函数中的直角三角形
直角三角形夹角计算公式
直角三角形夹角计算公式直角三角形是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形。
说到直角三角形，那就不得不提它夹角的计算公式啦。
先来说说直角三角形的特点，它有一个角是 90 度，那剩下的两个角就是锐角。
咱们计算这两个锐角的角度，就得靠正弦、余弦和正切这些三角函数啦。
比如，正切函数 tan，假设一个直角三角形的一个锐角所对的直角边为 a，相邻的直角边为 b，那么这个锐角的正切值就是 tanA = a / b ，通过反正切函数 arctan 就能算出这个角的度数。
还记得我之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。
当时我在黑板上画了一个大大的直角三角形，标好了边的长度，然后让同学们自己计算夹角。
有个小同学特别积极，一下子就举手站起来说他算好了。
结果他把正弦和余弦弄混了，算出了一个特别离谱的角度。
同学们都哈哈大笑，他自己也不好意思地挠挠头。
我就趁机又重新讲了一遍正弦、余弦和正切的区别，大家一下子就记住了。
再说余弦函数cos，对于同一个锐角A，cosA = b / c （c 是斜边），通过反余弦函数 arccos 也能得出角度。
正弦函数 sin 也是同理，sinA = a / c ，通过反正弦函数 arcsin 求出角度。
在实际应用中，比如建筑工人在建造房子的时候，要确保房梁和墙面形成直角，他们就得用这些公式来计算角度，保证房子的结构稳定。
咱们学习数学，可不能光死记硬背这些公式，得理解它们是怎么来的，为啥能这么用。
多做几道题，多在生活里找找直角三角形的例子，这样才能真正掌握这些知识。
想象一下，你要是个工程师，设计桥梁的时候，不知道直角三角形夹角的计算公式，那可就麻烦大啦！桥梁可能就歪歪扭扭，不安全啦。
所以啊，同学们一定要好好掌握直角三角形夹角的计算公式，这可是很有用的哟！不管是在数学考试里拿高分，还是在未来的工作生活中解决实际问题，都离不开它。
希望大家都能轻松应对，把数学学得棒棒的！。
二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
(完整版)三角函数三角函数公式表
(完整版)三角函数公式表1. 正弦函数 (sin):定义：正弦函数是直角三角形中对边与斜边的比值。
公式：sin(θ) = 对边 / 斜边范围：1 ≤ sin(θ) ≤ 1特殊值：sin(0°) = 0, sin(30°) = 1/2, sin(45°) = √2/2, sin(60°) = √3/2, sin(90°) = 12. 余弦函数 (cos):定义：余弦函数是直角三角形中邻边与斜边的比值。
公式：cos(θ) = 邻边 / 斜边范围：1 ≤ cos(θ) ≤ 1特殊值：cos(0°) = 1, cos(30°) = √3/2, cos(45°) = √2/2, cos(60°) = 1/2, cos(90°) = 03. 正切函数 (tan):定义：正切函数是直角三角形中对边与邻边的比值。
公式：tan(θ) = 对边 / 邻边范围：tan(θ) 可以取任意实数值特殊值：tan(0°) = 0, tan(30°) = 1/√3, tan(45°) = 1, tan(60°)= √3, tan(90°) 不存在（无穷大）4. 余切函数 (cot):定义：余切函数是直角三角形中邻边与对边的比值。
公式：cot(θ) = 邻边 / 对边范围：cot(θ) 可以取任意实数值特殊值：cot(0°) 不存在（无穷大）, cot(30°) = √3, cot(45°) = 1, cot(60°) = 1/√3, cot(90°) = 05. 正割函数 (sec):定义：正割函数是直角三角形中斜边与邻边的比值。
公式：sec(θ)= 1 / cos(θ)范围：sec(θ) 可以取任意实数值特殊值：sec(0°) = 1, sec(30°) = 2, sec(45°) = √2, sec(60°) = 2/√3, sec(90°) 不存在（无穷大）6. 余割函数 (csc):定义：余割函数是直角三角形中斜边与对边的比值。
特殊直角三角形函数表
特殊直角三角形函数表三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。
在三角函数中，特殊直角三角形是一类具有特殊角度的三角形，其角度值相对简单，具有一些特殊的性质。
本文将为读者提供一张特殊直角三角形函数表，旨在帮助读者更好地理解和应用相关的三角函数。
特殊直角三角形包括正弦三角形、余弦三角形和切线三角形。
