现代控制理论第三章
现代控制理论3
3
x3
b31
b32
b3 p
u3
xn
n xn bn1 bn2 bnp u p
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
➢约当部分，展开后可得
x&1 1x1 x2 b11u1 b12u2 L b1pup
x&2 1x2 b21u1 b22u2 L b2 pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x&1 1 1
x&2
1
x1 b11 b12 L
x2
b21
b22
L
x&3
x&4
1 1
x3 x4
b31 b41
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)一定存在。
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
令k=n ，
n1
x(n) Gn x(0) Gdetb
det Sc 0
Ab b1
b2
1b1 2b2
2b1b2 1b1b2
1 2
b1 0, b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1 b2
det Sc det b
Ab b1 b2
1b1 b2 1b2
1b1b2 (1b1 b2 )b2 b22
(2) 线性定常连续系统可控性判据
现代控制理论第三章课程电子教案
现代控制理论强调数学建模、系统分析和优化，注重实际应用和工程实现，具有广泛的应用领域和重要的实际意 义。
现代控制理论的重要性
推动自动化技术发展
促进科技创新
现代控制理论是自动化技术的重要基 础，为工业自动化、智能制造等领域 提供了重要的理论支持和技术手段。
现代控制理论的发展和应用，推动了 科技创新和产业升级，为经济发展和 社会进步做出了重要贡献。
考试
期末闭卷考试，涵盖了课程的所有重点内容，包括系统建模、稳定性分析、状态反馈和 最优控制等。
学习效果评估
要点一
作业成绩
根据学生提交的作业，评估学生对控制理论知识的掌握程 度和应用能力。
要点二
考试成绩
根据期末考试成绩，评估学生对整个课程内容的掌握程度 。
教学改进建议
增加实践环节
为了提高学生的实际操作能力和 问题解决能力，建议增加实验或 实践环节，让学生亲自动手进行
课程目标
1
掌握现代控制理论的基本概念、原理和方法。
2
学会分析和设计控制系统，提高解决实际问题的 能力。
3
培养学生对控制理论的兴趣和热情，为后续学习 和工作打下基础。
02 现代控制理论概述
定义与特点
定义
现代控制理论是一门研究系统状态和行为变化规律的科学，通过数学模型和计算机仿真技术实现系统的分析和优 化。
状态转移矩阵的求解
02
通过系统的状态方程，求解状态转移矩阵，从而得到系统状态
的转移关系。
系统的稳定性分析
03
通过分析状态转移矩阵的性质，判断系统的稳定性，为后续控
制设计提供依据。
线性系统的状态反馈与极点配置
状态反馈控制器的设计
根据系统状态和期望的输出，设计状态反馈控制器，使得系统状态 能够跟踪期望的轨迹统的动态特性，实现系统性能的 优化。
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1110,0000000011111B A λλλλ 【解】：(1)[]2,1011==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB BU c c ，所以系统完全能控。
(2)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==7111111010012B A ABBU c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。
（3）A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。
（4）A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。
可以求一下能控判别阵。
[]2,111321031211312113121121132=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankU B A BA AB BU λλλλλλλλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=xy u x x 011101020011100030013 (2) []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x y u x x 0011006116100010【解】： （1）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011101C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000D []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=111300002B CA CAB CB D前两列已经使[]22==m B CA CAB CB D rank ，所以系统输出能控。
现代控制理论第三章PPT
( A
c1
,bc1 ) 的能控性，其中
1 0 0 0 A c1 0 0 2 5
解：
0 0 1 0 0 1 1 10
0 0 b c1 0 1
0 1 0 0 0 0 1 10 A3 c1b c1 0 1 10 101 1 10 101 1025
若取
