高考数学附加题专项训练
高三数学附加试卷电子版
一、选择题（每题5分，共25分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，则f'(x) = _______。
A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 - 3xC. 6x^2 + 3xD. 6x^2 + 6x2. 在等差数列{an}中，a1 = 2，公差d = 3，则第10项a10 = _______。
A. 29B. 30C. 31D. 323. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2 = _______。
A. 2B. 1C. 0D. 44. 若sinα = 1/2，cosα = √3/2，则tanα = _______。
A. √3B. -√3C. 1/√3D. -1/√35. 函数y = x^2 - 4x + 4在区间[0, 4]上的最大值为 _______。
A. 4B. 0C. 2D. 8二、填空题（每题5分，共25分）6. 若log2(x - 1) = 3，则x = _______。
7. 已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则第n项an = _______。
8. 函数f(x) = e^x - e^(-x)的奇偶性是 _______。
9. 圆的方程x^2 + y^2 - 6x + 8y - 12 = 0的圆心坐标是 _______。
10. 若向量a = (2, -1)，向量b = (1, 2)，则向量a·b = _______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)并求出函数的极值点。
12. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a = 5，b = 6，c = 7，求sinA、cosB和tanC的值。
13. 解下列方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\3x - 2y = 6\end{cases}\]四、证明题（15分）14. 证明：对于任意实数x，不等式x^2 + 1 ≥ 2x恒成立。
高考数学二轮复习3个附加题专项强化练二项式定理、数学归纳法理
3个附加题专项强化练(三)二项式定理、数学归纳法(理科)*1.已知函数 f o (x)=x(sin x+cos x),设 f n (x)为 f n —i (x)的导数，nCN. ⑴求f i (x), f 2(x)的表达式；(2)写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明. 解：(1)因为f n (x)为f n —i (x)的导数， 所以 f i (x) =f 0,( x)=(sin x+cos x)+x(cos x —sin x) = (x+1)cos x+ (x- 1)( - sin x),同理，f 2(x) = — (x+2)sin x —(x —2)cos x.(2)由(1)得 f 3(x) =f 2' ( x) = — (x+3)cos x+(x —3)sin x, 把f 1(x), f 2(x), f 3( x)分别改写为兀 兀f 1(x) = (x+1)sin x + - +(x —1)cos x + -2-,f 2( x) = (x+ 2)sin x + -2- + (x — 2)cos x+ -2- , f 3(x) = (x+3)sin x+ ^2- + (x- 3)cos x+^2-,猜测 f n (x) = (x+n)sin x+ n 2L +(x —n)cos x + n-21.(*) 卜面用数学归纳法证明上述等式. (i )当n= 1时，由(1)知，等式(*)成立.(ii)假设当n=k(kCN *, k>1)时，等式(*)成立，即 f k (x) = (x+k)sin x + ~~ + (x-k)cos x + ^2 则当n=k+ 1时, f k+ 1( x) = f k ' ( x)= (x + k+1)cos x+容+[x —(k+1)] • k +1 k + 1=[x + ( k+1)]sin x+ -2-兀 +[x —(k+1)] , cos x+ -2-兀， 即当n=k+ 1时，等式(*)成立.综上所述，当 n€ 2时，f n (x) = (x+n ) • sin x + ^2^+(x— n)cos x + ^^ 成立.=sin x ++ (x+ k)cosx+^2^ + cosx+ +(x —k) —sin— sin x +^2-2.设1,2,3 ,…，n 的一个排列是 a1, a2, ♦,a n,若a = i 称i 为不动点(1 < i < n).(1)求1,2,3,4,5 的排列中恰有两个不动点的排列个数;(2)记1,2,3 ,…，n 的排列中恰有k 个不动点的排列个数为 P n (k),①求 P n (k)；②kR(k).解：(1)1,2,3,4,5 的排列中恰有两个数不动，即为有两个a = i,另三个a iw i,而三个数没有不动点的排列有 2个，故1,2,3,4,5 的排列中恰有两个不动点的排列个数为2c 5 =20.(2)①在1,2,3 ,…，n 的排列中分成这样 n+1类，有0个不动点，1个不动点，2个不 动点，…，n 个不动点，n故 R(k) = n!k=0②由题设可知 R(k ) = C k Pn k (0)及组合恒等式kC n= nd11得nn-1 k — 1 k=n C niR-k(0) = n C n 1P (n 1) k (0) =n!k=1k=02n3.已知(x 2+ 2x + 4)n = a 0+a 1(x+ 1) +a 2(x+ 1)2+…+ a 2n (x+ 1)2n(nC N *),令 T= ia i .i =1(1)求a 0和T n 关于n 的表达式;2T n o ......................................(2)试比较 M 与(n — 1)a 0+2n 的大小，并证明你的结论.解：(1)在(x 2+2x+ 4)n=a °+a 1(x+1)+&(x+1)2+…+ a 2n (x+1)2n 中，令 x=—1,可 得 a 0=3n.^(x + 2x+ 4) =a °+a 1(x+1) + &(x+1) +…+ &n (x+ 1),两边同时求导得， n(2x+ 2)( x 2+ 2x+ 4)n 1 = a- 2a 2(x+ 1) + 3a 3(x+ 1)2+ …+ 2na 2n (x+ 1)12n令 x = 0,则 ia i = 2nx4nT,所以 T n= 2nx4n -1.2T n r n n o(2)要比较 N 与(n — 1)a 0+2n 的大小，即比较 4与(n — 1)3 +2n 的大小. 当 n = 1 时，4n=4>(n —1)3n+2n 2=2； 当 n = 2 或 3 或 4 时，4n<(n —1)3 n+2n 2; 当 n = 5 时，4n >(n- 1)3n +2n 2. 猜想：当 n>5 时，4n >(n —1)3n+2n 2. 卜面用数学归纳法证明.kkR(k)=kGR k (0)=k=1k=1nk-1 _n 。
高三数学复习附加题专项训练15套有答案
ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘 制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22． 如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案： 概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。
（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是 。
答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案： （1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】 第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ． （I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】 第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥． （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； 答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7． 第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立； （2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案 证明： （1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。
江苏高三数学20套数学附加题
实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。
最新高考数学附加题加分练习(八)随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布1．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现512甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )．解 (1)设袋中原有n 个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，C2nC29由题意知＝，化简得n 2－n －30＝0，C2nC29512解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.(2)由题意，X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，69233×69×814P (X ＝3)＝＝，P (X ＝4)＝＝.3×2×69×8×71143×2×1×69×8×7×6184所以取球次数X 的概率分布为X 1234P2314114184所求数学期望E (X )＝1×＋2×＋3×＋4×＝.23141141841072．某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P 1＝，乙的命中率为P 2，在射击23比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测．在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．(1)若P 2＝，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；12(2)在2018年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ，如果E (ξ)≥5，求P 2的取值范围．解 (1)所求概率P ＝＋＝.(C12·23·13)(C12·12·12)(23·23)(12·12)13(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P ＝[C ·P 2·(1－P 2)]＋P ＝P 2－P .(C12·23·13)12(23·23)289492而ξ～B (12，P )，所以E (ξ)＝12P ，由E (ξ)≥5知，·12≥5，(89P 2－49P 2)解得≤P 2≤.3454又0≤P 2≤1，∴≤P 2≤1.343．(2018·南通调研)从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出m 个．(1)若m ＝1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若m ＝2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．解 (1)当m ＝1时，记事件A ：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．则集合{1,2,3,4,5}的非空子集数为25－1＝31，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为23－1＝7，全为偶数的子集数为22－1＝3，所以P (A )＝＝.31－(7＋3)312131(2)当m ＝2时，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P (ξ＝0)＝＝＝，C2C15＋C2C25＋C2C35＋C2C45C 2311104652293P (ξ＝1)＝＝＝，C15C25＋C25C35＋C35C45＋C45C55C 2312054654193P (ξ＝2)＝＝＝，C15C35＋C25C45＋C35C55C 2311104652293P (ξ＝3)＝＝＝，C15C45＋C25C55C 23135465793P (ξ＝4)＝＝＝，C15C55C 2315465193所以ξ的概率分布为ξ01234P229341932293793193所以ξ的数学期望E (ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.229341932293793193110934．(2018·启东模拟)如图，已知正六棱锥S －ABCDEF 的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．(1)求概率P (X ＝)的值；3(2)求X 的概率分布，并求其数学期望E (X )．解 (1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C ＝35(种)取法．其中X ＝37的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个．3因此P (X ＝)＝＝.36C37635(2)由题意知，X 的可能取值为，2，，2，3.3633其中X ＝的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个；3其中X ＝2的三角形有两类，如△SAD (3个)，△SAB (6个)，共有9个；其中X ＝的三角形如△SBD ，这类三角形共有6个；6其中X ＝2的三角形如△CDF ，这类三角形共有12个；3其中X ＝3的三角形如△BDF ，这类三角形共有2个．3因此P (X ＝)＝，P (X ＝2)＝，P (X ＝)＝，36359356635P (X ＝2)＝，P (X ＝3)＝.312353235所以随机变量X 的概率分布为X3262333P (X )6359356351235235所求数学期望E (X )＝×＋2×＋×＋2×＋3×＝36359356635312353235.363＋66＋1835。
今年高考数学试卷附加题
一、题目：函数与几何的综合应用（满分20分）阅读下列材料，完成下列各题：某城市计划在市中心修建一座大型购物中心，该购物中心位于城市的中心区域，周边交通便利。
为方便市民出行，购物中心拟采用环形道路进行交通规划。
环形道路的半径为500米，道路中心设有一个圆形广场，广场的半径为100米。
（1）设环形道路的圆心为O，广场的圆心为A。
现从O点出发，以OA为直径，在环形道路上画一个半圆，求该半圆的面积。
（6分）（2）设环形道路上任意一点P的坐标为（x，y），其中x≥0，y≥0。
求函数f（x）=x²+500²-2×500×x+100²的值域。
（8分）（3）设点P在环形道路上，其坐标为（x，y）。
若点P到点A的距离为√（x²+y²），求函数g（x）=√（x²+y²）的最大值。
（6分）二、解答：（1）解：以OA为直径的半圆的半径为250米，面积为：S = π×250²/2 = 3.14×250²/2 = 19625（平方米）。
（2）解：函数f（x）=x²+500²-2×500×x+100²可以化简为：f（x）=（x-250）²+100²-250²f（x）=（x-250）²+100²-62500由于（x-250）²≥0，所以f（x）的最小值为100²-62500=10000-62500=-52500又因为x≥0，所以f（x）的值域为[-52500，+∞）。
（3）解：函数g（x）=√（x²+y²）表示点P到点A的距离，即g（x）=√（x²+（500-y）²）。
由于y≥0，所以500-y≤500，即（500-y）²≤500²。
高三数学附加题专项练习(6)抛物线
高三数学附加题专项练习(6)抛物线1已知抛物线L的方程为x2 =2py p 0，直线y =x截抛物线L所得弦AB =4, 2 .⑴求p的值；⑵抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线•若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.2 (1)已知动点P(x, y)到点F(0,1)与到直线y- 的距离相等，求点P的轨迹L的方程；(2)若正方形ABCD 的三个顶点A(X i,yJ , B(X2,y2), C(X3, y3)(捲：：：0 < x?：：：®在(1) 中的曲线L上，设BC的斜率为k , l =|BC |，求I关于k的函数解析式I =f(k)；(3)求⑵中正方形ABCD面积S的最小值。
3.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点F、T、M、P满足OF = (1,0),OT = (_1,t),—J —* —I T T TFM = MT ,PM _ FT , PT // OF .(1 )当t变化时，求点P的轨迹C的方程；(2)若过点F的直线交曲线C于A,B两点，求证：直线TA,TF,TB的斜率依次成等差数列.4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F (1, 0).过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD ,与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N .(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：MN _ x轴；(3)若直线MN与x轴的交点恰为F (1, 0), 求证：直线AB过定点.1 15•已知动圆P过点F(0,—)且与直线y 相切.4 4(1)求点P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹C于A,B两点，轨迹C在A,B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN _x轴•26.如图，过抛物线C : y 4x上一点P( 1，-2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x i, y i), B(x2, y2)(1) 求y i y2的值；(2) 若％ _ 0, y2一0 ,求.PAB面积的最大值。
高考数学试卷附加题
一、（15分）已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d（a≠0）的图像在x轴上有一个切点A，且过点B(1, 2)。
求函数f(x)的表达式。
二、（20分）在直角坐标系中，设点P(m, n)是直线y = mx + 1与圆x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0的交点。
若点P到直线3x + 4y - 5 = 0的距离等于2，求m和n的值。
三、（25分）已知数列{an}满足an = an-1 + 2n - 1（n≥2），且a1 = 1。
求：（1）数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn = 2n - 1，求数列{an + bn}的前n项和Sn。
四、（30分）在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，点B在直线y = 3x + 1上，且|AB| =2√2。
求点B的坐标。
五、（35分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + a，其中a为常数。
若函数f(x)在x = 1处的切线斜率为2，且f(0) = 2，求函数f(x)的解析式。
六、（40分）设数列{an}满足an = an-1 + an-2（n≥3），且a1 = 1，a2 = 2。
求：（1）数列{an}的前n项和Sn；（2）若数列{bn}满足bn = an / (an+1)，求数列{bn}的前n项和Tn。
七、（45分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）的图像在x轴上有一个切点A，且过点B(1, 3)。
