广东省六校2020届高三第三次联考(理数答案)
2024届广东省高三第三次六校联考数学试题及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（ ）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（ ）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。
广东省六校联盟2020届高三第三次联考 数学(理)试题(含答案)
绝密★启用前2020届六校联盟高三第三次联考理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 满足z +(i 为虚数单位的复数z =( )A .1122i + B . 1122i - C . 1122i -+ D . 1122i -- 2. 已知集合{}(){}22|1,|lg 2y y x B x y x x A ==-==-，则A . 1[0,)2B . (,0)-∞∪1[,+)2∞C . 1(0,)2D . (,0] -∞∪1[,+)2∞3. 设a R ∈，0b >，则3a b >是3log a b >的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A .311 B . 37C .711D .1105. 设等差数列的前n 项和为()n S n N *∈，当首项和公差d 变化时，若是定值，则下列各项中为定值的是( )A . 15SB . 16SC . 17SD . 18S6. 设的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若，，3A π=，则B =( )A .6πB .23π C .6π或56π D .4π7. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若的周长为，则C 的方程为( )A . 22132x y +=B . 2213x y +=C . 221128x y +=D . 221124x y +=8. 已知向量()cos ,sin a θθ=r ，()1,2b =r ，若a r 与b r 的夹角为6π，则||a b -r r =( )A . 2B . 3C . 2D . 19. 函数sin ()=2xxf x e的图象的大致形状是( ) A . B .C .D .10. 已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左，右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，且2AF x⊥轴，若的内切圆半径为，则其离心率为( )A 3B . 2C . 31D . 2311. 设函数()()sin f x x ωϕ=+，若7()()()663f f f πππ==-，则ω的最小正值是( ) A . 1 B .65C . 2D . 6 12. 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1AA AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是 A . 23(1,) B . 223(,)2 C . 23(,3) D . 23(,2)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-（a 为常数）在3x π=处取得极值，则a 值为______.14. 若2020220200122020(1)(1)(1)xa a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-，则20201222020333a a a ++⋅⋅⋅+=______． 15. 若函数()=(0)axb f xc cxd +≠+，其图象的对称中心为(,)d a c c -，现已知22()=21xf x x --，数列{}n a 的通项公式为()()2020n na f n N *=∈，则此数列前2020项的和为______． 16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知函数 ． (1)若 ，求函数()f x 的值域；(2)设的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且3()=f A ，，3c =，求的值．18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=o ,AD ∥BC ，侧面PAB ，是等边三角形，，，E 是线段AB的中点．()2sin()cos 3f x x x π=+02x π≤≤1)求证：；2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．19. （本小题满分12分）已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p =>交于A ，B 两点，且3OA OB u u u r u u u r⋅=-．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，证明：221211S S +为定值.20. （本小题满分12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得：，利用该正态分布，求：()i 在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？()ii 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式，若2(,)X N μσ~，则；21. （本小题满分12分）已知函数1)1()(-+=tx x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.(1)求l 的方程)(x g y =；(2)若)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围； (3)若()1,0,21∈a a ，求证：12212121aaaaa a a a +≥+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．若曲线1C 方程中的参数是，且1C 与2C 有且只有一个公共点，求1C 的普通方程；已知点()0,1A ，若曲线1C 方程中的参数是t ，，且1C 与2C 相交于P ，Q 两个不同点，求11||||AP AQ +的最大值．23. [选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|1|||()f x x x a a N *=--+∈，恒成立． (1)求a 的值； (2)若正数x ，y 满足12a x y +=，证明：1122x y xy ++≥。
广东省六校联盟2021届高三数学下学期第三次联考试题 理(含解析)
广东省六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.满足z iz+＝i(i为虚数单位)的复数z＝（）A. 1122i+ B.1122i- C.1122-+i D.1122i--【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】易得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝1i i--＝1122i-.故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，属于基础题.2.已知集合A＝{y|y=}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（）A. [0，12） B. （﹣∞，0）∪[12，+∞）C. （0，12） D. （﹣∞，0]∪[12，+∞）【答案】D【解析】【分析】求函数的值域得集合A，求定义域得集合B，根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A＝{y|y=}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x12＜}＝（0，12），∴A∩B＝（0，12），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[12，+∞）.故选：D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目.3.设a∈R，b＞0，则3a＞b是a＞log3b的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可. 【详解】a∈R，b＞0，则3a＞b，利用对数函数y＝log3x的图象和性质左右两侧同时取对数可得：a＞log3b；故3a＞b，能推出a＞log3b；a∈R，b＞0，若a＞log3b时，利用指数函数y＝3x的图象和性质左右两侧同时取指数幂可得：3a＞b；故a＞log3b能推出a＞log3b；根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可知C正确.故选：C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，属于基础题目.4.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A. 311B.37C.711D.110【答案】B【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得出．【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率1310 (|)7730P B A==．故选：B ．【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键． 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ()1n ≥，当首项a 1和公差d 变化时，若a 1+ a 8+ a 15是定值，则下列各项中为定值的是（ ） A. S 15 B. S 16C. S 17D. S 18【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，181583a a a a ++=为定值，可得15815S a =为定值. 【详解】由等差数列的性质可得181583a a a a ++=为定值， 再由求和公式可得()11515815152a a S a +==，故当1815a a a ++为定值时，15S 为定值. 故选A.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题，注意本题中的选择项也是解题信息.6.设ΔABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，若πa 3,b A 3===，则B =（ ） A.π5π66或 B.π6C.5π6D. 2π3【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B=，∴sin 12sin 32b AB a===． 又b a <，∴B 为锐角， ∴6B π=．故选B ．【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．7.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2离心率为3，过F 2的直线l 交C与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( )A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D.221124x y += 【答案】A 【解析】【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =a ∴=3c e a ==1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质8.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,2)b =，若a 与b 的夹角为6π，则||a b -=A. 2D. 1【答案】D 【解析】分析：先解,a b a b ，，再利用222()2a b a b a a b b -=-=-+整体替换．详解：由题意可知：1a =,3b =，3cos 62a b a b π==，则2223()212312a b a b a a b b -=-=-+=-⨯+=．故选D ．点睛： 向量中的三个基本量a b -，a b +，a b 的计算，往往通过整体替换的方式来处理． 9.函数sin ()2xxf x e=的图象的大致形状是 A.B.C. D.【答案】A 【解析】令x =0可得()00f =，则排除C 、D ；()cos sin '2exx xf x -=,当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin '02e xx x f x -=>， 当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos sin '02e xx x f x -=<，故排除B ， 本题选择A 选项.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上，且2AF x ⊥轴，若12AF F ∆的内切圆半径为(31)a ，则其离心率为（ ）3 B. 231 D. 23【答案】A 【解析】 ∵由122AF AF a-=，∴12Rt AF F ∆内切圆半径为)212122122AF F F AF c ac a a+--==-=c⇒=，∴离心率e= A11.设函数f（x）＝sin（ωx+φ），若f（6π）＝f（76π）＝﹣f（3π），则ω的最小正值是（）A. 1B.65C. 2D. 6【答案】B【解析】【分析】根据函数值的关系，求出函数的一条对称轴和一个对称中心，结合对称轴和对称中心与周期之间的关系进行求解即可.【详解】由f（6π）＝f（76π）＝﹣f（3π），且7636πππ<<并且73663ππππ-<-，所以要使ω最小，即周期最大，且726623πππ+=，6324πππ+=结合正弦曲线的特征，可得()f x的图象满足关于直线23xπ=成轴对称，关于点（4π，0）成中心对称对称，且对称轴和对称中心是相邻的，即2543412Tπππ=-=，即T53π=，又T253ππω==，得ω65=，故选：B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦函数的图象和性质的综合应用，属于中档题目.12.在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，AA1＞AB，堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n，则mn的取值范围是（）A. （1，33） B. （22，233） C. （333 D. （233，2【答案】D【解析】【分析】设AB＝BC＝1，AA1＝a，用a表示出,m n，得出mn关于a的函数，根据a的范围可求出mn的范围.【详解】设AB＝BC＝1，则AC＝A1C12=AA1＝a，则CC1＝a，∴A1C22a=+∴C1到直线A1C的距离m1112122AC CC aAC a⋅==+∵B1C1∥BC，BC⊂平面A1BC，B1C1⊄平面A1BC，∴B 1C1∥平面A1BC，∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，∴11113B A BC A BCV S n-=⋅，∵BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥A1B ，∴122111111222A BCaS BC A B a+=⋅⋅=⨯+=，又1111111113326B A BC C ABB ABB a VV V S BC a --==⋅=⨯⨯⨯⨯=，∴13•n 6a=，∴n =.∴m n ===∵AA 1＞AB ，∴a ＞1， ∴022223a +＜＜，∴3故选：D .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有几何体的特征，利用等积法求点到平面的距离，求式子的取值范围，属于中档题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知函数1()sin 2sin 33f x a x x =-（a 为常数）在3x π=处取得极值，则a 值为______.