数学：3.2.1《复数的运算-复数的加法与减法》PP课件(新人教选修2-2)
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课件8：3.2.1 复数的加法与减法
【答案】
61 2
命题方向1 复数加、减法运算 例 1 计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
跟踪训练 2.已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的 复数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求： (1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B 点对应的复数．
解：(1)∵A→O＝－O→A，∴A→O表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
即学即练
2.设向量O→P、P→Q、O→Q对应的复数分别为 z1，z2，z3，
那么( D )
A．z1＋z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 ∵O→P＋P→Q－O→Q＝O→Q－O→Q＝0.
∴z1＋z2－z3＝0.
三、复数的几何意义的应用 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是 表示实数 a 的点与原点 O 间的距离，那么在复数集中．类 似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离， 也就是向量O→Z的模，|z|＝|O→Z|.
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.1 复数的加法与减法
由复数加减法的几何意义可得
uuur uuur DA＝EA
EuuDur＝1
uuur CA
1
uuur BD
22
＝
1
uuur AC
1
uuur BD＝
1
uuur uuur (AC＋BD).
22
2
所以
DuuAu对r 应的复数为-
(61+8i-4+6i)=-1-7i.
2
所以向量 DuuAu对r 应的复数为-1-7i.
【方法技巧】 1.复数加减运算法则的记忆 (1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减. (2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类 项.
2.复数加减运算的关注点 (1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所 得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是 两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如 z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2 =(a-c)-(b-d)i.
复数的差z1-z2与
义
对
向量 OuuZuur1+
uuuur OZ2
=
uuur OZ
应 的坐标对应
向量 OuuZuur1- OuuZuu=r2 Zuu2uZur1的 坐标对应
【自我检测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两个复数的加法不满足结合律. ( ) (2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相 加. ( )
(2)
uuur CA
表示的复数.
世纪金榜导学号
【解题探究】1.典例1中z1,z2,z在复平面内对应的点 可以构成一个什么图形? 提示:由z=z1-z2及复数减法的几何意义知,构成的是 一个三角形.
高中数学 3.2 第1课时复数的加法与减法课件 新人教B版选修22
第十九页，共35页。
[说明(shuōmíng)] 本例给出了三种常规解法 ，不难发 现，解法2具有一般性，解法3固然简单，但给出的结论应先证 后用．解法1是运用了复数加、减法的几何意义，思路清晰， 几乎不需运算便得结果．
第二十页，共35页。
已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分 别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：
第三十页，共35页。
设zA＝ 3，zB＝2i，P为圆面上任一点，zP＝z. 则2|P→A|2＋2|P→B|2＝|A→B|2＋(2|PO→′|)2 ＝7＋4|PQ→′| ∴|z－ 3|2＋|z－2i|2 ＝127＋4z－ 23－i2， 而z－ 23－imax＝|O′M|＋1＝1＋ 243， z－ 23－imin＝|O′M|－1＝ 243－1. ∴|z－ 3 |2＋|z－2i|2最大值为27＋2 43 ，最小值为27－ 2 43.
第二十六页，共35页。
[说明]
设
O→Z
，
→ OZ0
分别表示复数z
＝a＋bi，z0＝c＋di，且
O→Z
，
→ OZ0
不共
线，则这两个复数的差z－z0与向量 O→Z
－O→Z0(即Z→0Z)对应，如图所示：
所以|z－z0|表示复数z在复平面内的对应点Z与点Z0间的距
离．在应用时，要把绝对值符号内的式子变为两复数差的形
(1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B点对应的复数．
第二十一页，共35页。
[解析] (1)∵A→O＝－O→A，∴A→O表示的复数为－(3＋2i)，
即－3－2i.
(2)
→ CA
＝
→ OA
－
→ OC
，∴
→ CA
[说明(shuōmíng)] 本例给出了三种常规解法 ，不难发 现，解法2具有一般性，解法3固然简单，但给出的结论应先证 后用．解法1是运用了复数加、减法的几何意义，思路清晰， 几乎不需运算便得结果．
第二十页，共35页。
已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分 别为0、3＋2i、－2＋4i，试求：
第三十页，共35页。
设zA＝ 3，zB＝2i，P为圆面上任一点，zP＝z. 则2|P→A|2＋2|P→B|2＝|A→B|2＋(2|PO→′|)2 ＝7＋4|PQ→′| ∴|z－ 3|2＋|z－2i|2 ＝127＋4z－ 23－i2， 而z－ 23－imax＝|O′M|＋1＝1＋ 243， z－ 23－imin＝|O′M|－1＝ 243－1. ∴|z－ 3 |2＋|z－2i|2最大值为27＋2 43 ，最小值为27－ 2 43.