若函数f(x)的图像与直线y = x + 2相交于点C，求a、b、c的值，并求出点C的坐标。
八、（50分）已知函数f(x) = (x - 1)^2 / (x + 2)（x ≠ -2）。
若函数f(x)在x = 1处的导数大于0，求函数f(x)的单调递增区间。
2020年江苏省高考数学附加题专项7套含答案
专题一请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】 选修4－2：矩阵与变换设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤m 00 n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A .【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；【题目1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ).解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为【题目2】 在(1＋x ＋x 2)n ＝D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D r n x r ＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n n x 2n 的展开式中，把D 0n ，D 1n ，D 2n，…，D 2n n 叫做三项式系数. (1)当n ＝2时，写出三项式系数D 02，D 12，D 22，D 32，D 42的值；(2)类比二项式系数性质C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n (1≤m ≤n ，m ∈N ，n ∈N )，给出一个关于三项式系数 .专题二请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】 选修4－2：矩阵与变换已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程.【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程.必做部分【题目1】如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.(1)求证：AC⊥EF；(2)求二面角C－EF－D的大小.【题目2】已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，a m，使得a1a2，a2a3，…，a m－1a m，a m a1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值.(1)求f(6)的值；(2)对于给定的正整数n (n ＞1)，(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f (k )的解析式；(ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，求f (k )的解析式.专题三请同学从下面所给的三题中选定两题作答【题目1】 选修4－2：矩阵与变换设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎡⎦⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎡⎦⎤1 00 1，求B －1.【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程.必做部分【题目1】某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，4 7.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望.【题目2】 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 专题4请同学从下面给的三题中选定两题作答【题目1】 选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 2c d (c ，d 为实数).若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为ρsin ()θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.必做部分【题目1】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∠BCA ＝90°.(1)求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值；(2)求二面角B－AB1－C平面角的余弦值.【题目2】在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2).(1)当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数.专题五2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤0 ab 0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎡⎦⎤11，求矩阵M .3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ()2，π3为圆心且与直线l: ρsin ()θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.5.已知点A(1,2)在抛物线F：y2＝2px上.(1)若△ABC的三个顶点都在抛物线F上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3, 求1k1－1k2＋1k3的值；(2)若四边形ABCD的四个顶点都在抛物线F上，记四边AB，BC，CD，DA所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求1k1－1k2＋1k3－1k4的值.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论. .专题六2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎡⎦⎤1 02， N ＝⎣⎡⎦⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.专题七2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2122－1M ＝⎣⎡⎦⎤－3 0 4－1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ()θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；(2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度.6.已知()1＋12xn展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n(x )，an ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1专题一请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤m 0n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤01，求矩阵A .解 由题意得⎣⎡⎦⎤m 00 n ⎣⎡⎦⎤10＝1⎣⎡⎦⎤10，⎣⎡⎦⎤m 00 n ⎣⎡⎦⎤01＝2⎣⎡⎦⎤01，所以⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2，故A ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2. 【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数.(1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值. 解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14. (2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2. 必做部分【题目1】 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立.现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球.(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E (ξ). 解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况： 甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×()132×()123＋C 23×()232×()13×C 13×()123＋C 33×()233×C 23×()123＝1136.(2)ξ的取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝()133×()123＋C13×23×()132×C13×()123＋C23×()232×13×C23×()123＋()233×()123＝724，P(ξ＝1)＝()133×C13×()123＋C13×23×()132×()123＋C13×23×()132×C23×()123＋C23×()232×13×C13×()123＋C23×()232×13×()123＋()233×C23×()123＝1124，P(ξ＝2)＝()133×C23×()123＋C23×()232×13×()123＋C13×23×()132×()123＋()233×C13×()123＝524，P(ξ＝3)＝()133×()123＋()233×()123＝124，所以ξ的分布列为所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.【题目2】在(1＋x＋x2)n＝D0n＋D1n x＋D2n x2＋…＋D r n x r＋…＋D2n－1n x2n－1＋D2n n x2n的展开式中，把D0n，D1n，D2n，…，D2n n叫做三项式系数.(1)当n＝2时，写出三项式系数D02，D12，D22，D32，D42的值；(2)类比二项式系数性质C m n＋1＝C m－1n＋C m n(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，给出一个关于三项式系数D m＋1n＋1(1≤m≤2n－1，m∈N，n∈N)的相似性质，并予以证明.解(1)因为(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，所以D02＝1，D12＝2，D22＝3，D32＝2，D42＝1.(2)类比二项式系数性质C m n＋1＝C m－1n＋C m n(1≤m≤n，m∈N，n∈N)，三项式系数有如下性质：D m＋1n＋1＝D m－1n＋D m n＋D m＋1n(1≤m≤2n－1).证明如下：因为(1＋x＋x2)n＋1＝(1＋x＋x2)·(1＋x＋x2)n，所以(1＋x ＋x 2)n ＋1＝(1＋x ＋x 2)·(D 0n ＋D 1n x ＋D 2n x 2＋…＋D 2n －1n x 2n －1＋D 2n nx 2n ). 上式左边x m＋1的系数为D m ＋1n ＋1，上式右边xm＋1的系数为D m ＋1n ＋D m n ＋D m －1n ，于是D m ＋1n ＋1＝D m －1n ＋D m n ＋D m ＋1n (1≤m ≤2n －1).专题二请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程. 解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎡⎦⎤0 110⎣⎡⎦⎤1－2＝⎣⎡⎦⎤0 －210，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎡⎦⎤xy ＝⎣⎡⎦⎤0 －21 0⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤－2y ′ x ′，即⎩⎨⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎨⎧x ′＝y ，y ′＝－12x . 又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴()－12x2＝12y ，即x 2＝2y . 【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求： (1)圆的普通方程； (2)圆的极坐标方程.解 (1)根据sin 2α＋cos 2α＝1，得(x －2)2＋y 2＝4cos 2α＋4sin 2α， 所以圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)把⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.必做部分【题目1】 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，且AD ＝DE ＝2BF ＝2.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求二面角C －EF －D 的大小.(1)证明 连接BD ，∵FB ∥ED ，∴F ，B ，E ，D 共面，∵ED ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴ED ⊥AC ，又ABCD 为正方形， ∴BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，ED ，DB 平面DBFE ，∴AC ⊥平面DBFE ，而EF平面DBFE ，∴AC ⊥EF .(2)解 如图建立空间直角坐标系.则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，F (2，2，1)，E (0，0，2)， 由(1)知AC →为平面DBFE 的法向量，即AC →＝(－2，2，0)，又CE →＝(0，－2，2)，CF →＝(2，0，1)，设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴n ＝()－12，1，1.设二面角C －EF －D 的大小为θ，则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC →|＝1＋232×22＝22，又二面角C －EF －D 为锐角，所以θ＝π4.【题目2】 已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m －1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f (k )为满足条件的m 的最大值. (1)求f (6)的值；(2)对于给定的正整数n (n ＞1)，(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f (k )的解析式； (ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，求f (k )的解析式. 解 (1)由题意，取a 1＝1，a 2＝2，a 1a 2＜6，满足题意， 若a 3≥3，则必有a 2a 3≥6，不满足题意，综上所述，m 的最大值为2，即f (6)＝2. (2)由题意，当n (n ＋1)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，设A 1＝{1，2，…，n }，A 2＝{n ＋1，n ＋2，n ＋3，…}， 显然，a i ，a i ＋1∈A 1时，满足a i a i ＋1≤n (n －1)＜n (n ＋1)＜k ，所以从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，a j ，a j ＋1∈A 2时，a j a j ＋1≥(n ＋1)(n ＋2)≥k ，不符合题意， 所以从集合A 2中选出的a j 必不相邻， 又因为从集合A 1中选出的a i 至多有n 个，所以从集合A 2中选出的a j 至多有n 个，放置于从集合A 1中选出的a i 之间， 所以f (k )≤2n .(ⅰ)当n (n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，取一串数a i 为：1，2n ，2，2n －1，3，2n －2，…，n －1，n ＋2，n ，n ＋1，或写成a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧i ＋12，i 为奇数，2n ＋1－i2，i 为偶数(1≤i ≤2n )，此时a i a i ＋1≤n (n ＋2)＜k (1≤i ≤2n －1)，a 2n a 1＝n ＋1＜k ，满足题意，所以f (k )＝2n . (ⅱ)当n (n ＋1)＜k ≤n (n ＋2)时，从A 1中选出的n 个a i ：1，2，…，n ，考虑数n 的两侧的空位，填入集合A 2的两个数a p ，a q ，不妨设na p ＞na q ，则na p ≥n (n ＋2)≥k ，与题意不符， 所以f (k )≤2n －1，取一串数a i 为1，2n －1，2，2n －2，3，2n －3，…，n －2，n ＋2，n －1，n ＋1，n 或写成a i ＝⎩⎪⎨⎪⎧i ＋12，i 为奇数，2n －i 2，i 为偶数(1≤i ≤2n－1)，此时a i a i ＋1≤n (n ＋1)＜k (1≤i ≤2n －2)，a 2n －1a 1＝n ＜k ，满足题意， 所以f (k )＝2n －1.专题三请同学从下面所给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎡⎦⎤1 234，(BA )－1＝⎣⎡⎦⎤1 01，求B －1.解 设B －1＝⎣⎡⎦⎤a bcd ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎡⎦⎤1 01＝⎣⎡⎦⎤1 23 4⎣⎡⎦⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 132 －12.【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程.解 设直线l 的方程为θ＝θ0(ρ∈R )，A (0，0)，B (ρ1，θ0)，则AB ＝|ρ1－0|＝|2sin θ0|.又AB ＝3，故sin θ0＝±32. 解得θ0＝π3＋2k π或θ0＝－π3＋2k π，k ∈Z .所以直线l 的方程为θ＝π3或θ＝2π3(ρ∈R ).【题目3】 选修4－5：不等式选讲 已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).证明 ∵a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)＝a 5(a －b )－(a －b )b 5＝(a －b )(a 5－b 5). 又a ≥0，b ≥0，当a －b ≥0时，a 5－b 5≥0； 当a －b ＜0时，a 5－b 5＜0，即(a －b )(a 5－b 5)≥0， 所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4).必做部分【题目1】 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛.若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望.解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容.(2)ξ的取值可能是0，2，3，4，5，7. P (ξ＝0)＝()1－373＝64343，P (ξ＝2)＝C 12×37×()1－372＝96343， P (ξ＝3)＝()1－372×37＝48343，P (ξ＝4)＝()372×()1－37＝36343，P (ξ＝5)＝C 12×37×()1－37×37＝72343，P (ξ＝7)＝()373＝27343， ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.