【答案】1. 【解析】 【分析】先对函数求导，根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】因为()2cos 2cos3f x a x x '=-，所以根据函数在3x π=处取得极值应有 03f π⎛⎫'=⎪⎝⎭， 即22coscos 31033a a ππ⎛⎫-⨯=-+= ⎪⎝⎭， 解得1a =， 故答案为1【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，属于中档题. 14.若x 2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，则20201222020333a a a +++=_____.【答案】2020413⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得01a =，再令113x -=，可得202012220201333a a a ++++的值，进而求得结果. 【详解】∵x2020＝a 0+a 1（x ﹣1）+a 2（x ﹣1）2+…+a 2020（x ﹣1）2020，令x ＝1得：a 0＝1； 令x 43=得： （43）2020＝a 020201222020333a a a ++++； ∴20202020122202043333a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭1；故答案为：202043⎛⎫- ⎪⎝⎭1【点睛】该题考查的是有关与二项式定理相关的问题，涉及到的知识点有利用赋值法求系数和，属于基础题目.15.若函数f （x ）ax b cx d +=+（c ≠0），其图象的对称中心为（d c -，a c ），现已知f （x ）2221xx -=-，数列{a n }的通项公式为a n ＝f （2020n）（n ∈N +），则此数列前2020项的和为_____.【答案】2019- 【解析】 【分析】由已知结论可得()f x 的对称中心为1(,1)2-，即有()(1)2f x f x +-=-，此数列前2020项的和按照正常顺序写一遍，再倒过来写，即运用数列的求和方法：倒序相加求和法，化简即可得到所求和.【详解】∵函数f （x ）ax b cx d +=+（c ≠0），其图象的对称中心为（d c -，ac），∴f （x ）2221x x -=-，其图象的对称中心为1(,1)2-，即()(1)2f x f x +-=-，∵数列{a n }的通项公式为a n ＝f （2020n）（n ∈N +），∴此数列前2020项的和为：S 2020＝f （12020）+f （22020）+…﹣f （20192020）+f （1），∴S 2020＝f （20192020）+f （20182020）+…+f （12020）+ f （1），两式相加，得： 2S 2020＝[f （12020）+f （20192020）]+[f （22020）+f （20182020）]+…+2f （1）()()()2019222=-+-++-+个0＝﹣2×2019，故答案为：﹣2019.【点睛】该题考查的是有关函数值求和的问题，涉及到的知识点有函数图象的对称性，倒序相加法求和，属于简单题目.16.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______． 【答案】53π． 【解析】 【详解】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111D C B A 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为1231AE AA ==，则16A AE π∠=． 同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 2336ππ=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B FG 2π=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长33+=故答案为：6． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分.17.已知函数()2sin ?cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）若02x π≤≤，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()2,32f A b c ===，求()cos A B -的值．【答案】（1）0,1⎡⎢⎣⎦；（2）14． 【解析】试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角3A π=，由余弦定理可求得边a ，由正弦定理可求得sin B ，利用两角差的余弦公式可得cos()A B -．试题解析：（1）()()2sin cos sin cos f x x x x x x x ==+1sin 2cos 2sin 222232x x x π⎛⎫=++=++⎪⎝⎭由02x π≤≤得，42333x πππ≤+≤，sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭．∴330sin 213x π⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为30,12⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．（2）由()33sin 2322f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭得sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又由02A π<<，∴42333A πππ<+<，∴2,33A A πππ+==． 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=，得7a =，由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 21sin b A B a ==， ∵b a <，∴B A <，∴27cos 7B =， ∴()12732157cos cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+⨯=考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理．18.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°AD ∥BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，DA ＝AB ＝2，BC 12AD =，E 是线段AB 的中点.（1）求证：PE ⊥CD ；（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）35【解析】 【分析】（1）先证明AD EP ⊥，再证明AB EP ⊥，又AD AB A ⋂=，推出PE ⊥平面ABCD ，然后证明PE ⊥CD ；（2）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，推出ED =（2，1，0），EP =（0，0，3），PC =（1，﹣1，3-），设n =（x ，y ，z ）为平面PDE 的一个法向量，由2030n ED x y n EP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩可以求得n =（1，﹣2，0），设PC 与平面PDE 所成的角为θ，利用35PC nsin cos PC n PC n θ⋅=⋅==⋅＜＞，最后得出PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35.【详解】（1）∵AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，∴AD ⊥EP . 又∵△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，∴AB ⊥EP . ∵AD ∩AB ＝A ，∴PE ⊥平面ABCD . ∵CD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥CD .（2）以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则E （0，0，0），C （1，﹣1，0），D （2，1，0），P （0，03）.ED =（2，1，0），EP =（0，03，PC =（1，﹣1，3. 设n =（x ，y ，z ）为平面PDE 的一个法向量.由 2030n ED x y n EP z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令x ＝1，可得n =（1，﹣2，0）设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得35PC nsin cos PC n PC n θ⋅=⋅==⋅＜＞所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题目.19.已知O 为坐标原点，过点M （1，0）的直线l 与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点M 作直线l '⊥l 交抛物线C 于两点，记△OAB ，△OPQ 的面积分别为S 1，S 2，证明：221211S S +为定值. 【答案】（1）24y x =；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为1x my =+，与抛物线C 的方程联立消去x 得关于y 的方程，利用根于系数的关系表示3OA OB ⋅=-，从而求得p 的值；（2）由题意求出弦长AB 以及原点到直线l 的距离，计算△OAB 的面积1S ，同理求出△OPQ 的面积2S ，再求221211S S +的值. 【详解】（1）解：设直线l 的方程为：x ＝my +1， 与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）联立，消去x 得：y 2﹣2pmy ﹣2p ＝0；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2＝2pm ，y 1y 2═﹣2p ； 由3OA OB ⋅=-，得x 1x 2+y 1y 2＝（my 1+1）（my 2+1）+y 1y 2＝（1+m 2）y 1y 2+（y 1+y 2）m +1 ＝（1+m 2）•（﹣2p ）+2pm 2+1 ＝﹣2p +1＝﹣3， 解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ；（2）证明：由（1）知，点M （1，0）是抛物线C 的焦点，所以|AB |＝x 1+x 2+p ＝my 1+my 2+2+p ＝4m 2+4， 又原点到直线l 的距离为d 21m=+，所以△OAB 的面积为S 12121m =⨯⨯+4（m 2+1）＝221m +， 又直线l ′过点M ，且l '⊥l ，所以△OPQ 的面积为S 2＝2211m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2221m m +；所以()()2222212111144141m S S m m +=+=++， 即221211S S +为定值. 【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义与性质的应用问题，直线与抛物线方程的应用问题，属于中档题目.20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =.利用该正态分布，求:(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？22.63()~,X N μσ≈,则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=.【答案】(1)17.40千元 (2)(i)14.77千元（ii ）978 【解析】 【分析】（1）取出每一组数据中间值，充当i x ，利用公式1ni ii x x p ==∑进行求解即可（2）根据正态分布特征值，结合附表所给内容，可判断()0.8414P x μσ>-≈，再计算出对应的μσ-值即可（3）由题中1000位农民中的年收入不少于12.14千元，即12.14(()2)P X P X μσ≥=≥-0.9773≈，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ζ，则()3~10,B p ζ，再根据二项分布的概率公式，结合“精准扶贫，不落一人”的特点来进行判断即可 【详解】解：()1120.04140.12160.2818036200.10x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯220.06240.0417.40+⨯+⨯=千元.()2由题意，~17.40,62().9X N .（i ）()10.68270.841422P x μσ>-=+≈17.40 2.6314.77μσ∴-=-=时，满足题意即最低年收入大约为14.77千元（ii ）由12.14(()2)P X P X μσ≥=≥-0.95450.50.97732=+≈，得 每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ζ，则()3~10,B p ζ，其中0.9773p =，于是恰好有k 个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是()()3310101kk k C p P k p ξ-=-=从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时， ()()1,P k P k ζζ=-<= 当9791000k ≤≤时，()()1,P k P k ζζ=->=由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求法，正态分布曲线的特点及其意义，二项分布及其概率的求法，正确理解题意，将文字转化为数学表达式是关键21.已知函数f （x ）＝（1+x ）t ﹣1的定义域为（﹣1，+∞），其中实数t 满足t ≠0且t ≠1.直线l ：y ＝g （x ）是f （x ）的图象在x ＝0处的切线. （1）求l 的方程：y ＝g （x ）；（2）若f （x ）≥g （x ）恒成立，试确定t 的取值范围；（3）若a 1，a 2∈（0，1），求证：12212121++aa a a a a a a ≥.注：当α为实数时，有求导公式（x α）′＝αx α﹣1.【答案】（1）y tx =；（2）()()0-∞+∞，1，；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式，求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线l 的方程；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，若()()f x g x ≥恒成立，即()0h x ≥在(1,)-+∞上恒成立，即()0h x ≥在(1,)-+∞上的最小值不小于0，分类讨论后可得满足条件的t 的取值范围；（3）分12a a =和12a a ≠两种情况证明结论，并构造函数12()a ax x x ϕ=-，先征得()x ϕ是单调减函数，进而得到结论.【详解】（1）∵f（x）＝（1+x）t﹣1 ∴f'（x）＝t（1+x）x﹣1，∴f'（0）＝t，又f（0）＝0，∴l的方程为：y＝tx；（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+x）t﹣tx﹣1，h'（x）＝t（1+x）t﹣1﹣t＝t[（1+x）t﹣1﹣1] 当t＜0时，（1+x）t﹣1﹣1单调递减，当x＝0时，h'（x）＝0 当x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增. ∴x＝0是h（x）的唯一极小值点，∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；当0＜t＜1时，（1+x）t﹣1﹣1单调递减，当x＝0时，h'（x）＝0当x∈（﹣1，0），h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）单调递减.