初中一年级数学几何证明题答案
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN于E 、F .求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD 并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,OP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
初中数学几何证明题及参考答案
初中数学几何证明题及参考答案初中数学几何证明题及参考答案几何证明题是初中学生在学习数学时需要掌握的重点知识。
为了帮助初中生学会几何证明题,下面就是店铺给大家整理的初中数学几何证明题及参考答案,希望大家喜欢。
初中数学几何证明题及参考答案1己知M是△ABC边BC上的中点,,D,E分别为AB,AC上的点,且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE。
延长EM至F,使MF=EM,连BF.∵BM=CM,∠BMF=∠CME,∴△BFM≌△CEM(SAS),∴BF=CE,又DM⊥EM,MF=EM,∴DE=DF而∠DBF=∠ABC+∠MBF=∠ABC+∠ACB<180°,∴BD+BF>DF,∴BD+CE>DE。
初中数学几何证明题及参考答案2己知M是△ABC边BC上的中点,,D,E分别为AB,AC上的点,且DM⊥EM。
求证:BD+CE≥DE过点C作AB的'平行线,交DM的延长线于点F;连接EF因为CF//AB所以,∠B=∠FCM已知M为BC中点,所以BM=CM又,∠BMD=∠CMF所以,△BMD≌△CMF(ASA)所以,BD=CF那么,BD+CE=CF+CE (1)且,DM=FM而,EM⊥DM所以,EM为线段DF的中垂线所以,DE=EF在△CEF中,很明显有CE+CF>EF (2)所以,BD+CE>DE当点D与点B重合,或者点E与点C重合时,仍然采用上述方法,可以得到BD+CE=DE综上就有:BD+CE≥DE。
初中数学几何证明题及参考答案3证明因为∠DME=90°,∠BMD<90°,过M作∠BMD=∠FMD,则∠CME=∠FME。
截取BF=BC/2=BM=CM。
连结DF,EF。
易证△BMD≌△FMD,△CME≌△FME所以BD=DF,CE=EF。
在△DFE中,DF+EF≥DE,即BD+CE≥DE。
当F点落在DE时取等号。
另证延长EM到F使MF=ME,连结DF,BF。
初中经典几何证明练习题(含问题详解)
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQOP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
初中数学几何证明题含答案
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二).如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二).如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG , 即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =COCD,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二) 4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F . 经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O (1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . APCDBAFGCEBOD求证:AP=AQ.(初二)3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN求证:AP=AQ.4、如图,分别以△ABC的ACCBFG,点P是EF的中点.求证:点P到边AB1、如图,四边形ABCD求证:CE=CF.(初二)2、如图,四边形ABCD求证:AE=AF.(初二)3、设P是正方形ABCD一边求证:PA=PF.(初二)4、如图,PC切圆O于C,ACB、D.求证:AB=DC,BC1、已知:△ABC是正三角形,P求:∠APB的度数.(初二)2、设P是平行四边形ABCD求证:∠PAB=∠PCB.3、设ABCD4、平行四边形ABCD中,设EAE=CF.求证:∠DPA=∠1、设P是边长为1的正△ABC求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC ∠EBA =200,求∠BED 的度数. 经典题(一)1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
初一下数学证明例题及答案
如图,已知D是△A B C内一点,试说明A B+A C>B D+C D 证明:延长BD交AC于E在△ABC中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE……①在△DEC中,DE+EC>DC……②①+②,得AB+AE+DE+EC>BD+DE+CD即AB+AE+EC+DE>BD+DE+CD即AB+AC+DE>BD+DE+CD∴AB+AC>BD+CD如图,△ABC中,D是BC的中点,求证:1AB+AC>2AD2若AB=5,AC=3,求AD的范围;1延长AD到点G,使DG=AD.连接BG在△CDA和△BDE中AD=GD,∠ADC=∠GDB∵D是BC的中点∴CD=BD∴△CDA≌△BDG.∴BG=AC在△ABG中,AB+BG=AB+BCAG=2AD因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE>AG ∴AB+BC>2ADDC BAEAB CDG2AB-AC <2AD <AB+AC2<2AD <8 1<AD <4如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,点F 为DE 的中点,求证:BC=2AF. 延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF所以△AFE ≌△DFG. SAS GD=AE=AC;∠G=∠FAE.∴DG ∥AE.内错角相等,两直线平行则∠GDA+∠DAE=180°.两直线平行,同旁内角互补 又∵∠BAC+∠DAE=180°. ∴∠GDA=∠BAC.同角的补角相等. 又∵AD=AB. ∴⊿ADG ≌⊿BACSAS ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF.如图,AD 是△ABC 的中线,点E 在BC 的延长线上,CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证:AE=2AD证明:在AD 的延长线上取点F,使AD =FD,连接CFCECDBA∵AD是中线∴BD=CD,AD=FD,∠ADB=∠FDC∴△ABD≌△FCD SAS∴CF=AB,∠B=∠FCD∵∠ACF=∠BCA+∠BCE,∠ACE=∠BAC+∠B,∠BAC=∠BCA∴∠ACF=∠ACE∵CE=AB∴CE=CF∴△ACE≌△ACF SAS∴AE=AF∵AF=AD+FD=2AD∴AE=2AD如图,△ABC中,∠ABC=90°,AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°,BC的延长线交DE于F;1求证:EF=DF Array 2求证:S△ABC=S△DCE证明:①作EG⊥BF,交BF延长线于G则∠CGE=∠ABC=90°∵∠ACE=90°∴∠ACB+∠ECG=90°∵∠ACB+∠BAC=90°∴∠ECG=∠BAC又∵AC=EC∴△ABC≌△CGEAAS∴BC=EG∵BC=CD∴EG=CD∵∠BCD=90°∴∠DCF=90°=∠EGF又∵∠CFD=∠GFE对顶角相等,CD=EG∴△CFD≌△GFEAAS∴EF=DF②∵△CFD≌△GFE∴S△CFD=S△GFE∴S△CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE即S△DCE=S△CGE∵△ABC≌△CGE∴S△ABC=S△CGE∴S△ABC=S△DCE如图,在△ABC,△DEF中,AM,DN分别是两三角形中线,AB=DE,AC=DF,AM=DN.