【题目2】 已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P (0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A ′，连接A ′B .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)问直线A ′B 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 解 (1)将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2， 所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)设直线l 的方程为y ＝kx －1，又设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(－x 1，y 1)，由⎩⎨⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1得x 2－4kx ＋4＝0，则Δ＝16k 2－16＞0， x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1， 所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2＝x 2－x 14，于是直线A ′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14(x －x 2)，所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，所以直线A ′B 过定点(0，1).专题4请同学从下面给的三题中选定两题作答 【题目1】 选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 2cd (c ，d 为实数).若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 由题意知⎣⎡⎦⎤1 2cd ⎣⎡⎦⎤21＝⎣⎡⎦⎤ 42c ＋d ＝2⎣⎡⎦⎤21，⎣⎡⎦⎤1 2c d ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤ 3c ＋d ＝3⎣⎡⎦⎤11，所以⎩⎨⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎨⎧c ＝－1，d ＝4.所以A ＝⎣⎡⎦⎤1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－131616.【题目2】 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为ρsin ()θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解 由ρsin ()θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3.所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2，所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.【题目3】 选修4－5：不等式选讲已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14. 证明 因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2 ＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号， 所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.必做部分【题目1】 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∠BCA ＝90°.(1)求异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值； (2)求二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值.解 如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2). (1)因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010，所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010. (2)设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎨⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)；设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎨⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0，取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝25×2＝105，易知二面角B －AB 1－C 为锐角，所以二面角B －AB 1－C 平面角的余弦值为105. 【题目2】 在数列{a n }中，已知a 1＝20，a 2＝30，a n ＋1＝3a n －a n －1(n ∈N *，n ≥2).(1)当n ＝2，3时，分别求a 2n －a n －1a n ＋1的值，并判断a 2n －a n －1a n ＋1(n ≥2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n ，使得5a n ＋1a n ＋1为完全平方数.解 (1)由已知得a 3＝70，a 4＝180.所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.猜想：a 2n－a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2). 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝2时，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500. 将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k ＋1＋a 2k ＋1＝－500.则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500.故当n ＝k ＋1结论成立，根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立. (2)将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501， 设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501， 又a n ＋1＋a n ∈N ，且501＝1×501＝3×167， 故⎩⎨⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎨⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167， 所以⎩⎨⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎨⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82，由a n ＋1＋a n ＝250解得n ＝3；由a n ＋1＋a n ＝82得n 无整数解，所以当n ＝3时，满足条件.专题五2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤0 ab 0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎡⎦⎤11，求矩阵M .解由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ λ－a －bλ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎡⎦⎤0 a b 0 ⎣⎡⎦⎤11＝λ2⎣⎡⎦⎤11，从而⎩⎨⎧a ＝λ2，b ＝λ2，所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－10. 3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ()2，π3为圆心且与直线l: ρsin ()θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ()θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ()θ＋π6.4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：()1x ＋2y ＋3z ()x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz 48， 所以()1x ＋2y ＋3z()x 2＋y 4＋z 6≥92. 当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值. 解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ， 设B ()y 214，y 1，C ()y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ()y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n ，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m ＝m ！. 当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ， 所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1(－1)k k C km ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)k C k m(x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m(x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k－1m (x －k )m ＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m ＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m!＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立. 由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.专题六2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎡⎦⎤1 02， N ＝⎣⎡⎦⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解 依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎡⎦⎤2 01 ⎣⎡⎦⎤1 00 2＝⎣⎡⎦⎤2 00 2.则⎣⎡⎦⎤2 02 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00， ⎣⎡⎦⎤2 00 2 ⎣⎡⎦⎤30＝⎣⎡⎦⎤60，⎣⎡⎦⎤2 00 2 ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4. ∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ()θ＋π4，y ＝2sin ()θ－π4， θ∈[0，π]， 所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.证明 因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0，ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0， 所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝()352×()132×25＝2125. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝()352×()132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12()a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12()a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12()a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0， 所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立. (2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )， 当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立； 假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0. 则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1) ＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝⎛⎭⎫1ak ＋1－1a 1＋a k ＋1()a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝⎛⎭⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1()a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1， 因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.专题七2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2122－1M ＝⎣⎡⎦⎤－3 0 4－1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2122 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0，故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－30 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－12－2－2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－30 4－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－22，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2.设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－22 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎨⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0， 由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ()θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ，ρsin ()θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)，∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明 易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|， 故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2. 又()1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝⎛⎭⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立，故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立. 5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小；(2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0).(1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎨⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ). 设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎨⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝()1＋12λ，12λ，1.因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×()1＋12λ＋2()1＋12λ2＋()12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知()1＋12xn展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n(x )，an ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1. (1)解 依题意a k (x )＝C k －1n ()12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1，a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·()12＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·()122＝n (n －1)8， 所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ()12x ＋3C 2n()12x 2＋…＋n C n －1n()12x n －1＋(n ＋1)C n n ()12x n，F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C nn ，设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ，则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ，考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数， 所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1。
20套数学附加题
