2012年河北省高中数学竞赛试题

合集下载

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是 ◆答案：1- ★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=-2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 52a c b a c A A B c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M ==所以 1.M ≤=≤当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为 ◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +== 当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠= ,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==, 故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为 ◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

02 2012年全国高中数学联赛河北省预赛

2012年全国高中数学联赛河北省预赛高二年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．已知集合{|50,}A x x a a N =-≤∈，若5AZ ∈，则a 的最小值为．2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且1,10,()1,01,x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩则((3.5))f f = ．3．ABC ∆中，AB 与BC 的夹角为150，||2AC =，则||AB 的取值范围是． 4．已知点,M N 的坐标都满足不等式组0,0,26,312,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ (1,1)=-a ，则MN a 的取值范围是．5．函数32(0x y a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10x ym n++=上，且 ,0m n >，则3m n +的最小值为．6．已知点P 是直线l ：40(0)kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，,A B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k = ． 7．在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直，,,ABC ACD ADB ∆∆∆的面积分别为，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为． 8．已知数列{}n a 满足：1a m =(m 为正整数)，11,231,n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时，若47a =，则m 的所有可能取值为．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的外接圆半径R2sin tan tan cos AB C C+=． (Ⅰ)求角B 和边b 的大小； (Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，三角形ABC 是边长为2的等边三角形，M 是1AA 上的一点，14AA =，11A M =．P 是棱BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点M 的最短路线长为，设这条最短路线与1CC 的交点为N ． (Ⅰ)求证：1A B ∥平面MNP ；(Ⅱ)求平面MNP 和平面ABC 所成二面角(锐角)的正切值．11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：23S =，*2()n n S n na n N =+∈． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列11,,321,,n n n a a n c n -+⎧=⎨⨯+⎩为奇数为偶数的前2n 项和2n T ．12．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3)．(Ⅰ)若函数()6y f x a =+有且只有一个零点，求()f x 的解析式； (Ⅱ)记()f x 的最大值为()h a ，求()h a 的最小值．13．如图，在平面直角坐标系中，方程为220x y Dx Ey F ++++=的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上．(Ⅰ)求证：0F <；(Ⅱ)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且0AB AD =，求224D E F +-的值．14．已知正实数,x y ，设a x y =+，b =．(Ⅰ)当1y =时，求ba的取值范围； (Ⅱ)若2c k xy =⋅，且对于任意的正数,x y ，以,,a b c 为长度的线段恒能构成三角形，求k 的取值范围．高三年级组试题一、填空题(每小题8分，共64分)1．若关于x 的不等式21202x x mx -+<的解集为{|02}x x <<，则m = ．2．1=⎰．3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，22()S a b c ∆=--，则tan2A= ．4．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别标有字母,,,,A B C D E ，若从这15张卡片中，抽取5张，要求字母各不相同且三色齐全，则不同的取法有种． 5．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+ 的最小值为．6．已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中{1,2,3,4}a ∈，{1,2,3}b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为．7．设椭圆1C ：2211612x y +=与抛物线2C ：28y x =的一个交点为00(,)P x y ，定义：()f x =000,,x x x x ⎧<<> 若直线y a =与()f x 交于,A B 两点，且已知定点(2,0)N ，则ABN ∆的周长的取值范围是．8．已知动点(,)P x y满足22,0,(1,x y x x y ⎧+≤⎪⎪≥⎨⎪++≥⎪⎩则动点(,)P x y 构成图形的面积为．二、解答题(9、10、11、12小题各14分，l3、14小题各15分，共86分)9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列． (Ⅰ)求B 的取值范围；(Ⅱ)若关于Bsin B B m +=恰有一解，求实数m 的值．10．已知数列{}n a 满足：114a =，234a =，112(2)n n n a a a n +-=-≥，数列{}nb 满足： 114b ≠，13(2)n n b b n n --=≥，数列{}n b 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)证明：数列{}n n b a -为等比数列；(Ⅱ)若11112b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．11．如图，设S ABCD -是一个高为3的四棱锥，底面ABCD 是边长为2的正方形，顶点S 在底面上的射影是正方形ABCD 的中心．K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段,SB SD 分别交于,M N ．(,M N 可以是线段的端点) (Ⅰ)求直线AK 与平面SBC 所成角的正弦值；(Ⅱ)求证：S MKN S BCD V SM SK SNV SB SC SD--=，并求当M是SB 中点时四棱锥S AMKN -的体积．12．已知函数()ln f x x ax =-，其中0a >，()()()g x f x f x '=+．(Ⅰ)若当1x e ≤≤，函数()f x 的最大值为4-，求函数()f x 的表达式； (Ⅱ)求a 的取值范围，使函数()g x 在区间(0,)+∞上是单调函数．13．已知焦点在x 轴上的椭圆E ：22218x y b+=内含圆C ：2283x y +=．圆C 的切线l 与椭圆E 交于,A B 两点，满足(OA OB O ⊥为坐标原点)．(Ⅰ)求2b 的值；(Ⅱ)求||AB 的取值范围．14．对正整数n ，记()f n 为数231n n ++的十进制表示的数码和．(Ⅰ)求()f n 的最小值；(Ⅱ)当2101(k n k =⋅-是正整数)时，求()f n ； (Ⅲ)是否存在一个正整数n ，使得()2012?f n =。

河北省全国高中数学联合竞赛预赛试题(河北卷)

参照解答与评分标准说明：本试卷分为 A 卷和 B 卷： A 卷由本试卷的 2２题构成，即 10 道选择题， 7 道填空题、 3 道解答题和 2 道附带题； B 卷由本试卷的前 20 题构成，即 10 道选择题， 7 道填空题和 3 道解答题。