下面是它们的函数表：正弦三角形：角度（度）正弦值0° 030° 1/245° √2/260°√3/290° 1余弦三角形：角度（度）余弦值0° 130° √3/245° √2/260° 1/290° 0切线三角形：角度（度）正切值0° 030° √3/345° 160° √390° -从上表可以看出，正弦三角形的正弦值从0到1逐渐增大，而余弦三角形的余弦值则相反，从1逐渐减小到0。
切线三角形的正切值在0°到90°之间是递增的，而在90°时则为无穷大。
这些特殊直角三角形的函数值具有一些规律和性质。
例如，在正弦三角形中，30°、45°和60°三个角的正弦值正好是一个等差数列，这是因为它们的边长比例相同。
同样，在余弦三角形中，这三个角的余弦值也构成一个等差数列。
这些规律和性质在解决各种三角函数问题时具有重要的指导作用。
除了上表中所列举的特殊直角三角形函数值，我们还可以通过基本三角函数的定义和性质推导得出其他角度的函数值。
例如，正弦函数是一个奇函数，因此可以根据角度的正负确定函数值的正负。
余弦函数是一个偶函数，也具有类似的性质。
切线函数则是一个周期为180°的函数。
特殊直角三角形函数表是数学学习和应用中的一项重要工具，它能够帮助我们快速准确地计算和理解三角函数的一些特殊值。
三角形三边关系公式三角函数
三角形三边关系公式三角函数三角形是平面几何中一种基本的图形，由三条边和三个角组成。
研究三角形的关系和性质，可以帮助我们解决很多与三角形相关的问题，如计算三角形的周长、面积，确定三角形的形状等。
在三角形中，三边之间的关系是三角函数的基础。
本文将详细介绍三角形三边关系公式和三角函数的相关知识。
首先，我们来看一下三角形的基本属性。
假设我们有一个三角形ABC，边a对应角A，边b对应角B，边c对应角C。
根据三角形的性质，我们可以得到以下结论：1.三角形的三个内角之和等于180度，即A+B+C=180度。
2.三角形的每个内角都小于180度。
3.三角形的任意两边之和大于第三边。
即a+b>c，b+c>a，c+a>b。
接下来，我们来介绍三角形的三边关系公式。
这些公式可以帮助我们计算三角形的周长、面积以及判断三角形的形状。
我们以边a、b、c来表示三角形的三边长度。
1.周长公式三角形的周长是三边长度之和，即P=a+b+c。
2.海伦公式对于任意三角形，可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式的表达式为：S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，p是半周长，即p=(a+b+c)/23.直角三角形的斜边长度公式对于直角三角形，我们可以使用勾股定理来计算其斜边长度。
勾股定理的表达式为：c=√(a^2+b^2)其中，c为斜边的长度，a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度。
4.三角形的面积公式根据三角形的性质，我们可以将任意三角形划分为两个直角三角形，并使用直角三角形的面积公式来计算三角形的面积。
面积公式的表达式为：S=1/2*b*h其中，b为三角形的底边长度，h为底边对应的高的长度。
三角函数是三角形内角和三边之间关系的另一种表达形式。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)。
这些函数可以通过三角形的内角和三边之间的关系来定义。
直角三角形中的三角函数
直角三角形中的三角函数直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。
在直角三角形中，三角函数起着重要的作用，用于描述三角形中各个角的关系和边长比例。
本文将介绍直角三角形中的三角函数，并探讨它们的性质和应用。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是指一个角的正弦值与其对边与斜边的比值。
在直角三角形中，角的正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。
设直角三角形ABC，其中∠B为直角，BC为斜边，AB为对边，AC为邻边。
则∠A的正弦值为sinA = AB / AC。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值。
在直角三角形中，角的余弦值等于邻边长度与斜边长度的比值。
设直角三角形ABC，其中∠B为直角，BC为斜边，AB为对边，AC为邻边。
则∠A的余弦值为cosA = AC / BC。
三、正切函数（tangent function）正切函数是指一个角的正切值与其对边与邻边的比值。
在直角三角形中，角的正切值等于对边长度与邻边长度的比值。
设直角三角形ABC，其中∠B为直角，BC为斜边，AB为对边，AC为邻边。
则∠A的正切值为tanA = AB / AC。
