12相互独立的随机变量
两随机变量相互独立的充要条件
两个随机变量相互独立的充要条件是它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积。
设有两个随机变量 X 和 Y，它们的联合概率分布记为 P(X, Y)，边缘概率分布分别记为 P(X) 和P(Y)。
充分条件：如果 X 和 Y 相互独立，则它们的联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，即：
P(X, Y) = P(X) * P(Y)
这表示对于所有可能的 X 和 Y 的取值，联合概率等于各自边缘概率的乘积。
需要注意的是，当联合概率等于边缘概率的乘积时，并不一定说明 X 和 Y 是相互独立的。
这只是相互独立的充分条件。
在一些情况下，这个条件可能成立但 X 和 Y 仍然不是相互独立的。
另外，如果 X 和 Y 是离散型随机变量，那么可以通过条件概率来验证独立性。
具体来说，如果 P(X|Y) = P(X) 或者 P(Y|X) = P(Y) 成立，则表示 X 和 Y 是相互独立的。
总结起来，两个随机变量 X 和 Y 相互独立的充分条件是它们的
联合概率分布等于各自边缘概率分布的乘积，但这并不一定是必要条件。
随机变量的相互独立性
例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 5 y 为: 5e , y 0
求 P{Y≤X}
fY ( y ) 0,
D
其它
解: P{Y≤X} f ( x , y )dxdy
1 5 , 0 x 0 .2 0 .2 0 f X ( x) 其它 0,
12
若(X,Y)的概率密度为
2 , 0 x y ,0 y 1 f ( x, y ) 其它 0,
情况又怎样？
解： f X ( x )
fY
( y)
1
x y 0
2dy 2(1 x ), 2dx 2 y,
0<x<1
0<y<1
由于存在面积不为0的区域， f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ) 故X和Y不独立 .
13
例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15到12:45之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00 到 13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的 概率是多少？
解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻
( x y )
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
§3.4相互独立的随机变量
9
可以验证此时有
p ij p ip j i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3
因 此 ， 取 a=2,b1时 X 与 Y 相 互 独 立 .
99
7
例3 设X和Y相互独立，其边缘分布律如下 表，试求(X,Y)的联合分布律和P(X+Y=1)及 P(X+Y≠0).
X -2 -1 0 1/2 pi. 1/4 1/3 1/12 1/3
Y
-1/2 1
3
p.j
1/2 1/4 1/4
8
解：因X和Y相互独立，
应 有 p i j p i p j i 1 ,2 ,3 ,4 ;j 1 ,2 ,3
故(X,Y)的联合分布律为
Y
-1/2
1
3
X
-2
1/8
1/16
1/16
-1
1/6
1/12
1/12
0
1/24
1/48
1/48
1/2
1/6
1/12
1
由二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的定义 可知，二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立的 充要条件是：对任意的x,y,有
F (x ,y ) F X (x )F Y (y )
它表明，两个随机变量相互独立时，它们 的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘 积.
2
若(X,Y)是连续型随机变量,则上述独立性的 定义等价于：若对任意的 x, y, 有
1 x2y2
f(x,y)2e 2
x,y
P {X2Y21} f(x,y)dxdy x2y21
1
x2 y2
e 2 dxdy
2 x2 y2 1
17
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题：已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥，试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某⼀随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。
⼜由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴，则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯⼀的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第⼋题：令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
3.4 随机变量的独立性
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
相互独立的随机变量
pij
1 6
1 9
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y ) 的分布律改写为
Y
X
1 2
1 1 6 1 3
即 pij pi p j .
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5分钟的概率为 . 48
类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头 只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出 的概率.
在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等 可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间 隔小于0.5秒，则信号将产生互相干扰. 求发生两信 号互相干扰的概率.