第二十六页，共35页。
[说明]
设
O→Z
，
→ OZ0
分别表示复数z
＝a＋bi，z0＝c＋di，且
O→Z
，
→ OZ0
不共
线，则这两个复数的差z－z0与向量 O→Z
－O→Z0(即Z→0Z)对应，如图所示：
所以|z－z0|表示复数z在复平面内的对应点Z与点Z0间的距
离．在应用时，要把绝对值符号内的式子变为两复数差的形
(1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B点对应的复数．
第二十一页，共35页。
[解析] (1)∵A→O＝－O→A，∴A→O表示的复数为－(3＋2i)，
即－3－2i.
(2)
→ CA
＝
→ OA
－
→ OC
，∴
→ CA
2019人教版高中数学选修2-2课件：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
考点类析
[小结] (1)根据复数的几何意义可知,复数的加减运算可以转化为点的坐标运 算或向量的加减法运算; (2)复数的加减运算用向量进行时,同样满足平行四边形法则和三角形法则; (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可 能.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是与模有关的问题,将复数与点及 向量加以转化可有助于问题的解决.
[探究] 两个复数的和是个什么数?这个数唯一确定吗? 解:仍然是个复数,且是一个唯一确定的复数.
预习探究
[讨论] (1)实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?并 试着证明. (2)类比于复数的加法法则,试着给出复数的减法法则.
解:(1)满足,对任意的z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2=z2+z1. 结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 证明:设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+a)+(d+b)i, 显然,z1+z2=z2+z1,同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
考点类析
备课素材
1．中点问题 例1 四边形ABCD是复平面内 的平行四边形，A，B，C三点对 应的复数分别为1＋3i，－i，2 ＋i，求D点对应的复数．
解：由已知应用中点公式可得 A，C 的中点 对应的复数为32＋2i，所以 D 点对应的复数 为 2×32＋[2×2－(－1)]i＝3＋5i.
【数学】3.2.2《复数的运算》课件(新人教B版选修2-2)
3.2 复数的运算 3.2.1复数的加法和减法 3.2.1复数的加法和减法
1
复数的几何意义？ 复习 复数的几何意义？
一一对应
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点
一一对应
uuu r 平面向量 OZ = ( a, b )
y
z=a+bi Z(a,b)Fra biblioteka bo
x
2
z = a + bi
z1·z2= z2·z1 , z1·z2 ·z3= z1·(z2 ·z3) , z1·(z2 +z3)= z1·z2 +z1·z3
.
13
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
y
Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行 结论： 复数的和对应向量的和。 复数的和对应向量的和。
x
7
问题探索
z = z1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
uuuur uuur uuuu r Z1Z 2 = OZ1 - OZ 2 = ( a , b ) - (c, d ) = ( a - c, b - d )
2.复数减法运算的几何意义? 2.复数减法运算的几何意义? 复数减法运算的几何意义 z2 = c + di 复数 z1 = a + bi uuuu r uuur OZ 2 = (c, d ) OZ1 = (a, b)
1
复数的几何意义？ 复习 复数的几何意义？
一一对应
复数z=a+bi
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) 直角坐标系中的点
一一对应
uuu r 平面向量 OZ = ( a, b )
y
z=a+bi Z(a,b)Fra biblioteka bo
x
2
z = a + bi
z1·z2= z2·z1 , z1·z2 ·z3= z1·(z2 ·z3) , z1·(z2 +z3)= z1·z2 +z1·z3
.
13
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
y
Z(a+c,b+d) Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
结论：复数的加法可以按照向量的加法来进行 结论： 复数的和对应向量的和。 复数的和对应向量的和。
x
7
问题探索
z = z1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
uuuur uuur uuuu r Z1Z 2 = OZ1 - OZ 2 = ( a , b ) - (c, d ) = ( a - c, b - d )
2.复数减法运算的几何意义? 2.复数减法运算的几何意义? 复数减法运算的几何意义 z2 = c + di 复数 z1 = a + bi uuuu r uuur OZ 2 = (c, d ) OZ1 = (a, b)
高中数学第三章数系的扩充与复数3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法课件新人教B版选修2_2
1
2
(3)两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加 (减). 名师点拨1.两个复数的和(差)仍为复数. 2.复数的加法法则可推广到多个复数相加的情形. 3.复数的加法运算满足交换律、结合律.
1
2
【做一做1-1】 若z1=2+i,z2=3i,z3=-1-i,则z1+z2-z3= 解析：z1+z2-z3=(2+i+3i)-(-1-i)=(2+4i)+(1+i)=3+5i. 答案：3+5i 【做一做1-2】 已知z1=4-2i,且z1+z2=3+3i,则z2= 解析：∵(4-2i)+z2=3+3i, ∴z2=(3+3i)-(4-2i)=-1+5i. 答案：-1+5i
1
2
归纳总结 两个复数的差 z1-z2(即������������1 − ������������2 )与连接两个终点Z1,Z2, 且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的.
