2015年全国研究生数学建模大赛优秀论文F题10
2015年全国研究生数学建模大赛优秀论文B题9
2
1. 问题的重述
几何结构分析是进行数据处理的重要基础,特别是在对于高维数据的相关性分 析和聚类分析等基本问题上结构分析格外重要。 为了挖掘数据集的低维线性子空间结构，我们常用数据降维方法处理数据， 这类方法以假设数据集采样于一个线性的欧氏空间为前提。但是，往往在实际问 题中很多数据具备更加复杂的结构。 针对单一子空间结构假设的后续讨论主要分为两个方面，首先是从线性到非 线性的扩展，主要的代表性工作包括流形（局部具有欧氏空间性质的空间定义为 流形，而欧氏空间就是流形最简单的实例）学习等。 其次是流形或子空间从一个扩展到多个的问题，即考虑处理的数据集采样于 多个欧氏空间的混合。子空间聚类（又称为子空间分割，假设数据分布于若干个 低维子空间的并集）是将数据按某种分类准则划分到其所属的子空间的过程。通 过子空间聚类，可以将来自同一子空间中的数据归为一类，再由同类数据可以提 取相应子空间的相关性质。子空间聚类的求解方法包括代数方法、迭代方法、统 计学方法以及基于谱聚类的方法。在众多算法中，基于谱聚类的方法在近几年较 为流行，通常情况下使用这类方法一般都能得到正确的分类结果，其中代表性的 谱聚类子空间分割方法包括低秩表示和稀疏表示等。 假设数据的结构为混合多流形，因为多数境况下数据来自混合子空间。虽然 也有些实际问题的数据并不符合混合子空间结构的假设，但这种境况处理相对简 单。此外，混合流形不全是子空间的情况，数据往往具有更复杂的结构，分析这 种数据具有更大的挑战性。 本文在几何结构分析问题中假设数据分布在多个维数不等的流形上，其特殊 情况是数据分布在多个线性子空间上。下面对问题进行简要重述： 1.附件一中 1.mat 中有一组高维数据（.mat 所存矩阵的每列为一个数据点，以 下各题均如此），数据结构未知，需要使用合适的方法将该组数据分成两类。 2.图 1(a)为两条交点不在原点且互相垂直的两条直线，将其分为两类；图 1(b) 为一个平面和两条直线， 需要按要求将其分为三类。 图 1(c)为两条不相交的二次曲 线，按要求将其分为两类。图 1(d)为两条相交的螺旋线，结构相对复杂需按要求将 其分为两类。
2015数学建模竞赛优秀论文
图 2 太阳高度角
由三角形性质，显然，
OB
tan θ =
(1)
OA
即得，
OB H
L = OA =
=
(2)
tan θ tan θ
根据参考文献[1],太阳高度角θ的计算公式为：
sin θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos σ
(3)
其中，φ为观测地地理纬度，δ为赤纬角，σ为时角。 参考文献[2]:所谓日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的
图 1 夏半年日影运动
由于太阳和地球最短距离为1.471 × 108km，所以太阳光接近地球表面时可以近似看成 是平行光。参考文献[1]，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上 讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。如图（2）所 示，OB为竿长，OA为影长，θ即为太阳高度角。
4. 模型的建立
4.1. 问题一模型的建立
4.1.1. 立杆影长随参数变化的模型的建立 为了探求不同时间、不同经纬度下立杆影长的变化规律，我们建立以立杆为参考系的数
学模型。一年四季中除去春分、夏至、秋分、冬至以外，太阳相对于地球都不是严格由正东 向正西方向运动，因此立杆的影子变化不仅在于长度的改变，方向也在改变。同一天，随着 时间的推移，立杆的影子顶点应当是一个弧状轨迹。如图（1），为夏半年日影运动静态模 拟图。图中白色虚线表示影子顶点运动的部分轨迹。
太阳影子定位
摘要
本文通过分析影响立杆影长的相关参数的变化，建立了时间、太阳位置和影子轨迹关系 的数学模型，探究了影子变化的影响因素，以及通过影子变化如何确定拍摄时间和地点。
针 对 问 题1， 我 们 利 用 太 阳 高 度 角 的 定 义 及 太 阳 高 度 角 的 大 小 跟 赤 纬 角 、 时 角 、 当 地纬度相关，建立了影长关于太阳高度角、杆长、日期这三个因素变化的模型。然后依 据题目给定的参数利用MATLAB得到影长，并进行检验。结果显示2015年10月22日当天北 京时间9:00–15:00之间天安门广场上一根3米高的竿子在12:36分时取到最短影长为3.68米， 在9：00时取到最长影长为6.78米。
数学建模全国优秀论文范文
数学建模全国优秀论文范文随着科学技术特别是信息技术的高速发展，数学建模的应用价值越来越得到众人的重视，数学建模全国优秀论文1：《浅谈数学建模教育的作用与开展策略》数学建模本身是一个创造性的思维过程，它是对数学知识的综合应用，具有较强的创新性，以下是一篇关于数学建模教育开展策略探究的论文范文，欢迎阅读参考。
大学数学具有高度抽象性和概括性等特点，知识本身难度大再加上学时少、内容多等教学现状常常造成学生的学习积极性不高、知识掌握不够透彻、遇到实际问题时束手无策，而数学建模思想能激发学生的学习兴趣，培养学生应用数学的意识，提高其解决实际问题的能力。
