苏教版高中数学必修一 3.2.1对数PPT
高中数学对数运算和对数函数3.2对数函数y=log2x的图象和性质课件

上的最值.
解:作函数y=log2x的图象如图:
(1)由图象知 y=log2x 在定义域(0,+∞)上是增函数.
- > ,
由 f(x-1)>f(1),得
- > ,
解得 x>2,∴x 的取值范围是(2,+∞).
(2)∵≤x≤,∴≤2x-1≤4,
∴log2≤log2(2x-1)≤log24,
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错
误的画“×”.
(1)函数y=2log2x是对数函数.( × )
(2)函数 y=2x 的反函数是 y=
.(
× )
(3)对数函数y=log2x在区间(1,+∞)上单调递增.( √ )
(4)若x>1,则y=log2x的函数值都大于零.( √ )
所以2≤x≤4,所以f(x)的定义域为[2,4].
答案:[2,4]
5.已知函数f(x)=log2(x+3)-1.
(1)求函数的定义域;
(2)若f(a)>f(1),求a的取值范围.
解:(1)由题意知x+3>0,即x>-3,
∴函数的定义域为(-3,+∞).
(2)f(a)=log2(a+3)-1,f(1)=log2(1+3)-1=1.
3.2
对数函数y=log2x的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 1.会画函数y=log2x的图象.
2.能应用函数y=log2x的图象和性质解决问题.
3.感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数
高中数学苏教版必修1课件:3.2.1对数(第1课时)对数的概念

③lg 0.01=-2;④ln 10=2.303. 思路点拨:利用 ax=N⇔x=loga N(a>0 且 a≠1)进行互化.
[解] (1)①24=16⇒log216=4.
②3-3=217⇒log3217=-3.
③5a=20⇒log520=a.
④12b=0.45⇒log120.45=b.
(2)①12-4=16. ③10-2=0.01.
思路点拨:利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解.
[解] (1)9x=27,∴(32)x=33,即 32x=33, ∴2x=3,∴x=32. (2)∵ex=e2,∴x=2. (3)5log5(2x-1)=2x-1=25,∴x=13. (4)∵log2(log3(log4 x))=0,∴log3(log4 x)=20=1, ∴log4 x=31=3,∴x=43=64.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)因为(-2)4=16,所以 log(-2)16=4.( ) (2)对数式 log32 与 log23 的意义一样. (3)对数的运算实质是求幂指数. (4)等式 loga1=0 对于任意实数 a 恒成立. (5)lg 10=ln e=1.( )
1
(3)3log3 5+3log3 5;(4)( 2)2(log29-log23).
[解] (1)原式=23÷2log2 3=8÷3=83.
(2)原式=eln 2·eln 5=2×5=10.
(3)∵3log3 5= 5,3log315=15,
∴原式=
5+15=5
5+1 5.
(4)原式=(( 2)2)log29-log23=2log29-log23
3.设 a=log3 7,b=log3 28,则 32a-b=________.
高中数学 2.3.2 对数函数课件(2) 苏教版必修1

情境问题: 情境问题:
对数函数的定义: 对数函数的定义: 函数y= 叫做对数函数. 函数 =logax (a>0,a≠1)叫做对数函数. > , 叫做对数函数 对数函数的定义域为(0, 对数函数的定义域为 ,+∞),值域为 . ,值域为R 对数函数的图象和性质: 对数函数的图象和性质: 对数函数的图象恒过点(1, , 对数函数的图象恒过点 ,0), 0<a<1时 对数函数在(0, 上递减; 当0<a<1时,对数函数在(0,+∞) 上递减; 上递增. 当a>1时,对数函数在 ,+∞)上递增. > 时 对数函数在(0, 上递增 y 如图所示曲线是对数函数y= 的图像, 如图所示曲线是对数函数 =logax的图像, 的图像 已知a值取 值取1.5, , , ,则相应于C 已知 值取 ,e,0.5,0.2,则相应于 1,C2, C3,C4的a的值依次为 的值依次为 . O
数学探究: 数学探究
的图象在同一坐标系中画出, 例2.分别将下列函数与 =log3x的图象在同一坐标系中画出,并说明二者 .分别将下列函数与y= 的图象在同一坐标系中画出 之间的关系. 之间的关系 y (1) y=log3(x-2); = - ; (2) y=log3(x+2); = + ; (3) y=log3x-2; = - ; (4) y=log3x+2. = + O y=log3x y=log3(x-2) = = - x
x O
数学应用: 数学应用:
例3.画出函数 =log2|x|的图象. .画出函数y= |的图象. y
x O
结合函数y= 结合函数 =log2|x|的图象,说出它的有关性质. |的图象,说出它的有关性质. 总可以写作y= | | 注:偶函数y=f(x)总可以写作 =f(|x|) . 偶函数 = 总可以写作 说出函数y= 说出函数 =log2(x-2)2的单调区间. - 的单调区间.
苏教版必修一:第三章 指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 第1课时

3.2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.知识点一对数的概念思考解指数方程:3x= 3.可化为3x=123,所以x=12.那么你会解3x=2吗?★★答案★★不会,因为2难以化为以3为底的指数式,因而需要引入对数概念.梳理对数的概念一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即a b=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作log a N=b,其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.通常将以10为底的对数称为常用对数,以e为底的对数称为自然对数.log10N可简记为lg_N,log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0,且a≠1)等于?★★答案★★设log a1=t,化为指数式a t=1,则不难求得t=0,即log a1=0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0,且a≠1,则a x=N⇔log a N=x.对数恒等式:log a Na=N;log a a x=x(a>0,且a≠1).(2)对数的性质①1的对数为零;②底的对数为1;③零和负数没有对数.类型一 对数的概念例1 在N =log (5-b )(b -2)中,实数b 的取值范围是________. ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b -2>0,5-b >0,5-b ≠1,∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ,所以a 的取值范围为a >0,且a ≠1;由于在指数式中a x =N ,而a x >0,所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )=log x 1-x1+x 的定义域.解 要使函数式有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x ≠1,1-x 1+x >0,解得0<x <1.∴f (x )=log x 1-x1+x 的定义域为(0,1).类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值. (1)log 2(log 5x )=0;(2)log 3(lg x )=1. 解 (1)∵log 2(log 5x )=0, ∴log 5x =20=1,∴x =51=5.(2)∵log 3(lg x )=1,∴lg x =31=3,∴x =103=1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.log a N =0⇒N =1;log a N =1⇒N =a 使用频繁,应在理解的基础上牢记.跟踪训练2 若log 2(log 3x )=log 3(log 4y )=log 4(log 2z )=0,则x +y +z 的值为________. ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )=0,∴log 3x =1. ∴x =3.同理y =4,z =2.∴x +y +z =9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式.(1)54=625;(2)2-6=164;(3)3a =27;(4)⎝⎛⎭⎫13m =5.73. 解 (1)log 5625=4.(2)log 2164=-6.(3)log 327=a .(4)13log 5.73=m .反思与感悟 指数式化为对数式,关键是弄清指数式各部位的去向:跟踪训练3 (1)将3-2=19,⎝⎛⎭⎫126=164化为对数式.(2)解方程:⎝⎛⎭⎫13m=5.解 (1)3-2=19可化为log 319=-2;⎝⎛⎭⎫126=164可化为12log 164=6.(2)m =13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值.(1)log 64x =-23;(2)log x 8=6;(3)lg100=x ;(4)-lne 2=x ;(5)21)log 13+22=x .解 (1)x =2364-=233(4)-=4-2=116.(2)因为x 6=8,所以x =166()x =168=136(2)=122= 2.(3)因为10x =100=102,所以x =2. (4)由-lne 2=x ,得-x =lne 2,即e -x =e 2. 所以x =-2. (5)因为21)log -)13+22=x ,所以(2-1)x =13+22=1(2+1)2=12+1=2-1, 所以x =1.反思与感悟 要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练4 计算:(1)log 927;(2)43log 81;(3)345log 625.解 (1)设x =log 927,则9x =27,32x =33,∴x =32.(2)设x =43log 81,则⎝⎛⎭⎫43x =81,43x=34,∴x =16.(3)令x =345log 625,则⎝⎛⎭⎫354x=625,435x =54,∴x =3.命题角度3 对数恒等式log a Na=N 的应用例5 (1)求=2中x 的值; (2)求的值(a,b ,c ∈(0,+∞)且不等于1,N >0). 解 (1)∵=33·=27x =2,∴x =227. (2)===N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同.(2)当N >0时才成立,例如y =x 与y =log a xa 并非相等的函数.跟踪训练5 设5log (21)25x -=9,则x =________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -=()5log (21)25x -=5log (21)2(5)x -=(2x -1)2=9.∴2x -1=±3,又∵2x -1>0,∴2x -1=3. ∴x =2.1.log b N =a (b >0,b ≠1,N >0)对应的指数式是________. ★★答案★★ b a =N2.若log a x =1,则x =________. ★★答案★★ a3.下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________. ①e 0=1与ln1=0; ②138-=12与log 812=-13; ③log 39=2与129=3; ④log 77=1与71=7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4.已知log x 16=2,则x =________. ★★答案★★ 45.设10lg x =100,则x 的值等于________. ★★答案★★ 1001.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即a b =N ⇔log a N =b (a >0,且a ≠1,N >0),据此可得两个常用恒等式:(1)log a a b =b ;(2)log a Na=N .2.在关系式a x =N 中,已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算;而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算.课时作业一、填空题 1.有下列说法: ①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的序号为________. ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确,②不正确,只有a >0,且a ≠1时,a x =N 才能化为对数式. 2.已知log 2(1-2x )=1的解x =________. ★★答案★★ -12解析 ∵log 2(1-2x )=1, ∴2=1-2x , ∴x =-12.3.3log=________.★★答案★★ 8 解析 设3log=t ,则(3)t=81,32t=34,t 2=4,t =8. 4.下列四个等式:①lg(lg10)=0;②lg(lne)=0;③若lg x =10,则x =10;④若ln x =e ,则x =e 2. 其中正确等式的序号是________.★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)=lg1=0;②lg(lne)=lg1=0; ③若lg x =10,则x =1010;④若ln x =e ,则x =e e . 5.(12)-1+log 0.54的值为________.★★答案★★ 0解析 (12)-1+log 0.54=(12)-1+log 124=2-2=0.6.若log a 3=m ,log a 5=n ,则a 2m +n的值是________.★★答案★★ 45解析 由log a 3=m ,得a m =3,由log a 5=n ,得a n =5, ∴a 2m +n =(a m )2·a n =32×5=45.7.已知f (log 2x )=x ,则f (12)=________.★★答案★★2解析 令log 2x =12,则x =212=2,即f (12)=f (log 22)= 2.8.方程3log 2x=14的解是________. ★★答案★★ x =19解析 ∵3log 2x=2-2,∴log 3x =-2,∴x =3-2=19.9.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x 12-=________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]=0,∴log 3(log 2x )=1, ∴log 2x =3,∴23=x . ∴x12-=(23)12-=18=122=24. 10.设a =log 310,b =log 37,则3a -b =________. ★★答案★★107解析 ∵a =log 310,b =log 37,∴3a =10,3b =7,∴3a -b=3a 3b =107. 11.22log 32++32log 93-=________.★★答案★★ 13 解析22log 32++32log 33-=22×2log 32+32log 933=4×3+99=12+1=13. 二、解答题12.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中x 的值. ①log 2x =-25;②log x 3=-13.(2)已知6a =8,试用a 表示下列各式. ①log 68;②log 62;③log 26.解 (1)①因为log 2x =-25,所以x =225-=582.②因为log x 3=-13,所以x 13-=3,所以x =3-3=127.(2)①log 68=a . ②由6a =8,得6a=23,即63a =2,所以log 62=a3.③由63a =2,得23a=6,所以log 26=3a.13.设M ={0,1},N ={lg a,2a ,a,11-a },是否存在a 的值,使M ∩N ={1}? 解 不存在a 的值,使M ∩N ={1}成立.若lg a =1,则a =10,此时11-a =1,从而11-a =lg a =1,与集合元素的互异性矛盾; 若2a =1,则a =0,此时lg a 无意义; 若a =1,此时lg a =0,从而M ∩N ={0,1},与条件不符;若11-a =1,则a =10,从而lg a =1,与集合元素的互异性矛盾. 所以不存在a ,使M ∩N ={1}. 三、探究与拓展14.log(n+1-n)(n+1+n)=________.★★答案★★-1解析由题意,知log(n+1-n)(n+1+n)=log(n+1-n)(n+1-n)-1=-1.15.若集合{x,xy,lg(xy)}={0,|x|,y},求log2(x2+y2)的值.解根据集合中元素的互异性可知,在第一个集合中,x≠0,第二个集合中,y≠0,∴第一个集合中的元素xy≠0,只有lg(xy)=0,可得xy=1.①然后,还有两种可能:x=y,②或xy=y.③由①②联立,解得x=y=1或x=y=-1,若x=y=1,则xy=1,违背集合中元素的互异性;若x=y=-1,则xy=|x|=1,从而两集合中的元素相同.∴x=-1,y=-1,符合集合相等的条件.因此,log2(x2+y2)=log22=1.。
2016年高中数学 3.2.1对数(3)课件 苏教版必修1---对数的换底公式