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 为圆O 的直径，BC 切圆O 于点B ，AC 交圆O 于点P ，E 为线段BC 的中点．求证：OP ⊥PE.B. (选修4-2：矩阵与变换)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.求实数a ，b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，P(m ，n)为曲线C 2上任一点，求m ＋n 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1) 求二面角ADFB 的大小；(2) 试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成的角是60°.23.设f(x ，n)＝(1＋x)n ，n ∈N *.(1) 求f(x ，6)的展开式中系数最大的项；(2) n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n4－1； (3) 求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC n n ＝n ×2n －1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，CB 与圆O 相切于点B ，E 为线段CB 上一点，连结AC ，AE ，分别交圆O 于D ，G 两点，连结DG 并延长交CB 于点F.若EB ＝3EF ，EG ＝1，GA ＝3，求线段CE 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，若Aα＝Bα，求实数x ，y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x －1|.若|a|＜1，|b|＜1，且a ≠0，求证：f(ab)＞|a|f ⎝⎛⎭⎫b a .【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1) 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2) 记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的概率分布和数学期望．23.已知抛物线C ：x 2＝2py(p ＞0)过点(2，1)，直线l 过点P(0，－1)与抛物线C 交于A ，B 两点．点A 关于y 轴的对称点为A′，连结A′B.(1) 求抛物线C 的标准方程；江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，四边形ABDC 内接于圆，BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点．(1) 求证：∠EAC ＝2∠DCE ；(2) 若BD ⊥AB ，BC ＝BE ，AE ＝2，求AB 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，求曲线C 1与C 2的交点在直角坐标系中的直角坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1) 证明：f(x)≥2；(2) 若f(3)＜5，求实数a 的取值范围．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立． (1) 求该网民至少购买2种商品的概率；(2) 用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望．23.如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x 1，x 2，…，x k ，其中x i ∈{0，1}(1≤i ≤k)，其他小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x 0.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21. (本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝3 2. (1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．23. (本小题满分10分) 甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．24.(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，D 1D ＝2，点P 为棱CC 1的中点．(1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ，求sin θ的值；(2) 设M 为线段A 1B 上的一点，求AM MP的取值范围．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P(－1，2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知|x|＜2，|y|＜2，求证：|4－xy|＞2|x－y|.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．23.已知数列{a n}满足a n＝a n＋1－a－n－1a－a－1(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋1a.(1) 求证：a n＋1＝ba n－a n－1(n≥2，n∈N*)；(2) 当n(n∈N*)为奇数时，a n＝，猜想当n(n∈N*)为偶数时，a n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 11 3的特征值及对应的特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x，y均为正数，且x＞y，求证：x＋4x2－2xy＋y2≥y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，点D 是劣弧BC 的中点，连结AD 并延长，与以C 为切点的切线交于点P ，求证：PC PA ＝BDAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252x 的一个特征值为－2，求M 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝7－2t (t 为参数)与椭圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，a ＞0)的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正实数a ，b ，c 满足a ＋b 2＋c 3＝1，求证：1a 2＋1b 4＋1c6≥27.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1) 设AD →＝λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为91050，求λ的值；(2) 若点D 是AB 的中点，求二面角DCB 1B 的余弦值．23.已知k ，m ∈N *，若存在互不相等的正整数a 1，a 2，…，a m ，使得a 1a 2，a 2a 3，…，a m－1a m ，a m a 1同时小于k ，则记f(k)为满足条件的m 的最大值．(1) 求f(6)的值；(2) 对于给定的正整数n(n ≥2)：(ⅰ) 当n(n ＋2)＜k ≤(n ＋1)(n ＋2)时，求f(k)的解析式； (ⅱ) 当n(n ＋1)＜k ≤n(n ＋2)时，求f(k)的解析式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 21. (本小题满分10分)已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .22.(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值．23. (本小题满分10分)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球、乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球．若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元；若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元．活动规定：① 参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；② 可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③ 如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止．(1) 如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；(2) 若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由．24.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2x －3x 2，设数列{a n }满足：a 1＝14，a n ＋1＝f(a n )．求证：(1) n ∈N *，都有0＜a n ＜13；(2)31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n≥4n ＋1－4.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点B ，C.求证：BT 平分∠OBA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，求矩阵A 的特征值和特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点，满足BP →＝λBB 1→(0≤λ≤1)．(1) 若λ＝13，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值；(2) 若二面角PA 1CB 的正弦值为23，求λ的值．23. 已知数列{a n }满足a n ＝3n －2，f(n)＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n，g(n)＝f(n 2)－f(n －1)，n ∈N *.求证：(1) g(2)＞13；(2) 当n ≥3时，g(n)＞13.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 为圆O 的直径，直线CD 与圆O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连结AD 、BD.若AC ＝4，DE ＝3，求BD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 1(a ∈R )的一个特征值为2.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线C 在矩阵M 变换下得到的曲线的方程为x 2＋y 2＝1，求曲线C 的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，圆E 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋4sin θ，试判断点A 和圆E 的位置关系．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝1.求证：1＋2a ＋1＋2b ＋1＋2c ＋1＋2d ≤2 6.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝2，设BD →＝λDC →(λ∈R )． (1) 若λ＝1，求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2) 若二面角B 1A 1C 1D 的大小为60°，求实数λ的值．23.设集合M ＝{1，2，3，…，n}(n ∈N ，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1) 分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2) 猜想T nS n关于n 的表达式，并证明之．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB ＝10，C 为圆上一点，BC ＝6.过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC 的极坐标方程．已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab(a 4＋b 4)．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD. (1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值；(2) 求二面角APCD 的余弦值．23. 已知函数f 0(x)＝x(sinx ＋cosx)，设f n (x)为f n －1(x)的导数，n ∈N *.(1) 求f 1(x)，f 2(x)的表达式；(2) 写出f n (x)的表达式，并用数学归纳法证明．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交BA 的延长线于点C.若DB ＝DC ，求证：CA ＝AO.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0.求圆心的极坐标．已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品共10件，其中3件是不合格品．用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方式一：一次性随机抽取2件；方式二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件．记抽取的不合格产品数为ξ.(1) 分别求两种抽取方式下ξ的概率分布；23.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，设点A(－t ，0)，B(t ，0)(t ＞0)，过点B 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点(P 在Q 上方)．(1) 若t ＝1，直线PQ 的倾斜角为π4，求直线PA 的斜率； (2) 求证：∠PAO ＝∠QAO.数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2，3)变成点(3，4)． (1) 求a ，b 的值；(2) 若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cost ，y ＝3sint(t 为参数)． (1) 求直线l 的直角坐标方程与椭圆C 的普通方程；(2) 若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解不等式：|x －2|＋x|x ＋2|＞2.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1) 求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2) 设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.设(1－x)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，n ∈N *，n ≥2.(1) 设n ＝11，求|a 6|＋|a 7|＋|a 8|＋|a 9|＋|a 10|＋|a 11|的值；(2) 设b n ＝k ＋1n －k a k ＋1(k ∈N ，k ≤n －1)，S m ＝b 0＋b 1＋b 2＋…＋b m (m ∈N ，m ≤n －1)，求⎪⎪⎪⎪S m C m n －1的值．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，直线AB 与圆O 相切于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ，且AD ＝3DC ，BC ＝2，求圆O 的直径．B. (选修4-2：矩阵与变换)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.设P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的直角坐标．已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x，若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.(1) 证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2) 求二面角ADFC的大小．23. 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如下图所示．，C r＋3n(2) 已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C r n，C r＋1n，C r＋2n不能构成等差数列．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，C 为圆O 外一点，且AB ＝AC ，BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交AC 于点E.求证：DE ⊥AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，设点A(－1，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B(3，4)绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧x ＝－1＋55t ，y ＝－1＋255t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．已知a，b，c∈R，4a2＋b2＋2c2＝4，求2a＋b＋c的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个摸球游戏，规划如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1) 求概率P(X＝0)的值；(2) 为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．23.设S4k＝a1＋a2＋…＋a4k(k∈N*)，其中a i∈{0，1}(i＝1，2，…，4k)．当S4k除以4的余数是b(b＝0，1，2，3)时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m(b)．(1) 当k＝2时，求m(1)的值；(2) 求m(3)关于k的表达式，并化简．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，PA 与半圆相切于点A ，H 是OC 的中点，AH ⊥BC.(1) 求证：AC 是∠PAH 的平分线； (2) 求PC 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2.若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．求函数f(x)＝5x＋8－2x的最大值．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．(1) 求X是奇数的概率；(2) 求X的概率分布列及数学期望．23. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*.记直线AP n的斜率为k n.(1) 若k1＝2，求P1的坐标；(2) 若k1为偶数，求证：k n为偶数．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)已知变换T把平面上的点(3，－4)，(5，0)分别变换成(2，－1)，(－1，2)，试求变换T 对应的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)设x为实数，求证：(x2＋x＋1)2≤3(x4＋x2＋1)．【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1) 求恰好摸4次停止的概率；(2) 记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．23. 