数学建模活动为学生构建了一个由数学知识通向实际问题的桥梁，是学生的数学知识和应用能力共同提高的最佳结合方式。
因此在大学数学教育中应加强数学建模教育和活动，让学生积极主动学习建模思想，认真体验和感知建模过程，以此启迪创新意识和创新思维，提高其素质和创新能力，实现向素质教育的转化和深入。
一、数学建模的含义及特点数学建模即抓住问题的本质，抽取影响研究对象的主因素，将其转化为数学问题，利用数学思维、数学逻辑进行分析，借助于数学方法及相关工具进行计算，最后将所得的答案回归实际问题，即模型的检验，这就是数学建模的全过程。
一般来说",数学建模"包含五个阶段。
1.准备阶段主要分析问题背景，已知条件，建模目的等问题。
2.假设阶段做出科学合理的假设，既能简化问题，又能抓住问题的本质。
3.建立阶段从众多影响研究对象的因素中适当地取舍，抽取主因素予以考虑，建立能刻画实际问题本质的数学模型。
4.求解阶段对已建立的数学模型，运用数学方法、数学软件及相关的工具进行求解。
5.验证阶段用实际数据检验模型，如果偏差较大，就要分析假设中某些因素的合理性，修改模型，直至吻合或接近现实。
如果建立的模型经得起实践的检验，那么此模型就是符合实际规律的，能解决实际问题或有效预测未来的，这样的建模就是成功的，得到的模型必被推广应用。
2015数学建模竞赛优秀论文
问题三分析：问题三在问题二的基础上又加深了，经度计算仍然和问题2相同。纬度计 算上将日期看成n即可，将n代入计算，得到含n的代数式表示纬度。再由循环求解法将得到 的影子坐标与附件2、3的坐标进行比对，找出可能值。
图 1 夏半年日影运动
由于太阳和地球最短距离为1.471 × 108km，所以太阳光接近地球表面时可以近似看成 是平行光。参考文献[1]，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上 讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。如图（2）所 示，OB为竿长，OA为影长，θ即为太阳高度角。
针 对 问 题3， 没 有 给 出 拍 摄 时 间 。 对 于 经 度 ， 根 据 影 长 求 解 的 方 法 同 问 题2， 得 到 附 件2和 附 件3的 经 度 分 别 为 东 经143度20分31秒 、 西 经105度19分55秒 。 对 于 纬 度 ， 利 用MATLAB计算出对应不同日期的附件时间段内的影子长度数组，与附件2、3中的已有影长 数组进行比对，差异最小的所对应的时间既是拍摄日期。继而根据日期确定拍摄地的纬度。 从而确定拍摄地点和日期。
1
1. 问题重述
太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的影子变化，从而确定视频的拍摄时间和地 点。影子变化的根本原因在于地球的公转和自转，已知太阳光是沿直线传播，地球公转的运 动轨迹和地球赤道有一个夹角，因此不同地区的太阳直射点不同。在同一时刻，不同地区的 物体影子变化也是不一样的。而确定拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，在实 际生活中应用广泛。因此，建立一个太阳影子定位模型对于解决实际问题是非常必要的。
2015数学建模竞赛优秀论文
关键词： 最小二乘拟合 搜索算法 数据拟合 SketchUp 软件 Matlab 编程
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一、 问题重述
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技 术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用 你们建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点。 将你们的模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
关于太阳影子定位问题的研究
摘要
本文将从建立影子长度变化模型、根据影子顶点坐标数据建立确定直杆所处地点的 模型、直杆所处的地点和日期的模型以及根据影子的变化视频建立确定视频拍摄地点的 模型来研究太阳影子定位问题。 针对问题一，建立影子长度的数学模型，经查阅相关资料【1】可知，影长与太阳高度 角及物体垂直高度有关，而太阳高度角与时角、赤纬角、纬度等有关。先确定太阳高度 角的表达式，再得到影长变化模型。由影子长度变化模型可知：影长与物体垂直高度成 正比，与太阳高度角的正切成反比。根据模型编写 Matlab 程序求解得到所求直杆的影 长变化曲线（见文中图一），其影长最小值为 2.5213 米，北京时间为 11:46；最大值为 5.0980 米，北京时间为 8:56。由于该模型采用的赤纬角的计算公式未考虑年份的影响， 所以本文进一步改进了该模型。 经查阅资料【2】得到更精确的计算赤纬角的公式， 对改进 后的模型求解，由得到的直杆影子变化曲线（见文中图二）知：影长随时间的变化趋势 不变，最小值为 3.2282 米，北京时间为 11:46；最大值为 6.4280 米，北京时间为 8:56。 针对问题二，根据固定直杆影子顶点坐标，建立直杆地点数学模型。