1 1 1 log2 ·log3 ·log5 = 25 8 9
2 1 2 = + + log330 log430 log530
3 2 1 证明:log 19+log 19+log 19 <2 2 3 5
. .
自我挑战:
例2 设xa=yb=zc,且
1 1 1 + = a b c
.求证:z=xy.
变式: 设正实数a,b,c 满足3a=4b=6c,
2 1 2 (1)求证: - = ; c b a
(2)比较3a,4b,6c的大小.
数学应用:
例3.如图,2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元, 如果我国的 GDP年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过 多少年后,我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标?(lg2≈0.3010, lg1.078≈0.0326,结果保留整数).
换底公式的推导结论:
1 logab· logba=1; logab= log a b
m log a n b = log a b n
m
数学应用:
例1 求log89×log332的值.
变式: (1)求log89×log2732的值;
(2)若log34×log25×log5m=2,则m=
.
自我挑战:
能运用性质解决这些问题吗?如果有困难,困难在哪里?
问题聚焦: 例题:用常用对数表示 log3 5
解:
对数的换 底公式
猜想结论:
lg N (1) loga N lg a
logc N (2) loga N logc a
证明: 如何证明?例题能给我们有什么启示?
数学建构:
对数的换底公式: logcN logaN= log a c 其中a>0,a≠1, c>0,c≠1, N >0
高中数学 3.2.2对数函数(一)配套课件 苏教版必修1

小结 此题主要利用对数函数 y=logax 的定义域为(0,+∞) 求解.
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研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效
跟踪训练 1 求下列函数的定义域: (1)y=log3(1-x);(2)y=log12x;(3)y=log71-13x;
(4)y= log3x.
解 (1)由 1-x>0 得 x<1,
第二十二页,共27页。
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3.2.2(一)
跟踪训练 3 函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)的反函数的图象经过点 (1,4),求 a 的值.
解 根据反函数的概念,知函数 y=loga(x-1)(a>0 且 a≠1)的图象经 过点(4,1), ∴1=loga3,∴a=3.
2
图象的过程,观察图象,并指出这两个函数有哪些相同性质
和不同性质?
答 作图步骤: ①列表, ②描点,③用平滑曲线连接.过程
如下: x
…
1 4
1 2
1
2
4…
y=log2x … -2 -1 0 1 2 …
y= log1 x … 2 1 0 -1 -2 … 2
第十一页,共27页。
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所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log23.4<log28.5; (2)考虑对数函数 y=log0.3x,因为它的底数 0<0.3<1,
所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log0.31.8>log0.32.7;
(3)当 a>1 时,y=logax 在(0,+∞)上是增函数,
于是 loga5.1<loga5.9;
高中数学三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算

