(完整版)第六章-刚体的简单运动
合集下载
04刚体的简单运动
解:(1)角加速度
0 t
在起动阶段电动机作匀变速转动
nπ 500 π 52.3rad / s 30 30 t 5s 0 0
52.3＝0＋×5
52 .3 10 .46 5
rad/s2
刚体的简单运动
刚体内各点的速度和加速度
（2）电动机在10s内转过的转数在t1＝5s内,电动机作匀变速转
1、刚体定轴转动的定义
定轴转动定义：在运动过程中，刚 体内（或其扩展部分）有一条直线 始终保持不动。 转轴：固定不动的直线。
车轮沿直线轨道滚动，轴线并不 固定，不是定轴转动.
刚体的简单运动
定轴转动
2、刚体定轴转动理论
（1）刚体绕定轴转动的运动方程（转动方程）
平面Ⅰ：与地球固连且通过z轴
平面Ⅱ：与刚体固连且通过z轴 显然，平面Ⅱ的位置 刚体的位置
刚体的角加速度:
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
正负规定 ：
单位：弧度/秒2 (rad/s2 )或1/秒2 (1/s2 )
刚体的简单运动
定轴转动
⑤刚体的加速与减速
α与同号，刚体加速转动； α与异号，刚体减速转动。
O
O
O
O
ω 与α 同号,转动加速
第六章 刚体的简单运动
§6–1 刚体的平行移动
§6–2 刚体绕定轴的转动 §6–3 转动刚体内各点和速度和加速度 §6–4 轮系的传动比
动的分类
• 刚体的平行移动 • 刚体的定轴转动
刚体的简单运动
平行移动
§6-1 刚体的平行移动
平移的实例
刚体的简单运动
理论力学6—刚体的基本运动
34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
理论力学第六章——刚体的简单运动
O2 r2
于是可得
r1 r1 2 1 , 2 1 r2 r2
即
1 1 r2 2 2 r1
例6-2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 j t 2 4t ，单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的 速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长 的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加 速度。 a M v an 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
O
R
dj 2t 4 dt
求当t=1s时，则为
2 2 rad / s 2rad / s
2 2 2
d 2j 2 2 dt
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
v R 0.4m / s a R 0.4m / s an R 0.8m / s
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
arctg 2 arctg0.5 2634
如图。
a M a an R O
现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
•角速度与转速之间的关系：
dj dj 大小： dt dt 方向：逆时针为正
2n n 60 30
角加速度
d d 2j j 2 dt dt
d 0 dt
匀速转动
j j0 t
0 t
匀变速转动
d cont dt
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
vA vM
第六章 刚体的简单运动
当t =1 s时, =1 rad/s 2 rad/s2 vM = r = 0.2×1= 0.2 m/s
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
aM
B
vM
M
n aM
r
aM
A
aM r =0.2×(-2)=-0.4 m/s2
n aM r 2 = 0.2×12= 0.2 m/s2
O
2 2
vA
aM ( aM ) ( a )
例2
图示为卷筒提取重
物装置 , 卷筒 O 的半径 r=0.2m,B为定滑轮.卷筒在 制动阶段,转动方向如图示,
M r O B
其转动方程为 = 3t – t 2.
式中 以 rad度计, t以s计. 求t=1s时卷筒边缘上任一 点M的速度和加速度,以及 重物A的速度和加速度.
