1991年考研数学一试题及完全解析(Word版)
1991考研数一真题答案及详细解析
n
1
2,3,1 1 2,3,1 cos , cos , cos .
22 32 1
14
u
6x
6x
6
x P
z 6x2 8y2 P
z 6x2 8y2 (1,1,1)
14
又
u y
P
z
8y
6x2 8y2 z
P
8y
6x2 8y2 (1,1,1)
8 14
,
u
z P
6x2 8y2 z2
P
6x2 8y2 z2
(3)【答案】 x 3y z 2 0
【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ;
因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 (1, 0, 1)
和向量 l 2 (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
.
故 a 1为函数 I 4 a3 4a, (a 0) 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 3
y sin x,(x [0, ]) .
五、(本题满分 8 分.)
【解析】按傅式级数公式,先求 f (x) 的傅式系数 an 与 bn .因 f (x) 为偶函数,所以
bn
1 l
l l
f (x) sin n l
0
1
a3 sin3
x
2ax cos
x
a2 2
sin 2x dx
a3
sin3 xdx 2a
x cos xdx a2
sin 2xdx
0
0
20
a3
(cos2 x 1)d cos x 2a
xd sin x a2
1991年全国高考数学试题及其参考答案
1991年全国高考数学试题及其参考答案(理工农医类)考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1) 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=-8(x+1) (C) y 2=8(x -1)(D) y 2=-8(x -1)(3)函数y =cos 4x -sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =-2π(B) x =-4π(C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S -ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内,那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-,那么它的焦点的极坐标为( )(A) (0,0),(6,π) (B) (-3,0),(3,0) (C) (0,0),(3,0)(D) (0,0),(6,0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0,那么直线Ax+By+C =0不通过... ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( ) (A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件(12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1-21+n )]的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x )在区间[-7,-3]上是( )(A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5 (C) 减函数且最小值为-5(D) 减函数且最大值为-5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y -3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ,f (x )=sin x ,g (x )=cos x ,M ={x |f (x )≠0},N ={x |g (x )≠0},那么集合{x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂(B)N M(C)N M (D)N M二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.(16) arctg 31+arctg 21的值是____________(17) 不等式226-+x x<1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项.若实数a >1,那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直,且P A =PB =PC =a .那么这个球面的面积是三、解答题:本大题共6小题;共60分.(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值,并写出使函数y 取最小值的x 的集合.(22) (本小题满分8分)已知复数z =1+i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值.(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GC 垂直于ABCD 所在的平面,且GC =2.求点B 到平面EFG 的距离.(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义,证明函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数,实数a >1,解关于x 的不等式 log a x -log 2a x +12log 3a x +…+n (n -2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2-a )(26) (本小题满分12分)3双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为5的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五、只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A(8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.(16) 4π(17) {x |-2<x <1} (18) 314 (19) 1+510 (20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分. 解:y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x +cos 2x )+2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1+cos2x )——3分=2+sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π).——5分当sin(2x+4π)=-1时y 取得最小值2-2. ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π-83π,k ∈Z }. ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.解:1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=i i+-23 ——2分=1-i . ——4分1-i 的模r=22)1(1-+=2.因为1-i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=-1,所以辐角的主值 θ=47π. ——8分(23) 本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.解:如图,连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O . 因为ABCD 是正方形,E 、F 分别为AB 和AD 的中点,故EF ∥BD ,H 为AO 的中点.BD 不在平面EFG 上.否则,平面EFG 和平面ABCD 重合,从而点G 在平面的ABCD 上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ,所以BD 和平面EFG 的距离就是点B到平面EFG的距离. ——4分∵ BD ⊥AC ,∴ EF ⊥HC . ∵ GC ⊥平面ABCD , ∴ EF ⊥GC , ∴ EF ⊥平面HCG .∴ 平面EFG ⊥平面HCG ,HG 是这两个垂直平面的交线. ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4,GC =2, ∴ AC=42,HO =2,HC =32. ∴ 在Rt △HCG 中,HG =()2222322=+.由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的,故Rt △HKO ∽△HCG . ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO .即点B 到平面EFG 的距离为11112. ——10分 注:未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分.(24) 本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分.证法一:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) -f (x 1) =3231x x -= (x 1-x 2) (222121x x x x ++)——3分∵ x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0. ——4分当x 1x 2<0时,有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2-x 1x 2>0;——6分当x 1x 2≥0时,有222121x x x x ++>0;∴ f(x 2)- f (x 1)= (x 1-x 2)(222121x x x x ++)<0. ——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以,函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分证法二:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2,且x 1<x 2, ——1分则f(x 2)-f(x 1)=x31-x32= (x 1-x 2)(222121x x x x ++). ——3分∵ x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0. ——4分∵ x 1,x 2不同时为零,∴ x 21+x 22>0.又 ∵ x 21+x 22>21(x 21+x 22)≥|x 1x 2|≥-x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0,∴ f (x 2)- f (x 1) = (x 1-x 2)(222121x x x x ++)<0. ——8分即 f (x 2) < f (x 1).所以,函数 f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为log a x -4·2log log a x a a +12·3log log a x a a +…+n (-2)n -1 ·n a a axlog log=[1-2+4+…+(-2)n -1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2-a ). ①当n 为奇数时,3)2(1n-->0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ② 因为a >1,②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0, 2411a ++>24a=a , 所以,不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}. ——8分当n 为偶数时,3)2(1n --<0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ③ 因为a >1,③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分因为,,a aaa =>++<+-24241102411 ——12分所以,不等式③的解集为{x |x >2411a++}.①②综合得:当n 为奇数时,原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}; 当n 为偶数时,原不等式的解集是{x |2411ax ++>} (26) 本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.解法一:设双曲线的方程为2222by a x -=1.依题意知,点P ,Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式,整理得(5b 2-3a 2)x 2+6a 2cx -(3a 2c 2+5a 2b 2)=0. ③ ——3分设方程③的两个根为x 1,x 2,若5b 2-3a 2=0,则ab =53,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b 2-3a 2≠0.根据根与系数的关系,有22221356ab ca x x -=+ ④ 222222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为 P (x 1,53(x 1-c )),Q (x 2,53(x 2-c )).由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=-1, 整理得3c (x 1+x 2)-8x 1x 2-3c 2=0. ⑥将④,⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式,并整理得3a 4+8a 2b 2-3b 4=0,(a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0.因为a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2, 所以c =22b a +=2a . ——8分由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2=[53(x 2-c )-53(x 1-c )]2=42. 整理得(x 1+x 2)2-4x 1x 2-10=0. ⑦将④,⑤式及b 2=3a 2,c =2a 代入⑦式,解得a 2=1. ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3.故所求双曲线方程为x 2-32y =1. ——12分 解法二:④式以上同解法一. ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-,x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为P (x 1,53(x 1-c)),Q (x 2,53(x 2-c)).由OP ⊥OQ ,得x 1 x 2+53(x 1-c)·53(x 2-c)=0. ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2-3b 4=0,即 (a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0.因a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2. ——8分由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2+[53(x 2-c)-53(x 1-c)]2=42. 即 (x 2-x 1)2=10. ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2-3a 2)2-16a 2b 4=0.——10分 将b 2=3a 2代入上式,得a 2=1,将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3.故所求双曲线方程为x 2-32y =1.——12分。
1991【考研数学一】真题及答案解析(1)
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-;221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合?(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3);因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=-- 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则:1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线:如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线:当lim (),(x f x a a →∞=为常数),则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合;当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1:因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2:设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====;当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====;所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1991年考研数学一试题及完全解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-;221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合?(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3);因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则:1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线:如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线:当lim (),(x f x a a →∞=为常数),则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ===r 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合;当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1:因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2:设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====;当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====;所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1991年考研数学一试题及完全解析(Word版)
1991年考研数学⼀试题及完全解析(Word版)1991年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题⼀、填空题(本题满分15分,每⼩题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ?=+?=? 则22d y dx =__________.(2)由⽅程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的⽅程是1123:101x y z L ---==-;221:211x y zL +-==,则过1L 且平⾏于2L 的平⾯⽅程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价⽆穷⼩,则常数a =__________.(5) 设4阶⽅阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ?? ?= -,则A 的逆阵1A -=__________.⼆、选择题(本题满分15分,每⼩题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有⽔平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有⽔平渐近线⼜有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满⾜关系式20()ln 22xt f x f dt ??=+,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平⾯上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三⾓形区域,1D 是D 在第⼀象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +??等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ?? (B) 12D xydxdy ??(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +?? (D) 0(5) 设n 阶⽅阵A 、B 、C 满⾜关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每⼩题5分.)(1)求0lim x x π+→. (2) 设n 是曲⾯222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿⽅向n 的⽅向导数. (3) 22()x y z dV Ω++,其中Ω是由曲线22,0y z x ?=?=?绕z 轴旋转⼀周⽽成的曲⾯与平⾯4z =所围成的⽴体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求⼀条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++?的值最⼩.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅⽴叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =?,证明在(0,1)内存在⼀点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表⽰成1234αααα、、、的线性组合?(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯⼀的线性表⽰式?并写出该表⽰式.⼋、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的⾏列式⼤于1.九、(本题满分8分)在上半平⾯求⼀条向上凹的曲线,其上任⼀点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平⾏.⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,⽅差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷⼀点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的⾯积成正⽐,则原点和该点的连线与x 轴的夹⾓⼩于4π的概率为_______.⼗⼀、(本题满分6分)设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题解析⼀、填空题(本题满分15分,每⼩题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数⽅程,满⾜参数⽅程所确定函数的微分法,即如果 ()()x t y t φ?=?? =?, 则 ()()dy t dx t ?φ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=?=? 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t t=. (2)【答案】dx【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这⾥点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将⽅程两边求全微分,由⼀阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平⾯∏过直线1L ,因⽽过1L 上的点(1,2,3);因为∏过1L 平⾏于2L ,于是∏平⾏于1L 和2L 的⽅向向量,即∏平⾏于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平⾯∏的⽅程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12233lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---.因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价⽆穷⼩,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-??--. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可⽤伴随,可⽤初等⾏变换,也可⽤分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: 1110000A AB B ---=,111000A B B A---??= ? ?. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:a b A c d ??=,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-== ? ?-.如果0A ≠,这样a b d b d b c d c a c a A ad bc---== ? ?---. 再利⽤分块矩阵求逆的法则:1110000A AB B ---??=,易见 112002500120033110033A --??- =-.⼆、选择题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,2211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为⽔平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线:如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0 lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的⼀条铅直渐近线;⽔平渐近线:当lim (),(x f x a a →∞=为常数),则y a =为函数的⽔平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22xx t f x f dt f u du ??=+=+,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是⼀个变量可分离的微分⽅程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.⼜因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=?,代⼊2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =?.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+ 21 2212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.⽽12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个⼦区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ?==,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==??.⽽cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==??,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有⼀些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取⾏列式,据⾏列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每⼩题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.0lim(1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以1lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim(1lim x x x e→++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--===-,故02x x x e eππ→+-→==.