近世代数课件--2.6 置换群
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123 132 213 231 312 321 231 213 321 312 123 132
123 来表示这个 不过我们普通用 231
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 =?? 132
1
●
所以 S3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai aki
i 1, 2,...n!
这样一个置换所发生的作用完全可以 (n, kn ) 这 n 对整数来决定． (2, k2 ) ， …， 由 (1, k1 ) ， 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
2
2
例３
我们看 S5 ，这里
12345 123 231 312 23145
12345 12345 23451 51234 23451
12345 1 2 3 4 5 12345
6.3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ环
为了说明置换的第二种表示方法，我们先证 明一个公式．看两个特殊的置换 1 , 2 ：
j1 jk 1 (1) (1) j j k 1 jk 1 jn jk 1 jn
,
j1 jk jk 1 jn 2 (2) (2) j j j j k k 1 n 1
1 k1
2 k2
n kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用
213 n k2 k1 kn
例１ 那么
n 3 ．假如
: a1 a2 , a2 a3 , a3 a1
那么以下公式成立：
j1 jk jk 1 jn 2 1 1 2 (1) (1) (2) (2) j j j j k k 1 n 1
●
●
先看一个例子
证明这个公式.我们只须注意，因为 1 a j2 ，…, a jn 这 n 个元的一一变换， 是 a j1 ， a jk+1，…, a j 已经各是 a j ， 而在 1 之下， n k+1 …, a jn 的象,所以它们不能再是 a j (i k )的 象,这就是说,
．
例２
S3有６个元．这６个元可以写成
123 123 123 123 123 123 ， ， ， ， ， 321 312 213 213 123 132
●
如何计算乘法? (注意我们规定的顺序)
我们看一个有限集合 A ，A 有 n 个元 a1 , a2 ,...an ．由 Ⅱ，５， A 的全体置换作成一个群 G ．
定义2 一个包含 n 个元的集合的全体置换 作成的群叫做 n 次对称群． 这个群用 Sn 来表示． 定理１ n 次对称群 Sn 的阶是 n！．
6.2 置换的表示方法:2-行法
证明 先看一个例子. 在
1 2 3 4 5 6 7 8 S8 中， 3 5 6 4 8 2 7 1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现 在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动 ai 的象 ai3 ，这样找 的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai 的象 ai ， 1 下去，直到我们第一次找到一个 aik 为止，这个 ai 的象不再 是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: ai ai , j k 因为我们一共只有 n 个元，这样的 ai 是一定存在的．我们 说 ai ai ．因为 ai (2 j k ) 已经是 ai 的象，不能再是 aik 的 象．这样，我们得到
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
6.1 置换群
定义1 一个有限集合的一个一一变 换叫做一个置换． 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群．
一个任意的置换当然不一定是一个循环置换．
例４ S4 的 但是,
就不是一个循环置换． 2143
1234
1234 1234 12 34 2134 1243
一般来说，我们有
定理２ 每一个 n 个元的置换 都可以写成 若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置 换的乘积．
i
j jk
(1) 1
(1)
只能取自 j1 jk
这样， 21 将 j1 jk 变成 j1(1) jk (1) .
显然， 21将 jk 1 jn变成 jk 1(2) jn(2)
ai 变到 ai3 ，…， 定义 Sn 的一个把变成 ai1变到 ai ， aik 变到 ai1 ，而使得其余的元，假如还有的话，不变 的置换，叫做一个 k 循环置换．这样的一个置换我 们用符号 (i1i2 ik ) ， (i2i3 ik i1 ) ，…或 (ik i1 ik 1 ) 来表示．2-循环称为对换.
123 来表示这个 不过我们普通用 231
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 =?? 132
1
●
所以 S3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai aki
i 1, 2,...n!