X x1 Y y1 y2 y3pi1/24 1/8 /61/8 3/8 1/2
1/12 1/4 1/4 3/4 1/3 1
x2
p j
例5 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12 时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办 公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设 X 和Y 分别是负责人和他的秘 书到
12随机变量及其分布
xi pi，X是离散分布 xp( x)dx，X是连续分布
※ 方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X) 表示。
Var（X）=
i
xi E( X )2 pi , X是离散分布
b x
a
E（X）2
p（x）dx，X是连续分布
※ 标准差： =（X）= Var( X )
【例2-4】
甲乙两种牌子的手表，它们的日走时误差分别为X与Y （单位：秒），已知X与Y分别有以下分布列（概率函数）：
2020/8/4
24
2．泊松分布 泊松分布可用来描述不少随机变量的概率分布，如： 一定时间内，电话交换机接错电话的次数； 一定时间内，某操作系统发生的故障数； 一个铸件上的缺陷数； 一平方米玻璃上气泡的个数； 一件产品被擦伤留下的痕迹个数； 一页书上的错字个数。
2020/8/4
25
若λ（λ ＞0）表示某特定单位的平均 点数，则某特定单位内出现的点数 X 取 x 值的 概率为：
（2）”掷两颗骰子，点数之和”的分布为
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
2020/8/4
9
【例2-3】设X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
p1
p2
p3
p4
p5
概率P（2≤X＜5）=（ ）。 A. p2 + p3 + p4 + p5 B. p2 + p3 + p4
※ X超出上规范限的概率，记为pu=P(X>USL) ※ X低于下规范限的概率，记为pL=P(X<LSL) X 的不合格品率 p=pL+pu
随机变量相互独立的定义
1 , 8 < x <12 f X (x) = 4 0, 其它
由独立性
1 , 7< x <9 fY ( y) = 2 0, 其它
概率论
1 , 8 < x <12,7 < y < 9 f (x, y) = f X (x) fY ( y) = 8 0, 其它
概率论
解 (1) ( X,Y ) 的联合分布律及边缘分布律 如下表所示 : Y X
0
1
2
pi⋅
2
0
m
2
( m + n)
mn ( m + n) n
2
m m+ n n m+ n
1
p⋅ j
mn ( m + n)
2
( m + n)
2
m m+ n
n m+ n
(2) 由上表可知 pij = pi⋅ ⋅ p⋅ j ( i, j = 0,1) 的相互独立. 故 X,Y 的相互独立
先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率 超过 分钟的概率 所求为P( 所求为 |X-Y | ≤1/12) , 1/12, 记G=|X-Y | ≤
y
所以 P( | X-Y| ≤1/12 )60 − Nhomakorabea40
− −
概率论
= ∫∫ f (x, y)dxdy
G
x − y = −5 x−y =5
1 = ×(G 的面积） 8
不是相互独立. 故 X,Y 不是相互独立
概率论
三、多维随机变量的一些概念
上面说过， 维随机变量 上面说过，n维随机变量 ( X1, X2 ,L, Xn )的分布函数定义为
第三章相互独立的随机变量(多维随机变量及其分布)
10:42:20
19
例5 设(X,Y)在圆域D={(x, y)| x2+y2r 2}上服从均匀 分布. (1) 求X与Y的边缘密度，判断X与Y是否相互独立. 2 r2 r 2 2 ( 2)求P 8 X Y 4 . 2 y 解 1 / r , ( x , y ) D , x2+y2=r 2
即 1 2σ1σ 2 1 2 2 σ1 1 ρ 1 , 2 σ 2
从而 0.
综上，对于二维正态随 机变量( X , Y ), X和Y相互独立的充分必要条 件是
0.
10:42:20
12
例3
甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在 12:15 到 12:45 之间是均匀 分布 . 乙独立地到达 , 而且到达时间在 12:00到 13:00之间是均匀分布. 求先到的人等待另一人到达的时间不超过 5 分钟的概率; 又甲先到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻. 以12时 为起点0,以分为单位.
d c
o
a
b
x
10:42:20
17
f X ( x)
f ( x , y )dy
d
y
当 a x b时，
d
1 1 f X ( x) dy . c ( b a )(d c ) ba 1 , a x b , f X ( x) b - a 0， 其它.