∴x＝0是h（x）的唯一极大值点，∴h（x）≤h（0）＝0，不满足f（x）≥g（x）恒成立；当t＞1时，（1+x）t﹣1﹣1单调递增，当x＝0时，h'（x）＝0 当x∈（﹣1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增. ∴x＝0是h（x）的唯一极小值点，∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；综上，t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）；证明：（3）当a1＝a2，不等式显然成立；当a1≠a2时，不妨设a1＜a2则12211212a a a a a a a a++＞⇔12121122a a a a a a a a--＞令()12aax x x ϕ=-，x ∈[a 1，a 2]下证φ（x ）是单调减函数： ∵()1221211121211'a a a a a a x a xa x a x x a ϕ----⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭易知a 1﹣a 2∈（﹣1，0），1+a 1﹣a 2∈（0，1），12111a a +-＞ 由（2）知当t ＞1，（1+x ）t ＞1+tx ，x ∈[a 1，a 2] ∴()121211112122112121[11]111a a a a a a aa a a a a a +-+--=+-+=+-+-＞＞∴12121a a a a +-＞∴1212211a a a a a a x a --≥＞ ∴φ'（x ）＜0，∴φ（x ）在[a 1，a 2]上单调递减. ∴φ（a 1）＞φ（a 2），即12121122a a a a a a a a --＞ ∴12211212a a a aa a a a ++＞.综上，12211212a a a aa a a a +≥+成立.【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求曲线在某个点处的切线方程，恒成立求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.（1）若曲线C 1方程中的参数是α，且C 1与C 2有且只有一个公共点，求C 1的普通方程； （2）已知点A （0，1），若曲线C 1方程中的参数是t ，0＜α＜π，且C 1与C 2相交于P ，Q 两个不同点，求11AP AQ+的最大值.【答案】（1）())22211x y =-+或())22211x y =-+；（2） 【解析】 【分析】（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出t ，进而得到结果；（2）把曲线1C 参数方程代入曲线2C 直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设交点,P Q 对应的参数分别是12,t t ，利用一元二次方程根与系数的关系，求得11AP AQ+的表达式，求出最大值.【详解】（1）∵ρ＝2cos θ，∴曲线C 2的直角坐标方程为∴（x ﹣1）2+y 2＝1， ∵α是曲线C 1：1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩的参数，∴C 1的普通方程为x 2+（y ﹣1）2＝t 2，∵C 1与C 2有且只有一个公共点，∴|t|=1或|t|=1，∴C 1的普通方程为x 2+（y ﹣1）21）2或x 2+（y ﹣1）21）2（2）∵t 是曲线C 1：1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩的参数，∴C 1是过点A （0，1）的一条直线，设与点P ，Q 相对应的参数分别是t 1，t 2，把1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩，代入（x ﹣1）2+y 2＝1得t 2+2（sin α﹣cos α）t +1＝0，∴121241t t t t πα⎧⎛⎫+=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩ ∴121111AP AQ t t +=+=|t 1|+|t 2|＝|t 1+t 2|＝|sin （α4π-， 当α34π=时，△＝4（sin α﹣cos α）2﹣4＝4＞0， 11AP AQ+取最大值. 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向直角坐标方程的转化，圆与圆的位置关系，直线参数方程中参数的几何意义，属于简单题目.专业 文档 可修改 欢迎下载- 21 - 23.已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x +a |（a ∈N *），f （x ）≤2恒成立.（1）求a 的值；（2）若正数x ，y 满足12a x y +=.证明：112x y xy ++≥【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由()111f x x x a x x a a =--+≤---=+，结合已知可求a ；（2）由（1）知121x y+=，从而有2x y xy +=，然后利用基本不等式可证. 【详解】（1）由f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x +a |≤|x ﹣1﹣x ﹣a |＝|a +1|，又f （x ）≤2恒成立，∴|a +1|≤2，∴﹣3≤a ≤1，∵a ∈N *，∴a ＝1；（2）由（1）知12x y +=1， ∴2x +y ＝xy ，∴111122x y xy xy xy ++=+≥=【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式，属于简单题目.。
广东省实验中学2020届高三上学期第三次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案
- 1 - 广东实验中学2020届高三级第三次阶段考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分 分，考试用时 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{},06|2<--=x x x A 集合{}1log |2<=x x B ，则=B A （ ） A ．)3,2(- B ．)3,(-∞ C ．)2,2(- D ．)2,0(2．己知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-1，则z 的模是( ) A ．1B ．21C ．22D ．2 3．若,2ln =a 215=b ，xdx c cos 2120⎰=π，则c b a ,,的大小关系( ) A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b << 4．若12cos sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x π，则=x 2cos （ ） A ．98- B ．97- C ．97 D ．1-5．)2,(--∞∈m 是方程165222=--+-m m y m x 表示的图形为双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．点p 是ABC ∆所在平面上一点，若AC AB AP 5352+=,则ABP ∆与ACP ∆的面积之比是( )A ．53B ．25C ．23D ．32。
广东省惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学试题(含答案)
惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U R =，{}|21x A x =<，则UA =( )．2．设i 为虚数单位，复数2122z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四 3．已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则( )．A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边落在直线3y x =上，则3sin(2)2πθ-= ( )． A ．45 B ．45- C ．35- D ．125．在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，4AM MC =，P 为AD 的中点， 则MP = ( )． A ．43510a b + B ．4354a b + C ．43510a b -- D ．1344a b --6．设a R ∈，则“a =1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的 ( ) 条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+．记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是( )． A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-8．《易经》是中国传统文化中的精髓之一。
广东省汕头市2020届高三上学期第三次联考数学(理)试题Word版含解析
广东省汕头市2020届高三上学期第三次联考数学（理）试题一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1.已知集合则A. [－1，4)B. [0，5)C. [1，4]D. [－4，－1) [4，5)【答案】B【解析】由题意得，故.选B。
2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用复数模的运算化简复数的分子，再利用复数除法运算来化简，最后取的共轭复数得到结果. 【详解】，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数除法的运算以及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知向量＝(1，m)，＝(3，－2)，且(＋)⊥，则m＝A. －8B. －6C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得到答案.【详解】因为，所以，又由，所以，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量的垂直的坐标运算，其中熟记向量的坐标运算和向量的垂直关系的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知函数，则（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数【答案】A【解析】所以是奇函数，且在上是增函数，选A.5.设实数满足则的最小值为（）A. －5B. －4C. －3D. －1【答案】A【解析】【分析】画出线性区域，平移直线，由此求得的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值的问题.画出可行域后，平移直线到可行域边界的位置，由此求得最大值或者最小值.属于基础题.6.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：广告费销售额由上表可得回归方程为，据此模型，预测广告费为万元时的销售额约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，将点代入，解得，即，当时，，故选D.7.给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；（2）直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线、不垂直，则过的任何平面与都不垂直；（4）若直线和共面，直线和共面，则和共面A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】分别利用空间点线面位置关系的公理和定理，对四个命题逐一判断其是否为错误命题，由此得出正确的选项.【详解】对于（1）,若直线在平面内，这时直线和平面不平行，但是平面内有直线和是平行的，故（1）错误.对于（2）, 若直线在平面内，这时直线和平面不垂直，但是平面内有直线和是垂直的，故（2）错误.对于（3），根据线面垂直的定义可知，（3）是正确的.对于（4），有可能是异面直线，故（4）错误.终上所述，有个命题是错误命题，故选C.【点睛】本小题考查空间点线面的位置关系.主要解题的思路是对每个命题，举出反例，由此判断命题是否正确.属于基础题.8.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；当时，满足进行循环的条件，执行循环体后，，；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.10.已知数列满足，则A. 0B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用题目所给的递推公式，求得的值，归纳得到数列是周期为的周期数列，由此得出选项.【详解】依题意，，，……，依次类推，是以为周期的周期数列.故.故选B.【点睛】本小题主要考查递推数列求数列每一项的值，考查周期数列的判断.根据递推公式，由的值，求出后面几项的值，找到规律，即周期性，由此得到选项，属于基础题.11.已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，根据椭圆的定义可知的周长为，面积为，解得，故选D.12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】问题转化为对都成立，令，利用导数求得的单调性及最大值，由此求得的取值范围.【详解】由得，对任意，都成立，故，即对都成立.构造函数，其中.，故当时，即单调递增，最大值为，故.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成立问题.由于题目有两个变量，一个是有范围，另一个是有范围，最终求的是的范围.所以分成两个步骤来走，先根据的范围，消去后，再利用导数，结合的取值范围，最终来求解的取值范围.属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.的展开式中的常数项是__________．【答案】【解析】分析：利用展开式中的常数项为，项的系数为，从而可得结果.详解：的展开式通项为，展开式中的常数项为，项的系数为，的展开式中的常数项是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14.在中，，，. 若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.15.如图，在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为__________．【答案】【解析】分析：采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得可判断三角形与的形状，由三角形的面积公式可得结果.详解：连接，在中，，利用余弦定理得：，解得，则是直角三角形，，过点作，则，，则，，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为________________【答案】【解析】【分析】由三视图可知该几何体为四棱锥，画出直观图后，找到球心的位置，计算出半径，由此求得球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为四棱锥，画出直观图如下图所示，其中为侧面等边三角形的中心，为底面正方形的中心，在中，,故外接球的半径为，故外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查几何体外接球的表面积与体积的求法.外接球的球心的找法，先找到一个面的外心，球心在这个外心的正上方，然后再找另一个面的外心，球心也同样再这个外心的正上方，由此得到球心的位置，再解三角形得到外接圆的半径，从而求得外接球的表面积或者体积.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17.的内角为的对边分别为，已知．（1）求的最大值；（2）若，当的面积最大时，的周长；【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，在根据三角形内角关系利用诱导公式化简得，解得B,代入化简得，根据三角函数同角关系转化为二次函数，最后根据对称轴与定义区间位置关系确定最大值取法，(2)先根据余弦定理得，再根据基本不等式求最大值，此时的面积取最大，根据最大值等号取法确定值，即得三角形周长.