其分布规律.1. 2001010期至2001023期“上海风采”电脑福利彩票开奖计14期共摇出14*8112=个球.2. 每个球平均出现3.6次3. 奇数出现59次;偶数出现53次4. 小于或等于15的数47次;大于或等于16的数出现65次由此,我们引入彩票的一对常用语“冷门号码”及“热门号码”.有了“冷门号码”及“热门号码”,我们只要扑捉到这种机会,将会提高中奖纪律.概率分布的四条法则:1. 奇数.偶数出现的次数应占总数的12(由于不确定因素除外).2. 大数.小数出现的次数应占总数的12(由于不确定因素除外).3. 1-10区段,11-20区段,21-31区段,三区段出现的数个占总数的13(由于不确定因素除外).4. 各数出现的次数,随着实验(开奖)次数的增加不断靠近平均值(由于不确定因素除外).综上所述,随机的摇球事件随着实验(开奖)次数的增加都会显示出它的某些规律性,而这种规律性可以借助概率论的知识,利用小概率统计法,分析判断号码.通过数字统计,运用概率论原理来判断冷热号码出现的周期. 分析号码可能出现的区段. 缩小精选号码范围. 为新一期选择号码提供参考依据,从而达到提高中奖得率.实际上,对于彩票而言,也不是完全没有规律可循,只要经过大量的观察,根据大数定律就可以进行统计预测,提高中奖的几率. 概率论是一门系统学科,一般人了解的概率,不是从理论上认识,仅仅限于经验. 时间的表层认识. 与其硬着头皮去盲目猜测,不如运用简单的概率学统计分析方法更简单,更容易掌握. 把每期中奖号码出现的次数累加起来,一一进行统计,累计到一定量后,就能发现奖项及其相关指标的概率波动特性. 彩民再根据这些进行选号投注,就可以大大提高中奖几率.中心极限定理指出:如果一个随机变量有众多的随机因素所引起,每个因素在总的变化里起着不大作用,就可以推断描述这个随机现象的随机变量近似的服从正态分布,所以要求随机变量之和落在某个区间上的概率,只要把它标准化,用正态分布作近似计算即可. 中心极限定理还及时了离散型随机变量与连续型随机变量的内在联系,即离散型随机变量的极限分布是正态分布.中心极限定理对保险业更是具有指导性的意义,一个保险公司的亏盈,是否破产,我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和预测. 大数定律是近代保险业赖以建立的基础. 根据大数定律中心极限定理,我们知道承保的危险单位越多,损失概率的偏差越小,反之,承保的危险单位越少,损失概率的偏差越大. 因此,保险人运用大数法则就可以比较精确的预测危险,合理的拟定保险费率. 下面我们以一道具体的有关保险业的实例来阐述一下大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用.例 5已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄段的人参加保险,在同一年里这些人死亡率为0.1% ,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡是家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金. 求保险公司一年中获利不少于40000 元的概率;保险公司亏本的概率是多少?解设一年中死亡的人数为x人. 死亡概率为0.001P= ,把考虑10000人在一年里是否死亡看成10000重贝努里试验,保险公司每年收入为10000*10100000=元,付出2000x元.(1) P(保险公司获利不少于40000 元){}=->=(1000002000)40000P x。
概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应用Revised as of 23 November 2020概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。
概率论中讨论的向的定律。
概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总
大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总大数定理和中心极限定理都是概率论中非常重要的定理，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用。
下面我们来详细介绍它们的关系及应用。
大数定理（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述的是随机变量序列的平均值收敛于期望的情况。
大数定理主要分为弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指的是当样本容量趋于无穷大时，随机变量的平均值收敛于期望的概率为1；强大数定律则指的是在一些条件下，随机变量的平均值几乎处处收敛于期望，即概率为1中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中另一个重要的定理，它描述的是随机变量序列的和随着样本容量的增大逼近于正态分布的现象。
中心极限定理分为三种形式：林德伯格-列维定理、德莫佛拉-拉普拉斯定理和契比雪夫不等式。
其中，林德伯格-列维定理是最早提出的版本，它陈述了独立随机变量和的分布函数在适当的标准化下会趋近于标准正态分布。
大数定理和中心极限定理的关系：大数定理和中心极限定理在一定程度上是互补的。
大数定理关注的是样本容量趋于无穷大时随机变量的平均值的收敛情况，中心极限定理则关注的是样本容量增加时和的分布趋近于正态分布的情况。
可以说，中心极限定理是大数定理的一种具体形式。
应用汇总：大数定理和中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们来汇总一些常见的应用领域：1.投资与金融：大数定理可以应用在股票市场分析中，通过分析历史数据计算出平均回报率，从而预测未来的回报率。
而中心极限定理则可以用于计算股票收益率的置信区间，帮助投资者进行风险管理。
2.生物统计学：大数定理和中心极限定理在生物统计学中有着广泛的应用。
例如，通过大数定理可以估计人口中患其中一种疾病的比例，从而指导公共卫生政策制定。
而中心极限定理则可以用于计算样本均值的置信区间，帮助比较两个群体的差异性。
3.教育评估：在教育评估中，大数定理和中心极限定理可以用于计算学生的平均成绩以及学校的平均分数的置信区间。
大数定律及其应用
学号：20100401179信阳师范学院华锐学院本科毕业论文系数学与计算机科学专业数学与应用数学年级2010级姓名潘方方论文题目全概率公式在实际问题中的应用指导教师任园园职称讲师2014年5月6日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)前言 (1)1.全概率公式 (2)1.1全概率公式 (2)1.2 Bayes公式 (2)1.3全概率公式的内涵剖析 (3)2.全概率公式在实际中的应用 (3)2.1在摸彩模型下的应用 (3)2.2在医疗领域中的应用 (4)2.3在敏感问题调查中的应用 (5)2.4在抽检次品类型问题中的应用 (5)2.5在商品销售问题中的应用 (6)2.6 在系统可靠性问题中的应用 (7)2.7在生物研究中的应用 (8)3.小结 (9)参考文献 (11)致谢词 (12)全概率公式在实际问题中的应用学生姓名：潘方方学号：20100401179数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：任园园职称：讲师摘要：在概率论中，概率计算是一个重要的问题.而全概率公式是概率计算中应用较多的公式之一.本文介绍了全概率公式的定义及内涵，并给出了它在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用.关键词：概率计算；全概率公式；应用Abstract：In probability theory, probability calculation is an important question. The total probability formula is one of the more formula used in the calculation of probability. In this article, we describe the definition and connotation of the total probability formula and give its application in the lucky model, the medical field, sensitive issues survey, sampling defective, merchandise sales, system reliability, biological research and so on.Key Words：Probability calculation; The total probability formula; Applications前言概率论的基本概念是学习概率论的基础，其中心任务是阐明概率的意义和概率统计的重要法则.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解决问题的正确思路，同时也体现了互不相容、独立和条件概率等重要概念的应用.而全概率公式作为概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干个互不相容的简单事件，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到最终结果.它为我们计算复杂事件的概率提供了一条简单有效的途径.全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要的作用．随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域，成为实际生活中不可缺少的基本理论.本文首先介绍了全概率公式的定义及内涵，其次给出了全概率公式在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等问题中的应用,灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大的便利，是我们解决复杂问题的有效工具.1.全概率公式1.1全概率公式定义1.1.1 设n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()n i B P i ,,2,1,0 =>，则对任一事件A 有()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.证明 因为()11n ni i i i A A A B AB ==⎛⎫=Ω== ⎪⎝⎭ 且12,,,n AB AB AB 互不相容,所以由可加性得()()()11n ni i i i P A P AB P AB ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑ ，再将()()(),1,2,,i i i P AB P B P A B i n == ，代入上式即可得到()()()i ni i B A P B P A P ∑==1.如果事件12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，则称12,,,n B B B 是完备事件组.这时()()()i ni i B A P B P A P ∑==1对任何事件A 成立.B 和B 总构成完备事件组，所以()()()()()P A P B P A B P B P A B =+.这是一个最常用的公式. 1.2 Bayes 公式定义1.2.1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω的一个分割，即12,,,n B B B 互不相容，且1ni i B ==Ω ，如果()0P A >，()0i P B >，1,2,,i n = ，则()()()()i i i P B P A B P B A P A =.若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式()()()()()1i i i njjj P B P A B P B A P B P A B ==∑,1,2,,i n = .一般求解概率问题都是在试验之前进行的，其结论也称为“先验概率”，而实际应用中人们往往想要得知在“结果”发生的情况下，“原因”发生的可能性大小，也就是“后验概率”.而事实上Bayes 公式就是计算后验概率的公式.利用Bayes 公式可求得后验概率并以此对先验概率进行修正.这种方法在经济分析、药物临床检验、投资等各种领域有很大的实用价值. 1.3全概率公式的内涵剖析从公式()()()i ni i B A P B P A P ∑==1中可以悟出：“全”部概率()P A 被分解成许多部分之和.它的理论和实际意义在于：在比较复杂的情况下直接算()P A 不易，但A 总是伴随着某个i B 出现，适当去构造这一组i B 往往可以简化计算.这一公式也可以从另一个角度去理解，把i B 看成导致事件A 发生的一种可能途径.对不同途径，A 发生的概率即条件概率()P A B 可能各不相同，而采取哪个途径却是随机的.