222121??????????nyx??????????????????????????????????????????????22222121212122212121exp121yyxxyxf??则若0????????????????????????????????????????222221212121exp21yxyxf??????????????????????????????????????22222212112exp212exp21yx????ryxyfxfyx????即即x与y相互独立
概率论与数理统计
=
0
f X ( x)
f ( x, y)dy
1 0
当0 x 1时：f X ( x) 1dy ＝ 1
x [0,1]时：f X ( x ) 0
1 0 x 1 f X ( x) 其它 0 1 0 y 1 类似 : fY ( y ) 其它 0 f X ( x ) fY ( y ) f ( x, y ) X、Y相互独立。
例. 已知(X, Y)的联合分布函数F(x, y)如下, 求： (1). (X, Y)的联合概率密度及边缘密度。 (2). 判断X、Y是否相互独立？
0 xy F(x,y)= y x 1 x<0或y<0 0x1, 0y1 x>1 0y1
0x1, y>1 x>1, y>1
2 F ( x，y ) 解：(1). f ( x , y ) xy
3. 二维连续型随机变量的(联合)概率密度
定义：对于二维随机变量(X，Y)的分布函
数F(x，y)，若存在非负函数f(x，y)使对任意 x，y有：
F ( x , y ) f ( u, v )dudv
y
x
则称(X, Y)为连续型2维随机变量， 称 f(x,y)为(X，Y)的(联合)概率密度。
P{X=0,Y=1}=0/(56/120)=0 P{X=0,Y=3}=(35/120)/(56/120)=5/8
3 5/8 2 3/8
P{X=0,Y=2}=(21/120)/(56/120)=3/8
∴
启示：由此题我们可以知道要想求解离散边缘分 布与离散条件分布就要先求出离散的联合分布， 此后的几个小节的解答也会用到。它是解答边缘 分布、条件分布等的桥梁，所以我们必须要熟知 联合分布的定义与基本公式和求法。
《概率论》第3章§4相互独立的随机变量
§4
A, B 相互独立 X , Y 相互独立
相互独立的随机变量
11/19
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (a.e) f ( x, y ) f X |Y ( x | y ) = f X ( x) ( a.e) fY ( y )
§4
相互独立的随机变量
1/19
随机变量的独立性
离散型、连续型随机变量的独立性的判断
利用随机变量的独立性进行相关概率的 计算
第三章 多维随机变量及其分布
§4
A, B 相互独立
相互独立的随机变量
A, B 之间没有任何关系
P( AB) P( A) P( B)
2/19
怎样定义 r.v X , Y 之间的独立性 若
FX ( x2 ) FY ( y2 ) FX ( x1 ) FY ( y2 ) FX ( x2 ) FY ( y1 ) FX ( x1 ) FY ( y1 )
[ FX ( x2 ) FX ( x1 )] [ FY ( y2 ) FY ( y1 )]
P{x1 X x2 }P{ y1 Y y2 }
X ~ U (0,1), Y ~ U (0,1)
X , Y 独立,故联合密度为
1, 0 x 1, 0 y 1 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它 0,
故两信号互相干扰的概率为
P{ | X Y | 1 }
120
1
y
y x
1 2 1 2 1
2
( x ) 1 exp{ [ 21 2 1 2(1 )
概率与统计3。3-0
2、利用随机变量的独立性命题 判断独立性
命题3.2 若（X , Y )为连续型随机变量，其概率密度 为f ( x, y )，则X与Y相互独立的充要条件为： 存在连续函数h( x), g ( y ), 使 h( x) g ( y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d f ( x, y ) = （3.5） 0 其它 其中a, b, c, d均为与x, y无关的常数（可为∞）。
+∞ 解 : (1) f X ( x) = ∫−∞ f ( x, y ) dy
y
y=1/x
x ln x 1 1 x ∫1 2 dy = 2 ln y 1 = 2 = 2x y 2x x x x 0 +∞ f Y ( y ) = ∫−∞ f ( x, y )dx 1 +∞ 1 ∫1 2 x 2 y dx = 2 y 1 +∞ 1 = ∫y dx = 2 2 2y 2x y 0
x >1 x ≤1
1 0 1 x
0 < y <1 1 ≤ y < +∞ y≤0
1 2 x 2 ln x 1 (2) f X ( x) ⋅ f Y ( y ) = 2 2 ln x 2x y 0 故此X与Y不相互独立。
x > 1,0 < y < 1 x > 1, y ≥ 1 ≠ f ( x, y ) 其它
3、二维离散型随机变量 分量不相互独立的判别 ： 若X和Y相互独立，则对于所有 的i, j，均该满足 pij = pi. p. j 也即意味着，只要存在 一对(i, j )，满足pij ≠ pi. p. j 则X与Y必不相互独立。