四、余切函数（cotangent function）余切函数是指一个角的余切值与其邻边与对边的比值。
在直角三角形中，角的余切值等于邻边长度与对边长度的比值的倒数。
设直角三角形ABC，其中∠B为直角，BC为斜边，AB为对边，AC为邻边。
则∠A的余切值为cotA = AC / AB。
五、正割函数（secant function）正割函数是指一个角的正割值与其斜边与邻边的比值。
在直角三角形中，角的正割值等于斜边长度与邻边长度的比值的倒数。
设直角三角形ABC，其中∠B为直角，BC为斜边，AB为对边，AC为邻边。
则∠A的正割值为secA = BC / AC。
六、余割函数（cosecant function）余割函数是指一个角的余割值与其斜边与对边的比值。
三角形三个内角三角函数关系
三角形三个内角三角函数关系三角形是一种三边和三角度角的形状。
对于任何三角形，它的三个内角之和总是等于 180 度。
假设我们把这三个内角记为 A、B 和 C，那么：A +B +C = 180在三角形中，我们可以使用三角函数来描述角度和边的关系。
在这篇文章中，我们将探讨三角形三个内角与三角函数之间的关系。
首先，我们需要知道三角函数的定义。
在直角三角形中，我们定义三角函数为：sin(A) = opposite / hypotenusecos(A) = adjacent / hypotenusetan(A) = opposite / adjacent其中，opposite 表示角 A 的对边长度，adjacent 表示角 A 的邻边长度，hypotenuse 表示斜边长度。
在非直角三角形中，我们可以使用正弦定理、余弦定理和正切定理来求解角度和边的关系。
这些公式可以表示为：正弦定理：a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)余弦定理：a = b + c - 2bc cos(A)正切定理：tan(A) = (b sin(A)) / (c - b cos(A))其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边，A、B 和 C 分别表示相应的内角。
利用这些公式，我们可以发现三角形的三个内角与三角函数之间存在一定的关系。
例如，我们可以利用余弦定理来表示角 A 的余弦值：cos(A) = (b + c - a) / 2bc同样地，我们还可以利用正弦定理和正切定理来表示角 A 的正弦值和正切值。
这些公式可以表示为：sin(A) = (a / 2R) = √[(s - b)(s - c) / sc]tan(A) = 2R sin(A) / (b - c)其中，R 表示三角形的外接圆半径，s 表示三角形的半周长。
在实际应用中，我们可以利用这些公式来求解各种三角形问题，例如求解三角形的面积、周长、角度以及边长等。
三角形及三角函数公式
三角函数一共有6个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边余弦:cos 邻边比斜边正切:tan 对边比邻边余切:cot 邻边比对边正割:csc 斜边比对边余割:sec 斜边比邻边设三角形三个内角分别为A,B,C;对边分别为a,b,c正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosBa2=b2+c2-2bccosA由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosBb=ccosA+acosCc=acosB+bcosA海仑公式:SΔABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],而公式里的p为半周长: p=(a+b+c)/21 三角函数公式大全一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k·360)=sin αcos (α+k·360)=cos atan (α+k·360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5(2)sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5(1) cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式书p45 例4小计:57个另：三角函数口诀三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。
初中数学课件一次函数中三角形的存在性问题
求出的值，并求此时点的坐标；若不能，请说明理由.
课堂小结
等腰三角形的存在性：两圆加一中垂线，记得去掉共线点.