求证:△ABC≌△DEFD证明:如图,延长AM至A′,使A′M=AM延长DN至D′,使D′N=DNEFN连接A′C、D′F ∵AM 是△ABC 的中线 ∴BM=MC在△ABM 和△A′CM 中BM =MC ∠AMB =∠A′MCAM=A′M ∴△ABM ≌△A′CMSAS ∴AB=A′C ,同理可得DE=D′F ∵AB=DE,∴A′C=D′F ∵AM=DN,AA′=2AM ,DD′=2DN∴AA′=DD′,在△AA′C 和△DD′F 中,AC =DFAA′=DD′A′C=D′F ∴△AA′C≌△DD′FSSS∴∠A′=∠D′,在△A′MC 和△D′NF 中,A′M=D′N∠A′=∠D′A′C=D′F∴△A′MC≌△D′NFSAS ,∴MC=NF∵AM 、DN 分别是两三角形中线 ∴BC=2MC,EF=2NF∴BC=EF,在△ABC 和DEF 中,AB =DEAC =DFBC =EF ∴△ABC ≌DEFSSS .BAMCA ′。
初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题1、已知: AB=4,AC=2,D是 BC中点, AD是整数,求 AD解:延长 AD到 E, 使 AD=DE∵D是 BC中点∴ BD=DC在△ ACD和△ BDE中AAD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ ACD≌△ BDE ∴AC=BE=2∵在△ ABE中AB-BE<AE< AB+BE ∵AB=4即4-2 <2AD< 4+2 1<AD<3∴AD=2B CD2、已知: BC=DE,∠ B=∠ E,∠ C=∠ D, F 是 CD中点,求证:∠ 1=∠ 2A12B EC F D证明:连接 BF 和 EF∵BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠EDF∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)∴BF=EF,∠ CBF=∠ DEF连接 BE在△ BEF中 ,BF=EF∴ ∠ EBF=∠ BEF。
∵ ∠ ABC=∠ AED。
∴ ∠ ABE=∠ AEB。
∴AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ ABF≌△ AEF。
∴ ∠ BAF=∠ EAF ( ∠1=∠ 2) 。
3、已知:∠ 1=∠2,CD=DE, EF//AB,求证: EF=ACA12FCDEB过C 作 CG∥EF 交 AD的延长线于点G CG∥EF,可得,∠ EFD= CGDDE=DC∠FDE=∠ GDC(对顶角)∴△ EFD≌△ CGDEF=CG∠CGD=∠ EFD又, EF∥AB∴,∠ EFD=∠1∠1=∠2∴∠ CGD=∠2∴△ AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC4、已知: AD平分∠ BAC,AC=AB+BD,求证:∠ B=2∠C证明:延长 AB取点 E,使 AE=AC,连接 DE∵AD平分∠ BAC∴∠ EAD=∠ CAD∵AE=AC,AD= AD∴△ AED≌△ ACD (SAS)∴∠ E=∠ C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠ BDE=∠ E∵∠ ABC=∠ E+∠BDE∴∠ ABC=2∠E∴∠ ABC=2∠C5、已知: AC平分∠ BAD,CE⊥ AB,∠ B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE证明:在AE上取 F,使 EF=EB,连接 CF∵CE⊥AB∴∠ CEB=∠ CEF=90°∵EB=EF,CE= CE,∴△ CEB≌△ CEF∴∠ B=∠ CFE∵∠ B+∠ D=180°,∠ CFE+∠ CFA=180°∴∠ D=∠ CFA∵AC平分∠ BAD∴∠ DAC=∠ FAC∵AC=AC∴△ ADC≌△ AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE= AD+BE6、如图,四边形 ABCD中, AB∥DC,BE、CE分别平分∠ ABC、∠BCD,且点 E 在 AD上。
初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题1、已知: AB=4,AC=2,D是BC中点, AD是整数,求AD解:延长A D到 E,使AD=DE∵D是 BC中点A ∴BD=DC在△ ACD和△ BDE中AD=DE∠BDE=∠ADC B CDBD=DC∴△ACD≌△ BDE∴AC=BE=2∵在△ ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即 4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=22、已知: BC=DE,∠B=∠E,∠ C=∠D,F 是 CD中点,求证:∠1=∠2A21B EC F D证明:连接BF和 EF∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF∴△BCF≌△ EDF 第1页共22 页∴BF=EF,∠CBF=∠DEFB E连接在△ BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△ AEF。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知:∠1=∠2,CD=D,E EF证明:连接EF ∵AB∥CD共22 页第9页∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM( SAS)∵M是 BC中点∴CF=BE∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM7. 已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F 分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。
证:连接AC DE=BF∵在△ ADC和△ABC中∴△ADE≌△ ABF(SAS)AD=AB ∴AE=AFDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ ABC(SSS)D∴∠B=∠ DE∵E、F 分别是DC、BC的中点AC又∵ BC=DCF∴DE=BFB∵在△ ADE和△ABF中AD=AB∠D=∠B8. 如图,在四边形ABCD中, E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证 : ∠5=∠6.证明:∵在△ADC和△ ABC中∴△DEC≌△ BEC(SAS)∠BAC=∠DAC ∴∠DEC=∠BEC∠BCA=∠DCAAC=AC∴△ADC≌△ ABC(AAS)D∵AB=AD,BC=CD在△ DEC与△ BEC中A12E5634CCE=CEB∠BCA=∠DCABC=CD9. 如图,在△ABC中, AD为∠ BAC的平分线,DE⊥AB于 E,DF⊥AC于 F。