命题 3.1 若二维离散型随机变量 ( X , Y )的联合概率 分布表中存在某个 p i0 j0 = 0, 则X与Y必不相互独立。
概率论与数理统计 3.5 随机变量的独立性
dt
=
同理Байду номын сангаас
x R
fY ( y ) =
10
( y 2 )2 exp , 2 2 2 2 2 1
y R
若 = 0, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 因此 X 与 Y 是相互独立的 . 反之, 若 X 与Y 相互独立, 则对于任意实数x 与y 都有 f ( x, y) = f X( x ) fY( y ) 若取 x = 1 , y = 2 , 则有
令
9
y 2 x 1 t= 2 1 1 2 1
则
dt =
1
2 1
1
2
dy ,
所以
2 t2 2
f X ( x) =
( x 1 ) 1 exp e 2 2 1 2 1 2
2 ( x ) 1 1 exp , 2 2 1 2 1
( x 1 )2 1 exp 2 2 2 2(1 ) 1 1 ( y 2 )2 + 2 2
( x 1 )( y 2 )
1 2
7
因为
( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 1 2 + 2 2 2 1 2 2(1 ) 1 2 ( x 1 )2 ( y 2 )2 1 = + 2 2 2 2(1 ) 1 2 2 ( x 1 )( y 2 )
y 1 2 e fY ( y ) = 2 0
, ,
y0 y0
概率论：相互独立的随机变量
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 3. X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
因此负责人和他的秘书 到达办公室的时间相差 1 不超过 5 分钟的概率为 . 48
我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为
f ( x, y) 1 2 1 2 1 ( x 1 ) 2 exp 2 2 2 1 2(1 ) 1
( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 1 2 2
一、随机变量的相互独立性
1.定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
( 2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x , y ), 边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ), 则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ).
( 3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
Y
0
1
p i.
0.3 0.4
0.7
P ( X 0, Y 0) P ( X 0) P (Y 0) p
0.2 0.1
研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）2． 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
3． A .11--n S X μB .12--n S X μ4． C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]5． 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6． =T nSX μ-7． A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 8． 而不是nSX T μ-=9． B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10． nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
11． （1997年、数学三、填空）12．设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
13．[答案：参数为（9）的（t ）分布]14．解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 15．因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立， 16． 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
边缘分布随机变量的相互独立性
如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布
N
1,
2
,12
,
2 2
,