1
2
【做一做2-1】 |(3+2i)-(1+i)|表示( ) A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离 C.点(3,2)到原点的距离 D.以上都不对 答案：A 【做一做2-2】 若z1,z2为非零复数,且满足|z1+z2|=|z1-z2|,则以点 Z1,O,Z2为相邻顶点的平行四边形为 . 解析：∵|z1+z2|=|z1-z2|,∴平行四边形的对角线长度相等,∴平行四 边形为矩形. 答案：矩形
因为������1 ������与������������2 平行且相等,所以向量������1 ������也与这个差对应,实际 上,两个复数的差 z-z1(即������������ − ������������1 ) 与连接两个复数所对应的向量终点并指向被减数的向量对应.即“首 同尾连向被减”,这就是复数减法的几何意义.
复数的加法和减法(上课用)ppt
OZ1=(a,b) OZ2=(c,d)
z z 1 z2 a c b d i
uuur uuur uuuur y
Z(a+c,b+d)
OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c,d )
Z2(c,d)
= (a + c,b + d )
Z1(a,b)
结论：复数的加法o可以按照向量的加法来进行 x
-
13
1.已知复数z对应点A,说明下列各式所 表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点Z到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|点Z到点(－1, －2)的
距离
(3)|z+2i| 点Z到点(0, －2)的距离
(4)|z－1| 点A到点(1,0)的距离
-
14
2. 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2 ∴
y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
-
8
例4、设Z , Z ∈C，求证：
12
Z +Z
12
=
Z 1+
Z
2
，Z -Z=
12
Z- 1
Z
2
证明：设Z=1 a1+b1i ， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)
=(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部
《复数的加减乘除》课件
复数在物理学、工程学等领域中广泛应用，有 助于解决实际问题。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
课件1：3.2.1复数的加法和减法
的点关于虚轴对称点的复数。
分析：先求出 + = －，所以 + 在复平面内对
应的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －
1)，故所求复数是－2 －i
答案：－2 －i
(a c) (b d )i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （ + ） + （ + ） =
+ 的复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作 （ +
） － （ + ）
事实上，由复数相等的定义，有：
+ = ， + =
由此，得
= － ， = －
所以 + = ( － ) + ( － )
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 及 分别与复数 +
及复数 + 对应，则
它们的和：
（ + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )
注:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个
复数相加的情形。
练习
1.已知 = + , = + ，若 + 是纯虚数，则有（ D ）
2、计算：（1）(－ －) + ( + ) －( －)=___________
－ = +
（2） ( －) －( + ) －(________)
分析：先求出 + = －，所以 + 在复平面内对
应的点是(2， －1)，其关于虚轴的对称点为( －2， －
1)，故所求复数是－2 －i
答案：－2 －i
(a c) (b d )i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减。
思考？
如何理解复数的减法？
复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 （ + ） + （ + ） =
+ 的复数 + 叫做复数 + 减去复数 + 的差，记作 （ +
） － （ + ）
事实上，由复数相等的定义，有：
+ = ， + =
由此，得
= － ， = －
所以 + = ( － ) + ( － )
类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？
设 及 分别与复数 +
及复数 + 对应，则
它们的和：
（ + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )
注:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致
（2）很明显，两个复数的和仍 然是一个复数。对于复数的加法可以推广到多个
复数相加的情形。
练习
1.已知 = + , = + ，若 + 是纯虚数，则有（ D ）
2、计算：（1）(－ －) + ( + ) －( －)=___________
－ = +
（2） ( －) －( + ) －(________)
课件7： 3.2.1 复数的加法与减法
向量B→A对应的复数为 1＋2i，向量B→C对应的复数为 3－i，
求点 C 对应的复数．
【解】 (1)O→B＝O→A＋A→B， ∴向量O→B对应的复数是(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， 且|1＋3i|＝ 1＋9＝ 10. 【答案】 C (2)∵B→A对应的复数为 1＋2i，B→C对应的复数为 3－i. ∴A→C＝B→C－B→A对应的复数为 (3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又∵O→C＝O→A＋A→C， ∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
【思路探究】 明确向量运算与复数运算的关系， 先求向量再计算复数． 【自主解答】 (1)因为A→O＝－O→A，所以A→O表示的 复数为－3－2i. (2)因为C→A＝O→A－O→C，所以对角线C→A表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i .
(3)因为对角线O→B＝O→A＋O→C，所以对角线O→B表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
【解析】 因为B→A＝O→A－O→B，所以B→A对应的复数 是(2＋3i)－(－3－2i)＝5＋5i.
【答案】 5＋5i
4．计算： (1)2－12i＋12－2i； (2)(3＋2i)＋( 3－2)i； (3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|； (4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
(3)设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2，再根据复 数相等求解．
【自主解答】 (1)13＋12i＋(2－i)－43－32i ＝13＋2－43＋12－1＋32i ＝1＋i.