A
vA
解：取卷筒为研究对象. = 3t – t2 d d & = 3 -2 t 2 dt dt
s R v R
a
an
v
2
1 R 2 R 2 R
v
方向：永远指向转动 中心。
2 a a2 an R 2 4
a
a an
M
v
速度
v R
的方向。 方向：垂直于“转动半径”，顺着
加速度
a R
方向：沿轨迹切向， 与 相同。 方向：永远指向转动 中心。
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1 角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
d 大小 dt 作用线 沿轴线滑动矢量 右手螺旋规则 指向
k
角加速度矢量 d d k k dt dt
运动学(刚体简单运动)
刚体的简单运动刚体的定轴转动三定轴转动刚体上点的加速度刚体定轴转动时各点均作圆周运动由自然法知转动刚体内一点的切向加速度大小等于刚体的角加速度与该点到轴线的垂直距离的乘积方向沿圆周的切线方向指向由角加速度决定
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
刚体的简单运动
§1 刚体的平行移动 §2 刚体的定轴转动 结论与讨论
习题
刚体的平行移动
刚体的简单运动
一、刚体平动的定义
在刚体上任取一条直线，若在运动过程中这 条直线始终与其初始的空间位置平行，则该 运动称为刚体的平行移动，简称平动。
刚体的平行移动
刚体的简单运动
二、刚体平动的运动分析
rA rB rBA rA rB rBA v A vB a A aB
刚体平移可归结为刚体内任一点（通常是质心）的运动。
2 O1 950 99.48rad/s 60
O
2
Z1 20 O1 99.48 39.79rad/s Z2 50
vC O2 AO2 0.25 39.79 9.95m/s
刚体的定轴转动
刚体的简单运动
例三 曲柄滑杆机构中,滑杆上有一圆弧滑道,其半径R=100mm, 圆心O1在导杆BC上.曲柄OA=100mm，以等角速度 4 rad 绕 s O轴转动.求导杆BC的运动规律以及当曲柄与水平线间的交角为 30时,导杆BC的速度和加速度。
刚体的简单运动
例六 图示一减速箱，由四个齿轮组成，其齿数分别为Z1＝10， Z2＝60 ， Z3＝12 ， Z4＝70 。（1）求减速箱的总传动比i13（2） 如果n1=3000rpm，求n3 。
n1 n1 n2 Z 2 Z 3 i13 i12 i23 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z 2
第六章 刚体的平动和定轴转动
2
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
由上式可知：法向加速度的大小为 R 2 即与半径成正比，方 法向加速度的大小为 ω ，即与半径成正比， 向指向点O，即曲率中心。 向指向点 ，即曲率中心。
v 2 =R ω an = R
M点的全加速度大小： 点的全加速度大小：
a = a +a = τ
2 2 n
(Rε)
2
+R ω
(
2 2
)
= R ε 2 +ω4
ρ
α
20 ε= = = 50rad / s 2 ρ 0 .4
为常量。所以，叶轮作匀加速转动
aτ
图 转动的叶轮
ϕ ω 由题意知，t =0 =0时， 0 =0， 0 =0，得叶轮的转动方程为：
(2) 求t =4s时，M点 的速度和法向加速度
1 2 ϕ = ϕ 0 + ω0t + εt = 25t 2 2
ω 0 = 10 rad / s , ω = 0
ω − ω0 0 − 10 t= = = 10 s ε −1
二、 转动刚体内各点的速度和加速度
设刚体绕z轴变速转动,在刚体上任取一点M来考察。M点到 转动轴的距离为R，M点的轨迹是半径为R的一个圆，如图。
R
R
ω
R
M
R ϕ
O
s
M0
1.M点的运动方程 1.M点的运动方程
′ A′
A
′ A
B
B′
′ B′
平动的特点: 平动的特点: (1) 刚体中各质点的运动情况相同 (2)可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。
二、平动刚体的运动学特征
同一瞬时，平动刚体上各点的速度相同、加速度相同。
在平动刚体上任选两点A、B，设 BA = ρ ,则任意瞬时A点的矢 径可写为 A
第六章刚体简单运动
第6章 刚体的简单运动 平移（平动） 平移（平动） 定轴转动 平面一般运动
第6章 刚体的简单运动
定点运动
第6章 刚体的简单运动
空间一般运动
第6章 刚体的简单运动
PART A 刚体的平移（平动） 刚体的平移（平动）
Part A 刚体的平移（平动） 刚体的平移（平动）
1.定义 1.定义
刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始位置平 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始位置平 则称为刚体的平行移动 简称为平移 平动。 平行移动， 平移或 行，则称为刚体的平行移动，简称为平移或平动。
ω0
1 − 3ω 0t
3 1 dϕ = ∫ dt ⇒ ϕ = ln( ) 0 3 1 − 3ω 0t 1 − 3ω 0t
ω0
Part B 刚体的定轴转动
[解]
M
ω 和 ϕ 的关系 的关系:
an
O
ϕ a
60°
at
dω / dt
ω2 dω = 3dϕ ω
dω dϕ 1 = 3 ⇒ ⋅ ⋅ 2 = 3 dϕ dt ω
