方程的根与零点问题共27页
方程的根与函数的零点说课课件ppt
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
方程的根与函数的零点(5)
x2 2x 3 0
y x2 2x 3
透数形结合 的思想。为
方程的根 函数值y=0时的x的值 函数图象与x轴交点的横坐标
板书
引入函数零 点的概念打 下基础。
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五、教学过程
（三）数形结合，巩固认识
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二
次 方 程 ax2 bx c 0 (a 0) 及 相 应 的 二 次 函 数
一些复杂的方程无法 求解，造成学生的认 知冲突,引发学生的好 奇心和求知欲。此时 开门见山的提出用函 数的思想解决方程根 的问题,点明本节课的 课题。
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五、教学过程
（二）启发引导，逐步深入
设计意图
问题2：
以问题激发学生
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
思考，将大问题
分解为几个小问 与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有什么联系？ 题，自然地得到
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方程
函数 函 数 的 图 像
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
.
2
.1 .
－1 0 1 2 3 x －1
－2 －3
. －4
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
y
.5 4
.
3.
2
.
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
利用导数研究零点问题及方程的根的问题(学生版)
利用导数研究零点问题及方程的根的问题1.已知函数f x =x cos x +14x 2，f ′x 为f x 的导函数．(1)若x ∈0,π2 ,f x ≥mx 2成立，求m 的取值范围；(2)证明：函数g x =f ′x +cos x 在0,π2 上存在唯一零点．2.已知函数f x =e x+ae x-a-1x-2a∈R(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若a∈(-∞,2]，求函数f(x)在区间(-∞,2]上的零点个数.3.设函数f x =x2-ax+2sin x.(1)若a=1，求曲线y=f x的斜率为1的切线方程；(2)若f x 在区间0,2π上有唯一零点，求实数a的取值范围.4.已知f x =e x-2x.(1)求f x 的单调区间；上无实数解(2)证明：方程f x =cos x在-π2,05.已知函数f(x)=e x+sin x-cos x，f (x)为f(x)的导数.(1)证明：当x≥0时，f (x)≥2；(2)设g x =f x -2x-1，证明：g(x)有且仅有2个零点.6.已知函数f x =x2e x-a ln x，a≠0．(1)若a=1e，分析f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．7.已知函数f x =x -2 e x -ax +a ln x a ∈R ．(1)当a =-1时，求函数f x 的单调区间；(2)当a <e 时，讨论f x 的零点个数．8.函数f x =x -2 e x ,g x =13ax 3-12x 2-x +4a sin x +x +1 ln x +1 ,a >0.(1)求函数f x 在x ∈-1,2 的值域；(2)记f x ,g x 分别是f x ,g x 的导函数，记max m ,n 表示实数m ,n 的最大值，记函数F x =max f x ,g x ，讨论函数F x 的零点个数.9.设函数f x =-12x2+a-1x+a ln x+a2，a>0．(1)若a=1，求函数f x 的单调区间和最值；(2)求函数f x 的零点个数，并说明理由．10.已知函数f x =x-2sin x．(1)求f x 在0,π的极值；(2)证明：函数g x =ln x-f x 在0,π有且只有两个零点．11.已知函数f(x)=ax2-x-ln x．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在定义域内有两个不相等的零点x1,x2．①求实数a的取值范围；②证明：f x1+x2．>2-ln x1+x212.已知函数f x =e x-1-ln x-ax，a∈R.(1)当a=e-12时，求函数f x 的单调性；(2)当a>0时，若函数f x 有唯一零点x0，证明：1<x0<2.13.已知函数f x =sin x -x +a cos x ，函数g x =13x 3+12ax 2，其中a≥0.(1)判断函数f x 在0,π 上的单调性，并说明理由；(2)证明：曲线y =f x 与曲线y =g x 有且只有一个公共点.14.已知函数f x =3xx+3，g x =b sin x，曲线y=f x 和y=g x 在原点处有相同的切线l．