知识讲解
直角三角形的存在性
关联知识点
1
尺规作图：作弧
2
直角三角形斜边上的中线等于斜边上的
一半
知识讲解
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
△ 为直角三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
课堂小结
直角三角形的存在性：一圆加上两垂线，构造思想得坐标.
原题证明
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
△ 为等腰三角形 ，写出所有符合条件的点的坐标.
原题证明
如图，点坐标为（4,0），点在第一象限，且在直线 = − + 5上，
此时，2 = = 4 − (−3) = 7，点2 在第一象限，离轴的距离为7，离
轴的距离为4，∴ 2 (4, 7)；
③当∠3 是直角时，∵∠ = 45∘
∴此情况不存在，应舍去
综上所述，当取0.5或4时，△ 是直角三角形．
应用练习
一次函数 =
4
3
+ 4分别交轴、y轴于、两点，在轴上取一点C，使
当 = 时，3 点的坐标为(2, 0)，
当 = 时，4 点的坐标为(0, 0)，
综上所述，点的坐标为(2 2 − 2, 0)，(−2 2 − 2, 0)，(2, 0)，(0, 0)．
应用练习
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 = 1 + 的图象与轴交于点
(−3, 0)，与 轴交于点 ，且与正比例函数 = 的图象交点为(3, 4)．求：
直角三角形的边角关系(初中锐角三角函数)
直角三角形的边角关系（一）三角函数概念及性质1.Rt △ABC 中，∠C=90°，锐角Ａ的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦，记作sin Ａ，即sinA ＝；锐角Ａ的邻边与斜边的比叫做∠Ａ的余弦，记作cos Ａ，即cosA ＝；锐角Ａ的对边与邻边的比叫做∠Ａ的正切，记作tan Ａ，即tanA ＝；锐角Ａ的正弦、余弦、正切都叫做∠Ａ的三角函数。
注：①正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；②sinA 不是sin 与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；③锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
2.一些特殊角的三角函数值（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) （2）0<sinA<1,0<cosA<1 （3）平方关系 1cos sin 22=+A A（4）弦切关系 tanA=AAcos sin 4.锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）acbcab（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【练习】练习1（求三角函数）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是___A 、B 、C 、D 、 2、在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ：CA ：AB=5：12：13，则cosB=（ ）A 、512B 、125C 、513D 、12133、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.4、在Rt△ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A 的值是( )A ．12B ．2 CD5、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE 的值是（ ）A ．247BC ．724D ．136、如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M 、N 两点关于对角线AC 对称，若DM=1，则tan ∠ADN= ．7、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ）151541314158、如图，在△ABC 中，∠B=30°，P 为AB 上一点，BP AP =12，PQ ⊥BC 于Q ，连结AQ ，则cos ∠AQC=（ ）A 、217 B 、233 C 、277 D 、23219、如图所示，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B= 34，AC 上有一点E ，满足AE ：CE=2：3，则tan ∠ADE 的值是（ ）A 、35 B 、8 9 C 、45D 、7910、如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．练习2（网格）1、如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于_______________2、在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12B ．2C D 3、如图，△ABC 的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan ∠A 的值是___________4、如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为_______。
三角函数解直角三角形
三角函数解直角三角形
解直角三角形的三角函数主要有正弦函数、余弦函数和正切函数。
在一个直角三角形中，我们通常将直角所在的角定义为角A，以直角的斜边为对边，斜边与直角边的交点为顶点B，直角边上的另一点叫作顶点C。
根据三角形内角和为180度的性质，我们知道直角边与斜边之间的另一个角定义为角C。
由此，可以得出以下三角函数的定义：
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，角A的正弦值定义为直角边