先根据坐标数 据求出对应的影长， 再根据模型一中的函数逆推得到影长与经纬度的函数。 通过 Matlab 的搜索算法不断拟合不同经纬度的影长变化曲线，将其与坐标系中影长变化曲线进行误 差分析，选取误差最小的经纬度采用谷歌地图查询地点，得到直杆可能的所在地。将附 件 1 的数据进行上述处理，得到直杆所处的地点最可能为海南三亚（109.5250°E， 18.2795°N），其它可能地点为海南海口（110.3207°E，20.0496°N）和广东玉林 (110.7015°E,22.7865°N)。 针对问题三，根据固定直杆的影子顶点坐标数据，建立确定直杆所处地点和日期的 模型。在问题二所建模型的基础上视时间为变量，将附件 2 的数据代入 Matlab 的搜索 算法求得直杆所在地点的经纬度最可能在新疆 （75.8361°E, 39.4293°N） ， 时间为 2015 年 1 月 1 日。 附件 3 中直杆所处地点经纬度最可能在山西 （34.2616°E,109.7023°N） ， 时间为 2015 年 1 月 20 日。 针对问题四，根据所给视频，建立确定拍摄地点的数学模型。本文通过 KMPlayer 软件截取视频中连续变化每间隔一分钟的图片，再根据 SketchUp 软件对截取的 41 张图 片建立坐标并求得杆长与影长之比，根据杆长可求得影长，将拟合出的影长作为已知条 件，根据问题二所建模型的方法可以求出拍摄地点最可能在黑龙江佳木斯市 （134.8724°E,48.4232°N）。若拍摄时间未知，可根据问题三所建模型的方法求解， 得拍摄地点为黑龙江佳木斯（134.7823°E,47.4232°N），时间为 2015 年 7 月 12 日。
研究生数学建模f题
研究生数学建模f题
研究生数学建模竞赛一直以来都备受关注，吸引着众多数学爱好者和专业人士参与其中。
其中，数学建模赛中的f题更是备受瞩目，因为它往往涉及到更加复杂和深入的问题，需要参赛者具备更高的数学素养和解决问题的能力。
在f题中，通常会给出一个现实生活中的复杂问题，要求参赛者通过数学建模的方法来分析和解决。
这类问题往往不仅仅涉及到数学知识，还需要考虑到实际情况中的种种因素。
因此，参赛者需要具备较强的逻辑思维能力和创新能力，才能够有效地解决这些问题。
数学建模赛中的f题往往需要参赛者深入思考和分析，从多个角度考虑问题，并提出合理的模型和解决方案。
这要求参赛者具备扎实的数学基础和丰富的实践经验，能够灵活运用数学知识解决实际问题。
同时，参赛者还需要具备良好的团队合作精神，能够与队友共同协作，共同完成任务。
在数学建模赛中，f题的难度往往较高，需要参赛者具备较强的综合能力才能够胜任。
参赛者需要具备良好的数学建模能力，能够熟练运用各种数学工具和方法解决问题。
同时，参赛者还需要具备较强的沟通能力和表达能力，能够清晰地表达自己的观点和想法，并与队友有效地沟通合作。
总的来说，参加研究生数学建模赛中的f题是一项具有挑战性和意义的任务。
参赛者需要具备较强的数学素养和解决问题的能力，同时还需要具备良好的团队合作精神和沟通能力。
只有具备这些条件，才能够在竞赛中取得优异的成绩，并为数学建模事业做出更大的贡献。
希望更多的数学爱好者能够积极参与数学建模竞赛，共同探讨解决现实生活中的复杂问题，为数学研究和应用做出更大的贡献。
2015年全国研究生数学建模竞赛F题Word版
2015年全国研究生数学建模竞赛F题旅游路线规划问题旅游活动正在成为全球经济发展的重要动力之一，它加速国际资金流转和信息、技术管理的传播，创造高效率消费行为模式、需求和价值等。
随着我国国民经济的快速发展，人们生活水平得到很大提升，越来越多的人积极参与有益于身心健康的旅游活动。
附件1提供了国家旅游局公布的201个5A级景区名单，一位自驾游爱好者拟按此景区名单制定旅游计划。
该旅游爱好者每年有不超过30天的外出旅游时间，每年外出旅游的次数不超过4次，每次旅游的时间不超过15天；基于个人旅游偏好确定了在每个5A级景区最少的游览时间（见附件1）。
基于安全考虑，行车时间限定于每天7:00至19:00之间，每天开车时间不超过8小时；在每天的行程安排上，若安排全天游览则开车时间控制在3小时内，安排半天景点游览，开车时间控制在5小时内；在高速公路上的行车平均速度为90公里/小时，在普通公路上的行车平均速度为40公里/小时。
该旅游爱好者计划在每一个省会城市至少停留24小时，以安排专门时间去游览城市特色建筑和体验当地风土人情（不安排景区浏览）。
景区开放时间统一为8:00至18:00。
请考虑下面问题：（一）在行车线路的设计上采用高速优先的策略，即先通过高速公路到达与景区邻近的城市，再自驾到景区。
附件1给出了各景区到相邻城市的道路和行车时间参考信息，附件2给出了国家高速公路相关信息，附件3给出了若干省会城市之间高速公路路网相关信息。
请设计合适的方法，建立数学模型，以该旅游爱好者的常住地在西安市为例，规划设计旅游线路，试确定游遍201个5A级景区至少需要几年？给出每一次旅游的具体行程（每一天的出发地、行车时间、行车里程、游览景区；若有必要，其他更详细表达请另列附件）。
（二）随着各种旅游服务业的发展，出行方式还可以考虑乘坐高铁或飞机到达与景区相邻的省会城市，而后采用租车的方式自驾到景区游览（租车费用300元/天，油费和高速过路费另计，租车和还车需在同一城市）。