试题解析：（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（2），即，当且仅当等号成立；，周长．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知等比数列的公比，且，是的等差中项．数列满足，数列的前项和为．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）利用等比数列的通项和等差中项得到关于公比的方程；（2）利用求出数列的通项公式，再利用错位相减法进行求和．详解：（1）由是的等差中项得，所以，解得.由，得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.点睛：（1）数列的通项与前项和公式的关系是一个分段函数，一定要注意验证是否满足；（2）错位相减法是常见的求和方法，其适用于求的前项和，其中的等差数列，是等比数列．19.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面，是棱的中点，且.（1）求证：平面；（2）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由所以．又因为底面平面；（2）如图以为原点建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和．试题解析：（1）连结，因为在中，，所以，所以．因为，所以．又因为底面，所以，因为，所以平面（2）如图以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则．因为是棱的中点，所以．所以，设为平面的法向量，所以，即，令，则，所以平面的法向量因为是在棱上一点，所以设．设直线与平面所成角为，因为平面的法向量，所以．解得，即，所以考点：1、线面垂直；2、线面角.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过．．．分的考生人数为，求.（精确到）附：①，；②，则，；③.【答案】（1）分；（2）634人；（3）0.499【解析】【分析】（1）根据加权平均数公式计算；（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．【详解】（1）由题意知：∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分.（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人. （3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.21.设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对恒成立，求实数的取值范围；（3）求整数的值，使函数在区间上有零点．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）求得，得到，即可利用点斜式方程求解切线的方程；（2）由，对恒成立，转化为，设，求得，即可利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解的取值范围；（3）令得，可判定得的零点在上，利用导数得到在上递增，即可利用零点的判定定理，得到结论．试题解析：（1），∴，∴所求切线方程为，即（2）∵，对恒成立，∴，设，令，得，令得，∴在上递减，在上递增，∴，∴（3）令得，当时，，∴的零点在上，令得或，∴在上递增，又在上递减，∴方程仅有一解，且，∵，∴由零点存在的条件可得，∴考点：导数的综合应用问题．【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数的几何意义求解曲线上某点的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值（最值）、以及不等式的恒成立问题等知识点综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的综合性，属于中档试题．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）曲线的极坐标方程为：；（2）6.【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程，再根据化为极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线的极坐标方程得，再根据求的值．试题解析：解:（1）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为：． -（2）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴．23.已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；（2）若函数，求函数的值域.【答案】（1）实数的最小值为；（2）函数的值域为.【解析】试题分析：（1）h（x）-|x-2|≤n对任意的x＞0恒成立，等价于对任意的x＞0，由此能求出实数n的最小值（2）推导出，由此能求出数的值域．试题解析：（1）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立，等价于对任意的因为，当且仅当时取等号，所以，得.所以实数的最小值为.（2）因为，所以，当时，，当时，.综上，.所以函数的值域为.点睛：本题考查不等式恒成立，考查函数的值域的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．。
六校联盟2020届高三数学下学期第三次联考试题理含解析
设 (x，y,z）为平面PDE的一个法向量.
由 ,令x＝1，可得 （1，﹣2，0）
设PC与平面PDE所成的角为θ，得
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为 .
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值,属于中档题目。
A. B. 2C. D。
【答案】A
【解析】
∵由 ，∴ 内切圆半径为 ，∴离心率 ,故选A
11.设函数f(x）＝sin（ωx+φ)，若f( )＝f（ ）＝﹣f( ），则ω的最小正值是（ ）
A。 1B。 C。 2D。 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数值的关系，求出函数的一条对称轴和一个对称中心，结合对称轴和对称中心与周期之间的关系进行求解即可.
【详解】由正弦定理得 ，
∴ ．
又 ，
∴ 为锐角，
∴ ．
故选B．
【点睛】在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论,解题时要结合三角形中的边角关系，即“大边(角）对大角（边）”进行求解，属于基础题．
7.已知椭圆C： 的左右焦点为F1,F2离心率为 ,过F2的直线l交C与A，B两点，若△AF1B的周长为 ，则C的方程为( ）
故选：B．
【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．
5。设等差数列 的前n项和为Sn ，当首项a1和公差d变化时，若a1+ a8+ a15是定值，则下列各项中为定值的是（ ）
A. S15B. S16C. S17D。 S18
【答案】A
【解析】
【分析】
【2020年数学高考】广东省六校(珠海一中,中山纪念中学等)2020届高三下学期第三次联考 数学(理).doc
绝密★启用前2020届广东省六校第三次联考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)|,M x y x y =为实数，且222}x y +=，{(,)|,N x y x y =为实数，且2}x y +=， 则MN 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=A ．63B ．45C ．36D ．273．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A ．[)3,+∞B ．[]8,3-C ．(],9-∞D ．[]8,9- 4．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．5．设函数 ())f x ϕ=+，其中常数ϕ满足0πϕ-<<．若函数()()()g x f x f x '=+（其中()f x ' 是函数()f x 的导数）是偶函数，则ϕ等于A ．3π-B ．56π- C ．6π-D ．23π- 6．执行右面的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2输出的158M =，那么，判断框中应填入的条件为 A ．n k < B ．n k ≥ C ．1n k <+ D ．1n k ≤+7．已知02012(1i)(2i)(2i)(2i)n n b b b -+=-++-++-++又数列{}n a 满足：当1n =时， 12a =-；当2n ≥，n a 为22(2i)b -+的虚部．若数列2{}na - 的前n 项和为n S ，则2018S =A ．20172018 B ．20182017 C ．40352018 D ．403320178．如图，在同一个平面内，三个单位向量OA ，OB ，OC 满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 与的夹角为45°．若OC mOA nOB =+（,m n R ∈），则m n +的值为 A ．3 B C ． D ．29．四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x 的取值范围是A ．)41,2(B ．)9,3(C ．)41,3(D ．)9,2(10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 A ．42种 B ．36种 C ．72种 D ．46种11．已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是A． B．1] C． D．1]12．已知()()2211,,y x B y x A 、是函数x x x f ln )(=与2)(xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是 A ．2ln ,2e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2ln 2e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则311[(2)]f x dx x -+=⎰__ ________． 14．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+， 则函数13ax b y ++=恒过定点___ __．15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．16．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得1212x x y y +0，则称函数()f x 是“柯西函数”． 给出下列函数：①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>；其中是“柯西函数”的为 （填上所有．．正确答案的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（Ⅰ）求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．18.（12分）某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，N n ∈)的函数解析式；（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i ）小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（ii ）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，1AB BC ==，120BAD ∠=，PB PC ==2PA =，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面PBC ；PF（Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点(2,1)P -满足121PA PA ⋅=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.（12分）已知函数2()(1)e 2xa f x x x =--，其中a ∈R ． （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12,(0,)x x ∈∈+∞R ，不等式12122()()2f x x f x x x +-->-恒成立．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩ (t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()44ππθϕϕ=-<<，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线C 交于A B C 、、三点(不包括极点O )．（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式()2≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．2020届广东省六校第三次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．二填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．；14．；15．；16．①④说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.三、解答题：共70分．17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分∵，∴. …………………………………………………2分∵，∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）∵…①，…②，∴①-②得，，∵，……………………6分∴…③，……………………………………………………8分…④，③-④得，，. ……………………………………………………………………10分∵，∴是首项3公比的等比数列，，故. ……………………………………………………………………12分18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分当日需求量时，利润，…………………………2分所以关于的函数解析式为．……………………3分（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分并且，，．的分布列为：……………………………………………………7分的数学期望为元．……………………8分（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为的数学期望为元．………11分由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份．………………………………12分19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴. ………………………3分∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，…………………5分∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分, ，，……………………………………………9分在中，根据余弦定理得，, ………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴. ………………………………………………………………………………1分分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分则，，，，，设，∵，，解得，，，∴可得，………………………………………………………………4分∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的法向量，则，∴，…………………………8分令，则，………………………………………………………9分又是平面的法向量，…………………………………………………10分∴，………………………………………………………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，∴，………………………………………………2分由，，得，∵，∴，，………………………………………………………………4分故椭圆的方程为．