(完整版)初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题 经典题(一)1 已知:如图, 0是半圆的圆心, C 、E 是圆上的两点, CD 丄AB , EF 丄AB , EG 丄CO . 求证:CD = GF .(初二)2、已知:如图, P 是正方形 ABCD 内点,/ PAD =Z PDA = 150.的延长线交MN 于E 、F . 求证:/ DEN =Z F .求证:△ PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形 ABCD 、A i B i C i D i 都是正方形, CC i 、DD i的中点.求证:四边形 A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)A 2、B 2、C 2、D 2 分别是 AA i 、BB i 、4、已知:如图,在四边形 ABCD 中, AD = BC , M 、N 分别是 AB 、CD 的中点, AD 、BCD经典题(二)及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP = AQ .(初二) 3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题: 设MN 是圆0的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE , 于 P 、Q .求证:AP = AQ .(初二)4、如图,分别以厶 ABC 的AC 和BC 为一边,在△ ABC 的外侧作正方形 ACDE和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于1已知:△ ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点)(1) 求证:AH = 2OM ;(2) 若/ BAC = 600,求证:AH = AO .(初二),O 为外心,且0M 丄BC 于M .2、设MN 是圆0外一直线,过0作0A 丄MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于AB 的一半.(初二)HEBCM DG N BF经典题(二)1 如图,四边形 ABCD 为正方形,DE // AC , AE = AC , AE 与CD 相交于F .求证:CE = CF .(初二)4、如图,PC 切圆0于C , AC 为圆的直径,PEF 为圆的割线,AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D .求证:AB = DC , BC = AD .(初三)F .E2、如图,四边形 ABCD 为正方形,DE // AC ,且CE = CA ,直线EC 交DA 延长线于 求证:AE = AF .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证: AB • CD + AD • BC = AC • BD .(初三)4、平行四边形 ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且AE = CF .求证:/ DPA =Z DPC .(初二)经典题(四)1已知:△ ABC 是正三角形,P 是三角形内一点 求:/ APB的度数.(初二)2、设P 是平行四边形 ABCD 内部的一点,且/求证:/ PAB = Z PCB .(初二)C经典难题(五)1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点,求证:一:<L V 2.B C2、已知:P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA + PB + PC的最小值.3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.4、如图,△ ABC 中,/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是AB、AC 上的点,/ DCA = 30°, / EBA = 20°,求/ BED 的度数.经典题(一)1•如下图做GH丄AB,连接E0。
初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题1、已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=22、 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠23、4、 证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDFBC DF ADBC∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
已知:∠1=∠2,CD=DE ,EFP 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB<AC-ABBA CDF2 1 EA在AC 上取点E , 使AE =AB 。
∵AE =AB AP =AP ∠EAP =∠BAE ,∴△EAP ≌△BAP ∴PE =PB 。
PC <EC +PE∴PC <(AC -AE )+PB ∴PC -PB <AC -AB 。
8. 已知∠ABC=3∠C ,∠1=∠2,BE ⊥AE ,求证:AC-AB=2BE 证明:在AC 上取一点D ,使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C ; ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD 中,AE 是角BAD 的角平分线, ∴AE 垂直BD∵BE ⊥AE∴点E 一定在直线BD 上,在等腰三角形ABD 中,AB=AD ,AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE9. 如图,在△ABC 中,BD =DC ,∠1=∠2,求证:AD ⊥BC .P DACB解:延长AD 至BC于点E,∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC10. 如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:∠OAB=∠OBA证明:∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ∴∠MAO =∠MBO =90 ∵OM =OM∴△AOM ≌△BOM (AAS ) ∴OA =OB ∵ON =ON∴△AON ≌△BON (SAS ) ∴∠OAB=∠OBA ,∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB =180 ∴∠ONA =∠ONB =90 ∴OM ⊥AB11. 如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求证:AD +BC =AB . 证明:在AB 上取F ,使AF =AD ,连接EF ∵AE 平分∠DAB ∴∠DAE=∠FAE 在⊿ADE 和⊿AFE 中AD =AF ∠DAE=∠FAE AE = AE∴⊿ADE ≌⊿AFE (SAS ) ∴∠ADE=∠AFE∵AB 如图①,E 、F 分别为线段AC 上的两个动点,且DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F ,若AB =CD ,AF =CE ,BD 交AC 于点M . (1)求证:MB =MD ,ME =MF(2)当E 、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立若成立PEDCBA{{请给予证明;若不成立请说明理由.