设实数a1，a2，…，a n满足a1＋a2＋…＋a n＝0，且|a1|＋|a2|＋…＋|a n|≤1(n∈N*且n≥2)，令b n＝a nn(n∈N*)．求证：|b1＋b2＋…＋b n|≤12－12n(n∈N*)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 1 2对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C交于A ，B 两点，求线段AB 的长．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)上一点P ⎝⎛⎭⎫34，m 到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F.(1) 求抛物线的方程；(2) 若A 为抛物线上一点(异于原点O)，点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E.试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论．23. 甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n ∈N *)局．根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P(n)．(1) 求P(2)与P(3)的值；(2) 试比较P(n)与P(n ＋1)的大小，并证明你的结论．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin α，y ＝1－cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C交点P 的直角坐标．已知a，b∈R，a＞b＞e(其中e是自然对数的底数)，求证：b a＞a b.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．(1) 求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；(2) 若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．23. 在集合A＝{1，2，3，4，…，2n}中，任取m(m≤n，m，n∈N*)个元素构成集合A m.若A m的所有元素之和为偶数，则称A m为A的偶子集，其个数记为f(m)；若A m的所有元素之和为奇数，则称A m为A的奇子集，其个数记为g(m)．令F(m)＝f(m)－g(m)．(1) 当n＝2时，求F(1)，F(2)，F(3)的值；(2) 求F(m)．数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦CA ，BD 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ，连结FD.求证：∠DEA ＝∠DFA.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝t ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，试判断直线l 与曲线C 的位置关系．。
(文理通用)江苏省高考数学理科附加题3道附加题限时组合练(一)～(六)
3道附加题限时组合练——训练答题用时，掌控答题节奏3道附加题限时组合练(一) (满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，求A －1α的值．解：设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则AA－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132323－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－13a ＋23c ＝1，－13b ＋23d ＝0，23a －13c ＝0，23b －13d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1.所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，所以A －1α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤42＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤810. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)被射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．解：曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.射线θ＝θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0为常数，且θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的直角坐标方程可以设为y ＝kx (x ≥0，k ＞0)，则圆心到直线的距离d ＝|k －3|1＋k 2根据题意得，24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －3|1＋k 22＝23，解得k ＝33， 即tan θ0＝33，θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故θ0＝π6.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知x ，y ，z 为不全相等的正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy >1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 都是正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z.同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 由于x ，y ，z 不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以x yz ＋y zx ＋z xy >1x＋1y ＋1z.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3,0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0.设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1,0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N .求证：向量SM →与NQ →共线．解：(1)设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 .因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )． 因为T (3,0)，所以OP →＝(x ，y )，ST →＝(4，－y )． 因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x . 所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：因为直线PQ 过点(1,0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0.所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M (2m 2＋1,2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1,0)，所以SM →＝(2m 2＋2,2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2).因为(2m 2＋2)y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2)y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0.所以向量SM →与NQ →共线．23．对于给定的大于1的正整数n ，设x ＝a 0＋a 1n ＋a 2n 2＋…＋a n n n，其中a i ∈{0,1,2，…，n －1}，i ＝0,1，2，…，n －1，n ，且a n ≠0，记满足条件的所有x 的和为A n .(1)求A 2； (2)设A n ＝n n (n －1)f (n )2，求f (n )．解：(1)当n ＝2时，x ＝a 0＋2a 1＋4a 2，a 0∈{0,1}，a 1∈{0,1}，a 2＝1， 故满足条件的x 共有4个，分别为x ＝0＋0＋4，x ＝0＋2＋4，x ＝1＋0＋4，x ＝1＋2＋4，它们的和是22，所以A 2＝22.(2)由题意得，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法；a n 有n －1种取法，由分步计数原理可得a 0，a 1，a 2…，a n －1，a n 的不同取法共有n ·n ·…·n ·(n －1)＝n n(n －1)，即满足条件的x 共有n n(n －1)个，当a 0分别取0,1,2，…，n －1时，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法，a n 有n －1种取法， 故A n 中所有含a 0项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)＝n n (n －1)22；同理，A n 中所有含a 1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·nn －1(n －1)·n ＝n n (n －1)22·n ；A n 中所有含a 2项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n 2＝n n (n －1)22·n 2；A n 中所有含a n －1项的和为(0＋1＋2＋…＋n －1)·n n －1(n －1)·n n －1＝n n (n －1)22·nn －1；当a n 分别取i ＝1,2，…，n －1时，a 0，a 1，a 2，…，a n －1各有n 种取法， 故A n 中所有含a n 项的和为(1＋2＋…＋n －1)n n·n n＝n n ＋1(n －1)2·n n.所以A n ＝n n (n －1)22(1＋n ＋n 2＋…＋nn －1)＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)22·n n －1n －1＋n n ＋1(n －1)2·n n＝n n (n －1)2(nn ＋1＋n n－1)，故f (n )＝nn ＋1＋n n－1.3道附加题限时组合练(二) (对应学生用书P34)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换为点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解：(1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤94－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12b ＝94，c ＋12d ＝－2，b ＝－32，d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，则M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－44. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，可得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 324 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6， 令f (λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．解：由2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得2ρsin θcos π4－2ρcos θsin π4＝m ，即x －y ＋m ＝0，即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0， 圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 圆心C 到直线l 的距离d ＝|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1，求a ＋2＋2b ＋1的最大值． 解：因为(a ＋2＋2b ＋1)2≤(a ＋2＋2b ＋1)(12＋12)＝8， 所以a ＋2＋2b ＋1≤2 2. 即a ＋2＋2b ＋1的最大值为2 2.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．如图，在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E ＝CF ＝1.(1)求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示，则A (3,0,0)，C 1(0,3,3)，B (3，3,0)，E (3,0,2)，AC 1→＝(－3,3,3)，BE →＝(0，－3,2)，所以cos 〈AC 1→，BE →〉＝AC 1→·BE →|AC 1→||BE →|＝－9＋633×13＝－3939， 故两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为3939. (2)由(1)知BE →＝(0，－3,2)，又D 1(0,0,3)，B 1(3,3,3)， 所以D 1E →＝(3,0，－1)，BB 1→＝(0,0,3)． 设平面BED 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －z ＝0，－3y ＋2z ＝0，令x ＝1，得y ＝2，z ＝3，n ＝(1,2,3)是平面BED 1F 的一个法向量．设直线BB 1与平面BED 1F 所成的角为α，则 sin α＝||cos 〈BB 1→，n 〉＝93×14＝31414，所以直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为31414.23．设数列{t n }满足0＜t 1＜1，t n ＋1＝t n －sin t n . (1)求证：0＜t n ＋1＜t n ＜1； (2)若t 1＝12，求证：t n ≤122n －1.证明：(1)法一：设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)， 所以f ′(x )＝1－cos x ＞0， 所以f (x )在(0,1)上是单调增函数． 因为t n ＋1＝t n －sin t n,0＜t 1＜1， 所以t 2＝t 1－sin t 1＞f (0)＝0，又因为t 2－t 1＝－sin t 1＜0，所以t 2＜t 1， 所以0＜t 2＜t 1＜1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，0＜t 2＜t 1＜1，命题成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立， 即0＜t k ＋1＜t k ＜1.因为f (x )在(0,1)上是单调增函数，所以f (0)＜f (t k ＋1)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1－sin 1＜1， 即0＜t k ＋2＜t k ＋1＜1，也就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，对n ∈N *时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. 法二：先证明0＜t n ＜1.①当n ＝1时，0＜t 1＜1，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即0＜t k ＜1. 则当n ＝k ＋1时，t k ＋1＝t k －sin t k ， 设f (x )＝x －sin x (0＜x ＜1)， 所以f ′(x )＝1－cos x ＞0， 所以f (x )在(0,1)上是单调增函数． 因为0＜t k ＜1，所以f (0)＜f (t k )＜f (1)， 所以0＜t k ＋1＜1－sin 1＜1，即0＜t k ＋1＜1， 这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立． 综上所述，对n ∈N *时，0＜t n ＜1. 因为t n ＋1＝t n －sin t n,0＜t n ＜1， 所以t n ＋1－t n ＝－sin t n ＜0，即t n ＋1＜t n ， 所以，对n ∈N *时，0＜t n ＋1＜t n ＜1. (2)令g (x )＝x －sin x －x 22(0＜x ＜1)，则g ′(x )＝1－cos x －x ， 记φ(x )＝g ′(x )＝1－cos x －x ， 则φ′(x )＝sin x －1＜0(0＜x ＜1)， 所以φ(x )在(0,1)上是单调减函数， 即g ′(x )在(0,1)上是单调减函数， 所以g ′(x )＜g ′(0)＝0， 所以g (x )在(0,1)上是单调减函数， 因为0＜x ＜1，所以g (x )＜g (0)＝0，由于0＜t n ＜1，所以g (t n )＜0，即t n －sin t n －t 2n2＜0，所以t n ＋1＜t 2n 2，所以t n ＋1t n ＜t n2，又因为t n ＜t n －1＜…＜t 2＜t 1，故n ≥2时，t n ＝t 1·t 2t 1·t 3t 2·…·t n t n －1＜t 1·t 12·t 22·…·t n －12＜t 1·t 12·t 12·…·t 12＝t n 12n －1，因为t 1＝12，所以t n ≤122n －1.3道附加题限时组合练(三) (对应学生用书P35)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1 4，求其特征值及特征向量． 解：因为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，由f (λ)＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝1－2t(t 为参数)与圆C ：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置关系．解：把直线l 的参数方程化为普通方程为x ＋y ＝2.将圆C 的极坐标方程ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.所以圆心C (－1,1)到直线l 的距离d ＝22＝2， 所以直线l 与圆C 相切． C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋7|＋|x －7|的最小值为M .若正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝M ，求x 24＋y 29＋z 2的最小值．解：因为f (x )＝|x ＋7|＋|x －7|≥|x ＋7－x ＋7|＝27，所以x ＋y ＋z ＝27.由柯西不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋y 29＋z 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝28，当且仅当x 22＝y33＝z 1，即x ＝477，y ＝977，z ＝77时取“＝”．所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为2. [必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，经过x 轴上点P (－p,0)分别作直线l 1，l 2，直线l 1与曲线C 切于点T ，直线l 2与曲线C 分别交于点A ，B ，若PT 2＝12PA ·PB ，求直线l 2的斜率．