AC的长度与斜边AB的长度的比值，即sin(A) = AC / AB。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，角A的余弦值定义为直角边
BC的长度与斜边AB的长度的比值，即cos(A) = BC / AB。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，角A的正切值定义为直角边
AC的长度与直角边BC的长度的比值，即tan(A) = AC / BC。
这些三角函数在解直角三角形的过程中起到了重要的作用。
我们可以
通过已知两个角度和一个边长，或者已知一个角度和两个边长，利用
三角函数的关系式来求解直角三角形的其他未知边长或角度。
需要注意的是，三角函数的值都是有范围的，比如正弦函数和余弦函
数的值域在[-1, 1]之间，而正切函数的值域则是全体实数。
因此，在
解直角三角形的过程中，我们需要根据具体的问题来判断解的合理性，并进行适当的推理和计算。
总的来说，三角函数解直角三角形是一种重要的数学应用，可以帮助
我们理解和解决涉及直角三角形的各种实际问题。
直角三角形的定理
直角三角形的定理直角三角形是指其中一个角度为90°的三角形，直角三角形的特点是其中两条边相互垂直。
在数学中，有几个重要的定理与直角三角形相关，包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。
本文将详细介绍这些定理及其应用。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名且最基础的定理之一。
它表明：在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边平方的和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²勾股定理可以用于求解各种与直角三角形有关的问题，例如已知两条直角边的长度，可以通过勾股定理求解斜边的长度，或者已知斜边和一条直角边的长度，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。
二、正弦定理正弦定理是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它是一个可以用于求解任意三角形的定理，不仅仅适用于直角三角形。
正弦定理表明：在一个三角形中，任意两条边的长度和它们夹角的正弦之比相等。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而正弦值由定义可知，在90°角度对应的正弦值为1。
因此，正弦定理在直角三角形中可以简化为：a/sinA = b/sinB = c正弦定理可以用于求解直角三角形中非直角边的长度，或者求解三角形的角度。
三、余弦定理余弦定理也是直角三角形中三角函数的重要定理之一，它可以用于求解任意三角形的长度和角度。
余弦定理表明：在一个三角形中，任意一条边的平方等于另外两条边平方的和与这两条边的乘积的2倍的余弦值之积。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC对于直角三角形来说，其中一个角度为90°，而余弦值由定义可知，在90°角度对应的余弦值为0。
二次函数中的直角三角形
二次函数中的直角三角形
引入：如图，已知点A 的坐标为()2,0-、点B 的坐标为()2,2，在x 轴上是否存在一点C ，使得△A BC 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点C 的坐标；如果不存在，请说明理由。
变式：请你在在y 轴上找到一点D ，使得△A BD 为直角三角形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由。
例题、如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．
（1）在抛物线223y x x =--的对称轴上是否存在一点Q ，使△BCQ 为直角三角形？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。
x y A x B 图1 备用1 备用2
（2）、变式：在抛物线223y x x =--上是否存在一点P ，使△BCP 是以BC 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
练习：、
已知抛物线:122-+-=m x x y 与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点,如图，设它的顶点为B
(1)求m 的值；
(2)过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证是ABC ∆是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C'上求点P ，使得EFP ∆是以EF 为直角边的直角三角形.
图1 备用1 备用 2 x C E A O B F。
直角三角形中的三角函数
直角三角形中的三角函数直角三角形是数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有广泛应用，也是解决实际问题中不可或缺的工具。
而直角三角形中的三角函数更是直角三角形的重要性质之一，它们可以帮助我们计算各种角度的大小和边长的关系。
本文将介绍直角三角形中的三角函数，并以实际问题为例进行说明。
在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。
这三个函数分别表示一个角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
它们的定义如下：正弦函数（sin）：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数（cos）：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数（tan）：在直角三角形中，一个锐角的正切等于该角的对边与邻边的比值。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明三角函数的应用。
