连续型随机变量及其分布PPT课件
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连续型随机变量PPT课件
20
1
x
e 10 dx
1
x
e 10
20
10 1 0
10 10
e1 e2 0.2325
2021/5/11
33
3．正 态 分 布
如果连续型随机变量X 的密度函数为
f x
1
e
x 2
2 2
2
x
其中 ， 0为参数
则称随机变量X 服从，参数为 ， 2 的
正态分布．记作
f (x)
下面验证：
x
f x dx
1
e
x 2
2 2
dx
1
2
2021/5/11
36
密度函数的验证(续)
下面验证：
f xdx
1
x 2
e 2 2 dx 1
2
首先验证：
x dx
1
x2
e 2 dx 1
2
或验证：
x2
e 2 dx 2
2021/5/11
P 1或 2
11 dx 6 1 dx
3 9
29
24 2 99 3
2021/5/11
27
2．指 数 分 布
如果随机变量 X 的密度函数为
f
x
e
x
x0
0 x0
其中 0为常数，则称随机变量服从 参数为的指数分布．
2021/5/11
28
密度函数的验证
设X ~ 参数为的指数分布，f x是其密度函数，则有：
例 7：
设打一次电话所用的时间 X（单位：分钟）是
以 1 为参数的指数随机变量．如果某人刚
10 好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分 钟到20分钟之间的概率．
连续随机变量及分布 PPT
解：方程 x2 Yx 1 0 有实根的充要条件是
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
{Y 2 4 0} {Y 2}{Y 2}
而Y ~ U (1,6) ，因此所求概率为
P(Y 2) P(Y 2) 0 6 1dx 0.8 25
2．指数分布
定义 3 设随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
1
ex
/
,
x
0,
0,
x 0.
概率与小区间得位置无关, 只与其长度成正
比、 这正就是几何概型得情形、
应用场合
进行大量数值计算时, 若在小数点后第 k 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
例 3 设随机变量 Y 服从(1, 6)上的均匀分 布，求方程 x2 Yx 1 0 有实根的概率。
则称随机变量 X 服从指数分布，记作
X ~ e ( )，其中 0 是分布参数。
X 得分布函数为:
0, F(x) 1 ex/ ,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
应用场合：用指数分布描述的实例有：
（1）随机服务系统中的服务时间； （2）电话问题中的通话时间； （3）无线电元件的寿命及动物的寿命 ------------指数分布常作为各种“寿命”分 布的近似。
例 4 已知某电子元件生产的电子元件的 寿命 X(h)服从指数分布 e (3000)，该厂规 定寿命低于 300h 的元件可以退换，问改 厂被退换元件的数量大约占总产量的百 分之几？
解 因为 X 的概率密度为
f (x) 1 ex /3000, x 0 3000我们有Fra bibliotek300
常见连续型随机变量的分布ppt课件
故 b=-1.65
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
最新课件
18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
最新课件
21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
最新课件
26
正态变量的标准化
定理 若 X~N(,2)，则 UX~N(0,1).
F(x)P{Xx} P {X x } (x )
已 X ~ N ( μ , 知 σ 2 ) 求 P ,{ c X d }.
P {cXd}F(d)F(c) d σμc σμ.
即 P { c X d } d μ c μ .
最新课件
12
三、正态分布
定义设连续型随机X变 的量 概率密度为 f(x) 1 e(x2σμ2)2 , x,
2πσ 其中μ, σ(σ0)为常数 ,则称X服从参数μ,为 σ 的正态分布或高,记 斯为 分X布~ N(μ,σ2).
最新课件
13
正态概率密度函数的几何特征
(1)曲线x关 μ对 于 ;称 (2)当 xμ时 ,f(x)取得最1大 ; 值
σ
E(X) 1
t2
(μσt)e 2dt
2
μ1
et2 2dtσ
t2
te2dt
μ.
2
2
D(X) 2
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18
正态分布下的概率计算
P{Xx}F(x) 1 e dt x (t2 σμ2)2
2πσ
原函数不是
?