3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已学习了指数函数的概念和性质,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与欣赏”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系,理解和掌握对数的性质.2.掌握对数式与指数式的关系,通过实例推导对数的运算性质.3.准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能,运用对数运算性质解决有关问题.4.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质,让学生经历并推理出对数的运算性质,并归纳整理本节所学的知识.5.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习,培养学生严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用.教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.①取4次,还有多长?②取多少次,还有0.125尺?(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍? 抽象出:①(12)4=?(12)x=0.125 x =?②(1+8%)x=2 x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念,教师板书课题〕.思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数〔引出对数的概念,教师板书课题〕.推进新课新知探究提出问题错误!活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨.对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点.对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标.对问题③,定义一种新的运算.对问题④,借助③,类比到一般的情形.讨论结果:①如下图.②在所作的图象上,取点P,测出点P的坐标,移动点P,使其纵坐标分别接近18、20、30,观察这时的横坐标,大约分别为32.72、43.29、84.04,这就是说,如果保持年增长率为1个百分点,那么大约经过33年、43年、84年,我国人口分别约为18亿、20亿、30亿.③1813=1.01x ,2013=1.01x ,3013=1.01x,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算,可以定义一种新运算,用符号“log”表示对数,即若1813=1.01x,则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x =log 1.011813.其他的可类似得到,x =log 1.012013,x =log 1.013013,这种运算叫做对数运算.④一般性的结论就是对数的定义:一般地,对于指数式a b=N ,我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ,即b =log a N(a>0,且a≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.实质上,上述对数表达式,不过是指数式N =a b的另一种表达形式. 由此得到对数和指数幂之间的关系:a Nb 指数式a b=N 底数 幂 指数 对数式log a N =b对数的底数真数对数例如:42=16⇔2=log 416;102=100⇔2=log 10100;214=2⇔12=log 42;10-2=0.01-2=log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0,且a≠1?②根据对数定义求log a 1和log a a a>0,且a≠1的值.③负数与零有没有对数?④alogaN=N 与log a a b=ba>0,且a≠1是否成立?⑤什么是常用对数?讨论结果:①这是因为若a <0,则N 为某些值时,b 不存在,如log (-2)12;若a =0,N 不为0时,b 不存在,如log 03,N 为0时,b 可为任意正数,是不唯一的,即log 00有无数个值;若a =1,N 不为1时,b 不存在,如log 12,N 为1时,b 可为任意数,是不唯一的,即log 11有无数个值.综之,就规定了:a >0,且a≠1.②log a 1=0,log a a =1.因为对任意a >0,且a≠1,都有a 0=1,所以log a 1=0. 同样易知:log a a =1.即1的对数等于0,底的对数等于1.③因为底数a >0,且a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的b∈R ,a b>0恒成立,即只有正数才有对数,零和负数没有对数. ④因为a b=N ,所以b =log a N ,a b=alogaN=N ,即alogaN=N.因为a b=a b,所以log a a b=b.故两个式子都成立.(alog a N =N 叫对数恒等式)常用对数:我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如:log 105简记作lg5;log 103.5简记作lg3.5.例如:loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22,log 21,log 216,log 212.解:因为21=2,所以log 22=1; 因为20=1,所以log 21=0; 因为24=16,所以log 216=4; 因为2-1=12,所以log 212=-1.点评:本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解.例2求lg10,lg100,lg0.01. 解:因为101=10,所以lg10=1; 因为102=100,所以lg100=2; 因为10-2=0.01,所以lg0.01=-2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1):lg2 001;lg0.061 8;lg0.004 5;lg396.5. 解:用科学计算器计算:所以lg2 001≈3.301 2,lg0.061 8≈-1.209 0, lg0.004 5≈-2.346 8,lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中,属于真命题的是( )(1)若log 5x =3,则x =15 (2)若log 25x =12,则x =5 (3)若log x 5=0,则x = 5 (4)若log 5x =-3,则x =1125A .(2)(3)B .(1)(3)C .(2)(4)D .(3)(4)活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义.解析:对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于(1),因为log 5x =3,所以x =53=125,错误; 对于(2),因为log 25x =12,所以x =2512=5,正确;对于(3),因为log x 5=0,所以x 0=5,无解,错误; 对于(4),因为log 5x =-3,所以x =5-3=1125,正确.总之(2)(4)正确.答案:C点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算:(1)log 927;(2) 43log 81;(3)log (2+3)(2-3);(4) 345log625.活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 解法一:(1)设x =log 927,则9x =27,32x =33,所以x =32.(2)设x =43log 81,则(43)x=81,43x =34,所以x =16.(3)令x =log (2+3)(2-3)=log (2+3)(2+3)-1,所以(2+3)x=(2+3)-1,x =-1. (4)令x =345log625,所以(354)x=625,x 345=54,x =3.解法二:(1)log 927=log 933=log 9932=32.(2) 43log 81=43log (43)16=16.(3)log (2+3)(2-3)=log (2+3)(2+3)-1=-1.(4) 345log625=345log(354)3=3.点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42=16;(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=19;(7)(14)-2=16. 解:(1)2=log 416;(2)0=log 31;(3)x =log 42;(4)x =log 20.5;(5)4=log 5625;(6)-2=log 319;(7)-2=log 1416.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x =log 527;(2)x =log 87;(3)x =log 43;(4)x =log 713;(5)log 216=4;(6) 31log 27=-3;(7) 3log x =6;(8)log x 64=-6;(9)log 2128=7;(10)log 327=a.解:(1)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x=13;(5)24=16;(6)(13)-3=27;(7)(3)6=x ;(8)x -6=64;(9)27=128;(10)3a=27.3.求下列各式中x 的值:(1)log 8x =-23;(2)log x 27=34;(3)log 2(log 5x)=1;(4)log 3(lgx)=0.解:(1)因为log 8x =-23,所以x =8-23=(23)-23=23×(-23)=2-2=14; (2)因为log x 27=34,所以43x =27=33,即x =(33)34=34=81;(3)因为log 2(log 5x)=1,所以log 5x =2,x =52=25; (4)因为log 3(lgx)=0,所以lgx =1,即x =101=10. 4.(1)求log 84的值;(2)已知log a 2=m ,log a 3=n ,求a2m +n的值.解:(1)设log 84=x ,根据对数的定义有8x=4,即23x=22,所以x =23,即log 84=23; (2)因为log a 2=m ,log a 3=n ,根据对数的定义有a m=2,a n=3, 所以a2m +n=(a m )2·a n =(2)2·3=4×3=12.点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用.拓展提升对于a >0,a≠1,下列结论正确的是( )(1)若M =N ,则log a M =log a N (2)若log a M =log a N ,则M =N (3)若log a M 2=log a N 2,则M =N (4)若M =N ,则log a M 2=log a N 2A.(1)(3) B.(2)(4)C.(2) D.(1)(2)(4)活动:学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价.回想对数的有关规定.对(1)若M=N,当M为0或负数时log a M≠log a N,因此错误;对(2)根据对数的定义,若log a M=log a N,则M=N,正确;对(3)若log a M2=log a N2,则M=±N,因此错误;对(4)若M=N=0时,则log a M2与log a N2都不存在,因此错误.综上,(2)正确.答案:C点评:0和负数没有对数,一个正数的平方根有两个.课堂小结(1)对数引入的必要性;(2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数;(4)负数与零没有对数;(5)对数恒等式;(6)两种特殊的对数.作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务,为下一节课作准备.备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化,有x 的求出x 的值. (1)215-=15;(2) 2log 4=x ;(3)3x=127;(4)(14)x=64;(5)lg0.000 1=x.解:(1) 215-=15化为对数式是log 515=-12;(2)x =2log 4化为指数式是(2)x=4,即22x =22,x2=2,x =4;(3)3x=127化为对数式是x =log 3127,因为3x=(13)3=3-3,所以x =-3;(4)(14)x =64化为对数式是x =log 1464,因为(14)x =64=43,所以x =-3;(5)lg0.000 1=x 化为指数式是10x=0.000 1, 因为10x=0.000 1=10-4,所以x =-4. 例2计算3log35+3log315的值.解:设x =log 315,则3x=15,(312)x =21)51(-,所以x =3log15. 所以3log 35+3log 315=5+33log15=5+15=655.例3计算a logab·logbc·logcN(a >0,b >0,c >0,N >0).解:alogab·logbc·logcN=blogbc·logcN=clogcN=N.(设计者:路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容: 1.对数的定义.2.指数式与对数式的互化. a b=N log a N =b. 3.重要公式:(1)负数与零没有对数;(2)log a 1=0,log a a =1;(3)对数恒等式alog a N =N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕.思路 2.我们在学习指数的时候,知道指数有相应的运算法则,即指数运算法则. a m·a n=am +n;a m ÷a n =am -n;(a m )n=a mn;ma n=a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算,而且它们互为逆运算,对数是否也有和指数相类似的运算法则呢?答案是肯定的,这就是本堂课的主要内容,点出课题.推进新课新知探究提出问题1在上节课中,我们知道,对数运算可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?2如我们知道a m=M,a n=N,a m·a n=a m+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗?3在上述2的条件下,类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗?4你能否用最简练的语言描述上述结论?如果能,请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗?6上述结论能否推广呢?,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢?讨论结果:(1)通过问题(2)来说明.(2)如a m·a n=a m+n,设M=a m,N=a n,于是MN=a m+n,由对数的定义得到M=a m⇔m=log a M,N=a n⇔n=log a N,MN=a m+n⇔m+n=log a MN,log a(MN)=log a M+log a N.因此m+n可以用对数式表示.(3)令M =a m ,N =a n ,则M N =a m ÷a n =a m -n,所以m -n =log a M N .又由M =a m,N =a n,所以m =log a M ,n =log a N.所以log a M -log a N =m -n =log a MN,即log a MN=log a M -log a N.设M =a m,则M n=(a m )n=a mn.由对数的定义, 所以log a M =m ,log a M n=mn.所以log a M n=mn =nlog a M ,即log a M n=nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质: 如果a >0,a≠1,M >0,N >0,则有 log a (MN)=log a M +log a N ,① log a MN =log a M -log a N ,②log a M n=nlog a M(n∈R ).③ (4)以上三个性质可以归纳为:性质①:两数积的对数,等于各数的对数的和;性质②:两数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 性质③:幂的对数等于幂指数乘底数的对数.(5)利用对数运算性质进行运算,所以要求a >0,a≠1,M >0,N >0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形:即log a (M 1M 2M 3…M n )=log a M 1+log a M 2+log a M 3+…+log a M n (其中a >0,a≠1,M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0). (7)纵观这三个性质我们知道,性质①的等号左端是乘积的对数,右端是对数的和,从左往右看是一个降级运算.性质②的等号左端是商的对数,右端是对数的差,从左往右是一个降级运算,从右往左是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算.利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算,大大的方便了对数式的化简和求值.应用示例思路1例1用log a x ,log a y ,log a z 表示下列各式:(1)log a xy z ;(2)log a (x 3y 5);(3)log a x yz ;(4)log a x 2y 3z .解:(1)log a xyz =log a (xy)-log a z =log a x +log a y -log a z ;(2)log a (x 3y 5)=log a x 3+log a y 5=3log a x +5log a y ;(3)log a x yz =log a x -log a (yz)=log a 21x -(log a y +log a z)=12log a x-log a y -log a z ; (4)log ax2y 3z=log a (x 221y 31-z)=log a x 2+log a 21y +log a 31-z=2log a x+12log a y -13log a z.点评:对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算:(1)lg 5100;(2)lg4+lg25;(3)(lg2)2+lg20×lg5.解:(1)lg 5100=15lg100=25;(2)lg4+lg25=lg(4×25)=lg100=2;(3)(lg2)2+lg20×l g5=(lg2)2+(1+lg2)(1-lg2)=(lg2)2+1-(lg2)2=1.点评:此例题体现对数运算性质的综合运用,应注意掌握变形技巧,如变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;要避免错用对数运算性质,特别是对数运算性质的灵活运用,运算性质的逆用常被学生所忽视.解:(1)解法一:lg14-2lg 73+lg7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.解法二:lg14-2lg 73+lg7-lg18=lg14-lg(73)2+lg7-lg18=lg 14×7(73)2×18=lg1=0.(2)lg243lg9=lg35lg32=5lg32lg3=52. (3)lg 27+lg8-3lg 10lg1.2=lg(33)12+lg23-3lg(10)12lg3×2210 =32lg3+2lg2-1lg3+2lg2-1=32. 思路2例1:求下列各式的值.(1)log 525;(2)log 0.41;(3)log 2(47×25). 解法一:(1)log 525=log 552=2; (2)log 0.41=0;(3)log 2(47×25)=log 247+log 225=log 222×7+log 225=2×7+5=19.解法二:(1)设log 525=x ,则5x=25=52,所以x =2; (2)设log 0.41=x ,则0.4x =1=0.40,所以x =0; (3)log 2(47×25)=log 2(214×25)=log 2219=19,或log 2(47×25)=log 247+log 225=7log 222+log 225=2×7+5=19. 点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(3)lg 2+lg3-lg 10lg1.8.活动:学生思考、交流,观察题目特点,教师可以提示引导:将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积;再就是逆用对数的运算性质.先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算.再就是逆用对数的运算性质,把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算.(1)解法一:12lg 3249-43lg 8+lg 245=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5) =52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5 =12lg2+12lg5 =12(lg2+lg5)=12lg10=12. 解法二:12lg 3249-43lg 8+lg 245=lg 427-34232lg+lg75=lg 42×757×4=lg(2×5)=lg 10=12.(2)解法一:lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg2+lg5)2=2+(lg10)2=2+1=3.解法二:lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(1-lg5)2=2lg10+lg5[2(1-lg5)+lg5]+(1-lg5)2=2+lg5(2-lg5)+(1-lg5)2=2+2lg5-(lg5)2+1-2lg5+(lg5)2=3.(3)解法一:lg 2+lg3-lg 10lg1.8=12lg2+lg9-lg10lg1.8=lg 18102lg1.8=lg1.82lg1.8=12. 解法二:lg 2+lg3-lg 10lg1.8=12lg2+lg3-12lg 1810=12lg2+lg3-122lg3+lg2-1=122lg3+lg2-12lg3+lg2-1=12. 点评:这类问题一般有以下几种处理方法:一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积,然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂,然后化简求值;三是上述两种方法灵活运用,化简求值. 变式训练 计算:(1)2log 510+log 50.25;(2)2log 525+3log 264;(3)log 2(log 216). 解:(1)因为2log 510=log 5102=log 5100,所以2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 5(100×0.25)=log 552=2log 55=2.(2)因为2log 525=2log 552=4log 55=4,3log 264=3log 226=18log 22=18,所以2log 525+3log 264=22.(3)因为log 216=log 224=4,所以log 2(log 216)=log 24=log 222=2.知能训练1.用log a x ,log a y ,log a z ,log a (x +y),log a (x -y)表示下列各式: (1)log a 3x y 2z ;(2)log a (x·4z 3y 2);(3)log a (xy 12z -23);(4)log a xy x 2-y 2; (5)log a (x +y x -y ·y);(6)log a [y xx -y ]3. 解:(1)log a 3x y 2z =log a 3x -log a y 2z =13log a x -(2log a y +log a z) =13log a x -2log a y -log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)=log a x +log a 4z 3y 2=log a x +14(log a z 3-log a y 2) =log a x -24log a y +34log a z =log a x -12log a y +34log a z. (3)log a (xy 12z -23)=log a x +log a y 12+log a z -23=log a x +12log a y -23log a z.(4)log a xy x 2-y 2=log a xy -log a (x 2-y 2)=log a x +log a y -log a (x +y)(x -y)=log a x +log a y -log a (x +y)-log a (x -y).(5)log a (x +y x -y ·y)=log a x +y x -y+log a y =log a (x +y)-log a (x -y)+log a y.(6)log a [y x(x -y)]3=3[log a y -log a x -log a (x -y)]=3log a y -3log a x -3log a (x -y).2.已知f(x 6)=log 2x ,则f(8)等于( )A.43 B .8 C .18 D.12解析:因为f(x 6)=log 2x ,x >0,令x 6=8,得x =632=212,所以f(8)=log 2212=12. 另解:因为f(x 6)=log 2x =16log 2x 6,所以f(x)=16log 2x. 所以f(8)=16log 28=16log 223=12. 答案:D3.若a >0,a≠1,x >0,y >0,x >y ,下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y =log a (x +y) ②log a x -log a y =log a (x -y)③log a x y=log a x÷log a y ④log a (xy)=log a x·log a yA .0B .1C .2D .3 答案:A4.若a >0,a≠1,x >y >0,n∈N +,下列式子正确的个数为( )①(log a x)n =nlog a x ②(log a x)n =log a x n③log a x =-log a 1x ④log a x log a y =log a x y ⑤n log a x =1n log a x ⑥1nlog a x =log a n x ⑦log a x n=nlog a x ⑧log a x -y x +y =-log a x +y x -y A .3 B .4 C .5 D .6 答案:B5.科学家以里氏震级来度量地震的强度.若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r 可定义为r =0.6lgI ,试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度.解:设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9=0.6lgI 1,7.8=0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2-lgI 1)=0.9,即lg I 2I 1=1.5.所以I 2I 1=101.5≈32. 因此,7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍.拓展提升已知x 、y 、z >0,且lgx +lgy +lgz =0,求x 1lgy +1lgz ·y 1lgz+1lgx ·z 1lgx +1lgy的值. 活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导.大胆设想,运用对数的运算性质.由于所求的式子是三项积的形式,每一项都有指数,指数中又有对数,因此想到用对数的运算性质,如果能对所求式子取对数,那可能会好解决些,故想到用参数法,设所求式子的值为t.解:令x 1lgy +1lgz ·y 1lgz +1lgx ·z 1lgx +1lgy =t ,则lgt =(1lgy +1lgz )lgx +(1lgz +1lgx )lgy +(1lgx +1lgy)lgz =lgx lgy +lgx lgz +lgy lgz +lgy lgx +lgz lgx +lgz lgy =lgx +lgz lgy +lgx +lgy lgz +lgy +lgz lgx=-lgy lgy +-lgz lgz +-lgx lgx =-3,所以t =10-3=11 000即为所求. 课堂小结1.对数的运算法则.2.对数的运算法则的综合应用,特别是公式的逆向使用.3.对数与指数形式比较:作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上,为了运算的方便,本节课我们借助指数的运算法则,推出了对数的运算法则,引导学生自己完成推导过程,加深对公式的理解和记忆,对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆,强化法则的使用条件,注意对数式中每一个字母的取值范围,由于它是以后学习对数函数的基础,所以安排教学时,要反复练习,加大练习的量,多结合信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数,3a =4b =6c,求证:2a +1b =2c . 活动:学生思考观察,教师引导,及时评价学生的思考过程.从求证的结论看,解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来,为便于找出a 、b 、c 的关系,不妨设3a =4b =6c=k(k >0),则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来,再结合对数的运算性质就可证得结论.证法一:设3a =4b =6c =k ,则k >0.由对数的定义得a =log 3k ,b =log 4k ,c =log 6k ,则左边=2a +1b =2log 3k +1log 4k=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36,右边=2c =2log 6k =2log k 6=log k 36,所以2a +1b =2c. 证法二:对3a =4b =6c 同时两边取常用对数得lg3a =lg4b =lg6c,alg3=blg4=clg6.所以c a =lg3lg6=log 63,c b =lg4lg6=log 64.又2c a +c b=log 6(9×4)=2,所以2a +1b =2c. 点评:本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质.灵活运用指数、对数的概念及性质解题,适时转化.(设计者:卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a >0,且a≠1,c >0,且c≠1,b >0,log a b =log c b log c a.教师直接点出课题.思路 2.前两节课我们学习了以下内容:1.对数的定义及性质;2.对数恒等式;3.对数的运算性质及应用.我们能就同底数的对数进行运算,那么不同底数的对数集中在一起,如何解决呢?这就是本堂课的主要内容.教师板书课题.思路3.从对数的定义可以知道,任意不等于1的正数都可作为对数的底,数学史上,人们经过大量的努力,制作了常用对数表和自然对数表,只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数,这样,如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数,那么,怎么转化呢?这就需要一个公式,即对数的换底公式,从而引出课题. 推进新课新知探究提出问题①已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求log 23的值.②根据①,如a>0,a≠1,你能用含a 的对数式来表示log 23吗?③更一般地,我们有log a b =log c b log c a,如何证明?④证明log a b =log c b log c a的依据是什么?⑤你能用自己的话概括出换底公式吗?⑥换底公式的意义是什么?有什么作用?⑦什么是自然对数,如何用计算器计算自然对数?活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的创造性思维能力.对①目前还没有学习对数的换底公式,它们又不是同底,因此可考虑对数的定义,转化成方程来解;对②参考①的思路和结果的形式,借助对数的定义可以表示;对③借助①②的思路,利用对数的定义来证明;对④根据证明的过程来说明;对⑤抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式;对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了,与我们的要求接近了;⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数,它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用.讨论结果:①因为lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,根据对数的定义,所以100.301 0=2,100.477 1=3. 不妨设log 23=x ,则2x =3,所以(100.301 0)x =100.477 1,100.301 0×x =100.477 1,即0.301 0x =0.477 1,x =0.477 10.301 0=lg3lg2.因此log 23=lg3lg2=0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到,最后的结果是log 23用lg2与lg3表示,是通过对数的定义转化的,这就给我们以启发,本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数,不妨设log 23=x ,由对数定义知道,2x=3,两边都取以a 为底的对数,得log a 2x =log a 3,xlog a 2=log a 3,x =log a 3log a 2, 也就是log 23=log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商.③证明log a b =log c b log c a. 证明:设log a b =x ,由对数定义知道,a x =b ;两边取c 为底的对数,得log c a x =log c b xlog c a =log c b ;所以x =log c b log c a ,即log a b =log c b log c a. 一般地,log a b =log c b log c a(a >0,a≠1,b >0,c >0,c≠1)称为对数换底公式.④由③的证明过程来看,换底公式的证明要紧扣对数的定义,证明的依据是:若M >0,N >0,M =N ,则log a M =log a N.⑤一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商,这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商. ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题,为使用运算法则创造条件,更方便化简求值.说明:我们使用的计算器中,“log”通常是常用对数,因此要使用计算器计算对数,一定要先用换底公式转化为常用对数.如log 23=lg3lg2, 即计算log 23的值的按键顺序为:“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“=”.再如:在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算x =log 1.011813, 所以x =log 1.011813=lg 1813lg1.01=lg18-lg13lg1.01≈1.255 3-1.1390.043=32.883 7≈33年.可以看到运用对数换底公式,有时要方便得多.⑦在科学技术中,常常使用以无理数e =2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式,可以得到自然对数与常用对数的关系:lnN =lgN lge ≈lgN 0.434 3,即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数.例如,求ln34(精确到0.000 1),可用科学计算器计算如下:所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值: (1)log 89·log 2732的值;(2)ln1.解:(1)log 89·log 2732=lg9lg8×lg32lg27=2lg33lg2×5lg23lg3=23×53=109. (2)因为e 0=1,所以ln1=0.例2 (1)求证:log x ylog y z =log x z.证明:因为log x ylog y z =log x y log x z log x y =log x z ,所以log x ylog y z =log x z.(2)求证:log an b n=log a b.证明:因为log an b n =log a b n log a a n =nlog a b nlog a a=log a b ,所以log an b n =log a b. 点评:本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23=a ,log 37=b ,用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83=p ,log 35=q ,求lg5.活动:学生交流,展示自己的思维过程,教师对学生的表现及时评价,要注意转化.利用对数运算性质法则和换底公式进行化简,然后再表示.对(1)据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,再利用对数的运算性质化简.对(2)利用换底公式把底数统一起来,再灵活利用对数的运算性质解决.解:(1)因为log 23=a ,则1a=log 32, 又因为log 37=b ,所以log 4256=log 356log 342=log 37+3·log 32log 37+log 32+1=ab +3ab +a +1. (2)因为log 83=p ,即log 233=p ,所以log 23=3p.所以log 32=13p. 又因为log 35=q ,所以lg5=log 35log 310=log 35log 32+log 35=3pq 1+3pq. 点评:本题是条件问题,要充分考虑到条件与结论的关系,更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0,+∞),且3x =4y =6z .(1)求证:1x +12y =1z;(2)比较3x 、4y 、6z 的大小. 活动:学生观察,积极思考,尽量把所学知识与题目结合起来,教师及时提示引导.(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来,根据对数的定义把3x =4y =6z 转化为指数式,求出x 、y 、z ,然后计算.(2)在(1)的基础上利用中间量,作差比较,利用对数的运算性质进行比较.(1)证明:设3x =4y =6z =k ,因为x 、y 、z∈(0,+∞),所以k >1.取对数,得x =lgk lg3,y =lgk lg4,z =lgk lg6, 所以1x +12y =lg3lgk +lg42lgk =2lg3+lg42lgk =2lg3+2lg22lgk =lg6lgk =1z, 即1x +12y =1z. (2)解:因为3x -4y =(3lg3-4lg4)lgk =lg64-lg81lg3·lg4lgk =lgk·l g 6481lg3·lg4<0,所以3x <4y.又因为4y -6z =(4lg4-6lg6)lgk =lg36-lg64lg2·lg6lgk =lgk·l g 916lg2·lg6<0, 所以4y <6z.所以3x <4y <6z.点评:如果题目中有指数式,常根据对数的定义转化为对数式,有对数式常根据对数的定义转化为指数式,比较大小常用作差,如果是几个数比较大小,有时采用中间量法,要具体情况具体分析. 例3已知log a x =log a c +b ,求x.活动:学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对解题中出现的问题及时处理.把对数式转化为指数式求解,或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解.由于x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将log a c 移到等式左端,或者将b 变为对数形式来解.解法一:由对数定义,可知x =a logac +b =a logac ·a b =c·a b. 解法二:由已知移项可得log a x -log a c =b ,即log a x c=b ,由对数定义,知x c=a b , 所以x =c·a b.解法三:因为b =log a a b ,所以log a x =log a c +log a a b =log a c·a b . 所以x =c·a b .点评:利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用.知能训练(1)已知lg2=a ,lg3=b ,则lg12lg15等于( ) A.2a +b 1+a +b B.a +2b 1+a +bC.2a +b 1-a +bD.a +2b 1-a +b(2)已知2lg(x -2y)=lgx +lgy ,则x y的值为( ) A .1 B .4C .1或4D .4或-1(3)若3a=2,则log 38-2log 36=__________.(4)lg12.5-lg 58+lg0.5=__________. 答案:(1)C (2)B (3)a -2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法:活动:学生讨论、交流、思考,教师可以引导:大胆设想,运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质.证法一:设log a N =x ,则a x=N ,两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得log c a x =log c N ,所以xlog c a =log c N ,即x =log c N log c a. 故log a N =log c N log c a .证法二:由对数恒等式,得N =alog a N ,两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得log c N =log a N·log c a ,所以log a N =log c N log c a. 证法三:令log c a =m ,log a N =n ,则a =c m ,N =a n ,所以N =(c m )n=c mn .两边取以c(c >0且c≠1)为底的对数,得mn =log c N ,所以n =log c N m ,即log a N =log c N log c a. 对数换底公式的应用:换底公式log a N =log c N log c a(c >0且c≠1,a >0且a≠1,N >0)的应用包括两个方面,即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用.前者较为容易,而后者则易被学生忽视,因此,教学时应重视后者的用法,下面仅就后者举例说明:例:化简:log a M log a N +log b M log b N +log c M log c N +log d M log d N. 解:原式=log N M +log N M +log N M +log N M =4log N M. 课堂小结1.对数换底公式.2.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式,则该幂底数可被选作换底公式的底数,也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a >0且a≠1)为底的对数式的形式,进行化简、求值或证明. 作业1.已知271log 17=a ,31log 15=b ,求log 81175的值. 解:因为271log 17=log 277=13log 37=a , 所以log 37=3a. 又因为31log 15=log 35=b , 所以log 81175=14log 325×7=14(log 325+log 37)=14(2log 35+log 37)=3a +2b 4. 2.求证:(log 23+log 49+log 827+…+log 2n 3n )log 9n 32=52. 证明:左边=(log 23+log 49+log 827+…+log 2n 3n )log 9n 32=nlog 23·1n log 332=log 23·52log 32=52=右边. 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式,它在以后的学习中有着非常重要的应用,由于对数的运算法则是在同底的基础上,因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要,有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的,特别是实际问题的应用更为广泛,因此要反复训练,强化记忆,所以设计了大量的例题与练习,授课时要加快速度,激发学生学习的兴趣,多运用多媒体的教学手段.备课资料。
对数函数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