一、选择题（本大题共有 10 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多项选择、不选、错选均不得分，每题 5 分，共 50 分） 1. 已知[5 3sin 21 sin2 可化简为（ D）,]，则 1A ． 2sin 4 22sin2cos2cosB.C.D.解答：由于[5 , 3] ，因此 1 sin 21 sin2 = cos sin cos sin422cos 。

正确答案为 D 。

2．假如复数a 2i 1 i 的模为 4，则实数 a 的值为（C）A. 2B.2 2 C.2 D.2 2解答：由题意得2 ? a 24 4a 2 。

正确答案为 C 。

3. 设 A ，B 为两个互不同样的会合，命题 P ： xA B ，命题 q ： x A 或 x B ，则 p 是q 的（ B）A. 充足且必需条件B. 充足非必需条件C. 必需非充足条件D.非充足且非必需条件解答： P 是 q 的充足非必需条件。

正确答案为 B 。

4. 过椭圆x 2y 21的右焦点 F 2 作倾斜角为 45o弦 AB ，则 AB 为（ C ）22 6B.4 6C.4 2 D.4 3A.3333解答：椭圆的右焦点为（1， 0），则弦 AB 为yx1,代入椭圆方程得3x 2 4x 0x 1 0, x 24 AB2( x 1x 2 ) 24 2 。

正确答案为 C 。

335. 函数 f (x)1 5 x x 0，则该函数为（ A ）5x 1 x 0A. 单一增添函数、奇函数B. 单一递减函数、偶函数C. 单一增添函数、偶函数D.单一递减函数、奇函数解答：由单一性和奇偶性定义知道函数为单一增添的奇函数。

2012全国高中数学联赛一试试题参考答案_B卷

２２２ｃｏｓ（ｘ）＋２ｓｉｎ（ｙ）＝１，㊀㊀㊀① π π
．
{
② ③
则有序数对（ｘ，ｙ）＝解：㊀（４，２）．
由①、ｉｎ（ｘ）［２＋ｓｉｎ（ｘ）］＝０． ②得ｓ π π 因为２＋ｓｉｎ（ｘ）＞０，所以ｓｉｎ（ｘ）＝０． π π 代入②得㊀ｓｉｎ（ｙ）＝０． π 从而，ｘ、ｙ均为正整数．
易知，ＦＢ的周长为４ａ，内切圆半径为１，则 △Ａ１１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｓａ ·１＝２ａ．ＦＢ＝ ·４ △Ａ１２１又Ｓｃ ·│ｙｙ４ｃ． │＝ＦＢ＝ ·２１－２ △Ａ１２所以，由２ａ＝４ｃ，得ｅ＝ｃ１＝．ａ２
．
当且仅当ＡＭ⊥ＢＣ，即ＡＢ＝ＡＣ＝５时，上式等号成立．㊀㊀故△ＡＢＣ面积的最大值为１２． → → → 【方法２】因为 │ＡＢ－ＡＣＣａ＝６， │＝ │Ｂ │＝ → ２ → ２ → → 所以 │ＡＢＣ２ＡＢ ·ＡＣ＝３６． │ ＋ │Ａ │ －
【方法１】易知，在一次投掷中，投出的点数是７的概率为率为
１１１１．从而，投出的点数是奇数但不是７的概率为－＝．２２６３在３次投掷中，记“ 仅有一次投出的点数是７，另两次中至少都是７，另一次投出的点数是偶数” 为事件Ｂ．显然Ａ与Ｂ互斥．故所求事件为Ｃ＝Ａ＋Ｂ．７１１１１２１１因为Ｐ（Ａ）＝Ｃ［Ｃ（）］＝， ˑ ˑ ＋３ˑ ２ˑ ６２３２２４１２１１２㊀㊀Ｐ（Ｂ）＝Ｃ（） ˑ ＝ˑ ，３ˑ ６２２４７１１（Ｃ）＝Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝＋＝．所以Ｐ２４２４３【方法２】在３次投掷中，记“ 至少有一次投掷的点数是偶数” 为事件Ａ， “ 至少有一次投掷的点数是７ ” 为事件Ｂ，则所求事件为Ｃ＝Ａ． ∩Ｂ因为Ｃ＝ＡＡ， ∩Ｂ＝ ∪Ｂ

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年全国高中数学联赛河北赛区预赛(高三)

＝ …
３
１
２ ‘
３．１
４．
（１）求直线ＡＫ与平面ＳＢＣ所成角的正
注意到，ａ一（ｂ— ｃ）＝ａ一（ｂ一２ｂｃ＋ｃ）（ｂ＋ｃ一ａ）＋２ｂｃ
＝一
弦值；
（２）证明：Ｖ：．￣ｔＳ－ＭＫＮ
故６ｃｓｉｎＡ＝～２ｂｃｃ。ｓＡ＋２ｂｃ
＝４ —４ＣＯＳＡ＝Ｒｉｎ
（１）若当ｌ ≤ ≤ｅ时，函数值为一４，求函数）的表达式；
）的最大
ｊ８ｓｉｎ＝２ｓｉｎ・ｃ。ｓ孚
ｃ所对的边长分别为口、ｂ、Ｃ，且ａ、ｂ、Ｃ
成等差数列．
４．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别
标有字母Ａ、、ｃ、Ｄ、Ｅ．若从这ｌ５张卡片中，抽取五张，要求字母各不相同且三色齐全，则
则＋的最小值为
ｍｎ
１０．（１４分）已知数列｛ａ｝满足
１
口１，ｏ２
３
，
６．已知函数
ａ＋１＝２ａ一ａ
一
ｌ
（ｎ ≥２）；
）＝ ÷ 一（口一１）＋６，
其中，ａ∈ ｛１，２，３，４｝，ｂ∈ ｛１，２，３｝．则函数，（）在Ｒ上是增函数的概率为
数列｛ｂ｝满足
ｌ