2015年数学建模全国一等奖论文
t (ts t 0) (tt 12)
其中 ts 为时间，t 为时差，t0 为最低点时间，t 北为对应的北京时间。 计算出时差 t 。 (3) 经度的求解 已知两地经度相差 1 度，时间相差 4 分钟，所以可列出：
（11）
北
ts
4
(12)
其中 γ 为当地经度，γ 北为北京经度，ts 为时差。 通过公式（12）解得经度 γ （4）纬度的求解 太阳方位角就是太阳在方位上的角度，它和坐标有以下关系：
7
7
6.5
6
影长 L
5.5
5
4.5
4
3.5 9
10
11
12 时间 t
13
14
15
图5
北京 10 月 22 日影长变化
5.2
问题二：
5．2．1 模型的准备
模型建立之前，我们分析数据得到所给影子顶点坐标并非以标准的东西南北 方向坐标系下的坐标， 所以我们必须进行矫正，把坐标系修正成正南正北的坐标 系。而后确定时差来确定经度，进而得到纬度。
（8）
（9）
获得新的坐标（x1,y1） 。 注：矫正坐标系以东西方向为 x 轴，南北方向为 y 轴。
图6
8
（2） 时差的求解 通过所给坐标在 matlab 中进行拟合，得到一条影长 L 关于时间 ts 的抛物线 方程： L=ats2-bts+c 其中 L 为影长，t 为时间。 解出最低点坐标 t0，利用北京时间 12：00 时影子最短，利用比例关系 (10)
5.1.3 模型的求解
模型中及为影长 L 和时间 t，纬度φ，以及日期 n 的函数关系。当其中两个 自变量确定后，就可建立影长 L 和另外一个自变量的模型。 （1） 影长 L 和时间 t 的模型 给定日期 n 和纬度φ， 模型就变成了影长 L 和时间 t 的一元函数， 应用 Matlab 即可得到影长的变化曲线。 在此，我们验证了赤道上 1 月 1 日的影长变化（如图 2） 由图可以看出，当 1 月 1 日时，9:00 到 15:00 的曲线为开口向上的抛物线， 在早上 9:00 时，由于太阳直射南半球，所以影子长，到了当地正午 12:00 时影子 最短，下午又开始增长，符合实际，模型基本成立。
2015年研究生数学建模竞赛优秀论文选-《面向节能的单、多列车优化决策问题》8-68页
参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号1.队员姓名 2.3.参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题摘要：本文围绕单/多列车优化决策问题，在合理假设的基础上，利用多岛遗传优化算法和NSGA-Ⅱ多目标优化算法给出了单列车单站点、单列车多站点、多列车多站点的能耗最低运行线路的优化决策，并分析处理了列车发生延误时的优化控制问题。
针对问题一（1），建立了单列车单区间节能优化模型。
首先通过将时间分段-离散的方法，建立了能耗积分方程的数值求解方法，并制定了末端制动策略使得末端速度在规定时间、规定距离上减小为0。
在此基础上，建立了以能耗最低为优化目标，分段数、各分段时间间隔、各段运行工况为决策变量，满足速度、加速度等约束条件的优化模型。
通过多岛遗传算法，对模型进行求解，得到A6-A7段能耗为3.37×107J。
针对问题一（2），建立了单列车多区间节能优化模型。
首先通过理论推导，将时间-最低能耗曲线转换为以最少时间、最低能耗为双目标优化问题的Pareto 前端解集，利用NSGA-Ⅱ多目标优化算法分别得到了A6-A7站，A7-A8站Pareto 前端解集。
其次，在各自能耗-时间Pareto 前端解集中，利用多岛遗传算法，对时间分配进行优化建模，得到A6-A7段运行时间117s，A7-A8段运行时间103s，总能耗为6.8×107J。
针对问题二（1），建立了多列车全区间节能优化模型，在总能耗一定的情况下，再生能源越多，则总能量越少。
基于此，本文首先求解单个列车在整个区间段上的最少能耗，这是对于问题一（2）的推广，区别仅在于将停站时间计入运行时间，没有本质上的区别，本文采用将停站看作除去牵引、巡航、惰行和制动在外的第5 种工况，采用与问题一（2）相同的策略，求得单列车在整个运行区间（A1-A14）上的最低能耗，其它车辆采用相同的运行方式。
2015年全国研究生数学建模大赛优秀论文C题5
问题 4：基于无线信道“指纹”特征的区域高精度定位算法研究 该部分针对无线信道“指纹”特征，对问题 3 的区域分别进行 了粗划分与精划分，进一步细化了了“指纹”特征，最终对问题 4 的测量数据实现了高精度定位：测量结果 1 位于 121.67m，误差为 0.83m；测量结果 2 位于 75m，误差为 0.83m。 关键词: 无线信道；指纹提取；K 均值聚类。
-3-