(1)证:∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ) ∴DE=BF .在△DEM 和△BFM 中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF∴△DEM ≌△BFM(AAS) ∴MB=MD ,ME=MF(2) 证:∵DE ⊥AC 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠DEC=∠BFA=90°,DE ∥BF , 在Rt △DEC 和Rt △BFA 中, ∵AF=CE ,AB=CD , ∴Rt △DEC ≌Rt △BFA (HL ) ∴DE=BF .在△DEM 和△BFM 中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF{{∴△DEM≌△BFM(AAS)∴MB=MD,ME=MF13如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证:BD=2CE.证:∵∠CEB=∠CAB=90°∠ADB=∠CDE在△ABD中,∠ABD = 180°-∠CAB-∠ADB 在△CED中,∠DCE = 180°-∠CEB-∠CDE ∴∠ABD =∠DCE在△ABD和△ACF中∠DAB=∠CAFAB=AC∠ABD =∠DCF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∵BD是∠ABC的平分线∴∠FBE =∠CBE在△FBE和△CBE中∠FBE =∠CBEBE=BE∠BEF =∠BEC∴△FBE≌△CBE(ASA)∴CE=FE CF=2CE∴BD=2CEFEDC BA{ {14. 如图:DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
初一几何难题-练习题(含答案)
(一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法)
例5.已知:如图6所示在 中, ,∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。
求证:AC=AE+CD
(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法)
2.已知:如图12所示,在 中, ,CD是∠C的平分线。
求证:BC=AC+AD
3.已知:如图13所示,过 的顶点A,在∠A内任引一射线,过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证:MP=MQ
4. 中, 于D,求证:
例6.已知:如图7所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上, 。
求证:EF=BE+DF
4、中考题:
如图8所示,已知 为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE。
求证:EC=ED
证明几何不等式:
例题:已知:如图9所示, 。
求证:
【实战模拟】
1.已知:如图11所示, 中, ,D是AB上一点,DE⊥CD于D,交BC于E,且有 。求证:
证明线段相等或角相等【1】
1、已知:如图1所示, 中, 。
求证:Dபைடு நூலகம்=DF
例2.已知:如图2所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。
求证:∠E=∠F
2、证明直线平行或垂直
例3.如图3所示,设BP、CQ是 的内角平分线,AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证:KH∥BC
例4.已知:如图4所示,AB=AC, 。求证:FD⊥ED
初中数学证明题汇总(含参考答案)(K12教育文档)
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证明(一)一、选择题1。
下列句子中,不是命题的是( )(A)三角形的内角和等于180度 (B )对顶角相等(C )过一点作已知直线的平行线 (D )两点确定一条直线 2. 下列说法中正确的是( )(A)两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B)两锐角对应相等的两个直角三角形全等 (C)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (D )面积相等的两个三角形全等 3. 下列命题是假命题的是( )(A)如果a b ∥,b c ∥,那么a c ∥ (B )锐角三角形中最大的角一定大于或等于60° (C )两条直线被第三条直线所截,内错角相等 (D )矩形的对角线相等且互相平分 4。
ABC △中,120A B +=∠∠,C A =∠∠,则ABC △是( ). (A )钝角三角形(B)等腰直角三角形(C )直角三角形(D)等边三角形5。
在ABC △中,A ∠,B ∠的外角分别是120°、150°,则C =∠( ). (A )120°(B )150°(C )60°(D)90°6.如图1,l 1∥l 2,∠1=50°, 则∠2的度数是( ) (A)135° (B )130° (C )50° (D )40° 7.如图2所示,不能推出AD BC ∥的是( ) (A )180DAB ABC +=∠∠ (B )24=∠∠ (C )13=∠∠ (D)CBE DAE =∠∠8. 如图3,a b ∥,c a ⊥,1130=∠,则2∠等于( ) (A )30°(B )40° (C )50° (D )60°图1 图29。
初一数学几何图形的性质与证明练习题及答案
初一数学几何图形的性质与证明练习题及答案几何图形是数学中的一个重要概念,它们具有独特的性质和特征。
在初一的数学学习中,学生需要了解不同几何图形的性质,并且能够通过证明来验证这些性质。
本文将提供一些初一数学几何图形的性质与证明练习题及答案,帮助学生深入理解几何图形。
一、直线和线段的性质及证明性质1:两点确定一条直线。
证明:设有两点A和B,我们可以通过连接这两个点的直线来得到一条直线。
性质2:直线上的任意一点都在直线的同一侧。
证明:设直线上有一点C,在直线上我们可以找到一点D,并通过连接点C和D得到一条直线。
点C和点D的连接线与原始直线重合,因此点C和原始直线上的点A、B都在直线的同一侧。
性质3:线段的中点即为线段上到两个端点距离相等的点。
证明:设线段AB上有一点E,若点E到点A和点B的距离相等,则点E为线段AB的中点。
二、三角形的性质及证明性质4:三角形的内角和等于180度。
证明:设三角形ABC,我们可以通过在点B处做一条平行于边AC的直线,连接点A和点C,构成直线ABCD。
由于直线ABCD是一条直线,所以角ABC + 角BCD = 180度。
因此,三角形ABC的内角和等于180度。
性质5:等腰三角形的底边上的高线也是中位线。
证明:设等腰三角形ABC中,AB = AC,点D为底边BC上的中点,我们需要证明AD是三角形ABC的高线。
通过连接点A和点D,我们可以得到线段AD。
由于AB=AC,所以角BAD =角CAD,即角B = 角C。
又因为线段AD是BC的中点,所以BD = CD。
根据三角形的SAS相等性质,我们可以得知三角形ABD与三角形ACD全等。
根据全等三角形的性质,我们可以得出AD是三角形ABC的高线。
性质6:直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。
证明:设直角三角形ABC ,其中∠C为直角。
我们需要证明AB² = AC² + BC²。
