福州市三牧中学数学整式的乘法与因式分解(提升篇)(Word版 含解析)

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）

1．（1）你能求出（a ﹣1）（a 99+a 98+a 97+…+a 2+a +1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值． （a ﹣1）（a +1）＝ ；

（a ﹣1）（a 2+a +1）＝ ；

（a ﹣1）（a 3+a 2+a +1）＝ ；…

由此我们可以得到：（a ﹣1）（a 99+a 98+…+a +1）＝ ．

（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：

2199+2198+2197+…+22+2+1．

【答案】（1）21a -，31a -，41a -，1001a -（2）20021-

【解析】

【分析】

根据简单的多项式运算推出同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找出的规律进行解决较难的运算问题．

【详解】

解：（1）21a - 31a - 41a - 1001a -

（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++

=()21- ⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++）

=20021-．

【点睛】

考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题计算结果的一般规律性洞察力．

2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22

322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；

（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的

面积，你能发现什么?(用含有x ，

y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，

则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．

【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；

（3）大 小

【解析】

【分析】

（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；

（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数

一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；

【详解】

（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++

（2）22()()4x y x y xy +=-+

（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.

【点睛】

本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

3．（1）填空：()()a b a b -+= ；

22()()a b a ab b -++= ；

3223()()a b a a b ab b -+++= ．

（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且

2n ≥）．

（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．

【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．

【解析】

试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；

（2）根据（1）的规律可得结果；

（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．

试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；

3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；

3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；

故答案为22a b -，33a b -，44a b -；

（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；

（3）令98732222...222S =-+-+-+，

∴987321222...2221S -=-+-+-+-

=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．

考点：1．平方差公式；2．规律型．

4．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.

例题：已知22

4250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22

(21)(44)0x x y y -++++=

即22(1)(2)0x y -++=

∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩

∴1x y +=-.

题目：已知22

464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-

32

【解析】

【分析】 先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．

【详解】

解：将22464100x y x y +-++=，

化简得22694410x x y y -++++=，

即()()223210x y -++=．

∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，

∴3x = ，12y

， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-

=- ⎪⎝⎭. 【点睛】

本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的