直观上可理解为：在这种机制下，A 的综合概率()P A 应在最小的()i P A B 和最大的()i P A B 之间，它也不一定是所有()P A B 的算术平均，因为各途径被使用的机会()i P B 各不相同，正确的答案如所预期，应是各个()i P A B ，1,2,,i n = ，以()i P B ，1,2,,i n = 为权的加权平均值.一个形象的例子如下：某中学有若干个毕业班，各班升学率不同.其总升学率是各班升学率的加权平均，其权与各班学生数成比例.2.全概率公式在实际中的应用2.1在摸彩模型下的应用例1 设在n 张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解 设i A 表示事件“第i 人摸到奖券”，1,2,,i n = .现在目的是求()2P A .因为1A 是否发生直接关系到2A 发生的概率，即()()212110,1P A A P A A n ==-. 而1A 与1A 是两个概率大于0的事件：()()1111,n P A P A n n-==. 于是由全概率公式得()()()()()2121121111101n P A P A P A A P A P A A n n n n -=+=⋅+⋅=-.这表明：摸到奖券的机会与先后次序无关.因后者可能处于“不利状况”（前者已摸到奖券），但也可能处于“有利状况”（前者没有摸到奖券，从而增加后者摸到奖券的机会），两种状况用全概率公式综合（加权平均）所得结果（机会均等）即全面又合情理. 用类似的方法可得()()()341n P A P A P A n====. 如果设n 张彩票中有()k n ≤张奖券，则()()()12n k P A P A P A n====. 这说明购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的. 2.2在医疗领域中的应用例2 假设有1,2,3,4四个地区爆发了某种传染病，通过对患病人口分布和地理环境调研后发现四个地区感染此病的概率分别为1111,,,6543，现从这四个地区中随机找到一个人，那么此人患病的概率是多少？解 令{}{}A B i ==此人患病，此人来自地区,1,2,3,4i =,由题意可知()()()()123414P B P B P B P B ====，()()()()12341111,,,6543P A B P A B P A B P A B ====.因此由全概率公式得()()()41i i i P A P B P A B ==∑11111111194645444380=⨯+⨯+⨯+⨯=.所以此人患病的概率为1980. 2.3在敏感问题调查中的应用例3 在调查家庭暴力（或婚外恋、服用兴奋剂、吸毒等敏感问题）所占家庭的比例p 时，被调查者往往不愿回答真相，这就使得调查结果失真.为得到实际的p 同时又不侵犯个人隐私，调查人员在袋中放入比例是0p 的红球和比例是001q p =-的白球.被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取到红球就讲真话，取到白球就讲假话.被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或“否”，然后将表放入投票箱.没人知道被调查者是否讲真话和回答的是什么.如果每个家庭回答“是”的概率是1p ，求p .解 对任选的一个家庭，用B 表示回答“是”，用A 表示取到红球.利用全概率公式得到()()()()()1p P B P B A P A P B A P A ==+ ()001pp p q =+- ()000q p q p =+-. 于是只要00p q ≠，则1000p q p p q -=-. 实际问题中，1p 是未知的，需要经过调查得到.假定调查了n 个家庭，其中有k 个家庭回答“是”，则可以用1ˆkpn=估计1p ，于是可用1000ˆˆp q pp q -=-估计p .其中00p q -越大，得到的结论越可靠.但是00p q -越大，调查方案越不易被调查者接受.2.4在抽检次品类型问题中的应用例4 要验收一批乐器共100件，从中随机取出3件测试，且3件乐器的测试是互相独立的.如果3件中任意一件音乐不纯，则拒绝接受这批乐器.设一件音色不纯的乐器经测试被查出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被认为不纯的概率为0.01，如果这100件乐器中有4件音色不纯，求这批乐器被接受的概率. 解 设事件i A 为“3件乐器中有i 件音色不纯”()0,1,2,3i =，事件B 为“这批乐器被接受”.0123,,,A A A A 构成完备事件组，要考察B 出现的概率，需要考虑各个i A ()0,1,2,3i =出现的情况下B 的条件概率.由全概率公式，得()()()30i i i P B P A P B A ==∑.由题设知，事件i A 的概率()()349631000,1,2,3i i i C C P A i C -==.事件{}i B A 的含义是：在3件乐器中有i 件音色不纯的情况下这批乐器被接受.这意味着：i 件音色不纯的乐器都查不出来，而()3i -件音色纯的乐器也都不能被误认为不纯，又因为3件乐器的测试是相互独立的，所以()()()()3310.9510.010.050.99iiii i P B A --=-⨯-=⨯ ()0,1,2,3i =，代入上式，得()()()333496301000.050.990.8629i ii ii C C P B C --==⨯⨯=∑.2.5在商品销售问题中的应用例5 假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为λ的Poisson 分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p ，且顾客之间是否购买电视机的事件互相独立，试求这段时间内百货公司售出k 台电视机的概率.解 设k A 表示出售电视机k 台，i B 表示来到百货公司的顾客数为i 人，则(),0,1,2,!ii P B e i i λλ-== ,()()0,0,1,2,,1,1,,1,.i kk i k k ii k P A B C P p i k k -=-⎧⎪=⎨-=+⎪⎩所以，由全概率公式得()()()0k i k i i P A P B P A B +∞==∑()1!ii kk kii kC p p e i λλ+∞--==-∑()()!1!!!ii k ki k i p p e k i k i λλ+∞--==--∑()()()1!!i kki kp p e k i k λλλ-+∞-=-⎡⎤⎣⎦=-∑()()0,1,2,!kpp e k k λλ-== .说明百货公司所售出的电视机数仍服从Poisson 分布，参数为p λ. 2.6 在系统可靠性问题中的应用例6 元件能正常工作的概率称为该元件的可靠性，由多个元件构成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.设如图所示（见图1）系统中各元件正常工作的概率均为p ()01p <<，且各元件正常工作与否相互独立，求下列各系统正常工作的概率.图1：由元件组成的工作系统解 （1）设系统KL 正常工作的概率为KL p ，因为要是系统KL 正常工作，两条串联线路必须至少有一条正常工作，而第一条串联线路正常工作的概率为n p ，不正常工作的概率为1n p -，两条串联线路都不正常工作的概率为()21n p -，因为KLp等于不是两条串联线路都不正常工作的概率，即()()2112n n n KL p p p p =--=-.（2）类似（1），设系统MN 正常工作的概率为MN p ，则()()2112nnn MNp p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦. 显然，当1n >时，有MN KL p p >.（3）设系统RS 正常工作的概率为RS p ，以,,,,A B C D E 表示相应元件正常工作，并设事件W 为“系统RS 正常工作”.方法一 因,,,AD ACE BE BCD 4条线路至少有一条正常工作，系统RS 就正常工作，再由加法公式得()RS p P AD ACE BE BCD =()()()()()P AD P ACE P BE P BCD P ACDE =+++-- ()()()()P ADBE P ADBC P ACEB P ACEBD ---- ()()()P BECD P ADCEB P ABCED +++()2P ABCDE 23452252p p p p =+-+. 方法二 由全概率公式和（1）、（2），得()()()()()RS p P W P C P W C P C P W C ==+()()()2222212p p p p p p =⋅-+-⋅-23452252p p p p =+-+.从上面的解题步骤我们可以看出，如果使用通常的解答方法的话，在遇到样本空间庞大，数据复杂的事件时是十分费时费力的.而用全概率公式的话就是非常简洁明了.2.7在生物研究中的应用例7 某实验室在器皿中繁殖成k 个细菌的概率为,0,0,1,2,!kk p e k k λλλ-=>= ,并设所繁殖成的每个细菌为甲类菌或乙类菌的概率相等.求下列事件的概率： （1）器皿中所繁殖的全部是甲类菌； （2）已知全是甲类菌，求恰好有2个甲类菌； （3）求所繁殖的细菌中有i 个甲类菌.解 以事件A 表示“繁殖的细菌全是甲类菌”，k B 表示“繁殖了k 个细菌”，0,1,2,k = ,i A 表示“所繁殖的细菌中有i 个甲类菌”，0,1,2,i = .（1）由全概率公式得()()()12111(1)!2kkk k k k P A P B P A B e e e k λλλλ∞∞--==⎛⎫===- ⎪⎝⎭∑∑.（2）()()()()222222112212!2(1)8(1)e P B P A B P B A P A e e e λλλλλλ--⎛⎫⎪⎝⎭===--. （3）由题意得()()11,!222ik ikk i i k i k k k e i P B P A B C C k λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由全概率公式得()()()i k i k k iP A P B P A B ∞==∑1!2kkikk ie C k λλ∞-=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()!!!!2kk ik e k i k i λλ∞-=⎛⎫= ⎪-⎝⎭∑()12!2!k ii k i e i k i λλλ-∞-=⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪-⎝⎭∑ 122!ie i λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭= ()1,2,i = .3.小结本文对全概率公式的定义、内涵及在部分领域的应用做了简单的阐述，仅此就可以看到全概率公式在实际应用中的重要性.事实上这是由全概率公式的思想方法决定的.全概率公式的精髓之处就在于将事件分割，化繁为简、化难为易.因此我们在解答实际问题时只要遇到事件构成复杂、数据量庞大的问题时就可以考虑使用全概率公式及其推广，即使有的问题不能够使用全概率公式,我们也可以利用其思想对问题进行分析研究并求解.全概率公式在以后的科学技术领域、工农业生产及国民经济各部门中会有更加广泛的应用.如保险业务；气象、地震报告；产品的抽样检验；研发新产品中的寻求最佳生产方案；在可靠性工程中进行器件和装置使用可靠性程度和平均寿命的估算等.我们要在熟练掌握基本理论和基本方法的前提下，理论联系实际，不断提高自己分析问题和解决问题的能力.参考文献：[1] 林正炎，苏中根.概率论.[M].杭州：浙江大学出版社，2001.8.[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.[M].北京：高等教育出版社，2011.2（2012.5重印）.[3] 顾晓青.全概率公式的应用.[J].沧州师范专科学校学报，2000.6,第16卷,第3期.[4] 陈希孺.概率论与数理统计.[M].合肥：中国科学技术大学出版社，1992.5（2007.8重印）.[5] 王明慈，沈恒范.概率论与数理统计.[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重印）.[6] 马晓丽，张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用.[J].高等数学研究，2010.6，第13卷，第1期.[7] 符方健.全概率公式及其应用技巧.[J].高等数学研究，2011.3,第14卷第2期.[8] 马元生.概率统计简明教程.[M].北京：科学出版社，2007.[9] 郭跃华.概率论与数理统计.[M].上海：科学出版社，2011.01第一版.[10] 金圣才.概率论与数理统计.［M].北京：中国石化出版社, 2005第一版.[11] 陈家鼎，郑忠国.概率与统计.[M].北京：北京大学出版社，2007.8.[12] 何书元.概率论.[M].北京：北京大学出版社，2006.1.致谢词光阴似箭，四年的大学生生活即将结束.回顾在学校度过的每个日日夜夜，感受颇多.报到第一天的情景、四年时间里发生的点点滴滴仿佛就在昨天，对于即将奔向他乡走上工作岗位的我来说，才发现自己原来是那么的不舍.在本文的写作过程中，要特别感谢我的指导老师任园园老师的指导和督促.从选题到开题报告，从写作提纲到写作定稿，倾注了任老师大量的心血.可以说，没有任老师的帮助就没有今天的这篇论文.您积极进取的工作态度、宽广的胸怀与见识、曾经教给我的许多为人处事的道理以及在面对困难时所表现出的勇气都是我一生宝贵的财富，我将带着这些财富踏上我的新的征程.在此，谨向任老师表示我最诚挚的敬意和感谢.其次，感谢我的室友们，感谢她们在我论文写作期间对我论文提出的所有建议;四年来，我们朝夕相处，共同进步，感谢她们给予我的所有关心和帮助.同窗之谊，我将终生难忘！感谢我们10级3班的同学们，感谢他们陪伴着我一起走过的风风雨雨，希望大家都能有个好的前程.最后需要特别感谢的是我的父母.父母的养育之恩无以为报，他们是我十多年求学路上的坚强后盾，在我面临人生选择的迷茫之际，为我排忧解难，他们对我无私的爱与照顾是我不断前进的动力.。