(2)【解析】先求⽅向n 的⽅向余弦,再求,,u u ux y z,最后按⽅向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y z αβγ=++求出⽅向导数. 曲⾯222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== ⼜P P P u x u y u z ?=========????, 所以⽅向导数cos cos cos u u u un x y z αβγ=++ 117==. (3)【解析】由曲线22,0y z x ?=?=?绕z 轴旋转⼀周⽽围成的旋转⾯⽅程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物⾯221()2z x y =+与平⾯4z =所围成.曲⾯与平⾯的交线是 228,4x y z +==.选⽤柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++4220)dz d r z rdr πθ=+?4240242r r r r z dz π==+ ?42025643z dz ππ==四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)L I y dx x y dy =+++?30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++??23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π=+++233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ??=+-+++-3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<'><<+∞.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极⼩值点,也是最⼩值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =? , 012()cos()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==?? 11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+ 122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =? ,1002(2)5a x dx =+=?.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满⾜狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin2n n n a n n f x x a x b x l lππ∞=??=+=++∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. ⼜ 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====??=+=+??--??∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n nπ∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ?,在区间2(,1)3上存在⼀点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=?,即1233()()(0)f x dx f f ξ==?.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在⼀点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=??-+=??++++=+??++++=?.对⽅程组的增⼴矩阵作初等⾏变换:第⼀⾏分别乘以有()2-、()3-加到第三⾏和第四⾏上,再第⼆⾏乘以()1-、()2-加到第三⾏和第四⾏上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a--=→ ? ?+++ ?+-+ 1111101121001000010a b a ??- → ?+ ?+??, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,⽅程组⽆解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成⽴,β不能表⽰成1234αααα、、、的线性组合;当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==⽅程组有唯⼀解21,,,0111Tb a b b a a a ++??- ?+++??,故β有唯⼀表达式,且1234210111b a b ba a a βαααα++=-+++?+++. 【相关知识点】⾮齐次线性⽅程组有解的判定定理:设A 是m n ?矩阵,线性⽅程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增⼴矩阵()A A b = 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ?矩阵,线性⽅程组Ax b =,则 (1) 有唯⼀解 ? ()().r A r A n == (2) 有⽆穷多解 ? ()().r A r A n =< (3) ⽆解 ? ()1().r A r A +=b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.⼋、(本题满分6分)【解析】⽅法1:因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-?? ?==Λ= ? ?, 其中0(1,2,)i i n λ>= ,i λ是A 的特征值. 因此 ()T T T Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取⾏列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从⽽ ||1A E +>.⽅法2:设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全⼤于0.由λ为A 的特征值可知,存在⾮零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++ 它们全⼤于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及⾮零的n 维列向量X 使得AX X λ=成⽴,则称λ是矩阵A 的特征值,称⾮零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线⽅程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从⽽122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成⽴. 因此,根据题意得微分⽅程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的⾼阶微分⽅程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,⼆阶⽅程降为⼀阶⽅程21dP yP P dy =+,即21PdP dy P y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++?ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平⾯,所以0y >,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±+=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e --====;当x 前取-时,C e =,1x y e -++ =,111x xy e e --====;所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题3分.)(1)【解析】⼀般说来,若计算正态分布随机变量在某⼀范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数µ和2σ,否则应先根据题设条件求出µ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ ,所以可标准化得 2(0,1)X N σ- ,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹⾓⼩于4π”, 这是⼀个⼏何型概率的计算问题.由⼏何概率公式()DS P A S =半圆,⽽ 212S a π=半圆,22141124D OAC S S S a a π=+=+ 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.⼗⼀、(本题满分6分)【解析】⼆维连续型随机变量的概率等于对应区域的⼆重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下⽅与0,0x y >>(即第⼀象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2xy z +=在直线20x y +=的上⽅与第⼀象限相交成⼀个三⾓形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--?? .0=所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0, ()1, 0. z zz F z e ze z --。
1991年全国高考数学试题及其参考答案
1991年全国高考数学试题及其参考答案(理工农医类)考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1) 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=-8(x+1) (C) y 2=8(x -1)(D) y 2=-8(x -1)(3)函数y =cos 4x -sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π (4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( )(A) x =-2π(B) x =-4π(C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S -ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内,那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( )(A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-,那么它的焦点的极坐标为( )(A) (0,0),(6,π) (B) (-3,0),(3,0) (C) (0,0),(3,0)(D) (0,0),(6,0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0,那么直线Ax+By+C =0不通过... ( ) (A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( ) (A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件(12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n …(1-21+n )]的值等于( )(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x )在区间[-7,-3]上是( )(A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5 (C) 减函数且最小值为-5(D) 减函数且最大值为-5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y -3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ,f (x )=sin x ,g (x )=cos x ,M ={x |f (x )≠0},N ={x |g (x )≠0},那么集合{x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂(B)N M(C)N M (D)N M二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.(16) arctg 31+arctg 21的值是____________(17) 不等式226-+x x<1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项.若实数a >1,那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直,且P A =PB =PC =a .那么这个球面的面积是三、解答题:本大题共6小题;共60分.(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值,并写出使函数y 取最小值的x 的集合.(22) (本小题满分8分)已知复数z =1+i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值.(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GC 垂直于ABCD 所在的平面,且GC =2.求点B 到平面EFG 的距离.(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义,证明函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数,实数a >1,解关于x 的不等式 log a x -log 2a x +12log 3a x +…+n (n -2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2-a )(26) (本小题满分12分)3双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,过双曲线右焦点且斜率为5的直线交双曲线于P、Q两点.若OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.五、只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A(8)D(9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.(16) 4π(17) {x |-2<x <1} (18) 314 (19) 1+510 (20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分. 解:y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x =(sin 2x +cos 2x )+2sin x cos x +2cos 2x——1分=1sin2x (1+cos2x )——3分=2+sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π).——5分当sin(2x+4π)=-1时y 取得最小值2-2. ——6分使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π-83π,k ∈Z }. ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.解:1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=i i+-23 ——2分=1-i . ——4分1-i 的模r=22)1(1-+=2.因为1-i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=-1,所以辐角的主值 θ=47π. ——8分(23) 本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.解:如图,连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O . 因为ABCD 是正方形,E 、F 分别为AB 和AD 的中点,故EF ∥BD ,H 为AO 的中点.BD 不在平面EFG 上.否则,平面EFG 和平面ABCD 重合,从而点G 在平面的ABCD 上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ,所以BD 和平面EFG 的距离就是点B到平面EFG的距离. ——4分∵ BD ⊥AC ,∴ EF ⊥HC . ∵ GC ⊥平面ABCD , ∴ EF ⊥GC , ∴ EF ⊥平面HCG .∴ 平面EFG ⊥平面HCG ,HG 是这两个垂直平面的交线. ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离. ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4,GC =2, ∴ AC=42,HO =2,HC =32. ∴ 在Rt △HCG 中,HG =()2222322=+.由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的,故Rt △HKO ∽△HCG . ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO .即点B 到平面EFG 的距离为11112. ——10分 注:未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分.(24) 本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分.证法一:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) -f (x 1) =3231x x -= (x 1-x 2) (222121x x x x ++)——3分∵ x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0. ——4分当x 1x 2<0时,有222121x x x x ++= (x 1+x 2)2-x 1x 2>0;——6分当x 1x 2≥0时,有222121x x x x ++>0;∴ f(x 2)- f (x 1)= (x 1-x 2)(222121x x x x ++)<0. ——8分即 f (x 2) < f (x 1)所以,函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分证法二:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2,且x 1<x 2, ——1分则f(x 2)-f(x 1)=x31-x32= (x 1-x 2)(222121x x x x ++). ——3分∵ x 1<x 2, ∴x 1-x 2<0. ——4分∵ x 1,x 2不同时为零,∴ x 21+x 22>0.又 ∵ x 21+x 22>21(x 21+x 22)≥|x 1x 2|≥-x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0,∴ f (x 2)- f (x 1) = (x 1-x 2)(222121x x x x ++)<0. ——8分即 f (x 2) < f (x 1).所以,函数 f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分(25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为log a x -4·2log log a x a a +12·3log log a x a a +…+n (-2)n -1 ·n a a axlog log=[1-2+4+…+(-2)n -1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2-a ). ①当n 为奇数时,3)2(1n-->0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ② 因为a >1,②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0, 2411a ++>24a=a , 所以,不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}. ——8分当n 为偶数时,3)2(1n --<0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ③ 因为a >1,③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分因为,,a aaa =>++<+-24241102411 ——12分所以,不等式③的解集为{x |x >2411a++}.①②综合得:当n 为奇数时,原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<}; 当n 为偶数时,原不等式的解集是{x |2411ax ++>} (26) 本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.解法一:设双曲线的方程为2222by a x -=1.依题意知,点P ,Q 的坐标满足方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式,整理得(5b 2-3a 2)x 2+6a 2cx -(3a 2c 2+5a 2b 2)=0. ③ ——3分设方程③的两个根为x 1,x 2,若5b 2-3a 2=0,则ab =53,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b 2-3a 2≠0.根据根与系数的关系,有22221356ab ca x x -=+ ④ 222222213553a b b a c a x x -+-= ⑤ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为 P (x 1,53(x 1-c )),Q (x 2,53(x 2-c )).由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=-1, 整理得3c (x 1+x 2)-8x 1x 2-3c 2=0. ⑥将④,⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式,并整理得3a 4+8a 2b 2-3b 4=0,(a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0.因为a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2, 所以c =22b a +=2a . ——8分由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2=[53(x 2-c )-53(x 1-c )]2=42. 整理得(x 1+x 2)2-4x 1x 2-10=0. ⑦将④,⑤式及b 2=3a 2,c =2a 代入⑦式,解得a 2=1. ——10分将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3.故所求双曲线方程为x 2-32y =1. ——12分 解法二:④式以上同解法一. ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-,x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为P (x 1,53(x 1-c)),Q (x 2,53(x 2-c)).由OP ⊥OQ ,得x 1 x 2+53(x 1-c)·53(x 2-c)=0. ⑤将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2-3b 4=0,即 (a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0.因a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2. ——8分由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2+[53(x 2-c)-53(x 1-c)]2=42. 即 (x 2-x 1)2=10. ⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2-3a 2)2-16a 2b 4=0.——10分 将b 2=3a 2代入上式,得a 2=1,将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3.故所求双曲线方程为x 2-32y =1.——12分。
(详细解析)1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(文)
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分.一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内1.已知4sin 5α=,并且是第二象限的角,那么tan α的值等于 A .34- B .43- C .43 D .34【答案】A【解析】由题设3cos 5α=-,所以4tan 3α=-.2.焦点在(1,0)-,顶点在(1,0)的抛物线方程是A .)1(82+=x y B .)1(82+-=x y C .)1(82-=x y D .)1(82--=x y 【答案】D【解析】抛物线开口向左,且112p=+,所以4p =.3.函数x x y 44sin cos -=的最小正周期是 A .2πB .πC .π2D .π4 【答案】B【解析】44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2y x x x x x x x x x =-=+-=-=,所以最小正周期是π.4.(2,5)P 关于直线0x y +=的对称点的坐标是A .(5,2)PB .(2,5)P -C .(5,2)P --D .(2,5)P -- 【答案】C【解析】设(2,5)P 的对称点(,)P x y ',则250,2251,2x y y x ++⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得5,2,x y =-⎧⎨=-⎩.5.如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 A .12对 B .24对 C .36对 D .48对 【答案】B【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面4条边均异面,所以共有24对.6.函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴的方程是 A .2π-=x B .4π-=x C .8π=x D .45π=x【答案】A【解析】对称轴的方程满足52()22x k k Z πππ+=+∈,则()2x k k Z ππ=⋅-∈,显然1k =时2π-=x .7.如果三棱锥S ABC -的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内,那么O 是ABC ∆的A .垂心B .重心C .外心D .内心 【答案】D【解析】由题设可知点O 到ABC ∆三边的距离相等,所以O 是ABC ∆的内接圆的圆心.8.已知}{n a 是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n ,那么53a a + 的值等于 A .5 B .10 C .15 D .20 【答案】A【解析】设公比为q ,则由题设可得22224442225a a a q q ++⋅=,即2241()25a q q+=,则41()5a q q+=,即355a a +=.9.已知函数651x y x +=-(x R ∈,且1x ≠),那么它的反函数为 A .651x y x +=-(x R ∈,且1x ≠) B .56x y x +=-(x R ∈,且6x ≠)C .165x y x -=+(x R ∈,且56x ≠-)D .65x y x -=+(x R ∈,且5x ≠-)【答案】B【解析】65516x y y x x y ++=⇒=--,所以所求反函数为56x y x +=-(x R ∈,且6x ≠),B 正确.10.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有 A .140种 B .84种 C .70种 D .35种 【答案】C【解析】直接法:1221454570C C C C +=. 间接法:33374570C C C --=.11.设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件.那么 A .丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B .丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C .丙是甲的充要条件D .丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【答案】A【解析】由题意,乙⇒甲,丙⇒乙,但乙⇒丙,从而可得甲⇒丙,丙⇒甲.12. )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于 A .0 B .1 C .2 D .3 【答案】C【解析】11112341lim[(1)(1)(1)(1)]lim[]34523452n n n n n n n →∞→∞+----=⋅⋅⋅⋅⋅++ 2lim22n nn →∞==+.13.