解：设直线l 1的方程为x ＝my －p ， 代入抛物线方程得，y 2＝2p (my －p )， 整理得，y 2－2pmy ＋2p 2＝0， 因为直线l 1与曲线C 相切， 所以Δ＝4p 2m 2－8p 2＝0， 所以m 2＝2，且T (pm 2－p ，pm )， 所以PT 2＝(pm 2)2＋(pm )2＝6p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线l 2：x ＝ny －p ， 代入抛物线方程整理得，y 2－2pny ＋2p 2＝0，由Δ′＝4p 2n 2－8p 2＞0得，n 2＞2且y 1＋y 2＝2pn ，y 1y 2＝2p 2， 所以PA ·PB ＝(x 1＋p )2＋y 21·(x 2＋p )2＋y 22 ＝(1＋n 2)y 21·(1＋n 2)y 22 ＝(1＋n 2)|y 1y 2|＝2p 2(1＋n 2)．因为PT 2＝12PA ·PB ，所以6p 2＝p 2(1＋n 2)，解得n 2＝5＞2，即n ＝± 5. 此时直线l 2的斜率为±55. 23．设P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k，Q (n ，m )＝C n n ＋m ，其中m ，n ∈N *.(1)当m ＝1时，求P (n,1)·Q (n,1)的值；(2)对∀m ∈N *，证明：P (n ，m )·Q (n ，m )恒为定值．解：(1)当m ＝1时，P (n,1)＝∑k ＝0n(－1)k C k n11＋k ＝1n ＋1·∑k ＝0n(－1)k C k ＋1n ＋1＝1n ＋1，又Q (n,1)＝C 1n ＋1＝n ＋1，显然P (n,1)·Q (n,1)＝1.(2)证明：P (n ，m )＝∑k ＝0n(－1)k C knmm ＋k＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k(C kn －1＋C k －1n －1)mm ＋k＋(－1)nmm ＋n＝1＋∑k ＝1n －1(－1)k Ck n －1mm ＋k＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )＋∑k ＝1n(－1)k C k －1n －1mm ＋k＝P (n －1，m )－m n ∑k ＝0n (－1)k C k n m m ＋k＝P (n －1，m )－m nP (n ，m ) 即P (n ，m )＝nm ＋nP (n －1，m )， 由累乘，易求得P (n ，m )＝n ！m ！(n ＋m )！P (0，m )＝1C n n ＋m，又Q (n ，m )＝C nn ＋m ， 所以P (n ，m )·Q (n ，m )＝1.3道附加题限时组合练(四) (对应学生用书P36)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 ，其中x ，y ∈R . (1)求x ，y 的值；(2)若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.解：(1)AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x y 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y .因为AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤230 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －102 ， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404 .设(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 404⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14，即 (AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12 0 14 .B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0， 所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．解：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·[12＋(－1)2＋12]＝3， 因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对任意的实数a ，b ，c 恒成立， 所以|x －1|＋|x ＋1|≥3.当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32；当－1≤x ≤1时，2≥3不成立； 当x >1时，2x ≥3，即x ≥32.综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. [必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22.如图，已知在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝4，AA 1＝6，D 是线段BC 的中点．(1)求直线A 1D 与平面AB 1D 所成角的正弦值； (2)求平面AB 1D 与平面A 1C 1D 所成锐二面角的余弦值．解：(1)因为在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，所以分别以AB ，AC ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,6)，B 1(4,0,6)，C 1(0,4,6)．因为D 是线段BC 的中点， 所以D (2,2,0)，所以A 1D →＝(2,2，－6)，AB 1→＝(4,0,6)，AD →＝(2,2,0)， 设平面AB 1D 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AD →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋6z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，令y 1＝1，可得x 1＝－1，z 1＝23，所以平面AB 1D 的法向量n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，23， 所以|cos 〈n 1，A 1D →〉|＝|n 1·A 1D →||n 1|·|A 1D →|＝3211，所以直线A 1D 与平面AB 1D 所成角的正弦值为3211.(2)因为A 1C 1→＝(0,4,0)，A 1D →＝(2,2，－6)， 设平面A 1C 1D 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C 1→＝0，n 2·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y 2＝0，2x 2＋2y 2－6z 2＝0，令z ＝1，可得y 2＝0，x 2＝3，所以平面A 1C 1D 的法向量n 2＝(3,0,1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－755110，所以平面AB 1D 与平面A 1C 1D 所成锐二面角的余弦值为755110. 23．已知(2x －1)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n，n ∈N *.(1)求S n ＝∑i ＝1nia i 的值；(2)设T n ＝n (n －2)2n ＋2n 3，试比较S 2 019与T 2 019的大小，并说明理由． 解：(1)对等式(2x －1)n＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n两边求导， 得2n (2x －1)n －1＝a 1＋2a 2(x －1)＋…＋na n (x －1)n －1，取x ＝2，则S n ＝∑i ＝1nia i ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ·3n －1.(2)要比较S n 与T n 的大小，即比较3n －1与(n －2)2n －1＋n 2的大小．当n ＝1时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2；当n ＝2,3,4时，3n －1＜(n －2)2n －1＋n 2；当n ＝5,6时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2，猜想：当n ≥5时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝5时，35－1＝81＞73＝(5－2)25－1＋52，猜想成立， ②假设当n ＝k (k ≥5)时结论成立，即3k －1＞(k －2)2k －1＋k 2，则当n ＝k ＋1时，3k ＋1－1＝3·3k －1＞3[(k －2)2k －1＋k 2]，而3[(k －2)2k －1＋k 2]－[(k －1)2k＋(k ＋1)2]＝(k －4)·2k －1＋2k 2－2k －1＞2k 2－2k －1＝2k (k －1)－1≥2×5×4－1＝39＞0， 所以3k ＋1－1＞3[(k －2)2k －1＋k 2]＞(k －1)2k ＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②可知，当n ≥5时，3n －1＞(n －2)2n －1＋n 2.所以S 2 019＞T 2 019.3道附加题限时组合练(五) (对应学生用书P37)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3,3)，求矩阵A .解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b c －d ＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11. 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.①因为点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P ′(3，3)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.②由①②解得a ＝1，b ＝2，c ＝2，d ＝1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.B ．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x .将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)代入y 2＝8x 得，n 2－82n ＋24＝0，解得n 1＝22，n 2＝6 2.则|n 1－n 2|＝42， 所以线段AB 的长为4 2. 法二：将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t(t 为参数)化为普通方程为y 2＝8x,将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22n ，y ＝22n(n 为参数)化为普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋(6－2)2＝4 2.C ．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝3x ＋6，g (x )＝14－x ，若存在实数x 使f (x )＋g (x )>a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f (x )＋g (x )＞a 成立， 等价于f (x )＋g (x )的最大值大于a ， 因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x )2≤(3＋1)·(x ＋2＋14－x )＝64， 所以f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取“＝”，故实数a 的取值范围是(－∞，8)．[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22.如图，在四棱锥P ABCD 中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC →＝λAD →(0＜λ≤1)．(1)若λ＝12，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；(2)若二面角B PC D 的大小为120°，求实数λ的值．解：(1)以{AB →，AD →，AP →}为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .因为λ＝12，所以BC →＝12AD →，依题意，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，P (0,0,1)，B (1，0,0)，D (0,1,0)， 所以PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,1，－1)．设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0.取z ＝1，得n ＝(1,1,1)．所以|cos 〈PC →，n 〉|＝|PC →·n ||PC →|·|n |＝1232×3＝39.所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为39. (2)依题意，C (1，λ，0)，PB →＝(1,0，－1)，PC →＝(1，λ，－1)，PD →＝(0,1，－1)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PB →＝0，n 1·PC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－z 1＝0，x 1＋λy 1－z 1＝0，取z 1＝1，得n 1＝(1,0,1)．设平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋λy 2－z 2＝0，y 2－z 2＝0，取z 2＝1，得n 2＝(1－λ，1,1)．所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|×|n 2|＝|2－λ|2×2＋(1－λ)2＝|cos 120°|＝12， 解得λ＝1或λ＝5，因为0＜λ≤1，所以λ＝1.23．设(x －1)2n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a r x r ＋…＋a 2n x 2n ，其中n ∈N *，a r (r ＝0,1,2，…，2n )是与x 无关的常数．(1)若S 2n ＝∑r ＝02na rr ＋1，求S 2n ；(2)求证：32S 2n ＞1＋12＋13＋…＋122n ＋1－1.解：(1)由二项展开式的通项公式可知a r ＝C 2n －r2n ·(－1)2n －r＝C r 2n (－1)2n －r，C r2n r ＋1＝1r ＋1·2n ！r ！(2n －r )！＝2n ！(r ＋1)！(2n －r )！ ＝12n ＋1·(2n ＋1)！(r ＋1)！(2n －r )！＝12n ＋1·C r ＋12n ＋1. r ＝0,1,2，…，2n ，所以S 2n ＝C 02n－C 12n 2＋C 22n 3＋…－C 2n －12n 2n ＋C 2n2n2n ＋1＝12n ＋1[C 12n ＋1－C 22n ＋1＋C 32n ＋1＋…－C 2n2n ＋1＋C2n ＋12n ＋1] ＝12n ＋1[－C 02n ＋1＋C 12n ＋1－…－C 2n2n ＋1＋C2n ＋12n ＋1＋1] ＝12n ＋1[1－(－1＋1)2n ＋1] ＝12n ＋1. (2)证明：由(1)知，32S 2n ＝3n ＋32， 即证3n ＞13＋14＋…＋122n ＋1－1.利用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，3n ＝3，13＋14＋…＋123－1＝153140＜3，不等式成立．②假设当n ＝k 时，3k ＞13＋14＋…＋122k ＋1－1，当n ＝k ＋1时，13＋14＋…＋122(k ＋1)＋1－1＝13＋14＋…＋122k ＋1－1＋122k ＋1＋…＋122k ＋3－1＝13＋…＋122k ＋1－1＋122k ＋1＋…＋13·22k ＋1＋22k ＋1－1＜3k ＋122k ＋1·3·22k ＋1＝3k ＋3＝3(k ＋1)， 综上，由①②可知，当n ＝k ＋1时，不等式也成立，得证．3道附加题限时组合练(六)(满分：30分，限时：30分钟)21．[选做题](本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)A ．[选修4－2：矩阵与变换]求圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a ＞0，b ＞0)对应的变换作用下所得的曲线的方程为x 24＋y 29＝1，求A －1. 解：设圆C 上的点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 1by 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1a x ，y 1＝1b y ，代入圆方程x 2＋y 2＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，所以a 2＝4，b 2＝9，所以a ＝2，b ＝3，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 3.设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ce df ，所以AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ed f ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝1，3d ＝0，2e ＝0，3f ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝12，d ＝0，e ＝0，f ＝13所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α－2(α为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝β，若圆C 与直线l 相切，求直线l 的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x 2＋(y ＋2)2＝1， 设直线l 对应的直角坐标方程为y ＝kx ， 因为圆C 与直线l 相切，所以d ＝|2|1＋k2＝1，得到k ＝±3，故直线l 的极坐标方程θ＝π3或θ＝2π3. C ．[选修4－5：不等式选讲]已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.[必做题](第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．某学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P (ξ＞0)＝710.(1)求文娱队的队员人数；(2)写出ξ的概率分布列并计算E (ξ)．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7－x )人，只会一项的人数是(7－2x )人．(1)因为P (ξ＞0)＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝710，所以P (ξ＝0)＝310，即C 27－2x C 27－x ＝310，所以(7－2x )(6－2x )(7－x )(6－x )＝310，解得x ＝2.故文娱队共有5人．(2)P (ξ＝1)＝C 12·C 13C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110，所以ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×310＋1×35＋2×10＝5.23．已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n . (1)求证：当n ≥2时，a n ≥2；(2)利用“∀x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34(其中e 是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×1＋12＝2，故当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k (k ＋1)a k ＋12k ＞2.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立.(2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1a n (n ≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n ＋12n ＋1＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋12n ＋1， 故ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋12n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12×3＋1 3×4＋…＋1(n －1)n ＋123＋124＋…＋12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋123·1－12n －21－12＝12－1n ＋122－12n<34. 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜34，即a n ＜2(n ≥2)，而a 1＝1＜2，所以对任意正整数n ，有a n ＜2.。