初等函数
方法一:利用MATLAB软件包计算 方法二:转化为标准正态分布查表计算
最新课件
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21
例1 证明 ( x ) 1 (x ).
证明
x
(x)
1
x2
e 2dx
2π
1
x2
e 2 dx
x 2π
1
x2
e 2 dx
2π
x
1
x2
高等数学(第2版)课件：连续性随机变量及其概率分布
解：P{10 X 13} (13 10) (10 10)
2
2
(1.5) (0)
0.9332 0.5 0.4332
P{| X 10 | 2} P{| X 10 | 1} 2(1) 1 2
0.6826
例5. 设 X ~ N (, 2 ) ,求 P{| X | 3 }. 解：P{| X | 3 } P{| X | 3} 2(3) 1 20.9987 1 0.9974
说明： 尽管随机变量的取值范围是(, )，但它的 值几乎全部集中在区间( 3 , 3 )内，而超出此 区间的可能性不足3%,这在统计学上成为3 准则.
例6. 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，
调节器定在d oC，液体的温度 X（oC）是一个随机变量，
且 X ~ N (d ,0.52 ). 1)若d 90,求 X 小于89的概率； 2)若要保持液体的温度至少为80oC的概率不低于0.99 ，
解： (1)
f
(
x)
F
(
x)
2x, 0,
0 x 其它
1
(2) P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4
或
P{0.3 X 0.7}
0.7
f ( x)dx
0.7
2x dx 0.4
0.3
0.3
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
例3. 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数 1
2000 的指数分布（单位：小时）.任取一只这种灯管，
求能正常使用1000小时以上的概率.
解：依题意，X 的概率密度为
f
(
x)
连续型随机变量常见的几种分布PPT课件
(5).标准正态分布
▲ 称 0, 1的正态分布为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 ( x)和 ( x)表示：
(x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
(x)
e 2 dt
2
其图形为:
22
第22页/共49页
(x)
(x)
密度函数( x)
分布函数 ( x)
23
第23页/共49页
▲ 标准正态分布的重要性
P(|Y | ) 0.6826 P(| Y | 2 ) 0.9544 P(| Y | 3 ) 0.9974
可以认为：
Y 的取值几乎全部集中在 [ 3 , 3 ]
区间内。这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）
31
第31页/共49页
例3.已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正
1 P( X d 80 d ) 1 (80 d )
0.5 0.5
0.5
35
第35页/共49页
即 ( 80 d ) 1 0.99 0.01 0.5
反查正态分布表，由于表中无0.01的 ( x) 的值
故采用如下方法处理:
(u) 1 (u) (u) 1 (u)
现 1 (u) 0.01 (u) 0.99
3. 正态分布
正态分布是应用最广泛的
一种连续型分布.
数学家德莫佛最早发现了二项 分布的一个近似公式，这一公式被 认为是正态分布的首次露面.
德莫佛
正态分布在十九世纪前叶由数 学家高斯加以推广，所以通常也称 为高斯分布.
高斯
11
第11页/共49页
(1). 正态分布的定义
概率论与数理统计2.3-连续型随机变量及其分布PPT课件
1dx a
1a 3
1dx
2
0a
3
2021/3/12
13
几种常见的连续型随机变量的分布
➢指数分布
若随机变量X的概率密度为
ex , x 0,
f (x)
0,
x 0,
其中,λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指
数分布,记作X~E[λ].
1 ex , x 0,
F(x)
0,
x 0.
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1 ,1 x 1, 1 x2
2021/3/12
0,
其他, 6
例3.向半径为R的圆形靶射击，假设不会
发生脱靶，且击中任意同心圆盘的概
率与该靶的面积成正比，设随机变量
X表示击中点与靶心的距离.
(1) 求X的分布函数与分布密度;
(2)把靶的半径10等分，若击中点落在以 靶心为中心，内外半径分别为iR/10及 (i+1)R/10的圆环内时记为10-i环。求一 次射击得到10-i环的概率。
P( X 200)
P( X P( X
300) 200)
e3 e2
e1
0.3679
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17
若随机变量X对任意的s>0,t>0有
P(X s t | X s) P(X t),
则称X的分布具有无记忆性.