如果0AC <且0BC <,那么直线0Ax By C ++=不通过...A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】C 【解析】A C y x B B =--,由于0AC <且0BC <,所以0,0A CB B->->,故D 正确.14.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么()f x 在区间[7,3]--上是 A .增函数且最小值为5- B .增函数且最大值为5- C .减函数且最小值为5- D .减函数且最大值为5-【答案】B【解析】若[7,3]x ∈--,则[3,7]x -∈,()()f x f x -=-是增函数的最大值为(3)f -=(3)5f -=-.15.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】C【解析】圆的标准方程为222(1)(2)x y +++=,圆心(1,2)--到直线10x y ++=的距离为2,故与直线10x y ++=平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别有2个和1个.二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.16.双曲线以直线1x =-和2y =为对称轴,如果它的一个焦点在y 轴上,那么它的另一焦点的坐标是 . 【答案】(2,2)-【解析】根据题意一个焦点落在2y =上,为(0,2),则另一焦点满足012m+=-,得2m =-,所以另一焦点的坐标是(2,2)-.17.已知sin x =sin 2()4x π-= .【答案】2【解析】2sin 2()sin(2)cos 22sin 1242x x x x ππ-=-=-=-=-.18.不等式2lg(22)1x x ++<的解集是 . 【答案】{}42x x -<<|【解析】由题设得21(1)110x ≤++<,即2280x x +-<,解得42x -<<.19.在7(1)ax +的展开式中,3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项.若实数1>a ,那么a = .【答案】1015+【解析】由题设可得234,,x x x 的系数分别为524334777,,C a C a C a ⋅⋅⋅,则4352772C a C a ⋅=⋅+347C a ⋅,化简得251030a a -+=,由于1>a ,所以1015a =+.20.在长方体1111ABCD A B C D -中,已知顶点A 上三条棱长分别是23,2,.如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所成的角分别是,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=. 【答案】2【解析】∵11B C ⊥面11ABB A ,∴1AC 与面11ABB A 所成的角为11C AB α∠=;同理1AC 与面11ADD A 所成的角为11C AD β∠=;1AC 与面ABCD 所成的角为1C AC γ∠=.∵不妨设12,2,3AB AD AA ===,∴1113,6,7,5AC AC AB AD ====, ∴11111756cos ,cos ,cos 333AB AD AC AC AC AC αβγ======.所以222cos cos cos 2αβγ++=.三、解答题:本大题共6小题;共60分.21.(本小题满分8分)求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值.【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分.22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++222(sin cos )2sin cos 2cos x x x x x =+++ ——1分1sin 2(1cos 2)x x =+++ ——3分2sin 2cos 222sin(2)4x x x π=++=++. ——5分当sin(2)14x π+=时y 取得最大值,这时最大值等于22+. ——6分22.(本小题满分8分)已知复数i z +=1,求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值.【解】本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.2236(1)3(1)631112z z i i iz i i-++-++-==++++ ——2分1i =-. ——4分1i -的模221(1)2r =+-=.因为1i -对应的点在第四象限且辐角的正切tan 1θ=-, 所以辐角的主值74θπ=. ——8分23.(本小题满分10分)如图,在三棱台111A B C ABC -中,已知1AA ⊥底面ABC ,11111AA A B B C a ===,1B B BC ⊥,且1B B 和底面ABC 所成的角45︒,求这个棱台的体积.【解】本小题考查直线与直线,直线与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.因为1AA ⊥底面ABC ,所以根据线面垂线的 定义有1AA BC ⊥.又1BC BB ⊥,且棱1AA 和1BB 的延长线交于一点,所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC ⊥侧面11A ABB , 从而根据线面垂线的定义又可得出BC AB ⊥. ∴ABC ∆是直角三角形,90ABC ∠=︒.并且1ABB ∠就是1BB 和底面ABC 所成的角,145ABB ∠=︒. ——3分 作1B D AB ⊥交AB 于D ,则11//B D A A ,故1B D ⊥底面ABC . ∵1Rt B DB ∆中145DBB ∠=︒, ∴ 11DB DB AA a ===,∴2AB a =. ——6分 由于棱台的两个底面相似,故111Rt ABC Rt A B C ∆≅∆.∵1111,2B C A B a AB a ===,∴2BC a =.∴21111122a S A B B C =⋅=上,2122S AB BC a =⋅=下. ——8分11()3V A A S S S S =⋅⋅+⋅+下下棱台上上2222317(22)3226a a a a a a =⋅+⨯+=. ——10分24.(本小题满分10分)设{}n a 是等差数列,1()2n an b =.已知123123211,88b b b b b b ++==.求等差数列的通项n a . 【解】本小题考查等差数列,等比数列的概念及运用方程(组)解决问题的能力.满分10分.设等差数列{}n a 的公差为d ,则1(1)n a a n d =+-.∴()111()2a n dn b +-=.1112222132111()()()222a a d a d b b b ++===. 由12318b b b =,得3218b =,解得212b =. ——3分代入已知条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=.82181321321b b b b b b ,整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.817413131b b b b ,解这个方程组得1312,8b b ==或131,28b b ==. ——6分 ∴11,2a d =-=或13,2a d ==-. ——8分 所以,当11,2a d =-=时1(1)23n a a n d n =+-=-.当13,2a d ==-时1(1)52n a a n d n =+-=-. ——10分25.(本小题满分12分)设0,1a a >≠,解关于x 的不等式42221()xx a a a->. 【解】本小题考查指数函数性质、解不等式及综合分析能力.满分12分. 解法一:原不等式可写成4222x x a aa-->. ① ——1分根据指数函数性质,分为两种情形讨论:(Ⅰ)当01a <<时,由①式得42220x x a -+<, ② ——3分由于01a <<时,判别式2440a ∆=->,所以②式等价于2211x x ⎧>⎪⎨<⎪⎩——5分解③式得x <或x >解④式得x << ——7分 所以,01a <<时,原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||.——8分(Ⅱ)当1a >时,由①式得42220x x a -+>, ⑤ ——9分由于1a >,判别式0∆<,故⑤式对任意实数x 成立,即得原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|. ——12分综合得当01a <<时,原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||;当1a >时,原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|. 解法二:原不等式可写成2242a x x a a-->. ① ——1分(Ⅰ)当01a <<时,由①式得42220x x a -+<, ②——3分分解因式得22(110x x --<. ③即2210,10;x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 或2210,10.x x ⎧-+⎪⎨-->⎪⎩——5分解由④、⑤组成的不等式组得x<<x <<.——7分 由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集;所以,01a <<时,原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||;——8分 (Ⅱ)当1a >时,由①式得42220x x a -+>, ⑧ ——9分配方得222(1)10x a -+->, ⑨对任意实数x ,不等式⑨都成立,即1a >时,原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|.——12分综合得当01a <<时,原不等式的解集为{{1x x x x <<-<<||;当1a >时,原不等式的解集为{}x x -∞<<+∞|.26.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q,且,OP OQ PQ ⊥=.求椭圆的方程. 【解】本小题考查椭圆的性质、两点的距离公式、两条直线垂直条件、二次方程根与系数的关系及分析问题的能力.满分12分.解法一:设所求椭圆方程为22221x y a b+=.依题意知,点,P Q 的坐标满足方程组22221,1.x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩将②式代入①式,整理得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=,③ ——2分 设方程③的两个根分别为12,x x ,那么直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++. ——3分由题设,OP OQ PQ ⊥=,可得[]12122222121111()(1)(1)(.2x x x x x x x x ++⎧⋅=-⎪⎪⎨⎪-++-+=⎪⎩,整理得()()12122121221041650.x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+--=⎪⎩,——6分 解这个方程组,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=;,23412121x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=.21412121x x x x ,根据根与系数的关系,由③式得(Ⅰ)2222222232(1)14a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,;或(Ⅱ)2222222212(1)1.4a a b a b a b ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩, ——10分资料内容仅供您学习参考,如有不当之处,请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解方程组(Ⅰ),(Ⅱ),得⎪⎩⎪⎨⎧==;,32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a , 故所求椭圆的方程为132222=+y x ,或.123222=+y x ——12分 解法二:同解法一得222222()2(1)0a b x a x a b +++-=, ③ ——2分解方程③得 22222222222111b a b a ab a x b a b a ab a x +-+--=+-++-=,. ④ ——4分 则直线1y x =+与椭圆的交点为1122(,1),(,1)P x x Q x x ++.由题设OP OQ ⊥,得1212111x x x x ++⋅=-. ⑤ 将④式代入⑤式,整理得22222a b a b +=. ⑥由PQ =,得[]2222121()(1)(1)x x x x -++-+=,即2215()4x x -=.⑦ 将④式代入⑦式,整理得22222224(1)5()4a b a b a b +-=+. ⑧ 将⑥式、⑧式联立,整理得2222834.3a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解此方程得⎪⎩⎪⎨⎧==;,32222b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23222b a , 故所求椭圆的方程为132222=+y x ,或.123222=+y x ——12分。
1991年全国统一高考数学试卷(文科)
1991年全国统一高考数学试卷(文科)一、选择题(共15小题,每小题3分,满分45分)1.(3分)已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tanα的值等于( ) A . ﹣B . ﹣C .D .2.(3分)2、焦点在(﹣1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是( ) A . y 2=8(x+1) B . y 2=﹣8(x+1) C . y 2=8(x ﹣1) D . y 2=﹣8(x ﹣1) 3.(3分)(2012•北京模拟)函数y=cos 4x ﹣sin 4x 的最小正周期是( ) A . B . π C . 2π D . 4π4.(3分)(2012•北京模拟)P (2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是( ) A . (5,2) B . (2,﹣5) C . (﹣5,﹣2) D . (﹣2,﹣5) 5.(3分)4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( ) A . 12对 B . 24对 C . 36对 D . 48对6.(3分)(2012•广东模拟)函数y=sin (2x+)的图象的一条对称轴的方程是( )A . x=﹣B . x=﹣C . x=D . x=7.(3分)6、如果三棱锥S ﹣ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内,那么O 是△ABC 的( ) A . 垂心 B . 重心 C . 外心 D . 内心 8.(3分)已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( ) A . 5 B . 10 C . 15 D . 209.(3分)9、已知函数y=(x ∈R ,且x≠1),那么它的反函数为( ) A . y=(x ∈R ,且x≠1) B . y=(x ∈R ,且x≠6) C . y=(x ∈R ,且x≠﹣)D .y=(x ∈R ,且x≠﹣5)10.(3分)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( ) A . 140种 B . 84种 C . 70种 D . 35种11.(3分)11、设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( ) A . 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B . 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C . 丙是甲的充要条件 D . 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件12.(3分)[n (1﹣)(1﹣)(1﹣) (1))]等于( )A . 0B . 1C . 2D . 3 13.(3分)如果AC <0,且BC <0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 14.(3分)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x )在区间[﹣7,﹣3]上是( ) A . 增函数且最小值为﹣5 B . 增函数且最大值为﹣5 C . 减函数且最小值为﹣5 D . 减函数且最大值为﹣5 15.(3分)圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分) 16.(3分)双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴,如果它的一个焦点在y 轴上,那么它的另一焦点的坐标是 _________ .17.(3分)已知sinx=,则sin2(x ﹣)= _________ .18.(3分)不等式lg (x 2+2x+2)<1的解集是 _________ . 19.(3分)(ax+1)7的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项.若实数a >1,那么a= _________ .20.(3分)在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,已知顶点A 上三条棱长分别是、2.如果对角线AC 1与过点A 的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ,那么cos 2α+cos 2β+cos 2γ= _________ .三、解答题(共6小题,满分60分) 21.(8分)求函数y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最大值.22.(8分)已知复数z=1+i ,求复数的模和辐角的主值.23.(10分)如图,在三棱台A1B1C1﹣ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45°,求这个棱台的体积.24.(10分)设{a n}是等差数列,b n=()an.已知b1+b2+b3=,b1b2b3=.求等差数列的通项a n.25.(12分)设a>0,a≠1,解关于x的不等式26.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=.求椭圆的方程.1991年全国统一高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题3分,满分45分)1.(3分)已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tanα的值等于()A.﹣B.﹣C.D.考点:同角三角函数基本关系的运用.分析:由角的正弦值和角所在的象限,求出角的余弦值,然后,正弦值除以余弦值得正切值.解答:解:∵sinα=且α是第二象限的角,∴,∴,故选A点评:掌握同角三角函数的基本关系式,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.本题是给值求值.2.(3分)2、焦点在(﹣1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是()A.y2=8(x+1)B.y2=﹣8(x+1)C.y2=8(x﹣1)D.y2=﹣8(x﹣1)考点:抛物线的标准方程.专题:分析法.分析:先根据定点坐标代入即可排除A,B,再由抛物线的开口方向可确定答案.解答:解:根据题意顶点在(1,0),可知P=4,可排除A,B又因为开口方向是向x轴的负半轴,排除C.故选D.点评:本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.3.(3分)(2012•北京模拟)函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是()A.B.πC.2πD.4π考点:同角三角函数基本关系的运用.分析:观察题目条件,思路是降幂,先用平方差公式,再逆用二倍角公式,式子变为能判断周期等性质的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式.解答:解:∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x,∴T=π,故选B点评:对于和式的整理,基本思路是降次、消项和逆用公式,本题就是逆用余弦的二倍角公式.另外还要注意切割化弦,变量代换和角度归一等方法.4.(3分)(2012•北京模拟)P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是()A.(5,2)B.(2,﹣5)C.(﹣5,﹣2)D.(﹣2,﹣5)考点:对称图形.专题:计算题.分析:点关于直线对称,首先要看直线方程,根据直线方程求出x,再求出y,代值计算即可.解答:解:x+y=0y=﹣xx=﹣y所以对称点是(﹣5,﹣2)故选C点评:对称问题是数形结合思想的应用,学生对点及直线的对称要和图形结合理解更好.5.(3分)4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有()A.12对B.24对C.36对D.48对考点:空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征.分析:由异面直线定义入手,分类计数即可.解答:解:易知六棱锥的六条侧棱都交于一点,底面六条边在同一平面内,则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线,所以六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有6×4=24对.故选B.点评:本题考查异面直线定义,同时考查分类计数原理及空间想象能力.6.(3分)(2012•广东模拟)函数y=sin(2x+)的图象的一条对称轴的方程是()A.x=﹣B.x=﹣C.x=D.x=考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.分析:根据正弦函数一定在对称轴上去最值,然后将选项中的值代入进行验证即可.解答:解:因为当x=﹣时,sin[2×(﹣)+]=sin()=﹣1故选A.点评:本题主要考查正弦函数的对称性,即正余弦函数一定在对称轴上取得最值.7.(3分)6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的()A.垂心B.重心C.外心D.内心考点:棱锥的结构特征.专题:证明题;综合题.分析:顶点在底面上的射影,以及二面角,构成的三个三角形是全等三角形,推出垂足到三边距离相等,可得结果.解答:解:侧面与底面所成的二面角都相等,并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形,所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等,所以是内心.故选D.点评:本题考查棱锥的结构特征,考查逻辑思维能力,是中档题.8.(3分)已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( ) A . 5 B . 10 C . 15 D . 20考点: 等比数列. 分析: 先由等比数列的性质求出a 2•a 4=a 32,a 4•a 6=a 52,再将a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25转化为(a 3+a 5)2=25求解.解答: 解:由等比数列的性质得:a 2•a 4=a 32,a 4•a 6=a 52∴a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25可化为 (a 3+a 5)2=25又∵a n >0 ∴a 3+a 5=5 故选A点评: 本题主要考查等比数列性质和解方程.9.(3分)9、已知函数y=(x ∈R ,且x≠1),那么它的反函数为( ) A . y=(x ∈R ,且x≠1) B . y=(x ∈R ,且x≠6) C . y=(x ∈R ,且x≠﹣) D .y=(x ∈R ,且x≠﹣5)考点: 反函数. 分析:欲求原函数y=的反函数,即从原函数式中反解出x ,后再进行x ,y 互换,即得反函数的解析式.解答:解:∵y=,∴x=(y ∈R ,且y≠1),∴x ,y 互换,得y=(x ∈R ,且x≠1).故选A .点评:本题考查反函数的求法,属于基础题目,要会求一些简单函数的反函数,掌握互为反函数的函数图象间的关系.10.(3分)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( ) A . 140种 B . 84种 C . 70种 D . 35种考点: 分步乘法计数原理. 分析: 本题既有分类计数原理也有分步计数原理. 解答: 解:甲型1台与乙型电视机2台共有4•C 52=40;甲型2台与乙型电视机1台共有C 42•5=30;不同的取法共有70种 故选C点评: 注意分类计数原理和分步计数原理都存在时,一般先分类后分步.11.(3分)11、设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么()A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.分析:搞清楚甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,结合选项作答.解答:解:甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,即甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙,结合选项甲⇐丙,而且甲推不出丙,所以丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.故选A点评:甲⇐乙⇐丙并且乙不能推出丙,这种方法是解决三个以上命题好策略.12.(3分)[n(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣)]等于()A.0B.1C.2D.3考点:极限及其运算.专题:计算题.分析:通过观察n(1﹣)(1﹣)(1﹣)…(1﹣),先化简括号中的式子,再根据极限的定义求极限.解答:解:[n(1﹣)(1﹣)(1﹣)(1﹣)]=[n××××…×]==2.故选C.点评:本题主要考查极限及其运算,较为简单.13.(3分)如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限考点:直线的一般式方程.专题:计算题.分析:先把Ax+By+C=0化为y=﹣,再由AC<0,BC<0得到﹣,﹣,数形结合即可获取答案解答:解:∵直线Ax+By+C=0可化为,又AC<0,BC<0∴AB>0,∴,∴直线过一、二、四象限,不过第三象限.故答案选C.点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化,以及学生数形结合的能力,属容易题 14.(3分)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x )在区间[﹣7,﹣3]上是( ) A . 增函数且最小值为﹣5 B . 增函数且最大值为﹣5 C . 减函数且最小值为﹣5 D . 减函数且最大值为﹣5考点: 奇函数. 专题: 压轴题. 分析: 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案. 解答: 解:因为奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数,所以f (x )在区间[﹣7,﹣3]上也是增函数, 且奇函数f (x )在区间[3,7]上有f (3)min =5,则f (x )在区间[﹣7,﹣3]上有f (﹣3)max =﹣f (3)=﹣5, 故选B .点评: 本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系. 15.(3分)圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 压轴题. 分析: 先求圆心和半径,再看圆心到直线的距离,和比较,可得结果. 解答: 解:圆x 2+2x+y 2+4y ﹣3=0的圆心(﹣1,﹣2),半径是 2,圆心到直线x+y+1=0的距离是,故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个.故答案为:3.点评: 本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,考查数形结合的思想,是中档题.二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分) 16.(3分)双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴,如果它的一个焦点在y 轴上,那么它的另一焦点的坐标是 (﹣2,2) .考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 数形结合,先求出双曲线中心坐标,进而得到在y 轴上的焦点坐标,中心是两个焦点的中点.解答: 解:双曲线以直线x=﹣1和y=2为对称轴,∴双曲线中心坐标(﹣1,2), ∴在y 轴上的焦点坐标(0,2), ∴另一个焦点(﹣2,2), 故答案是(﹣2,2).点评: 数形结合,中点考查双曲线的性质.17.(3分)已知sinx=,则sin2(x ﹣)= 2﹣ .考点:同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数.专题:计算题.分析:先利用同角三角函数基本关系可知sin2(x﹣)=﹣cos2x,进而利用倍角公式把sinx=代入即可.