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
数学公式知识：大数定理及其应用
数学公式知识：大数定理及其应用浅谈大数定理及其应用大数定理是数学中的一类重要原理，它主要描述了随机事件中大量试验的概率规律。
该定理是一种极限定理，其中包含了许多不同版本和环境，但它的主要特征是：对于独立随机事件序列，随着样本数量的增加，它们的概率（或平均数、总和等）会收敛于一个确定的数值。
因此，大数定理为我们提供了有关大量随机事件的重要信息，具有广泛的应用价值。
一般来说，大数定理的形式包括几种基本类型：依概率收敛定理、弱收敛定理、强收敛定理等等。
其中，依概率收敛定理是应用最为广泛的一类，它主要描述的是随机事件的平均数或总和的渐进性质。
具体而言，如果一个随机变量序列{x1, x2, ..., xn}是独立同分布的，它们的期望值为μ，方差为σ2，则当样本量增加时，它们的算术平均数S_n = (x1+x2+...+xn)/n依概率收敛于μ，即P(|S_n - μ| > ε) → 0 (n → ∞)。
这意味着，当随机事件的样本数量足够大时，它们的平均值将非常接近于真实的期望值。
通过大数定理，我们可以得出许多有用的结论和推论。
例如，在样本数量足够大的情况下，我们可以基于样本的平均数来对总体进行估计，这是现代统计学的基本方法之一。
此外，大数定理也为我们提供了分析和解释实验结果的方法。
例如，在经济学和金融学中，我们经常使用大数定理来解释证券市场的波动性和风险。
除了上述几个应用，大数定理还有许多其他实际应用的场景，例如：1.在质量控制中，我们可以使用大数定理来估计产品缺陷的概率，并制定相应的检验规则。
2.在信号处理中，我们可以使用大数定理来识别信号中的噪声，并从中提取有用的信息。
3.在生态学中，我们可以使用大数定理来研究物种的多样性和相对丰度。
总之，大数定理是现代统计学中最为基础的概率原理之一。
它为我们提供了对随机事件的深入理解，帮助我们应用科学方法来分析和解决实际问题。
因此，在实际应用中，我们应该充分认识到大数定理的重要性和应用价值，并不断更新和改进统计方法，以更好地服务于社会和人类发展。
大数定律及应用
……………………. ………………. …………………xx 大学 毕 业 论 文 题目： 大数定律及其应用院 部 信息科学与工程学院专业班级 信息与计算科学1班届 次 x 届学生姓名 xx学 号 xx指导教师 xxx二O 一一 年 六 月 十 日装 订线 ……………….……. …………. …………. ………大数定律及其应用Law of large numbers and its application专业Speciality信息与计算科学Information and Computing Science学生Undergraduate xx xx指导教师Supervisorxxxx xxx大学xx年六月xxx UniversityJune, xx摘要对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现.本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.关键词：大数定律；强大数定律；数学分析；经济.AbstractTo random phenomemon, its statisticses law just can present when a great deal of repeated test are carried on under the basic same condition. This text mainly is pass law of large numbers to talk about random phenomenon’s most basic quality------related contents of average result stability .Law of large numbers presents the law of probability quality when test the number of times is very big.This text firstly introduces some basics which are involved in law of large numbers in order to make it easier to understand the corresponding knowledge in this paper.Through comparison, this article analyzes some conditions of the law of large numbers, introduces several kinds of more familiar law of large numbers and strong law of large numbers,tallying up application of law of large numbers,mainly including application of law of large numbers in mathematical analysis, application of law of large numbers in production and living,application of law of large numbers in economy,such as insurance, bank management and so on.It makes mathematical theory concretely,considers some viable conclusions in concrete mathematical model.Thus we can have deeper understanding on the law of large numbers in the real life.Key words:Law of large numbers,strong law of large numbers,mathematical analysis,economy.目录引言 (1)1大数定律 (2)1.1 大数定律的定义 (2)1.2常用的大数定律 (2)1.2.1 伯努利大数定律 (2)1.2.2 泊松大数定律 (3)1.2.3 切比雪夫大数定律 (3)1.2.4 马尔可夫大数定律 (3)1.2.5 辛钦大数定律 (4)1.3强大数定律 (4)1.3.1博雷尔强大数定律 (5)1.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律 (5)1.4几个大数定律的关系及适用场合 (6)1.4.1各个大数定律之间的关系 (6)1.4.2大数定律适用条件的分析 (7)1.4.3几个大数定律的应用场合分析 (7)2大数定律的应用 (11)2.1大数定律在数学分析中的应用 (11)2.1.1 在积分方面的应用 (11)2.1.2 证明一致收敛 (12)2.1.3 在极限中的应用 (13)2.2大数定律在生产生活中的应用 (15)2.2.1 误差方面的应用 (15)2.2.2 估计数学期望和方差 (16)2.3大数定律在经济中的应用 (16)2.3.1 大数定律在保险中的应用 (16)2.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 (18)参考文献 (21)致谢 (22)ContentsIntroduction (1)1 Law of large numbers (2)1.1 Definition of law of large numbers (2)1.2 Common law of large numbers (2)1.2.1 Bernoulli’s Law of Large Numbers (2)1.2.2 Poisson Law of Large Numbers (3)1.2.3 Chebyshev Law of Large Numbers (3)1.2.4 Markov Law of Large Numbers (3)1.2.5 Khintchine Law of Large Numbers (4)1.3 Strong Law of Large Numbers (4)1.3.1 Borel Strong Law of Large Numbers (5)1.3.2 Kolmogorov Strong Law of Large Numbers (5)1.4 Relationship and occasions of several law of large numbers (6)1.4.1 Relationship between the various law of large numbers (6)1.4.2 Analysis of the conditions of the law of large number (7)1.4.3 Several application occations of the law of large number (7)2 Application of law of large numbers (11)2.1 Application of law of large numbers in mathematical analysis (11)2.1.1 Application of the integral (11)2.2.2 Proof of uniform convergence (12)2.2.3 Application of limiton (13)2.2 Law of large numbers of application in the production and living (15)2.2.1 Application of error (15)2.2.2 Mathematical expectation and variance estimation (16)2.3 Law of large numbers of applications in the economy (16)2.3.1 Application of law of large numbers in insurance (16)2.3.2 Application of law of large numbers in bank management (18)Reference (21)Acknowledgement (22)引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值.在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值11ni i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位.大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.1大数定律1.1 大数定律的定义大数定律使用极限方法研究大量随机现象的统计规律性.人们在长期的实践中发现,频率以及大量测量值的算术平均值具有稳定性,也就是说,无论个别测量值如何,其平均结果实际上与个别测量值的特征无关,几乎不再是随机的了.这种稳定性问题如何从理论上给出解释？这正是大数定律要解决的问题.阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都称为大数定律.一般的大数定律都涉及一个随机变量序列{n X },为此我们给出如下定义.定义1.1.1 设有一随机变量序列{n X },假如对任意的0ε>,有 1111lim ()1n ni i n i i P X E X n n ε→+∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑ (1.1.1) 的性质,则称该随机变量序列{n X }服从大数定律.1.2 常用的大数定律不同的大数定律的差别只是对不同的随机变量序列{}n X 而言,有的是相互独立的随机变量序列,有的是相依的随机变量序列,有的是同分布的随机变量序列,有的是不同分布得随机变量序列等等.1.2.1 伯努利大数定律定理1.2.1(伯努利大数定律)设n μ为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,p 为每次试验中A 出现的概率,则对任意的0ε>,有 lim 1n n P p n με→+∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭. 伯努利大数定律说明：随着n 的增大,事件A 发生的频率nn μ与其频率p 的偏差np n μ-大于预先给定的精度ε的可能性愈来愈小,小到可以忽略不计.