阳光学校高三数学附加题专项训练2
阳光学校高三数学附加题专项训练21.已知在直角坐标系x0y 内，直线l 的参数方程为22,14,x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)．以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系.2.若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．3．（本小题满分10分）已知正项数列{}n a 中,n S 是其前n 项的和,且12n n nS a a =+,n N +∈. （Ⅰ）计算出123,,a a a ，然后猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想.4.(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花． ①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；②记花圃中红色鲜花区域的块数为S ，求拿的分布列及其数学期望E(S).图一 图二阳光学校高三数学附加题专项训练2答案1.解（1）消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为23y x =-； ………4分)4(sin 22πθρ+=,即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x y -+-= ……8分 （2）圆心C 到直线l的距离5d ==<l 和⊙C 相交．10分 2.解：2222-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即2cos 2sin 22sin 2cos 2αααα--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，…………………………4分 所以cos sin 1,sin cos 1.αααα-=-⎧⎨+=⎩ 解得cos 0,sin 1.αα=⎧⎨=⎩ ……………………………………6分所以0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得10110M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．………………10分 另解：01=M 10-＝10≠， 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ．3.4.解（1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248⨯⨯⨯=种．………2分 （2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图二，当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种；当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.……………………4分 (由于只有A 、D ，B 、E 可能同色，故可按选用3色、4色、 5色分类计算，求出基本事件总数为3455552420A A A ++=种） 它们是等可能的。
(word完整版)高考数学附加题必做题部分
2017年22.（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1，∠BAD=120º.（1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。
23. （本小题满分10）N,n≥2）,这些球除颜色外全部相同。
已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n∈2现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明2016年25．（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．26．（2016•江苏）（1）求7C﹣4C的值；（2）设m，n∈N*，n≥m，求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2015年22.如图，在四棱锥P ABCD-中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2ABC BADπ∠=∠=,2,1PA AD AB BC====．(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长．23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈gg g ，设{(,)|,,}n n S a b a a a X b Y =∈∈整除b 或除，令()f n 表示集合n S 所含元素个数.(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．2014年22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ． 23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+成立． 2013年22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，A B ⊥AC ，AB=AC=2，1A A =4，点D 是BC 的中点。
数学附加题专题 (含答案)
附加题1、已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后,再绕原点逆时针旋转90o,得到点B .若点B 的坐标为(—3,4),求点A 的坐标.2、已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ， （1）求矩阵M 和M 的逆矩阵1-M；（2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．3、给定矩阵A=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,B =32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求A 的特征值1λ,2λ及对应特征向量12,αα,(2)求4A B .4、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为θθθ(sin 22,cos 22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=r y r x 为参数,)0>r ,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为,1)4sin(=+πθρ若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3,求r 的值.5、已知圆锥曲线⎩⎨⎧x=3cos θ (1)y=22sin θ (2)(θ是参数）和定点A (0,33)，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．（1）求经过点F 2且垂直地于直线AF 1的直线l 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．6、在极坐标系中,圆C 是以点C (2,6π-)为圆心、2为半径的圆.(1)求圆C 的极坐标方程; (2)求圆C 被直线l :125πθ-= 所截得的弦长.秦淮中学高三理数姓名_________________班级____________7、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝4，CB ＝4，CC 1＝22，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上． （1）若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置．8、已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点。
高三数学高考附加题专项练习套卷(10套)
高考附加题专项练习(一)1．过点P （－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．2．已知(n x 的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．3．动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P 到点F （0，1）和直线l 的距离之和为4．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点Q （0，－1）作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积．4．如图，正方题1111D C B A ABCD -中，M 是棱1BB 的中点。
⑴求直线M A 1与平面1AMC 所成角的正弦值； ⑵求二面角11A MC A --的余弦值。
BEAFDC高考附加题专项练习(二)1．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,1AB AF ==.(Ⅰ) 求二面角A-DF-B 的大小；(Ⅱ) 在线段AC 上找一点P,使PF 与AD 所成的角为600,试确定点P 的位置.2.已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.3. 某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （2）求η的分布列及期望E η．4. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积高考附加题专项练习(三)1．已知圆的极坐标方程为θθρsin 5cos 35-=，求它的半径和圆心的极坐标。
2某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。
江苏高考数学附加题专项训练(矩阵)(含答案详析)
附加题专项训练 （矩阵）1. 矩阵A= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2312的逆矩阵。
2. 用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧=-+=-+0320132y x y x 。
3. 已知2141,4331M N --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，求二阶方阵X ，使MX=N 。
4. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232M ，求矩阵M 的特征值和对应的一个特征向量。
5. 设a ,b ∈R ，若矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a 01把直线l ：2x +y –7=0变换为另一直线l '：9x +y –91=0，试求a ，b 的值.6. 给定矩阵M=⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡-32313132，N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112及向量1e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，2e =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11。
（1）证明M 和N 互为逆矩阵； （2）证明1e 和2e 都是M 的特征向量．7. 已知二阶矩阵A 有特征值31=λ及其对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，特征值12-=λ及其对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112α，求矩阵A 的逆矩阵1A -．8. 若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应变换的作用下得到的点为B （－2，2），求矩阵M 的逆矩阵．9. 求圆C ：224x y +=在矩阵2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．10. 设矩阵M 对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵1M -以及圆221x y +=在1M-的作用下的新曲线的方程．11. 如图所示， 四边形ABCD 和四边形AB C D ''分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A （－1，2），B （3，2），C （3，－2），D （－1，－2），B '（3，7），C '（3，3）．求将四边形ABCD 变成四边形AB C D ''的变换矩阵M ．12.已知二阶矩阵M 的特征值是11λ=，22λ=，属于1λ的一个特征向量是111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，属于2λ的一个特征向量是12-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2e ，点A 对应的列向量是14⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 。
高考数学 附加题训练27
高三数学附加题训练27B ．〔选修４－２：矩阵与变换〕矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，假设点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．〔选修４－４：坐标系与参数方程〕在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取一样的单位长度．曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分.22．〔本小题满分是10分〕甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都，乙提议去海上花园，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规那么是：由丙抛掷硬币假设干次，假设正面朝上，那么甲得一分、乙得零分；假设反面朝上，那么乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．假设记所需抛掷硬币的次数为X ． 〔1〕求6X =的概率；〔2〕求X 的分布列和数学期望．23．〔本小题满分是10分〕在数学上，常用符号来表示算式，如记nii a=∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈.〔1〕假设0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n a -⋅；〔2〕假设22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i ni d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，务实数t 的取值范围.四季寄语情感寄语在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷. 落红不是无情物,化作春泥更护花. 愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好 挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗 对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地 燕子声声里,相思又一年 朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界 愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊 没有你在身边,我的生活永远是冬天! 让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
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17、为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。
若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y 与时间t 满足关系式：⎪⎭⎫⎝⎛<<-=为常数a a at y ,34041，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y 与时间t 满足关系式：()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=3123102t t t t y 。
现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。
（1）若1=a ，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围18、已知数列{}n a 满足：2121+,4=12+,2n n n+a n a a a n ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数,-,（*,,n N a R a ∈∈为常数），数列{}n b 中，221n n b a -=。
⑴求123,,a a a ；⑵证明：数列{}n b 为等差数列；⑶求证：数列{}n b 中存在三项构成等比数列时，a 为有理数。
