直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结

直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结

知识点精讲

一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的

一元二次方程,,即()0,0

Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨

=⎪⎩ ,消去y 后得2

0ax bx c ++=

(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,

若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行

(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为

()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(

),0

,0f x y F x y =⎧⎪⎨

=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程2

0Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式

24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关

系(韦达定理)求出1212,B C

x x x x A A

+=-

= , 所以,A B 两点间的距离为

12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式

)120AB y y k =-=≠

三, 已知弦AB 的中点,研究AB 的斜率和方程

(1) AB 是椭圆()22

221.0x y a b a b

+=>的一条弦,中点()00,M x y ,则AB 的斜率为

20

20b x a y - ,运用点差法求AB 的斜率;设()()()112212,,A x y B x y x x ≠ ,,A B 都在椭圆 上,所以22

112

222

2222

11

x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,两式相减得22221212220x x y y a b --+=

所以

()()()()121212122

2

0x x x x y y y y a b +-+-+=

即()()()()22121202212120

y y b x x b x x x a y y a y -+=-=--+，故2020AB b x k a y =-

（1） 运用类似的方法可以推出；若AB 是双曲线()22

221.0x y a b a b

-=>的弦，中点

()00,M x y ，则20

20

AB

b x k a y =；若曲线是抛物线()220y px p => ，则0AB p k y =

题型归纳及思路提示

题型1 直线与圆锥曲线的位置关系

思路提示

（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中0∆> ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到。

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。 例10.35已知两点551,

,4,44M N ⎛⎫⎛

⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭，给出下列曲线方程

① 4210x y +-= ② 2

2

3x y +=

③ 22

12x y += ④ 2212

x y -= 在曲线上存在点P 满足PM PN =的所有曲线方程是 。（写出所以正确的编号） 分析 所选曲线上存在点P 满足PM PN =，等价于曲线与线段MN 的垂直平分线有公共点。

解析 由551,

,4,44M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得线段MN 的中点为3,02Q ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

又55144412MN

k --==-- ，故线段MN 的垂直平分线为3:2,2l y x ⎛

⎫=-+ ⎪⎝

⎭

即:230l x y ++= ，显然①中直线与直线l 平行， 不符合题意， 对于②，因为圆心()0,0到直线l

的距离d ==

<，

所以直线l 与圆22

3x y +=相交，符合题意。

对于③，由22

23012

x y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消去y 得2

924160x x ++=

2

2449160∆=-⨯⨯= ，故直线l 与椭圆2

212

x y +=相切，符合题意。

对于④，由22

23012

x y x y ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，消去y 得2

724200x x ++=

2

244720160∆=-⨯⨯=>，故直线l 与双曲线2

212

x y -=相交，符合题意。

综上所述，应填②③④

变式1 对于抛物线2

:4C y x =，我们称满足2004y x <的点()00,M x y 在抛物线的内部，若点()

00,M x y 在抛物线的内部，则直线()00:2l y y x x =+与抛物线C 的位置关系是

变式2 设抛物线2

4y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

例10.36 如图10-26所示，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点()()0,0C c c >任作一直线，与抛物线2

y x =相交于,A B 两点，一条直线垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线:l y c =-交于

,P Q 两点.

（1） 若2OA OB = ，求c 的值

（2） 若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。

分析 2OA OB =12122x x y y ⇒+=，通过联立直线与抛物线方程消去一个变量得一元二次方程，再利用韦达定理；当AQ x xA k y ='= ，即可证得QA 为抛物线的切线。 解析 （1）设过点C 的直线为()()1122,,y ,y kx c A x B x y =+

则2

y kx c y x

=+⎧⎨=⎩ ，得20x kx c --= ，由韦达定理可知1212x x k x x c +=⎧⎨=-⎩ 2OA OB =12122x x y y ⇒+=

以为,A B 两点在抛物线上，所以221122,y x y x == ，则22

1212y y x x =