的样本加以分析，给出无线信道 “指纹 ”的模型。在此基础上，给出简洁而明确的 “评 价指标 ”，用于分析验证所建模 “指纹 ”合理有效。所谓有效是指，该模型应能从数学 上对已知的三种场景进行合理区分。要求详细说明建模的思路、使用的方法以及得出 结论的过程。另外，所提取的特征或所建立的模型最好有一定的物理意义。最后，提 供获取“指纹”的程序代码，要求代码可运行，但代码形式不限。 问题 2： “数据包 2”提供了与 “问题 1”中某些场景相对应的二个真实信道测量结果。 基于“问题 1”中所提供的三个场景，以及所建立的 “指纹 ”模型和 “评价指标 ”，采用数 学的方法，识别出此处提供的二个样本分别属于哪个场景。需要保证“场景识别 ”的结 果正确，且对识别的结果进行合理的分析。请明确给出 “场景识别 ”的结果，并详细描 述分析的过程。 问题 3：“数据包 3”提供了一条连续路段的真实信道测量结果。该结果对应于以 3km/h 的速度步行近 150m 的测试距离。该路段可能包含不同的场景或环境，对应不 同的“指纹 ”特征。基于上述测量结果，先自行分段，采用 “问题 1”中的建模方法，给 出分段的“指纹 ”分析。在分段分析的基础上，对所提取的 “指纹 ”进行合理分类。通过 对比不同段的分析结果，最终决定该路段可以依“指纹 ”划分为多少个区域。理论上， “区域划分 ”越细， 后续做 “区域识别 ”的精确程度越高， 但过细的 “区域划分 ”会在 “指纹 ” 特征中引入更多的错误， 导致误判概率增大。 要求详细说明“区域划分 ”的思路及过程， 并对划分结果进行合理的分析。 问题 4：“数据包 4”提供了二个真实信道测量结果。基于 “问题 3”中的 “区域划分 ” 和“问题 1”中的 “评价指标 ”， 首先判断此处提供的二个样本是否采集自 “问题 3”中所提 供的路段。对于已判断出的采自上述路段的样本，请识别其对应于“问题 3”中的哪一 块区域。需要保证“样本判断 ”的结果正确，以及 “区域识别 ”的误判距离尽可能小，同 时对所识别的结果进行合理的分析。要求详细说明样本判别的思路和方法，以及得出 结论的过程。
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛D题全国一等奖论文1
二 问题的分析
对于众筹筑屋规划方案的设计，需要考虑的因素很多，比如：房屋的建筑成 本、建筑容积率、所应缴纳的增值税等，这些信息都会影响到项目的最终回报。 同时，与其它房地产开发项目不同的是，这是一个“众筹资金”项目，项目成员的 满意比例和项目的投资回报率也会影响到项目资金筹集情况，直接关系到项目能 否顺利实施。因此，我们对本题提出的三个问题做出如下分析：
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因此 总建筑面积 iaibi ，可得容积率 P 约为 2.275，符合国家标准。 i 1
5.1.2 方案Ⅰ的增值税税额 该方案Ⅰ增值税税额的计算，是整个问题中最复杂的部分，也关系到投资总
额和利益的计算。由《中华人民共和国土地增值税暂行条例》（附件 2）知，其 计算将遵循四级超率累进税率，与增值额和扣除项目金额两个因素有关。具体计 算分为以下几个步骤。 ⑴ “其他”住宅类型的转换
根据附件 1-1 的说明可知，在计算增值税时有两类核算模式，分别是普通住 宅计算模式和非普通住宅计算模式。因此，在正式计算以前，我们需要将“其他”
类型住宅按照已有普通宅和非普通宅建筑面积比，分摊后再计算。假设 s1 , s2 , s3
分别代表普通宅、非普通宅、其它类型住宅占总建筑面积的比例，经 C++编程计
关的税金为收入的 5.65%。因此，
Z4
3 i 1
ai bi di
10
0.253
i9
ai bi di
5.65%
。
⑤其他扣除项目 Z5 。按《实施细则》第七条得，该项可按取得土地使用权
2015年全国研究生数学建模大赛优秀论文F题9
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目 录
摘 要 ............................................................................................................................................................... 1 1 问题重述 ..................................................................................................................................................... 4 1.1 问题背景 .......................................................................................................................................... 4 1.2 问题的提出 ...................................................................................................................................... 4 2 问题分析 ..................................................................................................................................................... 5 2.1 整体分析 ....
