波利亚怎样解题表

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波利亚的怎样解题表

1 乔治波利亚

乔治 波利亚(George Polya , 1887〜1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方 面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法

)现代研究的先驱•由于 他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他 93岁高龄时,还被I CME (国际数学教育大会)聘为名誉主席.

作为一个数学家,波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学 等众多领域,都做出了开创性的贡献,留下了以 波利亚”命名的定理或术语; 他与其他数学

家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变 量》等书堪称经典;而以200多篇论文构成的四大卷文集,

在未来的许多年里,将是研究生 攻读的内容.

作为一个数学教育家,波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》 (1945年卜《数学与 似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上,涉及 解题理论”、解题 教学”教师培训”三个领域•波利亚对数学解题理论的建设主要是通过 怎样解题”表来实

现的,而在尔后的著作中有所发展,也在解题讲习班”中对教师现身说法•他的著作把传统 的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程, 他的目标不是找出可以机械地

用于解决一切问题的 万能方法”而是希望通过对于解题过程的深入分析, 特别是由已有的

成功实践,总结出一般的方法或模式, 使得在以后的解题中可以起到启发的作用.

他所总结 的模式和方法,包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化 方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等,都 在解题中行之有效.尤其有特色的是,他将上述的模式与方法设计在一张解题表中,

并通过 一系列的问句或建议表达出来,

使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的 会议致词中说过: 每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的

书”(195年 2 月 2 日).

2 怎样解题表

波利亚是围绕 怎样解题”、怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对

问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对 问题解决”研究兴趣集中在启发法上•波利 亚在风靡世界的《怎样解题》(被译成14种文字)一书中给出的怎样解题表”正是一部启 发法小词典”

2.1

怎样解题”表的呈现

弄清问题

拟定计划

第一,你必

须弄清问题

3波利亚的解题观

对于波利亚的怎样解题表及有关著作,人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认

识(见参考文献),我们将其归结为5个要点.

3.1程序化的解题系统

怎样解题表,就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题,把“解题中典型有

用的智力活动”,按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段一一弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,从而描绘出解题理论的一个总体轮廓,也组成了一个完整的解题教

学系统•既体现常识性,又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力.

这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序,其中“实现计划”虽为主体工作,但较为容易完成,是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置,“我们所需要的只是耐心”;其次,“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程,应成为成功解决问题的一个必要前提;与前两者相比,“回顾”是最容易被忽视的阶段,波利亚将其作为解题的必要环节

而固定下来,是一个有远见的做法,在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容.

“拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过

程,波利亚的建议是分两步走:第一,努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等);

第二,如果找不出直接的联系,就对原来的问题做出某些必要的变更或修改,引进辅助问题,

为此,波利亚又进一步建议:看着未知数,回到定义去,重新表述问题,考虑相关问题,分解或重新组合,特

殊化,一般化,类比等,积极诱发念头,努力变化问题•这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分

配.

于是,这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身,融理论与实践于一体.

3.2启发式的过程分析

(1)还在当学生的时候,波利亚就有一个问题一再使他感到困惑:“是的,这个解答好

像还行,它看起来是正确的,但怎样才能想出这样的解答呢?是的,这个实验好像还行,它

看起来是个事实,但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢从解题论的观点

看,这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题,

波利亚说,这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》

波利亚认为“数学有两个侧面”,“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的

演绎科学;但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学. 这两个侧面都像数学

本身一样古老.但从某一点说来,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有’照本宣科’ 地把处于发现过程中

的数学照原样提供给学生,或教师自己,或公众.”他以数十年的时间

悉心研究数学启发法,其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识+启发法”.

在解题表中,波利亚给出了“启发法小词典”,让读者通过阅读词典来开阔思路、指导

实践,自己学会怎样解题.

这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识,波利亚认为,数学教育应“教会年轻人

去思考”,培养学生的“独立性、能动性和创新精神”;他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生,他赞

成,良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”,“应该帮助

学生自己再发现所教的内容”,“学东西的最好途径是亲自去发现它”;他特别重视发展学

生的数学思维能力,强调数学教学要加强思维训练,要发展学生运用所学知识的能力,发展

技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯,他反复指出,数学教育的目的不仅仅是传

授知识,还要“发展学生本身的内蕴能力”.教师要“教学生证明问题”,也要“教他们猜

想问题”.波利亚提出“合情推理”的概念,号召:“让我们教猜想吧!”

(2)在解题表的展开中,波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”.波

利亚不断地提问、不断地建议,“怎样才能想出这样的解答呢

“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程,又要求人们去总结发现的规

律.波利亚在《数学的发现》序言中提出:“领会方法的最佳时机,可能是读者解出一道题的时候,或是阅读它

的解法的时候,也可能是阅读解法形成过程的时候”.

波利亚书中的例题,其实就是对典型例题进行解题过程的分析,就是暴露数学解题的思

维过程,也就是教人“怎样学会解题”.在例1中,数学操作与思维开展相结合的图解或阐

释,使我们既领会到了这样的意图,也见到了这样的行动.

波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析,实质上已接触到心理层面,但没有用到多少教育学

或思维学的相关名词,基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露,数学功底和过程

体验发挥了重要作用. 这正是数学家研究数学教育的优势,处处有数学的“真刀真枪”,绝

非“纸上谈兵”.波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,在“知识”与“组织

良好”之间,波利亚更强调后者,他说“良好的组织使得所提供的知识

易于用上,这甚至可能比知识的广泛更为重要. ”用现在的话来说,波利亚在这里强调了“原有的知识经

验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用.

3.3开放型的念头诱发.

波利亚解释说:“我们表中的问题和建议并不直接提到念头;但实际上,所有的问题和

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