……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分因此直线的斜率存在，设：，由，消得，…………………………………………7分设、，则，，∵，………10分∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分21.（12分）解：（Ⅰ）由于．…………………………………………1分假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．………………………………………………3分显然，代入方程中得，．…………5分∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分（Ⅱ）依题意，恒成立．……………………………7分设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立．…………………………………………8分则，，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．…………10分设，则，当时，，当时，，∴，即．那么，当时，，；当时，，．∴恒成立．因此，的最大整数值为3．……………………………………………………12分22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分，，…………………………………………3分则．…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，. ………………………………………………7分经过点的直线方程为，…………………………………………8分又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（Ⅰ）∵，∴，……………………………………………1分①当时，得，，∴；…………2分②当时，得，，∴；…………3分③当时，得，，∴. …………4分综上所述，实数的取值范围是．……………………………………5分（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，的值最小，……………………………………………………………………7分∴，即，……………………………………………………8分解得或．∴实数的取值范围是. …………10分。
广东省肇庆市2020届高三第三次统一检测数学(理)试题 Word版含解析
2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1. 已知集合A ＝{x |x ﹣1≥0}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≥0}，则∁R （A ∪B ）＝（ ） A. [﹣2，1] B. [1，4] C. （﹣2，1） D. （﹣∞，4）【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出A ，B ，再求A ∪B ，进而求其补集．【详解】∵A ={x |x ﹣1≥0}={x |x ≥1}，B ＝{x |x 2﹣2x ﹣8≥0}={x |x ≤﹣2或x ≥4}， ∴A ∪B ={x |x ≤﹣2或x ≥1}，则∁R (A ∪B )=(﹣2,1). 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的基本运算，属于基础题. 2. 复数z 的共轭复数z 满足()234i z i +=+，则z ＝（ ） A. 2+i B. 2﹣i C. l +2i D. 1﹣2i【答案】A 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，再由共轭复数的概念得答案. 【详解】由()234i z i +=+=5，得()()()5252222i z i i i i -===-++-， ∴z ＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.3. 在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 8﹣S 3＝45，则a 6的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为S 8﹣S 3＝a 4+a 5+a 6+a 7+a 8＝45， 由等差数列的性质可得，5a 6＝45， 则a 6＝9. 故选：D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题.4. 在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-，4AB =，3AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A. 4 B. 3C. -4D. -3【答案】D 【解析】分析：根据平面向量的数量积可得AB AC ⊥，再结合图形求出BC 与CA 方向上的投影即可. 详解：如图所示：AB AC AB AC +=-，0AB AC ∴⋅=， ∴AB AC ⊥，又4AB =，3AC =，BC ∴在CA 方向上的投影是：()cos ,cos cos 3BC BC CA BC ACB BC ACB π=-∠=-∠=-，故选D.点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.5. 设x，y满足约束条件2010x yx yy-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的最大值是( )A. 0B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数2z x y=+对应的直线进行平移，可得最优解，然后求解即可．【详解】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域得到如图阴影部分及其内部，其中(2A，1 )，(1,1)B，O为坐标原点设(,)2z F x y x y==+，将直线:2l z x y=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值(z F∴=最大值2，1)2215=⨯+=．故选：D．【点睛】本题考查通过几何法求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6. 命题p：曲线y＝x2的焦点为14⎛⎫⎪⎝⎭，；命题q：曲线2214yx-=的渐近线方程为y＝±2x；下列为真命题的是（）A. p∧qB. ￢p∧qC. p∨（￢q）D. （￢p）∧（￢q）【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得到选项.【详解】曲线y＝x2的焦点为（0，14），所以P是假命题；p⌝是真命题，曲线2214yx-=的渐近线方程为y＝±2x，q是真命题，所以p q⌝∧是真命题.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.7. 某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化.下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A. 该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B. 该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2018年其它费用是2017年工资金额的1 4D. 该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍【答案】B【解析】【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t.对于选项A ，该企业2018年原材料费用为0.3×2t ＝0.6t ，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t +0.1t ＝0.3t ，故A 错误；对于选项B ，该企业2018年研发费用为0.25×2t ＝0.5t ，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t +0.15t +0.15t ＝0.5t ，故B 正确；对于选项C ，该企业2018年其它费用是0.05×2t ＝0.1t ，2017年工资金额是0.2t ，故C 错误；对于选项D ，该企业2018年设备费用是0.2×2t ＝0.4t ，2017年原材料的费用是0.15t ，故D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属于基础题．8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π【答案】B 【解析】 【分析】三棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出长方体的外接球表面积，即可得到本题的答案. 【详解】在长为1，宽为1，高为2的长方体画出该三棱锥的直观图，如图中三棱锥A-BCD.该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球的半径2221126R ++==，所以外接球的表面积2264462πππ===S R . 故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，以及几何体外接球的表面积计算，难度适中.9. 已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数sin (0)y ax b a =+>的图象求出a 、b 的范围，从而得到函数log ()a y x b =-的单调性及图象特征，从而得出结论．【详解】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意. 故选：C.【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．10. 已知角θ的终边经过点（2，﹣3），将角θ的终边顺时针旋转4π后，角θ的终边与单位圆交点的横坐标为（ ） 26 B. 26 526D. 526【答案】B 【解析】 【分析】先利用任意角的三角函数的定义求出sin θ，cos θ，设角θ的终边顺时针旋转4π后得到的角为角α，则cos α＝cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果． 【详解】∵角θ的终边经过点(2,﹣3)，∴22313sin 2(3)θ-==+-，22213cos 2(3)θ==+- 设角θ的终边顺时针旋转4π后得到的角为角α，∴cos α＝cos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭2=θ+sin θ)2=2133131313⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭26= ∴终边与单位圆交点的横坐标为2626-. 故选：B ．【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和与差三角函数公式的应用，属于基础题．11. 已知a ＝2log 737b log =，，c ＝5log 7，则（ ） A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】把a ，b ，c 化为122log 7a =，17b log=17c log=比较大小111352325＞＞，则c >a >b ，即可得解.【详解】∵a ＝2log 373log 7b =，c ＝5log 7， ∴122log7a =，133log7b =155log7c =∵612322⎛⎫= ⎪⎝⎭，612333⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴113232>, 又1120522⎛⎫= ⎪⎝⎭，1150255⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴115225>， ∴c ＞a ＞b . 故选：D ．【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了推理能力和运算求解能力，属于基础题.12. 若函数()2sin ?cos cos f x x x x a x =++在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是( )A. []-11， B. []-13， C. []-33，D. []-3-1，【答案】A 【解析】 【分析】()2sin ?cos f x x x cosx a x =++在(),-∞+∞单调递增，等价于()'0f x ≥恒成立，换元后可得()0g t ≥在[]1,1-上恒成立，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】()2sin ?cos f x x x cosx a x =++， ()'2cos2sin f x x a x ∴=+-22sin sin 3x a x =--+，设sin ,11x t t =-≤≤，()()2'23f x g x t at ==--+， ()f x ∴在(),-∞+∞递增， ()0g t ∴≥在[]1,1-上恒成立，因为二次函数图象开口向下，()()101110g a g ⎧≥⎪∴⇒-≤≤⎨-≥⎪⎩，a 的取值范围是[]1,1-，故选A. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚316432，__________天后两只老鼠打穿城墙． 【答案】6 【解析】大老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离是首项为1，公比为12的等比数列．所以距离之和111()1213122164611223212nnn n n S n ---=+=-+=⇒=--所以这两只老鼠相逢所需天数为6天.14. 6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为__________．【答案】-320 【解析】 【分析】先求6(2)+x y 展开式的通项公式1r T +，再求6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项，最后求展开式中43x y 的系数.【详解】易知6(2)+x y 展开式的通项公式为616(2)-+=r r r r T C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++的展开式中含43x y 的项为3336(2)⋅x C x y 与2426(2)(2)-⋅y C x y ，所以6(21)(2)x y x y -++展开式中43x y 的系数为332466222160480320⨯-⨯⨯=-=-C C .故答案为：-320【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查学生的运算求解能力.15. 已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上一点，12,F F 是双曲线左右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是______ . 5【解析】 【分析】根据题意得21PF PF ⊥，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率.