通过在边AC上做一条垂直于AC的高线AD,我们可以将直角三角形ABC分为两个矩形,分别为ABCD和ABDE。
中考数学几何证明题参考答案
中考数学几何证明题参考答案几何证明题在中考数学中一直占据着重要的地位,它不仅考查学生对几何概念、定理的理解和掌握,还考验学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
以下是一些常见中考数学几何证明题的参考答案及解题思路。
例 1:已知在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD 是∠ABC 的平分线,求证:AD = BD = BC。
证明:因为 AB = AC,∠A = 36°,所以∠ABC =∠C =(180°36°)÷ 2 = 72°。
因为 BD 是∠ABC 的平分线,所以∠ABD =∠CBD = 72°÷ 2 =36°。
所以∠BDC = 180° 36° 72°= 72°。
所以 AD = BD,BC = BD。
综上,AD = BD = BC。
这道题主要利用了等腰三角形的性质和三角形内角和定理,通过角度的计算来证明线段相等。
例 2:如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上的一点,F 是 CD 的中点,且 AE = DC + CE,求证:AF 平分∠DAE。
证明:延长 AF 交 BC 的延长线于点 G。
因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD = DC,AD // BC。
所以∠DAF =∠G,∠D =∠FCG。
又因为 F 是 CD 的中点,所以 DF = CF。
所以△ADF ≌△GCF(AAS)。
所以 AD = CG,AF = FG。
因为 AE = DC + CE,AD = DC,所以 AE = CG + CE = EG。
所以∠EAG =∠G。
又因为∠DAF =∠G,所以∠DAF =∠EAG。
即 AF 平分∠DAE。
这道题通过构造全等三角形,利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定来证明角平分线。
例 3:已知,在菱形 ABCD 中,∠B = 60°,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,且∠AEF = 60°,求证:AE = EF。
初中数学几何证明经典题含答案
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CD⊥AB,EF⊥AB,EG⊥CO.求证:CD=GF.(初二).如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
2、已知:如图,P是正方形ABCD内点,∠PAD=∠PDA=150.求证:△PBC是正三角形.(初二).如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
.如下图做GH⊥AB,连接EO。
由于GOFE四点共圆,所以∠GFH=∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。
APCDBAFGCEBOD3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O(1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN于P 、Q .求证:AP =AQ .(初二)4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证:PA =PF .(初二)4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEFB 、D .求证:AB =DC ,BC =AD.(初三)经典1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)经典难题(五)1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠DCA=300,∠EBA=200,求∠BED的度数.经典题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
初一数学几何证明题答案
初一典型几何证明题1、已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 解:延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE <AE <AB+BE ∵AB=4即4-2<2AD <4+2 1<AD <3 ∴AD=22、已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴△BCF ≌△EDF (S.A.S)ADBC∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在△BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在△ABF 和△AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ABF ≌△AEF 。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点G CG∥EF,可得,∠EFD=CGD DE =DC∠FDE=∠GDC(对顶角) ∴△EFD≌△CGD EF =CG ∠CGD=∠EFD 又,EF∥AB ∴,∠EFD=∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD=∠2∴△AGC 为等腰三角形, AC =CG 又 EF =CG ∴EF =AC4、已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠CBA CDF2 1 EA证明:延长AB取点E,使AE=AC,连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠CAD∵AE=AC,AD=AD∴△AED≌△ACD (SAS)∴∠E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠BDE=∠E∵∠ABC=∠E+∠BDE∴∠ABC=2∠E∴∠ABC=2∠C5、已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明:在AE上取F,使EF=EB,连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB=∠CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,∴△CEB≌△CEF∴∠B=∠CFE∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°∴∠D=∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠FAC∵AC=AC∴△ADC≌△AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE6、如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
初一几何证明题
初一几何证明题1.已知AB∥CD,∠1=∠2,证明:∠XXX∠XXX。
根据平行线内角相等的性质,可得∠1=∠2=∠XXX。
同时,因为AB∥CD,所以∠BEF+∠EFC=180°,即∠BEF=180°-∠XXX。
代入前面的等式,可得∠XXX∠XXX。