2015年研究生数学建模竞赛优秀论文选-《数据的多流形结构分析》9-47页
（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号1.队员姓名 2.3.（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目数据的多流形结构分析摘要当今社会，各式各样的数据充斥着人们生活的各方各面，对大规模数据的分析与处理在科学研究领域占据着越来越重要的地位。
数据的维数之高，结构之复杂为数据的分析与处理带来了一定的困难。
本文针对数据多流形结构的特点，结合已有聚类模型进行聚类分析，得到如下成果：针对问题1：依据该题数据采样于完全独立的两个子空间的特点以及稀疏表示的含义，本文对数据建立稀疏子空间聚类（SSC）模型进行聚类分析，得到第41~140 个数据属于类别1、其余编号数据属于类别2 的结果。
并利用基于主成分分析（PCA）的K-means 聚类算法建模降维，进行模型检验。
经检验，稀疏子空间聚类（SSC）模型的聚类分析结果有效。
针对问题2：问题2 可分为（1）线性流形聚类问题；（2）非线性流形聚类问题。
根据线性、非线性的不同特点，本文对线性问题建立稀疏子空间聚类（SSC）模型进行聚类分析，对非线性问题建立谱多流形聚类（SMMC）模型进行混合流形聚类分析。
有效地将2(a)的两条交点不在原点且互相垂直的直线分为两类；将2(b)的一个平面和两条直线，分为三类；将2(c)的两条不相交的二次曲线分为两类；将图2(d) 为两条相交的螺旋线分为两类。
针对问题3：针对视觉重建中的特征提取问题，依据该问数据局部非线性但整体线性的特点，本文建立基于K-means 的SSC 模型进行聚类分析，并采用SMMC 模型进行检验，获得了可靠的聚类分析成果，有效地将3(a)中十字上的点分成两类；针对3(b)运动分割问题，依据该题数据高维特点，本文建立PCA、Isomap 及LLE 三种降维模型，与K-means 算法相结合进行分析，并建立SMMC 模型进行检验，将视频中一帧的特征点轨迹分成三类，得到了误差极小的聚类分析结果；针对3(c)人脸识别问题，依据人脸图像维度高和亮度变化等因素，本文先对数据进行标准化处理，消除光照影响，再通过建立PCA、Isomap 及LLE 三种降维模型，使用流形学习方法，提取到不受亮度变化因素影响的人脸低维流形，与K-means 算法相结合进行分析，最终成功将这 20 幅人脸图像分成两类，获得了有效聚类分析成果。
2015年全国研究生数学建模大赛优秀论文D题7
参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校上海航天技术研究院(航天八院) 参赛队号83285013队员姓名1. 周文元2. 杨学森3. 王蒴参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目单/多列车优化决策问题的研究摘要：本文研究单/多列车节能优化决策问题。
以x轴负半轴建立公里标坐标系，符合列车从左到右行驶习惯；统一数据单位和方向；进行数据预处理和线路加算坡度融合；给出微分方程的形式列车运行动力学模型。
针对问题一：根据定点停车制动约束反推定点停车制动曲线，列车到达临界制动曲线时全力制动，实现到站智能定点停车，位置误差小于1e-3m；以“牵引-惰行-制动”三段模型建立了A6-A7站和A6-A7-A8站之间的最小能耗模型，采用模拟退火算法求解，时间误差小于0.1s。
结果表明：A6-A7段最小能耗为9.0718kW·h，A6-A8段最小能耗为17.9608kW·h，得到速度距离曲线和路程-加速度、牵引系数、制动系数曲线。
针对问题二：第一小问的求解分为两个阶段，第一阶段求解单列车全程运行最小能耗方案。
对车站区间分类，设计长区间“牵引-巡航-惰行-制动”四段模型，短区间“牵引-惰行-制动”三段模型的方案；计算给定时间不同运行方案的能耗，结果表明：能耗十分接近，优化余裕只有不到10%；拟合列车站间运行“时间-能耗”曲线，获得时间能耗对应函数关系；采用内点法求解，得到近似最优的单列车A1-A14站全程时间分配方案；每一站区间利用问题一中的优化模型求解，得到列车全程运行节能模型，最小能耗182.37kW·h。
记录“全程的单车能耗曲线”，耗能为正，再生能量为负，应用于第二阶段当中。
第二阶段列车全程运行方案由前一阶段给出，通过改变发车间隔，求解最优发车间隔方案H。
将在轨列车的单车能耗曲线重叠错位相加，正负能耗在重叠区域抵消，余下的未利用再生能量予以清除，求和得到考虑再生能量利用的总能耗。
【数学建模国赛获奖】2015年全国数学建模竞赛A题全国一等奖论文14
关键字： 枚举法 微元法 直杆影对角 小孔成像 牛顿莱布尼兹公式
间的变化规律。