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

各省高中数学竞赛预赛试题汇编[]

2012各省数学竞赛汇集目录1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分）1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为___12____. 6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为_____53_______.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n-+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2CA B a b c+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

2012年河北省高中数学竞赛试题及参考答案(word版)

2012年河北省高中数学竞赛试题说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈，（）A ．2sin θ B. 2sin θ- C.2cos θ- D.2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（） A. 2 B.C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂，命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 4.过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45 弦AB ，则AB 为（）A.3B.3C.3D.35. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（）A.单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）正视图侧视图俯视图（圆和正方形）A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D.4+π7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是(,10),x -则数组中的x =（）2212231A ．64B ．32C ．16D ．8 8. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（） A. 4 B.8 C. 16 D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（） A.1, 12⎛⎫⎪⎝⎭B1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（） A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin 2x f x x =-的最小正周期为__________。

2012年高中数学竞赛试题及解答

2012年高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1A二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．参考答案：1 2、92 3、11 4、(){},04-∞ 526、()()3,0,2,27、258、40259．解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥，解得（结合1x >） 11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证（1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分）（2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解（1）设集合{}31,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足（b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分）（2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}1122,21n n B A ++=-- ，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21n n n n n B A =---- ，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<- ，所以{}21,2,,21n B ⊆- ，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得≤++≤+++f f f(100)(50)501(25)25151≤+++≤+++f f(12)12377(6)6192≤+++=．…………………（16分）(3)3199108f。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。

2012年全国高中数学联赛试题详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案)