(1)求b的值以及l的方程；(2)判断函数h x =f x -g x 在0,+∞上零点的个数，并说明理由．15.已知函数f (x )=ax ln x -2x ．(1)若f (x )在x =1处取得极值，求f (x )的单调区间；(2)若函数h (x )=f (x )x-x 2+2有1个零点，求a 的取值范围．16.已知f x =x2-x,x≥-1x+3,x<-1，g x=ln x+a．(1)存在x0满足：f x0=g x0，f x0=g x0，求a的值；(2)当a≤4时，讨论h x =f x -g x 的零点个数．17.已知函数f(x)=ln x-a+1x，g(x)=a(x-2)e1-x-1，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<53时，是否存在x1,x2，且x1≠x2，使得f x i =g x i (i=1,2)？证明你的结论.18.设函数f x =ae x+sin x-3x-2，e为自然对数的底数，a∈R.(1)若a≤0，求证：函数f x 有唯一的零点；(2)若函数f x 有唯一的零点，求a的取值范围.19.已知函数f x =e x -2a x a >0 .(1)若a =e ，讨论f x 的单调性；(2)若x 1，x 2是函数f x 的两个不同的零点，证明：1<x 1+x 2<2ln a +ln2.20.已知函数f x =log a x-x-1x+1,a>0且a≠1.(1)若a=e，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)讨论函数f x 的零点个数.21.已知函数f x =a ln x +x +1x，其中a >0.(1)当a =1时，求f x 的最小值；(2)讨论方程e x +e -x -a ln ax -1ax =0根的个数.22.已知函数f x =x +b e x -a ．(b >0)在-1,f -1 处的切线l 方程为e -1x +ey +e -l =0．(1)求a ，b ，并证明函数y =f x 的图象总在切线l 的上方(除切点外)；(2)若方程f x =m 有两个实数根x 1，x 2．且x 1<x 2．证明：x 2-x 1≤1+m 1-2e 1-e．23.已知函数f x =ax+ln x，其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若过点P(1，0)且与曲线y=f x 相切的直线有且仅有两条，求实数a的取值范围.24.已知函数f (x )=(x -1)e x -ax 2+b ．(1)讨论f (x )的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f (x )只有一个零点①12<a ≤e 22,b >2a ；②0<a <12,b ≤2a ．25.已知函数f x =e x 1+a ln x ．(1)当f x 有两个极值点时，求a 的取值范围；(2)若a ≥32，且函数f x 的零点为x 1，证明：导函数f x 存在极小值点，记为x 2，且x 1>x 2．26.函数f(x)=x-sin x-cos x．上的极值；(1)求函数f(x)在-π,π2(2)证明：F(x)=f(x)-ln x有两个零点．27.已知函数f(x)=e x-a sin x-1在区间0,π2内有唯一极值点x1.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0,π)内有唯一零点x2，且x2<2x1.28.已知函数f(x)=e x-ax和g(x)=ax-ln x有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．29.已知函数f x =x3+bx 2x.(1)当b=0时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =2x f x +c在x=2处的切线与x轴平行，若g x 有一个绝对值不大于4的零点，证明：g x 所有零点的绝对值都不大于4.30.已知函数f(x)=ae2x-x2,a∈R．(1)设f(x)的导函数为g(x)，讨论g(x)零点的个数；(2)设f(x)的极值点为x1,x2x1<x2，若ee-2x1+x2≥λx1x2恒成立，求实数λ的取值范围．31.已知函数f x =e mx +nx m ≠0 ．当m =1时，曲线y =f x 在点0,f 0 处的切线与直线x -y +1=0垂直．(1)若f x 的最小值是1，求m 的值；(2)若A x 1,f x 1 ，B x 2f x 2 x 1<x 2 是函数f x 图象上任意两点，设直线AB 的斜率为k ．证明：方程f x =k 在x 1,x 2 上有唯一实数根．32.已知函数f x =xe nx -nx (n ∈N *且n ≥2)的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程y =g x ，并证明：x ≥0时，f x ≥g x ．(2)若关于x 的方程f x =t (t 为实数)有两个正实根x 1,x 2，证明：x 1-x 2 <2t n ln n +ln n n．33.已知函数f x =xe x -a sin x a ∈R ．(1)若∀x ∈0,π，f x ≥0，求a 的取值范围；(2)当a ≥-59时，试讨论f x 在0,2π 内零点的个数，并说明理由．34.已知函数f(x)=a ln x．(1)记函数g(x)=x2-(a+2)x+f(x)，当a>2时，讨论函数g(x)的单调性；(2)设h(x)=f(x)-x2，若h(x)存在两个不同的零点x1,x2，证明：2e<a<x12 +x22(e为自然对数的底数)．35.已知函数f x =3x -1 e x -32ax 2．其中实数a ∈0,+∞ ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)求证：关于x 的方程f x +32=32ax 2-x 3有唯一实数解．。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1方程的根与函数的零点