u( t ) B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )
tf t0
x( t f ) Φ( t f ,t0 )[ x( t0 )
Φ( t0 ,t )B( t )B( t )T ΦT ( t0 ,t )Wc1( t0 ,t f )x( t0 )dt ]
( k 1,2, , n 1 )
假设 F( t ) Φ( t0 ,t )B( t ) 对上式关于时间t求一阶、二阶、直至n-1阶导数 ，可得
(t ) Φ (t , t )B(t ) Φ(t , t )B (t ) F 0 0
(t ) Φ(t0 , t )A(t )B(t ) Φ(t0 , t )B
实现最优控制和最优估值及其它系统综合
与校正的必要条件。
4.1 系统的能控性
[定义]设系统的状态方程为
(t ) A(t )x(t ) B(t )u(t ) x
对于任意非零初始状态 x(t0 ) ，如果存在容许控制u(t ) ，在有限时区
t [t0 , t f ] 将其转移到状态空间原点，即 x(t f ) 0 ，则称系统在
(t )] Φ(t0 , t )[A(t )B(t ) B
Φ(t0 , t )B1 (t )
现代控制理论ch3资料
x1能控，x2不能控 状态不完全能控
不能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
通过以上分析，可以得出以下几点结论： 1）系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵 A和控制矩阵b。 系统矩阵A是由系统的结构和内部参数决定的； 控制矩阵b是与控制作用的施加点有关的，因此系 统的能控性完全取决于系统的结构、参数，以及控 制作用的施加点。
3.1 能控性的定义
2. 线性连续时变系统的能控性
x A(t)x B(t)u
能控性的定义，与定常系统的定义相同，但是A(t)、 B(t)是时变矩阵不是而常系数矩阵，其状态矢量x(t) 的转移，与初始时刻t0的选取有关，所以在时变系 统能控性定义中，应强调在t0时刻系统是能控的 。
3.1 能控性的定义
(6)
x2
0
4
0
x2
4
u
x3 0 0 2 x3 0
状态不完全能控，不能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
(7)
x1 x2
1
0
1
1
0
x1
0
0 x2 b2 u
x3
0
0
2
x3
b3
状态完全能控，能控系统
3.2.1 具有Jordan标准型系统能控性判别
1.单输入系统 x Ax bu
为简明起见，列举具有Jordan标准型的二阶系统， 对能控性加以分析。 例 (1)
x
1
0
0 0
2
x
b2
u
;
y c1 c2 x
3.2 线性定常系统的能控性判别
即 系统模拟结构图：
x1不能控，x2能控 状态不完全能控
现代控制理论第三章
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
现代控制理论--第三章 3 能观性
J2
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ ⎥
X
+
BU
，Y
=
CX
J
n
⎥ ⎦
中，和每个约当块 Ji (i = 1,2, , k) 的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列 元素不全为零。
若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需
要对应的C 阵中相应列是线性独立的。
综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能 化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换 一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。
n−1
∑ Y (t)凯－哈定理 b j (t)CA j X (0) j=0
（2）
〔1〕 SO 系统时： 即 C1×n 。
3
第三章 线性系统的结构特性
此时，下列的几个量都是标量： β0 = CX (0), β1 = CAX (0), β n−1 = CAn−1 X (0)
(3) → (2) ：
（3）
λI − A = λI − AT = λI − A = 0
○3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置：
G (s) = C (sI − )A −1 B
( ) ( ) G ( s) = C sI − A −1 B = BT sI − AT −1 CT
=
BT
⎡⎣( sI
) −
A
T
⎤ ⎦
−1
C
T
=
BT
⎡⎣( sI
−
)A
−1 ⎤T ⎦
CT
=
⎡⎣C (sI
−
)A −1
B
⎤T ⎦
现代控制理论3章
3.2.2 状态能观性的判据 已知系统的动态方程
x’(t ) A(t ) x(t )
y C (t ) x(t )
x(0) x0
1、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，C} 状态完全能观测的充要条件是：存在 时刻t1>t0，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
16
例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。
1 x1 1 x1 0 x1 x 2.5 1.5 x 1 u y 1 0 x 2 2 2
解：