高中数学
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【概念理解】
(1) f -1(x)是函数f(x)的反函数,不是“f(x)的负1次幂”.
(2)并非每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如二次函数y=x2没有反函数.
(3)“给定值域中任意一个y的值,只有唯一的x与之对应”这句话,可以从函数图象上来理解,即任何
一条与y轴垂直的直线与函数y=f(x)的图象至多只有一个交点,因此定义域内的单调函数必有反函数,
<1 x<0
当a>1时,ax
情况
x
当0<a<1时,a
单调性
<1 x>0 ,
=1 x=0 ,
>1 x<0
>0 x>1 ,
当a>1时,log a
=0 x=1 ,
<0 0<x<1 ;
<0 x>1 ,
当0<a<1时,log a
=0 x=1 ,
>0 0<x<1
当a>1时,y=ax,y=logax在定义域内为增函数;当0<a<1时,y=ax,y=logax在定义域内为减函数
高中数学
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【规律总结】对数值正负的规律
(1)当a>1时,由对数函数y=logax是增函数知:若0<x<1,则logax<loga1=0;若x>1,则logax>loga1=0.
(2)当0<a<1时,由对数函数y=logax是减函数知:若0<x<1,则logax>loga1=0;若x>1,则logax<loga1=0.
课件4:3.2.1 对数及其运算 第2课时

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
已知 2lg(3x-2)=lgx+lg(3x+2),
求 logx 2 2 2的值. [解析] 由 2lg(3x-2)=lgx+lg(3x+2),得 lg(3x-2)2
=lg[x(3x+2)],∴(3x-2)2=x(3x+2),即 3x2-7x+2=0,
解得 x=13或 x=2.
当 x=13,3x-2<0(舍去),∴x=2.
故 logx
2
2
7
2=log228
=78log22=78.
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·必修1
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第三章 基本初等函数(Ⅰ)
数学表达式
自然语言
loga(MN)=__l_o_g_aM__+__l_o_g_aN_
loga(N1·N2·…·Nk) =
正因数积的对数等于同一底
l_o_g_a_N_1_+__lo_g_a_N_2_+__…__+__l_o_g_a_Nk 数的各因数__的__对__数__的__和____
(Ni>0,i=1,2,…k)
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
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即 lga+lgb=2,lga·lgb=12. ∴(lga+lgb)·(llggba+llggab) =lga+lgblg[al·glgab2+lgb2] =(lga+lgb)lga+lglgba2·-lgb2lga·lgb =2×22-12×12=12.
logaMN =__l_o_g_aM__-__l_o_g_aN__
高中数学(苏教版)必修一讲义:第三章 3.2 对数函数