则两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
与相关系数 无关
Y ~ N
2
,
2 2
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为
f (x, y)
f
(x,
y)
kxy
0
0 x 1,1 y 3 其它
3
求k值和两个边缘分布密度函数
解 由
dx f (x, y)dy 1
1 1
3
1
得 k 1 ydy 0 xdx 2k 1
k1 2
关于X的边缘分布密度为
fX (x)
f ( x, y)dy
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y),
2
求关于X，Y的边缘分布密度函数
x, y
解 关于X的分布密度函数为
fX (x) f (x, y)dy
1
x2 y2
e 2 (1 sin x sin y)dy
2
F (x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
随机变量的独立性
第七周多维随机变量，独立性7.3随机变量的独立性随机变量的独立性定义.设n 维随机变量()n X X X X ,,,21 =的联合分布函数为()12,,,n F x x x ，()i X x F i 为i X 的边缘分布函数，如果对任意n 个实数n x x x ,,,21 有()()∏==ni i X n x F x x x F i 121,,, ，则称n X X X ,,,21 相互独立。
即()1122,,,n n P X x X x X x ≤≤≤ ()1ni i i P X x ==≤∏。
离散型等价定义：()()∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211,,, 连续型等价定义：()()121,,,i nn X i i f x x x f x ==∏ ***********************************************************************例7.3.1（例7.1.3）设二元随机变量(),X Y 的联合分布列为，，,X Y 是否独立？解：12~2313X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12~2313Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()41,1119P X Y P X P Y ====⋅==,()()()21,2129P X Y P X P Y ====⋅==,()()()22,1219P X Y P X P Y ====⋅==,()()()12,2229P X Y P X P Y ====⋅==所以随机变量X 和Y 相互独立。
***********************************************************************例7.3.2101~1/41/21/4X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，01~1/21/2Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()10==XY P ，求(1)()Y X ,的联合分布列，(2)Y X ,是否独立解：()10==XY P ⇒()00=≠XY P ⇒()()01,11,1=====-=Y X P Y X P ()()2/12/14/112/104/1110\323122211211ji y Y P p p p p p p x X P Y X =-=12320,0p p ==⇒()()()01,111===≠=⋅-=Y X P Y P X P ，所以Y X ,不独立。
概率论与数理统计（B）试题及答案
概率论与数理统计（B）试题及答案陕西科技⼤学2010级试题纸课程概率论与数理统计（B ）班级学号姓名1、A B C 表⽰随机事件,,A B C ⾄少有⼀个不发⽣. （）2、若()1P A =，则A 是必然事件. （）3、若2~(2,1),~(2,0.5)X N Y N －，则(0)0.5P X Y >=＋. （）4、X 为随机变量，当12x x <时，则有12()()P X x P X x >≤>.. ( )5、设(,)X Y 是⼆维正态随机变量，则随机变量X 与Y 独⽴的充要条件是cov(,)0X Y =. ..( )⼆、填空题（每⼩题3分，共15分） 1、设,A B 为随机事件，()0.6P A =，()0.4P B =，()0.8P A B = ,则()P B A = .2、在区间(0,1)上随机取两个数,x y ，则关于t 的⼀元⼆次⽅程220t xt y -+=有实根的概率为 .3、设随机变量~()X P λ,且3(0)P X e -==，21Y X =-,则()D Y = .4、设随机变量~(0,1),~(2,1)X N Y N ，且X ，Y 相互独⽴，设随机变量21Z X Y =-+，则Z ～ _ .5、设随机变量X~U[1,2]，由切⽐雪夫不等式可得32P X ?-≥≤??.