1 1 1 0 AB 1 1 2.5 1.5 1 1 rank[ B AB] rank =1 2 系统不能控 1 1 s 1.5 1 1 1 0 s 1 Cadj ( sI A) B s 2.5 1 2.5 g ( s) s 1 sI A ( s 2.5)( s 1) ( s 1) 2.5 s 1.5
0 t1 0
t1
T x0 Wc (t0 , t1 ) x0 [ BT T (t0 , ) x0 ]T BT T (t0 , ) x0 d 0
T x0 Wc
(t0 , t1 ) x0 B (t0 , ) x0 d (t0 , ) x0 0
At k 0 n 1
y (t ) k (t )CAk x(0)
k 0
n 1
y (t ) 0 (t )Cx(0) 1 (t )CAx(0) n 1 (t )CAn 1 x(0) C CA x(0) y (t ) 0 (t ) 1 (t ) ... n 1 (t ) n 1 CA C CA =n rank n 1 CA
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是
现代控制理论第三章答案可修改全文
xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0
现代控制理论(第三章)
3 2 5 4 2 1 1 1 2 2 2 4 4 M B AB A B 1 1 2 2 4 4
rankM rankMMT 2 dim A 3
系统不可控！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
多输出：
C CA dim A n rankN rank n 1 C A
条件满足即可， 不必写出所有的行！
nm n
阶可观测性矩阵
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.4* 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下： (1) 当系统为单输入系统时，式中 列矢量；G为系统矩阵 3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。 (2) 式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。 ； 为标量控制作用．控制阵 为状态矢量 。 为 维
，在有限时间
。在这种情况下，称为状态的能达性。 驱动到 ，而不计较
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将 的轨迹如何。 2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统： 3．离散时间系统
这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
4
1 x
x1
u
2 x
5
x2
6
y
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
3.1 能控性的定义
现代控制理论第三章答案
λ1b11 " λ1b1m " λ1n −1b11 " λ1n −1b11 ⎤
# # #
λr br1 " λr brm " λr n −1br1
# # # n −1 λn bn1 " λn bnm " λn bn1
⎥ ⎥ " λr n −1brm ⎥ ⎥ # ⎥ " λn n −1bnm ⎥ ⎦ #
采用反证法。反设 B 中的第 r 行元素全为零，则上述 Γ c [ A, B ] 的第 r 行元素也全为零，
素全为零的行。而且，上述 Γ c [ A, B ] 中的任意两行都不成比例。因此，Γ c [ A, B ] 的秩为 n ， 即可得系统是能控的。证明完毕。 则对任意的常数 α 和 β ， 状态 α x1 + β x2 也是能控的。 3.4 若 x1 和 x2 是系统的能控状态， 证明：根据能控性定义，若 x1 和 x2 是能控的，则存在时间 T1 、T2 和在时间段 [0, T1 ] 、[0, T2 ] 上定义的控制律 u1 、 u2 ，使得分别在控制律 u1 、 u2 作用下，从 x1 、 x2 出发的状态满足
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得
现 代 控 制 理 论第3章
u
y c1 c2 X
系统方块图如图所示。
现代控制理论基础
解：用定理一：
AB
1
0
0 0 0
2
b2
b22
M B
AB
0
b2
0
b22
rank M=1, 系统不完全能控。
用定理二
Aˆ矩阵为对角线规范形，相应的
AB
0 b2
rank M=2,系统完全能控。
b2
b2
1
用定理三
矩阵 Aˆ 已为若当标准形,其最后一行对应的
素不全等于0，故系统完全能控。
阵中的行，元
事实上,系统状态x1 ,x2为串联型结构,无孤立部分,故系统完 全能控。
现代控制理论基础
例3－3：
X
1
0
1
1
X
若系统是能控的，则应j在0 k=N时
从上式解得u(0),u(1),…,u(N-1) ，使X(k)在第N个采样时刻 为0，即X(N)=0。从而有：
N 1
G N j 1Hu(j ) G N X(0)
j 0
G N 1Hu(0) G N 2Hu(1) GHu(N 2) Hu(N 1) G N X(0)
X AX(t ) Bu(t ) f(t )
（3）若状态方程为：
f(t)为不依赖于控制u(t)的扰动,则其解为：
X(t )
(t
t0 )X(t0 )
t (t
t0
)[Bu( ) f( )]d
现代控制理论基础 3-2 线性定常系统能控性判据
现代控制理论3
λ1 λ3
x1 b11 x b 2 21 x3 + b31 ⋱ ⋮ ⋯ λ n x n bn1