解答:解:sin2(x﹣)=﹣cos2x=﹣(1﹣2sin2x)=﹣(1﹣)=2﹣故答案为2﹣点评:本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用和利用倍角公式化简求值.属基础题.18.(3分)不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是{x|﹣4<x<2}.考点:对数函数的单调性与特殊点;对数函数的定义域.专题:计算题;转化思想.分析:外层函数是增函数,不等式为lg(x2+2x+2)<lg10,由单调性不等式可以转化为x2+2x+2<10,解此不等式即得不等式lg(x2+2x+2)<1的解集.解答:解:由题意不等式lg(x2+2x+2)<1可以变为lg(x2+2x+2)<lg10,∵y=lgx是增函数,∴x2+2x+2<10 (由于x2+2x+2>0恒成立,故本处省略讨论其符号)解得﹣4<x<2故不等式的解集是{x|﹣4<x<2}故答案为{x|﹣4<x<2}点评:本题考查求对数不等式,考查知识点是对数的单调性,指对不等式一般都是用相应函数的单调性将其转化为常规不等式求解集.19.(3分)(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项.若实数a>1,那么a=1+.考点:基本不等式;二项式定理.专题:计算题;压轴题.分析:先写出二项展开式的通项公式,利用通项公式分别写出x3、x2、x4的系数,再用等差中项的概念列出方程,解方程即可.解答:解:T k+1=C7K(ax)7﹣k=C7k a7﹣k x7﹣k,故x3、x2、x4的系数分别为C74a3,C75a2和C73a4,由题意2C74a3=C75a2+C73a4解得:a=1+故答案为:1+点评:本题考查二项式定理的通项公式的应用、二项式系数问题、等差中项的概念及组合数的运算等知识,属基本题型的考查.20.(3分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知顶点A上三条棱长分别是、2.如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ,那么cos2α+cos2β+cos2γ=2.考点:直线与平面所成的角.专题:计算题;压轴题;转化思想.分析:跟据题意知,分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α,与面AD1所成的角为∠C1AD1=β;与面AC所成的角为∠C1AC=γ;,并且求出它们的余弦值,可求cos2α+cos2β+cos2γ的值.解答:解:∵B1C1⊥面AB1,∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α;同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β;AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ;∵AB=2,AD=,AA1=,∴AC1=3,AC=,AB=,AD1=,∴cosα==,cosβ==,cosγ=,∴cos2α+cos2β+cos2γ=,故答案为2.点评:考查直线和平面所成的角,关键是找到斜线在平面内的射影,把空间角转化为平面角求解,属中档题.三、解答题(共6小题,满分60分)21.(8分)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值.考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的最值.专题:计算题.分析:先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin (wx+ρ)+b的形式,即可得到答案.解答:解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x=2+sin(2x+).当sin(2x+)=1时,函数y有最大值,这时y的最大值等于2+.点评:本题主要考查二倍角公式和两角和与差的正弦公式.属基础题.22.(8分)已知复数z=1+i,求复数的模和辐角的主值.考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.专题:计算题.分析:利用复数的运算法则化简复数,据复数模的公式求出复数模,判断复数所在象限及辐角的正切值,求出辐角的主值.解答:解:===1﹣i.1﹣i的模r==.因为1﹣i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ=﹣1,所以辐角的主值θ=π.点评:本题考查复数的运算法则,复数的模及辐角主值的求法.23.(10分)如图,在三棱台A1B1C1﹣ABC中,已知A1A⊥底面ABC,A1A=A1B1=B1C1=a,B1B⊥BC,且B1B和底面ABC所成的角45°,求这个棱台的体积.考点:直线与平面所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积.专题:计算题.分析:利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1,从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB,∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,求出AB、BC,再利用棱台的体积公式求出体积即可.解答:解:因为A1A⊥底面ABC,所以根据平面的垂线的定义有A1A⊥BC.又BC⊥BB1,且棱AA1和BB1的延长线交于一点,所以利用直线和平面垂直的判定定理可以推出BC⊥侧面A1ABB1,从而根据平面的垂线的定义又可得出BC⊥AB.∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.并且∠ABB1就是BB1和底面ABC所成的角,∠ABB1=45°.作B1D⊥AB交AB于D,则B1D∥A1A,故B1D⊥底面ABC.∵Rt△B1DB中∠DBB1=45°,∴DB=DB1=AA1=a,∴AB=2a.由于棱台的两个底面相似,故Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.∵B1C1=A1B1=a,AB=2a,∴BC=2a.∴S=A1B1×B1C1=.上S下=AB×BC=2a2.V棱台=•A1A•=•a•.点评:本题主要考查了直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.24.(10分)设{a n}是等差数列,b n=()an.已知b1+b2+b3=,b1b2b3=.求等差数列的通项a n.考点:等差数列的性质;等差数列的通项公式.专题:方程思想.分析:因为{a n}是等差数列,所以用a1和d分别表示出b1,b2,b3,再结合题意列出关于a1、d的方程,求解即可.解答:解:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n﹣1)d.∴b1b3=•==b22.由b1b2b3=,得b23=,解得b2=.代入已知条件整理得解这个方程组得b1=2,b3=或b1=,b3=2∴a1=﹣1,d=2或a1=3,d=﹣2.所以,当a1=﹣1,d=2时a n=a1+(n﹣1)d=2n﹣3.当a1=3,d=﹣2时a n=a1+(n﹣1)d=5﹣2n.点评:本题考查了等差数列的性质和通项公式,考查了学生的运算能力和公式的灵活运用能力,难度中等.25.(12分)设a>0,a≠1,解关于x的不等式考点:其他不等式的解法.专题:压轴题.分析:本题为解数型不等式,结合指数函数的单调性,分0<a<1和a>1两种情况讨论,再转化为解二次型不等式.解答:解法一原不等式可写成.①根据指数函数性质,分为两种情形讨论:(Ⅰ)当0<a<1时,由①式得x4﹣2x2+a2<0,②由于0<a<1时,判别式△=4﹣4a2>0,所以②式等价于③④解③式得x<﹣或x>,解④式得﹣<x<.所以,0<a<1时,原不等式的解集为{x|﹣<x<﹣}∪{x|<x<}.(Ⅱ)当a>1时,由①式得x4﹣2x2+a2>0,⑤由于a>1,判别式△<0,故⑤式对任意实数x成立,即得原不等式的解集为R综合得当0<a<1时,原不等式的解集为{x|﹣<x<﹣}∪{x|<x<};当a>1时,原不等式的解集为R.解法二原不等式可写成.①(Ⅰ)当0<a<1时,由①式得x4﹣2x2+a2<0,②分解因式得(x2﹣1+)(x2﹣1﹣)<0.③④⑤即⑥⑦或解由④、⑤组成的不等式组得﹣<x<﹣.或<x<.由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集;所以,0<a<1时,原不等式的解集为{x|﹣<x<﹣}∪{x|<x<};(Ⅱ)当a>1时,由①式得x4﹣2x2+a2>0,⑧配方得(x2﹣1)2+a2﹣1>0,⑨对任意实数x,不等式⑨都成立,即a>1时,原不等式的解集为{x|﹣∞<x<+∞}.综合得当0<a<1时,原不等式的解集为{x|﹣<x<﹣}∪{x|<x<};当a>1时,原不等式的解集为{x|﹣∞<x<+∞}.点评:本题考查指数函数的性质、解不等式等知识点,注意分类讨论.26.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=.求椭圆的方程.考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;压轴题.分析:先设椭圆方程的标准形式,然后与直线方程联立消去y,得到两根之和、两根之积的关系式,再由OP⊥OQ,|PQ|=可得到两点坐标的关系式,然后再与两根之和、两根之积的关系式联立可求a,b的值,从而可确定椭圆方程.解答:解:设所求椭圆方程为依题意知,点P、Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式,整理得(a2+b2)x2+2a2x+a2(1﹣b2)=0,③设方程③的两个根分别为x1,x2,那么直线y=x+1与椭圆的交点为P(x1,x1+1),Q(x2,x2+1).由题设OP⊥OQ,|PQ|=,可得整理得④⑤解这个方程组,得或根据根与系数的关系,由③式得(Ⅰ)或(Ⅱ)解方程组(Ⅰ),(Ⅱ),得或故所求椭圆的方程为,或点评:本题主要考查直线与椭圆的综合题.直线与圆锥曲线的综合题一般是将两方程联立消去x或y 得到一元二次方程,然后表示出两根之和、两根之积,再由题中条件可解题.。
1991考研数学一真题及答案解析
0,
求随机变量 Z X 2Y 的分布函数.
x 0, y 0
,
其他
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
sin t t cos t
(1)【答案】
4t 3
【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即
如果
x (t)
(1,1,b 3,5) . (1) a 、 b 为何值时, 不能表示成1、2、3、4 的线性组合? (2) a 、 b 为何值时, 有1、2、3、4 的唯一的线性表示式?并写出该表示式.
八、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E 的行列式大于 1.
()
(A) 3
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(4) 设 D 是 xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一象
限的部分,则 (xy cos x sin y)dxdy 等于
D
()
(A) 2 cos x sin ydxdy
(B) 2 xydxdy
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
x 1t2, d2y
(1)
设
y
cos
t,
则 =__________.
dx2
(2) 由方程 xyz x2 y2 z2 2 所确定的函数 z z(x, y) 在点 (1, 0, 1) 处的全微分
1 的和. n2
n1
六、(本题满分 7 分.)
1
设函数 f (x) 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且 3 2 f (x)dx f (0) ,证明在(0,1)内存在 3
考研数学一-91_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一-91(总分146, 做题时间90分钟)一、选择题1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D6.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D7.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D8.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D二、填空题9.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:10.该题您未回答:х该问题分值: 4答案:11.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:213.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:14.该题您未回答:х该问题分值: 4答案:三、解答题15.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1016.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1017.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1018.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1019.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1020.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1021.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1022.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1023.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 101。
1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)
1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)物理第I卷(选择题共50分)一、本题共13小题;每小题2分,共26分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的. 1.以初速v0竖直上抛一小球.若不计空气阻力,在上升过程中,从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是2.下列粒子从初速为零的状态经过加速电压为U的电场之后,哪种粒子的速度最大?A.质子B.氘核C.a粒子D.钠离子Na+3.如图所示,一位于XY平面内的矩形通电线圈只能绕OX轴转动,线圈的四个边分别与X、Y轴平行.线圈中电流方向如图.当空间加上如下所述的哪种磁场时,线圈会转动起来?A.方向沿X轴的恒定磁场B.方向沿Y轴的恒定磁场C.方向沿Z轴的恒定磁场D.方向沿Z轴的变化磁场4.一质量为m的木块静止在光滑的水平面上.从t=0开始,将一个大小为F的水平恒力作用在该木块上.在t=t1时刻力F的功率是5.如图所示,以9.8米/秒的水平初速度v0抛出的物体,飞行一段时间后,垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上.可知物体完成这段飞行的时间是6.有两个物体a和b,其质量分别为ma和mb,且ma>mb.它们的初动能相同.若a和b分别受到不变的阻力Fa和Fb的作用,经过相同的时间停下来,它们的位移分别为Sa和Sb,则A.F a>F b且s a<s b B.F a>F b且s a>s bC.F a<F b且s a>s b D.F a<F b且s a<s b7.图中A、B是两块相同的均匀长方形砖块,长为l,叠放在一起,A砖相对于B砖右端伸出l/4的长度.B砖放在水平桌面上,砖的端面与桌边平行.为保持两砖都不翻倒,B砖伸出桌边的长度x的最大值是8.如图,一均匀木棒OA可绕过O点的水平轴自由转动.现有一方向不变的水平力F作用于该棒的A点,使棒从竖直位置缓慢转到偏角θ<90°的某一位置.设M为力F对转轴的力矩,则在此过程中A.M不断变大,F不断变小B.M不断变大,F不断变大C.M不断变小,F不断变小D.M不断变小,F不断变大- 2 --3 -9.一伏特计由电流表G 与电阻R 串联而成,如图所示.若在使用中发现此伏特计的读数总比准确值稍小一些,采用下列哪种措施可能加以改进?A .在R 上串联一比R 小得多的电阻B .在R 上串联一比R 大得多的电阻C .在R 上并联一比R 小得多的电阻D .在R 上并联一比R 大得多的电阻10.两带电小球,电量分别为+q 和-q,固定在一长度为l 的绝缘细杆的两端,置于电场强度为E的匀强电场中,杆与场强方向平行,其位置如图所示.若此杆绕过O 点垂直于杆的轴线转过180°,则在此转动过程中电场力做的功为A .零B .qE lC .2qE lD .πqE l11.图中ABCD 是一条长轨道,其中AB 段是倾角为θ的斜面,CD 段是水平的.BC 是与AB和CD 都相切的一小段圆弧,其长度可以略去不计.一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放,沿轨道滑下,最后停在D 点.A 点和D 点的位置如图所示.现用一沿着轨道方向的力推滑块,使它缓慢地由D 点推回到A 点时停下.设滑块与轨道间的摩擦系数为μ,则推力对滑块做的功等于-4 -12.M 和N 是绕在一个环形铁心上的两个线圈,绕法和线路如图.现将开关K 从a 处断开,然后合向b 处.在此过程中,通过电阻R2的电流方向是A .先由c 流向d,后又由c 流向dB .先由c 流向d,后由d 流向cC .先由d 流向c,后又由d 流向cD .先由d 流向c,后由c 流向d13.两端封闭的等臂U 形管中,两边的空气柱a 和b 被水银柱隔开.当U 形管竖直放置时,两空气柱的长度差为h,如图所示.现将这个管平放,使两臂位于同一水平面上,稳定后两空气柱的长度差为l,若温度不变则A .l>hB .l=hC .l=0D .l<h,l≠0二、本题共8小题;每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,至少有一项是正确的.各小题全选对的得3分,选对但不全的得1分,有选错的得0分.14.下列哪些是能量的单位?A .焦耳B .瓦特C .千瓦小时D .电子伏特15.下列固态物质哪些是晶体?A .雪花B .黄金C .玻璃D .食盐16.关于光谱,下面说法中正确的是A .炽热的液体发射连续光谱B .太阳光谱中的暗线说明太阳上缺少与这些暗线相应的元素C.明线光谱和暗线光谱都可用于对物质成分进行分析D.发射光谱一定是连续光谱17.恒定的匀强磁场中有一圆形的闭合导体线圈,线圈平面垂直于磁场方向.当线圈在此磁场中做下列哪种运动时,线圈中能产生感生电流?A.线圈沿自身所在的平面做匀速运动B.线圈沿自身所在的平面做加速运动C.线圈绕任意一条直径做匀速转动D.线圈绕任意一条直径做变速转动18.一束光从空气射向折射率n=2的某种玻璃的表面,如图所示.i代表入射角,则(A)当i>45°时会发生全反射现象(B)无论入射角i是多大,折射角r都不会超过45°(C)欲使折射角r=30°,应以i=45°的角度入射19.一矩形线圈,绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴转动.线圈中的感生电动势e 随时间t的变化如图所示.下面说法中正确的是A.t1时刻通过线圈的磁通量为零B.t2时刻通过线圈的磁通量的绝对值最大C.t3时刻通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大D.每当e变换方向时,通过线圈的磁通量绝对值都为最大- 5 -20.一物体从某一高度自由落下,落在直立于地面的轻弹簧上,如下页左图所示.在A点,物体开始与弹簧接触,到B点时,物体速度为零,然后被弹回.下列说法中正确的是A.物体从A下降到B的过程中,动能不断变小B.物体从B上升到A的过程中,动能不断变大C.物体从A下降到B,以及从B上升到A的过程中,速率都是先增大,后减小D.物体在B点时,所受合力为零21.一定质量的理想气体经历如上右图所示的一系列过程,ab、bc、cd和da这四段过程在p-T 图上都是直线段,其中ab的延长线通过坐标原点O,bc垂直于ab,而cd平行于ab.由图可以判断:A.ab过程中气体体积不断减小B.bc过程中气体体积不断减小C.cd过程中气体体积不断增大D.da过程中气体体积不断增大第Ⅱ卷(非选择题共50分)三、本题共8小题;每小题3分,共24分.把正确答案填在题中的横线上.22.一物体放在一倾角为θ的斜面上,向下轻轻一推,它刚好能匀速下滑.若给此物体一个沿斜面向上的初速度v0,则它能上滑的最大路程是.- 6 --7 -23.两个放射性元素的样品A 和B,当A 有15/16的原子核发生了衰变时,B 恰好有63/64的原子核发生了衰变.可知A 和B 的半衰期之比τA :τB = : .24.已知高山上某处的气压为0.40大气压,气温为零下30℃,则该处每立方厘米大气中的分子数为 .(阿伏伽德罗常数为6.0×1023摩-1,在标准状态下1摩尔气体的体积为22.4升.)25.在测定玻璃的折射率的实验中,对一块两面平行的玻璃砖,用"插针法"找出与入射光线对应的出射光线.现有甲、乙、丙、丁四位同学分别做出如图的四组插针结果.(1)从图上看,肯定把针插错了的同学是 .(2)从图上看,测量结果准确度最高的同学是 .26.在场强为E 、方向竖直向下的匀强电场中,有两个质量均为m 的带电小球,电量分别为+2q和-q .两小球用长为l 的绝缘细线相连,另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂于O 点而处于平衡状态,如图所示.重力加速度为g .细线对悬点O 的作用力等于 .27.如上页右下图所示的电路中,三个电阻的阻值相等,电流表A 1、A 2和A 3的内电阻均可忽略,它们的读数分别为I 1、I 2和I 3,则I 1:I 2:I 3= : : .-8 -28.一质量为m 、电量为q 的带电粒子在磁感应强度为B 的匀强磁场中作圆周运动,其效果相当于一环形电流,则此环形电流的电流强度I= .29.一列简谐波在x 轴上传播,波速为50米/秒.已知t=0时刻的波形图象如图(1)所示,图中M 处的质点此时正经过平衡位置沿y 轴的正方向运动.将t=0.5秒时的波形图象画在图(2)上(至少要画出一个波长).四、本题包括2小题,共8分.其中(31)题的作图可用铅笔.在用电流表和电压表测电池的电动势和内电阻的实验中,所用电流表和电压表的内阻分别为0.1欧姆和1千欧姆.下面分别为实验原理图及所需的器件图.30.试在下图中画出连线,将器件按原理图连接成实电路.31.一位同学记录的6组数据见表.试根据这些数据在下图中画出U-I 图线.根据图线读出电池的电动势ε= 伏,根据图线求出电池内阻r= 欧.9 -五、本题包括3小题,共18分.要求写出必要的文字说明、方程式和演算步骤.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.32.(5分)图中ε=10伏,R1=4欧,R2=6欧,C=30微法,电池内阻可忽略.(1)闭合开关K,求稳定后通过R1的电流.(2)然后将开关K断开,求这以后流过R1的总电量.33.(5分)用焦距8厘米的凸透镜,使一根每小格为1毫米的直尺成像在直径是6.4厘米的圆形光屏上.要求光屏上显示16个小格,应将直尺放在离透镜多远的地方?已知直尺和光屏都垂直于透镜的主光轴,光屏的圆心在主光轴上,直尺与主光轴相交.34.(8分)在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B,质量分别为m和2m,当两球心间的距离大于l(l比2r大得多)时,两球之间无相互作用力:当两球心间的距离等-于或小于l时,两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A球从远离B球处以速度v0沿两球连心线向原来静止的B球运动,如图所示.欲使两球不发生接触,v0必须满足什么?条件- 10 -1991年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)物理参考答案一、答案及评分标准:全题26分,每小题2分.答错的或不答的,都给0分.1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C8.B 9.D 10.C 11.B 12.A 13.A二、答案及评分标准:全题24分,每小题3分.每小题全选对的给3分,选对但不全的给1分,有选错的给0分,不答的给0分.14.A,C,D.15.A,B,D.16.A,C.17.C,D.18.B,C,D.19.D.20.C.21.B,C,D.三、答案及评分标准:全题24分,每小题3分.答案正确的,按下列答案后面括号内的分数给分;答错的,不答的,都给0分.22.23.3:2 (3分)24.1.2×1019 (3分)(答1×1019或答数在1.0×1019—1.3×1019范围内的,都给3分.)25.乙(1分).丁(2分)26.2mg+qE (3分)27.3:2:2 (3分)(只要有一个比例不对就给0分.)28.q2B/2πm (3分)29.(3分)(波形图象至少要画出一个波长,否则不给这3分.)四、参考解答及评分标准:30.参考解答如图.- 11 -评分标准:本题3分,接线出现任何错误都不给这3分.31.参考解答如图.ε=1.46伏,r=0.72欧.评分标准:全题5分.正确画得U-I图线给2分.U-I图上由各组数据标出的六个点的位置要准确,连直线时第四组数据(0.32安,1.18伏)标出的点应该舍去不顾.ε的答数在1.46±0.02伏范围内的都给1分.r的答数在0.72±0.05欧范围内的都给2分.五、参考解答及评分标准.32.解:(1)①(2)断开前,电容器上电压为IR2,储存的电量为q1=CIR2 ②断开,待稳定后,电容器上电压为ε,储存的电量为q2=Cε③流过R1的总电量为- 13 -△q=C (ε-IR 2) ④=1.2×10-4库评分标准:本题5分.得出①、②、③、④式,各给1分.算出数值再给1分.33.解:按题目的要求,在屏上能成像的一段物高y=1.6厘米.屏直径即像高y '=6.4厘米.②所以直尺到透镜的距离应是10厘米.评分标准:全题5分.得出①式给3分.得出②式给1分.明确表示出直尺到透镜的距离为10厘米再给1分.34.解一:A 球向B 球接近至A 、B 间的距离小于l 之后,A 球的速度逐步减小,B 球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A 、B 的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2r,则两球就不会接触.所以不接触的条件是v 1=v 2①l +s 2-s 1②其中v 1、v 2为当两球间距离最小时A 、B 两球的速度;s 1、s 2为两球间距离从l 变至最小的过程中,A 、B 两球通过的路程.由牛顿定律得A 球在减速运动而B 球作加速运动的过程中,A 、B 两球的加速度大小为③设v 0为A 球的初速度,则由匀加速运动公式得联立解得⑥解二:A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后,A球的速度逐步减小,B球从静止开始加速运动,两球间的距离逐步减小.当A、B的速度相等时,两球间的距离最小.若此距离大于2r,则两球就不会接触.所以不接触的条件是=v2①l+s2-s1②1其中v 1、v2为当两球间距离最小时A、B两球的速度;s1、s2为两球间距离从l变至最小的过程中,A、B两球通过的路程.设v0为A球的初速度,则由动量守恒定律得=mv1+2mv2 ③由动能定理得联立解得⑥评分标准:全题共8分.得出①式给1分.得出②式给2分.若②式中">"写成"≥"的也给这2分.在写出①、②两式的条件下,能写出③、④、⑤式,每式各得1分.如只写出③、④、⑤式,不给这3分.得出结果⑥再给2分.若⑥式中"<"写成"≤"的也给这2分.。
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[重点难点] 重难点:对几种常见化肥的签别。
[教学准备] 教师准备: pH试纸、玻璃棒、烧杯、试管、酒精灯、红色石蕊试纸、三角架、铁片、熟石灰、氢氧化钠溶液、碳酸氢铵、硫酸铵、氯化铵、磷矿粉、过磷酸钙、硫酸钾、氯化钾。
[教学过程] 五、实验探究,学会鉴别 师生活动设计意图[师]化学肥料在农业生产中广泛的应用,我们在座的同学中在将来可能会从事农业方面的工作,那么我们怎样鉴别常见的化学肥料呢? [学生探究] 探究一:比较氮肥(氯化铵、碳酸氢铵)、磷肥(磷矿粉、过磷酸钙) 和钾肥(硫酸钾、氯化钾)的外观、气味和在水中的溶解性。
氮肥 磷肥 钾肥 碳酸氢铵 氯化铵 磷矿粉 过磷酸钙 硫酸钾 氯化钾 外观 气味 溶解性 [学生探究] 探究二:取研细的氮肥(硫酸铵、氯化铵)、钾肥(硫酸钾、 氯化钾)各0.5克,分别放在铁片上灼烧, 观察现象. 再取上述化肥各少量,分别加入少量熟石灰粉末,混合、研磨,能否嗅到气味? 氮肥 钾肥 硫酸铵 氯化铵 硫酸钾 氯化钾 灼烧 加熟石灰研磨 [师]铵根离子的检验:碱(或碱性)溶液,湿润的红色石蕊试纸 [师]1.NH4HCO3 为什么不能与草木灰混合在一起使用? 2.为什么土壤不能长期使用某一种化肥? [补充实验]用pH试纸测定碳酸氢铵、硫酸铵、过磷酸钙、碳酸钾溶液的pH。
[师]根据探究,归纳初步区分氮肥、磷肥和钾肥的步骤和方法 [生]归纳小结: 氮肥 钾肥 磷肥 看外观 加水 灼烧 加熟石灰 [投影]农村中常用的鉴别化肥的方法. 在农村,人们总结出以下鉴别化肥的简易方法。
一看:液态化肥,有刺激性氨臭气味的是氨水;像鱼卵的白色固体,一般是尿素;灰色粉未或颗粒,一般是过磷酸钙;黄褐色或灰褐色粉未一般是磷矿粉;白色晶体可能是硫铵、碳铵、氯化钾等。
二闻:直接闻,有明显氨臭味的是碳铵(易分解放出氨气);用拇指和食指将石灰与白色晶体混合揉搓,有氨臭气味的是硫铵或硝铵。
三溶:灰色粉未部分溶于水,且溶液有酸味的是过磷酸钙;黄褐色或灰褐色粉未不溶于水的是磷矿粉。
