高考数学附加题专项训练

17、为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：⎪⎭

⎫

⎝⎛<

<-=为常数a a at y ,34041，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间t 满足关系式：()()⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<<=312

3102t t t t y 。现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。（1）若1=a ，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围

18、已知数列{}n a 满足：2

12

1+,4=12+,2n n n+a n a a a n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数,-,

（*

,,n N a R a ∈∈为常数），

数列{}n b 中，221n n b a -=。

⑴求123,,a a a ；

⑵证明：数列{}n b 为等差数列；

⑶求证：数列{}n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数。

19、已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．

（

1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． ①求轨迹E 的方程；

②过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值． （2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC

20、已知函数()2f x x x a x =-+．

（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；

（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．

· P E O D

C B

A F 高三数学附加题（1）

班级____________ 姓名____________ 得分_____________

一、选做题：(请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.)

1.A （几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC

为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2

=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ；(2)求证：CE·EB=EF·EP ．

B （矩阵与变换）已知曲线

C ：1=xy

（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.

C （坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=，

（1）写出直线l 的参数方程;

（2）设l 与圆42

2

=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

D （不等式选讲）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最小值.

二、必做题：（本大题共2小题,每小题10分,计20分.）

2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点．

(1)求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦；

(2)在线段AA 1上取一点F ，问AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？

3.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行． 根据以往

经验，每局甲赢的概率为12，乙赢的概率为1

3

，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n 局赢、平、输的

得分分别记为2n a =、1n a =、0n a =*,15,n N n ∈≤≤令12n n S a a a =+++． （1）求35S =的概率；

（2）若随机变量ξ满足7S ξ=（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望．

A

C 1 B 1 A 1

F

高三数学附加题（1）参考答案

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

一、选做题：

1. A （几何证明选讲）（1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ． （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，

∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA ． ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．

B （矩阵与变换）

由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45

cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥

⎦，

'2222:'M x y x x x T y y y x y ⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦

，即有'22'x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，

解得'')'')x x y y y x ⎧=

+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。

所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，得到的曲线是222y x -=。

（2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转045后，即可得到曲线C 的焦点坐标和渐近线方程。

曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，

变换矩阵000

0cos(45)

sin(45)22sin(45)cos(45)N ⎡⎢⎡⎤---⎢==⎢⎥⎢--⎣⎦⎢⎣

02⎡⎢⎡⎡⎤⎢⋅=⎢⎢⎥-⎢⎣⎦⎢⎣⎢⎣

，02⎡⎢⎡⎤⎢

⋅=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣， 即曲线C

的焦点坐标是(。而把直线0x y ±=要原点顺时针旋转045恰为y 轴与x 轴，因此曲线C 的渐近线方程为0x =和0y =。

C （坐标系与参数方程）（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，即1112

x y t

⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．

（2

）把直线1112

x y t

⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩代入422=+y x

，得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-=，122t t =-，

则点P 到,A B 两点的距离之积为2．

D （不等式选讲）

(

)

()2

2

222111112323x y z z x y z ⎫⎛⎫=++=+∙+∙≤++++ ⎪⎪⎝⎭⎭

2226

2311

F x y z ∴=++≥

7′

1z == 且3261,,,111111x y z x y z ++==== F 有最小值6

11 二、必做题：

2. (1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π

2

．

以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，……2分 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)， B 1(0，0，3)，A 1(2，0，3)，C 1(0，2，3)，

D (22，22，3)，

E (0，22，32)． 所以CA 1

→＝(2，－2，3)，BE →＝(0，22，32

)． 而|CA 1→|＝13，|BE →|＝112，且CA 1→·BE →＝72

， 所以cosθ＝CA 1→·BE →|CA 1→||BE →|＝7

213×112

＝7143

143；

所以直线BE 与A 1C 所成的角的余弦为7143

143．