三、选择题（每⼩题3分，共15分）1、对事件,A B ，下列命题中正确的是（）A 、若,AB 互斥，则,A B 也互斥. B 、若,A B 互斥,且()0,()0P A P B >>,则,A B 独⽴.C 、若,A B 不互斥，则,A B 也不互斥D 、若,A B 相互独⽴，则,A B 也相互独⽴. 2、设随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，则随σ的增⼤，概率(22)P X σ-<是（） A 、单调增加 B 、单调减⼩ C 、保持不变 D 、⽆法判断 3、设(,)F x y 为(,)X Y 的分布函数,则以下结论不成⽴的是（）A 、0(,)1F x y ≤≤B 、 (,)1F -∞+∞=C 、(,)0F -∞+∞=D 、 (,)0F -∞-∞=4、把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在⼀起的概率为（） A 、115B 、112C 、110D 、185、若121000,...X X X 是相互独⽴的随机变量，且(1,)(1,2,,1000)i X B p i = 则下列说法中不正确的是（）A 、1000111000i i X p =≈∑ B 、10001()()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑ C 、10001~(1000,)i i X B p =∑ D、10001()i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑四、（12分）设(,)X Y 的联合概率分布如下,求：①()()E X E Y 、②()E XY 、(,)COV X Y③Z X Y =+的概率分布.五、（10分）甲、⼄、丙三⼈同时独⽴地向某⽬标射击，命中率分别为0.3、0.2、0.5，⽬标被命中⼀发⽽被击毁的概率为0.2，⽬标被命中两发⽽被击毁的概率为0.6，⽬标被被命中三发则⼀定被击毁，求三⼈在⼀次射击中击毁⽬标的概率.六、（16分）设随机变量X 的概率密度为()2,100,10Ax f x x x ?>?=??≤?，求:①A ; ②(15)P x <; ③求X 的分布函数()F x ; ④设2Y X =,求Y 的概率密度.七、（16分）设⼆维随机变量()Y X ,的概率密度为()22,01,0,0,y e x y f x y -?≤≤>=??其它求:① (2)P Y X ≥; ②关于X 与Y 的边缘概率密度; ③X 与Y 是否独⽴？为什么？④(24)E X Y +.⼋、（6分）设X 与Y 相互独⽴，其分布函数分别为()X F x 、()Y F x .证明：随机变量X 与Y 的最⼤值max(,)U X Y =分布函数为()()X Y F u F u ?.2010级概率论与数理统计（B ）试题答案⼀、√； ×； ×； ×； √ ⼆、1/3； 1/3； 12；N(-1,5)； 1/6 三、D ； C ； B ； A ；B 四·(,)()()()5/144COV X Y E XY E X E Y =-=-…………………………2分五、解：设A ：甲击中；B ：⼄击中；C ：丙击中 i D ：击中i 发，(1,2,3)i =；E ：击毁⽬标1()()0.47P D P ABC ABC ABC =++= 2()()0.22P D P ABC ABC ABC =+++=3()()0.03P D P ABC ==………………………………………………5分31()()()0.470.20.220.60.0310.256i i i P E P D P E D ===?+?+?=∑…………………………5分5/12EX =…………………………2分1/12EY =…………………………2分②()0E XY =…………………………2分③……………………………4分六、①2101Adx x +∞=?，则A ＝10 ……………………………………………4分②1521010(15)1/3P x dx x <==?……………………………………………4分③ 10,()0x F x <=210101010,()()1xxx F x f x dx dx x x -∞≥===-?…………………………4分④20,()0Y y F y <=22101020,()()()2yY y y F y P Y y P X dxx ≥=≤=≤=?20,20()[()]20/,20Y Y y f y F y y y ≤?'==?>? ………………………………… 4分七、①412021(2)24yxe P Y x dx edy -+∞--≥==………………………………… 4分②1,01()(,)0,X x f x f x y dy +∞-∞≤≤?==?其它22,0()(,)0,0y Y e y f y f x y dx y -+∞-∞>==≤??…………………………… 4分③ X 与Y 独⽴. 因为(,)()()X Y f x y f x f y = …………………………… 4分④ 11(24)2424322E X Y EX EY +=+=?+?= ……………………… 4分⼋、证明：()()(max(,))(,)U F u P U u P X Y u P X u Y u =≤=≤=≤≤………… 3分()()()()X Y P X U P Y U F u F u =≤≤= ……………………… 3 分陕西科技⼤学2011级试题纸课程概率论与数理统计（B ）班级学号姓名1.设()1P AB =,则事件A 必然发⽣且事件B 必然不发⽣。