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学(试卷一)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1)设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12,则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz dx =.(3)已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --==,则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y +z + 2 = 0 .(4)已知当0x →时,21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小,则常数a =3/2-.(5)设4阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题:(本题满分15分,每小题3分) (1)曲线2211x x ee y ---+=(D )(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ,则f (x) 等于(B) (A )2ln xe (B )2ln 2xe(C )2ln +x e (D )2ln 2+xe .(3)已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a , 则级数∑∞=1n na等于 (C)(A )3(B )7(C )8(D )9(4)设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域,D 1是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A )(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 0.(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E , 其中E 是n 阶单位阵,则必有(D)(A)ACB = E(B)CBA = E (C)BAC = E (D)BCA = E 三、(本题满分15分,每小题3分)(1)求0lim )xx π→+解原式ln 0lim c xx e π+⋅→=0limln x c xeπ+→⋅=……2分0x e π→⋅=……4分 2eπ-=.……5分(2)设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量,求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解:462n i j k =++ .……1分Px u ∂==∂Pyu ∂==∂Pu z∂==∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P Pu uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂117=+=.……5分 (3)求dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.解22422202()()r xy z dv d r z dzπθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分350528)8r r r drπ=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解:33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去,且1a =是()I a 在+)∞(0,内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数∑∞=121n n的和. 解:由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数,所以1002(2)5a x dx =+=⎰, ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件,故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑,[1,1]x ∈-……5分 令0x =,有 22054122(21)k k π∞==-+∑,即2201(21)8k k π∞==+∑于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑,因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.解:由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ,使23111()()3f x dx f c =⎰, ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件,因此在1(0,)c 内存在一点c ,使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α,)5,3,1,1(2=α,)1,2,1,1(3+-=a α,)8,4,2,1(4+=a α,)5,3,1,1(+=b β, 问:(1),a b 为何值时,β不能表示成4321,,,αααα的线性组合?(2),a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一线性表示式?并写出表示式.解:设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩……2分因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时,β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时,表示式唯一,且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A+E 的行列式大于1.解一:因A 是正定阵,故存在正交阵Q ,使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏,从而||1A E +>.……6分解二:因A 是正定阵,故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解:曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +,从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+(0y '=也满足上式)……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++,即2''1'yy y =+……3分 且当1x =时,1,'0y y ==.……4分令'y p =,则''dp y p dy =,代入方程得21dp yp p dy=+,或21p dydp p y =+积分并注意到1y =时,0p =,使得y =……6分代入dyp dx =,得'y dx ==±积分上式,并注意到1x =时1y =,得ln((1)y x =±-.因此所求曲线方程为(1)1(1)1()2x x x y ey e e ±----==+ 即.……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1)若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{24}0.3P X <<=,则{0}P X <= 0.2 .(2)随机地向半圆0(0)y a <<>内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x , 求Z =X +2Y 的分布函数.解:2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy+≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时,{0}0P Z ≤=.当0z >时,(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy--+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学(试卷二)一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1)求3+∞⎛⎜⎠解:33+∞+∞=⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=,则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠……3分2232(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2)计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰,其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧.解一:设1,2,1,,D S S S Ω如图所示,记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy=-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰,……3分2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二:设2,D S 如上图所示,则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分2D =-⎰⎰……3分22202dx --=-⎰⎰……4分222(2x -=--⎰……5分248π-=-=-⎰.……6分(3)【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题】数 学(试卷三)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1)设)31ln(xy -+=,则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2)曲线2x e y -=的向上凸区间是(22-.(3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4)质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动,则从时刻1t=π=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题:(本题满分15分,每小题3分)(1)若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切,其中,a b 是常数,则(D)(A)0,2a b ==-(B)1,3a b ==-(C)3,1a b =-=(D)1,1a b =-=-(2)设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ,记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰,则(B )(A)()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩(B)()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩(D )()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3)设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义,00≠x 是函数()f x 的极大点,则(B)(A) 0x 必是()f x 的驻点(B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点(D)对一切x ,都有)()(0x f x f ≤.(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dxa x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D)1222()km dx a x μ+⎰三、(本题满分25分,每小题5分)(1)设⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos , 求22dx y d 解:sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-, ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2)计算⎰+41)1(x x dx 解:令t =2,2x t dx tdt ==,于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分211121dtt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+……4分 42ln 3=.……5分(3)求20sin lim (1)xx x xx e →--解:原式30sin limx x xx →-=……2分 201cos lim 3x x x →-=……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4)求⎰xdxx 2sin解:原式1cos22xxdx -=⎰……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5)求微分方程xxe y xy =+2满足(1)1y =的特解解:()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+……4分当1,1x y ==代入,得1C =,所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明:当1x >时,有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一:令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>,所以在[1,)+∞中,有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->, 故当1x >时,有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解: 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==,所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==,所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x -1)(x -2)和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解:在[1,2]上取积分元,得2||dV x y dx π=, ……4分 于是有212||V x y dxπ=⎰……6分 212(1)(2)x x x dxπ=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图,A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且1,1:2:<=AB DC AB , 求点B 和C 的坐标,使梯形ABCD 的面积最大.解: 设B ,C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=,由此可得1ln 22x x =-.……2分又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-, ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=,得驻点11ln 223x =+, ……7分由于当11ln 223x <+时,0S '>;当11ln 223x >+时,0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点,又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且()f x x =,),0[π∈x ,计算⎰ππ3)(dx x f .解一:333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学(试卷四)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1)设sin xyz e =,则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2)设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-,且在点(1,0)-有公共切线,则a = -1 ,b =-1 ,c = 1 . (3)设x xe x f =)(,则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4)设A 和B 为可逆矩阵,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵,则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5)设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题:(本题满分15分,每小题3分) (1)下列各式中正确的是(A )(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) exx x =+-∞→)11(lim (2)设n a n 10<≤(n=1,2,… ),则下列级数中肯定收敛的是(D )(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n nna (C)∑∞=1n na (D)∑∞=-12)1(n nna (3)设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)nA1-λ(B)A1-λ(C)Aλ(D)nAλ(4)A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论正确的是(D)(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容 (C)P (AB )=P (A )P (B )(D)P (A -B )=P (A)(5)对于任意两个随机变量X 和Y ,若E (X Y )= E X E Y ,则(B )(A)D (X Y )=D X D Y (B )D (X +Y )=D X +D Y (C)X 和Y 独立(D )X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解:原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式,因此由罗比塔法则,有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域;0,0a b >>.解:积分区域D 如图中阴影部分所示.1=,得21y b ⎛= ⎝.因此(10ab I dx ydy=⎰⎰……2分240(12ab dx =⎰.……3分令1t =()21x a t =-,2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. ……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解:原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,可见是齐次微分方程.……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有,将其代入上式,得21du u u xdx u ++=,……2分 即1du x dx u =,du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式,得通解222(ln ||)y x x C =+,……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =,于是,所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分,其a 是大于零的常数,试确定的a 值.解:由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立,可解得故曲线12L L 与的交点P的坐标为. ……1分于是223101)][(1)3S x ax dy x a x =--=-+=……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰,……4分 从而113S =.13=,……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1P 和2P ,销量分别为1q 和2q ,需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=,总成本函数为)(403521q q c ++=, 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?解:总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+-……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件,得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩, 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知,当1280,120p p ==时,厂家所获得的总利润最大, 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间),0(+∞内单调增加.证:由1()exp{ln(1)}f x x x =+,有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+. ……2分记11()ln(1)1g x x x=+-+,对于任意(0,)x ∈+∞,有21()0(1)g x x x '=-<+,故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.……3分 由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+,……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞,有11()ln(1)01g x x x=+->+,……5分 从而,()0f x '>,(0,)x ∈+∞.于是,函数()f x 在(0,)+∞上单调增加.……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦,3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ, 问λ取何值时,(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2)β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一?(3)β不能由123,,ααα线性表示?解:设112233x x x αααβ++=,得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分(1)若03λλ≠≠-且,则方程组有唯一解,β可由3,21,a a a 唯一地线性表示.……4分(2)若0λ=,则方程组有无穷多个解,β可由3,21,a a a 线性表示,但表达式不唯一.……5分(3)若3λ=-,则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩,故方程组无解,从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ,问λ取何值时,为正定二次型?解:二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是:A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为:110D =>,22144D λλλ==-,2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-, ……4分于是,二次型f 正定的充分必要条件是:230,0D D >>,由2240D λ=->,可见22λ-<<;由34(1)(2)0D λλ=--+>,可见21λ-<<. 于是,二次型f 正定,当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .解:记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ,则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ,……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==,因此,||0A ≠与0D ≠等价.于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布, (1)求X 和Y 的相关系数ρ;(2)问X 和Y 是否独立?解:(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若, ……1分故X的密度为121()(||)p x x r r π==≤,同理,Y的密度为2()(||)p y y r ≤……2分于是220rrEX r π-==⎰,220rrEY r π-==⎰,……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰,……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2)由于12(,)()()p x y p x p y ≠,故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ,其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量λˆ. 解:似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ;, ……2分由对数似然方程,有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑,……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学(试卷五)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5)[91-5] 设A ,B 为随机事件,P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则6.0)(=B A P 二、选择题:(本题满分15分,每小题3分)(1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)设数列的通项为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12,则当∞→n ,n x 是(D )(A )无穷大量(B )无穷小量 (C)有界变量(D )无界变量(3)设A 与B 为n 阶方阵,且AB ,则必有(C)(A)0A =或0B = (B) AB BA=(C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4)设A 是m ⨯n 矩阵,A x =0是非齐次线性方程组A x =b 所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是(D)(A)若Ax =0仅有零解,则A x = b 有唯一解(B)若Ax =0有非零解,则Ax =b 有无穷多个解(C)若Ax =b 有无穷多个解,则Ax =0仅有零解(D)若Ax =b 有无穷多个解则Ax =0有非零解(5)【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解:原式11lim (lim exp{ln(exp{lim xx x x x x x →+∞→+∞→+∞===,其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则,有lim lim lim 0x x x →+∞===, ……4分 于是10lim ()1x x x e →+∞==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解:01221(1)(31)I x dx x dx-=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=.……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdxx x I ⎰+=221解:21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰……2分 221arctan (arctan )12xx x dx x x =--+⎛⎜⎠……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ,其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证:[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证:将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数,得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂, ……2分 于是,有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+, ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y ∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞++.证:记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+,有21()0(1)f x x x '=-<+, ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+,……5分 故对于任意0x <<+∞,()0f x >,即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A +B =AB ,(1)证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵;(2)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解:由A +B =AB ,有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E , ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式,知B -E 也为可逆矩阵,且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,11/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭, ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四第九题】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量,求常数k 的值.解:设λ是α所属的特征值,则1a a λ-=A ,a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩,其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时,α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶,需要经过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.(1)求X 的概率分布; (2)求XE +11. 解:(1)由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”;则123,,A A A 相互独立,且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===,1221(1}()2P X P A A ===,12331(2}()2P X P A A A ===,12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 (2)11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200-240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压X 服从正态分布N (220,252 ),试求 :(1)该电子元件损坏的概率α;(2)该电子元件损坏时,电源电压在200-240伏的概率β.[附表] (表中)(x Φ是标准正态分布函数)解:引进下列事件:1A ={电压不超过200伏},2A ={电压在200-240伏},3A ={电压超过240伏};B ={电子元件损坏}.因2~(220,25)X N ,故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=,2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=;3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 (1)由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是,由全概率公式,有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑,……5分 (2)由贝叶斯公式,得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1991高考数学全国卷及答案理