19、已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． ①求轨迹E 的方程；②过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值． （2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC20、已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．· P E O DC BA F 高三数学附加题（1）班级____________ 姓名____________ 得分_____________一、选做题：(请在下列4小题中任做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内,多做者按所做的前2题给分.)1.A （几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF·EC .（1）求证：∠P=∠EDF ；(2)求证：CE·EB=EF·EP ．B （矩阵与变换）已知曲线C ：1=xy（1）将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C 的方程； （2）求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.C （坐标系与参数方程）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程;（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.D （不等式选讲）设1,x y z ++=求22223F x y z =++的最小值.二、必做题：（本大题共2小题,每小题10分,计20分.）2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点．(1)求直线BE 与A 1C 所成的角的余弦；(2)在线段AA 1上取一点F ，问AF 为何值时，CF ⊥平面B 1DF ？3.某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行． 根据以往经验，每局甲赢的概率为12，乙赢的概率为13，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n 局赢、平、输的得分分别记为2n a =、1n a =、0n a =*,15,n N n ∈≤≤令12n n S a a a =+++． （1）求35S =的概率；（2）若随机变量ξ满足7S ξ=（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望．AC 1 B 1 A 1F高三数学附加题（1）参考答案（本部分满分40分，考试时间30分钟）一、选做题：1. A （几何证明选讲）（1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角， ∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ． （2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA ． ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．B （矩阵与变换）由题设条件，0000cos 45sin 45sin 45cos 45M ⎡⎤-⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，'2222:'M x y x x x T y y y x y ⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎥→=⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎥⎥⎦⎦，即有'22'x x y y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得'')'')x x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入曲线C 的方程为22''2y x -=。
所以将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转045后，得到的曲线是222y x -=。
（2）由（1）知，只须把曲线222y x -=的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转045后，即可得到曲线C 的焦点坐标和渐近线方程。
曲线222y x -=的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，渐近线方程0x y ±=，变换矩阵0000cos(45)sin(45)22sin(45)cos(45)N ⎡⎢⎡⎤---⎢==⎢⎥⎢--⎣⎦⎢⎣02⎡⎢⎡⎡⎤⎢⋅=⎢⎢⎥-⎢⎣⎦⎢⎣⎢⎣，02⎡⎢⎡⎤⎢⋅=⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎣， 即曲线C的焦点坐标是(。
而把直线0x y ±=要原点顺时针旋转045恰为y 轴与x 轴，因此曲线C 的渐近线方程为0x =和0y =。
C （坐标系与参数方程）（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．（2）把直线1112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x，得2221(1)(1)4,1)202t t t +++=+-=，122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2．D （不等式选讲）()()22222111112323x y z z x y z ⎫⎛⎫=++=+∙+∙≤++++ ⎪⎪⎝⎭⎭22262311F x y z ∴=++≥7′1z == 且3261,,,111111x y z x y z ++==== F 有最小值611 二、必做题：2. (1)因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ，∠ABC ＝π2．以B 点为原点，BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，……2分 因为AC ＝2，∠ABC ＝90º，所以AB ＝BC ＝2， 从而B (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)， B 1(0，0，3)，A 1(2，0，3)，C 1(0，2，3)，D (22，22，3)，E (0，22，32)． 所以CA 1→＝(2，－2，3)，BE →＝(0，22，32)． 而|CA 1→|＝13，|BE →|＝112，且CA 1→·BE →＝72， 所以cosθ＝CA 1→·BE →|CA 1→||BE →|＝7213×112＝7143143；所以直线BE 与A 1C 所成的角的余弦为7143143．(2)设AF ＝x ，则F (2，0，x )，CF →＝(2，－2，x )，B 1F →＝(2，0，x －3)，B 1D →＝(22，22，0)，CF →·B 1D →＝2×22＋(－2)×22＋x ×0＝0，所以CF →⊥B 1D → ， 要使得CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥B 1F ，由CF →·B 1F →＝2＋x (x －3)＝0，有x ＝1或x ＝2，故当AF ＝1，或AF ＝2时，CF ⊥平面B 1DF ． 3. （1）53=S ，即前3局甲2胜1平．由已知，甲赢的概率为12，平的概率为16，输的概率为13，∴35S =．概率为223111().268C ⋅= （2）7S ξ=时，4, 5ξ=，且最后一局甲赢，1231111(4)()()()62216P C ξ===；1311243311111111119(5)()()()()()()().262362221612216P C C C ξ==+=+=ξ的分布列为∴1114945.16216216E ξ=⨯+⨯=4 5ξ 116 19216高三数学附加题（2）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC∆中，已知12AC AB=，CM是ACB∠的平分线，AMC∆的外接圆交BC边于点N，求证：2BN AM=．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵13aMb⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量11 3e⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵M；（2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C'的方程为1xy=，求曲线C的方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，设M是椭圆22221 x ya b+=(0)a b>>上在第一象限的点，(,0)A a和(0,)B b是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB的面积的最大值.D．（选修４－５：不等式选讲）设,,,a b c d R∈当且仅当ad bc=时成立. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下：①该福利彩票中奖率为50%；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%.（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票,求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为X元，求X的概率分布（用p表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业, 求p的取值范围.23．（1）设1x>-，试比较ln(1)x+与x的大小；（2）是否存在常数Na∈，使得111(1)1nkka an k=<+<+∑对任意大于1的自然数n都成立？若存在，试求出a的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．高三数学附加题（2）参考答案21. A. 证明：如图，在ABC ∆中，因为CM 是ACM ∠的平分线，所以AC AM BC BM =． 又12AC AB =，所以2AB AMBC BM=①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，所以，BM BA BN BC ⋅=⋅，即AB BNBC BM=② 由①、②可知 2AM BNBM BM=， 所以 2BN AM =． B ．解：（1）依题意,得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -=-⎧⎨-=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，2130M ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点),(y x P 在矩阵M 的作用下得到曲线1xy =上一点),(y x P '''，则2130x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即⎩⎨⎧='+='xy y x x 32， 1x y ''=，(2)(3)1x y x ∴+=，整理得曲线C 的方程为2631x xy +=．C. 解：已知椭圆22221x y a b +=的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩.由题设,可令(cos ,sin )M a b ϕϕ，其中02πϕ<<.所以，1122MOA MOB M M MAOB S S S OA y OB x ∆∆=+=⋅+⋅四边形1(sin cos )sin()24ab πϕϕϕ=+=+.所以，当4πϕ=时，四边形MAOB .D. 证明：由柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+ac bd +．将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上2222a b c d +++，有222222()()()()a b c d a c b d +++≥+++ ，即22≥，由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad bc =时成立．22. 解: （1）设至少一张中奖为事件A ，则顾客中奖的概率101023()10.51024P A =-=； （2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为X 元，(145)p +-⨯1.6145p =-，∴福彩中心能够筹得资金⇔() 1.61450E X p =->，即80725p <<，所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业.23. 解：（1）设()ln(1)f x x x =-+，则1'()111xf x x x =-=++， 当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故函数()f x 有最小值(0)0f =，则ln(1)x x +≤恒成立； （2）取1,2,3,4m =进行验算：11(1)21+=，219(1) 2.2524+==，3164(1) 2.37327+=≈，41625(1) 2.444256+=≈，猜测：①12(1)3m m<+<，2,3,4,5,m =，②存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明一：对m N ∈，且1m >，有012211111(1)()()()()m k k m mm m m m m C C C C C m m m m m +=+++++++()()()()211112111111()()()2!!!k mm m m m m k m m m k m m m---+-⋅=+++++++11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++---++-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122!3!!!k m <++++++()()11112213211k k m m <++++++⨯⨯--11111112122311k k m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133m=-<． 又因()1()02,3,4,,k km C k m m >=，故12(1)3m m<+<，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．证明二：由（1）知：当(0,1]x ∈时，ln(1)x x +<，设1x k=，1,2,3,4,k =，则11ln(1)k k +<，所以1ln(1)1k k +<，1ln(1)1k k +<，1(1)3k e k+<<，当2k ≥时，再由二项式定理得：01221111(1)()()()k k k k k k k C C C C k k k k +=++++011()2k k C C k>+=， 即12(1)3k k <+<对任意大于1的自然数k 恒成立，从而有112(1)3nk k n n k =<+<∑成立，即111(1)1n k k a a n k =<+<+∑．所以存在2a =，使得111(1)1n k k a a n k=<+<+∑恒成立．高三数学附加题（3）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，2CD=，DE AB⊥，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵2143A-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵A的逆矩阵；（2）求满足AX B=的二阶矩阵X．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为2sin,[0,2)cosxyααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,nA x x x=-，其中12nx x x<<<<，2n≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A==∈∈.若12,a B a B∀∈∃∈使得12a a⋅=，则称A具有性质P.（1）若1a>，数集{}1,1,A a=-，求证：数集A具有性质P；（2）若b>，数集{}1,1A b=-具有性质P，求b的值；（3）若数集{}121,,,,nA x x x=-（其中12nx x x<<<<，2n≥）具有性质P，11x=，2x q=(q为常数，1q>)，求数列{}k x的通项公式k x*(,)k N k n∈≤.高三数学附加题（3）参考答案21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan30OB OD DC ===，cos303CD OC ==BC OC OB =-=B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴= 31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x+=∈- （2）由sin()4πρθ+=D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得1[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点. 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=．故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯=23. （1）证明：数集1,1,A a =-时，列表如下：1a (1-1,1)-(1,1),1)a(,)a a由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ； （2）选取1(a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，b ∴=，2b >，{}t A b ∈=-，t ∴=22b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=;当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =；当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-.取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=.由此可得1s =-或1t =-.若1t =-，则1m qx q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.高三数学附加题（4）班级____________ 姓名____________ 得分_____________21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC,,.（1）求证：BA DC GC AD∙=∙;（2）求BM．B．（选修４－２：矩阵与变换）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；（2）求逆矩阵1M-以及椭圆22149x y+=在1M-的作用下的新曲线的方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知曲线C：2sin=ρθ，过极点O的直线l与曲线C相交于A、B两点，AB，求直线l的方程．D．（选修４－５：不等式选讲）设1,x y z++=求22223F x y z=++的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.（1）求随机变量ξ的数学期望E(ξ)；（2）记“函数f(x)= x2－ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．23．过抛物线22y px=(p为不等于2的素数)的焦点F,作与x轴不垂直的直线l交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点.(1)求PQ中点R的轨迹L的方程;(2).证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.高三数学附加题（4）参考答案21. A.（1）因为AC OB ⊥，所以090AGB ∠= 又AD 是圆O 的直径，所以090DCA ∠=又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以BA AGAD DC=又因为OG AC ⊥，所以GC AG =相似所以BA GCAD DC=，即BA DC GC AD ∙=∙ （2）因为12AC =，所以6AG =，因为10AB =，所以8BG ==由（1）知：Rt AGB ∆～Rt DCA ∆。