这样一个置换所发生的作用完全可以 (n, kn ) 这 n 对整数来决定． (2, k2 ) ， …， 由 (1, k1 ) ， 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
2
2
例３
我们看 S5 ，这里
12345 123 231 312 23145
12345 12345 23451 51234 23451
12345 1 2 3 4 5 12345
6.3 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ环
为了说明置换的第二种表示方法，我们先证 明一个公式．看两个特殊的置换 1 , 2 ：
j1 jk 1 (1) (1) j j k 1 jk 1 jn jk 1 jn
,
j1 jk jk 1 jn 2 (2) (2) j j j j k k 1 n 1
1 k1
2 k2
n kn
形式不唯一.在这种表示方法里，第一行的 n 个数字的次序显然没有什么关系，比方说以上的 我们也可用
213 n k2 k1 kn
例１ 那么
n 3 ．假如
: a1 a2 , a2 a3 , a3 a1
那么以下公式成立：
j1 jk jk 1 jn 2 1 1 2 (1) (1) (2) (2) j j j j k k 1 n 1
●
●
先看一个例子
证明这个公式.我们只须注意，因为 1 a j2 ，…, a jn 这 n 个元的一一变换， 是 a j1 ， a jk+1，…, a j 已经各是 a j ， 而在 1 之下， n k+1 …, a jn 的象,所以它们不能再是 a j (i k )的 象,这就是说,
．
例２
S3有６个元．这６个元可以写成
123 123 123 123 123 123 ， ， ， ， ， 321 312 213 213 123 132
●
如何计算乘法? (注意我们规定的顺序)
我们看一个有限集合 A ，A 有 n 个元 a1 , a2 ,...an ．由 Ⅱ，５， A 的全体置换作成一个群 G ．
定义2 一个包含 n 个元的集合的全体置换 作成的群叫做 n 次对称群． 这个群用 Sn 来表示． 定理１ n 次对称群 Sn 的阶是 n！．
6.2 置换的表示方法:2-行法
证明 先看一个例子. 在
1 2 3 4 5 6 7 8 S8 中， 3 5 6 4 8 2 7 1
我们再用归纳法．
I.当 不使任何元变动的时候，就是当 是 恒等置换的时候，定理是对的．
II. 假定对于最多变动 r 1(r n) 个元的 定理是对的．现 在我们看一个变动 r 个元的 ．我们任意取一个被 变动 ai 的象 ai3 ，这样找 的元 ai1 ，从 ai1 出发我们找 ai 的象 ai ， 1 下去，直到我们第一次找到一个 aik 为止，这个 ai 的象不再 是一个新的元，而是我们已经得到过的一个元: ai ai , j k 因为我们一共只有 n 个元，这样的 ai 是一定存在的．我们 说 ai ai ．因为 ai (2 j k ) 已经是 ai 的象，不能再是 aik 的 象．这样，我们得到
变换群的一种特例,叫做置换群,在代数 里占一个很重要的地位.比方说,在解决方程 能不能用根号解这个问题时就要用到这种 群．这种群还有一个特点，就是它们的元 可以用一种很具体的符号来表示，使得这 种群里的计算比较简单．现在我们把这种 群讨论一下．
6.1 置换群
定义1 一个有限集合的一个一一变 换叫做一个置换． 一个有限集合的若干个置换作成的一 个群叫做一个置换群．
一个任意的置换当然不一定是一个循环置换．
例４ S4 的 但是,
就不是一个循环置换． 2143
1234
1234 1234 12 34 2134 1243
一般来说，我们有
定理２ 每一个 n 个元的置换 都可以写成 若干个互相没有共同数字的（不相连的）循环置 换的乘积．
i
j jk
(1) 1
(1)
只能取自 j1 jk
这样， 21 将 j1 jk 变成 j1(1) jk (1) .
显然， 21将 jk 1 jn变成 jk 1(2) jn(2)
ai 变到 ai3 ，…， 定义 Sn 的一个把变成 ai1变到 ai ， aik 变到 ai1 ，而使得其余的元，假如还有的话，不变 的置换，叫做一个 k 循环置换．这样的一个置换我 们用符号 (i1i2 ik ) ， (i2i3 ik i1 ) ，…或 (ik i1 ik 1 ) 来表示．2-循环称为对换.