2012年高中数学竞赛试题2012年北京市高中数学初赛（高一） (2)2012年北京市高中数学复赛（高一） (4)2012年湖北省高中数学预赛（高一） (5)2012年湖北省高中数学预赛（高二） (6)2012年福建省高中数学预赛（高一） (7)2012年河南省高中数学预赛（高一） (9)2012年江苏高中数学竞赛（初赛） (11)2012年上海市高中数学竞赛（新知杯） (12)2012年四川省高中数学预赛 (13)2012年陕西省高中数学预赛 (15)2012年河北省高中数学预赛 (17)2012年甘肃省高中数学预赛 (19)2012年安徽省高中数学预赛 (20)2012年山东省高中数学预赛 (21)2012年浙江省高中数学预赛 (23)2012年北京市高中数学初赛（高一）一、选择题（满分36分=6×6分）1． f (x )=�2+x ,x >05, x =02x , x <0,则f (−2)+f (0)+f (1)+f (3)的值为（A ）8 （B ）11 （C ）1314（D ）15122．一个锐角的正弦和余弦恰是二次三项式ax 2+bx +c 的不同的两个根，则a ,b ,c 之间的关系是（A ）b 2=a 2−4ac （B ）b 2=a 2+4ac （C ）b 2=a 2−2ac （D ）b 2=a 2+2ac3．定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2−2x ，则f (x )在x ∈[−4,−2]上的最小值为（A ）−19（B ）−13（C ）13（D ）194．定义在正整数集Z +上的函数f ，对于每一个n ∈Z +和无理数π=3.14159265358⋯满足f (x )=�k 2的末位数字，（的小数点后第n 位数字k ≠0时）3. 若函数的值域记为M ，则（A ）1∉M （B ）5∉M （C ）6∉M （D ）9∉M 5．如图，在△ABC 中，∠A =30°,∠C =90°，以C 为圆心，CB 为半径作圆交AB 边于M ，交AC 边于N ，P 为CM 与BN 的交点.若AA =1，则S △CCC −S △BCC 等于（A ）18（B ）√38（C ）14（D ）√346．定义在(−1,1)上的函数f (x )满足f (x )−f (y )=f (x−y1−xy )，且当x ∈(−1,0)时，f (x )>0.若P =f �14�+f �15�,Q =f �16�,R =f (0)；则P ,Q ,R 的大小关系为（A ）R >P >Q （B ）R >Q >P （C ）P >R >Q （D ）Q >P >R 二、填空题（满分64分=8×8分） 1. 求log 2sin π3+log 2tan π6+log 2cos π4的值.2. 已知f (x )是四次多项式，且满足f (i )=1i,i =1,2,3,4,5，求f (6)的值.3. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，求满足方程[n lg2]+[n lg5]=2012的自然数n 的值.4. 如图，半径为1的两个等圆相交，在两圆的公共部分作一内接正方形ABCD .如果圆心距O 1O 等于1，试求正方形ABCD 的面积.5.求1272−7×2012+1×20122+⋯+52−5×2012+1×20122+7232−3×2012+1×20122+5212−1×2012+1×20122+322011220112−2011×2012+1×20122的值.以1为半径画弧，如图所示，交点为M,N,L,K，求阴影部分的面积.7.已知二次函数f(x)满足f(−10)=9,f(−6)=7,f(2)=−9，求f(100)的值.8.上底BC=2，下底AD=3的梯形ABCD的对角线相交于点O，彼此外切于点O的两个圆分别切直线AD于点A和点D，交BC分别于点K,L，求AA2+DD2的值.一、填空题（本题共5个小题，每小题8分，满分40分）1.函数y=x4−13x2+36(x−3)(x+2)的图像与平行于x轴的直线y=c恰有一个交点，则c能取到的所有值的乘积等于________.2.如图，锐角△ABC内接于半径为R的⊙O，H是△ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OO⊥AO,BC=10,OA=6，则OM=___________.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个交点A和B，顶点为C，如果△ACB恰是直角三角形，那么判别式Δ的值是______.4.如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC=2,BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC的面积的最大值为___________.5.和为111的两个自然数x和y，使得等式√x cccπy2x+�y cinπx2y=0成立，满足这个条件的一组自然数(x,y)是_____________.二、（本题满分15分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4以B为中心，将△ABC 顺时针旋转，使点A落在CB延长线上的点A1处，此时点C落在点C1的位置.连接AA1,CC1相交于OCC1交AB于D，AA1交BC1于E，求四边形BDOE的面积.三、（本题满分15分）（1）如果整数a、b和c满足关系式a2+b2=2c2−2，求证：144|abc.（2）试写出不定方程a2+b2=2c2−2的一组正整数解，并对这组正整数解验证144|abc.四、（本题满分15分）在边长都是正整数的三角形中，周长是2009的三角形与周长是2012的三角形哪一种数量多？说明理由.五、（本题满分15分）在锐角△ABC中，O是外心，I是内心，连接AI，BI和CI的直线交△ABC的外接圆分别于点A1，B1和C1.求证：S△ABCS△A1B1C1=2r R.（其中R是外接圆的半径，r是内切圆的半径）一、填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.）1．已知集合A={x|x≤a},B={x|x>b},a,b∈A，且A∩B∩A={1}，则a+ b=___________．2．已知正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a2,a4,a5成等差数列，则a1+a4+a7a3+a6+a9=_________．3．函数f(x)=�x+1x2+4x+7的值域为__________．4．已知3sin2α+2sin2β=1，3(sinα+cosα)2−2(sinβ+cosβ)2=1，则cos2(α+β)=_________．5．已知数列{a n}满足：a1为正整数，a n+1=�a n, a n为偶数3a n+1, a n为奇数如果a1+a2+a3=29，则a1=_________．6．在△ABC中，角A,B,C的对边长a,b,c满足a+c=2b，且C=2A，则sin A=___________．��⃗=pAB��⃗+qAC��⃗，则p q的7．在△ABC中，AB=BC=2,AC=3．设O是△ABC的内心，若AO值为___________．8．设x1,x2,x3是方程x3−x+1=0的三个根，则x15+x25+x35的值为____________．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列{a n}满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1且a1=1,a2=8，求{a n}的通项公式．10．已知正实数a,b满足a2+b2=1，且a3+b3+1=m(a+b+1)3，求m的最小值．11．设f(x)=log a(x−2a)+log a(x−3a)，其中a>0且a≠1．若在区间[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立，求a的取值范围．一、填空题（本题满分64分，每小题8分.直接将答案写在横线上.） 1．函数f (x )=�x+1x +4x+7的值域为__________．2．已知3sin 2α+2sin 2β=1，3(sin α+cos α)2−2(sin β+cos β)2=1，则cos 2(α+β)=_________．3．已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n+1=�a n2, a n 为偶数3a n +1, a n 为奇数如果a 1+a 2+a 3=29，则a 1=_________．4．设集合S ={1,2,3,⋯,12}，A ={a 1,a 2,a 3}是S 的子集，且满足a 1<a 2<a 3,a 3−a 2≤5那么满足条件的子集A 的个数为_______． 5．过原点O 的直线l 与椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)交于M ,A 两点，P 是椭圆C 上异于M ,A的任一点．若直线PM ,PA 的斜率之积为−13，则椭圆C 的离心率为____．6．