⋯ b1 p u1 b22 ⋯ b2 p u 2 b32 ⋯ b3 p u 3 ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ bn 2 ⋯ bnp u p b12
0 0 A = P −1 AP = ⋮ 0 −a0 1 0 ⋮ 0 −a1 0 1 ⋮ 0 −a2 0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 1 ⋯ − an −1 ⋯ ⋯
0 0 −1 b = P b = ⋮ 0 1
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
ɺ x = Ax + Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc = B AB ⋯ A B
满秩，即 示例
n−1
rankSc = n
(3) 可控标准形 状态方程具有可控标准形的系统一定可控。 结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
要求约当块最后一行对应的输入矩阵 中的行不出现全零行 要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 约当块最后一行对应的输入矩阵 中的行不出现全零行， 系统约当部分的状态可控。 系统约当部分的状态可控。
(b)
ɺ x1 λ1 1 x1 b11 x x b ɺ2 λ1 2 21 ɺ λ1 x3 = x3 + b31 ɺ b λ1 x4 x4 41 x5 λ2 x5 b51 ɺ b12 ⋯ b1 p u1 b22 ⋯ b2 p u2 b32 ⋯ b3 p u3 b42 ⋯ b4 p ⋮ b52 ⋯ b5 p u p
现代控制理论-第三章 传递矩阵的实现问题
6 3 5 4 1 1
0 1
2020/7/30
7
能观标准型如下：
0 0 0 0 6 0
自
动 控 制 理 论
0m
Ao
I
m
0m
0m 0m Im
0 I m 1Im 2 I m
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 6
11 0
0 11
6
0
6 2
0 0 0 1 0 6
末页 结束
C(sI
A)1 B
W (s)
D
s
1
s 1
2s 1
s s
s
1
1 1
1
0 1 2
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1
0
1 s 1 12 2s 1
2 s 1
1 s 1
2
二、能控标准型实现和能观标准型实现
自 先把严格真有理分式的传递函数写成如下形式：
动 控 制 理 论
W (s)
sn1 n 1
sn n1sn1
1s 0 1s 0
这里，i (i 0,1, , n 1)
该传递函数阵的特 征多项式系数
i (i 0,1, , n 1)
m×r维常数阵
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则其能控标准型实现为：
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末页
结束
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自
0r
动
控 制 理 论
0r
Ac
0r
0 I r
Ir 0r
0m 0m
0 I m 1Im 2 I m
0m 0m 0m Im n1Im
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现代控制理论第3章能观测性及其判据讲义资料
A
对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）
非奇异变换不改变系统的能观测性
定理三：线性定常连续系统，若A 的特征值互异，经非奇异变换后为
1
x
2
x Bu
n
y Cx
系统能观测的充分必要条件是 C 阵中不包含全为零的列
定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征 值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：
设系统能观测,但 W (t0 , t1 ) 是奇异的,即存在非零初态,使
W(t0,t1)x0 0
x0TW(t0,t1)x00
xTt1 0 t0
T (t,t0 )C T (t)C (t)(t,t0 )d tx 0 0
t1 yT(t)y(t)dt 0 t0
y(t) 0
2：线性定常系统 定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
观测的，简称不能观测。
定x 由(t义)于 ：( 设t nt0 维)x 系(t0 ) 统 的tt0 动(t态 方)B 程(为) u d u (xty) C A((tt))xx11s x1(B D 0)((ttx)1)uu
x2 (0) 1
x2
y(t)
s
2
若可对见状系态统空的间状中态的x(t任)的一能状观态测x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入 u性(t与0,tx1)(和t0)输的出能y观(t测0,t1性)的是信等息价足的以确定x(该t0)系，统则是称不系能统观在测t0时的刻是完全能观测的。
1 0 0 4 1 10
ranckQ 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0 x(0)G1Hu(0)0 2
1 2 1 2 x1(0)