函数
的零点是（ ）
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
3、 函数零点存在的条件
方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：判断函数 f(x)2x23x2有几个零点。
注 意：
• 函数的零点并不是以坐标形式出现的“点” 而是实数。
• 函数的零点亦即函数y=f（x）的图像与x轴 交点的横坐标。
问题3
对于任意的函数，如何判定这个函数是否有零点，有 几个零点？
• 若f（a）·f（b）＜0，能推出y=f（x）在 (a，b)有一个零点？
• 若在（a,b)上函数y=f（x）有零点，能否 推出 f（a）·f（b）＜0？
1方程的根与函数的零点
说明这个函数在区间(2,3)内
根
，相应的二次函数的图象与 轴有唯一的
即存在
，使得
，这个 也就是方程
的根。
3、 函数零点存在的条件
样的结 论或者 感受？
结 论？
一般地，如果函数 y f (x)在区间 [a , b ] 上的图 象满足 f(a)f(b)0 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有一个零点。
即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，这个 c也就
是方程 f (x)0的根。
思考
• 对于函数y=f（x）在[a，b] 不是一条连续 不断的曲线？
3.1方程的根与函数的零点
（1）已知函数 y = f(x), x∈[a,b]，满足 f(a) ·f(b)>0,那么f(x)在区间上(a,b)上一 定有零点吗？
（2）已知函数 y = f(x), x∈[a,b]，满足 f(a) ·f(b)<0,那么f(x)在区间上(a,b)上一 定有零点吗？
（3）已知连续函数 y = f(x), x∈[a,b]，满足 f(a) ·f(b)<0,那么f(x)在区间上(a,b)有零
能否从函数 f(x)=lnx+2x－6的性质入手分 析呢？
知识探究（二）：函数零点存在性原理
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零
2
点x＝ _-_1___,有f(－2)__>__0, f(1)__<__0得到
.1
.
f(－2)·f(1) __<____0(<或>)。
练习1.求下列函数的零点：
y 2x 4; y (x 1)(x 2)(x 3); y 2x 8, y ln(x 2)
练习2.已知函数f (x)的定义域为R的奇函 数，且 f (x) 在(0, ) 有一个零点，则 f (x) 的零点个数为_____
例2 求方程lnx+2x－6＝0的根个数；
-4
x2-2x+1=0
-6
x1=x2=1 y=x2-2x+1
2
-8
(1,0)
-15
x2-2x+3=0
-10
-5
无实数根 y=x2-2x+3
-10
1
-12
-2
-414
-4 -216
4.4.1方程的根与函数的零点课件高一上学期数学
2≤m<16,
f(x)= ,
2
y=0,y= 共有
2
6个
规律方法
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
(1)直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确
定参数的取值范围.
(2)数形结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)[h(x),g(x)的
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若函数f(x)=x2+2x+a没有零点,则实数a的取值范围是( B )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,1]
2 -2, ≤ 0,
3.已知函数 f(x)=
则函数 y=f(x)+3x 的零点个数是( C )
1
1 + , > 0,
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 根据题意,令x2-2x+3x=0,
解得x1=0,x2=-1,当x≤0时,符合题意;
1
令1+ +3x=0,无解,故函数y只有两个零点,故选C.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
解 令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,
方程的根与零点的关系
(1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点， 则f(1)＝________.