这就是频率稳定于概率的含义,或者说频率依概率收敛于概率.譬如,抛一枚硬币出现正面的概率p=0.5.若把这枚硬币连抛10次,则因为n 较小,发生大偏差的可能性有时会大一些,有时会小一些.若把这枚硬币连抛n 次,当n很大时,由切比雪夫不等式知：正面出现的概率与0.5的偏差大于预先给定的精度ε（若取精度ε=0.01）的可能性0.50.01n P n μ⎧⎫->⎨⎬⎩⎭20.50.50.01n ⨯≤4104n = 当n=510时,大偏差发生的可能性小于12.5%40=.当n=610时,大偏差发生的可能性小于10.25%400=.可见试验次数愈多,偏差发生的可能性愈小.伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的理论依据.譬如要估计某种产品的不合格品率p,则可从该种产品中随机抽取n 件,当n 很大时,这n 件产品中的不合格品的比例可作为不合格品率p 的估计值.1.2.2 泊松大数定律定理1.2.2(泊松大数定律)设1,,n X X 是相互独立的随机变量{}{},,10n n n n P X p P X q ====,(1)n n p q =-其中则{n X }服从大数定律．泊松大数定律是伯努利大数定律的推广,伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大,在n 次独立试验中,事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近.1.2.3 切比雪夫大数定律定理1.2.3 (切比雪夫大数定律)设{n X }为一列两两不相关的随机变量序列,若每个i X 的方差存在,且有共同的上界,即()i Var X c ≤,i=1,2,…,则{n X }服从大数定律,即对任意的0ε>,（1.1.1）式成立.注意,切比雪夫大数定律只要求{n X }互不相关,并不要求它们是同分布的.假如{n X }是独立同分布的随机变量序列,且方差有限,则{n X }必定服从大数定律.1.2.4 马尔可夫大数定律定理1.2.4 (马尔可夫大数定律)设随机变量序列{n X }满足条件：对任意的n ≥1,有1n i i Var X =⎛⎫<∞ ⎪⎝⎭∑,且211lim 0n i n i Var X n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （1.3.1） 则{n X }服从大数定律.马尔可夫大数定律的重要性在于：对{n X }已经没有任何同分布、独立性、不相关的假定.切比雪夫大数定律显然可由马尔可夫大数定律推出.1.2.5 辛钦大数定律我们已经知道,一个随机变量的方差存在,则其数学期望必定存在；但反之不成立,即一个随机变量的数学期望存在,则其方差不一定存在.以上几个大数定律均假设随机变量序列{n X }的方差存在,以下的辛钦大数定律去掉了这一假设,仅设每个i X 的数学期望存在,但同时要求{n X }为独立同分布的随机变量序列.伯努利大数定律仍然是辛钦大数定律的特例.定理1.2.5 (辛钦大数定律)设{n X }为一独立同分布的随机变量序列,若i X 的数学期望存在,则{n X }服从大数定律,即任意的0ε>,（1.1.1）式成立.辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E （X ）的近似值的方法.设想对随机变量X 独立重复地观察n 次,第k 次观察值为k X ,则1,,n X X 应该是相互独立的,且它们的分布应该是与X 的分布相同.所以,在E （X ）存在的条件下,按照辛钦大数定律,当n 足够大时,可以把平均观察值11ni i X n =∑作为E （X ）的近似值.这样做法的一个优点是我们可以不必去管X 的分布究竟是怎样的,我们的目的只是寻求数学期望.事实上,用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中是常用的方法,譬如,用观察到的某地区5000个人的寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的,这样做法的依据就是辛钦大数定律.1.3 强大数定律定义1.3.1（依概率收敛）设{}n X 为一随机变量序列,X 为一随机变量.如果对任意的0ε>,有{}n lim 1n P X X ε→+∞-<=则称{}n X 依概率收敛于X,记作P n X X −−→. 定义1.3.2（以概率1收敛）对任意的0ε>,成立()()()10n k n k P w w ξξε∞∞==⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭（1.3.1） 则称(){}n w ξ以概率1收敛于()w ξ,记作(){}()..a s n w w ξξ−−→.我们以前讨论的大数定律只要求依概率收敛,若把收敛性要求提高到为以概率1收敛,则得到的大数定律为强大数定律.若强大数定律成立,则通常的大数定律也一定成立,反之不然.有时为区别起见,把依概率收敛意义下的大数定律称为弱大数定律.1.3.1 博雷尔强大数定律定理1.3.1(博雷尔强大数定律)设n μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数,在每次试验中事件A 出现的概率均为p,那么当n →∞时,1n P p n μ⎧⎫→=⎨⎬⎩⎭我们一直期待,当试验次数无限增加时,频率将趋于概率,博雷尔强大数定律正给出了这个结果.从伯努利大数定律并不能引申出这个结论,它只断言一个不等式np nμε-<成立的概率可以大于1η-,不论η是什么正数；但是事件122,,...,, (1)22n n np p p n n nμμμεεε++-≥-≥-≥++中至少有一个发生仍是可能的,因为它是可列个事件之并,而我们只知道每个事件的概率很小,但博雷尔强大数定律则断言np nμ-以概率1变得很小,而且保持很小.虽然从逻辑上讲,在投硬币时每次都出现正面是可能的,这时1nnμ=,因而np nμ→并不成立,但是强大数定律断言了这种事件发生的概率为0. 1.3.2 科尔莫戈罗夫强大数定律下面讨论更一般的强大数定律,定义如下： 设{}n X 是独立随机变量序列,若()11lim 01n i i n i P X EX n →∞=⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑则称它满足强大数定律.定理1.3.2(科尔莫戈罗夫强大数定律) 设k p p =,1,2,...i =是独立随机变量序列,且21nn VarX n ∞=<∞∑,则成立 ()11lim 01n i i n i P X EX n →∞=⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑ 1.4 几个大数定律的关系及适用场合 1.4.1 各个大数定律之间的关系1.伯努利大数定律是泊松大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中,如果n p p =,则泊松大数定律也就是伯努利大数定律.伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松大数定律表明,当独立进行的随机试验的条件变化时,频率仍然具有稳定性；随着n 的无限增大,在n 次独立试验中,事件A 的频率趋于稳定在各次试验中A 出现的概率的算术平均值附近.2.泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例.在泊松大数定律的条件中()n Var X 1n n p q =≤,因此也满足切比雪夫大数定律的条件.3.切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.事实上,在切比雪夫大数定律的条件中()1,Var X c ≤()2,Var X c ≤...,(),n Var X c ≤...由随机变量序列的两两不相关性可知：211n i i Var X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑()211ni i Var X n==∑0,n c n→∞≤−−−→ 从而也满足马尔可夫大数定律的条件.因此,伯努利大数定律、泊松大数定律也都是马尔可夫大数定律的特例. 4.伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形：因为在伯努利大数定律中可定义随机变量i X =1i A 0i A ⎧⎨⎩，第次试验中事件发生；，第次试验中事件不发生，i=1,2,…n,….则{}i X 独立同分布,都服从伯努利分布：{}1,i P X p =={}0,i P X q ==且()i E X p =,故满足辛钦大数定律的条件.但是辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广,因为辛钦大数定律必须要求同分布. 1.4.2 大数定律适用条件的分析辛钦大数定律和伯努利大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限的数学期望.泊松大数定律和切比雪夫大数定律对条件有所放松,不要求同分布,但要求有某种独立性.马尔可夫大数定律对题设条件作了进一步放宽,它不要求同分布,也不要求独立性.只要求满足一种关于二阶矩即方差的条件.在这些大数定律中,只有辛钦大数定律不要求方差存在的条件.并且,所给出条件中满足条件的一定服从大数定律.但是不满足这些条件的并不一定就不服从大数定律,我们可以根据各种不同的数学模型,利用大数定律收敛的思想,得到许多类似于这些大数定律的结论,方便更多的数学研究. 1.4.3 几个大数定律的应用场合分析伯努利大数定律只适用于伯努利试验（掷硬币模型的一般化）,讲的是频率收敛于概率.泊松大数定律适用于泊松试验（会磨损的掷硬币模型）,在该试验中,每次还是出两种结果之一,但概率会发生变化.切比雪夫大数定律适用于两两不相关的序列（真正常用的独立序列）,并且具有有界方差,比起前两种特殊试验,应用范围大为扩展.马尔可夫大数定律则扩展到一般序列,只要满足马尔可夫条件,非常一般化,因此遇到证明大数定律的题目,答题时最直接的思路就是验证马尔可夫条件.辛钦大数定律适用于独立同分布场合,经常用于数理统计当中. 例1 设{}n X 是相互独立的随机变量序列,且{1n P X n ==,{}201n P X n==-,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 {}(211010,n E X n n n ⎛⎫=⨯-++⨯= ⎪⎝⎭()()()22n n n Var X E X E X =-⎡⎤⎣⎦211012n n n n n ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭{}n X 满足切比雪夫大数定律条件,所以{}n X 服从大数定律（注：直接从验证切比雪夫大数定律的条件入手） 例2 设{}n X 是独立的随机变量序列,且{12n P X ==1,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 由于 ()0,k E X = ()()2ln ,k k Var X E X k ==()11n nk k k k Var X Var X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 1ln ln ,nk k n n ==≤⨯∑故 211ln 0.n n k k n Var X n n →∞=⎛⎫≤−−−→ ⎪⎝⎭∑所以满足马尔可夫条件,由马尔可夫大数定律可知,{}n X 服从大数定律.（注：直接从验证马尔可夫条件入手） 例3 设{}k X 是相互独立的随机变量序列,且{}11,22k P X k αα⎛⎫=±=< ⎪⎝⎭1,2,3,...k =证明：{}k X 服从大数定律.证明 ()110,22k E X k k αα=⨯-⨯=()()()222212k k Var X E X k k k ααα==+=当0α≤时,()21,k Var X k α=≤故{}k X 服从切比雪夫大数定律；当102α<<时,2221111n nk k k Var X kn nα==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑()2221111nk k n nnαα-+=⎛⎫=⎪⎝⎭∑, 而 2120111lim ,21nn k k x dx n n ααα→∞=⎛⎫== ⎪+⎝⎭∑⎰ 由于()2210α-+>,所以有211lim 0.n k n k Var X n →∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑故{}k X 满足马尔可夫条件,从而服从大数定律.（注：这个对称的两点分布在讨论大数定律成立条件时是最重要的例子之一.当12α<时,马尔可夫条件成立；而12α≥时,马尔可夫条件不成立.） 例4 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且221,2k k k P X k ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭ 1,2,3,...k =试问：{}n X 是否服从大数定律.解 由条件可知 ()2211211,2k n k k k E X k k∞∞===⋅=<+∞∑∑即()n E X 存在,由辛钦大数定律知：{}n X 服从大数定律.