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2.6 可控性与可观性262.6.1 概述经典控制论中：系统用传递函数描述。
只注重输入-输出间的直接关系！低阶系统，输出可控制亦可测量。
可控性与可观性不是问题。
现代控制论中：系统描述：状态方程＋输出方程由于状态⇐输入，输出⇐状态所以要控制输出，首先要控制状态并且使输出随状态发生变化输（1）输入⇔状态间的问题：输入是否使状态发生希望的变化？⇓可控性问题要使状态发生某种变化，输入？要使状态发生某种变化，输入＝？⇓最优控制问题（2）输出⇔状态间的问题：状态可否从输出得到？⇓可观测性问题如何从输出得到？⇓最优估计问题&可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！&如何处理可控性？可观测性？可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力问题：状态可控？系统可控？状态不可控？系统不可控？状态可观测系统可测观状态可观测？系统可测观？状态不可观测？系统不可观测？个系统的可控性和可观测性⎡分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢−−=u dt d []x 11=⎦⎣⎣y x x 101/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢⎡−−=u dt d x x 001/⎤⎡+⎤⎡−=u dt d []x 01110=⎦⎣⎣y x 11110=⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣−x x 0111/⎦⎤⎢⎡+⎤⎡−=u dt d []y []x0110=⎥⎣⎥⎦⎢⎣−y⎡x x 111001/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢−−=u dt d []x11=⎦⎣⎣y x ∫−1uy12x ∫1−⎡x x 111001/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢−−=u dt d []x01=⎦⎣⎣y 1x ∫−yu12x ∫1−⎡x x 101001/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢−−=u dt d []x11=⎦⎣⎣y x ∫−y11u2x ∫1−x x 111/⎥⎤⎢⎡+⎥⎦⎤⎢⎡−=u dt d []x01010=⎦⎣⎣−y u∫∫y1x 2x 1−1−2.6.2可控性定义及其判据2.6.2 可控性定义及其判据2.6.2.1可控性定义：可控性定义线性时变连续系统的状态方程为：)()()()()(t t t t t u B x A x+=&fT t ∈状态可控性：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻的一个存在一个时刻f T t ∈0个非零初始状态，存在个时刻，00)(x t x =[]10,),(t t t t u ∈f T t ∈1和一个无约束的容许控制01t t >使状态由00)(x t x =转移到1t 时的0)(1=t x x t 是可控的。
则称此0在0系统可控性：对于线性时变连续系统，如果所有状态在对于线性时变续系统如果所有状态在)(0f T t ∈则称系统在都是可控的，0t 0t 时刻是完全可控的，也称系统在t 0是可控的。
系统不可控系统不可控：对于线性时变连续系统取定初始时刻对于线性时变连续系统，取定初始时刻如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻是不可控的则称系统在时刻是不完全可控的0t )(0f T t ∈0t 是不可控的，则称系统在时刻是不完全可控的，也称系统不可控。
0t状态运动的一个定性特性状态运动的个定性特性。
控制的这表明控制量的每个分量应在求控制量u 是容许控制的，这表明控制量的每个分量应在系统系统的可控性与初始时刻的选取无关系统，系统的可控性与初始时刻的选取无关。
&可控性只与系统本身结构有关，与输入量无关！（）定义中规定由非零状态转移到零状态如4）定义中规定由非零状态转移到零状态。
如果将其变更为由零状态转移到非零状态，则称这对于线性定常系种情况为状态可达或系统可达。
对于线性定常系统，可控性与可达性等价。
(5)对线性定常连续系统：B A 若系统在)()()(t t t Bu Ax x +=&0)0(x x =0≥t ),0[0∞∈t 则系统在0t 上完全可控。
时刻是完全可控的，),0[0∞∈t26222.6.2.2可控性判据&可控性仅与状态方程中的系统矩阵和控制矩阵有关！（1）Gram 矩阵判据（判别原理？）线性时变连续系统在0t 时刻可控的充要条件为：01t t >使得Gram 矩阵存在某个有限时刻TT t t 1=为非奇异的或是正定的。
τττττd t B B t t t W t ct ),()()(),(),(11010ΦΦ∫为非奇或是定G 线性定常连续系统Gram 矩阵判据：线性定常连续系统G 完全可控的充要条件为：01>t 使如下定义的Gram 矩阵存在时刻t T τd e B B e t W t A T t At c −−∫=10)0,(1为非奇异的或是正定的。