ϕ = ϕ 0 sin( πt / 4)
& at = v = −( π 2lϕ 0 / 16) sin( πt/4) an = v 2 / ρ = v 2 / l = ( π 2lϕ 0 / 16) cos 2 ( πt/4)
2
Part A 刚体的平移（平动） 刚体的平移（平动） & v = s = (lϕ 0 π/4) cos(πt / 4) [解 ] & at = v = −( π 2lϕ 0 / 16) sin( πt/4) aAn aAt
Path of B
B B' B A' A
(完整版)大学物理刚体部分知识点总结,推荐文档
一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。
角速度也可以用矢量表示，。
• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示，。
• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
• 传动比。
二．转动定律转动惯量转动定律力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同与牛顿定律比较：转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。
定义式质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。
它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量； (2)质量分布； (3)转轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关几种典型的匀质刚体的转动惯量刚体转轴位置转动惯量J细棒（质量为m ，长为l ）过中心与棒垂直212ml 细棒（质量为m ，长为l ）过一点与棒垂直23ml 细环（质量为m ，半径为R ）过中心对称轴与环面垂直2mR 细环（质量为m ，半径为R ）直径22mR 圆盘（质量为m ，半径为R ）过中心与盘面垂直22mR 圆盘（质量为m ，半径为R ）直径24mR 球体（质量为m ，半径为R ）过球心225mR 薄球壳（质量为m，半径为R ）过球心223mR 平行轴定理和转动惯量的可加性1） 平行轴定理设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+2）转动惯量的可加性对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和等于整个物体的转动惯量。
第6章 刚体的简单运动
因为每转等于2 rad，所以以转数表示有
rad
392 .8 62 .5 转 2π
运动学/刚体的简单运动
例7-5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ 安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别 为z1=36、z2=112、z3=32和z4=128。如主动轴Ⅰ的转速 n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。 解： 从齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传 动比为
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第6章
刚 体 的 简 单 运 动
2013年7月25日
运动学/刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
§6-1 §6-2 §6-3 刚体的平行移动(平移) 刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度
§6-4 轮系的传动比 §6-5 角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢积表示
当ｔ＝5s时,
v M 20 5 100 m/s
2 v M 100 2 n aM 25000 m/s 2 R 0 .4
运动学/刚体的简单运动
§6-4 轮系的传动比
一、齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速 的目的。
运动学/刚体的简单运动
外啮合
内啮合
• 齿轮传动特点
因此，平移刚体的运动学问题，可归结为点的
运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代
表刚体上其它各点6-2
刚体的定轴转动
运动学/刚体的简单运动
一、刚体定轴转动的定义 刚体在运动过程中，其
上或其扩部分有两点保持不 动时，称刚体绕定轴转动， 简称转动。过两固定点的不 动直线称为轴线或转轴（图 中z轴即为转轴）。 二、刚体定轴转动的特点 不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂 直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
rad
392 .8 62 .5 转 2π
运动学/刚体的简单运动
