高三数学_南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷

数学试题

第Ⅰ卷（必做题，160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知{

}

2

3

1,x A x x

R +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫

-=≤∈⎨⎬+⎩⎭

，则A B =I __________．

2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．

4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．

5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．

（第4题）

（第13题）

6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．

7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．

9．已知函数2,4()(1),4

x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．

10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式

2121

x

x ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b ++≤

+，则3ab a b

+的最大值为__________． 13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =

，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B

是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12

AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ

⋅u u u r u u u r

的取值范围是__________．

14．若1x ，2x 是函数()2

ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则

()

12

f x x 的取值范围为__________．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos A

cos C ．

（1）求证：A ＝C ；

（2）若b ＝2，BA →·BC →

＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证： （1）BC ∥平面ADD 1A 1；

（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．

（第16题）

B

A

C

D

D 1

B 1

A 1

C 1

17．（本小题满分14分）

如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，

,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．

（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；

（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．

18．（本小题满分16分）

如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为1

2，右准线方程为x ＝4，A ，B

分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－1

2，求k 的值；

（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝3

2，求M 的坐标．

（第17题）

19．（本小题满分16分）

已知函数f (x )＝ln x ＋a

x

＋1，a ∈R ．

（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；

（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，1

2)上有最小值，求实数a 的取值范围；

（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n n

a S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．

（1）当λ＝1时，