（注：独立同分布的随机变量序列,直接验证其数学期望是否存在,然后利用辛钦大数定律即可得出.）例 5 设在随机变量序列{}n X 中n X 仅与1n X -及1n X +有关,而与其他的随机变量都不相关,且对一切n,一致地有()n Var X C ≤（C 为常数）,证明：{}n X 服从大数定律.证明 由条件知(),0,k j Cov X X = 1k j ->当时； (),0,k j Cov X X ≠ =1k j -当时. 又由协方差的性质知：()1,k k Cov X X +≤所以 ()()1112,n nk k k j k k k j n Var X Var X Cov X X ==≤<≤⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑()()11112,nn k k k k k Var X Cov X X -+===+∑∑()1112nn k k k Var X -==≤+∑()21nC n C ≤+-()32.n C =-因此 ()22111320.n n k k Var X n C n n→∞=⎛⎫≤-−−−→ ⎪⎝⎭∑{}n X 满足马尔可夫条件,故{}n X 服从大数定律.（注：进入讨论相关序列,这时只有验证马尔可夫条件一条直路.）例6 设{}n X 是相互独立的随机变量序列,且具有有限方差,证明：如果()21,k k Var X k ∞=<∞∑则必有()211lim 0.nkn k Var X n →∞==∑证明 因为()21,k k Var X k ∞=<∞∑故对任意给定的0ε>,存在N,使当n N >时,有 ()21nk k N Var X k ε=+<∑.因此,当n N >时,有 ()()()2211111n N nk k k k k k N Var X Var X Var X n n ===+⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭∑∑∑ ()()22111Nnk k k k N Var X Var X nk ==+≤+∑∑ ()211Nkk Var X nε=<+∑因为()1Nk k Var X =∑为定数,令n →∞,可得()2110nkk Var X n =→∑（注：()21,k k Var X k ∞=<∞∑是科尔莫戈罗夫给出的强大数定律成立条件,本题说明它比马尔可夫条件更强.）例7 设{}n X 是独立同分布的随机变量序列,且k X 的概率分布为 {}2ln 22,n n n n P X --== 1,2,3,...n = 证明：{}n X 服从大数定律.证明 ()2ln ln 111224n nnn nn n E X ∞∞--===⋅=∑∑, 为讨论这个级数的收敛性,从对数的底数出发,设4p e =,则ln 41p =>,且有()ln ln 1114n n pp n e == 故有 ln 11114n p n n n∞∞===∑∑收敛,即(){}n E X 存在且有限,同时{}n X 独立同分布,由辛钦大数定律可知,{}n X 服从大数定律.（注：在独立同分布场合,用辛钦大数定律.）2大数定律的应用2.1大数定律在数学分析中的应用 2.1.1 在积分方面的应用求多重积分时,用普通的近似方法往往无法实现,因为这时所需的运算次数是非常惊人的.而用大数定律作理论基础,可获得n 重积分（n 很大时）的近似值.例1 假设()2111,,:,0,,12nn n i n i nG x x x x x =⎧⎫=≤≤≤⎨⎬⎩⎭∑,求其极限解 假设随机变量在[0,1]上有均匀分布,而且相互独立,有()112Var ξ=,2112E ξ= 易见： 1......nn G dx dx ⎰⎰(){}1,,n n P G ξξ=∈221...2n n P ξξ⎧⎫=++≤⎨⎬⎩⎭()22111...2n P nξξ⎧⎫=++≤⎨⎬⎩⎭()2221111...6n P E nξξξ⎧⎫=++-≤⎨⎬⎩⎭2211116n i i P E n ξξ=⎧⎫≥-≤⎨⎬⎩⎭∑由1,...,n ξξ独立同分布,可见221,...,...n ξξ独立同分布.根据辛钦大数定律知：221111lim 16n i n i P E n ξξ→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑ 从而, 12lim ......1nn G n dx dx dx →∞=⎰⎰例2 计算定积分()baJ g x dx =⎰的近似值．为了解这种近似计算的依据,先进行如下分析： 若令()x ϕ为均匀分布的概率密度函数,即()1a xb x b aϕ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩ 则 ()()()J b a g x x dx ϕ+∞-∞=-⎰而函数g(x)的数学期望E[g(x)]()()g x x dx ϕ+∞-∞=⎰1b a=- 根据大数定律应用(3),可对该数学期望值进行估计,即()11n pi i J g n b aξ=−−→-∑, 样本： ()11n n i i J g x n b a =−−−−→-∑估计较大,故可用 ()()11n i i b a g x J n =-−−−→∑估计这种近似计算的具体过程如下：欲计算定积分()ba J g x dx =⎰的近似值,则应：先取样本数列{}k x →求函数序列()k x →求出()()1ni i g x b a n =-∑,即作为J 的近似值. 2.1.2 证明一致收敛例3 用概率方法证明维尔斯特拉斯[weierstrass]定理.假定f(x)在闭区间[a,b]上是连续的,那么,存在一列多项式()()12,,...,B x B x 一致收敛于函数(),f x [],x a b ∈证明 不妨设a=0,b=1.可以引入新的变量():u x b a u a =-+使[]0,1u ∈这样,假设(),f x []0,1x ∈是连续函数,那么f(x)在[0,1]上是一致连续并且有界 .对于任意的0ε>,[]120,0,1x x ≤∈存在0δ>,使()()122f x f x ε-<,只要12x x ε-<.此外,对于一切 01x ≤≤,有()()f x k ≤常数 现在建立一多项式：()nn B x Ef nξ⎛⎫= ⎪⎝⎭=()01n n m m mn m m f x c x n -=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑其中n ξ服从二项分布,参数为1n ≥,而[]0,1x ∈,显然()()00n B f =,()()11n B f =由伯努利大数定律知： ()lim,nn x P nξ→∞=[]0,1x ∈现在证明()nn B x f nξ⎛⎫= ⎪⎝⎭一致收敛于(),f x []0,1x ∈.由于()011,nn m m mn m x c x -=-=∑ 可见 ()()n B x f x -()()0[]1nn m m mn m m f f x x c x n -=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑由此可得： ()()n B x f x -()()01nn m m mn m m f f x x c x n -=⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭∑()()=1n m m mn mx nm f f x x c x n δ--<⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑()()1n m m mn mx nm f f x x c x n δ--≥⎛⎫+-- ⎪⎝⎭∑()212n mm m n mx nkx c x δε--<<+-∑22n kp x n ξεδ⎧⎫=+-≥⎨⎬⎩⎭由于对任意的[]0,1x ∈,p nx nξ−−→,可见存在N ,使当n N ≥时,4n p x n kξεδ⎧⎫-≥≤⎨⎬⎩⎭ 从而,当n N ≥时,对于一切[]0,1x ∈,有：()()n B x f x -224k kεε<+⋅22εεε=+=即()n B x 关于[]0,1x ∈一致收敛于()f x 2.1.3 在极限中的应用在数学分析中,极限的证明通常也是比较困难的.方法较多,在这里,我们同样可以运用概率的方法,根据所求的极限构造适当的概率模型,利用大数定律证明较为复杂的极限,同样能取得较好的结果.例4 假设()f x 和()g x 是[a,b]上的连续函数,并且满足条件：存在常数c>0,使()()0,f x cg x ≤<[),x a b ∈,试证明：()()111lim 1ni i nn i i f n g n ξξ=→∞=∑∑()()ba b af x dxg x dx=⎰⎰ ()P证 假设123,,,......ξξξ是在[a,b]上均匀分布的独立随机变量,令()11n n i i f n ηξ==∑()11,nn i i g n ξξ==∑ 1n ≥那么由大数定律知：()1pn Ef ηξ−−→()1baf x dx b a =-⎰ , ()1pn Eg ξξ−−→()1bag x dx b a =-⎰ . 现证明：(),nn n nh ηηξξ=依概率收敛于()00,,h y z 其中 ()01y Ef ξ= , ()01z Eg ξ= .由于 ()()0f x g x c>≥ 可见 ()010,z Eg ξ=> 故(),h y z 在点()00,y z 连续：对任意的0ε>,存在0δ>,当0y y δ-<和0z z δ-<时,()()00,,h y z h y z ε-<.因此, ()()11n n Ef P Eg ξηεξξ⎧⎫⎪⎪-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭()(){}00,,n n P h h y z ηξε=-<()(){}11,nn P Ef Eg ηξδξξδ≥-<-<(){}(){}111n n P Ef P Eg ηξδξξδ≥--≥--≥由此可见： ()()11lim 1n n n Ef P Eg ξηεξξ→∞⎧⎫⎪⎪-<=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ()()111lim 1n i i n n i i f n g n ξξ=→∞=∑∑()()ba b a f x dx g x dx =⎰⎰ ()P 2.2大数定律在生产生活中的应用大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现．因此,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.2.2.1 误差方面的应用解释测量(随机)误差．根据大数定律,对于随机误差1,......n δδ ,应有110n p i i n δ=−−→∑． 这说明当测量次数较多时,实测数据的平均值11ni i a n δ=+∑和预测真值a 的差值能以很大概率趋于O,因此,用求样本数据平均值的方法来进行测量是可行的．例l 某种仪器测量已知量A 时,设n 次独立得到的测量数据为1,......n x x ,如果仪器无系统误差,问：当n 充分大时,是否可取211()ni i x A n =-∑作为仪器测量误差的方差的近似值?解 把i x 视作n 个独立同分布的随机变量i x (i=1,2,⋯,n)的观察值,则(),i E x μ=()2=1,2...)i Var x i n σ=，(.仪器第i 次测量的误差i x A -的数学期望和方差分别为：(),i E x A A μ-=-()2=1,2...)i Var x A i n σ-=，(设()2i i Y x A =-,i=l,2,⋯,n,则i Y 也相互独立服从同一分布．在仪器无系统误差时,()0,i E x A -=即有=.A μ()()2i i E Y E x A ⎡⎤=-⎣⎦()2i i E x Ex ⎡⎤=-⎣⎦()2i Var x σ==（i=1,2…n ） 由切比雪夫定律,可得：211lim 1n i n i P Y n σε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 即 2211lim ()-1n i n i P x A n σε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑ 从而确定,当n →∞时,随机变量211()ni i x A n =-∑依概率收敛于2σ,即当n 充分大时,可以取211()ni i x A n =-∑作为仪器测量误差的方差. 2.2.2 估计数学期望和方差在分布型未知的情况下估计数学期望()E ξ及方差()Var ξ．若ξ及{}k ξ都是随机变量,则有：()11,n p i i E n ξξ=−−→∑ ()2211,n p i i E n ξξ=−−→∑ 样本： 11n n i i X n =−−−−→∑估计较大()211n n i i E X n ξ=−−−−→∑估计较大()2E ξ 221111n n i i i i n n ξξ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑()()22p E E ξξ−−→-⎡⎤⎣⎦()Var ξ= 样本： 221111n n i i i i X X n n ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑()n Var ξ−−−−→估计较大 2.3大数定律在经济中的应用2.3.1 大数定律在保险中的应用大数定律在经济生活中具有非常重要的作用.