例7-5 减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ 安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别 为z1=36、z2=112、z3=32和z4=128。如主动轴Ⅰ的转速 n1=1450r/min，试求从动轮Ⅳ的转速n4。 解： 从齿轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传 动比为
理 论 力 学
第二部分 运 动 学
第6章
刚 体 的 简 单 运 动
2013年7月25日
运动学/刚体的简单运动
第6章 刚体的简单运动
§6-1 §6-2 §6-3 刚体的平行移动(平移) 刚体的定轴转动 转动刚体内各点的速度和加速度
§6-4 轮系的传动比 §6-5 角速度和角加速度的矢量表示 点的速度和加速度的矢积表示
当ｔ＝5s时,
v M 20 5 100 m/s
2 v M 100 2 n aM 25000 m/s 2 R 0 .4
运动学/刚体的简单运动
§6-4 轮系的传动比
一、齿轮传动 机械中常用齿轮传动机构，以达到传递转动和变速 的目的。
运动学/刚体的简单运动
外啮合
内啮合
• 齿轮传动特点
因此，平移刚体的运动学问题，可归结为点的
运动学来处理，即刚体上任何一点的运动，就可代
表刚体上其它各点6-2
刚体的定轴转动
运动学/刚体的简单运动
一、刚体定轴转动的定义 刚体在运动过程中，其
上或其扩部分有两点保持不 动时，称刚体绕定轴转动， 简称转动。过两固定点的不 动直线称为轴线或转轴（图 中z轴即为转轴）。 二、刚体定轴转动的特点 不在轴线上的各点均作圆周运动：圆周所在平面垂 直转轴；圆心均在轴线上；半径为点到转轴的距离。
第六章刚体的简单运动
6.2 刚体的定轴转动
2.匀变速转动
刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。
0 t
1 2 j j 0 0 t t 2
2 (j j0 )
2 2 0
其中ω0和j0分别是t =0时的角速度和转角。
6.2 刚体的定轴转动
一、转动刚体内各点的速度 以固定点O´为弧坐标s 的原点，按j角的正向规 定弧坐标s的正向，于是
rA rB BA
当刚体平移时，线段AB的长度 和方向都不改变。 因此只要把 点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的 轨迹完全重合。 刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能 是曲线，但是它们的形状是完全相同的。
6.1
速度、加速度
刚体的平移
rA rB BA
上式对时间t求导数，得 drA drB d BA dt dt dt 而
6.2 刚体的定轴转动
设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮。 1 传动比： i12 2 1 n1 1 j1 R2 z 2 i12 2 n2 2 j 2 R1 z1 不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆 锥齿轮传动、摩擦传动等。 有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统 一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转 动比也取代数值： 1 R2 z2 i12 2 R1 z1 正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。
j f (t )
这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。
6.2 刚体的定轴转动
二、角速度 转角j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用ω表示，即
dj dt
角速度表示刚体转动的快慢和方向。
单位一般用rad/s（弧度/秒）。
6.1 刚体运动学(大学物理)
1、转动惯量
刚体转动时，刚 体内的各质点作圆周 运动，刚体的动能等 于各质点动能之和。
mn
m1
rn
r1
r2 m2
1 1 1 2 2 2 Ek m1v1 m2v2 mnvn 2 2 2 n n 1 1 2 2 mivi mi (ri ) i 1 2 i 1 2 1 n 2 2 ( miri ) 2 i 1
1 l 1 2 2 J ml m ml 结果与前相同。 3 12 2
t
0
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2 2 0
2 ( )
2 2 0 0
匀变速转动
六 角量与线量之间的关系
1、位移与角位移之间的关系 刚体转过 刚体上的一点 位移 s
o
r
s
x
s r
第六章 刚体力学
本章主要内容：
6－1 刚体的运动 6－2 刚体的角动量、转动动能、转动惯量
6－3 力矩
刚体定轴转动定律
6－4 定轴转动的动能定理 6－5 刚体对定轴的角动量守恒定律
6－6 进动*
本章学习要求
2.理解转动惯量、力矩的概念，掌握转动定律。 3.掌握刚体转动的动能定理、角动量定理。
1.掌握刚体定轴转动的特点，理解角坐标、角位移 角速度、角加速度的概念。
1 n 刚体的转动动能 Ek ( miri2 ) 2 2 i 1 1 2 与平动动能比较 Ek mv 2 n 2 miri ：相对于转轴的特征的物理量
i 1