【详解】由题：双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，O 是12F F 的中点， 所以渐近线与1PF 平行，所以21PF PF ⊥，121PF PF b k a PF ==，222214PF PF c += 所以212,2PF b PF a ==，又212PF PF a =+ 所以222222224,4,4,5b a b a c a a c a ==-==，所以225c a=，离心率5e =5【点睛】此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解. 16. 在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，△ABD 沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A ﹣BCD ． ①当3AC =A ﹣BCD 的体积为13；②当面ABD ⊥面BCD 时，AB ⊥CD ； ③三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值． 以上命题正确的是_____． 【答案】③ 【解析】 【分析】在①中，由题意可得AB ⊥平面ACD ，利用A BVD B ACD V V --=即能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积；在②中，过点A 作AE ⊥平面BCD ，交BD 于E ，则AE ⊥CD ，即可得 AB 与CD 不垂直；在③中，三棱锥A ﹣BCD 外接球的球心为O 5，从而三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值．【详解】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2， ∴AC =BD 22125=+=，△ABD 沿对角线BD 翻折，形成三棱锥A ﹣BCD ．在①中，当3AC =时, 2224AC AB BC +==，2224AC CD AD +==， ∴AB AC ⊥，CD AC ⊥， 又AB AD ⊥，∴AB ⊥平面ACD ， ∴11332A BVD B ACD V V AC CD AB --==⨯⋅⋅=，故①错误； 在②中，当面ABD ⊥面BCD 时，过点A 作AE ⊥平面BCD ，交BD 于E ， 则AE ⊥CD ，又CD 与平面ABD 不垂直，故AB 与CD 不垂直，故②错误；在③中，取BD 的中点O ，连接OA 、OC ， ∵OA ＝OB ＝OC ＝OD 52=， ∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的球心为O 5， ∴三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为定值，故③正确． 故答案为：③．【点睛】本题考查了空间位置关系及三棱锥体积、外接球相关问题的求解，考查了推理论证能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17. 已知在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，2B Cbsin asinB +=. （1）求A ；（2）若b ＝4，c ＝6，求sinB 的值. 【答案】（1）3A π=（2）21sinB =【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围0＜A ＜π，0＜B ＜π即可解得A 的值.（2）由余弦定理可得a 的值，由正弦定理可求sinB 的值. 【详解】（1）由2B C bsin +=asinB 及正弦定理可得2B CsinBsin sinAsinB +=， 因为A +B +C ＝π，所以222B C A A sinBsinsinBsin sinBcos π+-==， 又222A AsinAsinB sin cos sinB =，所以2222A A AsinBcos sin cos sinB =，因为0＜A ＜π，0＜B ＜π，所以002AcossinB ＞，＞， 所以122A sin =，因此26A π=，即3A π=.（2）由余弦定理可得222121636246282a b c bccosA =+-=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =由正弦定理得b a sinB sinA =，得21bsinA sinB a ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.18. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1菱形，且CA ＝CB 1．（1）证明：面CBA1⊥面CB1A；（2）若∠BAA1＝60°，A1C＝BC＝BA1，求二面角C﹣A1B1﹣C1的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【解析】【分析】（1）设AB1与A1B交于O，连接OC，先证明AB1⊥平面CA1B，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC⊥平面ABB1A1，以O为原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面CA1B1和平面C1A1B1的法向量，利用夹角公式求出即可．【详解】（1）证明：设AB1与A1B交于O，连接OC，如图，因为侧面ABB1A1是菱形，所以AB1⊥A1B，又CA＝CB 1，所以OC⊥AB1，又A1B∩CO＝O，故AB1⊥平面CA1B，又AB1⊂平面CAB1，故平面CBA1⊥平面CB1A；（2）由A1C＝BC，故CO⊥A1B，又（1）知OC⊥AB1，AB1∩A1B＝O，故OC ⊥平面ABB 1A 1，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设A 1C ＝BC ＝BA 1＝2，则OC 413=-=则(003C ，，()130B -，，，A 1(0,﹣1,0)，B (0,1,0)， 由()11310CC BB ==--，，，得(133C --，，， 所以()11310A B =-，，，(103AC =，，，(1133AC =-，，，设平面CA 1B 1的一个法向量为()m x y z =，，，由1113030A B m x y ACn y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，得()131m =-，，， 设平面C 1A 1B 1的一个法向量为()n a b c =，，，由111130330A B n a b A C n a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，得 ()131n =，，， 故cos 131355m n m n m n ⋅+-=⋅＜，＞==， 又二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1为锐角， 故二面角C ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值为35． 【点睛】本题考查了面面垂直的判定及向量法求二面角的余弦值，考查了空间思维能力和数学运算能力，属于中档题．19. 已知点F 1为椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的左焦点，21P ⎛- ⎝⎭，在椭圆上，PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆的方程：（2）已知直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且坐标原点O 到直线l 6AOB ∠的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）22x +y 2＝1；（2）∠AOB 为定值2π 【解析】【分析】（1）由PF 1⊥x 轴，及点P 的坐标可得F 1的坐标，即c 的值，将P 的坐标代入，由a ，b ，c 之间的关系的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l 的方程，代入椭圆中求出A ，B 的坐标，进而可得数量积OA OB ⋅的值为0，可得∠AOB 2π=；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积OA OB ⋅的表达式，可得恒为0，即∠AOB 恒为定值2π 【详解】（1）因为PF 1⊥x 轴，又212P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆上，可得F 1(﹣1，0)， 所以c =1，22112a b+=1，a 2=c 2+b 2， 解得a 2=2，b 2=1，所以椭圆的方程为：22x +y 2=1；（2）当直线l 的斜率不存在时，由原点O 到直线l 6， 可得直线l 的方程为：x 6=±代入椭圆可得A (63,63)，B (63,63)或A (63-,63)，B (63-,63)， 可得0OA OB ⋅=，所以∠AOB 2π=；当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为：y =kx +m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由原点O 到直线l 的距离为63261m k =+，可得3m 2＝2(1+k 2)，①直线与椭圆联立2212y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得(1+2k 2)x 2+4km x +2m 2﹣2=0， ∆=16k 2m 2﹣4(1+2k 2)(2m 2﹣2)>0，将①代入∆中可得∆=16m 2+8>0，x 1+x 22412km k -=+，x 1x 2222212m k -=+，y 1y 2＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2()22222222241212k m k mm k k-=-+++222212m k k -=+， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+22222222222322121212m m k m k k k k ----=+=+++， 将①代入可得OA OB ⋅=0， 所以∠AOB 2π=；综上所述∠AOB 2π=恒成立．【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合，考查了运算能力，属于中档题． 20. 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表： T （小时） (]04，(]45，(]56， (]67， (]78， (]824，频数（车次） 100 100 200 200 350 50以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率． （1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：男女合计不超过6小时 306小时以上 20合计 100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？ （2）（i ）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()EX ；（ii ）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求()2P ξ≥的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++()20P K k ≥ 0.40 0.250.150.100.050.0250k0.7801.3232.072 2.7063.841 5.024【答案】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i ）分布列见解析，()1465E X =．；（ii ）()812125P ξ≥=【解析】 【分析】（1）先根据频数分布表填写22⨯列联表,再将数据代入2K 公式求解即可；（2）（i ）X 的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii ）先求得()314.655P X >=,则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,进而求得概率即可 【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为1001002000.41000++=,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, 则22⨯列联表如下：男 女 合计 不超过6小时 10 30 40 6小时以上 20 40 60 合计 3070100根据上表数据代入公式可得()221002030104050079427063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 （2）（i ）由题意知：X 的可取值为5,8,11,15,19,30,则()()()()11115,8,11,15,101055P X P X P X P X ======== ()()7119,302020P X P X ====所以X 的分布列为：X5 8 11 15 19 30()P X110 110 15 15 720 120∴()111171581115193014.651010552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （ii ）由题意得()171314.65520205P X >=++=,所以3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+= 【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能力21. 设函数()f x ()20xax x aa e++=＞，e 为自然对数的底数． （1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e xln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调增区间为1,1a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）0＜a 12e -≤． 【解析】 【分析】（1）求导得()()11xa a x x a f x e -⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=，求得()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）ax 2+x +a ﹣e xx +e xln x ≤0成立⇔2xax x ae++≤x ﹣ln x ，由（1）可得当x ＝1时，函数y 2xax x ae ++=取得极大值21a e +，令g （x ）＝x ﹣ln x ,(x >0)，利用导数研究其单调性即可得出x ﹣ln x ≥1．进而得出a 的取值范围．【详解】（1）函数()()20xax x af x a e++=>，e 为自然对数的底数， 则()()11xa a x x a f x e -⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=， 令()0f x '=可得11x =，21111a x a a-==-<， ∴当1,a x a -⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,1a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； ∴()f x 的单调增区间为1,1a x a -⎛⎫∈⎪⎝⎭，单调减区间为1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞； （2）ax 2+x +a ﹣e x x +e xln x ≤0成立⇔2x ax x a e ++≤x ﹣ln x ，x ∈(0,+∞), 由（1）可得当x =1函数y 2x ax x a e++=取得极大值21a e +， 令g (x )= x ﹣ln x ,(x >0)，g ′(x )= 11x-， 可得x =1时，函数g (x )取得极小值即最小值．∴x ﹣ln x ≥g (1)=1，当(]0,1a ∈时，21a e +即为函数y 2x ax x a e++=的最大值， ∴2xax x a e ++≤x ﹣ln x 成立⇔21a e +≤1，解得a 12e -≤； 当()1,a ∈+∞时，211a e+>，不合题意； 综上所述，0<a 12e -≤． 