问题1:若2x =16,(13)x =9,x 的值分别为多少?提示:4,-2.问题2:若2x =3,(13)x =2,你现在还能求得x 吗?这是一种什么运算?提示:不能.这是一种已知底数和幂值,求指数的运算. 问题3:若2x =0,(13)x =-1,这样的x 存在吗?为什么?提示:不存在.因为2x >0,(13)x >0,所以原方程无解.1.对数的概念一般地,如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b =N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N =b ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.常用对数与自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数,为了简便起见,对数log 10N 简记为lg_N . 在科学技术中,常常使用以e 为底的对数,这种对数称为自然对数(其中e =2.718 28…是一个无理数),正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln_N .对数符号log a N 只有在N >0,a >0且a ≠1时才有意义.零和负数无对数,即N ≤0时log a N 无意义(因为a x >0).[例1] 求使对数log (a -2)(7-2a )有意义的a 的取值范围. [思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解. [精解详析] 在log a N 中,N >0,a >0且a ≠1, ∴依题意,得⎩⎪⎨⎪⎧7-2a >0,a -2>0,a -2≠1.解得2<a <72且a ≠3.故a 的取值范围是2<a <72,且a ≠3.[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义,即底数大于0且不等于1,真数大于0,列不等式组求解即可.1.已知对数log a (3a -2)有意义,则实数a 的取值范围为________. 解析:要使log a (3a -2)有意义, ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a -2>0a >0a ≠1.∴a >23且a ≠1.★答案★:{a |a >23且a ≠1}2.求下列各式中的x 的范围.(1)log (x 2+1)(-3x +8);(2)log (2x -1)(x +2). 解:(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧-3x +8>0x 2+1>0x 2+1≠1,解得x <83且x ≠0.所以x 的取值范围是x <83且x ≠0.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x +2>02x -1>02x -1≠1,解得x >12且x ≠1.所以x 的取值范围是x >12且x ≠1.[例2] 将下列指数式与对数式互化: (1)43=64;(2)(13)-2=9;(3)2-2=14;(4)log 327=3;(5)log 128=-3;(6)log 2x =5.[思路点拨] 利用a x =N ⇔x =log a N (a >0,且a ≠1)进行转化. [精解详析] (1)log 464=3; (2)log 139=-2; (3)log 214=-2;(4)33=27; (5)(12)-3=8; (6)x =(2)5=4 2.[一点通] 指数式a b =N 中的幂N 即为对数式log a N =b 中的真数N .利用此关系可以进行指数式与对数式的互化,求某些对数值就可以把它转化成指数问题.3.下列指数式与对数式的互化正确的序号是________. ①N =a 2与log N a =2;②log 2 4=4与 2 4=4; ③(14)-3=64与log 6414=-13; ④log x 7y =z 与x z =y 17.解析:①错,N =a 2⇒log a N =2;②正确; ③错误,(14)-3=64⇒log 1464=-3;④正确.★答案★:②④4.求下列各式中x 的值:(1)log x 27=32;(2)log 3x =6;(3)log 3(lg x )=1.解:(1)∵log x 27=32,∴x 32=27,x =2723=32=9.(2)由log 3x =6,得(3)6=x ,∴x =33=27. (3)由log 3(lg x )=1,得lg x =31=3,∴x =103=1 000.[例3] 求下列各式的值: (1)log (2-3)(2+3)-1;(2)log 327; (3)32+log 35.[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解. [精解详析] (1)设x =log (2-3)(2+3)-1,则(2-3)x =(2+3)-1=12+3=2- 3. ∴x =1. 即log (2-3)(2+3)-1=1.(2)∵33=27,∴log 327=3. (3)32+log 35=32·3log 35=9·3log 35. 令3log 35=x ,∴log 35=log 3x 即x =5.∴原式=9×5=45. [一点通](1)求对数的值时,可先设其值为x ,转化为指数式后再求. (2)log a a N =N (a >0且a ≠1),这是对数恒等式,使用时要注意格式.5.求下列各式的值:(1)log 525;(2)log 2116;(3)lg 1 000;(4)lg 0.001.解:(1)∵52=25,∴log 525=2; (2)∵2-4=116,∴log 2116=-4;(3)∵103=1 000,∴lg 1 000=3; (4)∵10-3=0.001,∴lg 0.001=-3. 6.计算下列各题: (1)2122;(2)22+log 25;(3)71-log 75. 解:(1)212log25=(212)2=(2)2=5;(2)22+log25=22×2log 25=4×5=20; (3)71-log75=71÷7log 75=7÷5=75.1.在求解对数问题时,要注意log a N 中对a ,N 的要求:①对a 的要求是:a >0且a ≠1;②对N 的要求是:N >0.2.对数的基本性质对于对数log a N (a >0,a ≠1,N >0),具有以下性质:①零和负数无对数,即N >0;②log a a =1;③log a 1=0;④a log a N =N .一、填空题1.若对数式log (x -1)(x +3)有意义,则x 的取值范围为________. 解析:若log (x -1)(x +3)有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +3>0,x -1>0,x -1≠1解得x >1且x ≠2.★答案★:(1,2)∪(2,+∞).2.已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x -12等于________.解析:由log 7[log 3(log 2x )]=0,得log 3(log 2x )=1,即log 2x =3,解得x =8, 所以x12-=812-=18=122=24. ★答案★:243.若log a 2=m ,log a 3=n ,则a 2m +n =________. 解析:由log a 2=m 得a m =2,由log a 3=n 得a n =3. ∴a 2m +n =a 2m ·a n =(a m )2·a n =22×3=12. ★答案★:124.若f (10x )=x ,则f (1 000)的值为________.解析:令10x =t ,∴x =lg t . ∴f (t )=lg t 即f (x )=lg x .∴f (1 000)=lg 1 000,∵103=1 000,∴f (1 000)=3. ★答案★:35.若10α=2,β=lg 3,则10012αβ-=________.解析:∵β=lg 3,∴10β=3. ∴100α12-β=100α10012β=(10α)210β=223=43. ★答案★:436.若log 3(a +1)=1,则log a 2+log 2(a -1)的值为________. 解析:∵log 3(a +1)=1,∴a +1=31,即a =2. ∴log a 2+log 2(a -1)=log 22+log 2(2-1)=1+0=1. ★答案★:1 二、解答题7.(1)将对数式log 139=-2,化为指数式;(2)将指数式10-3=0.001,化为对数式; (3)已知log 2(log 5x )=1,求x 的值. 解:(1)∵log 139=-2,∴(13)-2=9;(2)∵10-3=0.001,∴log 100.001=-3, 即lg 0.001=-3;(3)∵log 2(log 5x )=1,∴log 5x =2,∴x =52=25. 8.求下列各式中x 的值: (1)log 8x =-23;(2)log x 27=34;(3)log 2(log 5x )=0;(4)log 3(lg x )=1. 解:(1)由log 8x =-23,得x =823-=(23)23-=2-2=14.(2)由log x 27=34,得x 34=27,x =(33)43=34=81.(3)由log 2(log 5x )=0,得log 5x =1,所以x =5.(4)由log 3(lg x )=1,得lg x =3,所以x =103=1 000. 9.已知log 2x =3,log 2y =5,求log 2xy 的值.解:∵log 2x =3,log 2y =5, ∴x =23,y =25,x y =2325=14∴log 2x y =log 214=log 22-2=-2.问题1:你知道对数log 22,log 24,log 28,log 232的值分别是多少吗? 提示:1,2,3,5.问题2:这几个对数与log 22有什么形式上的关系?提示:log 24=log 222=2log 22,log 28=log 223=3log 22,log 232=log 225=5log 22. 问题3:log 24,log 28,log 232之间存在什么关系? 提示:log 24+log 28=log 232=log 2(4×8),log 2328=log 24=log 232-log 28,log 2324=log 28=log 232-log 24.问题4:利用上面的数值,log a (MN )=log a M log a N 成立吗? 提示:不成立,如log 232≠log 24×log 28.对数的运算性质(1)log a (MN )=log a M +log a N ;(2)log a MN=log a M -log a N ;(3)log a M n =n log a M ,(其中a >0,a ≠1,M >0,N >0,n ∈R .)问题1:对数log 24,log 42的值分别是多少?提示:2,12.问题2:log 24,log 42的关系是什么?log a b 与log b a 是否具有同样的关系? 提示:log 24log 42=1,log a b log b a =1.问题3:令a =lg 5,b =lg 3,试用a ,b 表示log 35. 提示:由a =lg 5知10a =5,由b =lg 3知10b =3.又10a =(10b )ab,5=3a b,∴log 35=a b ,即log 35=lg 5lg 3.换底公式的定义:一般地,我们有log a N =log c Nlog c a ,(其中a >0,a ≠1,N >0,c >0,c ≠1.)这个公式称为对数的换底公式.对数的每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时,等式才成立,如log 2[(-3)·(-5)]是存在的,但log 2(-3)与log 2(-5)均不存在,故不能写成log 2[(-3)·(-5)]=log 2(-3)+log 2(-5).[例1] 计算下列各式的值: (1)lg 25+lg 2·lg 5+lg 2; (2)2log 32-log 3329+log 38-5log 53; (3)lg 25+23lg 8+lg 5·lg 20+lg 2 2;(4)(1-log 62)2+log 62·log 618+lg 10-ln e 2.[思路点拨] 利用对数的运算性质,将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算.[精解详析] (1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg 5·lg(5×2)+lg 2 =lg 5+lg 2=lg 10=1.(2)原式=2log 32-(log 332-log 39)+3log 32-3 =2log 32-5log 32+2+3log 32-3=-1. (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg102·lg(2×10)+lg 2 2 =2lg(5×2)+(1-lg 2)·(lg 2+1)+lg 2 2=2+1-lg 22+lg 22=3.(4)(log 66-log 62)2+log 62·log 6(2×32) =⎝⎛⎭⎫log 6622+log 62·(log 62+log 632) =log 263+log 262+2log 62·log 63 =(log 63+log 62)2=1. 又lg 10=12,ln e 2=2,∴原式=1+12-2=-12.[一点通] 利用对数的运算性质解题时,应根据所求式子的结构,对真数进行分解或合并,常见的方法有两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.1.(1)(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20的值是________. (2)log 39100+2log 310=________. 解析:(1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 20 =lg 5+lg 20=lg (5×20)=lg 100=2. (2)原式=log 39100+log 3100 =log 3⎝⎛⎭⎫9100×100=log 39=2. ★答案★:(1)2 (2)22.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0),3x (x <0).则f [f (-2)]等于________.解析:f (-2)=3-2=19.∴f [f (-2)]=f (19)=log 319=log 33-2=-2.★答案★:-23.求值:(1)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18;(2)lg 243lg 9;(3)lg 27+lg 8-3lg 10lg 1.2.解:(1)法一(公式的正向运用):原式=lg (2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2 =0.法二(公式的逆向运用): 原式=lg 14-lg(73)2+lg 7-lg 18=lg14×7(73)2×18=lg 1=0.(2)原式=lg 35lg 32=5lg 32lg 3=52.(3)原式=lg (33)12+lg 23-3lg 1012lg 3×2210=32(lg 3+2lg 2-1)lg 3+2lg 2-1=32.[例2] 已知log 189=a,18b =5,试用a ,b 表示log 3645.[思路点拨] 利用换底公式,把题目中不同底的对数化成同底的对数,再进一步应用对数的运算性质求值.[精解详析] 法一:∵log 189=a,18b =5,∴log 185=b , 于是log 3645=log 1845log 1836=log 18(9×5)log 18(18×2)=log 189+log 1851+log 182=a +b1+log 18189=a +b 2-a. 法二:∵log 189=a,18b =5,∴log 185=b .于是log 3645=log 18(9×5)log 181829=log 189+log 1852log 1818-log 189=a +b2-a .法三:∵log 189=a,18b =5, ∴lg 9=a lg 18,lg 5=b lg 18.∴log 3645=lg 45lg 36=lg (9×5)lg 1829=lg 9+lg 52lg 18-lg 9=a lg 18+b lg 182lg 18-a lg 18=a +b2-a.[一点通](1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数求值问题.(2)换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的基本方法.4.若x log 23=1,则3x +9x 的值为________. 解析:由x log 23=1得x =1log 23=log 32.∴3x +9x =3log 32+9log 32=2+9log 94 =2+4=6. ★答案★:65.已知lg 2=a ,lg 7=b ,用a ,b 表示log 498. 解:log 498=lg 98lg 4=lg 49+lg 22lg 2=2lg 7+lg 22lg 2,∵lg 2=a ,lg 7=b ,∴log 498=2b +a2a.6.计算:(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258). 解:法一:原式=(log 253+log 225log 24+log 25log 28)·(log 52+log 54log 525+log 58log 5125) =(3log 25+2log 252log 22+log 253log 22)(log 52+2log 522log 55+3log 523log 55)=(3+1+13)log 25·(3log 52)=13log 25·log 22log 25=13.法二:原式=(lg 125lg 2+lg 25lg 4+lg 5lg 8)(lg 2lg 5+lg 4lg 25+lg 8lg 125)=(3lg 5lg 2+2lg 52lg 2+lg 53lg 2)(lg 2lg 5+2lg 22lg 5+3lg 23lg 5)=(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)=13.[例3] 设x ,y ,z 均为正数,且3x =4y =6z . 求证:1z -1x =12y.[思路点拨] 由条件可知,可以令3x =4y =6z =k , 用k 分别表示出x ,y ,z .然后再代入进行证明. [精解详析] 设3x =4y =6z =k , 因为x ,y ,z 均为正数,所以k >1.所以x =log 3k =1log k 3,y =log 4k =1log k 4=12log k 2, z =log 6k =1log k 6,所以1x +12y =log k 3+log k 2=log k 6=1z ,即1z -1x =12y. [一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时,多借助于换底公式化为同底的对数,至于底数取什么数值,一般是根据已知条件灵活选取.7.已知2x =5y ,则xy 的值为________.解析:令2x =5y =k (k >0), 则x =log 2k ,y =log 5k , ∴x y =log 2k log 5k =log k 5log k 2=log 25. ★答案★:log 25 8.设A =1log 519+2log 319+3log 2 19,B =1log 2 π+1log 5 π,试比较A 与B 的大小. 解:利用换底公式,可得A =log 195+2log 193+3log 192=log 19360,B =log π2+log π5=log π10. ∵log 19360<log 19192,log π10>log ππ2, ∴log 19360<2,log π10>2,∴A <B .[例4] 2013年我国国民生产总值为a 亿元,如果年平均增长8%,那么经过多少年,我国国民生产总值是2013年的2倍?(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)[思路点拨] 认真分析题意,找出其中各量之间的关系,列出式子,并利用对数运算求解.[精解详析] 设经过x 年,我国国民生产总值是2013年的2倍. 经过1年,总产值为a (1+8%), 经过2年,总产值为a (1+8%)2. ……经过x 年,总产值为a (1+8%)x . 由题意得a (1+8%)x =2a ,即1.08x =2,两边取常用对数,得lg 1.08x=lg 2,则x=lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年).答:约经过9年,国民生产总值是2013年的2倍.[一点通]解对数应用题的步骤(1)理解题意,弄清各字母的含义;(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知a x=N(a,N是常数,且a>0,a≠1),求x;(3)在a x=N两边取以a为底的对数得x=log a N.(4)还原为实际问题,归纳结论.9.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是M=lg A-lg A0,其中,A 是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅,M为震级,则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍?解:M=7时,7=lg A1-lg A0,∴A1A0=107,即A1=107A0;当M=5时,A2=105A0,∴A1A2=107A0105A0=100(倍).因此7级地震的最大震幅是5级地震最大振幅的100倍.10.我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,分贝的定义是:y=10lg II0.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度,I0=10-12 w/m2,当I=I0时,y=0.(1)如果I=1 w/m2,求相应的分贝值;(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍?解:(1)∵I=1 w/m2,∴y=10lg II0=10lg110-12=10lg 1012=120(dB).(2)由70=10lg II0,得lgII0=7,∴II0=107.又由60=10lg I′I0,得lgI′I0=6,∴I′I0=106.∴II′=107106=10,即I=10I′.1.对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.2.根据对数的换底公式,可得出下列结论.(1)log a n b m =mnloga b (a >0,a ≠1,b >0,m ∈R ,n ∈R 且n ≠0);(2)log a b ·log b c ·log c d =log a d (a >0,b >0,c >0,d >0,a ≠1,b ≠1,c ≠1).一、填空题1.lg 5+lg 20的值是________. 解析:lg 5+lg 20=lg 100=1. ★答案★:12.(陕西高考改编)设a ,b ,c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是________.①log a b ·log c b =log c a ②log a b ·log c a =log c b ③log a (bc )=log a b ·log a c ④log a (b +c )=log a b +log a c解析:对①式:log a b ·log c b =log c a ⇒log a b =log c a log c b ,显然与换底公式不符,所以不恒成立;对②式:log a b ·log c a =log c b ⇒log a b =log c blog c a ,显然与换底公式一致,所以恒成立;对③式:log a (bc )=log a b ·log a c ,显然与公式不符,所以不恒成立.对④式:log a (b +c )=log a b +log a c ,同样与公式不符,所以不恒成立.★答案★:②3.已知a 2=1681(a >0),则log 23a =________.解析:由a 2=1681(a >0)得a =49,所以log 2349=log 23⎝⎛⎭⎫232=2. ★答案★:24.已知lg 2=a,10b =3,则lg 108=________(用a ,b 表示). 解析:由条件可知lg 2=a ,lg 3=b , ∴lg 108=lg(27×4)=lg 4+lg 27=2lg 2+3lg 3 =2a +3b . ★答案★:2a +3b5.已知3a =5b =m ,且1a +1b =2,则m 的值为________.解析:由条件可知a =log 3m ,b =log 5m , ∴1a +1b =log m 3+log m 5=2,∴log m 15=2. 即m 2=15,∴m =15. ★答案★:156.里氏震级M 的计算公式为:M =lg A -lg A 0,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.解析:由lg 1 000-lg 0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震最大振幅为A 9,则lg A 9-lg 0.001=9,解得A 9=106,同理5级地震最大振幅A 5=102,所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍.★答案★:6 10 000 二、解答题7.计算下列各式的值: (1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 25+23lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2.解:(1)法一:原式=12(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+12(2lg 7+lg 5)=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5 =12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12lg 10=12. 法二:原式=lg 427-lg 4+lg 75=lg 42×757×4=lg(2·5)=lg 10=12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2 =2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=3. 8.(1)设log 34·log 48·log 8m =log 416,求m ; (2)已知log 142=a ,用a 表示log27.解:(1)利用换底公式,得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8=2,∴lg m =2lg 3,于是m =9. (2)由对数换底公式,得 log27=log 27log 22=log 2712=2log 27=2(log 214-log 22) =2⎝⎛⎭⎫1a -1=2(1-a )a .9.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩余的质量约是原来的75%,估计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)?(lg 2≈0.301 0,lg3≈0.477 1)解:假设经过x 年,该物质的剩余量是原来的13,根据题意得:0.75x =13,∴x =log 0.7513=-lg 3lg 3-lg 4=-lg 3lg 3-2lg 2≈4.故估计约经过4年,该物质的剩余量是原来的13.细胞分裂的过程中,1个分裂成2个,2个分裂成4个,依此类推,… 问题1:当细胞分裂成64个时,分裂了多少次? 提示:6次.问题2:当细胞的数目确定时,分裂的次数是唯一确定的吗?提示:是唯一确定的.问题3:当已知细胞数目y时,分裂次数x如何表示?提示:由y=2x可得x=log2y.一般地,函数y=log a x(a>0,a≠1)叫做对数函数,它的定义域是(0,+∞).考察函数y=log2x和y=logx的图象.12问题1:试作出这两个函数的图象.提示:如图所示:问题2:它的图象与y轴有交点吗?为什么?提示:没有交点.因为x>0.问题3:它的图象与x轴有公共点吗?y=log a x过这一点吗?提示:有公共点(1,0),过.问题4:这两个函数的图象有什么关系?提示:关于x轴对称.问题5:它们的增减性怎样?提示:y=log2x在(0,+∞)上单调递增.x在(0,+∞)上单调递减.y=log12对数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性定义域:(0,+∞)质值域:(-∞,+∞)过点(1,0),即当x=1时,y=0在(0,+∞)上是单调增函数在(0,+∞)上是单调减函数问题1:作出函数y=2x与y=log2x的图象.提示:如图:问题2:它们的图象有什么关系?提示:关于直线y=x对称.指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数,其图象关于直线y=x对称,一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x).1.对数函数是一个形式概念,只有形如y=log a x(a>0,a≠1)的函数才是对数函数.如函数y=log2x+1,y=log2(x+1),y=2log2x等都不是对数函数.2.由指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系:由此可知:对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围;对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围.3.不论a(a>0且a≠1)取何值,函数f(x)=log a x必过定点(1,0),这是因为“不论底数为何值,1的对数等于0”.因此涉及与对数函数有关的定点问题,均可利用此性质求解.[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=log(x-1)(x+2);(2)f(x)=log(1-2x)(3x+2);(3)f(x)=1 log2(x-1).[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解.[精解详析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x-1>0,x-1≠1,x+2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x>1,x≠2,x>-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧x>1,x≠2.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1-2x>0,1-2x≠1,3x+2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<12,x≠0,x>-23,∴⎩⎪⎨⎪⎧-23<x<12,x≠0.故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|-23<x<12且x≠0.(3)由log2(x-1)≠0知x-1≠1,∴x≠2.又x-1>0,∴x>1.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}.[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围.常用的方法有:①分母不等于零;②根指数为偶数时,被开方数为非负数;③对数的真数大于零,对数的底数大于零且不等于1.1.(广东高考改编)函数f(x)=lg(x+1)x-1的定义域是________.解析:要使函数有意义,须满足:⎩⎪⎨⎪⎧x+1>0x-1≠0⇒x>-1且x≠1,∴函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞).★答案★:(-1,1)∪(1,+∞)2.求下列函数的定义域:(1)y=log2(4x-3);(2)y=log5-x(2x-2).解:(1)要使函数有意义,须满足: log 2(4x -3)≥0=log 21, ⇒1≤4x -3⇒x ≥1,∴函数的定义域为[1,+∞). (2)要使函数有意义,须满足: ⎩⎪⎨⎪⎧2x -2>05-x >05-x ≠1⇒1<x <5且x ≠4.∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).[例2] 作出函数y =|log 2(x +1)|+2的图象,并指出其单调区间. [思路点拨] 按下列顺序作图,作图后再观察得出单调区间. y =log 2x →y =log 2(x +1)→y =|log 2(x +1)|→y =|log 2(x +1)|+2. [精解详析] 第一步:作出y =log 2x 的图象,如图(1).第二步:将y =log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y =log 2(x +1)的图象,如图(2). 第三步:将y =log 2(x +1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y =|log 2(x +1)|的图象,如图(3).第四步:将y =|log 2(x +1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位,得到y =|log 2(x +1)|+2的图象,如图(4).由图可知,函数的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+∞).[一点通] 按函数图象的平移,翻折变换作图,先作出基本的函数y =f (x )图象,然后再按顺序作函数y =|f (x +a )|+b 的图象.3.已知a >0且a ≠1,则函数y =a x 与y =log a (-x )在同一坐标系中的图象为________(填序号).解析:法一:首先,曲线y =a x 位于x 轴上方,y =log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除(1)(3).其次,从单调性入手,y =a x 与y =log a (-x )的增减性正好相反,又可排除(4).法二:若0<a <1,则曲线y =a x 下降且过点(0,1),而曲线y =log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a >1,则曲线y =a x 上升且过点(0,1),而曲线y =log a (-x )下降且过点(-1,0),只有(2)满足条件.法三:如果注意到y =log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y =log a x ,又y =log a x 与y =a x 互为反函数(图象关于直线y =x 对称),则可直接选定(2).★答案★:(2)4.如图所示,曲线是对数函数y =log a x 的图象,已知a 值取3,43,35,110,则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为________. 解析:过点(0,1)作平行于x 轴的直线,与C 1、C 2、C 3、C 4的交点的坐标为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1),其中a 1、a 2、a 3、a 4分别为各对数的底数,显然a 1>a 2>a 3>a 4,所以C 1、C 2、C 3、C 4的底数值依次为3、43、35、110.★答案★:3、43、35、110[例3] 比较下列各组数的大小: (1)log 0.13与log 0.1π; (2)log 45与log 65; (3)3log 45与2log 23.[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关,可借助对数函数的单调性比较大小. [精解详析] (1)∵函数y =log 0.1x 是减函数,π>3, ∴log 0.13>log 0.1π.(2)∵函数y =log 4x 和y =log 6x 都是增函数, ∴log 45>log 44=1,log 65<log 66=1. ∴log 45>log 65.(3)∵3log 45=log 453=log 4125=log 2125log 24=12log 2125=log2125,2log 23=log 232=log 29,又∵函数y =log 2x 是增函数,125>9, ∴log 2125>log 29,即3log 45>2log 23.[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似.当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;当底数不同时,可用换底公式或找中间值联系传递,如取0,1,-1等进行比较.5.设a =log 54,b =(log 53)2,c =log 45则a ,b ,c 的大小关系为________. 解析:∵1>log 54>log 53>0,∴(log 53)2<log 53. 又∵log 45>log 44=1,∴c >a >b . ★答案★:c >a >b6.(重庆高考改编)设a =log 1312,b =log 1323,c =log 343,则a ,b ,c 由小到大的顺序为________.解析:a =log 1312=log 32,b =log 1323=log 332,c =log 343,函数y =log 3x 在(0,+∞)上是增函数,43<32<2,即c <b <a .★答案★:c <b <a7.比较下列各组数的大小: (1)log 0.30.1与log 0.33;(2)log a (a +2)与log a (a +3)(a >0,a ≠1); (3)log 3π,log 76与ln 0.2.解:(1)∵函数y =log 0.3x 是减函数,0.1<3, ∴log 0.30.1>log 0.33. (2)∵a +2<a +3,∴①当a >1时,log a (a +2)<log a (a +3), ②当0<a <1时,log a (a +2)>log a (a +3). (3)∵log 3π>1,0<log 76<1,ln 0.2<0, ∴log 3π>log 76>ln 0.2.函数y =log a x (a >0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象,注意变化规律:(1)上下比较:在直线x =1的右侧,a >1时,a 越大,图象向右越靠近x 轴,0<a <1时a 越小,图象向右越靠近x 轴.(2)左右比较:比较图象与y =1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.一、填空题1.(重庆高考改编)函数y =1log 2(x -2)的定义域为________.解析:要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x -2>0,log 2(x -2)≠0,解得x >2且x ≠3.★答案★:(2,3)∪(3,+∞)2.函数f (x )=log a (2x +1)+2(a >0且a ≠1)必过定点________. 解析:∵log a 1=0,∴x =0时f (x )=2. 故函数f (x )过定点(0,2). ★答案★:(0,2)3.(新课标卷Ⅱ改编)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则a ,b ,c 的大小关系是________. 解析:由题意知:a =log 36=1+log 32=1+1log 23,b =log 510=1+log 52=1+1log 25,c =log 714=1+log 72=1+1log 27,因为log 23<log 25<log 27,所以a >b >c . ★答案★:a >b >c4.若y =(log 12a )x 在R 上为减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:∵函数y =(log 12a )x 在R 上为减函数,∴0<log 12a <1.∴12<a <1.★答案★:(12,1)5.函数y =log a x ,x ∈[2,4],a >0且a ≠1,若此函数的最大值比最小值大1,则a =________. 解析:当a >1时,log a 4-log a 2=1,解得a =2, 当0<a <1时,log a 2-log a 4=1,解得a =12.∴a =2或12.★答案★:2或126.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0),(12)x (x ≤0),则f [f (127)]=________.解析:因为f (127)=log 3127=-3,所以f [f (127)]=f (-3)=(12)-3=8.★答案★:8 二、解答题7.已知函数f (x )=log 2(x -3). (1)求f (51)-f (6)的值;(2)若f (x )≥0,求x 的取值范围. 解:(1)∵f (x )=log 2(x -3),∴f (51)-f (6)=log 2(51-3)-log 2(6-3) =log 248-log 23=log 216=4.(2)f (x )≥0即log 2(x -3)≥0,∴x -3≥1解得x ≥4. 所以x 的取值范围为[4,+∞).8.设y 1=log a (3x +1),y 2=log a (-3x ),其中0<a <1. (1)若y 1=y 2,求x 的值; (2)若y 1>y 2,求x 的取值范围.解:(1)∵y 1=y 2,∴log a (3x +1)=log a (-3x ), ∴3x +1=-3x ,解得x =-16,经检验x =-16在函数的定义域内,∴x =-16.(2)y 1>y 2,即log a (3x +1)>log a (-3x )(0<a <1),∴⎩⎪⎨⎪⎧3x +1>0,-3x >0,3x +1<-3x ,解得-13<x <-16,∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-13,-16. 9.已知f (x )=log 3x . (1)作出这个函数的图象;(2)当0<a <2时,有f (a )>12,利用图象求a 的取值范围.解:(1)作出函数y =log 3x 的图象如图所示.(2)令f (x )=12,即log 3x =12,解得x = 3.由如图所示的图象知: 当0<a <2时, 若f (a )>12,则3<a <2.故当0<a <2时,满足f (a )>12的a 的取值范围为(3,2).[例1] 求函数y =log 12(6+x +2x 2)的单调区间.[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域,把函数转化为两个函数y =log 12u ,u =6+x+2x 2构成,根据它们各自的单调性来进行判断.[精解详析] 由6+x +2x 2>0得2(x +14)2+478>0,即函数定义域是R 令u (x )=2x 2+x +6,则函数u (x )=2x 2+x +6的单调增区间为 (-14,+∞),单调减区间为(-∞,-14). 又∵y =log 12u 在(0,+∞)上是减函数,∴函数y =log 12(6+x +2x 2)的单调增区间为(-∞,-14),单调减区间为(-14,+∞).[一点通](1)研究函数的单调性,首先必须考虑它的定义域;(2)对于形如y =f (g (x ))的函数的单调性,必须考虑u =g (x )与y =f (u )的单调性,从而得出f (u )=f (g (x ))的单调性;(3)判断函数的单调性,或者求函数的单调区间,也可画出函数图象求解.1.函数f (x )=log 12(1-2x )的单调递增区间是________.解析:由1-2x >0得x <12,∵u =1-2x 在(-∞,12)上单调递减,y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减.∴f (x )=log 12(1-2x )在(-∞,12)上单调递增.★答案★:(-∞,12)2.已知函数f (x )=log 0.5(x 2-ax +3a )在[2,+∞)单调递减,则a 的取值范围________. 解析:根据复合函数的单调性知, ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2,22-2a +3a >0,解得-4<a ≤4. ★答案★:(-4,4]3.判断函数y =f (x )=log a (1-x )的单调性.解:由1-x >0,得函数f (x )=log a (1-x )的定义域为(-∞,1). 令u =1-x =-x +1,∴y =log a u . ∵u =-x +1在(-∞,1)上是减函数,当a >1时,y =log a u 在u ∈(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,y =log a u 在u ∈(0,+∞)上是减函数; ∴当a >1时,f (x )=log a (1-x )在(-∞,1)上是减函数; 当0<a <1时,f (x )=log a (1-x )在(-∞,1)上是增函数.[例2] 解下列不等式: (1)log 2(2x -1)<log 2(-x +5); (2)log x 12>1.[思路点拨] (1)利用y =log 2x 的单调性求解; (2)分类讨论,分x >1和0<x <1讨论. [精解详析] 因为对数式中真数大于0,所以⎩⎪⎨⎪⎧2x -1>0,-x +5>0.解得12<x <5.又函数y =log 2x 在(0,+∞)上是增函数, 所以原不等式化为2x -1<-x +5,解得x <2. 所以原不等式的解集是{x |12<x <2}.(2)当x >1时,原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12,这与x >1矛盾;当0<x <1时,原不等式可化为log x 12>log x x ,∴x >12.结合0<x <1,所以12<x <1.故原不等式的解集为(12,1).[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件:真数大于零,底数大于零且不等于1,再根据对数函数的单调性,把对数的不等式转化为真数的不等式,然后求交集即得原不等式的解集.4.不等式log 2(x -3)>1的解集为________. 解析:∵log 2(x -3)>1, ∴log 2(x -3)>log 22. ∴x -3>2,x >5. ★答案★:{x |x >5}5.(1)已知log a 12>1,求a 的取值范围;(2)已知log 0.72x <log 0.7(x -1),求x 的取值范围. 解:(1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时,有a <12,此时无解.②当0<a <1时,有12<a ,从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12,1.(2)∵函数y =log 0.7x 在(0,+∞)上为减函数, ∴由log 0.72x <log 0.7(x -1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0,x -1>0,2x >x -1,解得x >1.∴x 的取值范围是(1,+∞)[例3] 已知函数f (x )=log m (x +1)-log m (1-x )(m >0且m ≠1), (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性.[思路点拨] (1)确定定义域是解x +1>0且1-x >0,而不是x +11-x >0;(2)判断奇偶性可利用定义来判定.[精解详析] (1)由x +1>0且1-x >0得 -1<x <1.∴f (x )的定义域是(-1,1). (2)函数的定义域关于原点对称, 且f (-x )=log m (-x +1)-log m (1+x ) =-[log m (1+x )-log m (1-x )]=-f (x ), ∴y =f (x )是奇函数.[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在:对数的运算,与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题.解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧.6.已知f (x )是定义在[-2,2]上的单调递增函数,且f (x )的最大值为1,则满足f (log 2x )<1的解集为________.解析:函数f (x )在[-2,2]上单调递增且f (x )的最大值为1,∴f (2)=1.∴f (log 2x )<1可化为f (log 2x )<f (2),即log 2x <2,即0<x <4.又-2≤log 2x ≤2,∴14≤x ≤4.故14≤x <4.★答案★:[14,4)7.设函数f (x )=log a ⎝⎛⎭⎫1-ax ,其中0<a <1. (1)证明:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; (2)若f (x )>1,求x 的取值范围. 解:(1)证明:令0<a <x 1<x 2, g (x )=1-ax,则g (x 1)-g (x 2)=⎝⎛⎭⎫1-a x 1-⎝⎛⎭⎫1-a x 2=a (x 1-x 2)x 1x 2<0, ∴g (x 1)<g (x 2),又∵0<a <1, ∴f (x 1)>f (x 2),∴f (x )在(a ,+∞)上是减函数. (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1-a x >1,∴0<1-ax <a . ∴1-a <ax <1,∵0<a <1,∴1-a >0,从而a <x <a1-a .∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ,a1-a .1.对于函数y =log a f (x )(a >0且a ≠1)单调性的判断,首先应求满足f (x )>0的x 的范围,即函数的定义域.假设f (x )在定义域的子区间I 1上单调递增,在区间I 2上单调递减,则(1)当a >1时,原函数与内层函数f (x )的单调性相同,即在I 1上单调递增,在I 2上单调递减.(2)当0<a <1时,原函数与内层函数f (x )的单调性不同,即在I 1上单调递减,在I 2上单调递增.2.关于对数函数性质的几点应用:(1)y =log a x 中定义域(0,+∞)――――――→可延伸为y =log a f (x )的定义域,需f (x )>0. (2)y =log a x 过定点(1,0)――――――→可延伸为y =log a f (x )过定点,只需f (x )=1即可. (3)y =log a x 的单调性――――――→可延伸为 y =log a f (x )的单调性,利用y =log a u 和u =f (x )的单调性判断.(4)考查y =log a f (x )的奇偶性,定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易.一、填空题1.(江苏高考)函数ƒ(x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________.解析:由题意知,函数ƒ(x )=log 5(2x +1)的定义域为{x |x >-12},所以该函数的单调增区间为(-12,+∞).答案:(-12,+∞)2.函数y =3x 的反函数是________,y =log 12x 的反函数是________.解析:∵函数y =a x 与函数y =log a x 互为反函数,∴函数y =3x 的反函数是y =log 3x ,函数y =log 12x 的反函数是y =(12)x .答案:y =log 3x y =(12)x3.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,且f (12)=0,则满足f (log 14x )<0的集合为________.解析:因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,所以在(-∞,0]上单调递增.又f (12)=0,所以f (-12)=0,由f (log 14x )<0可得log 14x <-12或log 14x >12,解得x ∈(0,12)∪(2,+∞).答案:{x |0<x <12或x >2} 4.设a =0.32,b =20.3,c =log 25,d =log 20.3,则a ,b ,c ,d 的大小关系是__________(从小到大排列).解析:∵a =0.32∈(0,1).b =20.3∈(1,2),c =log 25∈(2,3),d =log 20.3∈(-1,0),∴d <a <b <c . 答案:d <a <b <c5.已知f (x )是定义域为R 的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是________.解析:由奇函数图象的对称性,知函数f (x )的图象如图所示.由图象知满足f (x )>0的x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |,0<x ≤10,-12x +6,x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则abc 的取值范围是________.解析:函数f (x )的图象如图∵f (a )=f (b ),即|lg a |=|lg b |.∴ab =1,又10<c <12∴abc ∈(10,12).答案:(10,12)二、解答题7.解不等式:log a (3x -4)>log a (x -2).解:原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ log a (3x -4)>log a (x -2),3x -4>0,x -2>0.(1)当a >1时,又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -4>x -2,3x -4>0,x -2>0,解得x >2.(2)当0<a <1时,又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -4<x -2,3x -4>0,x -2>0,不等式无解.综上可知:当a >1时,不等式的解集为(2,+∞);当0<a <1时,不等式无解.8.已知函数f (x )=lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性;(2)画出函数f (x )的草图;(3)求函数f (x )的单调递减区间,并加以证明.解:(1)要使函数有意义,x 的取值需满足|x |>0,解得x ≠0,即函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f (-x )=lg |-x |=lg |x |=f (x ),∴f (-x )=f (x ).∴函数f (x )是偶函数.(2)由于函数f (x )是偶函数,则其图象关于y 轴对称,如图所示.(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(-∞,0).证明:设x 1、x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=lg |x 1|-lg |x 2|=lg |x 1||x 2|.∵x 1、x 2∈(-∞,0),且x 1<x 2,∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1||x 2|>1.∴lg |x 1||x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2).∴函数f (x )在(-∞,0)上是减函数,即函数的单调递减区间是(-∞,0).9.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-(4a +1)x -8a +4,x <1,log a x ,x ≥1.(1)当a =12时,求函数f (x )的值域;(2)若函数f (x )是(-∞,+∞)上的减函数,求实数a 的取值范围.解:(1)当a =12时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-3x ,x <1log 12x ,x ≥1,当x <1时,f (x )=x 2-3x 是减函数,所以f (x )>f (1)=-2,即x <1时,f (x )的值域是(-2,+∞).当x ≥1时,f (x )=log 12x 是减函数, 所以f (x )≤f (1)=0,即x ≥1时,f (x )的值域是(-∞,0].于是函数f (x )的值域是(-∞,0]∪(-2,+∞)=R .(2)若函数f (x )是(-∞,+∞)上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立:①当x <1时,f (x )=x 2-(4a +1)x -8a +4是减函数,于是4a +12≥1, 则a ≥14; ②当x ≥1时,f (x )=log a x 是减函数,则0<a <1;③12-(4a +1)·1-8a +4≥0,则a ≤13. 于是实数a 的取值范围是[14,13].。
2013版高考数学 3.2.1 第1课时 对数的概念课件 苏教版必修1