针对问题二，建立确定直杆所处地点的数学模型。分别从影子实际长度 l 和 相邻时刻影子的夹角 两个方面考虑直杆所在地点。一方面，通过对附件 1 中的 数据分析，求出实际影子长度比值 li / li1 。根据问题一中 与各参数, , 之间 的关系，对直杆所在地点的经度 ，纬度 采用枚举法，对每一组 ( , ) 求解出 li / li1 tani / tani1 的比值，找出实际值与理论值之间的最小方差，即得到若 干最优解 ( , ) 。另一方面，利用附件 1 中的数据求出相邻时刻影子之间的夹角 i ，再重新定义参数 为影子与正北方向的夹角。与上一方法类似，我们应用参 数 通过对直杆所在地点的经度 ，纬度 采用枚举法，对于每一组 ( , ) 求解 出 i i i1 作为模拟值，用类似的方法得到若干最优解。最后比较两种方法
4、建立确定视频拍摄地点的数学模型，根据附件 4 为一根直杆在太阳下的 影子变化的视频，给出若干个可能的拍摄地点。已通过某种方式估计出该直杆的 高度为 2 米。若拍摄日期未知，试根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题假设
1、 假设地球为规则的球体，半径为 R=6371km； 2、 假设南纬为负，北纬为正，西经为负，东经为正； 3、 假设地球公转的周期为 365 天，地球自转的周期为 24 小时； 4、假设题目中给出的所有数据都是准确的，忽略测量时出现的误差； 5、假设太阳为点光源，发出的光线为平行光线直射地球，忽略大气层折射对太
2015年全国研究生数学建模竞赛一等奖论文资料
（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校西安理工大学参赛队号10700001队员姓名1. 余蓉2. 程帅3. 明波（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目面向节能的单/多列车优化决策问题研究摘要：铁路运输消耗的总能量巨大，研究列车节能操作运行具有重要的理论意义和实际应用价值。
针对问题一：分析了单列车运行过程中的能量转换机制。
得到列车的牵引力做功与制动力、阻力做功之间的关系。
据此，建立了牵引力做功最小的耗能最低优化模型。
考虑到模型约束条件的复杂性，提出了基于模拟-优化思想的模型求解方法：首先，通过模拟方法找到列车的可行运行工况；其次，采用布谷鸟优化算法优化了列车运行工况时间切换点；最后，确定了列车最优运行速度距离曲线。
所求结果显示，列车从A6-A7站以及A6-A8站的最低能耗分别为3.4×107J和6.7×107J。
针对问题二：分析了多列车节能优化控制中列车运行时间以及列车制动牵引重叠时间对能耗的影响。
首先，基于“列车运行时间与耗能成反比”的基本规律，提出了缩短列车停站时间以及采用单站最优速度距离曲线的基本节能控制策略；其次，通过控制列车发车时间间隔实现了列车牵引制动重叠时间的最大化；最后，建立了多列车能量交换重叠时间最大优化模型，并采用动态搜索方法结合布谷鸟优化算法对该模型进行了求解，分别求得100列和240列列车总耗能最低的发车间隔，进而得到对应的发车时刻图（如图11和图12所示）、列车速度距离曲线图（如图10和图13~14所示）。
针对问题三：首先，通过分析列车延误后优化控制问题中尽快恢复正点以及恢复期间耗能最低两个基本目标，建立了列车延误时间最小以及能耗最低的多目标优化控制模型；其次，以单列车从A2到A3站的运行过程为研究对象，以延误10s为模型输入，基于模拟优化方法求解了列车延误后尽快恢复正点运行的最优速度距离曲线（如图15所示）；最后，对于延误时间为随机变量问题，建立了一个随机模拟模型，生成了大量样本数据，以样本数学期望7.5s作为模型输入，重新拟定列车的最优速度距离曲线（如图16所示），并与延误之前的控制方案进行了对比。
2015年江西省研究生数学建模竞赛优秀论文
摘要
互联网的发展使得网络评分的机制也被应用到竞赛评阅当中，本文利用统计软件 SPSS 处理大量数据之后，针对网评阶段和集中评审阶段相结合的评阅方式，对评委素 质和网评审核机制进行探究，得出将网评成绩加入总成绩的利弊。 针对问题一：利用先定性再定量的方式来探究网评成绩与最终成绩的相关性，先利 用 SPSS 处理附件中给出的数据，计算出网评平均标准分，再将最终成绩划分为四个不 同等级，一等奖对应数字 3，二等奖对应数字 2，三等奖对应数字 1，未获奖对应数字 0， 利用 Excel 作出网评平均标准分和最终成绩等级分的散点图（见图 5-1~图 5-5），定性 得到是正相关关系，然后利用 Spearman 等级相关系数（5.11）处理网评平均标准分和最 终成绩，最终计算出结果：A、B、C、D、E 组别的 Spearman 的相关系数分别为 0.768**、 0.792**、0.762**、0.811**，0.803**，定量得到平均标准分和最终成绩等级分是呈正相关 关系并且高度一致。 针对问题二：考虑到评委自身打分风格以及是否科学打分，本文从两个角度来对评 委素质进行度量：1、利用评委所评阅的所有论文的方差大小判断；2、利用皮尔逊相关 系数（Pearson Correlation）的大小来分析某评委所打标准分与四位评委网评平均标准分 的一致性。 