2.如图2,AB∥CD,∠3∶∠2=3∶1,求∠1的度数。
根据平行线内角相等的性质,可得∠1=180°-∠2.又因为∠3∶∠2=3∶1,所以∠3=3x,∠2=x。
代入前面的等式,可得∠1=180°-x。
因此,∠1+∠2+∠3=180°,即4x=180°,x=45°。
代入前面的等式,可得∠1=135°。
3.如图3,C在AB的延长线上,CE⊥AF于E,交FB于D,若∠F=40°,∠C=20°,求∠XXX的度数。
根据直角三角形的性质,可得∠CEA=90°。
又因为CE⊥AF,所以∠EAF=90°-∠F=50°。
根据三角形内角和为180°的性质,可得∠EFA=180°-∠F-∠EAF=90°。
因为AB∥CD,所以∠XXX∠EFA=90°。
4.如图4,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=80°。
求证:∠AGD=100°。
因为EF∥AD,所以∠AGD=∠AGE。
又因为∠BAC=80°,所以∠XXX°-∠BAC/2=50°。
因为∠1=∠2,所以∠DGE=∠AGE=180°-∠1-∠GAC=50°。
因此,∠AGD=∠AGE=50°+∠DGE=100°。
5.如图5,B处在A处的南偏西57°的方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的XXX°方向。
求∠C的度数。
根据题意,可画出如图6所示的图形。
初中数学几何图形证明复习 题集附答案
初中数学几何图形证明复习题集附答案初中数学几何图形证明复习题集附答案一、直线和角1. 直线的定义与性质证明直线是由无数个点组成的,而且它上面的任意两个点可通过直线上其他的点用直线段相连而得。
直线上的点无论如何移动,它们的位置不变。
2. 角的定义与性质证明角是由两条有公共起点的射线组成的。
角的大小可以通过两条射线的夹角来衡量,夹角的单位是度。
任意两条射线可以确定唯一一个角。
对任意一个角,总存在一个与之对应的角,其顶点和两条边的位置互换。
3. 垂直角性质证明当两条直线互相垂直时,它们所对应的四个角是互相垂直的,也就是相等的。
二、三角形1. 三角形的定义与性质证明三角形是由三条线段组成的几何图形。
它的性质包括:三角形的三条边互不相交,三角形的三个内角相加等于180度,等腰三角形的两个边相等,等边三角形的三个边都相等。
2. 等腰三角形性质证明对于一个等腰三角形,它的两个底边相等,两个底角也相等。
3. 直角三角形性质证明对于一个直角三角形,它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
三、四边形1. 矩形性质证明矩形是一个四边形,它的所有内角都是直角,并且它的对边相等。
2. 平行四边形性质证明平行四边形是一个四边形,它的对边是平行的,并且相等。
3. 菱形性质证明菱形是一个四边形,它的所有边都相等,并且对角线互相垂直。
四、圆1. 圆的定义与性质证明圆是一个平面上的点组成的集合,它到一个固定点的距离相等。
圆的性质包括:圆上的任意两点可以通过圆弧用圆心相连,并且圆心角的度数是圆弧所对的角的度数的两倍。
2. 弧的性质证明在一个圆内,不同的弧所对应的圆心角是不同的。
一个圆上的两个弧所对应的圆心角互补。
3. 弦的性质证明在一个圆内,不同的弦所对应的圆心角是不同的。
一个圆上的两个弦所对应的圆心角互补。
总结:数学几何图形的证明是通过逻辑推理与数学定理的运用,以确保结论的正确性。
在初中数学中,我们需要了解各种图形的定义与性质,并能够用适当的证明方法来解答相关问题。
初中经典几何证明练习题集(含答案解析)
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .证明:过点G 作GH ⊥AB 于H ,连接OE ∵EG ⊥CO ,EF ⊥AB∴∠EGO=90°,∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ,CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内部的一点,∠PAD =∠PDA =15°。
求证:△PBC 是正三角形.(初二) 证明:作正三角形ADM ,连接MP ∵∠MAD=60°,∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°,∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ,AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ,MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ,MP=CP ∵∠PAD =∠PDA =15°∴PA=PD ,∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ,∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ,MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F . 求证:∠DEN =∠F .证明:连接AC ,取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ,CG=DG ∴GN ∥AD ,GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ,AG=CG ∴GM ∥BC ,GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O 为外心,且OM ⊥BC 于M . (1)求证:AH =2OM ;(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二) 证明:(1)延长AD 交圆于F ,连接BF ,过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ,BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2(GH+DH )=2GD 又AD ⊥BC ,OM ⊥BC ,OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM (2)连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ,OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由(1)知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ,连接CD 并延长交MN 于Q ,连接EB 并延长交MN 于P. 求证:AP =AQ .证明:作点E 关于AG 的对称点F ,连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ,PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)证明:作OF ⊥CD 于F ,OG ⊥BE 于G ,连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ,∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN , ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ,∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°,OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ,点O 是DF 的中点,OP ⊥BC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线,垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ,DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°,BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F . 求证:CE =CF .(初二)证明:连接BD 交AC 于O 。