log 3 243 5
Байду номын сангаас
1 (2) 2 256
8
(3) 27 (4)
1 3
1 3
1 log 2 8 256 1 1 log 27 3 3
5 30
x
log 5 30 x
例2: 将下列对数式改写成指数式: (1)log 5 125 3
均增长7%,那么经过多少年,我国国民生产总值是2011
年的2倍?
1 1 解:1. (1) 2
5
32
1 (2) 0.125 x ? 2
x
2. a(1+7%)x=2a
1 7%x 2 x ?
这是已知底数和幂的值,求指数! 你能看得出来吗?怎样求呢?
例1:将下列指数式改写成对数式: 注意互
(1) 2 4 16
化关系
log 2 16 4
1 log 3 3 27
1 (2) 3 27
3
(3) 5a 20
log 5 20 a
log 1 0.45 b
2
(4) ( 1 ) b = 0.45 2
把下列指数式改写成对数式:
(2)lne2 =2
(3) 10lg2 2
1.求下列等式中的x的值.
(1) log x 81 = 2
2.求下列各式的值.
x= 9
(2)10x+ lg2 = 2000
x= 3
(1)log6 216
3 = 2
(2)log0.5 1- log0.5 4
= 2
3、求下列各式中的x.
2 (1)log8 x ;(2)log2 (log5 x) 0;(3)log3 (lg x) 1. 3
高中数学第3章3.2.1对数第2课时对数的运算性质讲义必修