概率统计习题课
概率统计习题课⼀随机事件及其概率1. ,,A B C 为三个随机事件，事件“,,A B C 不同时发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C 都不发⽣”可表⽰为，事件“,,A B C ⾄少发⽣两件”可表⽰为。
2．从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是，事件“其中⼀个数是另⼀个数的两倍”的概率是。
3. 有r 个球，随机地放在n 个盒⼦中(r n ≤)，则某指定的r 个盒⼦中各有⼀球的概率为_ __ __。
4．把3个球随机放⼊编号为1,2,3的三个盒⼦(每个盒⼦能容纳多个球)，则三个盒⼦各放⼊⼀球的概率是___________。
5. 设,A B 为随机事件，()0.7P A =, ()0.3P A B -=,则()P A B =__ ___。
6．事件A 发⽣必然导致事件B 发⽣，且()0.1,()0.2,P A P B ==，则()P A B =____。
7. 盒中有6个⼤⼩相同的球，4个⿊球2个⽩球，甲⼄丙三⼈先后从盒中各任取⼀球，取后不放回，则⾄少有⼀⼈取到⽩球的概率为___________。
8. 甲⼄两个盒⼦，甲盒中有2个⽩球1个⿊球，⼄盒中有1个⽩球2个⿊球，从甲盒中任取⼀球放⼊⼄盒，再从⼄盒中任取⼀球，取出⽩球的概率是。
9．某球员进⾏投篮练习，设各次进球与否相互独⽴，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮⾄少投中⼀次的概率是，则他的投篮命中率是。
10. 将⼀枚硬币抛掷3次，观察出现正⾯（记为H ）还是反⾯（记为T ），事件A ={恰有⼀次出现正⾯}，B ={⾄少有⼀次出现正⾯}，以集合的形式写出试验的样本空间Ω和事件,A B ，并求(),(),()P A P B P A B11. 已知()0.1,()0.2P A P B ==，在下列两种情况下分别计算()P A B 和()P A B ：(1) 如果事件,A B 互不相容； (2) 如果事件,A B 相互独⽴。
12. 盒中有3个⿊球7个⽩球，从中任取⼀球，不放回，再任取⼀球，(1)若第⼀次取出的是⽩球，求第⼆次取出⽩球的概率 (2)两次都取出⽩球的概率 (3) 第⼆次取出⽩球的概率 (4) 若第⼆次取出的是⽩球，求第⼀次取出⽩球的概率。
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1/2 1/ 9 + a 1/18 + b
要使X与Y 相互独立, 只需 pij pi • p• j
P( X 2, Y 2 ) P(X 2 ) P(Y 2 )
1 9
(
1 9
a
)
1 3
,
a
2 9
,
P ( X 3, Y 2ຫໍສະໝຸດ ) P(X 3 ) P(Y 2 )
1 18
(
1 18
b
)
1 3
,
b
1 9
2. 若(X,Y)为连续随机变量
X与Y 相互独立充分必要条件：
f ( x, y) f X ( x) fY ( y) (对任意实数 x, y)
f X Y ( x y ) f X ( x), fY X ( y x ) fY ( y) (x, y R)
f ( x, y) f X |Y ( x | y) fY ( y) fY |X ( y | x ) f X ( x)
,
0 y 1; 其 他.
x+y=1
0
1
x
显然，f ( x, y) f X ( x) fY ( y) , 所以 X 与 Y 不独立 .
F (x, y) FX ( x) FY ( y)
则称X与Y 相互独立 .
1. 若(X,Y )为离散型随机变量 X与Y 相互独立充分必要条件:
P (X xi , Y y j ) P ( X xi ) P (Y y j ) (i, j N ) pij pi • p• j P ( X xi |Y yj ) pi • , P (Y yj | X xi ) p• j
.
例2 设随机变量(X,Y )在区域 G上服从均匀分布,
G是由 x0, y 0, x y 1 所围区域, 判定 X 与 Y 是否独立.
解
由条件知,(X,Y)的联合密度为
f
(
x,
y)
2, 0,
( x, y)G, 其他.
f
X
(
x)
2(1 0,
x)
,
0 x 1; 其 他.
y
1
fY
(
y)
2(1 0,
y)
《概率论与数理统计》 第十二课：相互独立的随机变量
12 随机变量的独立性
一两、事二件维A,随B机相变互量独的立独—立—性
定义1 若二维随机变量(X,Y)对任意的x,y,有
P(X x, Y y) P( X x) P(Y y )
则称X ,Y 相互独立 .
也可用分布函数给出等价形式, 即
设 X,Y是两个随机变量,若对任意的x, y, 有
已例知1随机变量
X Y
1
2
3
1 1/3 a
b
(X,Y)的联合分布列为 2 1/6 1/9 1/18
试确定常数 a 与 b , 使X与Y相互独立.
解 先求(X,Y)关于 X,Y 的边缘分布列:
YX 1
2
pi •
12
3
1/3 2a/ 9 1/b9 1/6 1/ 9 1/18
p• j
1/3 + a + b 1/3