(完整版)初中数学几何证明经典试题(含答案)
初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO . 求证:CD =GF .(初二)2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,∠PAD =∠PDA =150. 求证:△PBC 是正三角形.(初二)3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形,A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.求证:四边形A 2B 2C 2D 2是正方形.(初二)4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,AD 、BC的延长线交MN 于E 、F .求证:∠DEN =∠F .A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1F经典题(二)1、已知:△ABC 中,H 为垂心(各边高线的交点),O(1)求证:AH =2OM ; (2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自A 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.求证:点P 到边AB 的距离等于AB 的一半.经典题(三)1、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,AE =AC ,AE 与CD 相交于F .求证:CE =CF .(初二)2、如图,四边形ABCD 为正方形,DE ∥AC ,且CE =CA ,直线EC 交DA 延长线于F .求证:AE =AF .(初二)3、设P 是正方形ABCD 一边求证:PA =PF .(初二)4、如图,PC 切圆O 于C ,AC 为圆的直径,PEFB 、D .求证:AB =DC ,BC =AD .(初三)E经典题(四)1、已知:△ABC 是正三角形,P 是三角形内一点,PA =3,PB =4,求:∠APB 的度数.(初二)2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA =∠PDA . 求证:∠PAB =∠PCB .(初二)3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且 AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)D经典难题(五)1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC , 求证:≤L <2.2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300,∠EBA =200,求∠BED 的度数.APCBACBPDEDCB AA CBPD经典题(一)1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
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初一典型几何证明题1、已知: AB=4,AC=2,D是BC中点, AD是整数,求AD解:延长A D到 E,使AD=DE∵D是 BC中点A ∴BD=DC在△ ACD和△ BDE中AD=DE∠BDE=∠ADC B CDBD=DC∴△ ACD≌△ BDE∴AC=BE=2∵在△ ABE中AB-BE<AE<AB+BE∵AB=4即 4-2<2AD<4+21<AD<3∴AD=22、已知: BC=DE,∠B=∠E,∠ C=∠D,F 是 CD中点,求证:∠1=∠2A21B EC F D证明:连接BF和 EF∵BC=ED,CF=DF∠, BCF=∠EDF∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)第1页共22 页∴BF=EF,∠CBF=∠DEFB E连接在△ BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ ABF≌△ AEF。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3、已知:∠1=∠2,CD=D,E EF//AB,求证: EF=ACA21FCDEB点GC作 CG∥EF交 AD的延长线于过CG∥EF,可得,∠ EFD= CGDDE=DC∠FDE=∠GDC(对顶角)∴△EFD≌△CGDEF=CG∠CGD=∠EFD又,EF∥AB∴,∠ EFD=∠1∠1=∠2∴∠CGD=∠2∴△AGC为等腰三角形,AC=CG又EF=CG∴EF=AC4、已知: AD平分∠ BAC,AC=AB+B,D求证:∠B=2∠CA共22 页第2页证明:延D E长AB取点E,使AE=AC,连接∵AD平分∠ BAC∴∠ EAD=∠ CAD∵AE=AC,AD=AD∴△ AED≌△ ACD (SAS)∴∠ E=∠C∵AC=AB+BD∴AE=AB+BD∵AE=AB+BE∴BD=BE∴∠ BDE=∠ E∵∠ ABC=∠ E+∠BDE∴∠ ABC=2∠E∴∠ ABC=2∠C5、已知: AC平分∠ BAD,CE⊥AB,∠ B+∠D=180°,求证: AE=AD+BE证明:C F在 AE上取F,使EF=EB,连接∵CE⊥AB∴∠ CEB=∠ CEF=90°∵EB=EF,CE=CE,共22 页第3页∴△ CEB≌△ CEF∴∠ B=∠CFE∵∠ B+∠D=180°,∠ CFE+∠ CFA=180°∴∠ D=∠CFA∵AC平分∠ BAD∴∠ DAC=∠ FAC∵AC=AC∴△ ADC≌△ AFC(SAS)∴AD=AF∴AE=AF+FE=AD+BE6、如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求B C=AB+D。
C 又∵∠ DCE=∠FCE证:E F CE 平分∠ BCD在 BC上截取BF=AB,连接∵BE平分∠ ABC CE=CE∴∠ ABE=∠FBE ∴⊿DCE≌⊿ FCE(AAS)又∵ BE=BE ∴CD=CF∴⊿ ABE≌⊿ FBE(SAS)∴BC=BF+CF=AB+CD∴∠ A=∠BFE∵AB//CD∴∠ A+∠D=180o∵∠ BFE+∠CFE=180o∴∠ D=∠CFE7. P 是∠ BAC平分线A D上一点, AC>AB,求证:P C-PB<AC-AB在 AC上取点E,∴PC<( AC-AE)+PB使 AE=AB。
∴PC-PB<AC-AB。
∵AE=ABCAP =AP∠EAP=∠BAE,∴△EAP≌△BAPAP D∴PE=PB。