[答案]
[解析]
1 (1)①3，－1 ②100 (2)－6 (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1，
总结评述：这是最基本的题型，所用的方法也 是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点函数 值的乘积是否有f(a)·f(b)<0.
若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续 不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有 一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值 ( ) A．大于0 B．小于0 C．无法判断 D．等于零
[例 6]
1 函数 f(x)＝x＋ 的零点个数为( x B．1 个 D．至多 1 个
)
A．0 个 C．至少 1 个
[错解] ∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0， ∴f(x)至少有一个零点，故选C. [辨析] 解决函数问题必须注意函数的定义 域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义 域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条 件是函数图象连续不断． [正解] 易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当 x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无 零点，故选A.
Δ>0
Δ＝0
f(x)＝0 3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数根 x轴 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零 点． 4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连 续曲线，且有 ，则函数y＝f(x)在 f(a)f(b)<0 区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得 0 f(c)＝ .
人教A版数学必修一3-1-1方程的根与函数的零点(68张).pptx
命题方向 3 判断函数的零点、方程的根所在的区间
[例 3] (2010·天津)函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点所在的一
个区间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[分析] 函数零点附近函数值的符号相反，可据此求解．
f0＝2m＋1<0 观察图象可得ff－ 1＝1＝ 4m2＋>02<0 ，
f2＝6m＋5>0
解得－56<m<－12.
所以 m 的取值范围是(－56，－12)．
规律总结：这类题目一般是从几何角度入手，利用代数 方法解决．若题目改为函数 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 的两个零
f0>0 点均在区间(0,1)内，则需满足不等式组fΔ≥1>00
(3)函数 y＝x2－2x＋3 与 x 轴没有交点，方程没有实根．
观察可知，二次函数 f(x)与 x 轴的交点的横坐标恰好是相 应方程 f(x)＝0 的根，这种关系对一般的一元二次函数与其相 应的方程之间的情况也成立，即方程 ax2＋bx＋c＝0 的实根就 是 f(x)＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．
[解析] (1)令 f(x)＝0，即 3x＋2＝0，∴x＝－23. ∴f(x)＝3x＋2 的零点是－23. (2)令 f(x)＝x2－3x－4＝0，得 x1＝4，x2＝－1. ∴f(x)＝x2－3x－4 的零点是 4，－1. (3)令 f(x)＝log2x＝0，得 x＝1， ∴f(x)＝log2x 的零点为 1.
名师辩误做答
1．混淆了零点与点的概念 [例 5] 函数 f(x)＝x2－5x＋6 的零点是________． [错解] (2,0)，(3,0) 由题意，得 x2－55x＋6＝0，∴x＝2，x＝3， ∴函数的零点是(2,0)和(3,0)．
方程的根与零点问题27页PPT
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
311方程的根与函数的零点
宁乡十三中高一数学备课组
判断下列方程是否有根，如果有，有几个？
(1)x2 2x 3 0
(2)x2 2x 1 0
(3)x2 2x 3 0
ln x 2x 6 0
完成下表并观察
一元二次方 程
方程的根
二次函数
函数的图象
图象与x轴的 交点
0
-25
-20
-15
-10
-5
-1
x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y=x2-2x-3
-2
-4
3
(-1,0),(3,0)
x2-2x+1=0 -15
x1=x2=1 -10
y=x2-2x+1
-5
-6
2
-8
-10 1
(1,0)
x2-2x+3=0
-25
-20
问题 1:
无实数根
y=x2-2x+3
-2 -12
4 -14
2.函数 y=1/x 零点个数是：__0___
小结：
(1)零点不是普遍意义的点。零点是一个实数,是函数 与x轴交点的横坐标。
(2)方程f (x) 0有实数根 函数y f (x)的图象与x轴 有交点 函数y f (x)有零点
画板
探究:
针对函数f(x)=x2-2x-3回答下列问题
1函数的零点是什?
y
2.在区间[-2,1]上零点左右的
函数值的符号是怎样变化的?
x 2 1 0 1 2 3 4
3 计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现
它有什么特点？在[2，4]上是否也
具有这种特点呢？
4 那么对于[a，b]满足什么条件时， 画板 函数一定有零点？
§3.1.1方程的根与函数的零点
.