转动惯量的定义：
单位：kg ·m2
J m r
i 1
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
第六章 刚体的基本运动
dω dr dv d = （ω× r ) = × r + ω× a= dt dt dt dt
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
6第六章刚体的简单运动b
dt dt
24
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
www w w w
vMr
v M R r sin
| r | r s i R n
wrv v方向 平面OCM
25
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
w
vMr
aM
dvM
dt
d(wr) dwrwdr
dt dt
则n与w的关系为:
w2nnn(ra/sd)
60 3010
12
2.角加速度:
设当t 时刻为w , t +△t 时刻为w+△w
ww 角加 : lt i 0 速 m t d d 度 td d 2 2 t f(t)单位:rad/s2 (代数量)
与w方向一致为加速转动, 与w 方向相反为减速转动
即:平动刚体的运动可以 简化为一个点的运动。
xA (t),
yA (t),
A点的运动方程:rA rA( t),
xA xA (t) y A y A (t)
8
§6-2 刚体绕定轴转动
9
一.刚体定轴转动的特征及其简化 特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。
10
二.转角和转动方程
2.外啮合
ww v C v D ,v C v D , C r C D r D
iCD w wC DrrC DZ ZC D
由于转速n与w 有如下关系：
w2n
60
w w12nn12成正比
即 :i1,2w w1 2n n1 2rr1 2zz1 2从 主动 动轮 轮
22
显然当: | i1,2 | 1 时, w2 w1 ,为升速转动； | i1,2 |1 时, w2 w1 ,为降速转动。
24
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
www w w w
vMr
v M R r sin
| r | r s i R n
wrv v方向 平面OCM
25
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
w
vMr
aM
dvM
dt
d(wr) dwrwdr
dt dt
则n与w的关系为:
w2nnn(ra/sd)
60 3010
12
2.角加速度:
设当t 时刻为w , t +△t 时刻为w+△w
ww 角加 : lt i 0 速 m t d d 度 td d 2 2 t f(t)单位:rad/s2 (代数量)
与w方向一致为加速转动, 与w 方向相反为减速转动
即:平动刚体的运动可以 简化为一个点的运动。
xA (t),
yA (t),
A点的运动方程:rA rA( t),
xA xA (t) y A y A (t)
8
§6-2 刚体绕定轴转动
9
一.刚体定轴转动的特征及其简化 特点:有一条不变的线称为转轴,其余各点都在垂直于转轴的平 面上做圆周运动。
10
二.转角和转动方程
2.外啮合
ww v C v D ,v C v D , C r C D r D
iCD w wC DrrC DZ ZC D
由于转速n与w 有如下关系：
w2n
60
w w12nn12成正比
即 :i1,2w w1 2n n1 2rr1 2zz1 2从 主动 动轮 轮
22
显然当: | i1,2 | 1 时, w2 w1 ,为升速转动； | i1,2 |1 时, w2 w1 ,为降速转动。
第6章 刚体的简单运动
§6-2 刚体绕定轴转动
6、两种特殊情况
d 0， 0 t 1）匀速转动：ω=常量， dt
一般机器转速n：转/分，r/min，rpm
2 n n 0.1n 角速度ω与转速n的关系为 60 30
2）匀变速转动： d cont
dt
0 t
1 R2 z2 i12 2 R1 z1
§6-4 轮系的传动比
1、齿轮传动 为了区分轮系中各轮转向，规定 统一的转动正向，这时各轮的角 速度可取代数值，从而传动比也 取代数值，即 1 R2 z2 i12 2 R1 z1 正号表示主、从动轮转向相同 （内啮合）；负号表示转向相 反（外啮合）。
第6章 刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动
§6-2 刚体绕定轴转动
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度 §6-4 轮系的传动比 §6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
§6-1 刚体的平行移动
1、刚体平动的特点 刚体内任一直线在运动过程 中始终平行于初始位置。 在刚体内任选两点A和B，则 刚体平动时，BA是恒矢量。 2、轨迹 设A、B两点矢径分别为 rA , rB，则两条 矢端曲线分别为两点的轨迹。 刚体平动时，其上各点轨迹形状都完全 相同，且不一定是直线，可能是曲线。
刚体内所有各点的全加速度与法线间的夹角θ都相同。 6、速度和加速度的分布图 刚体的任一转动半径上 各点速度按线性规律分布； 各点加速度按线性规律分布。
§6-4 轮系的传动比