PC<EC+PEB共22 页第4页8.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:AC-AB=2BE证明:∴点E 一定在直线 BD上,在AC上取一点 D,使得角 DBC=角C 在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直 BD ∵∠ABC=3∠C∴点E 也是BD的中点∴∠ABD=∠ABC- ∠DBC=∠3C- ∠C=2∠C;∴BD=2BE∵∠ADB=∠C+∠DBC=∠2C; ∵BD=CD=AC-AB∴AB=AD ∴AC-AB=2BE∴AC –AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中,AE是角 BAD的角平分线,∴AE垂直 BD∵BE⊥AE9.如图,在△ ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.解:延长 AD至BC于点 E,∵BD=DC ∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△A CD中AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC10.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP, MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交 OM于点 N.求证:∠O A B=∠OBA证明:∵OM平分∠POQ∴∠POM=∠QOM∵MA⊥OP,MB⊥OQ第 5 页共22 页∴∠MAO=∠ MBO=90∵OM=OM∴△AOM≌△ BOM (AAS)∴OA=OB∵ON=ON∴△AON≌△ BON (SAS)∴∠OAB=∠OBA,∠ ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB=180∴∠ONA=∠ ONB=90∴OM⊥AB11.如图,已知A D∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:A D+B C=A B.PC证明:EE F在 AB上取F,使AF=AD,连接D∵AE平分∠ DAB∴∠ DAE=∠FAEA B在⊿ ADE和⊿ AFE中AD=AF∠DAE=∠FAEAE = AE∴⊿ ADE≌⊿ AFE(SAS)∴∠ ADE=∠AFE∵AB//CD∴∠ ADE+∠C=180o∵∠ AFE+∠BFE=180o∴∠ C=∠BFE∵BE 平分∠ ABC∠CBE=∠FBE在⊿ BFE和⊿ BCE中∠C=∠BFE∠CBE=∠FBECE=CE∴⊿ BFE≌⊿ BCE(AAS)∴CB=BF∴AB=AF+FB=AD+BC共22 页第6页12.如图①,E、F 分别为线段A C上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于 F,若AB=CD,AF=CE,BD交 AC于点M.(1)求证: MB=MD,ME=MF若成(2)当E、F 两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?由.立请给予证明;若不成立请说明理(1) 证:∵ DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在 Rt△DEC和 Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA( HL)∴DE=BF.在△DEM和△BFM中∠D E M=∠BFM∠D M E=∠B MFDE=BF∴△D E M≌△BFM(AAS)∴MB=M,D ME=MF(2) 证:∵ DE⊥AC于E,BF⊥A C于F,∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,在 Rt△DEC和 Rt△BFA中,∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA( HL)∴DE=BF.在△DEM和△BFM中∠D E M=∠BFM∠D M E=∠B MFDE=BF∴△D E M≌△BFM(AAS)∴MB=M,D ME=MF13 如图,△ ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ ABC的平分线, BD的延长线垂直于过C共22 页第7页点的直线于E,直线CE交 BA的延长线于F.求证: BD=2CE.F证:∵∠ CEB=∠CAB=9°0∠ADB=∠CDEA在△ ABD中,∠ ABD =°- ∠CAB-∠ADBE 在△ CED中,∠ DCE =°- ∠CEB-∠CDED∴∠ ABD =∠DCEB C 在△ ABD和△ ACF中∠DAB=∠CAFAB=AC∠ABD =∠DCF∴△ ABD≌△ ACF(ASA)∴BD=CF∵BD是∠ ABC的平分线∴∠ FBE =∠CBE在△ FBE和△ CBE中∠FBE =∠CBEBE=BE∠BEF =∠BEC∴△ FBE≌△ CBE(ASA)∴CE=FE CF=2CE∴BD=2CE13.如图: DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
求证:△ AED≌△ BFC。
证明:∵ DF=CE,∴DF-EF=CE-EF,即 DE=C,FE FD C在△AED和△BFC中,∵ AD=BC,∠D=∠C ,DE=CF∴△AED≌△BFC( SAS)A B14.如图: AE、BC交于点M,F 点在AM上, BE∥CF,BE=CF。
求证: AM是△ ABC的中线。
证明:∵ BE‖CF ∵BE=CF∴∠ E=∠CFM,∠EBM=∠FCM ∴△BEM≌△ CFM共22 页第8页∴BM=CMA∴AM是△ ABC的中线FBC ME15.AB=AC,DB=D,C F是AD的延长线上的一点。
求证:BF=CF证:在△ ABD与△ACD中AB=AC ∴△FBD≌△ FCD(SAS)BD=DC ∴BF=FCAD=ADA∴△ ABD≌△ ACD(SSS)∴∠ ADB=∠ADCD∴∠ BDF=∠FDC在△ BDF与△ FDC中B CBD=DC∠BDF=∠FDCFDF=DF16.如图: AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证: AF=DE。
证:∵ CF=CE+EF AB=CDEB=EF+FB ∠ABF =∠DCE又∵ CE=FB BF=CE∴CF=EB ∴△ABF≌△ CDE (SAS)在△ CDF与△ ABE中∴AF=EDAB=CDABAE=DFFBE=CF∴△ CDF≌△ ABE(SSS)∴∠ DCB=∠ABFE在△ ABF与△ CDE中CD17.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在 AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上 .证明:连接EF ∵AB∥CD共22 页第9页∴∠B=∠C∴△BEM≌△CFM( SAS)∵M是 BC中点∴CF=BE∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM18.已知:如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F 分别是DC、BC的中点,求证:AE=AF。
证:连接AC DE=BF∵在△ ADC和△ABC中∴△ADE≌△ ABF(SAS)AD=AB ∴AE=AFDC=BCAC=AC∴△ ADC≌△ ABC(SSS)D∴∠B=∠ DE∵E、F 分别是DC、BC的中点AC又∵ BC=DCF∴DE=BFB∵在△ ADE和△ABF中AD=AB∠D=∠B19.如图,在四边形ABCD中, E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证 : ∠5=∠6.证明:∵在△ADC和△ ABC中∴△DEC≌△ BEC(SAS)∠BAC=∠DAC ∴∠DEC=∠BEC∠BCA=∠DCAAC=AC∴△ ADC≌△ ABC(AAS)D∵AB=AD,BC=CD在△ DEC与△ BEC中A12 E5634CCE=CEB∠BCA=∠DCABC=CD20.如图,在△ABC中, AD为∠ BAC的平分线,DE⊥AB于 E,DF⊥AC于 F。