假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，斜边的长度为5。
我们想要求解另一条直角边的长度。
首先，我们可以使用余弦函数来计算这个角的余弦值。
根据余弦函数的定义，我们有cosθ = 邻边/斜边，代入已知数据，得到co sθ = 3/5。
然后，我们可以通过反余弦函数来求解这个角的大小。
反余弦函数的定义是：给定一个值x，反余弦函数返回一个角θ，使得cosθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = acos(3/5) ≈ 53.13°。
接着，我们可以使用正弦函数来计算这个角的正弦值。
根据正弦函数的定义，我们有sinθ = 对边/斜边，代入已知数据，得到sinθ = 对边/5。
同样地，我们可以通过反正弦函数来求解这个角的大小。
反正弦函数的定义是：给定一个值x，反正弦函数返回一个角θ，使得sinθ = x。
在这个例子中，我们可以计算出θ = asin(对边/5) ≈ 36.87°。
最后，我们可以使用正切函数来计算这个角的正切值。
根据正切函数的定义，我们有tanθ = 对边/邻边，代入已知数据，得到tanθ = 对边/3。
直角三角函数的定义
直角三角函数的定义定义：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（勾股定理）性质直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)^2=BD·DC，（2）（AB)^2=BD·BC ，（3）（AC)^2=CD·BC 。
射影定理图等积式（4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明）(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
性质7:如图，1/AB^2+1/AC^2=1/AD^2性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
判定直角三角形的判定方法：判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
判定3：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
特殊三角形三角函数
特殊三角形三角函数特殊三角形三角函数介绍在三角函数中，特殊三角形是指等边三角形和等腰直角三角形，它们具有一些特殊的性质和规律。
本文将介绍这些特殊三角形中的正弦、余弦、正切、余切函数的计算方法。
一、等边三角形定义等边三角形是指具有相等边长的三角形，它有以下性质：1. 任意两个内角均为60度；2. 任意两个内角均相等；3. 高线、中线、垂线均重合。
计算正弦函数在等边三角形中，每个内角均为60度，因此正弦函数可以表示为：sin(60°) = √3/2计算余弦函数同理，由于每个内角均为60度，因此余弦函数可以表示为：cos(60°) = 1/2计算正切函数由于正切函数是正弦和余弦的比值，因此在等边三角形中可以表示为：tan(60°) = sin(60°) / cos(60°) = √3计算余切函数同理，由于余切函数是余弦和正弦的比值，因此在等边三角形中可以表示为：cot(60°) = cos(60°) / sin(60°) = 2/√3二、等腰直角三角形定义等腰直角三角形是指具有一个直角和两个相等的锐角的三角形，它有以下性质：1. 直角边为两个相等的边；2. 斜边为直角边的根号2倍。
计算正弦函数在等腰直角三角形中，由于一个锐角为45度，因此正弦函数可以表示为：sin(45°) = 1/√2计算余弦函数同理，由于一个锐角为45度，因此余弦函数可以表示为：cos(45°) = 1/√2计算正切函数由于正切函数是正弦和余弦的比值，因此在等腰直角三角形中可以表示为：tan(45°) = sin(45°) / cos(45°) = 1计算余切函数同理，由于余切函数是余弦和正弦的比值，因此在等腰直角三角形中可以表示为：cot(45°) = cos(45°) / sin(45°) = 1总结特殊三角形中的三角函数具有一些特殊性质和规律，掌握它们对于学习和应用三角函数都非常重要。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(老师版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：专项训练一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】设三角形运动速度为1，分0≤t≤2时，2＜t≤2时，2＜时，时五种情况，可知等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，分别求出函数关系式，即可得出答案． 【详解】∵等腰直角三角形的直角边长为1， ∵当s ＝12×1×1+2×2﹣212t ⨯＝92﹣12t 2；s ＝22-12+2×12t)2=t 2﹣112；t≤2时，s ＝2122-×1×1＝72；当2＜时，s ＝22-2×12(t -2)2=t 2﹣4t+152；当2+2＜s ＝22+12-2×12t+2）2=92t+2）2，∵等腰直角三角形与正方形的不重叠部分面积变化过程是变小--不变--变大，且变小、变大时的图象为抛物线，不变时的图象为直线， ∵A 符合要求， 故选：A ． 【点睛】考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，熟练掌握二次函数的图象是解题关键．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．