在△ABC 中，AB =BC =2,AC =3．设O 是△ABC 的内心，若AO��⃗=pAB ��⃗+qAC ��⃗，则p q的值为___________．7．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AC =1,B 1C =√2,AB 1=p ，则长方体的体积最大时，p 为_______．8．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则∑�2012+2k 2�=2012k=0_____．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列{a n }满足�a n a n+1+a n a n+2=4�a n a n+1+a n+12+3�a n a n+1 且a 1=1,a 2=8，求{a n }的通项公式．10．已知正实数a ,b 满足a 2+b 2=1，且a 3+b 3+1=m (a +b +1)3，求m 的取值范围． 11．已知点E (m ,n )为抛物线y 2=2px (p >0)内一定点，过E 作斜率分别为k 1,k 2的两条直线交抛物线于A ,B ,C ,D ，且M ,A 分别是线段AB ,CD 的中点．（1）当n =0且k 1⋅k 2=−1时,求△EMA 的面积的最小值; （2）若k 1+k 2=λ(λ≠0,λ为常数),证明：直线MA 过定点．一．选择题（每小题6分，共36分）1.已知集合A={x|1≤x≤4},B={y|y=log2x,x∈A}，则A⋂B=(A) [0,2] (B) [0,1] (C) [1,2] (D) [2,4]2.已知直线x=2,x=4与函数lcl4x的图像交于A、B两点，与函数y=ln x的图像交于C、D两点，则直线AB与CD(A) 相交，且交点在第一象限(B) 相交，且交点在第二象限(C) 相交，且交点在第四象限(D) 相交，且交点在坐标原点3.已知集合A，如果存在实数x0，使得对任意整数a，都存在x∈A，使得0<|x−x0|<a，则称x0为集合A的“聚点”.给出下列四个集合：①�n n+1�n∈Z,n≥0�②{x│x∈R,且x≠0}③�1n�n∈Z,n≠0�④Z. 其中以0为“聚点”的集合有(A) ②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②④4.已知四面体ABCD四个顶点的坐标分别为A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1)、D(0,0,0)，则直线DC与平面ABC所成角的正弦值为(A) 13 (B) √33 (C) 23 (D) √635.已知x,y是两个不相等的正数，且满足条件x3−y3=x2−y2，则[9xy]的最大值为（符号[x]表示不超过x的最大整数）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 16.函数f(x)=√2x−6+√18−3x的最大值为(A) √2√√ (D)√二．填空题（每小题6分，共36分）7.已知过点A(3,−2)的直线l交x轴正半轴于点B，交直线l1:x−2y=0于点C，且|AB|=2|BC|，则直线l在y轴上的截距为__________.8.若关于x的不等式2x+3x−k⋅6x≥0在区间[1,2]上有解，则k的最大值为___________.9.在三棱锥D-ABC中，已知AB=BC=AD=√BD=AC=2,BC⊥AD，则三棱锥D-ABC外接球的表面积为______.10.三个半径都是2的圆，其圆心分别为A(1,1),B(3,6),C(7,12)，直线l斜率为k，且过点(1,1).若⊙A、⊙B、⊙C位于直线l某一侧的部分的面积和等于位于直线l另一侧的部分的面积和.则k=__________.11.已知函数f(x)=�2x−1 x≤0f(x−1)x>0，则方程f(x)=x在区间(0,10)内所有实根的和为________.12.符号[x]表示不超过x的最大整数，符号{x}表示x的小数部分即{x}=x−[x].若实数x 满足[2x]+[4x]+[6x]+[8x]=2012，则{x}的最小值为_______.三．解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13.已知f(x)=x2+2px−2在区间[−2,0]上的最小值为l(p).（1）求l(p)的表达式；（2）当l(p)=−3时，求f(x)在区间[−2,0]上的最大值.14.已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=m，点A(4,6),B(c,t)，（1）若3c−4t=−12，且直线AB被圆C截得的弦长为4，求m的值；（2）若s，t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值λ(λ>1)，求m的值.15.对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a1,a2,⋯,a n，若不等式(1a1)λ+(1a2)λ+⋯+(1a n)λ<2恒成立.求整数λ的最小值.O的割线，C、D为割线与圆O的交点.过C作直线交AB于点E、交AD于点F，且CE=EE.求证：CE∥PA17.在直角坐标平面xOy内有2012个点，记这2012个点组成的点集P中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合.证明：在点集P中，存在E、G两点，使得以EG为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形EFGH内（不包括边界）至少含有点集P中的402个点.2012年河南省高中数学预赛（高一）一．填空题（共10小题，每小题6分，满分60分）1. 已知非空集合A ⊆{1,2,⋯,2012}，且满足：当a ∈A 时，有2013−a ∈A ，则符合题意的集合A 共有_____.2. 已知P (a ,b )关于直线l 的对称点为P (b +1,a −1)，则圆C :x 2+y 2−6x −2y =0关于直线l 对称的圆C 的标准方程为_________.3. 已知分段函数f (x )=�3−x ,x ≤0f (x −1),x >0，若f (x )=x +a 有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围是_________.4. 设a ,b 分别是方程log 513x +x −2012=0和513x +x −2012=0的根，则a +b =_______.5. 已知四面体A −BCD 中，AB =CD =2√BC =AD =√AC =BD =√，则该四面体的体积是_____.6. 定义A ∗B =�C (A )−C (B ),C (A )≥C (B )C (B )−C (A ),C (A )<C (B )，已知A ={1,2}，B ={x ||x 2+ax +1|=0}其中C (A )表示集合A 中的元素的个数，若A ∗B =1，由a 的所有可能值构成的集合是S ，那么C (S )=________.7. 已知正三棱锥P −ABC 的侧棱长为√3+1，底面边长为√2，Q 是侧棱PA 的中点，一条折线从点A 出发，绕侧面一周到点Q ，则这条折线长度的最小值是_______.8. 已知函数y =f (x )的定义域是D ，如对于任意的x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称f (x )函数在D 上为非减函数，设函数y =f (x )在[0,1]上为非减函数，满足条件：①f (0)=0;②f �x3�=12f (x )③f (1−x )=1−f (x ),则f �13�+f �12012�=_________. 9. （选做题）（必修3）在6个产品中有4个正品和2个次品，现每次取出一个作检查（检查完后不放回），直到2个次品都找到为止，则恰好经过4次检查将2个次品全部找到的概率是_______. （必修4）如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点，设向量AC��⃗=λDE ��⃗+μAP ��⃗(λ,μ∈R )，则λ+μ的最小值是________. 10. 已知m ∈A ，且函数f (x )=2x −m √10−x −m +10存在整数零点，则符合题意的一切m 的取值构成的集合是____________.二．（本题满分20分）如图所示，AD 和AA 是⊙C 的两条切线，其中D ,A 为切点.在AA 的延长线上取一点M ，△AMD 的外接圆与⊙C 的另一交点为P ，MD 和⊙C 的另一交点为R ，延长PR 交MA 于T .过A 作AQ ⊥MD 于Q ，连接QP . 证明：（1）△MTR ∼△PTM （2）∠MPQ =2∠AMD .三．（本题满分20分）如图所示，已知单位正方体ABCD−EEEO的棱长AD和BC上分别有动点Q,P.若直线Array PQ和BD交于点A，直线EQ和平面BDE交于点M，BE的中点是S，设AQ=x(0≤x≤1),MA=y.（1）求证：D,M,S三点共线；（2）求y的最小值关于x的解析式.四．