第三讲 洛朗级数
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例如在 z=i 和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i为中 心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:
1)在|z-i|<1中的泰勒展开式; 2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式; 3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;
作业和思考题： 第四章习题 162),3) ,4) ,6)；192),4)．．
课后小结：在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗
级数的方法. 将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.
定理． 教学重点及难点：
重点：把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数． 难点：双边幂级数的概念与性质；洛朗展开定理． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：
§4.4 洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将 讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
， ，C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. [证] 设z为圆环ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1 与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.
R1 R2 z r K1 ζ R
K2 ζ
z0
由柯西积分公式得， 。 因此有 。 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原 理, 这两个式子可用一个式子来表示:
一个函数f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函 数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不 同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们 不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一 性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.
讨论下列形式的级数: 只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和. 正幂项是一 幂级数, 设其收敛半径为 R2： 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R： 。则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, 因此, 只 有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2; iii) 2 < |z| < + 内是处处解析的, 应把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数.
x y O 1 x y O 1 2 x y O 2
先把 f (z)用部分分式表示:
ii) 在1< |z| < 2内： iii) 在2<|z|<+内: 例2 把函数 [解] 因有
C
z0
R1 R2
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开 式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这 个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 例1 解 函数 f (z) 在圆环域
工程数学II 课程教案
授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□
综合课□ 其他□
授课题目（教学章、节或主题）： §4.4 洛朗级数．
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练地把一些解析函数在不同的圆环内展开成
洛朗级数． 2．理解双边幂级数的概念与性质；熟悉洛朗展开
在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上. 因此, f (z)在 以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:
1)在0< |z+i|<1中的洛朗展开式; 2)在1<|z+i|< +中的洛朗展开式。
O −i i
特别的，当洛朗级数的系数公式 。 （即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<|z-z0|<R2内的任何 一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析. 例３ 解 例4 。 解 例5 求积分. 解 函数在1<|z|<+内解析, |z|=2在此圆环域内, 把它在圆环域内展开得 故c-1=-2, 。
例如级数
z0
R1 R2
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数 是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看 下例. 。其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: 定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析, 则
1)在|z-i|<1中的泰勒展开式; 2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式; 3)在2<|z-i|<+中的洛朗展开式;
作业和思考题： 第四章习题 162),3) ,4) ,6)；192),4)．．
课后小结：在这节课中, 我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗
级数的方法. 将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.
定理． 教学重点及难点：
重点：把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数． 难点：双边幂级数的概念与性质；洛朗展开定理． 教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：
§4.4 洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成zz0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂 级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将 讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
， ，C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线. [证] 设z为圆环ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ内的任一点, 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1 与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间.
R1 R2 z r K1 ζ R
K2 ζ
z0
由柯西积分公式得， 。 因此有 。 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 则根据闭路变形原 理, 这两个式子可用一个式子来表示:
一个函数f (z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。函 数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不 同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们 不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一 性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.
讨论下列形式的级数: 只有正幂项和负幂项都收敛才认为原级数收敛于它们的和. 正幂项是一 幂级数, 设其收敛半径为 R2： 对负幂项, 如果令z=(z-z0)-1, 就得到： 这是z 的幂级数, 设收敛半径为R： 。则当|z-z0|>R1时, 即| z |<R, 因此, 只 有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
i) 0 < |z| <1; ii) 1<| z| < 2; iii) 2 < |z| < + 内是处处解析的, 应把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数.
x y O 1 x y O 1 2 x y O 2
先把 f (z)用部分分式表示:
ii) 在1< |z| < 2内： iii) 在2<|z|<+内: 例2 把函数 [解] 因有
C
z0
R1 R2
称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开 式, 它右端的级数称为 f (z)在此圆环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这 个级数就是 f (z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式. 例1 解 函数 f (z) 在圆环域
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授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次__ 授课方式（请打√）：理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□
综合课□ 其他□
授课题目（教学章、节或主题）： §4.4 洛朗级数．
教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）： 1．熟练地把一些解析函数在不同的圆环内展开成
洛朗级数． 2．理解双边幂级数的概念与性质；熟悉洛朗展开
在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上. 因此, f (z)在 以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:
1)在0< |z+i|<1中的洛朗展开式; 2)在1<|z+i|< +中的洛朗展开式。
O −i i
特别的，当洛朗级数的系数公式 。 （即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<|z-z0|<R2内的任何 一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析. 例３ 解 例4 。 解 例5 求积分. 解 函数在1<|z|<+内解析, |z|=2在此圆环域内, 把它在圆环域内展开得 故c-1=-2, 。
例如级数
z0
R1 R2
幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛域内其和函数 是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导.
现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?先看 下例. 。其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: 定理 设 f (z)在圆环域 R1< |z-z0| < R2内解析, 则