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一周作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为2212x y +=.在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为33π⎫⎪⎭，，直线l 过点P . （1）若直线l 与OP 垂直，求直线l 的直角标方程：（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且138PA PB ⋅=，求直线l 的倾斜角. 【答案】（1320x y +-=（2）2π【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换求出结果.（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数的值的应用求出结果.【详解】（1）P 的极坐标为33π⎫⎪⎭，，转换为直角坐标为（3322，）， 所以直线OP 的斜率为3k =l 的斜率为13k = 所以直线l 的方程为3332y x -=⎝⎭320x y +-=， （2）把直线的方程转换为参数方程为332x tcos y tsin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程为2212x y +=的方程为)22213(2)3604cos sin t cos sin t θθθθ++++=. 所以122213134||28PA PB t t cos sin θθ⋅=⋅==+， 则：cos 2θ+2sin 2θ＝2，由于cos 2θ+sin 2θ＝1， 所以sinθ＝1（负值舍去），所以2πθ=，故直线的倾斜角为2π. 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23. 设函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |，ab ＞0.（1）当a ＝1，b ＝1时，求不等式f （x ）＜3的解集；（2）若f （x ）的最小值为2，求41a b+的最小值.【答案】（1）{x |3322x -＜＜}（2）92【解析】【分析】 （1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，然后对x 分类去绝对值，化为关于x 的一元一次不等式求解，取并集得答案； （2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立.可得f （x ）的最小值为|b +a |＝2.结合ab ＞0，得|b +a |＝|a |+|b |＝2，则()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）原不等式等价于|x ﹣1|+|x +1|＜3，当x ≥1时，可得x ﹣1+x +1＜3，解得1≤x 32＜；当﹣1＜x ＜1时，可得﹣x +1+x +1＜3，得2＜3成立；当x ≤﹣1时，可得﹣x +1﹣x ﹣1＜3，解得32-＜x ≤﹣1. 综上所述，原不等式的解集为{x |3322x -＜＜}； （2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |≥|b +a |，当且仅当（x ﹣a ）（x +b ）≤0时等号成立.∴f （x ）的最小值为|b +a |，即|b +a |＝2.又∵ab ＞0，∴|b +a |＝|a |+|b |＝2， ∴()41411412a b a b a b a b ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭14149552222b a b a a b a b ⎛⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝. 当且仅当4b a a b=时，等号成立， ∴41a b +的最小值为92. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题.。
2020届广东省惠州市高三第三次调研考试数学(理)试题(解析版)
2020年1月2日高中数学作业一、单选题1．已知全集U =R ，{}|21xA x =<，则U A =ð（ ） A ．{}1x x > B ．{}1x x ≥C ．{}0x x >D ．{}0x x ≥【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A ，再求补集即可。
【详解】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选:D. 【点睛】本题考查补集运算，考查指数不等式解法，是基础题2．设i 为虚数单位，复数2122z i ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限. 【详解】22111122422z ⎛⎫⎫=+=+⋅+=-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以z 在复平面内对应的点为12⎛- ⎝⎭，在第二象限. 故选：B 【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的性质与0，1比较即可 【详解】202020201log log 10πa =<=，()2020101πb ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，1π20201c =>，所以a b c <<.故选：D. 【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题 4．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线3y x =上，则3sin(2)2πθ-= （ ） A ．45B ．45-C ．35-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由终边确定角的正切值，利用诱导公式及二倍角公式求解 【详解】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=， 所以()234sin 2cos22cos 1.25πθθθ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式及诱导公式，意在考查计算能力及公式运用，是中档题5．在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，4AM MC =u u u u r u u u u r，P 为AD 的中点，则MP u u u r= （ ）A ．43510a b +vv B ．4354a b +r rC ．43510a b --r rD ．1344a b --r r【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则求解 【详解】MP u u u v = ()144325510AP AM AD AB AD AB AD -=-+=--=u u ur u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 43510a b --r r故选：C 【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查用基底表示向量，熟练运用加减运算是关键，是基础题6．设a R ∈，则“a =是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠-12，解得a ＝.故“a =是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的充分不必要条件 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价关系是解决本题的关键．7．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．201920202S a =+ B ．201920212S a =+ C ．201920201S a =- D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.8．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A ．114B ．17C ．528D ．514【答案】D 【解析】 【分析】直接根据概率公式计算即可． 【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2828C =种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中， ∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p 514m n == 故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．9．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案． 【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．10．如图，平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D α⋂，平面ABCD m α=⋂，平面11ABB A n =，则m 、n 所成角的正弦值为（ ）A ．12-B ．12C ．33D ．32【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，判断出m 、n 所成角，求解即可． 【详解】如图：//α面11CB D ，α⋂面ABCD m =，α⋂面11ABA B n =，可知1//n CD ，11//m B D ，因为△11CB D 是正三角形，m n 、所成角为60°． 则m 、n 所成角的正弦值为32． 故选：D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，熟练运用线面平行的性质定理是关键 11．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.12．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.给出下述四个结论：①0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭； ②若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ③()f x 的最小正周期为3；④()f x 在()0,2019上的零点个数最少为1346个． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．①③D ．②④【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可． 【详解】()00,1x x +区间中点为012x +，根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,①正确.若00x =，则()()00112f x f x =+=-，即12sin ϕ=-，不妨取6πϕ=-，此时()sin 26f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，满足条件，但113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()0,1上的最大值，不满足条件，故②错误.不妨令0526x k πωϕπ+=-，()0126x k πωϕπ++=-，两式相减得23πω=, 即函数的周期23T πω==，故③正确.区间()0,2019的长度恰好为673个周期，当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间()0,2019上零点个数至少为673211345⨯-=，故④错误. 故正确的是①③， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及三角函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题13．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是_________.【答案】6 【解析】 【分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果. 【详解】①22,220;n =<②44,220;n =<③66,220.n =>结束循环，输出结果：6 故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14．若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++L ，则1278a a a a ++++L 的值为________ 【答案】3- 【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-L ，令0x =，得01a =，则1278213a a a a L ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S .若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a =______；5S =______．【答案】1 121 【解析】 【分析】根据前n 项和与通项关系，求出通项公式，然后再求和. 【详解】由2121214a a a a =+⎧⎨+=⎩，解得11a =，23a =，当2n ≥时，由已知可得：121n n a S +=+，①121n n a S -=+，②①－②得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，又213a a =， ∴{}n a 是以11a =为首项，以3q =为公比的等比数列．∴5511312113S -⨯==-.故答案为:3,121 【点睛】本题考查已知前n 项和求通项以及等比数列的前n 项和公式，考查运算能力，属于基础题.16．已知双曲线1:C 22221(00)x y a b a b －，=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，1C 与2C 在一象限的公共点为P ，若直线1PF 斜率为34，则双曲线离心率()2e e >为______．【答案】4+ 【解析】 【分析】由题可得2p c =，1123tan 4PF k PF F =∠=，124cos 5PF F ⇒∠=，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设0(P x ，0)y ，可得2002pPM PF x x c ==+=+，1015()4cos 45PM PM PF x c MPF ===+∠．结合122PF PF a -=，化简可得08x a c =-，在△12PF F 中，由余弦定理可得2880e e -+=，即可求解 【详解】解：因为2F 是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以2pc =， 解得2p c =，所以抛物线的方程为：24y cx =；由1123tan 4PF k PF F =∠=，124cos 5PF F ⇒∠=， 如图过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，设0(P x ，0)y ，则2002p PM PF x x c ==+=+，⇒1015()4cos 45PM PM PF x c MPF ===+∠． 由122PF PF a -=，可得0005()()284x c x c a x a c +-+=⨯⇒=-在△12PF F 中，208PF x c a =+=，21210PF PF a a =+=，122F F c =， 由余弦定理可得2222222112112122?cos 880880PF PF F F PF F F PF F c ac a e e =+-∠+=⇒-+-⇒=，4e ∴=±，又2e >，242e ∴=+，故答案为：422+． 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和解三角形的运算，属于中档题．三、解答题17．在平面四边形ABCD 中，3ABC π∠=，2ADC π∠=，2BC =.