（2）秩判据假设线性时变连续系统的A(t)和B(t)的每个元素分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记)()(1t B t B =n i t B t B t A t B i i i ,...3,2),()()()(11=+−=−−&令))(...)()(()(21t B t B t B t M n t =使得01t t >如果存在某个时刻n t rankM t =)(1则该线性时变系统在t 0时刻完全可控线性定常连续系统秩判据线性定常连续系统完全可控的充要条件为：nB A AB B rank n =−)...(1其中n 为系数矩阵A 的阶次系统的可控性矩阵：)...(1B A AB B M n −=&n 行nm 列，如何确定秩为多少？P B l it h H t （3）PBH 判据（Popov-Belevitch-Hautus 判据）线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值),...2,1(n i s i =nB A I s rank i =−)(其中n 为系数矩阵A 的阶次（4）约当规范型判据⎡u B x s⎤0&u B x x +⎥⎢=s ⎦⎣0=),...2,1(n i s i 2）当系统矩阵A 的特征值有相同的x x ˆˆˆˆ&u BA +=其中，设有q-l 个相同特征值1s 有l 个相同特征值q s 其余为互异特征值其余为异特征值⎥⎤⎢⎡s s 10111⎥⎥⎥⎢⎢⎢s 01...1q-l⎥⎥⎥⎢⎢⎢qs s 101ˆ⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=qs A 01...l⎥⎥⎥⎢⎢⎢+q qs s 01⎥⎥⎥⎢⎢⎢+q s 0...2⎦⎣n则系统可控的充要条件是：(a )的相同特征值部分ˆˆ) 对应于的相同特征值部分，中与每个约当块最后一行相对应的一行元素不全为零；BA (b)对应于互异特征值部分，中没有元素全为零BˆA ˆ小结（可控性判别要素）的行。
小结（可控性判别要素）：（1）状态化成零；）仅与状态方程有关（2）仅与状态方程有关；（3）不是求出一个u(t 1) ，而是判断其存在否！2.6.2.3 输出可控性及其判据定义：若在有限时间间隔],[10t t 内，存在无约束分段连续(1)则称此系统是输出完全可控函数u(t)，能使任意初始输出y(t 0)转移到任意最终输出y(t1),则称此系统是输出完全可控。
判据：线性定常连续系统的状态方程表达式为：)(t Bu Ax x+=&)()(t t y Du Cx +=系统输出完全可控的充分必要条件是：)...(1D B CA CAB CBM n y −=的秩等输出向量的维数的秩等于输出向量的维数，即=mrankM y2.6.3可观测性定义及其判据2.6.3 可观测性定义及其判据2631可观测性定义2.6.3.1 可观测性定义：设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为设线性时变连续系统的状态方程和输出方程为：x&)()()()()()(t t t t y t t t u D x C u B )x A(+=+=f T t ∈00)(x t x =A(t), B(t), C(t) ,D(t) :nn ×rn ×rm ×nm ×系统可观测性：对于线性时变连续系统如果对取定初始时刻对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻f T t ∈0[]10,t t t ∈f T t ∈1存在一个时刻对于所有系统的输出y 能唯一确定状态向量的初值则称系统在时间区间0x 是完全可观测的[]10,t t 简称系统可观测。
简称系统可观测&可观性反映可否通过y(t)确定x(t)问题。
性通y()定()问题&可观性只与系统本身有关，与输入无关！&可观测＝可测量？系统不可观测：对于线性时变连续系统，如果对取定初始时刻f T t ∈0[]10,t t t ∈f T t ∈1唯一存在一个时刻对于所有系统的输出y 不能唯确定状态向量的初值则称系统在时间区间是不完全可观测的)(0t x i []10,t t 简称系统不可观测。
2632可观测性判据2.6.3.2 可观测性判据（1）Gram 矩阵判据（判别原理？）时刻可观测的充要条件为：线性时变连续系统在0t 01t t >使得Gram 矩阵存在某个有限时刻τττττd t C C t t t W t t TTot ),()()(),(),(000110ΦΦ=∫为非奇异的或是正定的。
其中：),(0t TτΦ为状态转移矩阵。
线性定常连续系统Gram 矩阵判据：完全可观测的充要条件为，线性定常连续系统01>t 使如下定义的Gram 矩阵存在时刻AtTt tA T 1为非奇异的或是正定的。
τd e C e t W o ∫=01)0,(为非奇异的或是正定的（2）秩判据假设线性时变连续系统的A(t)和B(t)的每个元素分别是n-2和n-1次连续可微函数，并记)()(1t C t C =,...3,2),()()()(11=+=−−i t C t A t C t C i i i &令⎥⎤⎢⎡)(1t C t C ⎥⎥⎥⎢⎢⎢=...)()(2t C t N t 使得01t t >时刻完全可观测如果存在某个时刻⎦⎣)(n nt rankN t =)(1则该线性时变系统在t 0时刻完全可观测。
线性定常连续系统秩判据：线性定常连续系统完全可观测的充要条件为线性定常连续系统完全可观测的充要条件为：⎡n CA C rank rankN =⎥⎥⎤⎢⎢=CA n ⎥⎥⎦⎢⎢⎣−1...称为系统的观测矩阵行列其中n 为系统矩阵A 的阶次N 称为系统的可观测矩阵（几行几列？）。
P B l i h H （3）Popov-Belevitch-Hautus 判据线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是对系统矩阵的所有特征值),...2,1(n i s i =n A I s C rank =⎥⎤⎢⎡−i ⎦⎣其中n 为系统矩阵A 的阶次。