1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学(理工农医类)考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分一、选择题:本大题共15小题;每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1) 已知sin α=54,并且α是第二象限的角,那么tg α的值等于 ( )(A) 34-(B) 43- (C) 43 (D) 34(2) 焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 ( )(A) y 2=8(x+1) (B) y 2=-8(x+1)(C) y 2=8(x -1)(D) y 2=-8(x -1)(3)函数y =cos 4x -sin 4x 的最小正周期是 ( )(A)2π(B) π(C) 2π(D) 4π(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有( )(A) 12对 (B) 24对(C) 36对(D) 48对(5) 函数y =sin(2x+25π)的图像的一条对称轴的方程是 ( ) (A) x =-2π (B) x =-4π (C) 8π=x(D) 45π=x(6) 如果三棱锥S -ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S 在底面的射影O 在△ABC 内,那么O 是△ABC 的( )(A) 垂心(B) 重心(C) 外心(D) 内心(7) 已知{a n }是等比数列,且a n >0,a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于 ( ) (A) 5(B) 10(C) 15(D) 20(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=θcos 3516-,那么它的焦点的极坐标为 ( )(A) (0,0),(6,π)(B) (-3,0),(3,0)(C) (0,0),(3,0) (D) (0,0),(6,0)(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )(A) 140种(B) 84种(C) 70种(D) 35种(10) 如果AC <0且BC <0,那么直线Ax+By+C =0不通过... ( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(11) 设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )(A) 丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B) 丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C) 丙是甲的充要条件(D) 丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 (12) )]511)(411)(311([lim ---∞→n n (1)21+n )]的值等于 ( )(A) 0 (B) 1(C) 2(D) 3(13) 如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f (x )在区间[-7,-3]上是( )(A) 增函数且最小值为-5 (B) 增函数且最大值为-5 (C) 减函数且最小值为-5(D) 减函数且最大值为-5(14) 圆x 2+2x+y 2+4y -3=0上到直线x +y +1=0的距离为2的点共有 ( ) (A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个(15) 设全集为R ,f (x )=sin x ,g (x )=cos x ,M ={x |f (x )≠0},N ={x |g (x )≠0},那么集合 {x |f (x )g (x )=0}等于( )(A) N M ⋂ (B)N M(C)N M(D)N M二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.(16) arctg31+arctg 21的值是____________ (17) 不等式226-+x x <1的解集是___________(18) 已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于(19) (ax+1)7的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项.若实数a >1,那么a =(20) 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果P A 、PB 、PC 两两互相垂直,且P A =PB =PC =a .那么这个球面的面积是三、解答题:本大题共6小题;共60分.(21) (本小题满分8分)求函数y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x 的最小值,并写出使函数y 取最小值的x 的集合. (22) (本小题满分8分)已知复数z =1+i , 求复数1632++-z z z 的模和辐角的主值.(23) (本小题满分10分)已知ABCD 是边长为4的正方形,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,GC 垂直于ABCD 所在的平面,且GC =2.求点B 到平面EFG 的距离.(24) (本小题满分10分)根据函数单调性的定义,证明函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. (25) (本小题满分12分)已知n 为自然数,实数a >1,解关于x 的不等式 log a x -log 2a x +12log 3a x +…+n (n -2)1-n log n a x >3)2(1n--log a (x 2-a )(26) (本小题满分12分)双曲线的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为53的直线交双曲线于P 、Q 两点.若OP ⊥OQ ,|PQ |=4,求双曲线的方程.1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种较为常见的解法,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则.二、每题都要评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响的程度决定后面部分的给分,但不得超过后面部分应给分数的一半;如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分.三、为了阅卷方便,本试题解答中的推导步骤写得较为详细,允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤.四、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 五、只给整数分数.一、选择题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分45分.(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D (9)C (10)C (11)A (12)C (13) B (14)C (15)D二、填空题.本题考查基本知识和基本运算.每小题3分,满分15分.(16) 4 (17) {x |-2<x <1} (18) 314 (19) 1+510(20) 3πa 2三、解答题(21) 本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质.满分8分. 解:y =sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x=(sin 2x +cos 2x )+2sin x cos x +2cos 2x ——1分 =1sin2x (1+cos2x ) ——3分=2+sin2x +cos2x =2+2sin(2x+4π). ——5分 当sin(2x+4π)=-1时y 取得最小值2-2. ——6分 使y 取最小值的x 的集合为{x |x =k π-83π,k ∈Z }. ——8分(22) 本小题考查复数基本概念和运算能力.满分8分.解:1632++-z z z =116)1(3)1(2++++-+i i i=ii+-23 ——2分 =1-i . ——4分1-i 的模r=22)1(1-+=2.因为1-i 对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=-1,所以辐角的主值 θ=47π. ——8分 (23) 本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.满分10分.解:如图,连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O . 因为ABCD 是正方形,E 、F 分别为AB 和AD 的中点,故EF ∥BD ,H 为AO 的中点.BD 不在平面EFG 上.否则,平面EFG 和平面ABCD 重合,从而点G 在平面的ABCD 上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ,所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离. ——4分∵ BD ⊥AC ,∴ EF ⊥HC . ∵ GC ⊥平面ABCD , ∴ EF ⊥GC , ∴ EF ⊥平面HCG .∴ 平面EFG ⊥平面HCG ,HG 是这两个垂直平面的交线. ——6分 作OK ⊥HG 交HG 于点K ,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ,所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离. ——8分∵ 正方形ABCD 的边长为4,GC =2, ∴ AC=42,HO =2,HC =32. ∴ 在Rt △HCG 中,HG =()2222322=+.由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的,故Rt △HKO ∽△HCG . ∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO . 即点B 到平面EFG 的距离为11112. ——10分 注:未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分.(24) 本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.满分10分. 证法一:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2且x 1<x 2 ——1分则f (x 2) -f (x 1) =3231x x -= (x 1-x 2) (222121x x x x ++) ——3分 ∵ x 1<x 2,∴ x 1-x 2<0. ——4分当x 1x 2<0时,有222121x x x x ++= (x 1+x 2) 2-x 1x 2>0; ——6分 当x 1x 2≥0时,有222121x x x x ++>0;∴ f (x 2)-f (x 1)= (x 1-x 2)(222121x x x x ++)<0. ——8分 即 f (x 2) < f (x 1)所以,函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分 证法二:在(-∞,+∞)上任取x 1,x 2,且x 1<x 2, ——1分则 f (x 2)-f (x 1)=x 31-x 32= (x 1-x 2) (222121x x x x ++). ——3分∵ x 1<x 2,∴ x 1-x 2<0. ——4分 ∵ x 1,x 2不同时为零, ∴ x 21+x 22>0. 又 ∵ x 21+x 22>21(x 21+x 22)≥|x 1x 2|≥-x 1x 2∴ 222121x x x x ++>0, ∴ f (x 2)-f (x 1) = (x 1-x 2) (222121x x x x ++)<0. ——8分 即 f (x 2) < f (x 1).所以,函数f (x )=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. ——10分 (25) 本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.满分12分.解:利用对数换底公式,原不等式左端化为 log a x -4·2log log a x a a +12·3log log a x a a +…+n (-2)n -1 ·na a a x log log=[1-2+4+…+(-2)n -1] log a x=3)2(1n--log a x故原不等式可化为3)2(1n --log a x >3)2(1n--log a (x 2-a ). ①当n 为奇数时,3)2(1n-->0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ② 因为a >1,②式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧<-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧++<<+->⇔24112411a x a a x ——6分因为2411a +-<0, 2411a ++>24a=a ,所以,不等式②的解集为{x |a <x <2411a++}. ——8分当n 为偶数时,3)2(1n--<0,不等式①等价于log a x >log a (x 2-a ). ③ 因为a >1,③式等价于⎪⎩⎪⎨⎧-<>->a x x a x x 2200 ⎪⎩⎪⎨⎧>-->>⇔002a x x ax x ⎪⎩⎪⎨⎧+-<>⇔2411a x a x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧++>>2411a x ax ——10分 因为,,a aa a =>++<+-24241102411 ——12分 所以,不等式③的解集为{x |x >2411a++}.综合得:当n 为奇数时,原不等式的解集是{x|2411ax a ++<<};当n 为偶数时,原不等式的解集是{x |2411ax ++>}(26) 本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.满分12分.解法一:设双曲线的方程为2222by a x -=1.依题意知,点P ,Q 的坐标满足方程组① ② ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-222222531b ac c x y b y ax 其中 将②式代入①式,整理得(5b 2-3a 2)x 2+6a 2cx -(3a 2c 2+5a 2b 2)=0.③ ——3分设方程③的两个根为x 1,x 2,若5b 2-3a 2=0,则a b =53,即直线②与双曲线①的两条渐近线中的一条平行,故与双曲线只能有一个交点同,与题设矛盾,所以5b 2-3a 2≠0.根据根与系数的关系,有22221356a b ca x x -=+ ④222222213553ab b ac a x x -+-= ⑤ ——6分 由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为 P (x 1,53(x 1-c )),Q (x 2,53(x 2-c )). 由OP ⊥OQ 得11)(53x c x -·22)(53x c x -=-1, 整理得3c (x 1+x 2)-8x 1x 2-3c 2=0.⑥将④,⑤式及c 2=a 2+b 2代入⑥式,并整理得 3a 4+8a 2b 2-3b 4=0, (a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0. 因为a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2,所以 c =22b a +=2a . ——8分 由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2=[53(x 2-c )-53(x 1-c )]2=42. 整理得(x 1+x 2)2-4x 1x 2-10=0. ⑦将④,⑤式及b 2=3a 2,c =2a 代入⑦式,解得a 2=1. ——10分 将a 2 =1代入b 2=3a 2 得 b 2=3.故所求双曲线方程为x 2-32y =1. ——12分解法二:④式以上同解法一. ——4分解方程③得x 1=222235403a b ab c a -+-,x 2=222235403ab abc a --- ④ ——6分 由于P 、Q 在直线y =53(x -c )上,可记为P (x 1,53(x 1-c)),Q (x 2,53(x 2-c)). 由OP ⊥OQ ,得x 1 x 2+53(x 1-c)·53(x 2-c)=0. ⑤ 将④式及c 2=a 2b 2代入⑤式并整理得 3a 4+8a 2b 2-3b 4=0, 即 (a 2+3b 2)(3a 2-b 2)=0.因a 2+3b 2≠0,解得b 2=3a 2. ——8分 由|PQ |=4,得(x 2-x 1)2+[53(x 2-c)-53(x 1-c)]2=42. 即 (x 2-x 1)2=10.⑥将④式代入⑥式并整理得(5b 2-3a 2)2-16a 2b 4=0. ——10分 将b 2=3a 2代入上式,得a 2=1, 将a 2=1代入b 2=3a 2得b 2=3. 故所求双曲线方程为x 2-32y =1. ——12分。
考研数学一(1990-2005)历年真题详细解析
−2
5
0
0
(5)【答案】
0
0
1 3
2 3
.
0
0
−1 3
1 3
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换 ,也可用分块求逆.根据
本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意:
A
0
0 B
−1
=
A−1 0
0 0
B
−1
,
B
A −1
0
=
0 A−1
B−1 .
1
x −1 y − 2 z −3 1 0 −1 =0 , 211
即 x − 3y + z + 2 =0 .
(4)【答案】 − 3 2
【解析】因为当
x
→
0
时, sin
x
x, (1+
1
x)n
−1
1 n
x
,
当 x → 0 时ax2
1
)3
−1
1 3
ax2
,
cos
x
−1
=−
0
a b
对于
2
阶矩阵的伴随矩阵有规律:
A
=
c
d
,则求
A
的伴随矩阵
= A*
a
b
∗
= c d
d
−c
−b
a
.
如果 A ≠ 0 ,这样
2
a b −1 = c d
= 1A −dc −ab
1 d
ad
− bc
−c
−b
a
.
A
再利用分块矩阵求逆的法则:
1991考研数学试题全及答案
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学(试卷一)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1) 设 ⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12,则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2) 由方程 2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分2dz dx dy =.(3) 已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --== ,则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y +z + 2 = 0 .(4) 已知当0x →时,21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小,则常数a =3/2-.(5) 设4阶方阵A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题:(本题满分15分,每小题3分) (1) 曲线 2211x x ee y ---+=(D )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ,则f (x) 等于 (B)(A )2ln x e (B )2ln 2x e (C )2ln +x e (D )2ln 2+xe .(3) 已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a , 则级数∑∞=1n na等于 (C)(A ) 3 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9(4) 设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域,D 1是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 (A )(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰ (C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0.(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E , 其中E 是n 阶单位阵,则必有 (D)(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E三、(本题满分15分,每小题3分)(1) 求0lim )x x x π→+解 原式ln 0lim c xxx e π+⋅→=0limln x c xxeπ+→⋅=……2分 0sin 1cos 2x x x xe π→-⋅⋅-=……4分 2eπ-=.……5分(2) 设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量,求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解:462n i j k =++ .……1分2261468Px z x x y u +∂==∂2281468Py z x yy u +∂==∂2226814Pu zx y z +∂=-=∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P P u uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂111471414141414=+=.……5分 (3) 求 dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω,其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.解228422202()()r xy z dv d r z dz πθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分 8350528)8r r r dr π=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解:33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去,且1a =是()I a 在+)∞(0,内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数∑∞=121n n的和. 解:由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数,所以1002(2)5a x dx =+=⎰, ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件,故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑,[1,1]x ∈- ……5分 令0x =,有 22054122(21)k k π∞==-+∑,即2201(21)8k k π∞==+∑ 于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑,因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.解:由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ,使23111()()3f x dx f c =⎰, ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件,因此在1(0,)c 内存在一点c ,使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α,)5,3,1,1(2=α,)1,2,1,1(3+-=a α,)8,4,2,1(4+=a α,)5,3,1,1(+=b β, 问:(1) ,a b 为何值时,β不能表示成4321,,,αααα的线性组合?(2) ,a b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一线性表示式?并写出表示式.解:设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩ ……2分 因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时,β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时,表示式唯一,且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A+E 的行列式大于1.解一:因A 是正定阵,故存在正交阵Q ,使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分 其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏,从而||1A E +>.