1、齿轮传动 圆柱齿轮传动分为外啮合 和内啮合两种形式。 设两个齿轮各绕固定轴O1和O2转动。 1）啮合条件 已知： R11 vA vB R22 啮合圆半径分别为R1和R2； 2）传动比：主动轮1和从动 齿数分别为z1和z2； 轮2的角速度比值，即 角速度分别为ω1和ω2。 1 R2 z2 令A和B分别是两个齿轮啮合圆的接 i12 2 R1 z1 触点，两圆之间没有相对滑动。
刚体基本运动
分有一直线始终
保持不动。
刚体绕定轴的转动
转动的实例
转 动
§6-2 刚体绕定轴的转动
二、转动方程
jf(t)
§6-2 刚体绕定轴的转动
三、角速度
j d j lim j dt t 0 t
四、角加速度
d j lim dt t 0 t
A点的速度
π s j l j 0l sin t 4 ds π π v lj 0 cos t dt 4 4
例 题
O1 O2
π π π j j 0 sin t v lj 0 cos t 4 4 4
l
j
l
A M
A点的加速度
B
O
（+）
dv π2 π at lj 0 sin t dt 16 4
运
动
学
第6章 刚体的简单运动
第6章
刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动
§6-1 刚体的平行移动
一、定 义
平
移
刚体运动过程中，其上任意一直线始终平
行于这一直线的初始位置。
刚体的平行移动
平动的实例
定
义
刚体的平行移动
平动的实例
定
义
§6-1 刚体的平行移动
二、平移刚体上各点的速度
例 题
O2
已知：O1A＝ O2B ＝l；
O1
π j j 0 sin t 4
l
j
l A M
求：当 t = 0 和 t = 2 s
B
Hale Waihona Puke 时，荡木的中点 M 的速度和加速度。
例 题
O1 O2
保持不动。
刚体绕定轴的转动
转动的实例
转 动
§6-2 刚体绕定轴的转动
二、转动方程
jf(t)
§6-2 刚体绕定轴的转动
三、角速度
j d j lim j dt t 0 t
四、角加速度
d j lim dt t 0 t
A点的速度
π s j l j 0l sin t 4 ds π π v lj 0 cos t dt 4 4
例 题
O1 O2
π π π j j 0 sin t v lj 0 cos t 4 4 4
l
j
l
A M
A点的加速度
B
O
（+）
dv π2 π at lj 0 sin t dt 16 4
运
动
学
第6章 刚体的简单运动
第6章
刚体的简单运动
§6-1 刚体的平行移动
§6-1 刚体的平行移动
一、定 义
平
移
刚体运动过程中，其上任意一直线始终平
行于这一直线的初始位置。
刚体的平行移动
平动的实例
定
义
刚体的平行移动
平动的实例
定
义
§6-1 刚体的平行移动
二、平移刚体上各点的速度
例 题
O2
已知：O1A＝ O2B ＝l；
O1
π j j 0 sin t 4
l
j
l A M
求：当 t = 0 和 t = 2 s
B
Hale Waihona Puke 时，荡木的中点 M 的速度和加速度。
例 题
O1 O2
(完整版)6刚体的简单运动
an
v2
1 R 2
R
R 2
方向：与速度垂直并指向轴线
4 速度与加速度分布图
1、定轴转动刚体上各点的速度和加速度的大小均与该点到转轴 的垂直距离成正比。
2、在任一瞬时，刚体上所有各点的加速度a与该点轨迹半径的 夹角θ都具有相同值而与该点位置无关。
v R
a at2 an2 R 2 4
tan at an 2
0 t
d (0 t)dt
0
0t
1 t 2
2
0
0t
1 2
t 2
计算机硬盘驱动器的马达以匀变速转动，启动后为了能
尽快达到最大工作转速，要求在3秒内转速从0增加到
3000r/min，求马达的角加速度及转过的转数。
解： 马达的初始角速度 0 0
3秒后
n
30
3000 100
30
rad
s
0 t
d
dt
——表征刚体转动的快慢和转向； 是代数量，单位为：rad/s
3)角加速度
d
dt
d 2
dt 2
——表征角速度随时间变化的快慢; 是代数量，单位：rad/s2
两种特殊情形
1）匀速转动
d 常数
dt
d dt
0 t
0 t
2）匀变速转动
d =常数
dt
d dt
0 dt
简化：刚体上任取一条直线A1A//z轴。 由于A1A作平动，取A代表直线运动。 即：刚体转动简化为与转轴垂直的平面
图形的运动；平面上各个点的运动代表了对应 的整个刚体的点的运动规律。
3、转动刚体的转动方程、角位移、角速度和角加速度
f ( t ) 转动方程
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 为最高位置时的角度。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
0
2 o
k
2
0
得：
1 k
sh 1
( 0
)
t
k
转动方程：
0 sh kt
k
角速度方程：
d
dt
0ch
kt
角加速度方程：
d
dt
k0sh
kt
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
得
vB2 2gR
在BCE段： a
dv dt
dv d d dt
dv
d
v R
dv
d
g cos
v
vB
vdv
0
gR
c
osd
得 v2 vB2 2gRsin 2gR 2gRsin
C点处：
aCn
2vC2 R
vC 2
4g
gR
aC 0（a=gcos）
aC aCn 4g
