数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题

1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？

答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j Λ=在1+n 个节点n x x x <<<Λ10上满足条件

(),,,1,0,,

,0,

,1n k j j k j k x l k j Λ=⎩⎨

⎧≠==

则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10Λ为节点n x x x ,,,10Λ上的n 次拉格朗日插值基函数.

以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设

()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+-ΛΛ110，

其中A 为常数，利用()1=k k x l 得

()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-ΛΛ1101，

故

()()()()

n k k k k k k x x x x x x x x A ----=

+-ΛΛ1101

，

即

()()()()()()()()∏

≠=+-+---=--------=n k

j j j

k j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)(ΛΛΛΛ.

对于()),,1,0(n i x l i Λ=，有

()n k x

x l x n

i k

i k i ,,1,00

Λ==∑=，特别当0=k 时，有

()∑==n

i i x l 0

1.

2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{

}n

x

x ,,,1Λ有何不同？

答：称()()()(){

}10100,,,,1------n x x x x x x x x x x ΛΛ为节点n x x x ,,,10Λ上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10Λ上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为

()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ

其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如

()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++Λ011,

其中1+k a 是节点110,,,+k x x x Λ上的1+k 阶差商，这一点要比使用单项式基{

}n

x x ,,,1Λ方便

得多.

3.什么是函数的n 阶均差？它有何重要性质？

答：称[]()()0

00,x x x f x f x x f k k k --=

为函数()x f 关于点k x x ,0的一阶均差，[][][]1

10010,,,,x x x x f x x f x x x f k k k --=

为()x f 的二阶均差. 一般地，称

[][][]1

1102010,,,,,,,,-----=

n n n n n n x x x x x f x x x f x x x f ΛΛΛ为()x f 的n 阶均差.

均差具有如下基本性质：

(1) n 阶均差可以表示为函数值()()()n x f x f x f ,,,10Λ的线性组合，即

[]()

()()()()

∑=+-----=

n

j n j j j j j j

j n x x x x x x x x

x f x x x f 0

11010,,ΛΛΛ,

该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.

(2) [][][]0

1102110,,,,,,,,x x x x x f x x x f x x x f n n n n --=

-ΛΛΛ.

(3) 若()x f 在[]b a ,上存在n 阶导数，且节点[]b a x x x n ,,,,10∈Λ，则n 阶均差与n 阶导数的关系为

[]()()!

,,10n f x x x f n n ξ=Λ，[]b a ,∈ξ. 4.写出1+n 个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？ 答：给定区间[]b a ,上1+n 个点

b x x x a n ≤<<<≤Λ10

上的函数值()),,1,0(n i x f y i i Λ==，则这1+n 个节点上的拉格朗日插值多项式为

()()∑==n

k k k n x l y x L 0

,

其中()n k x x x x x l n k

j j j

k j

k ,,1,0,0Λ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=∏≠=. 这1+n 个节点上的牛顿插值多项式为

()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P ΛΛ,

其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10ΛΛ==为()x f 在点k x x x ,,,10Λ上的k 阶均差.

由插值多项式的唯一性，()x L n 与()x P n 是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.

5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组y Ax =，其中系数矩阵A 与使用的基函数有关.y 包含的是要满足的函数值()T

n y y y ,,,10Λ. 用下列基底作多项式插值时，试描述矩

阵A 中非零元素的分布.

(1) 单项式基底；(2) 拉格朗日基底；(3) 牛顿基底.

答：(1) 若使用单项式基底，则设()n

n n x a x a a x P +++=Λ10，其中n a a a ,,,10Λ为待

定系数，利用插值条件，有

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n

n n n n n

n n

n y x a x a a y x a x a a y x a x a a ΛΛΛΛΛΛΛ101

111000010， 因此，求解y Ax =的系数矩阵A 为

⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡=n n n n n x x x x x x A Λ

ΛΛ

ΛΛΛΛ111

1100 为范德蒙德矩阵.

(2) 若使用拉格朗日基底，则设()()()()x l a x l a x l a x L n n n +++=Λ1100，其中()x l k 为拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有

()()()()()()()()()⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧=+++=+++=+++n

n n n n n n n n n y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a y x l a x l a x l a ΛΛΛΛΛΛΛ11001

11111000

0011000， 由拉格朗日插值基函数性质，求解y Ax =的系数矩阵A 为