相似三角形专题复习[1]

课时课题：相似三角形复习课教学目标：1．复习相似三角形的概念． 2．复习相似三角形的性质． 3．复习相似三角形的判定．4．复习相似三角形的应用，用相似知识解决一些数学问题．重点、难点：重点：运用相似三角形的判定定理分析两个三角形是否相似． 难点：正确运用相似三角形的性质解决数学问题．教法及学法指导：通过相似三角形性质和判定的复习，让学生能熟练的应用相似三角形的知识解决数学问题．教学过程一、 多元智能、知识点击【师】这节课我们复习相似三角形的有关知识，首先我们看一下它在整个知识体系中的位置.【师】本节课，我们将从三个方面来复习相似三角形的有关知识（多媒体展示），请同学们完成下面的填空.【生】完成知识梳理中的填空． 【师】华罗庚说过：“解题是数学的心脏”，下面我们通过两组练习进一步复习巩固相关知识相似三角概念 1． 的两个三角形叫相似三角形．2． 叫相似比．3．△ABC 相似于△DEF 用符号表示为 ． 判定 1． 角对应相等的两个三角形相2．两边 ，且夹角 的两个三角形相似． 3．三边 的两个三角形相似． 性质 1．相似三角形的对应角 ，对应边 ． 2．相似三角形的对应 的比，对应 的比，对应 的比，对应 的比都等于相似比．3．相似三角形 的比等于相似比的平方．【设计意图】以知识框图的形式让学生明确相似三角形在相应的知识体系中的位置，有助于学生掌握知识的纵横联系；以知识图解的形式让学生填空，可以帮助学生梳理本节课的主要知识点，为下一步激活运用这些知识打好基础．二、 知识激活、学练精思（一） 典型习题、精做详解【师】下面我们运用相似三角形的判定方法判定下面的三角形是否相似例1：下面5组图形中都有角或线段相等的标记，试根据这些标记的条件判断有没有没有相似三角形？若有，请找出，并说明相似的理由.【生1】图1：△ABC ∽△ADE ，理由：∵∠ADE=∠B, ∠A 为公共角∴△ABC ∽△ADE(两角相等，两三角形相似)【生2】图2：△ABC ∽△ADE ，理由：∵∠ADE=∠C, ∠A 为公共角∴△ABC ∽△ADE(两角相等，两三角形相似)【生3】图3：△ABO ∽△DOE ， 理由：∵OA=1, OD=3, ∴OD OA =31同理OC OB =31∴OD OA =OCOB 又∵∠AOB=∠EOD图（5）2 4 6ABC D 2 13 6AB CDEACDE DE A BO图（1）图（2）图（3）B1 DACE2图4A BC DE F 2 461 2 3∴△ABO ∽△DOE(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)【生4】图4：△ABC ∽△DEF ， 理由：∵AB=2, BC=4,AC=6； DE=1，EF=2，DF=3，∴DE AB =EF BC =DFAC=2 ∴△ABC ∽△DEF(三边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)【生5】图5：△ABD ∽△ABC ， 理由：∵AD=2，CD=6∴AC=2+6=8又 ∵AB=4∴AC AB =84=21AB AD =84=21∴AC AB =ABAD 又 ∵∠A 为公共角∴△ABD ∽△ABC (两边对应成比例，两三角形相似)【生6】图6：△ACB ∽△DBE ， 理由：∵∠C=90O∴∠1+∠A=90O∵∠ABE=90O∴∠1+∠2=90O∴∠A=∠2又∵∠C=∠D=90O∴△ACB ∽△DBE例2：已知：MN//BC,BD 和CE 交于点A ， 过点D 作DH//EC 交BC 延长线于点H, （1）找出图中的相似三角形（2）若AE ∶AC=1∶2，求AC ∶DH（3）若ΔABC 的周长为4，则求ΔBDH 的周长 （4）若ΔABC 的面积为4，求ΔBDH 的面积 【生1】△ABC ∽△ADE ∽△BDH【生2】由AE ∶AC=1∶2，可设AE=x, AC=2 x∴CE=AE+ AC= x+2 x=3 x ∵MN//BC ，DH//EC∴四边形CHDE 是平行四边形 ∴DH= CE=3 x∴AC ∶DH=2 x ∶3 x=2 ∶3MNBHCE DA【生3】∵AC//DH∴△ABC ∽△BDH∴∴2ΔBDH 的周长=12 ∴ΔBDH 的周长=6【生4】∵AC//DH∴△ABC ∽△BDH ∴∴4ΔBDH 的面积=36 ∴ΔBDH 的面积=9（二）题型方法、规律总结【师】同学们能画出关于相似有哪些基本图形吗？ 【生】画图总结 【师】补充．【师】在实际运用中，我们经常运用相似三角形解决哪些问题？ 【生1】1、求线段的长度的问题ΔABC 的周长 ΔBDH 的周长 ACDH 2 3= = ∴ 4 ΔBDH 的周长 23= ΔABC 的面积 ΔBDH 的面积 49= = ∴ 4 ΔBDH 的面积 49= AC DH （ ） 2 相似三角形的基本图形正A 斜A 型A 型子母型 垂直型 正 X 型 斜X X 型 旋转型混合型（双A 型、双X 型、双垂直型、A 、X 混合型等）2、求周长的问题3、求面积的问题【生2】求角的度数问题【生3】证明某些关系式成立【设计意图】通过经典习题复习巩固相似三角形的判定和性质，然后对习题进行“多题归一”式的规律性总结，以升华学生复习效果，为冲刺中考做好铺垫．三、追踪中考、案例解析【师】相似形知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和发展，也是沟通直线型和圆的重要桥梁和纽带，在近几年中考试题中常以选择题、填空题及解答题的形式来考查本章内容，各种难度都有可能，单独出现的题目至多为中等难度，但依托三角形、四边形、函数、方程等内容编拟的综合性题目多数为中等难度试题或较难题，有时这部分内容也会出现在压轴题中，难度一般较大.下面我们选取山东省近几年中考题案例进行剖析．案例1：“正A型”（2012山东聊城）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是【】A．BC=2DE B．△ADE∽△ABCC．AD AB=AE ACD．S△ABC=3S△ADE思路点拨：此图属于“A型图”中的特殊情形：DE恰好是△ABC的中位线．据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论．【生】∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴BC=2DE。

故A正确。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确。

∵△ADE∽△ABC，∴AD AB=AE AC，故C正确。

∵DE是△ABC的中位线，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE，故D错误。

故选D。

.案例2：“斜A型”（2010枣庄市中考题）如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足，△ACD与△ABC相似？思路点拨：此图属于“斜A型”变式后的“子母型”，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可．【生1】∠1=∠B.【生2】2=∠ACB.【生3】【生2】AC 2=AD ·AB案例3：“双A 型”（2008枣庄市中考题）△ABC 中，DE ∥BC ，M 为DE 中点，CM 交AB 于N ，若，求.思路点拨：图中有两个“A ”字形，已知线段AD 与AB 的比和要求的线段ND 与NB 的比分别在这两个“A ”字形，利用M 为DE 中点的条件将条件由一个“A ”字形转化到另一个“A ”字形，从而解决问题．【生】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC∴∵M 为DE 中点，∴∵DM ∥BC ， ∴△NDM ∽△NBC∴∴=1：2.案例4：“正X 型”（2012山东泰安3分）如图，在□ABCD 中， AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于____ _．思路点拨：此题图形中包含“正X 型”图，利用平行四边形 对边平行的性质易得△AEF ∽△DFC 【生】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD, AB=CD ∴△AEF ∽△DFC∴AF FC =AE CD即：2FC =AECD∵AE ＝EB∴AE AB =12 ∴AE CD =12 FA E BCD∴2FC =12∴FC=4案例5：“A 、X 混合型”（2009山东临沂3分）如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ， AD=3CE, 则AB 和CG 的 关系是____ _．思路点拨：此题图形中包含“正X 型”和“正A 型”图，利用平行四边形对边平行的性质易得△AFD ∽△BFE 和△CEG ∽△ABE 【生】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CG AD ∥CE ∴△CEG ∽△AGD ∵AD=3CE ∴AG=3EG∴AE=2EG∵AB ∥CG ∴△ABE ∽△CEG ∴AB=2CG案例6：“旋转型”（2012山东菏泽6分）如图，∠DAB=∠CAE ，请补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE ．思路点拨：此题图形属于旋转型，由∠DAB=∠CAE 可得∠DAE=∠BAC 【生1】∠D=∠B 【生2】∠AED=∠C 【设计意图】通过剖析相似三角形中考真题，使学生发现前面总结的解题规律在解决中考题的威力，培养学生解决中考题的能力和信心．五、知识盘点、纵横联系【师】通过前面的学习之后，你能否将相似三角形与相似的知识之间的联系说一说？ 【生】展示、交流。

AB C DEF G【师】多媒体展示：【设计意图】通过剖析相似三角形中考真题，使学生发现前面总结的解题规律在解决中考题的威力，培养学生解决中考题的能力和信心．六、 自主限时、冲刺中考（一）选择题题型（A 组题）1.（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似 2.（2012陕西省）如图，在BE AD ABC ,中，∆是两条中线，则=∆∆ABC EDC S S :（ ） A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶43.（2011四川宜宾）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于点D ．则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ ）A ． 1: 2B ． 1:3C ． 1:4D ． 1:5 4.（2012江苏徐州）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC= BC 。

金杨2题图 A C BD 3题图4题图位似 相似三角形相似三角形的性质图形的相似 中考复习相似三角形 的判定 对应角相等 对应边成比例 对应中线的比=对应高的比=对应角平分线的比=相似比 周长的比=相似比 平两角三边两边成比例A 字型X 字型对应角相等， 对应边成比例， 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方 画法、性质 用坐标表示位似中心是原点对应点的坐标比为k 或-k 两图形位似 对应顶点的连线交于一点 对应边平行相似三角形 相似形 相似多图中相似三角形共有【 】A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对5.（2010年桂林市）已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）．A ． 1：2B ． 1：4C ． 2：1D ． 4：1（B 组题）6.(2012山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BD C ．AB ·AD =BD ·BC D ．AB ·AD =AD ·CD7.（2012黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定 8.（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与 （二）填空题题型（A 组题）1.（2010陕西省）如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是 。