高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(13)双曲线及其标准方程 Word版含解析

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业
（13）双曲线及其标准方程
1.椭圆
22214x y m +=与双曲线22
212
x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A.1±
B.1
C.-1
D.不存在
2.双曲线
22
1259
x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( ) A.22或2
B.7
C.22
D.2
3.已知双曲线22
17
x y m -=,直线l 过其左焦点1F ,交双曲线左支于,A B 两点,且24,AB F =为双曲
线的右焦点,2ABF △的周长为20,则m 的值为( ) A.8
B.9
C.16
D.20
4.如图,已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 与双曲线C 的焦
点不重合,点M 关于12,F F 的对称点分别为点,A B ,线段MN 的中点Q 在双曲线的右支上,若
12AN BN -=,则a =( )
A.3
B.4
C.5
D.6
5.设12,F F 是双曲线2
214
x y -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,当12F PF △的面积为1时,12
PF PF ⋅的值为( ) A.0
B.1
C.12
D.2
6.已知O 为坐标原点,设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线,垂足为H ,则||OH =( )
A.1
B.2
C.4
D.
12
7.设12,F F 是双曲线2
2
124
y x -=的两个焦点，
P 是双曲线上一点，且1234PF PF =,则12PF F △的面积等于( )
A. B. C.24
D.48
8.设3,4θπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
,则关于,x y 的方程
221sin cos x y θθ+=所表示的曲线是( ) A.焦点在y 轴上的双曲线 B.焦点在x 轴上的双曲线 C.焦点在y 轴上的椭圆
D.焦点在x 轴上的椭圆
9.一动圆与两圆：2
2
1x y +=和2
2
8120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A.抛物线
B.圆
C.双曲线的一支
D.椭圆
10.已知12(8,3),(2,3)F F -为定点，动点P 满足122PF PF a -=，当3a =和5a =时，点P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
11.设双曲线2
2
13
y x -=的左、右焦点分别为12,F F ,若点P 在双曲线上，且12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是_________.
12.已知方程
22
141
x y t t +=--表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当14t <<时，曲线C 表示椭圆； ②当4t >或1t <时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512
t <<
； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. 其中判断正确的是________.(只填判断正确的序号)
13.已知12,F F 分别为双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>且a b ≠)的左、右焦点,P 为双曲线右支上异
于顶点的任意一点,O 为坐标原点.给出下面四个命题: ①12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上;
②12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上; ③12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上; ④12PF F △的内切圆必经过点(,0)a . 其中真命题的序号是________.
14.已知双曲线22
121,,49
x y F F -=是其左、右焦点,点P 在双曲线右支上.若1260F PF ∠=︒,则
12F PF △的面积是_________.
15.已知OFQ △的面积为26,且OF FQ m ⋅=,其中O 为坐标原点.
(1)646m <<,求OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围;
(2)设以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图所示,26
,(
1)OF c m c ==-,当OQ 取得最小值时,求此双曲线的标准方程.
答案以及解析
1.答案：A
解析：验证法：当1m =±时，21m =，对椭圆来说，222
4,1,3a b c ===.对双曲线来说，
2221,2,3a b c ===，故当1m =±时，它们有相同的焦点.
直接法：显然双曲线的焦点在x 轴上，故2242m m -=+，则21m =，即1m =±. 2.答案：A
解析：∵225a =，∴5a =.设点为P ，双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，由双曲线定义可得1210PF PF -=.由题意设112PF =，则1210PF PF -=±,解得222PF =或2. 3.答案：B
解析：由已知,2220AB AF BF ++=.又4AB =,则2216AF BF +=.根据双曲线的定义,21212a AF AF BF BF =-=-,所以22114()16412a AF BF AF BF =+-+=-=,即3a =,所以29m a ==. 4.答案：A
解析：连接12,QF QF .因为线段MN 的中点为Q ,点2F 为MB 的中点,所以21
2
QF BN =,同理可得112QF AN =
.因为点Q 在双曲线C 的右支上,所以122QF QF a -=,所以1
()22
AN BN a -=,所以1
1222
a ⨯=,解得3a =,故选A.
5.答案：A
解析：易知12(F F .不妨设(,)(,0)P P P P P x y x y >,由1
212P c y ⨯⨯=,得P y ,∴
P ,∴1(PF =-,2(5PF =,∴120PF PF ⋅=. 6.答案：A
解析：不妨设P 在双曲线的左支,如图,延长1F H 交2PF 于点M,
由于PH 即是12F PF ∠的平分线又垂直于1F M ,故12MF F △为等腰三角形, 1||||PF PM =且H 为1F M 的中点,所以OH 为12MF F △的中位线,所以
2211||||(||||)22OH MF PF PM =
=-211
=(||||1)2
PF PF -=.故选A.
7.答案：C
解析：由1234PF PF =知12PF PF >，由双曲线的定义知122PF PF -=,∴128,6PF PF ==.又∵22212425c a b =+=+=,∴5c =，∴1210F F =.∴12PF F △为直角三角形，∴12121
242
PF F S PF PF =
=△. 8.答案：B
解析：由题意知
221sin cos x y θθ-=-，因为3,4θπ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，所以sin 0,cos 0θθ>->，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线.故选B 9.答案：C
解析：由题意两定圆的圆心坐标为12(0,0),(4,0)O O ，半径分别为1,2.设动圆圆心为C ，动圆半径为r ，则121,2CD r CO r =+=+，∴211214CO CO OO -=<=,故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 10.答案：D
解析：2
2
12(82)(33)10F F =--+-=,当3a =时，12610PF PF -=<,∴点P 的轨迹为靠近点2F 的双曲线一支；当5a =时，121210PF PF F F -==，∴点P 的轨迹为靠近点2F 的一条射线. 11.答案：(27,8) 解析： 12.答案：②③④
解析：①错误，当5
2
t =
时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4)(1)0t t --<，∴1t <或4t >；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则410t t ->->，∴5
12
t <<；
④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则40
10t t -<⎧⎨->⎩
∴4t >.
13.答案：①④
解析：设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ,与12F F 切于点M ,则
1122,,PA PB F A F M F B F M ===.又点P 在双曲线的右支上,所以122PF PF a -=,故122F M F M a -=,而122F M F M c +=,设点M 的坐标为(,0)x ,则由122F M F M a -=,可得()()2x c c x a +--=,解得x a =,显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴,故①④是真命题.
14.
答案：解析：设112212,()PF r PF r r r ==>,在12F PF △中,由余弦定理,得
2
22212121212122cos60()F F r r r r r r r r =+-︒=-+,
而12124,r r F F -==∴1236r r =,
∴
121211sin 603622F PF S r r =︒=⨯=△.
15.答案：(1)
因为1
||||sin(π)2||||cos OF FQ OF FQ m θθ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅=⎩
所以tan θ=
.
m <,所以1tan 4θ<<. 即tan θ的取值范围为(1,4).
(2)设双曲线的标准方程为22
221x y a b
-=(0,0)a b >>,11(,)Q x y ,
则11(,)FQ x c y =-
所以11
||||2
OFQ S OF y =
⋅=△,
则1y =. 又OF FQ m ⋅=,
即211(,0)(,)1c x c y c ⎫⋅-=⎪⎪⎝⎭
,
解得1x =,
所21||OQ x ==
当且仅当4c =时取等号,||OQ 最小, 这时点Q
的坐标为
或. 因为2222661
16
a b
a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
,所以2
2412a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 于是双曲线的标准方程为22
1412
x y -=.
解析：。