712【答案】B 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d ＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x 轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d 的值 【详解】解： 直线l ：13y x b =+经过点M （0，14）则b=14，∵直线l ：1134y x =+由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∵该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d ＜1∵该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，11173412y =+=＜1；当x=2时，221113412y =+= ＜1； 当x=3时，315144y =+=＞1； ∵美丽抛物线的顶点只有12,B B ∵若1B 为顶点，由17(1,)12B ，则7511212d =-= ， ∵若2B 为顶点，由211(2,)12B ，则11111(2)11212d ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． 故选B ． 【点睛】此题主要考查抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性．3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A．16B．15C．14D．13【答案】C【详解】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，∵一共有7条抛物线．同理可得开口向上的抛物线也有7条．∵满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．故选C．4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果∵ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）。
直角三角形角对应边的关系
直角三角形角对应边的关系
直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个90度的直角。
在直角三角形中，我们可以根据角和边的关系来描述角对应边的关系。
首先，直角三角形的三条边分别为斜边、邻边和对边。
对于直
角三角形ABC，其中∠C是直角，AB为斜边，AC为邻边，BC为对边。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
1. 正弦定理，sin(∠A) = 对边/斜边，sin(∠B) = 邻边/斜边。
2. 余弦定理，cos(∠A) = 邻边/斜边，cos(∠B) = 对边/斜边。
3. 正切定理，tan(∠A) = 对边/邻边，tan(∠B) = 邻边/对边。
这些定理描述了直角三角形中角对应边的关系，通过这些关系
我们可以在已知任意两个量的情况下求解直角三角形的其他边或角。
这些关系在解决实际问题中非常有用，例如在测量和建筑领域中经
常会用到直角三角形的性质来计算距离和角度。
另外，直角三角形中的勾股定理也是描述角对应边的重要关系，即直角三角形中的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
勾股定理
可以表示为，c²=a²+b²，其中c为斜边，a和b为直角边。
总的来说，直角三角形角对应边的关系可以通过三角函数的定
义和勾股定理来描述，这些关系在数学和实际应用中都具有重要意义。
直角三角形夹角长计算公式
直角三角形夹角长计算公式直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是90度。
在直角三角形中，我们经常需要计算夹角的长度，以便解决各种数学和物理问题。
夹角的长度可以通过使用三角函数来计算，以下是直角三角形夹角长计算公式的详细介绍。
在直角三角形中，有三个角分别为A、B和C。
其中角C是直角，即90度。
夹角长通常指的是角A和角B的长度。
为了计算夹角的长度，我们可以使用正弦、余弦和正切三个三角函数来求解。
首先，我们来介绍正弦函数。
在直角三角形中，正弦函数可以表示为sinA = 对边/斜边，sinB = 邻边/斜边。
其中对边是指与角A或角B相对的边，邻边是指与角A或角B相邻的边，斜边是指直角三角形的斜边。
通过这个公式，我们可以利用已知的边长来计算夹角的长度。
其次，我们来介绍余弦函数。
在直角三角形中，余弦函数可以表示为cosA =邻边/斜边，cosB = 对边/斜边。
同样地，通过已知的边长，我们可以利用余弦函数来计算夹角的长度。
最后，我们来介绍正切函数。
在直角三角形中，正切函数可以表示为tanA =对边/邻边，tanB = 邻边/对边。
通过这个公式，我们同样可以利用已知的边长来计算夹角的长度。
在实际问题中，我们经常需要利用这些三角函数来解决各种数学和物理问题。
例如，在建筑工程中，我们需要计算夹角的长度来确定建筑物的结构和布局；在导航中，我们需要计算夹角的长度来确定船只或飞机的航向；在天文学中，我们需要计算夹角的长度来确定天体的位置等等。
除了使用三角函数来计算夹角的长度外，我们还可以利用勾股定理来求解。
在直角三角形中，勾股定理可以表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边的长度。
通过这个公式，我们同样可以利用已知的边长来计算夹角的长度。
总之，直角三角形夹角长计算公式是解决各种数学和物理问题的重要工具。
通过使用正弦、余弦和正切三个三角函数，以及勾股定理，我们可以准确地计算夹角的长度，从而解决实际问题。
30度直角三角形边长关系公式
30度直角三角形边长关系公式30度直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中一个角是30度，另外两个角是90度和60度。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下边长关系公式：
1.对于30度直角三角形，其两条直角边的比例是1:√3:2。
这意味着，如果其中一条直角边的长度为x，那么另一条直角边的长度为√3x，斜边的长度为2x。
2.根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
因此，如果其中一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，斜边的长度为c，对于30度直角三角形,有c² = a² + b².
