连续型随机变量及其分布PPT课件

则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X~U(a,b).
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均匀分布的分布函数
x
0dt,
F(x)
x
f
(t)dt
a 0dt
x a
b
1
a
dt,
a
0dt
b a
b
1
a
dt
x b
0dt,
x a, a x b, xb
0,
x 1b,
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性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴
上方；
性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的
面积为1；
性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等
于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲
边梯形的面积；
性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密
度函数 y以下f ，(x)x轴上方，从
上例中用到积分公式：
a2x2d xxa2x2a2arcx sC i.n
2
2a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
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三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f (x)b1a, axb, 0, 其它,
则
x
A=1, B=-1.
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(2).因为 1ex, x0;
F(x) 0, x0.
(0)
所以求导得:
ex, x0
f (x) 0, x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}= f(x)d x exd xex|0 . 1e0.1
41 48
.
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例2 设有连续型随机变量X的分布函数为
ABex, x0; F(x)
(0)
0, x0.
(1).确定常数A,B的值;
(2).求密度函数f(x);
(3).计算P{X>0.1}.
解：(1).由分布函数性质得:
0 F ( 0 ) F ( 0 ) li( A m B x ) e A B x 0 1F () li(m A B x e )A
0, x 0,
x xdx,
0 x 3,
F(x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
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0,
x 0,
x2
,
0 x 3,
即
F(
x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)P{1X72}F(72)F(1)
若 X 为离散型随机变量,
离
散
{Xa}是不可能事 件 P {X a } 0 . 型
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题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数 题型2.分布函数与概率密度的求法 I.求分布函数
(1).已知密度函数,用积分求分布函数; (2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度 一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其 概率密度为
f(x)F(x)
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例1 设 随机变量 X 具有概率密度
kx , 0 x 3,
p( x )
2
x 2
,
3 x 4,
0 ,
其它 .
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数 ;
(3) 求 P {1 X 7 }. 2
解 (1)由 p(x)dx1,
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例9-续1
x
0dt,
x 1,
F(x)
x
f
(t)d
t
1
0dt
x
2
1
1
1
0dt
2
1
0,
1 t2 dt,
1 x 1,
x
1 t2 dt 0dt, x 1
1
x1,
1x,
1x2 1arcsxin1,
2
1x1, x1.
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0.1
0.1
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练习 设随机变量X的概率密度为
f(x)2 1x2, 1x1,
0, 求X的分布函数。
其它 ,
【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,
其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数
为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
§3 连续型随机变量及其分布
一、概率密度的概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存
在非负函数f(x),使对x均有
x
F(x) f (t)dt,
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率
密度(函数).
概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机
变量的统计规律性.
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二、概率密度的性质
由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质:
f(x)0( x) ;
f (x)dx 1; [确定待定参数]
b
P{aXb} f(x)d xF(b)F(a);[求概率]
x
a
F(x) f(t)d(t x )[;由概率密度求分布函数]
F(x)f(x)x(为 f(x)的连)续 [.由分布点 函数求概率密度]
p(x)dx0.
由此可得
P {aXb}P {aX b }P {aX b } P {aXb}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
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注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
连
P {X a }0 .
续
型 若 P {Xa}0,
则不能 {X确 a}定 是不可能事件
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得3kd x x4 (2x )d x 1 , 解之得 k1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
p( x )
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
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由 F(x)xp(x)dx得
到x的一块面积；
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概率密度的几何意义
b
P{aXb} f(x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
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Hale Waihona Puke Baidu
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注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即
P {X a }0 .
证明
ax
P{Xa}lxi m 0a
a a
,
x a, a x b, x b.