2 3
.
5 6 7 8 9 10
1
2
x
.
16
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§3.1.1方程的根与函数的零点
课堂练习2：
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
y
.
.
3 2 1
6 5 4
.
.
－1 0 1 2 3 4
2013-1-14 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
.
x
11
§3.1.1方程的根与函数的零点
(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5 解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为2x2 ＋2x－5＝0， 令f(x)=2x2＋2x－5 , 作出函数f(x)的图象，如下： 它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不 相等的实数根。
y
. . . － －2 － －4 3 . 1 0 1 2 －1
－2 －3 －4 －5 －6
4 3 2 1
3
x
.
2013-1-14
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§3.1.1方程的根与函数的零点
拓展：求下列函数的零点。
(1)y=－x2 － x+20； (2)y=2x － 1;
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（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
3.1.1方程的根和函数的零点
x2-2x+3=0
无实根 y=x2-2x+3 无交点
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
⊿=b2-4ac ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c(a≠0)的
的根
图象与x轴的交点
⊿>0 ⊿=0 ⊿<0
x1,x2 x1=x2 无实根
（x1,0），（x2，0） （x1，0） 无交点
函数零点的定义：
[解析] 函数零点就是相应方程的实数根，可用求根公式 或分解因式求解．
(1)由 4x－3＝0 得 x＝34，零点是34. (2)f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为 1 和 2. (3)函数 y＝2x 没有零点． (4)函数 y＝log2(x＋1)的零点是 x＝0.
练习：
2．函数 f(x)＝2x2－5x＋2 的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．不确定
[答案] C
[解析] 2x2－5x＋2＝0 即(x－2)(2x－1)＝0，∴x＝2 或12， 故选 C.
3．(2012～2013 河北广平县一中期中试题)函数 f(x)＝lnx
－2x的零点所在的大致区间是( )
[例 3] 求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数． [分析]
函数单 结合函数零点存在性判定定
一题多解
— —
调性
— 理，判断零点存在性及个数 观察函数图象判
—
图象法
—
断方程根的个数
[解析] 解法一：因为 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋ lg3－2≈2.48>0，所以由函数零点存在性判定定理知，f(x)在 (0,2)上必定存在零点．
人教版高一数学必修1第27课时方程的根与函数的零点(含解析)
Δ>0Δ＝0Δ<0两个1个0个两个1个无解)＝0的实数叫做函数y＝f(x)的零点．．方程、函数、图象之间的关系函数y＝f(x)的图象与轴有交点⇔＝f(x)有零点．上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(也就是方程＋(k＋3)有两个不同的零点，则k的取值范围是，－2)＝log2x和y＝1x的图象x＝2－3x，设g(x)＝x＋3x－2有一个零点．⎩⎨2m ＋104m 2－4×2m ＋12m －1>01.根据二次函数的图象，函数的两个零点在原点左、右两侧，有两种情况2m ＋1>0f 0＝2m －⎩⎨⎧2m ＋1<0f 0＝2m －1>0，1<m <12.解析：在同一坐标系中做出y＝a|x|与y＝|log a x|的图象，有两个交点，故选B.13．(15分)已知函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2，求：(1)函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在定义域内为增函数；(3)求函数f(x)的零点所在的大致区间，并求出零点的个数．解：(1)函数的定义域为(－1，＋∞)；(2)设x1，x2∈(－1，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝21x＋lg(x1＋1)－2－(22x＋lg(x2＋1)－2)＝(21x－22x)＋lg(x1＋1)－lg(x2＋1)．∵x1<x2，∴21x<22x，lg(x1＋1)<lg(x2＋1)，∴21x－22x<0，lg(x1＋1)－lg(x2＋1)<0，f(x1)－f(x2)<0，所以函数f(x)在定义域内为增函数．(3)因为f(0)＝－1，f(1)＝lg2>0，所以f(0)f(1)<0.所以函数f(x)的零点所在的区间为(0,1)，又因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以函数f(x)的零点只有一个．。