此定律在有些领域中的作用已经为人们所熟知并且得到极大地应用,如保险业得以存在且不断发展壮大的两大基 石中的一个就是大数定律.大数定律应用在保险学上,就是保险的赔偿遵从大数定律.其含义是：参加某项保险的投保户成千上万,虽然每一户情况各不相同,但对保险公司来说,平均 每户的赔偿金几乎恒等于一个常数.假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险,每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡时,其家属可向保险公司领得1000元.试问：平均每户支付赔偿金5.9元至6.1元得概率是多少？保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润大于4万的概率是多少？设i X 表示保险公司支付给第i 户的赔偿金,则()6,() 5.964.(1,2...10000),i i E X Var X i ===诸i X 相互独立.则100001110000i i X X ==∑表示保险公司平均对每户的赔偿金, ()()46, 5.96410E X Var X -==⨯由中心极限定理知,()26,0.0244X N则 {}5.9 6.1P X <<5.966.160.02450.0245--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2 4.091=Φ-0.99996=虽然每一家的赔偿金差别很大（有的是0,有的是1000元）,但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于6元,在5.9元至6.1元内的概率接近于1,几乎是必然的.所以,对保险公司来说,只关心这个平均数.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于1000*120=12万元,即死亡人数大于120人的概率.设死亡人数为Y ,则()10000,0.006,Y B()()60,59.64E Y Var Y ==由中心极限定理,Y 近似服从正态分布()60,59.64N ,那么{}120P Y >{}1120P Y =-≤()17.770=-Φ=这说明,保险公司亏本的概率几乎等于零.甚至我们可以确定赢利低于3万元的概率几乎等于零（即赔偿人数大于90人的概率也几乎等于零）.。
大数定律在保险中的应用
论大数法则在保险业中的重要应用前言研究背景及意义在现代生活中，风险无处不在，无时不有。
因而只有加强对风险的管理，才能使人们的生活更为安定，使得社会更加和谐。
而保险业就是经营风险的特殊的金融机构，它将风险从被保险人向保险人转移，从而为被保险人提供了风险保障。
当前，全球各国都非常重视保险业的发展，都在争取不断完善保险业市场体系，不断普及全民的保险观念，稳定人民的生活。
在国内，当前经济的高速发展，人民生活水平的提高，社会保障体制改革的深化，为中国保险业的发展提供了难得的机遇和广阔的空间。
我国保险业增长迅速，保险观念日益深入人心，保险业在国民经济中的重要性日益增强。
而今，中国已经是世界上最大的潜在保险市场。
但国内保险公司目前在管理、经营理念、产品创新等方面与国际先进企业相比还有一定差距。
要想持续健康的发展，要把巨大的潜在市场转变为现实的市场，将取决于保险公司能否提高自身的经营管理水平。
所以只有具备了科学的精算理念，中国保险市场才能真正走向成熟。
而“大数法则”就是精算的基础理论之一，它对保险经营理念的科学性起到了至关重要的作用。
所以每个保险业界人士对于大数法则都应该有个准确认识，只有深刻了解大数法则，最佳应用，才能保证保险业的稳健经营管理。
文献综述国内外关于保险业的研究，集中从保险经营各个方面做研究。
其中包括对承保风险，偿付风险以及投资风险等全方面的研究。
关于保险资金投资方面，从当代国际保险市场发展看，保险资金运用和保险业的发展己经融为一体。
很多人认为承保业务和投资业务的并驾齐驱已成为保险业发展的一种潮流。
事实上，自20世纪70年代以来，金融创新使得资本市场不断推出新的投资工具，保险业本身的竞争日趋激烈，承保利润不断下降甚至亏损，迫使保险监管机构与保险公司不断适应新的市场环境，全方位地加强保险资金运用业务，来提高利润率。
摩根斯坦利所说:“投资是保险行业的核心任务，没有投资就等于没有保险行业。
没有保险投资，整个保险行业的经营是不能维持下去的”。
三个大数定律之间的关系
三个大数定律之间的关系标题：三个大数定律之间的关系与应用概述：在概率论和统计学中，三个大数定律（大数定律、大数法则、大数定理）被广泛应用于分析和预测各种现象。
尽管它们各自描述了不同的现象，但在许多情况下，这些定律之间存在着密切的关系。
本文将深入探讨大数定律、弱大数定理和中心极限定理之间的联系，并通过实例展示它们在现实生活中的应用。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论的基本定律之一，描述了在重复实验中，当试验次数无限增加时，样本的平均值趋近于真实概率的稳定值。
具体而言，根据大数定律，如果随机变量X的均值存在且有限，那么对于任意给定的正小数ε，有：P(|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)| ≤ ε) → 1 (n → ∞)大数定律说明在样本规模足够大的情况下，平均值的波动将逐渐减小，趋于一个确定的值，并且该值接近于总体的均值。
二、弱大数定理（Weak Law of Large Numbers）弱大数定理是大数定律的一种特殊情况，它给出了样本均值逐渐趋近于总体均值的概率上界。
弱大数定理指出，对于一个具有有限方差的独立同分布随机变量序列X1, X2, ..., Xn，样本均值X_bar与总体均值μ之间的差异可以用数学概率表示：lim(n → ∞) P(|X_bar - μ| > ε) = 0弱大数定理表明，样本均值与总体均值的差异随着样本规模的增加而逐渐减小，但它并未指明样本均值会无限逼近总体均值。
三、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中最重要和广泛应用的定理之一。
它指出，当独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn满足一定条件时，它们的和或平均值的分布将趋于一个正态分布，即使原始分布不是正态分布。
具体而言，中心极限定理表明：lim(n → ∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/sqrt(nσ^2) ≤ x) = Φ(x)其中，μ和σ分别为随机变量Xi的均值和标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。
概率论中的大数定理及应用
概率论中的大数定理及应用概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率分布。
大数定理是概率论中的基本理论之一，用来描述随机事件的长期平均性质。
本文将简要介绍大数定理的基本原理，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、大数定理的基本原理大数定理是概率论中的一组定理，主要描述了当随机事件重复进行多次时，其平均结果逐渐逼近其期望值的现象。
大数定理可以分为弱大数定理和强大数定理两种形式。
1. 弱大数定理弱大数定理也叫伯努利大数定理，是大数定理的一种弱形式。
它指出，对于一系列相互独立的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，接近于其期望值。
简单来说，弱大数定理表明随着试验次数的增加，事件产生的频率将逐渐接近其概率。
2. 强大数定理强大数定理也叫辛钦大数定理，是大数定理的一种强形式。
它指出，对于一系列相互独立同分布的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，几乎必然收敛于其期望值。
强大数定理更加严格，要求样本之间不仅是独立的，还要具有同分布的性质。
二、大数定理的应用大数定理在实际应用中具有广泛的意义，涉及到多个领域。
1. 统计学在统计学中，大数定理为我们提供了从有限样本中推断总体性质的理论基础。
通过采样和测量，我们可以利用大数定理来估计总体参数，并评估估计的准确性。
例如，在民意调查中，通过抽取一定数量的样本进行调查，利用大数定理可以推断出全体人口的某一属性的概率。
2. 金融学在金融学中，大数定理被广泛应用于风险管理和投资决策。
通过收集大量的历史数据，可以利用大数定理计算出某种金融工具的预期收益和风险。
基于大数定理，投资者可以对市场行为进行合理预期，从而更好地进行投资决策。
3. 信号处理在信号处理领域，大数定理用于解决噪声问题。
通过多次观测同一信号，并对观测结果进行平均处理，可以去除随机噪声的影响，提取出真实信号。
大数定理保证了平均处理的结果逐渐趋近于真实信号，从而提高了信号处理的准确性和稳定性。
大数定律及其应用
本 科 毕 业 论 文( 2013届)题 目:大数定律及其应用学 院: 数学与信息科学学院专 业: 统计学班 级: 09统计姓 名:学 号:指导老师:完成日期: 2013年4月1日目录§1、引言 (2)§2、大数定律的发展历程 (3)§3、常见的大数定律及中心极限定理 (4)§3.1常见的大数定律 (4)§3.2常见的中心极限定理 (5)§4、大数定律的应用 (6)§4.1大数定律在数学分析中的应用 (6)§4.1.1 在积分方面的应用 (6)§4.1.2 在极限中的应用 (7)§4.2大数定律在生产生活中的应用 (9)§4.2.1 误差方面的应用 (9)§4.2.2 估计数学期望和方差 (12)§4.3大数定律在经济中的应用 (13)§4.3.1 大数定律在保险业中的应用 (13)§4.3.2 大数定律在银行经营管理中的应用 (15)§5、结束语 (17)§6、致谢 (18)参考文献 (18). .大数定律及其应用（温州大学数学与信息科学学院09统计）摘要：大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性，这一呈现出规律性的变量就是我们经常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均结果将稳定于某一稳定值。
大数定律在概率论中的重要性不言而喻，而且其在数学领域以及经济生活领域也有着非常重要的作用。
本文列举了我们在大学阶段经常遇到的一些大数定律和中心极限定理，通过一些具体的例题，介绍了常见的大数定律和中心极限定理在一些重要领域的应用，具体包括在数学分析中求极限和积分，预测误差，近似计算，以及在保险业和银行经营管理方面的应用,进一步阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。
关键词：大数定律；中心极限定理；经济生活；应用§1、引言大数定律对于很多人来说都很陌生，即使学过概率论的也说不出个所以然。
大数定律及其在生活中的应用
大数定律及其在生活中的应用
“大数定律”是概率论和统计学所普遍采用的重要定理，也是贝叶斯统计学的定理。
大数定律指的是如果把若干个大样本重复实验，得到的结果接近理论概率。
也就是说，当样本量很大时，统计结果逐渐收敛于理论概率。
由它可以推出统计结果一旦收敛到特定的理论概率，将不受抽样误差的影响，也就是说，样本的抽取次数越多，结果的准确度越好。
在高校及高等教育领域中，大数定律发挥着重要作用。
例如，开展教学目标设置、教学计划制定、教学过程管理、学生知识结构分析、课程设计、习题设计等，都要借助大数定律进行分析。
在学术研究方面，有关学术贡献、学术交流、学术发表、学术得失分析等，都可以依靠大数定律加以研究分析。
此外，大数定律也经常用来进行企业及经济以及社会等方面的研究或改进。
例如，大数定律作为企业的决策依据，可以帮助企业预测及决策：通过分析用户的消费数据，可以发现市场新的趋势；通过大数定律分析市场的定价，可以给出合理的价格调整；在投资领域，可以利用统计分析来预测资本市场，提高投资者的风险意识。
同样，如果应用大数定律来分析社会和经济现象，那么就可以根据大数定律，改善社会及经济的健康状况。
本文讲述了“大数定律”在高校及高等教育领域、学术研究以及企业及社会等方面的重要作用。
该定理的应用为社会及经济带来巨大的好处：有效地管理教学标准、提高企业的决策能力、知晓投资的风险、改进社会健康状况等等。
可见，大数定律虽间接，但却无处不在，可以说是影响着我们现实生活的重要定理。
大数定律和中心极限定理的应用
大数定律和中心极限定理是概率论中重要的概念，他们在不同的科学和技术领域都有重要的应用。
大数定理是一个很重要的概念，它指的是在某些概率分布中，如果模拟变量的数量足够大，那么这些模拟变量的平均值将接近于实际的分布的期望值。
换句话说，它的意思是，当抽样次数足够多时，样本的平均数会收敛于总体的期望值。
大数定理在估计总体参数和模拟实验中都有广泛的应用。
中心极限定理是另一个重要的概念，它主要用于描述一种情况，即当样本容量足够大时，与任何特定分布无关时，每个样本平均数将服从正态分布。
因此，中心极限定理提供了一种方法，用以估计样本数据（表现为比较稳定的平均值）来确定总体数据分布情况。
中心极限定理在统计建模中也有重要的作用，它可以用于模拟实验和优化算法，并用于验证统计模型的拟合程度。
大数定理和中心极限定理在概率论中都有着重要的作用，它们可以帮助我们更好地理解分布情况，从而更好地进行估计和模拟。
它们的应用非常广泛，包括统计建模，模拟实验和优化方法等。