第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质进行对数的有关运算.(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题.(难点)通过学习本节内容,提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1.符号表示如果a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log a (MN )=log a M +log a N ; (2)log a M n=n log a M (n ∈R ); (3)log a M N=log a M -log a N . 2.文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和; (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数; (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数. 3.换底公式一般地,我们有log a N =log c Nlog c a ,(其中a >0,a ≠1,N >0,c >0,c ≠1),这个公式称为对数的换底公式.4.与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a =1(a ,b >0且a ,b ≠1); (2)log am b n =n mlog a b (a ,b >0且a ,b ≠1,m ≠0).1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差. ( ) (2)log a x ·log a y =log a (x +y ). ( ) (3)log a (-2)4=4log a (-2). ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质,只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差,(1)错误,(2)错误,(3)中-2不能作真数.2.(1)log2 25-log2254=________;(2)log2 8=________.(1)2(2)3『(1)log2 25-log2254=log225×425=log2 4=log2 22=2log2 2=2.(2)log2 8=log2 23=3log2 2=3.』3.若lg 5=a,lg 7=b,用a,b表示log75=________.ab『log75=lg 5lg 7=ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2+lg 5;(2)log535+2log122-log5150-log514;(3)『(1-log63)2+log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨:根据对数的运算性质,先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算.『解』(1)lg 2+lg 5=lg (2×5)=lg 10=1.(2)原式=log535×5014+2log12212=log5 53-1=2.(3)原式=『(log6 6-log6 3)2+log62·log6(2·32)』÷log6 4=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632+log6 2(log6 2+log6 32)÷log6 22=『(log6 2)2+(log6 2)2+2log62·log6 3』÷2log6 2=log6 2+log6 3=log6(2·3)=1.1.对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).2.注意对数的性质的应用,如log a 1=0,log a a=1,a log a N=N.3.化简的式子中有多重对数符号时,应自内向外逐层化简求值.1.计算下列各式的值:(1)12lg 3249-43lg 8+lg 245; (2)lg 25+23lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2;(3)2log 3 2-log 3 329+log 3 8-5log 5 3.『解』 (1)法一:原式=12(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+12(2lg 7+lg 5)=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5 =12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12lg 10=12. 法二:原式=lg 427-lg 4+lg 7 5=lg 42×757×4=lg (2·5)=lg 10=12.(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=2+(lg 10)2=2+1=3.(3)原式=2log 3 2-(log 3 32-log 3 9)+3log 3 2-3=2log 3 2-5log 3 2+2+3log 3 2-3=-1.『例2』 化简:(1)log 2(28×82);(2)用lg 2和lg 3表示lg 24; (3)用log a x ,log a y ,log a z 表示log a (xy 2z -12).思路点拨:将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来. 『解』 (1)log 2(28×82)=log 2『28×(23)2』=log 2(28+3×2)=log 2 214=14.(2)lg 24=lg (3×8)=lg 3+lg 8=lg 3+3lg 2.(3)log a (xy 2z -12)=log a x +log a y 2+log a z -12=log a x +2log a y -12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ,log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2.化简:(1)log 2(45×82);(2)log 1327-log 139;(3)用lg x ,lg y ,lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)=log 2 (210×26)=log 2 216=16log 2 2=16×2=32. (2)log 1327-log 139=log 13279=log 133=-1.(3)lgx 2y3z=lg x 2+lg y -lg 3z =2lg x +12lg y -13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a =5b=c ,且a +b=2,则c 的值为________. (2)已知x ,y ,z 为正数,3x=4y=6z,2x =py . ①求p ;②证明:1z -1x =12y.思路点拨:用换底公式统一底数再求解.(1)15 『由3a =5b=c ,得a =log 3c ,b =log 5c ,所以1a =log c 3,1b =log c 5.又1a +1b=2,所以log c 3+log c 5=2,即log c 15=2,c =15.』(2)『解』 ①设3x=4y=6z=k (k >1),则x =log 3k ,y =log 4k ,z =log 6k ,由2x =py ,得2log 3k =p log 4k ,解得p =2log 34=4log 32.②证明:1z -1x =1log 6k -1log 3k=log k 6-log k 3=log k 2, 而12y =12log 4k =12log k 4=log k 2. 故1z -1x =12y.1.换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数,从而进行化简、计算或证明.换底公式应用时,一般换成以10为底的常用对数,或以e 为底的自然对数,但也应该结合已知条件来确定.2.换底公式推导出的两个恒等式: (1)log am N n=nmlog a N ;(2)log a b ·log b a =1,要注意熟练应用.3.计算:(log 2 125+log 4 25+log 8 5)(log 5 2+log 25 4+log 125 8).对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍?(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 1.08≈0.033 4,精确到1年)思路点拨:认真分析题意,找出其中各量之间的关系,列出式子,并利用对数运算求解. 『解』 设经过x 年,我国国民生产总值是2015年的2倍. 经过1年,总产值为a (1+8%), 经过2年,总产值为a (1+8%)2, ……经过x 年,总产值为a (1+8%)x. 由题意得a (1+8%)x=2a ,即1.08x =2, 两边取常用对数,得lg 1.08x=lg 2, 则x =lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年).答:约经过9年,国民生产总值是2015年的2倍.解对数应用题的步骤4.2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元,如果我国的GDP 年均增长7.8%左右,按照这个增长速度,在2000年的基础上,经过多少年后,我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标?(lg 2≈0.301 0,lg 1.078≈0.032 6,结果保留整数).『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标,根据题意,得89 442×(1+7.8%)x=89 442×4,即1.078x=4,故x =log 1.078 4=lg 4lg 1.078≈18.5.答:约经过19年以后,我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标.含对数式的方程的解法1.对数的运算性质有哪些?『提示』 log a (MN )=log a M +log a N ,log a M N =log a M -log a N ,log a b =log c blog c a,log a Mn=n log a M ,log am b n=nmlog a b .2.解对数方程log a M =log a N ,应注意什么?『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M =N ,M >0,N >0.『例5』 已知lg x +lg y =2lg (x -2y ),求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值.思路点拨:根据对数的运算性质得到x ,y 的关系式,解方程即可. 『解』 lg x +lg y =lg (xy )=2lg (x -2y )=lg (x -2y )2, 由题知,xy =(x -2y )2,即x 2-5xy +4y 2=0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2-5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +4=0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y -4=0,故xy =1或4.又当x =y 时,x -2y =-y <0,故舍去,∴xy=4. ∴log 12 xy =log 124=-2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质;(2)对数中底数和真数的范围限制.5.解方程:1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意:(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误:①log a N n=(log a N )n;②log a (MN )=log a M ·log a N ;③log a M ±log a N =log a (M ±N ).1.如a >0,a ≠1,x >0,y >0,则下列式子正确的是( ) A .log a x +log a y =log a (x +y ) B .log a x -log a y =log a (x -y ) C .log a xy=log a x ÷log a y D .log a (xy )=log a x +log a yD 『由对数的运算性质知D 正确.』2.已知lg 2=a ,lg 7=b ,那么用a ,b 表示log 8 98=________.a +2b 3a 『log 8 98=lg 98lg 8=2lg 7+lg 23lg 2=a +2b3a.』 3.已知2m =5n=10,则1m +1n=________.1 『因为m =log2 10,n =log 5 10,所以1m +1n=lg 2+lg 5=lg 10=1.』4.已知lg(x +2y )+lg(x -y )=lg 2+lg x +lg y ,求x y的值.『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x +2y >0,x -y >0,x >0,y>0,(x +2y )(x -y )=2xy ,即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x +2y )(x -y )=2xy ,整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ,y >0,(x -2y )(x +y )=0,∴x -2y =0,∴xy=2.。
苏教版高中数学必修一:2.3.1对数