这些公式可用于计算30度直角三角形的边长。
例如，如果已知其中一条直角边的长度为3，我们可以使用第一个公式计算出另一条直角边的长度为3√3，然后再用勾股定理计算斜边的长度为√3² + 3² = 3√4 = 6.
拓展：除了边长关系公式，我们还可以使用三角函数来计算30度直角三角形的边长。
对于30度直角三角形，正弦、余弦和正切的值是已知的。
具体来说：
-正弦公式：sin(30°) = 1/2，即斜边/斜边长度等于1/2.
-余弦公式：cos(30°) = √3/2，即直角边/斜边长度等于√3/2.
-正切公式：tan(30°) = 1/√3，即直角边/直角边长度等于
1/√3.
根据这些公式，我们可以通过已知角度和边长来计算相关的未知边长，或者通过已知边长计算相关的角度。
这些三角函数的值在数学和物理领域有广泛的应用。
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2.如图，抛物线 y 1 x2 3 x 2 与 x 轴交于点 A, B ,与 y 轴交于点 C ，点 D 与点 C 关于 x 轴对称， 22
点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q . （1）求点 A，点B，点C 的坐标；
解析：若使 B, C, M 为顶点的三角形是直角三角形，
且没有说明哪个点为直角顶点，
∴ B, C, M 任意一点都可能为直角顶点。
（1）当点 B 为直角顶点时， 则 BC 、 为直角边，
பைடு நூலகம்
为斜边，且三边满足勾股定理：利用两点间距离公式可求得：
BC = （ ）2 （ ）2 3 2 ，那么，如何表示 BM , CM 的长度？
（2）当点 Q 为直角顶点时， MQ PQ . ∴ MQ ∥ x轴
（3）当点 P 为直角顶点时
跟踪训练：1.如图，在二次函数 y 1 x2 2 x 8 上有两点 E, C ，当 EC ∥ x 轴时，在抛物线上是 33
否存在点 G ，使得以点 A, E, G 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 G 的坐标；若不存
∵点 M 为 DE 上的一个动点， ∴可设点 M（1，m）
∴再次利用两点间距离公式可求得： BM （3 -1）2 （0 - m）2 4 m2 ，
CM （1- 0）2 （m - 3）2 （m - 3）2 1.
∴ BC 2 BM 2 CM 2. 即（3 2）2 （ 4 m2）2 ( (m 3)2 1)2. 解得：m 2. 即M（1 1，- 2） （2）同理，当点 C 为直角顶点时， ∴ BC 2 CM 2 BM 2.
方法一：此题仍可选择第一题的方法
设点 P（m, m 7）, Q(m, 1 m2 3m 8)
2
2
仍可通过两点间距离公式表示 PM , MQ, PQ ,再分别将点 P, M , Q 作为直角顶点，利用勾股定理，求
出 m 的值。（但是此方法计算量太大，不适用） 方法二：利用代数方法：运用 k1 k2 1求解。 （1）当点 M 为直角顶点时， MN , MQ 所在直线垂直于点 M
综合探究：函数中的直角三角形
例：1..如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于点 A, B ，与 y 轴交于点 C ， 其顶点为 D ,直线 AD与y 轴交于点 F ，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 E 。 问：在直线 DE 上是否存在点 M ，使以点 B, C, M 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，求点 M 。
（2）求直线 BD 的解析式；
（3）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M ,试探究 m 为何值时，四边形 CQMD 是平行
四边形；
（4）在点 P 在运动过程中，是否存在点 Q ,使 BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若存在，求 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
∴
（3）当点 M 为直角顶点时， ∴ CM 2 BM 2 BC 2.
∴
2.如图，抛物线 y 1 x2 3x 8 与直线 y x 7 交于 M , N ,点P 是线段 MN上异于M , N 的动点，
2
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过点 P作PQ x 轴交于抛物线上的点 Q ，求 PMQ 为直角三角形，求点 P 的坐标。