现代控制理论第三章
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2.6 可控性与可观性
26
2.6.1 概述
经典控
制论中：
系统用传递函数描述。
只注重输入-输出间的直接关系！
低阶系统，输出可控制亦可测量。
可控性与可观性不是问题。
现代控制论中：
系统描述：状态方程＋输出方程
由于状态⇐输入，输出⇐状态
所以要控制输出，首先要控制状态
并且使输出随状态发生变化输
（1）输入⇔状态间的问题：
输入是否使状态发生希望的变化？
⇓
可控性问题
要使状态发生某种变化，输入？
要使状态发生某种变化，输入＝？
⇓
最优控制问题
（2）输出⇔状态间的问题：
状态可否从输出得到？
⇓
可观测性问题
如何从输出得到？
⇓
最优估计问题
&可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！
&如何处理可控性？可观测性？
可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力
可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力
问题：
状态可控？系统可控？
状态不可控？系统不可控？
状态可观测系统可测观
状态可观测？系统可测观？
状态不可观测？系统不可观测？
个系统的可控性和可观测性
⎡分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/⎥
⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢−−=u dt d []x 11=⎦
⎣⎣y x x 101/⎥⎤
⎢⎡+⎥
⎦⎤⎢⎡−−=u dt d x x 001/⎤
⎡+⎤⎡−=u dt d []x 01110=⎦
⎣⎣y x 11110=⎥⎦⎢⎣⎥
⎦⎢⎣−x x 0111/⎦
⎤
⎢⎡+⎤⎡−=u dt d []y []x
0110=⎥⎣⎥
⎦⎢⎣−y
⎡x x 111001/⎥⎤
⎢⎡+⎥
⎦⎤⎢−−=u dt d []x
11=⎦
⎣⎣y x ∫
−1
u
y
12
x ∫1
−
⎡x x 111001/⎥⎤
⎢⎡+⎥
⎦⎤⎢−−=u dt d []x
01=⎦
⎣⎣y 1
x ∫−y
u
12
x ∫1
−
⎡x x 101001/⎥⎤
⎢⎡+⎥
⎦⎤⎢−−=u dt d []x
11=⎦
⎣⎣y x ∫−y
1
1
u
2
x ∫1
−
x x 111/⎥⎤
⎢⎡+⎥
⎦⎤⎢⎡−=u dt d []x
01010=⎦
⎣⎣−y u
∫∫y
1
x 2
x 1
−1
−
2.6.2可控性定义及其判据2.6.2 可控性定义及其判据
2.6.2.1可控性定义：可控性定义
线性时变连续系统的状态方程为：
)()()()()(t t t t t u B x A x
+=&f
T t ∈状态可控性：
对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻的一个存在一个时刻f T t ∈0个非零初始状态，存在个时刻，00)(x t x =[]
10,),(t t t t u ∈f T t ∈1和一个无约束的容许控制01t t >使状态由00)(x t x =转移到1t 时的0)(1=t x x t 是可控的。
则称此0在0
系统可控性：
对于线性时变连续系统，如果所有状态在对于线性时变续系统如果所有状态在)(0f T t ∈则称系统在都是可控的，0
t 0t 时刻是完全可控的，也称系统在t 0是可控的。系统不可控
系统不可控：对于线性时变连续系统取定初始时刻对于线性时变连续系统，取定初始时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的则称系统在时刻是不完全可控的0t )(0f T t ∈0t 是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称系统不可控。
0t
状态运动的一个定性特性状态运动的个定性特性。
控制的这表明控制量的每个分量应在求控制量u 是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在系统系统的可控性与初始时刻的选取无关系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
&可控性只与系统本身结构有关，与输入量无关！
（）定义中规定由非零状态转移到零状态如4）定义中规定由非零状态转移到零状态。如果将其变更为由零状态转移到非零状态，则称这对于线性定常系种情况为状态可达或系统可达。对于线性定常系统，可控性与可达性等价。
(5)对线性定常连续系统：
B A 若系统在)()()(t t t Bu Ax x +=&0)0(x x =0
≥t ),0[0∞∈t 则系统在0t 上完全可控。
时刻是完全可控的，),0[0∞∈t
26222.6.2.2
可控性判据&可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制矩阵有关！
（1）Gram 矩阵判据（判别原理？）
线性时变连续系统在0t 时刻可控的充要条件为：
01t t >使得Gram 矩阵
存在某个有限时刻T
T t t 1=为非奇异的或是正定的。τττττd t B B t t t W t ct ),()()(),(),(11010ΦΦ∫为非奇或是定