➢指数分布具有无记忆性
➢指数分布和泊松分布有着特殊的联系
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8
几种常见的连续型随机变量的分布
➢均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
a x b,
《连续型随机变量》课件
02
对于连续型随机变量的最大值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λxtext{F}(x) = 1 - e^{-lambda x}F(x)=1−e−λx，其中λlambdaλ是随机变量的密度函数。
03
对于连续型随机变量的最小值，其概率分布函数为F(x)=1−e−λ(−x)text{F}(x) = 1 - e^{-lambda (-x)}F(x)=1−e−λ(−x)。
THANKS
感谢观看
最大值和最小值在决策分析中的应用
01
在风险管理中，连续型随机变量的最大值和最小值具有重要的应用价 值。
02
通过分析最大值和最小值的概率分布、数学期望和方差，可以帮助决 策者更好地理解潜在的风险和机会，从而做出更明智的决策。
03
在金融领域，连续型随机变量的最大值和最小值可用于评估投资组合 的风险和回报，以及制定风险管理策略。
连续型随机变量的最小值的数学期望 E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)text{E}(X_{min}) = infty sum_{x=0} x P(X < x)E(Xmin)=−∞∑x=0xP(X<x)。
连续型随机变量的最小值的方差 Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)−E2(Xmin)]text{ Var}(X_{min}) = -infty sum_{x=0} [x^2 P(X < x) E^2(X_{min})]Var(Xmin)=−∞∑x=0[x2P(X<x)− E2(Xmin)]。
03
连续型随机变量的期望和方差
期望的定义和计算
定义
连续型随机变量的期望值是所有可能取值的加权和，其中每个取值的权重等于该 取值出现的概率。
概率论 Ch3连续型随机变量与分布(4,5,6).ppt
x
1 2
x
fX Y
t
1 2
dt
x 1
2t 3
dt
1
0
1 3
x
2
1
1
x 1 1 x2 x2
x 1 1 x2
x2
⑵由分布函数性质知
3 1
3 1
1
P0
X
2
Y
2
FX Y
2
2
FX
Y
0
2
1 3
3 2
2
1
0
5 12
也可由密度函数性质得到:
P
0
X
3 2
Y
1 2
3 2 0
fX Y
x
1 2
dx
3 2
2xdx
13
5.
12
⑶由定义: fY X y x
fX
x
x3 4
0,
而
f x, y
,
fX x
当0 x 2时,
f
x,
y
2xy
0 x 2, 0 y x , X x 2
0
其余
2xy
0
0 y x 2
其余
故当 0 x 2 时,
2 xy
fY X
例1 设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y AB arctan xC arctan y,
求常数 A, B,C.
解 由分布函数 F x, y的性质得:
lim
x y
F
x,
y
A
B
π 2
C
π 2
1,
lim
x, y
F
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上例中用到积分公式：
a2x2d xxa2x2a2arcx sC i.n
2
2a
大家应复习有关积分的方法与公式。
请看P.40-41:例9；例10.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
三、几种重要的连续型随机变量 1、均匀分布
定义2 设连续型随机变量X具有概率密度
f (x)b1a, axb, 0, 其它,
a a
,
x a, a x b, x b.
p(x)dx0.
由此可得
P {aXb}P {aX b }P {aX b } P {aXb}.
连续型随机变量的概率与区间的开闭无关
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
连
P {X a }0 .
续
型 若 P {Xa}0,
则不能 {X确 a}定 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离
散
{Xa}是不可能事 件 P {X a } 0 . 型
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
题型1.分布函数和概率密度的判定或确定待定参数 题型2.分布函数与概率密度的求法 I.求分布函数
(1).已知密度函数,用积分求分布函数; (2).未知密度函数,用定义求分布函数. II.求概率密度 一般,已知连续型随机变量X的分布函数F(x),则其 概率密度为
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
得3kd x x4 (2x )d x 1 , 解之得 k1.
0
32
6
(2)由k1知X的概率密度为 6
x 6
,
p( x )
2
x 2
,
0 ,
0 x 3, 3 x 4, 其它 .