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4. 对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算,培养
逆向思维能力.
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1. 如果 ax=N(a>0, a≠1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数. 记 作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数.对数式的书写 格式:
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例如:将指数式化为对数式:
项目 指数式 对数式
式子 ab=N logaN=b
a 底 数 底 数 方 根 数
b 指数 对数 根指 数
N 幂 真数 被开方 数
意
义
根式
a= N
b
a的b次 幂等于 N 以 a 为底 N 的对数 等于 b N的b次 方根等 于a
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利用对数式与指数式之间的关系,可以把指数与对数进行互 化,从而使问题顺利地得到解决,求某些对数值就可以把它转化为 指数问题.
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9.设 a>0,b>0,且均不为 1,由换底公式可加以求证: (1)logab· logba=1; n (2)logamb =mlogab.
n
例如:①log23· log32=______________; ②log89=______________ .
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lg b lg a 证明:(1)logab· logba= · =1. lg a lg b
n lg b nlg b n n (2) log am b = =mlogab. m= lg a mlg a
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①1
2 ② log23 3
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一、对数的概念
指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 中,a、b、N 三者间的关系实 质如下(a>0 且 a≠1):
高中数学必修1PPT课件对数函数图像与性质PPT29页

56、死去何所道,托体同山阿。 57、春秋多佳日,登高赋新诗。 58、种豆南山下,草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ,带月 荷锄归 。道狭 草木长 ,夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ,但使 愿无违 。 59、相见无杂言,但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕,亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67பைடு நூலகம்今天应做的事没有做,明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生,以及整个命运 的,只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
2013版高考数学 3.2.2 第1课时 对数函数的概念、图象及性质课件 苏教版必修1

探究一:指数函数与对数函数的图象
作图:在同一坐标系下画出函数y log 2 x与函数y 2 x 的图象.
y
5 4 3 2 1
● ● ● ●
y=2x
●
y=x
●
●
y=log2x
●
-1
O -1
● ●
1
2
3
4
5
x
由图象可知:函数y 2x 与y log 2 x的图象关于直线y x 对称.
又因为 0 0.2 0.3, 所以 log 2 0.2 log 2 0.3.
2 考察函数 y log 0.3 x.因为它的底数是 0.3, 且 0 0.3 1, 所以y log 0.3 x在 0, 上是单调减函数.
又因为 0 1.8 2.1, 所以 log 0.3 1.8 log 0.3 2.1.
3 考察对数函数 y log 7 x.因为它的底数是 7, 且 7 1, 所以 y log 7 x在 0, 上是单调增函数.
又因为 0 5 7, 所以 log 7 5 log 7 7 1 .
同理, log 6 7 log 6 6 1, 所以 log 7 5 log 6 7 .
思考:当a 0且a 1时,函数y log a x与函数y a x 的图象有什么关系?
一般地,当a 0且a 1时,函数y log a x与函数y a x的 图象关于直线y x对称.
提升总结: 互为反函数的两个函数的性质: 1.如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数. 2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单 调性。
3.2.2 对数函数
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小结拓展
对数的定义:
一般地,如果 a x N(a 0,且a 1) ,那么数x叫做以a
为底N的对数(logarithm),记作 x log a N.
其中a叫做对数的底数,N叫做真数,读作:以a为底N的对数.
“log”同“+,,,”等运算符号一样
个式子中分别代表什么?
2. 为什么定义中规定 a 0, a 1 ?
3. 零与负数有没有对数?
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自由组合
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-1,0,1,2,e,4,10
集合A 对数loga 1,loga a a 0, a 1
2、求出所写对数的值或者它表示什么;有什么特点?
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感受“大数”
一把量天的尺子——光年 光年是一个距离单位
1光年为9 460 730 472 580 800米
以1年=365天5小时48分45.9747秒, 光速=299792458米/秒来计算, 二者相乘结果就是 1光年≈9.461×1015米
表示一种运算
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理解概念
x1 y=2x 2
x 11 y=2x 2048
2 4 12 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
16 32 64 128
14 15 16
17
16384 32768 65536 131072
8 256 18 262144
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对数的产生源于天文学的发展 数学家们也在试图改进运算方法,他们发现借助指数幂是有效的方法.
观察表1.
x1 2
y=2x 2
4
x 11 12
y=2x 2048 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
8
9
10
16 32 64 128 256 512 1024
14 15 16
17
18
19
20
14 15 16
17
18
19
20
16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
在不使用计算器的前提下,利用表1,计算256×4096=
28 212 220 1048576
思考:138 521 2m 2n ?
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一个人走完一光年需要 大约196,362,193年,约2亿年
在16至17世纪,天文学开始迅速发展,天文学家为了计算 一个行星的位置,时常需要耗费几个月甚至几年的时间,问题 主要就集中在“大数”运算上. 因此,改进运算方法成为了天 文学家们的当务之急.
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3.2.1对数的概念
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全球最大的搜素引擎“谷歌”
英国数学家卡斯纳(E.Kasner)的侄子创造了单词“googol”——大数,10100 象征无与伦比的搜索能力
10100=1010 2 指数的指数——超指数 很多巨大的数可以用指数来表示
9
10
512 1024
19
20
524288 1048576
2x 256 x log2 256 8 28 256
2x 138 x log2 138
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对数历史
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纳皮尔(苏格兰)
研究对数用了20多年,1614年,他出版了名为《奇妙的对数定理说 明书》的著作,发表了他关于对数的讨论,并包含了一个正弦对数表。
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在不使用计算器的前提下,利用表1,计算256×4096=
28 212 220 1048576
完成 M N M 0, N 0 计算的过程如下 M N 2x1 2x2 2x1x2
利用对应关系:qk k 把“大数”的乘法变成了较小的数的加法
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观察数的运算的发展,思考问题:
(1)已知a+x=N,求 x 引入减法 x=N-a
(2)已知ax=N(a 0), 求 x 引入除法
x N a
(3)已知 xn N ,求 x 引入开方
x
n
N
, n为偶数
n N,n为奇数
(4)已知 ax N (a 0, 且a 1) ,求 x 引入什么?对数!
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对数的产生源于天文学的发展
y
思考:138 521 2m 2n ?
y 2x
更一般地:
138 521 3m 3n ? 138521 10m 10n ? 138 521 a? a?
138 P
给定正数 N ,则 N =a x
如何准确表示出 x 的值?
1
唯一存在
0m
x
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◆拉普拉斯 说:对数用 缩短计算时 间延长了天 文学家的寿 命.
拉普拉斯(法国)
◆给我空间、 时间及对数, 我就可以创 造一个宇宙.
伽利略(意大利)
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理解概念
阅读教材思考交流:
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1. 式子 a x N 和 loga N x 有什么关系?a,x,N在两
3、写出该对数相应的指数式.
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常用对数 自然对数
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-1,0,1,2,e,4,10
集合A
2、求出所写对数的值或者它表示什么; 3、写出该对数相应的指数式. 4、用集合A中的元素写出一个指数并写出相应的对数式.
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对数的产生源于天文学的发展 数学家们也在试图改进运算方法,他们发现借助指数幂是有效
的方法.观察表1.
x1 2
y=2x 2
4
x 11 12
y=2x 2048 4096
3 8 13 8192
4
5
6
7
8
9
10
16 32 64 128 256 512 1024