（本题满分20分）（必修3）函数f(x)=log2(4+√16−x2).（1）求函数的值域；（2）若在区间[−4,1]上随机取一个数a，求方程f2(x)+af(x)+1=0有实数根的概率.（必修4）已知对于任意的x∈�0,π2�,sin x<x恒成立，利用此结论证明：（1）存在唯一的实数对(c,d)，其中c,d∈�0,π2�，使sin(cos c)= c,cos(sin d)=d成立；（2）在（1）的条件下证明：c<d.五．（本题满分20分）函数sgn(x)=�1, x>00, x=0−1,x<0，f(x)=x3+x−log2(√x2+1−x).（1）求证：函数f(x)是定义在R上的奇函数；（2）对于任意实数a,b(a+b≠0)，求sgn�f(a)+f(b)a3+b3�的值.2012年江苏高中数学竞赛（初赛）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1.当x∈[−3,3]时，函数f(x)=|x3−3x|的最大值为______.2.在△ABC中，已知AC��⃗⋅BC��⃗=12,AC��⃗⋅BA��⃗=−4，则AC=_______.3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率是________.4.已知a为实数，方程x2+(4+i)x+4+ai=0的一个实数根是b（i是虚数单位），则|a+bi|的值为_______.5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线C:x212−y24=1的右焦点为E，一条过原点O且倾斜角为锐角的直线l与双曲线C交于A,B两点.若△EAB的面积为8√3，则直线l的斜率为_______.6.设a为正实数，k=a lga,则k的取值范围是_______.7.在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,BC=3,CD=4,该四面体的体积为_________.8.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:a1+b1=3,a2+b2=7,a3+b3=15,a4+ b4=35,，则a n+b n=______(n∈A∗)9.将27,37,47,48,55,71,75这7个数排成一列，使任意4个数的和为3的倍数，则这样的排法有__________种.10.三角形的周长为31，三边a,b,c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组的个数为___________.二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c，证明：（1）b cos C+c cos B=a;（2）cos A+cos Ba+b=2sin2C2c.12．已知a,b为实数，a>2函数f(x)=�ln x−a x�+b(xe2−ln2+1.（1）求实数a,b；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若实数c,d满足c>d,cd=1，求证：f(c)<f(d).13．如图，半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点.在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.14．设a,b,c,d是正整数，a,b是方程x2−(d−c)x+cd=0的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab的直角三角形.2012年上海市高中数学竞赛（新知杯）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1E 1的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2E 2，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是． 2．已知正整数a 1,a 2,⋯,a 10满足：a ja i>32,1≤i <j ≤10，则a 10的最小可能值是．3．若tan α+tan β+tan γ=176，cot α+cot β+cot γ=−45，cot αcot β+cot βcot γ+cot γcot α=−175，则tan (α+β+γ)= ．4．已知关于x 的方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是．5．如图，△AEE 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知∠AEE =90°，AE =a ,EE =b ,a >b ，则x = ．6．方程2m ⋅3n −3n+1+2m =13的非负整数解(m ,n )= ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是．（用数字作答） 8．数列{a n }定义如下：a 1=1,a 2=2,a n+2=2(n+1)n+2a n+1−nn+2a n,n=1,2,⋯.若a m >2+20112012，则正整数m 的最小值为．二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =x ,BC =1，对角线AC 与BD 的夹角∠BOC =45°，记直线AB 与CD 的距离为ℎ(x )．求ℎ(x )的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数a >1，求函数f (x )=(a+sinx )(4+sinx )1+sinx的最小值．11．（本题满分16分）正实数x ,y ,z 满足9xyz +xy +yz +zx =4；求证：（1）xy +yz +zx ≥43；（2）x +y +z ≥2．12．（本题满分16分）给定整数n (≥3)，记f (n )为集合{1,2,⋯,2n −1}的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1∈A ,2n −1∈A ；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求f (3)的值；（2）求证：f (100)≤108．112012年四川省高中数学预赛一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 1、设集合S ={x |x 2−5x −6<0}，T ={x ||x +2|≤3}，则S ∩T = A 、{x |−5≤x <−1} B 、{x |−5≤x <5} C 、{x│−1≤x ≤1} D 、{x |1≤x <5}2、正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D 所成的角是A 、π6B 、π4C 、π3D 、π23、已知f (x )=x 2−2x +3,l (x )=kx −1，则“|k |≤2”是“f (x )≥l (x )在R 上恒成立”的 A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、设正三角形△1的面积为S 1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S 2，如此下去作一系列的正三角形△3,△4,⋯，其面积相应为S 3,S 4,⋯，设S 1=1,T n =S 1+S 2+⋯+S n ，则lim n→+∞T n =A 、65B 、43C 、32D 、25、设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，顶点为O ,M 是抛物线上的动点，则|MM ||MM |的最大值为A 、√33 B 、2√33 C 、43D 、√3 6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（） A 、rB 、2rC 、√12r 3D 、√15r 3二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则ED ��⃗⋅DE��⃗的值是． 8、(x 2+x −1x )6的展开式中的常数项是．（用具体数字作答） 9、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n =(a n +1)24，则S 20的值为．10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为．11、已知锐角A ,B 满足tan(A +B )=2tan A ，则tan B 的最大值是．12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde��，满足条件“a <b >c <d >e ”的概率是．