概率论与数理统计
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由 F(x)xp(x)dx得
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例9-续1
x
0dt,
x 1,
F(x)
x
f
(t)d
t
1
0dt
x
2
1
1
1
0dt
2
1
0,
1 t2 dt,
1 x 1,
x
1 t2 dt 0dt, x 1
1
x1,
1x,
1x2 1arcsxin1,
2
1x1, x1.
概率论与数理统计
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f(x)F(x)
概率论与数理统计
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例1 设 随机变量 X 具有概率密度
kx , 0 x 3,
p( x )
2
x 2
,
3 x 4,
0 ,
其它 .
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数 ;
(3) 求 P {1 X 7 }. 2
解 (1)由 p(x)dx1,
0, x 0,
x xdx,
0 x 3,
F(x)
0 3
6 xd
x
x
(2
x)d
x,
0 6
3
2
1, x 4.
3 x 4,
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
0,
x 0,
x2
,
0 x 3,
即
F(
x)
12 3
2x
x2 4
,
3 x 4,
1,
x 4.
(3)P{1X72}F(72)F(1)
则称随机变量X服从区间(a,b)上的均匀分布,记为
X~U(a,b).
概率论与数理统计
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均匀分布的分布函数
x
0dt,
F(x)
x
f
(t)dt
a 0dt
x a
b
1
a
dt,
a
0dt
b a
b
1
a
dt
x b
0dt,
x a, a x b, xb
0,
x 1b,
§3 连续型随机变量及其分布
一、概率密度的概念
定义1 设随机变量X的分布函数为F(x),如果存
在非负函数f(x),使对x均有
x
F(x) f (t)dt,
则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率
密度(函数).
概率密度与分布函数均可完整地描述连续型随机
变量的统计规律性.
概率论与数理统计
41 48
.
概率论与数理统计
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例2 设有连续型随机变量X的分布函数为
ABex, x0; F(x)
(0)
0, x0.
(1).确定常数A,B的值;
(2).求密度函数f(x);
(3).计算P{X>0.1}.
解：(1).由分布函数性质得:
0 F ( 0 ) F ( 0 ) li( A m B x ) e A B x 0 1F () li(m A B x e )A
则
x
A=1, B=-1.
概率论与数理统计
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(2).因为 1ex, x0;
F(x) 0, x0.
(0)
所以求导得:
ex, x0
f (x) 0, x0
(3).P{X>0.1}=1-P{X≤0.1}=1-F(0.1)
=1-(1-e-0.1λ)= e-0.1λ;
或P{X>0.1}= f(x)d x exd xex|0 . 1e0.1
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二、概率密度的性质
由定义知,概率密度 f(x)具有以下性质:
f(x)0( x) ;
f (x)dx 1; [确定待定参数]
b
P{aXb} f(x)d xF(b)F(a);[求概率]
x
a
F(x) f(t)d(t x )[;由概率密度求分布函数]
F(x)f(x)x(为 f(x)的连)续 [.由分布点 函数求概率密度]
0.1
0.1
概率论与数理统计
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练习 设随机变量X的概率密度为
f(x)2 1x2, 1x1,
0, 求X的分布函数。
其它 ,
【解】概率密度f(x)在(-∞,+∞)上为分段函数,
其分段区间为(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞);而分布函数
为累积和,故应就x在上述不同区间上积分求F(x).
到x的一块面积；
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概率密度的几何意义
b
P{aXb} f(x)dx
xx
a
f (x)dx f (x)x.
概率论与数理统计 x
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注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a
的概率等于零.即
P {X a }0 .
证明
ax
P{Xa}lxi m 0a
概率论与数理统计
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性质（1）的几何意义是分布密度曲线总是位于x轴
上方；
性质（2）的几何意义是分布密度曲线与x轴之间的
面积为1；
性质（3）的几何意义是X取值于任一区间的概率等
于以区间为底，以分布密度曲线为顶的曲
边梯形的面积；
性质（4）中X的分布函数F(X)的几何意义是分布密
度函数 y以下f ，(x)x轴上方，从