D点处： 3
4
vD 1.848 gR
bu l
3cos2
sin
3bu 2 l2
cos4 sin
aCy
yC
(bu sin cos2 )
l
bu (cos3 2sin2 cos) blu (cos3 2sin2 cos) u cos2
l
l
3 2bu2 当=4时， aCx 8l 2
aCy
2bu 2 8l 2
aC
(aCx
矢量法： 直角坐标法：
自然法： s=f(t)
v ds dt
ab 0
例：摇杆机构，滑杆AB以等速u向上运动。求 = /4时，摇杆OC上C点的速度和加速度的大 小。（设初瞬时=0）
解： C的轨迹为圆弧，自然法方便。
取C0为坐标圆点，运动方程： SC b
tan ut
l
sec2 u
l
u l
1 sec2
交点C点为“转动轴心”
a R 2 4
例：半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 t 2 4t ，单位rad和s，在此轮缘上绕一不 可伸长绳子并悬挂物体A。求t=1s 时轮缘上任一点M 和A的速度和加速度。
)2
(aCy
)2
bu2 4l 2
5
例：已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。 CD=DE，在AB段，加速度为a=g;在BCD段，切 向加速度a=gcos；求小环在C、D(=3/4)两处 的速度和加速度。
解：在AB段： a dv dt
dv ds ds dt
v dv g ds
vB
0
v
dv
R
0
gds
§6-1 刚体的平行移动
物体内任意直线在运动过程中始终与初始位置平行的运动为平移(平动)。
BA不变(大小、方向)：
刚体平移时每个点速度、加速度均相同，运动曲线完全相同。 可归属为对任一点运动的研究。
例：曲柄滑杆机构，OA=r。以匀角速度ω绕定轴O转动， 求BCD任意瞬时的速度和加速度。
解： 建立坐标系 O
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速 度与半径间的夹角都有相同的值。
例：边长为b的正方形绕定轴转动， =1rad/s2，在某瞬时=1rad/s。已知A、 B两点的全加速度方向。求轴心的位置及 A、B两点的全加速度大小。
解： 在每一瞬时各点的加速度方向与转动半径的夹
角相等，
tg /2 1
45
xC b cos
yC b sin
vCx xC b cos vCy yC b sin
tan ut
l
sec2 u
l
u 1 l sec2
u cos2
l
vC
(vCx )2 (vCy )2
bu cos2
l
bu 当=4时， vC 2l
aCx
xC
(bu l
cos3 )'
aD
2g 2
a
n D
(2
2)g
aD (aDn )2 (aD )2 3.487g
刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究：
(1)刚体的运动；
(2)刚体整体的运动与其上各点运动之间的关系。
flash
本章主要研究刚体的两种简单运动：平移和定轴转动。 flash
学习本章内容是为研究复杂运动打基础。
BCD平移，考察m点，有：
xm r cos r cost
vm
dxm dt
r sint
flash
am
dvm dt
r2 cost
例：已知绳等长l，=0sinkt， 0、k为 常数。求任意时刻M点速度和加速度。
解： AB平移，研究A或B点均可。 A圆弧运动，以最低点处为弧坐标原点，向右为正，
则有A的运动方程：
u cos2
l
u2 l2
2sin
cos3
vC
ds dt
b
bu cos2
l
aC
dvC dt
b
2bu 2 l2
2 s in
cos3
aCn
vC2 b
bu2 cos4
l2
当=4时，
vC
bu 2l
aC
(aC
)2
(aCn
)2
bu2 4l 2
5
aC
bu2 2l 2
aCn
bu2 4l 2
用直角坐标法建运动方程，有：
Байду номын сангаас解： 已知运动求角速度、角加速度，微分问题：
设开始时OB杆处于铅垂位置： AC v0t
tan AC v0t
OC h
tan1 v0t
h
v0
1
h v02t 2 h2
h2
v0h v02t 2
2hv03t
(h2 v02t 2 )2
例：飞轮绕固定轴转动，角加速度变化规律为 =k (k为常量)，当运动开始时角速度为0。 求角位置、角速度、角加速度以时间t表示 的函数表达式。
§6-2 刚体绕定轴的转动
刚体在运动时，其上有两点保持不动，则这种运 动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。
通过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体 的转轴或轴线，简称轴。
f (t)
转动方程
flash
转角对时间的变化率：
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
瞬时角速度 瞬时角加速度
刚体绕定轴转动时， 刚体内任一点均作圆心在 轴线上的圆周运动。
若点到转轴的距离为R，则： s R 是点的运动方程。
切向加速度： 法向加速度： 全加速度
R
R2 2 R24 R 2 4
R R 2
2
由：
a R 2 4
tan
a an
R R 2
2
可知
（1）每一瞬时，转动刚体内各点的速度与加速度的 大小均与这些点到轴线的距离成正比。
和 同号为加速，异号时为减速。
flash
两种特殊情况：
