[指南]第一章 度量空间-黎永锦

[指南]第一章度量空间-黎永锦

第1章度量空间

在1900年巴黎数学家大会上我曾毫不犹豫

地把十九世纪称为函数论的世纪.

V. Volterra(伏尔泰拉)

(1860-1940, 意大利数学家)

泛函分析这一名称是由法国数学家P. Levy引进

的. 在十九世纪后期,许多数学家已经认识到数学中许

多领域处理的是作用在函数上的变换或者算子,推动

创立泛函分析的根本思想是这些算子或变换可以看作

某类函数上算子的抽象形式,把这类函数全体看成空

间,而每个函数就是空间的点,算子或变换就把点变成

点,将函数变成实数或复数的算子就称为泛函.泛函的

抽象理论是由V. Volterra(1860-1940)在关于变分法的 P. Levy (1886-1971)

工作中最先研究的,但在建立函数空间和泛函的抽象理论中,第一个卓越的成果是由法国数学家M. Frechet 1906年在他的博士论文中得到的.

1. 1 度量空间

M. Frechet是法国数学家,他1906年获得博士学位. M. Frechet的博士论文

开创了一般拓扑学,G. Cantor, C. Jordan, G. Peano, E. Borel和其他数学家发展了有限维空间的点集理论. V. Volterra, G. ascoli和J. Hadamard等开始把实值函数作为空间的

点来考虑. M. Frechet的博士论文统一了这两种思想,并建立了一个公理结构. 他给出收敛序列的极限的一组公理,然后定义了闭集、内点和完备集等基本概念,还引入了相对列紧性和列紧性,并得到了列紧集的基本性质,在他的博士论文中,M. Frechet第一次给出了度量空间的公理.

d:X，X,R定义 1.1.1 若是一个非空集合,是满足下列条件的实值函数,X

对于任意,有 x,y,X

(1) 当且仅当; x,yd(x,y),0

(2) d(x,y),d(y,x);

(3) . d(x,y),d(x,z)，d(y,z)

X则称d为上的度量,称为度量空间. (X,d)

明显地,由(3)可知 ,故由(2)可知,d(x,y)，d(y,x),d(x,x)d(x,y),0

d因此是一个非负函数.

EXX若是一个度量空间,是的非空子集,则明显地也是度量空间,称(E,d)

为的度量子空间. (E,d)(X,d)

R例1.1.1 若是实数集,定义,则容易看出是度量空间. d(x,y),|x,y|(R,d) X例1.1.2 对于任意一个非空集,只需定义

,0,当 x , y 时,d(x,y) = ,,1当 x , y 时.,

dX则是一个度量空间,称为上的平凡度量或离散度量. (X,d)

度量不是唯一的,在一个非空集合上,可以定义几种完全不同的度量.

nRx,(x),y,(y)例1.1.3 对于,可以定义几种不同的度量,对于, 有ii

n21/2; d(x,y),[(x,y)],ii,n1

n

; d(x,y),|x,y|1,iin,1

d(x,y),max{|x,y|}2ii

nnnn容易验证,和都是度量空间,一般称为欧几里得(R,d)(R,d)(R,d)(R,d)12 空间.

以下的例子是在M. Frechet 1906年提出的. 例1.1.4 如果用记所有实数列形成的集合,对于任意,定义x,(x),y,(y)sii

,|x,y|iid(x,y), ,i!(1，|x,y|)i1,ii

xd容易知道满足度量定义中的(1)和(2),由函数,(x) =在 (0, ) 是，,1，x |a，b|,|a|，|b|单调增加的可知对于,有

|a，b||a|，|b||a||b|,,， 1，|a，b|1，|a|，|b|1，|a|，|b|1，|a|，|b| |a||b|,， 1，|a|1，|b|

a,x,z,b,z,y 令,则可得到,所以d(x,y),d(x,z)，d(y,z)(s,d)iiii

是一个度量空间.

常见的序列空间还有如下几个空间.

(x),(y),ll,{(x)|sup|x|,，,}例1.1.5 , 对于任意的,定义,iiii,i,,

1d(x,y),sup|x,y|lx,(). 即为所有有界数列所形成的空间,如, ii,i

i, 但. y,(1，(,1)),lz,(i),l,,

c,{(x)|limx,0}例1.1.6 ，对于任意的,定义(x),(y),cii0ii0i,,

1c. 即为所有收敛于0的数列所成的空间,如, d(x,y),sup|x,y|x,()0iii2

i1，(,1)i, 但. y,(),cz,(1，(,1)),c0i03

,例1.1.7 ,对于任意的,定义l,{(x)||x|,，,}d(x,y)(x),(y),l1iiii1,1i, ,1.即为所有绝对收敛数列所成的空间,如, 但 ,|x,y|lx,(),lii1,1ii1,31. z,(),l1i

3R 度量就是中距离的推广,在给定的集合上定义了度量,就可以讨论点列的收

敛性.

d(x,x),0定义 1.1.2 设是度量空间,, 若, 则称序{x},X(X,d)limn0n,,n

dx列按度量收敛于,记为limx,x, 或, 此时称为{x}x,x(n,,){x}0n0n0nnn,, x收敛点列,称为的极限. {x}0n

在数学分析中,大家都知道,若数列{x}是收敛的,则其极限是唯一的.类似地,在n

度量空间也有下面的结论.

{x}{x}定理 1.1.1 在度量空间中,若是收敛点列,则的极限一定唯(X,d)nn一.

x,y,Xx,ylimx,xlimx,y证明用反证法,假设有,使得,,但,则由nn,,,,nn

d(x,y),0d(x,y),0d(x,y),d(x,x)，d(x,y),可知.又由于,因此nn

x,y{x}d(x,y),0,但这与假设矛盾,所以由反证法原理可知的极限唯一.n

另外,容易看出,在度量空间中,若是收敛点列,则的任意子{x}{x}(X,d)nn

列也是收敛点列,并且极限是一样的.

d(x,y)d(x,y),d(x,y)定理 1.1.2 若, ,则. 即是x,xy,ynn00n0n0

和的二元连续函数. xy

证明由于

d(x,y),d(x,x)，d(x,y) nnn00n

,d(x,x)，d(x,y)，d(y,y) n0000n

因此