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）A13、设函数f(x)=sin x+√3cos x+1，（I）求函数f(x)在�0,π2�上的最大值与最小值；（II）若实数a,b,c使得af(x)+bf(x−c)=1对任意x∈R恒成立，求bcosc a的值．14、已知a,b,c∈R+，满足abc(a+b+c)=1，（I）求S=(a+c)(b+c)的最小值；（II）当S取最小值时，求c的最大值．15、直线y=kx+1与双曲线x2−y2=1的左支交于A、B两点，直线l经过点(−2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．16、设函数f n(x)=x n(1−x)2在�12,1�上的最大值为a n(n=1,2,3,⋯)．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：对任何正整数n(n≥2)，都有a n≤1(n+2)2成立；（III）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n<716成立．2012年陕西省高中数学预赛第一试一、填空题（每小题8分，共80分）1.已知集合M={1,3,5,7,9}，若非空集合A满足:A中各元素都加4后构成M的一个子集，A中各元素都减4后也构成M的一个子集，则A=__________.2.已知两条直线l1:y=2,l2:y=4，设函数y=3x的图像与l1,l2分别交于点A,B，函数y=5x的图像与l1,l2分别交于点C,D，则直线AB与CD的交点坐标是_____.3.对于正整数n，若n=p∗q(p≥q,p、q∈A+)，当p−q最小时，我们称p∗q为n的“最佳分解”，并规定f(n)=q p.例如，12的分解有12×1,6×2,4×3，其中4×3为12的最佳分解，则f(12)=34，关于f(n)，有下列四个判断：①f(4)=0;②f(7)=17;③f(24)=38;④f(2012)=4503其中，所有正确判断的序号是________.��⃗=a+b,AC��⃗=a−b，若a= 4.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°,且AB(cosθ,sinθ)(θ∈R)，则△ABC的面积等于______.5.在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足6.如图，Rt△ABC的三个顶点都在给定的抛物线x2=2py(p>0)上，且斜边AB∥x轴，则斜边上的高|CD|=_____.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖（参与游戏活动的都有奖），且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、−140为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元.8.设p,q是两个不同的质数，则p q−1+q p−1被p⋅q除的余数是________.9.定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且对任意的x∈R，都有f′(x)<12.则不等式f(log2x)>log2x+12的解集为____.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为_________m.第二试一．（本题满分20分）在△ABC 中，已知AB =2,AC =1,且cos 2A +2sin 2B+C 2=1.（1）求角A 的大小和边BC 的长；（2）若点P 在△ABC 内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d .设点P 到边BC ,CA 的距离分别为x ,y ，试用x ,y 表示d ，并求d 的取值范围. 二．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，以点C (t ,2t )为圆心的圆经过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于点A ,B（不同于原点O ）.（1）求证：△AOB 的面积S 为定值；（2）设直线l :y =−2x +4与圆C 相交于不同的两点M ,A ，且|OM |=|OA |，求圆C 的标准方程.三．（本题满分20分）如图，锐角△ABC 内接于圆O ，过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB ,AC 于点E ,E .设圆O 在B ,C 两点处的切线相交于点P ，求证：直线AP 平分线段EE . 四．（本题满分30分）已知数列{a n }满足a 1=12,a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈A ∗)..（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =1+1a n (n ∈A ∗)，且对任意正整数n (n ≥2)，不等式∑1n+log3b kn k=1>m 24恒成立，求整数m 的最大值.五．（本题满分30分）对于任意的正整数n ，证明：13−2+132+22+133−23+⋯+13n +(−2)n<76.2012年河北省高中数学预赛一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．已知θ∈�5π4,3π2�，则√1−sin2θ−√1+sin2θ可化简为（）A ．2sin θ B. −2sin θ C. −2cos θ D. 2cos θ 2．如果复数(a +2i )(1+i )的模为4，则实数a 的值为（）A. 2B. 2√±2 D. ±2√3．设A ,B 为两个互不相同的集合，命题p :x ∈A ∩B ，命题q :x ∈A 或x ∈B ，则p 是q 的（） A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件 4．过椭圆x 22+y 2=1的右焦点E 2作倾斜角为45°弦AB ，则|AB |为（）A.2√63 B. 4√63 C. 4√23 D. 4√335．函数f (x )=�1−5−xx ≥05x−1 x <0，则该函数为（） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（）A. 4+5π2B. 4+3π2C. 4+π2D. 4+π7. 某程序框图如右图所示，现将输出(x ,y )值依次记为：(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x n ,y n ),⋯若程序运行中输出的一个数组是 (x ,−10),则数组中的x =（） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{(x ,y )||x |≤1,|y |≤1}上恒有ax −2by ≤2，则动点P (a ,b )所形成平面区域的面积为（）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数f (x )=sin �2x −π6�−m 在�0,π2�上有两个零点，则m的取值范围为（）A. �12,1� B �12,1� C. �12,1) D. �12,1]10.已知a∈[−1,1]，则x2+(a−4)x+4−2a>0的解为（）A. x>3或x<2B. x>2或x<1C. x>3或x<1D. 1<x<3二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数f(x)=2cin x2−√3cccx的最小正周期为__________.12. 已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a1+a8+a15=___________.13. 向量a⃗=(1,cinθ),b�⃗=�cccθ,√3�,θ∈R，则�a⃗−b�⃗�的取值范围为 .14. 直三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC是正三角形，P,E分别为BB1,CC1上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且PD⊥PE.则直线AP,PE的夹角为________.15．设x,y为实数，则max5x2+4y2=10x(x2+y2)=___________.16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种.（用组合数符号表示）17. 设x,y,z为整数，且x+y+z=3,x3+y3+z3=3，则x2+y2+z2=______.三、解答题（本大题共3 小题，每小题17 分，共计51 分）18. 设a≤2，求y=(x−2)|x|在[a,2]上的最大值和最小值.19. 给定两个数列{x n},{y n}满足x0=y0=1，x n=x n−12+x n−1(n≥1)，y n=y n−121+2y n−1(n≥1).