……6分解二:因A 是正定阵,故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解:曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +,从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+ (0y '=也满足上式)……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++,即2''1'yy y =+ ……3分 且当1x =时,1,'0y y ==. ……4分令'y p =,则''dp y p dy =,代入方程得21dp yp p dy=+,或21p dydp p y =+ 积分并注意到1y =时,0p =,使得21y p =+……6分代入dyp dx =,得22'1,1y y dx y =±-=±- 积分上式,并注意到1x =时1y =,得2ln(1)(1)y y x -=±-.因此所求曲线方程为2(1)1(1)11()2x x x y y ey e e ±-----==+ 即. ……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{24}0.3P X <<=,则{0}P X <= 0.2 .(2) 随机地向半圆202(0)y ax x a <<->内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ,Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x , 求Z =X +2Y 的分布函数.解:2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时,{0}0P Z ≤=.当0z >时,(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy --+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学(试卷二)一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1) 求423(1)2x x x+∞--⎛⎜⎠解:424233(1)2(1)(1)1x x x x x +∞+∞=-----⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=,则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠ ……3分223233(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2) 计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰,其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧.解一:设1,2,1,,D S S S Ω如图所示, 记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy =-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰, ……3分 2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二:设2,D S 如上图所示,则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分 2224D x dzdx =--⎰⎰……3分 2222024dx x dx --=--⎰⎰……4分 2222(2)4x x dx -=---⎰……5分 22448x dx π-=--=-⎰.……6分(3) 【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学(试卷三)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1) 设)31ln(xy -+=,则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2) 曲线2x e y -=的向上凸区间是22(22-. (3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4) 质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动,则从时刻1t =2ππ=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题:(本题满分15分,每小题3分)(1) 若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切,其中,a b 是常数,则 (D)(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ,记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰,则 (B )(A) ()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) ()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) ()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D )()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义,00≠x 是函数()f x 的极大点,则 (B)(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x ,都有)()(0x f x f ≤. (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】(5) 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dx a x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D) 1222()km dxa x μ+⎰三、(本题满分25分,每小题5分)(1) 设 ⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos , 求 22dx y d 解:sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-, ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2) 计算⎰+41)1(x x dx解:令t x =2,2x t dx tdt ==,于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分 211121dt t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+ ……4分 42ln 3=.……5分(3) 求 20sin lim (1)x x x xx e →--解:原式30sin lim x x xx →-=……2分 201cos lim 3x xx →-= ……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4) 求⎰xdx x 2sin解:原式1cos22xxdx -=⎰ ……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰ ……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰ ……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5) 求微分方程xxe y xy =+2 满足(1)1y =的特解解:()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+ ……4分当1,1x y ==代入,得1C =,所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明:当1x >时,有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一:令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>,所以在[1,)+∞中,有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->, 故当1x >时,有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解: 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==,所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==,所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x -1)(x -2)和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解:在[1,2]上取积分元,得2||dV x y dx π=, ……4分 于是有212||V x y dx π=⎰……6分 212(1)(2)x x x dx π=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图,A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且1,1:2:<=AB DC AB , 求点B 和C 的坐标,使梯形ABCD 的面积最大.解: 设B ,C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=,由此可得1ln 22x x =-. ……2分 又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-, ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=,得驻点11ln 223x =+, ……7分由于当11ln 223x <+时,0S '>;当11ln 223x >+时,0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点,又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且()f x x =,),0[π∈x ,计算⎰ππ3)(dx x f .解一:333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学(试卷四)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分)(1) 设sin xyz e =,则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2) 设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-,且在点(1,0)-有公共切线,则a = -1 ,b = -1 ,c = 1 . (3) 设x xe x f =)(,则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4) 设A 和B 为可逆矩阵,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵,则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5) 设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题:(本题满分15分,每小题3分)(1) 下列各式中正确的是 (A )(A) 1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) e xxx =+-∞→)11(lim(2) 设n a n 10<≤ (n=1,2,… ),则下列级数中肯定收敛的是 (D )(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n n na (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n n na(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)n A 1-λ (B) A 1-λ (C) A λ (D) nA λ(4) A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论正确的是 (D)(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容(C) P (AB )=P (A )P (B ) (D) P (A -B )=P (A)(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若E (X Y )= E X E Y ,则 (B )(A) D (X Y )=D X D Y (B ) D (X +Y )=D X +D Y (C) X 和Y 独立 (D ) X 和Y 不独立 三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解:原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式,因此由罗比塔法则,有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域;0,0a b >>.解:积分区域D 如图中阴影部分所示.1yb =,得21x y b a ⎛= ⎝. 因此()10xab a I dx ydy -=⎰⎰……2分240(1)2ab x dx a =⎰. ……3分令1t x a =()21x a t =-,2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解:原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,可见是齐次微分方程. ……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有,将其代入上式,得21du u u xdx u ++=, ……2分 即1du x dx u =,du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式,得通解222(ln ||)y x x C =+,……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =,于是,所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分,其a 是大于零的常数,试确定的a 值.解:由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立,可解得故曲线12L L 与的交点P 的坐标为()11a a++. ……1分 于是11122311001)][(1)]331aa S x ax dy x a x a++=--=-+=+……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰,……4分 从而113S =.1331a =+,……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1P 和2P ,销量分别为1q 和2q ,需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=,总成本函数为)(403521q q c ++=, 试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?解:总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+- ……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件,得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩, 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知,当1280,120p p ==时,厂家所获得的总利润最大, 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+ 在区间),0(+∞内单调增加.证:由1()exp{ln(1)}f x x x =+,有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+.……2分 记11()ln(1)1g x x x=+-+,对于任意(0,)x ∈+∞,有21()0(1)g x x x '=-<+,故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. ……3分由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+,……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞,有11()ln(1)01g x x x=+->+,……5分 从而,()0f x '>,(0,)x ∈+∞.于是,函数()f x 在(0,)+∞上单调增加. ……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦,3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ, 问λ取何值时,(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2)β可由123,,ααα线性表示,但表达式不唯一? (3)β不能由123,,ααα线性表示?解:设112233x x x αααβ++=,得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分(1)若03λλ≠≠-且,则方程组有唯一解,β可由3,21,a a a 唯一地线性表示. ……4分(2)若0λ=,则方程组有无穷多个解,β可由3,21,a a a 线性表示,但表达式不唯一.……5分(3)若3λ=-,则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩,故方程组无解,从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ,问λ取何值时,为正定二次型?解:二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ,……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是:A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为:110D =>,22144D λλλ==-,2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-, ……4分于是,二次型f 正定的充分必要条件是:230,0D D >>,由2240D λ=->,可见22λ-<<;由34(1)(2)0D λλ=--+>,可见21λ-<<. 于是,二次型f 正定,当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .解:记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ,则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ,……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==,因此,||0A ≠与0D ≠等价. 于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布, (1) 求X 和Y 的相关系数ρ; (2) 问X 和Y 是否独立?解:(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若, ……1分故X 的密度为22222212212()(||)r x r xp x r x x r r rππ---==-≤,同理,Y 的密度为22222()(||)p y r y y r r π-≤ ……2分于是 22220rrr EX r x x dx π--==⎰,22220rrr EY r x y dy π--==⎰,……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰, ……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2) 由于12(,)()()p x y p x p y ≠,故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ,其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计 量λˆ. 解:似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ;, ……2分由对数似然方程,有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑,……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学(试卷五)一、填空题:(本题满分15分,每小题3分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】(4) n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5) [91-5] 设A ,B 为随机事件,P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则6.0)(=B A P二、选择题:(本题满分15分,每小题3分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】(2) 设数列的通项为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12,则当∞→n ,n x 是 (D )(A )无穷大量 (B )无穷小量 (C) 有界变量 (D )无界变量(3) 设A 与B 为n 阶方阵,且AB ,则必有 (C)(A) 0A =或0B = (B) AB BA = (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4) 设A 是m ⨯n 矩阵,A x =0是非齐次线性方程组A x =b 所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是 (D) (A) 若Ax =0仅有零解,则A x = b 有唯一解 (B) 若Ax =0有非零解,则Ax =b 有无穷多个解 (C) 若Ax =b 有无穷多个解,则Ax =0仅有零解 (D) 若Ax =b 有无穷多个解则Ax =0有非零解 (5) 【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解:原式1221lim (1)lim exp{ln(1)}exp{lim xx x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+=,其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则,有22221ln(1)1lim lim lim 011x x x x x x x x x→+∞++++===+++, ……4分 于是120lim (1)1x x x x e →+∞+==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解:01221(1)(31)I x dx x dx -=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=. ……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdx x x I ⎰+=221 解:21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰ ……2分 221arctan (arctan )12x x x dx x x =--+⎛⎜⎠ ……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ,其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证:[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证:将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数,得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂, ……2分 于是,有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+, ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞++.证:记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+,有21()0(1)f x x x '=-<+, ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+,……5分 故对于任意0x <<+∞,()0f x >,即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A +B =AB ,(1) 证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵;(2) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解:由A +B =AB ,有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E , ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式,知B -E 也为可逆矩阵,且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,101/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭, ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第九题 】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量,求常数k 的值.解:设λ是α所属的特征值,则1a a λ-=A ,a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩,其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时,α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶,需要经过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.(1)求X 的概率分布; (2)求XE +11. 解:(1)由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”;则123,,A A A 相互独立,且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===,1221(1}()2P X P A A ===,12331(2}()2P X P A A A ===,12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 (2)11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200-240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2,假设电源电压X 服从正态分布N (220,252 ),试求 :(1) 该电子元件损坏的概率α;(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200-240伏的概率β.[附表] (表中)(x Φ是标准正态分布函数)x0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 )(x Φ0.530 0.579 0.655 0.726 0.788 0.341 0.335 0.919解:引进下列事件:1A ={电压不超过200伏},2A ={电压在200-240伏},3A ={电压超过240伏};B ={电子元件损坏}.因2~(220,25)X N ,故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=,2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=;3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 (1)由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是,由全概率公式,有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑,……5分 (2)由贝叶斯公式,得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题含答案(理)
logax-log a2 x+12log a3 x+…+n (n-2) n−1 log an
1 − (−2)n
x>
3
log a (x2-a)
(26) (本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,过双曲线右焦点且斜率为 3 的直线交双 5
曲线于 P、Q 两点.若 OP⊥OQ,|PQ|=4,求双曲线的方程.