（1）若ABC ∆33，求AC ； （2）若23AD =3ACB ACD π∠=∠+，求tan ACD ∠.【答案】(1) 7AC =(2) 3tan ACD ∠=【解析】 【分析】(1)利用已知条件与面积公式即可得到结果； (2) 设ACD α∠=，则3ACB πα∠=+，结合正弦定理即可得到tan ACD ∠.【详解】（1）在ABC ∆中，因为2BC =，3ABC π∠=，133··sin 22ABC S AB BC ABC ∆=∠=， 333AB =，解得：3AB =. 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222?cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-∠=所以7AC =（2）设ACD α∠=，则33ACB ACD ππα∠=∠+=+如图，在Rt ACD ∆中，因为23AD =，所以23sin sin AD AC αα==在ABC ∆中，3BAC ACB ABC ππα∠=-∠-∠=-，由正弦定理，得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，即2233sin sin 3παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以2sin sin 3παα⎛⎫-=⎪⎝⎭所以312cos sin sin 22ααα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，即3cos 2sin αα= 所以3tan 2α=，即3tan 2ACD ∠= 【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18．如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（Ⅰ）证明：AE PB ⊥；（Ⅱ）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【答案】（I ）见解析；（II ）5-. 【解析】 【分析】（I ）先证明AE POB ⊥平面，再证明AE PB ⊥；（II ）在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ，证明OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C --的余弦值. 【详解】（I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB||CE,AB=CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE ， ∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=, ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠=∴2362DBC πππ∠=-=,即BD ⊥BC ， ∴BD ⊥AE ，翻折后可得：OP ⊥AE,OB ⊥AE ，又,,OP POB OB POB OP OB O ⊂⊂=Q I 平面平面，AE POB ∴⊥平面， ,PB POB AE PB ⊂∴⊥Q 平面；（II ）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ， 因为AE ⊥平面POB ，∴AE ⊥PQ ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE∩OB=O∴PQ ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即OP⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为3131313(0,0,),(,0,0),(0,,0),(,0,),(,,0)222P E C PE EC ∴=-=u u u r u u u r ,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则11130022,,013022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u v u u u v u v 设3x =，则y=-1,z=1，∴1(3,-1,1)n =u r，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r， 设二面角A-EP-C 为α，1212||5|cos |=5||||5n n n n α⋅==u r u u rur u u r . 易知二面角A-EP-C 为钝角，所以5cos =-5α.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19．为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一()1班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一()8班和高一()9班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.【答案】(1)12；(2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）利用组合数结合古典概型求出从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率．（2）由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E （ξ）． 【详解】 （1）记事件i A {=从6名学生抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，i 0=，1，2，3}； 则2A 与3A 互斥故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣213033333366C C C C C C ⋅⋅=+ 101202==； （2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；()22342255C C 9P ξ0C C 50⋅===⋅()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25⋅⋅+⋅===⋅ ()22111243242255C C C C C 3P ξ2C C 10⋅+⋅⋅===⋅()21242255C C 1P ξ3C C 25⋅===⋅则ξ的分布列为：…数学期望为()9241526E ξ0123505050505=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其中120y y ≠.（1）若10x =，求OAB V 的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形.【答案】(1)4 5(2) x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）当10x =时得直线l ：440x y +-=，与椭圆联立得B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，再求面积 （2）设直线l ：4x my =+ ，与椭圆联立，由直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形，得0TA TB k k += ，利用斜率代入韦达定理化简得定点坐标 【详解】（1）当10x =时，代入椭圆方程可得A 点坐标为()0,1或()0,1- 若A 点坐标为()0,1，此时直线l ：440x y +-=联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消x 整理可得25830y y -+= 解得11y =或235y =，故B 83,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以OAB V 的面积为1841255⨯⨯= ()0,1A -若点坐标为，由对称性知OAB V 的面积也是45，综上可知，当10x =时，OAB V 的面积为45.（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 由()226441240m m =-⨯+>V，得212m > 则12284m y y m +=-+，122124y y m =+ , 因为直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形， 所以0TA TB k k += 设(),0T t ，则()()()()()()()()122112121212111224TA TB y x t y x t my y t y y y yk k x t x t x t x t x t x t -+-+-++=+==------,即()()()()1212222848124240444m t m t m my y t y y m m m --+-+=+==+++, 解得1t =.故x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 、TB 与y 轴围成的三角形始终为等腰三角形． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线过定点问题，解决此类问题，通常先猜后证，重点考查计算能力，是中档题21．已知实数0a ≠，设函数()e ax f x ax =-． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当12a >时，若对任意的[)1,x ∈-+∞，均有()()212a f x x ≥+，求a 的取值范围．注：e 2.71828=L 为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增；（2）122a <≤ 【解析】 【分析】(1)求导后取出极值点,再分0a >,0a <两种情况进行讨论即可.(2)当0x =时得出a 的一个取值范围,再讨论1x =-时的情况,再对(1,)x ∈-+∞时构造函数两边取对数进行分析论证122a <≤时()()212af x x ≥+恒成立.【详解】(1)由()(1)=0ax ax f x a e a a e =-'=⋅-,解得0x =．①若0a >,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <,则当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述,()f x 在(,0)-∞内单调递减,在(0,)+∞内单调递增．(2)2()(1)2a f x x ≥+,即2(1)2ax ae x ≥+． 令0x =,得12a≥,则122a <≤．当1x =-时,不等式2(1)2axaex ≥+显然成立, 当(1,)x ∈-+∞时,两边取对数,即2ln(1)ln 2aax x ≥++恒成立． 令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+,即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++,得211x a =->-． 故当2(1,1)x a ∈--时,()0F x '>,()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时,()0F x '<,()F x 单调递减. 因此22()(1)2ln 2ln 2ln 22a aF x F a a a a ≤-=-++=--．令函数()2ln 2ag a a =--,其中122a <≤,则11()10a g a a a='-=-=,得1a =, 故当1(,1)2a ∈时,()0g a '<,()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时,()0g a '>,()g a 单调递增．又13()ln 4022g =-<,(2)0=g ,故当122a <≤时,()0g a ≤恒成立,因此()0F x ≤恒成立,即当122a <≤时,对任意的[1,)x ∈-+∞,均有2()(1)2a f x x ≥+成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题,需要构造函数讨论函数的单调性进行求解,属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为2cos ρθ=，若极坐标系内异于O 的三点()1,A ρϕ，2,6B πρϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()3123,,06,C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭都在曲线M 上.（1123ρρ=+；（2）若过B ，C两点直线的参数方程为2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求四边形OBAC 的面积.【答案】（1）详见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）将()12,,,,6B πρϕρϕ⎛⎫+⎪⎝⎭ 3123,(,,0)6C πρϕρρρ⎛⎫-> ⎪⎝⎭代入极坐标方程ρ2cos θ=，求出123ρρρ、、，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得()1,2,02B C ⎛ ⎝⎭，则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ=.四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+，化简可得结果. 【详解】（1）由122cos ,2cos ,6πρϕρϕ⎛⎫==+⎪⎝⎭ 32cos 6πρϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则232cos 2cos 66ππρρϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1ϕ==； （2）由曲线M 的普通方程为：2220x y x +-=，联立直线BC 的参数方程得：20t =解得120,t t ==()1,,2,022B C ⎛ ⎝⎭则231,2,6πρρϕ===；又得1ρ.即四边形面积为121311sin sin 2626OBAC S ππρρρρ=+=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题. 23．已知函数()24f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x ≤的解集；（2）若()(1)f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1) [2,)+∞ (2) (,2]-∞试卷第21页，总21页 【解析】【分析】(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；(2)对x 分类讨论，当1x ≠时，241x x k x ++-≤-，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】（1）当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >；当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解； 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤； 综上所述，不等式解集为[)2,+∞.（2）由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-当1x =时，60≥恒成立，所以k R ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++----- 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311|011x x ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x ≤-时，等号成立 所以，2k ≤综上，k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。