完全理解这些概念和他们的应用，将有助于我们实现更精确的结果。
大数定律的概念和用法
大数定律的概念和用法
1. 嘿，你知道大数定律吗？就好比扔硬币，你扔个几次可能正反情况很随机，但是你要是不停地扔上千次上万次，那正反出现的次数就会趋向稳定啦！这就是大数定律在起作用呀！
2. 大数定律啊，其实不难理解！就像抽奖，你抽一次可能中也可能不中，但如果你一直抽一直抽，那最终中奖的概率就会符合一定的规律呢！是不是很神奇？
3. 哎呀，大数定律就像是天气！有时候一天两天的天气很难预测，但时间长了，我们就能大致知道每个季节的特点呀，这也是一种大数定律的体现哟！
4. 大数定律在生活中可常见啦！比如说彩票，虽然每次买都不确定是否能中，但买得多了，中奖的可能性就会慢慢体现出来哦，是不是很有意思呀！
5. 你想呀，大数定律多重要呀！就像做实验，你做几次可能结果不稳定，但是成百上千次后，那个规律不就明显了嘛！
6. 大数定律其实真的很神奇呢！就和打牌一样，一手牌的好坏很难说，但打牌次数多了，就知道大致的输赢概率啦！
7. 嘿，想想看，大数定律不就像我们的成长嘛！短期内看不出什么，但时间长了，很多事情就有规律可循啦！
8. 哇哦，大数定律呀，真的是无处不在！就如同掷骰子，掷几次看不出什么，但次数多了，每个点数出现的概率就出来啦！所以呀，大数定律真的很重要！
我的观点就是，大数定律虽然看似简单，却有着深刻的意义和广泛的应用，它让我们能更好地理解和把握很多现象和事情呢！。
论文：大数定律及其应用
大数定律及其应用学生姓名：徐转学号：20110401266数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：任园园职称：讲师摘要:本文介绍了几个常见的大数定律及其在生活中应用,具体包括在数学分析中定积分以及在保险业中等方面的应用,进一步说明了大数定律在各分支学科中的重要作用和应用价值.关键词：大数定律；保险；应用Abstract : we introduce several common law of large numbers and often used in our daily life, including the integration and application of medium in the insurance industry in terms of mathematical analysis, we obvious the important function and application value on the law of large numbers in various branches.Key Words：the law of large numbers；insurance；a ppl ication前言大数定律是概率历史上第一个极限定理.常见的大数定律有伯努利大数定律，切比雪夫大数定律，辛钦大数定律等.一方面，大数定律是一种解决方案,一个新的双积分的收敛条件的思想，另一方面,大数定律在国内外的市场上都得到了很好的应用,尤其是在实际生活中的应用.很多研究者在这个领域都取得了很大的成果.所以继续研究大数定律是一个非常有价值的方向,通过这些问题的研究,不仅仅可以让人们更加的了解大数定律，而且很多数学问题以及生活问题都可以得到解决.1.大数定律1.1大数定律的发展史1733年，德莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限是正态分布.接着拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广成了更一般的分布.1900年,李雅普诺夫也进一步促进他们的结论,并对特征函数法进行创造,把它命名为“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨是中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展. 1.2 几个常见的大数定律（伯努利大数定律） 如果n S 为n 重伯努利试验中的事件A 发生的次数,p 为每次试验中A 出现的频率,那么对任意的0>ε，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∞→εp n S P n n lim （切比雪夫大数定律） 如果{}n X 为一列两两不相关的随机变量序列,若每个i X 的方差存在,且有共同的上界,即(),,2,1, =≤i c X Var i 则{}i X 服从大数定律,那么对任意的0>ε,下式成立.()111lim 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i ni i i n X E n X n P （马尔科夫大数定律）有随机变量序列{}n X ,如果0112→⎪⎭⎫⎝⎛∑=n i i X Var n 成立,那么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,则()111lim 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i ni i i n X E n X n P 成立.（辛钦大数定律） 如果{}n X 为一独立同分布的随机变量序列,假设i X 的数学期望存在,那么{}n X 服从大数定律,所以对任意的0>ε,有()111lim 11=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑∑==∞→εn i ni i i n X E n X n P （泊松大数定律）如果n S 为n 次独立分布试验中的,事件A 出现的次数,而事件A 在第i 次试验时出现的概率为i p ， ,,,2,1n i =,所以对任意的0>ε,有11lim 1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εn i i n n p n n S P2.大数定律在数学分析中的一些应用2.1大数定律在收敛问题中的应用例1 设()x f 为区间[]b a ,上的连续函数,则存在多项式序列(){}x N n ,于[]b a ,上一致收敛于()x f .证明 先从区间[]1,0上证明,也可以变量变换：()a t a b x +-=,可将[]b a ,化为[]1,0,[].1,0∈t 令()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑n k f x x C x N kn knk k n n 10 显然有()()()(),11,00f N f N n n ==故当0=x 或1=x 时的收敛问题解决.现只考虑()1,0∈x 时的收敛问题.设μ～()()1,0,1,,∈≥x n x n B 则()()x N x x C n k f n f E n kn k k n n k n =-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑10μ 有()()()()kn k k n nk n x x C x f n k f x f x N -=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑10所以()()()()k n kk n nk n x x C x f n k f x f x N -=--⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑10因为()x f 在上[]1,0连续,所以()x f 在[]1,0上有界，设()k x f ≤，且()x f 在[]1,0上一致连续,那么对任意的0>ε,存在0>δ,使得当δ<-x nk时，就有()2ε<-⎪⎭⎫⎝⎛x f n k f .由伯努里大数定律，得x npn−→−μ，所以对0>δ，存在0>N ，使得当N n >时就有kx n P n 4εδμ<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-.从而当N n >时,所以()1,0∈x 有()()()()k n kk n x nkn x x C x f n k f x f x N -<---⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑1δ+()()k n k k n x nkx x C x f n k f -≥---⎪⎭⎫ ⎝⎛∑1δ <()kn k x nkk n x x C k-≥--+∑122δε=εεεδμε=+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+2222x n kP n . 证毕.2.2大数定律在定积分方面的应用例2 有0()1f x ≤≤,求()x f 在区间[]1,0上的积分值.=J dx x f ⎰1)(解 二维随机变量()Y X ,服从正方形{}10,10≤≤≤≤y x 上的均匀分布,则可知X 服从[]1,0上的均匀分布,Y 也服从[]1,0上的均匀分布,且X 与Y 独立.又记事件(){}X f Y A ≤=则A 的概率为()()X f Y P p ≤==⎰⎰10)(0x f dydx =dx x f ⎰1)(=J即定积分的值J 就是事件A 的概率p .即将()Y X ,看成是向正方形{},10,10≤≤≤≤Y X 内的随机投的点，用随机点落在区域(){}x f y ≤中的频率作为定积分的近似值.下面用蒙特卡罗方法得到A 出现的频率：（1）先用计算机产生[]1,0上均匀分布的n 2个随机数,组成n 对随机数(),,1,2,,i i x y i n =,这里的n 可以很大,譬如n =410,甚至510=n .图1：关于随机投点法的图（2）n 对数据（i x ，i y ），1,2,,i n =记录满足如下不等式i y ≤)(i x f 的次数，这就是事件A 发生的频率n S n ,则≈J nSn 譬如计算dxe xπ2122⎰-,其精确值和在5410,10==n n 时的模拟值如下：表1：关于模拟值的表精确度410=n 510=n341344.0 340698.0 341355.0注意,对于一般区间[]b a ,上的定积分'J =dxx g ba ⎰)(作线性变换)()(a b a x y --=,即可化成[]1,0,区间上的积分,进一步若d x g c ≤≤)(,]))(([1)(c y a b a g cd y f --+- 则1)(0≤≤y f .此时有100'()()()b aJ g x dx S f y dy c b a ⋅=⋅+-⎰⎰其实))((0c d a b S --=.这说明以上用蒙特卡洛方法计算定积分方法带有普遍意义.3.大数定律在实际中的应用3.1大数定律在保险业中的应用例3有一家保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每年付12元保险费,在一年内一个人死亡的概率为006.0，死亡时，家属可以向保险公司领1000元.试问：家庭的平均支付9.5元赔偿1.6元的概率？保险公司的概率有多大？损失钱吗？解 如果用∑=100001i 表示保险公司给家属的赔偿金,那么，()()16, 5.9641,2,,1000010000i i E X D X i ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,诸i X 相互独立. 则∑==100001i iXX 表示保险公司赔给每家的钱()()410964.5,5-⨯==X D X E由中心定理,X ～()20244.0,6N{}()99996.0109.420245.061.60245.069.51.69.5=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=<<X P保险公司亏本,也就是赔偿金额大于12万元左右,即死亡人数大于100人的概率.设死亡人数为Y ,则Y ～()()()64.59,60,006.0,10000==Y D Y E B ,Y 近似服从正态分布()64,59.60N ，那么{}{}()777.71201120=Φ-=≤-=>Y P Y P则{}()9952.059.264.59608080=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=<Y P在保险市场的竞争，一是减少5元的保险费,另一个是提高1000元的赔偿,对于保险公司来说,收益是一样的,采用提高赔偿金比例降低5元保险费更能吸引投保户.3.2大数定律在产品中的应用例 4 有一大批无线电元件,合格品占61,从中任意选择6000个,试问把误差限ε定为多少时,才能保证频率与概率之差的绝对值不大于ε的概率为99.0？解 设6000个电器元件中合格品为μμ,～()p n B ,，其中65,61,6000===q p n ，有大数定律得⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-pq n npqnppq n P P εμεεμ616000 99.012=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ≈pq n ε即995.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φpq n ε,找查表的0124.0,58.265616000==⨯=εεεpq n ,把0124.0=ε代入上式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-0124.0616000μP =()4.741000<-μP=()99.04.10746.925=<<μP 就是说相应合格品的个数落在962个与1074个之间. 3.3大数定律在学校中的应用例5 一所学校的900名学生的“高等数学”课程的教师6人,假设每个学生完全随机选择教师和教师之间的选择,同学们都是相互独立的.