∵ x1,x2不同时为零,
——3分 ——4分
∴
x
2 1
+x
2 2
>0.
又
∵
x
2 1
+x
2 2
>
1 2
(x
2 1
+x
2 2
)≥|x1x2|≥-x1x2
∴ x12 + x1x2 + x22 >0,
∴ f (x2)-f (x1) = (x1-x2) ( x12 + x1x2 + x22 )<0.
——8分
()
(A) 1 个
(B) 2 个
(C) 3 个
(D) 4 个
(15) 设全集为R,f (x)=sinx,g (x)=cosx,M={x|f (x)≠0},N={x|g (x)≠0},那么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于
()
(A) M N
(B) M N
(C) M N
(D) M N
二、填空题:本大题共5小题;每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
(C) 2π
(D) 4π
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共
有
()
(A) 12 对
2019-2020年整理1991考研数一真题及解析汇编
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz +=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-;221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)求0lim x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合?(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt -【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx tdt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t -+-=⋅=.(2)【答案】dx【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3);因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=-- 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---.因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则:1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线:如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线:当lim (),(x f x a a →∞=为常数),则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22xx t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy I I x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.0lim(1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim(1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故02x x x e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}2,3,12,3,1cos ,cos ,cos .n αβγ=== 又P P P u x u y u z ⎧∂⎪===⎪∂⎪⎪∂⎪===⎨∂⎪⎪⎪∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u un x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂117==. (3)【解析】由曲线22,y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,0z r θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰4220)dz d r z rdr πθ=+⎰⎰4240242r r r r z dz π=⎡⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰ 11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰ 122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰,1002(2)5a x dx =+=⎰. 因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以 01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l lππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221*********(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得 12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰, 即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 1111101121001000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得 11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合;当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111T b a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭, 故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则(1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n ==(2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分) 【解析】方法1:因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()T T T Q A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T i A E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏, 从而 ||1A E +>.方法2:设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立.因此,根据题意得微分方程 3122221(1)(1)y y y y ''=''++, 即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y P dy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dy P y =+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdt t t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y >,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±+=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e --====;当x 前取-时,C e =,1x y e -++=,111x x y e e --====; 所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+. 十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从 2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-, 由标准正态分布函数概率的计算公式,有 4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=. 由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=. (2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式 ()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+圆, 故 222111124()122a a P A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y z F z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰. 当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间. (2)2000()2()1z x z zx y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰. 所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0. z z z F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=。
1991年全国初中数学联赛1试试题答案详解-徐格利解答
1991年全国初中数学联合竞赛试题1试答案11991年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、单项选择题 1.B解:由于根号下的数要是非负数,所以有a(x-a)≥0,a(y-a)≥0,x-a ≥0,a-y ≥0. a(x-a)≥0和x-a ≥0可以得到a ≥0. a(y-a)≥0和a-y ≥0可以得到a ≤0.所以a 只能等于0,代入等式得x -y -=0,x =y -,得x=-y. 由于x ,y ,a 是两两不同的实数,所以有x>0,y<0. 将x=-y 代入22223yxy x y xy x +--+=y 2/3y 2= 13.2.CAB ‖EF ‖CD ,∴EF AB = CF BC ,EF CD = BF BC ,得EF AB +EF CD =CF BC +BFBC=1,已知AB=20,CD=80,代入该式得,EF=16.AB ‖CD ,∴AB CD =BEDE=n119912080 =14 ,又∵EF ‖CD ,∴EF CD =BE BD =15 .得出EF=15 CD=15³80=16.3.无正确答案,此题的正解是x=±251+.012=--x x ,容易看出x ≠0.当x >0时,原方程可化简为:x 2-x-1=0,得x=251+.当x <0时,原方程可化简为:x 2+x-1=0,得x=251--.4.D本题考查二次根式的化简求值和完全平方式。
解:解:由题意得:x 2=14 (n 21991-2+n 21991- ),x 2+1=14(n21991+2+n 21991-)=[)19911991(2111nn-+]2∴nx x )1(2+-=[)19911991(2111nn---)19911991(2111nn-+]n=[n11991--]n=11991)1(--n.1991年全国初中数学联合竞赛试题1试答案2由于100!中含有3的48次方,和2的97次方,也就是4的48次方,由此即可确定1³2³3…³99³100的结果包含因数12的最大次数是48,而且M 中不含有质因数3,接着就可以确定选择项.1至100中,次方的倍数共有100÷3,整商=33个 3的2次方的倍数共有100÷(3³3),整商=11个 3的3次方的倍数共有100÷(3³3³3),整商=3个 3的4次方的倍数共有100÷(3³3³3³3),整商=1个所以1³2³3…³99³100的结果包含质因数3的次数是33+11+3+1=48; 1至100中,2的1次方的倍数共有100÷2,整商=50个 2的2次方的倍数共有100÷(2³2),整商=25个2的3次方的倍数共有100÷(2³2³2),整商=12个 2的4次方的倍数共有100÷(2³2³2³2),整商=6个 2的5次方的倍数共有100÷(2³2³2³2³2),整商=3个 2的6次方的倍数共有100÷(2³2³2³2³2³2),整商=1个所以1³2³3…³99³100的结果包含质因数2的次数是50+25+12+6+3+1=97. 297=448³2,348³448=1248,∴1³2³3…³99³100的结果包含因数12的最大次数是48, ∴M 能被2整除,但不能被3整除.6.B 解:∵a+b=c,b+c=d,c+d=a, ∴a+2b+2c+d=a+c+d,得到c=-2b,代入其它等式,得到a=-3b,d=-b, ∴a+b+c+d=-5b.∵b>0的整数,∴a+b+c+d<0, ∴当b=1最小时,a+b+c+d=-5最大. 7.C解:设正方形OPQR 的边长为x ,则CQ= 2x ,BP= 6x ,ΔABC 的高为( 2x + x ) ,ΔABC 的底边BC 为( 2x + x+ 6x).三角形面积为:x 2+1+1+3=12 (2x + x+ 6x )( 2x+ x ).解方程得x 4=16,得x=2.8.ABC ,根据:三角形三边关系定理,锐角三角形任意两边的平方和大于第三边的平方,三角形外接圆的直径小于或等于2,列不等式组求解. 解:由余弦定理,得BC==,11=S 3S =132=S1991年全国初中数学联合竞赛试题1试答案3依题意,得.由2式可得c >12 ,由3式可得c <2.故12 <c <2.二、填空题1.S □ABCD =12解:∵△BEG ∽△DAG,BE ∶DA =1∶2,则EG:AG=BE ∶DA=1:2∴S △BEG 和S △DAG=1∶4 ∴S △DAG=4.∵△BEG 和△BAG 等高且底边长比1:2 ∴S △BEG 和S △BAG=1:2 ∴S △BAG=2. ∵S □ABCD=2S △ABD=2(S △BAG+S △DAG)=2³(2+4)=12.一元二次方程本没有实数解,说明:△=b²-4ac <0,后来甲将a 看成另外一个数A ,有解,那么根据韦达定理:x 1+x 2=-b/A=6,x 1²x 2=c/A=8 得出b c =-68 =-34;之后乙看错了某项的符号,首先,乙不可能看错了b 的符号,即使将b 看为-b ,△值依然不变,小于0,不可能有解,所以看错的是a 或者c 的符号,那么-1³4=--ca ,c=4a综上所述,c=4a,b=-3a,=+ac b 32 6.3.=++qp n m 22)2(9x=1和x=2两个特殊值,分别得出m ,n ,p ,q 的值是解题关键.qpnmxx xx )1(1)1(+=-+对一切x >0恒成立,故取x=1时,有2m-1=2p ,由于2p ≠0,2m-1为奇数,因此p=0,m=1; 再取x=2,则有3/2n -1=1/2q ,即3-2n =2n-q , 若n >q ,由于上式左边为奇数,右边为偶数,矛盾,1991年全国初中数学联合竞赛试题1试答案4若n <q ,则上式左边为整数,右边为真分数,矛盾, 所以只有n=q=1,于是:=++q p n m 22)2((1+2+0)2=9.本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中构造矩形AEFG 是解题的关键.要对特殊角度敏感,比如15,30,45,60,75,90,120,135等。
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1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩ 则22d y dx =__________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-;221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向n 的方向导数. (3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合?(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式?并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆0y <<(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他,求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt- 【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='. 所以 sin 2dydy tdt dx dx t dt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅ 232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】dx -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222()0d xyz +=,再由全微分四则运算法则得()()xy dz ydx xdy z ++=,令1,0,1x y z ===-,得dy =,即dz dx =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3);因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-r和向量2(2,1,1)l =r,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nx x x x n+-::, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--:: 所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意: 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律:a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则:1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线:如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线:当lim (),(x f x a a →∞=为常数),则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑L L1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+L L 212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑L L212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.lim )lim (1x x x π++→→=+令1t =,则0x +→时0t -→,所以100lim(1lim(1)tx t t e +-→→+=+=, 所以0limlim (1lim x x x e →++→→+==.因为当0x →时,sin x x :,所以220002sin 2limlim lim 2x x x x x πππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故0lim2lim )x xx e eππ→+-→==.(2)【解析】先求方向n r 的方向余弦,再求,,u u ux y z ∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得{}{}{}222,3,12,3,1cos ,cos ,cos .14231n αβγ===++r 又 2222(1,1,1)2222(1,1,1)222222(1,1,1)6614686888146868686814P PP P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ⎧∂⎪===⎪∂++⎪⎪∂⎪===⎨∂++⎪⎪⎪++∂=-=-=-⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 111471414141414=⋅+⋅-⋅=. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰ 42220()zdz d r z rdr πθ=+⎰⎰⎰24240242r z r r r z dz π==⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰30[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰2331sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰L , 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰L ,1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑ 221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑. 又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有111111111101121011212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪+++ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭M M M M M M M M1111101121001000010a b a ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭M M M M ,所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合;当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =M 的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n αααL 线表出,亦等同于12,,,n αααL 与12,,,,n b αααL 是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n αααL 线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1:因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭O , 其中0(1,2,)i i n λ>=L ,i λ是A 的特征值. 因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)T T iA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2:设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλL 由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++L 它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义:设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y-=--' (当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而122||(1)PQ y y '==+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+.即y =C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即y ==所以y '=分离变量得dx =±.令sec y t =,并积分,则上式左端变为sec tan ln sec tan tan t tdtt t C t==++⎰ln sec ln t C y C =+=+.因曲线在上半平面,所以0y +>,即(ln y C x =±.故 x y Ce ±=.当1x =时,1,y =当x 前取+时,1C e -=,1x y e -=,111x x y e e--====;当x 前取-时,C e =,1x y e -+=,111x xy e e---====;所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ:,所以可标准化得 2(0,1)X N σ-:,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OAC S S S a a π=+=+V 圆, 故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方 与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)200()2()1z x zzx y x z z z F z dx edy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0.zzz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩0=精选文库。