证明对于任意的自然数n，都存在自然数j n，使得y n=x j n.20. 已知椭圆x252+y242=1，过其左焦点E1作一条直线交椭圆于A,B两点，D(a,0)为E1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,A.若以MA为直径的圆恰好过E1，求a的值.四、附加题（本大题共2 小题，每小题25 分，共计50 分）21.在锐角三角形ABC中，∠A=π3，设在其内部同时满足PA≤PB和PA≤PC的点P的全体形成的区域E的面积为三角形ABC面积的13.证明三角形ABC为等边三角形.22.设a,b,c∈R+，且√a+√b+√c=3.求证:a+b2+a+b+b+c2+b+c+c+a2+c+a≥32，并指明等号成立的条件.一．填空题（本题满分56分，每小题7分） 1．空间四点A ,B ,C ,D 两两间的距离均为1，点P 与点Q 分别在线段AB 与CD 上运动，则点P 与点Q 间的最小距离为______；2．向量OA ��⃗=(1,0)，OB ��⃗=(1,1)，O 为坐标原点，动点P (x ,y )满足�0≤OP ��⃗⋅OA ��⃗≤10≤OP ��⃗⋅OB ��⃗≤2，则点Q (x +y ,y )构成的图形的面积为_________；3．设有非空集合A ⊆{1,2,3,4,5,6,7}，且当a ∈A 时，必有8−a ∈A ，这样的集合A 的个数是________；4．设f (x )=�x −|x |, x <0f (x −1),x >0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，若f (x )=kx +k (k >0)有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是____________；5． 11位数的手机号码，前七位数字时1390931，若余下的4个数字只能是1、3、5且都至少出现1次，这样的手机号码有____________个；6．若tan x 1⋅tan x 2⋅⋯⋅tan x n =1，则sin x 1⋅sin x 2⋅⋯⋅sin x 2012的最大值是_________； 7．设函数f :R →R ，满足f (0)=1且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )−f (y )−x +2，则f (x )=__________；8．实数x ,y ,z 满足x 2+y 2+z 2=1，则xy +yz 的最大值为____________.二．解答题（本题满分64分，第9、10题每题14分，第11、12题每题18分） 9．已知数列{a n }满足a n+1+a n −1a n+1−a n +1=n (n ∈A ∗)，且a 2=6.（1）求数列{a n }的通项公式;（2）设b n =a nn+c (n ∈A ∗)，c 为非零常数，若数列{b n }是等差数列，记c n =b n 2n,S n =c 1+c 2+⋯+c n ，求S n .10． M 是抛物线y 2=2px (p >0)的准线上任意点，过M 点作抛物线的切线，切点分别为A ,B （A 在x 轴上方）.（1）证明：直线AB 过定点；（2）设AB 的中点为P ，求|MP |的最小值.11．设a ,b ,c 为正实数，且a +b +c =1，求证：(a 2+b 2+c 2)(ab+c +ba+c+ca+b)≥12.12．某校数学兴趣小组有m 位同学组成，学校专门安排n 为老师作为指导教师.在该小组的一次活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题.试求m ,n 的值.一、填空题（每题8分，共64分）1. 设函数f (x )=arcsin (cos (x ))，则f (f (f (x )))的最小正周期为___________.2. 设实数x ,y 满足x 2−8x +y 2−6y +24=0，则x −2y 的最大值为__________.3. cosπ11−cos2π11+cos3π11−cos4π11+cos5π11=_________（用数字作答）. 4. 设两点C ，D 在以线段AB 为直径的半圆弧上，线段AC 和线段BD 相交于点E ，AB =10,AC =8,BD =5√2则△ABE的面积为___________.5. 设两个椭圆x 2t +2t−2+y 2t +t+2=1和x 22t −3t−5+y 2t +t−7=1有公共的焦点，则t =_________. 6. 如图，设正四棱锥P -ABCD 的体积为1，E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，CD ，PB ，PC 的中点，则多面体BEG -CFH 的体积为__________.7. 不超过2012且与210的最大公约数是1 的正整数共有__________个.8. 设随机变量X ~A (1,2),Y ~A (3,4).若P (X <0)=P (Y >a )，则a =___________. 二、解答题（第9-10题每题25分，第11-12题每题18分，共86分） 9. 已知△ABC 的周长为1，并且cin 2A +cin 2B =4cinAcinB . （1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求△ABC 面积的最大值. 10. 设无穷数列{a n }满足a 1=1,a n =a n−1+1a n−1(n ≥2).证明：（1）当n ≥2时，a n ≥√2n ；（2）不存在实数C 使得a n <√2n +c 对所有n 都成立. 11. 设n =2m ,m 是正整数。

2012年全国高中数学联赛试题及解答

通渭一中刘黎明
- 12 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 13 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 14 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 15 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 16 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 17 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 18 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-1-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中数学联赛
通渭一中刘黎明
-3-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-4-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-5-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-6-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-7-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-8-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
-9-
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 10 -
2012 年全国高中数学联赛
通渭一中刘黎明
- 11 -
2012 年全国高中数学联赛

2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

）的图像上任意一点，过点()f x R 0x ≥()f x x 2
=[,2]x a a ∈+．满足
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
，使得的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
，在平面直角坐标系
在半圆
3
.
【答案】4
切值是．
()f x R 0x ≥()f x x 2
=[,2]x a a ∈+【答案】[11
π
从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
{}
a n
时，求所有满足条件的三项组成的数列
a
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
１１．（本小题满分２０分）
（１）求证：A (2)4x y -+=24x ≤≤的轨迹．
【解析】, (定值
1212证法一:令消去得1
,12
,k b mx b y +=+=b 12 1.
k y mx +-=由于
3四、（本题满分５０分）
222222222
111
2222。