那么上课教室应该有多少个座位,才能让学生不因为没有座位离去的概率小于%1.解 设教师设i X 个座位，那么 i X =101,2,,900.{i i =，若第个学生选择教师甲，，其他，依题意，()(),650,611====i i X P X P 且900,,,i i X X X 相互独立同分布.选择教师甲的学生总数为.9001∑==i i X X 为使学生不因缺少座位而离去,必须X M ≥,为此要决定()()1515,.0,1,2,,900,666366i i E X D X i σ===≠==得 ()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-≤⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤∑∑==551506530690019001M X P M X P M X P i ii i %.9955150≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈M查标准正态分布表得.05.1765533.2150,33.255150=⨯+≥≥-M M 因此取177=M 即可.每个教师的上课教室应该设有177个座位才可保证因缺少座位而使学生离去的概率小于%1.3.4大数定律在货运中的应用例6 在一个生产车间中要把产品成箱包装，每箱的重量随机.如果每箱平均重量kg 50,标准差为kg 5.用最大载重量为5吨汽车承载，那么每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于977.0（().977.02=Φ其中()x Φ是标准正态分布函数）.解 设i X ()n i ,,2,1 =是转运的第i 箱的重量（单位：千克），n 是所求箱数.12,,,n X X X 可视为独立同分布随机变量,n 箱总量n n X X X T +++= 21，则()()()().5,50,5,50n T D n T E X D X E i i i i ====根据独立同分布定理得，n T 近似服从正态分布()n n N 25,50()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=≤n nn T P T P n n 550005505000()2977.0101000Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈n n于是，0199.98,2101000<>-n nn即最多可以装98箱. 4.小结本文在理论上,我们介绍了几个常见的大数定律,利用大数定律在收敛和在定积分方面的应用,为我们以后在数学方面的研究提供了很好的参考；保险业等实际中的应用,更好的把数学应用到了生活中,合理的分配了数学与科学的区别,大数定律已经成了不可缺少的一部分.在未来的社会发展中,大数定律将发挥不可替代的作用.甚至在航空航海方面都会得到很好的应用,它将大量促进人类社会和谐发展的规律,体现自己的价值.参考文献[1]茆诗松、程依明、濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.2（2012.5重印）.[2]茆诗松等.概率论与数理统计[M].中国统计出版社.2000.7.[3]周概容.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社.1984.[4]何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究[J].税务与经济.2007.4.[5]王小胜.大数定律的几个应用[J].河北建筑科技学院学报.2005年3月第22卷第1期.[6]唐莉、李雁如.大数定律与中心极限定理的实际应用[J].广东技术师范学院学报.2005年第6期.[7]王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的重要应用[J].数学的实践和认识.2005年10月第35卷第10期.[8]王丙参、魏艳华、林朱．大数定律及中心极限定理在保险中的应用[J].通化师范学院学报.2011年第12期.[9]曹小玲.大数定律及其在保险业中的应用[J].天水师范学院学报.2010你那9月第30卷第5期.[10]封希媛.大数定律与中心极限定理在实际中的应用[J].青海师范大学学报（自然科学版).2006年第2期.[11]路庆华.几个著名的大数定律的证明及应用[J].石家庄职业技术学院学报.2007年8月第19卷.致谢词四年的大学生活就快走到尾声，我们的校园生活就要画上句号，心中是无尽的难舍与眷恋..从这里走出去,对我的人生来说,就是她上一个新的征途,要把所学的知识应用到实际工作中去.回首四年,取得了一定的成就,生活中有快乐也有艰辛.生活中有许多困难，感谢老师四年来对我的孜孜不倦的教导,对我成长的关心和爱护.也感谢340号房的姐妹,四年的风风雨雨,我们走在一起,充满了爱,给我留下了值得珍藏的最美好的记忆.在我的十几年求学历程里,离不开父母的鼓励和支持,是他们辛勤的劳作,无私的付出,为我创造良好的学习条件,我才能顺利完成完成学业,感激他们一直以来对我的抚养与培育.最后，我要特别感谢任园园老师.是她在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励,使我能够顺利完成毕业设计,在此表示衷心的感激.论文从课题选择、方案论证到具体设计和调试,无不凝聚着任老师的心血和汗水,任老师认真负责的工作态度,严谨的治学精神和深厚的理论水平都使我收益匪浅.可以说,没有任老师的帮助就没有今天的这篇论文,无论遇到哪些问题她始终给予我细心的指导和不懈的支持都给与我很大的帮助,使我得到不少的提高这对于我以后的工作和学习都有一种巨大的帮助.在此,向任老师表示我衷心的感谢.11。
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本科生毕业论文（设计）题 目：大数定律及其应用 姓 名：刘胜举 学 号：200702014001 系 别：数学与计算机科学系 年 级：2007级 专 业：数学与应用数学 指导教师 熊国敏 职称： 教授 指导教师 王海英 职称： 讲师2011年 4 月 28日目录摘要 (I)第一章绪论 (1)第二章大数定律 (2)2.1大数定律的发展历史 (2)2.2几个常用的大数定律 (3)第三章大数定律的一些应用 (6)3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6)3.2大数定律在保险业的应用 (10)结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：大数定律，概率分布，保险业Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications.Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance第一章绪论概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。
那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。
即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
第二章大数定律2.1大数定律的发展历史概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。
它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1／2。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。
而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。
随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如契贝晓夫大数定律，伯努利大数定律就是契贝晓夫大数定律的一个特例。
再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
2.2几个常用的大数定律由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη…..，如果对于任意的0ε>，有()l i m 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),pn n ηη−−→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}l i m 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a en n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1ni n n i P a nξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8）成立,则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律.定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、rn E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称nηr 次平均收敛到η。
记作 rL n ηη−−→。
此时必有r r n E E ηη=。
当r=2时是常用的二阶矩，2L n ηη−−→称为均方收敛。
定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有11lim 1nnk k n iiE nnξξε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有()1l i m 01nkk n iP E nξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110nna ekkiiE nnξξ-−−→∑∑，则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为契贝晓夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有l i m 1nn P p n με→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭（5）此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （契贝晓夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1nni i n i i P E nnξξε→∞==⎛⎫-<=⎪⎝⎭∑∑（9）在上述的定理中，因为用到契贝晓夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。
例如独立同分布时的辛钦大数定律定理4 （辛钦大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望()1,2i E a i ξ==⋅⋅⋅,则对于任意的0ε>,有11l i m 1ni n i P a nξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （10）上式也可表示为11lim pnin i anξ→∞==∑或()11npii a n nξ=−−→→∞∑,并且称11nii nξ=∑依概率 收敛于.定理5 （泊松大数定律）设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是相互独立的随机变量序列,()1nn P p ξ==，()0nn P q ξ==，其中1nnp q +=，则12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从泊松大数定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大，在n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近。
定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,若有2110,n i i D n n ξ=⎛⎫→→∞ ⎪⎝⎭∑则有1111lim 1nni i n i i P E nnξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑第三章 大数定律的一些应用3.1大数定律在数学分析中的一些应用3.1.1大数定律在极限、重积分上的应用大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳定于平均值的极限理论。