12相互独立的随机变量
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《概率论与数理统计》 第十二课：相互独立的随机变量
12 随机变量的独立性
一两、事二件维A,随B机相变互量独的立独—立—性
定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有
P(X x, Y y) P( X x) P(Y y )
则称X ,Y 相互独立 .
也可用分源自文库函数给出等价形式, 即
设 X,Y是两个随机变量,若对任意的x, y, 有
,
0 y 1; 其 他.
x+y=1
0
1
x
显然，f ( x, y) f X ( x) fY ( y) , 所以 X 与 Y 不独立 .
已例知1随机变量
X Y
1
2
3
1 1/3 a
b
(X,Y)的联合分布列为 2 1/6 1/9 1/18
试确定常数 a 与 b , 使X与Y相互独立.
解 先求(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布列:
YX 1
2
pi •
12
3
1/3 2a/ 9 1/b9 1/6 1/ 9 1/18
p• j
1/3 + a + b 1/3
2. 若(X,Y)为连续随机变量
X与Y 相互独立充分必要条件：
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (对任意实数 x, y)
f X Y ( x y ) f X ( x), fY X ( y x ) fY ( y) (x, y R)
f ( x, y) f X |Y ( x | y) fY ( y) fY |X ( y | x ) f X ( x)
1/2 1/ 9 + a 1/18 + b
要使X与Y 相互独立, 只需 pij pi • p• j
P( X 2, Y 2 ) P(X 2 ) P(Y 2 )
1 9
(
1 9
a
)
1 3
,
a
2 9
,
P ( X 3, Y 2 ) P(X 3 ) P(Y 2 )
1 18
(
1 18
b
)
1 3
,
b
1 9
F (x, y) FX ( x) FY ( y)
则称X与Y 相互独立 .
1. 若(X,Y )为离散型随机变量 X与Y 相互独立充分必要条件:
P (X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j ) (i, j N ) pij pi • p• j P ( X xi |Y yj ) pi • , P (Y yj | X xi ) p• j
.
例2 设随机变量(X,Y )在区域 G上服从均匀分布,
G是由 x0, y 0, x y 1 所围区域, 判定 X 与 Y 是否独立.
解
由条件知,(X,Y)的联合密度为
f
(
x,
y)
2, 0,
( x, y)G, 其他.
f
X
(
x)
2(1 0,
x)
,
0 x 1; 其 他.
y
1
fY
(
y)
2(1 0,
y)
12 随机变量的独立性
一两、事二件维A,随B机相变互量独的立独—立—性
定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有
P(X x, Y y) P( X x) P(Y y )
则称X ,Y 相互独立 .
也可用分源自文库函数给出等价形式, 即
设 X,Y是两个随机变量,若对任意的x, y, 有
,
0 y 1; 其 他.
x+y=1
0
1
x
显然，f ( x, y) f X ( x) fY ( y) , 所以 X 与 Y 不独立 .
已例知1随机变量
X Y
1
2
3
1 1/3 a
b
(X,Y)的联合分布列为 2 1/6 1/9 1/18
试确定常数 a 与 b , 使X与Y相互独立.
解 先求(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布列:
YX 1
2
pi •
12
3
1/3 2a/ 9 1/b9 1/6 1/ 9 1/18
p• j
1/3 + a + b 1/3
2. 若(X,Y)为连续随机变量
X与Y 相互独立充分必要条件：
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (对任意实数 x, y)
f X Y ( x y ) f X ( x), fY X ( y x ) fY ( y) (x, y R)
f ( x, y) f X |Y ( x | y) fY ( y) fY |X ( y | x ) f X ( x)
1/2 1/ 9 + a 1/18 + b
要使X与Y 相互独立, 只需 pij pi • p• j
P( X 2, Y 2 ) P(X 2 ) P(Y 2 )
1 9
(
1 9
a
)
1 3
,
a
2 9
,
P ( X 3, Y 2 ) P(X 3 ) P(Y 2 )
1 18
(
1 18
b
)
1 3
,
b
1 9
F (x, y) FX ( x) FY ( y)
则称X与Y 相互独立 .
1. 若(X,Y )为离散型随机变量 X与Y 相互独立充分必要条件:
P (X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j ) (i, j N ) pij pi • p• j P ( X xi |Y yj ) pi • , P (Y yj | X xi ) p• j
.
例2 设随机变量(X,Y )在区域 G上服从均匀分布,
G是由 x0, y 0, x y 1 所围区域, 判定 X 与 Y 是否独立.
解
由条件知,(X,Y)的联合密度为
f
(
x,
y)
2, 0,
( x, y)G, 其他.
f
X
(
x)
2(1 0,
x)
,
0 x 1; 其 他.
y
1
fY
(
y)
2(1 0,
y)