【答案】 1＋i
(2)法一 设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i， 所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝ 4，y＝1，所以z＝4＋i.
高中数学 3.2.1 复数的加法与减法课件 新人教B版选修2
达 标
前
自 主
【提示】
O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)，O→Z1＋O→Z2＝(a
课 时
导
作
学 ＋c，b＋d)，O→Z1－O→Z2＝(a－c，b－d)．
业
课 堂 互 动 探 究
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RB ·数学 选
法
易
分
误
析
辨
教 学
2．向量O→Z1＋O→Z2，O→Z1－O→Z2对应的复数分别是什么？ 析 当
RB ·数学 选修2－2
教
学 教
3.2 复数的运算
易 错
法
易
分 析
3．2.1 复数的加法与减法
误 辨 析
教 学
教师用书独具演示
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
课
●三维目标
标
前
自
1．知识与技能
课
主
时
导 学
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数
作 业
课 堂 互 动 探 究
代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几 何意义．
学
方 案
减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，
当 堂 双
设 计
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，即两个复数相加(减)
基 达
标
课 前
就是实部与实部、虚部与虚部分别 相加(减) ，其结果仍然是
自
课
主 导
一个 复数 ．
时 作
学
业
(2)复数加法的运算律
课
堂 互
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y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
O
x
∵ OZ1 (a, b) , OZ2 (c, d ) , 根据向量加法的坐标运算可知 OZ OZ1 OZ2 (a, b) (c, d ) = (a c , b d )
2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: x1,2 1 i , 4 4 x1 x2 (1 i )4 (1 i )4 (2i )2 (2i )2 8. 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 3.已知复数 x 2 x 2 ( x 2 3 x 2)i ( x R ) 是 4 20i
7.在复数集C内，你能将 x 2
3
y
2分解因式吗？
8
(x+yi)(x-yi)
作业:自由安排
设 1 3 i ，求证： 2 2 （1） 2 0 ；（2） 3 1. 1 1 3 1 3 2 3 1 ( 12 13 i( )3 i ) ( i) 证明：（2） （1） 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 i )2 ( 1 3 i ) 1 3 3 ( i ( 2)2 2 2 i ( i )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 1 ( 3 i )( 3 i3 ( 1 )2 ( 3 i )2 ) 2 2i i 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 0; 3 1 4 4
例1
例3、下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
(2)
例4、下列命题中的真命题 为： ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
2
例2.计算(－2－i )(3－2i)(－1+3i)
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作
z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z 另外不难证明: z
1
z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
复数的四则运算(一)
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
3 4i
2.计算(i-2)(1-2i)(3+4i) -20+15i 3.计算 (1 i )3 -2+2i 4.若 z C 且 (3 z )i 1 ,则 z -3-i . _____ 3 m R 且 (m i )3 R ,则 m _____ . 5.已知
1 3 6.已知 z i ,求 2 z 3 3 z 2 3 z 9 的值. 2 2
D
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
例1 例2
例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
解:原式= (1 2 4) (3 5 9)i = 1 11i
(a bi )(c di ) ac adi bci bdi
ac bd ) (bc ad )i （
2.复数的乘法法则：
的共轭复数，求x的值．
解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i ，根据复数相等的定义， 可得 x 2 x 2 4, x 3或x 2 解得 2 x 3或x 6 x 3 x 2 20. 所以 x 3 ．
课外练习:
1.计算:(1+2 i )2
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律, 即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2 )+z3=z1+(z2+z3 ). ⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
?zz ?
如图, z1 对应向量 OZ1 , z2 对应向量 OZ2 ,根据向量 加法可知 OZ OZ1 OZ2
我们知道,两个向量的和满足平行四边形 法则, 复数可以表示平面上的向量，那么复数 的加法与向量的加法是否具有一致性呢？ 设z1=a+bi z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i
例2
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
复数的乘法与多项 解:原式= (6 4i 3i 2i )(1 3i ) 式的乘法是类似的. = (8 i )(1 3i ) 我们知道多项式的乘法用 8 24i i 3i 2 乘法公式可迅速展开, 运算, = 类似地,复数的乘法也可大胆 = 5 25i 例3.计算(a+bi)(a-bi) 运用乘法公式来展开运算. 解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b 2 一步到位! 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
2
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z1 z2 z2 z1
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
3.2.1《复数代数形式的的 四则运算-复数的加法与减法》
教学目标
掌握复数的加法与减法的运算及几何意义
教学重点： 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义
复数的四则运算(一)
问题引入
复数的运算 法则
复数加减运算 巩固练习 的几何意义
作业:自由安排
吻合!
类似地
这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: y(a,b) O
x
Z 这就是复数减法的几何意义.
练习 1.计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-20022003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i.