1)匀速转动，为常量
0 t
0 是t=0 时的转角。
和转速n（r.p.m）之间的关系为：
2)匀变速转动，即 是常量
0 t
0
0t
1 2
t 2
0 和 0 是t=0时的角速度和转角
例：杆AC以匀速V0沿水平导槽向右运动， 通过滑块A使杆OB绕O轴转动。已知O 轴与导槽相距h。求杆OB的角速度和角 加速度。
解：已知角加速度求运动规律，积分问题：
d d d dt d dt
d d
k
d kd
0
0
积分得：
02
k 2
d
dt
d
t
dt
0
2 o
k
2
0
得：
1 k
sh 1
( 0
)
t
k
转动方程：
0 sh kt
k
角速度方程：
d
dt
0ch
kt
角加速度方程：
d
dt
k0sh
kt
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
得
vB2 2gR
在BCE段： a
dv dt
dv d d dt
dv
d
v R
dv
d
g cos
v
vB
vdv
0
gR
c
osd
得 v2 vB2 2gRsin 2gR 2gRsin
C点处：
aCn
2vC2 R
vC 2
4g
gR
aC 0（a=gcos）
aC aCn 4g
D点处： 3
4
vD 1.848 gR
bu l
3cos2
sin
3bu 2 l2
cos4 sin
aCy
yC
(bu sin cos2 )
l
bu (cos3 2sin2 cos) blu (cos3 2sin2 cos) u cos2
l
l
3 2bu2 当=4时， aCx 8l 2
aCy
2bu 2 8l 2
aC
(aCx
矢量法： 直角坐标法：
自然法： s=f(t)
v ds dt
ab 0
例：摇杆机构，滑杆AB以等速u向上运动。求 = /4时，摇杆OC上C点的速度和加速度的大 小。（设初瞬时=0）
解： C的轨迹为圆弧，自然法方便。
取C0为坐标圆点，运动方程： SC b
tan ut
l
sec2 u
l
u l
1 sec2
交点C点为“转动轴心”
a R 2 4
例：半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 为 t 2 4t ，单位rad和s，在此轮缘上绕一不 可伸长绳子并悬挂物体A。求t=1s 时轮缘上任一点M 和A的速度和加速度。
)2
(aCy
)2
bu2 4l 2
5
例：已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。 CD=DE，在AB段，加速度为a=g;在BCD段，切 向加速度a=gcos；求小环在C、D(=3/4)两处 的速度和加速度。
解：在AB段： a dv dt
dv ds ds dt
v dv g ds
vB
0
v
dv
R
0
gds
§6-1 刚体的平行移动
物体内任意直线在运动过程中始终与初始位置平行的运动为平移(平动)。
BA不变(大小、方向)：
刚体平移时每个点速度、加速度均相同，运动曲线完全相同。 可归属为对任一点运动的研究。
例：曲柄滑杆机构，OA=r。以匀角速度ω绕定轴O转动， 求BCD任意瞬时的速度和加速度。
解： 建立坐标系 O
（2）每一瞬时，刚体内所有各点的加速 度与半径间的夹角都有相同的值。
例：边长为b的正方形绕定轴转动， =1rad/s2，在某瞬时=1rad/s。已知A、 B两点的全加速度方向。求轴心的位置及 A、B两点的全加速度大小。
解： 在每一瞬时各点的加速度方向与转动半径的夹
角相等，
tg /2 1
45
xC b cos
yC b sin
vCx xC b cos vCy yC b sin
tan ut
l
sec2 u
l
u 1 l sec2
u cos2
l
vC
(vCx )2 (vCy )2
bu cos2
l
bu 当=4时， vC 2l
aCx
xC
(bu l
cos3 )'
aD
2g 2
a
n D
(2
2)g
aD (aDn )2 (aD )2 3.487g
刚体是由无数点组成的，在点的运动学基础上可研究：
(1)刚体的运动；
(2)刚体整体的运动与其上各点运动之间的关系。
flash
本章主要研究刚体的两种简单运动：平移和定轴转动。 flash
学习本章内容是为研究复杂运动打基础。
BCD平移，考察m点，有：
xm r cos r cost
vm
dxm dt
r sint
flash
am
dvm dt
r2 cost
例：已知绳等长l，=0sinkt， 0、k为 常数。求任意时刻M点速度和加速度。
解： AB平移，研究A或B点均可。 A圆弧运动，以最低点处为弧坐标原点，向右为正，
则有A的运动方程：
u cos2
l
u2 l2
2sin
cos3
vC
ds dt
b
bu cos2
l
aC
dvC dt
b
2bu 2 l2
2 s in
cos3
aCn
vC2 b
bu2 cos4
l2
当=4时，
vC
bu 2l
aC
(aC
)2
(aCn
)2
bu2 4l 2
5
aC
bu2 2l 2
aCn
bu2 4l 2
用直角坐标法建运动方程，有：
Байду номын сангаас解： 已知运动求角速度、角加速度，微分问题：
设开始时OB杆处于铅垂位置： AC v0t
tan AC v0t
OC h
tan1 v0t
h
v0
1
h v02t 2 h2
h2
v0h v02t 2
2hv03t
(h2 v02t 2 )2
例：飞轮绕固定轴转动，角加速度变化规律为 =k (k为常量)，当运动开始时角速度为0。 求角位置、角速度、角加速度以时间t表示 的函数表达式。