针对问题三：根据问题二中已经建立的度量评委的指标体系，在此基础上构建了方 差模型、克朗巴哈系数模型、皮尔逊相关系数模型和评委综合素质评判指标。首先利用 SPSS 计算出单个评委对其所有自身所批改论文分数的方差，然后计算出克朗巴哈系数， 得到的结果为：α =0.733>0.7，因此评委们相互之间的评分一致性是很高的。由于仅用 单一标准度量评委会有误差， 利用方差和皮尔逊相关指数相乘得到评委综合素质评判指 标，最终用此结果来评判评委的基本素质，并对结果（见表-2）进行了详细分析。 针对问题四：从比例角度出发，计算出 A、B、C、D、E 的获奖人数与对应该组的 参与考试总人数的比例都在 42%左右， 然后分别计算出不同组别在此百分比的情况下网 评成绩获奖人数占此百分比下网评成绩总数的比例系数，通过五组比例系数（表-3）的 对比，从而得到 A、C 评委与 B、D、E 评委的整体表现存在显著性差异，并给出差异 原因。 针对问题五：从评阅论文的工作效率和网评成绩与最终成绩的相关性出发。计算出 含有网评阶段的论文批阅时间为 27549 个单位，不含有网评方式的论文批阅时间为 34132 个单位，因此可判断出有网评的批阅方式更高效；利用问题一结论可知网评成绩 与最终成绩有高度一致性；而弊端是出现一些偶然情况。
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关信息。请设计合适的方法，建立数学模型，以该旅游爱好者的常住地在西安市为例， 规划设计旅游线路，试确定游遍 201 个 5A 级景区至少需要几年？给出每一次旅游的具 体行程（每一天的出发地、行车时间、行车里程、游览景区；若有必要，其他更详细表 达请另列附件） 。 2、随着各种旅游服务业的发展，出行方式还可以考虑乘坐高铁或飞机到达与景区 相邻的省会城市，而后采用租车的方式自驾到景区游览。该旅游爱好者根据个人旅游偏 好确定在每一个景区最长逗留时间不超过附件 1 给出的最少时间的 2 倍。附件 4 给出了 若干城市之间的高铁票价和相关信息（约定：选择高铁出行要求当天乘坐高铁的时间不 超过 6 个小时，乘坐高铁或飞机的当天至多安排半天的景区游览） ；附件 5 给出了若干 省会城市之间的机票全价价格信息（含机场建设费） 。该旅游爱好者一家 3 人同行，综 合考虑前述全程自驾、 先乘坐高铁或飞机到达省会城市后再租车自驾到景区等出行方式 （附件 1 中给出了各景区所在地的信息，若景区位于某城市市区或近郊，则这类景区的 市内交通费用已计入住宿费中， 不再另计） ， 建立数学模型设计一个十年游遍所有 201 个 5A 景区、费用最优、旅游体验最好的旅游线路，给出每一次旅游的具体线路（含每次具 体出行方式；每一天的出发地、费用、路途时间、游览景区、每个景区的游览时间） 。 3、在第二问所建立的模型基础上加以推广，可以为全国的自驾游爱好者规划设计 类似的旅游线路，进而给出常住地在北京市的自驾游爱好者的十年旅游计划；根据上述 三问的结果给旅游爱好者和旅游有关部门提出建议。 4、自 2007 年 3 月 7 日至 2015 年 7 月 13 日，全国旅游景区质量等级评定委员会分 29 批共批准了 201 家景区为国家 5A 级旅游景区。附件 6 是从国家旅游局官网上收集的 国家 5A 级旅游景区评定的相关信息，附件 7 给出了国家旅游局官网上收集的国家 4A 级景区名单，请更为合理地规划该旅游爱好者的十年旅游计划。
总舒 适度 0.72 0.93 29.16%
关键词：自驾游路线规划；复杂交通网；多目标规划；模糊综合评价；系统动力学
1 问题重述
1.1 问题提出的背景 旅游活动正在成为全球经济发展的重要动力之一，它加速了国际资金的流转和信息、 技术管理的传播，创造出高效率的消费行为模式、需求和价值等。目前，随着我国国民 经济的快速发展，人们生活水平得到很大提升，越来越多的人积极参与到有益于身心健 康的旅游活动中。国家旅游局公布的 201 个 5A 级景区名单，一位自驾游爱好者拟按此 景区名单制定旅游计划。 1.2 问题相关数据 (1)该旅游爱好者每年有不超过 30 天的外出旅游时间，每年外出旅游的次数不超过 4 次，每次旅游的时间不超过 15 天； (2) 旅游爱好者基于个人旅游偏好，确定了在每个 5A 级景区最少的游览时间，见 附件一； (3)从安全角度考虑， 限定每天的行车时间介于 7:00 至 19:00 之间， 且每天开车时间 不超过 8 小时。针对每天的行程安排，若安排全天游览，则开车时间控制在 3 小时内， 若安排半天游览，则开车时间控制在 5 小时内； (4)景区开放时间统一为 8:00 至 18:00； (5)旅游爱好者在高速公路上的行车平均速度为 90 公里/小时，在普通公路上的行车 平均速度为 40 公里/小时； (6)该旅游爱好者计划在每一个省会城市至少停留 24 小时，以安排专门时间去游览 城市特色建筑和体验当地风土人情（不安排景区浏览） ； (7)租车费用 300 元/天，油费和高速过路费另计，租车和还车需在同一城市； (8)住宿费为省会城市和旅游景区 200 元/人•天，地级市 150 元/人•天，县城 100 元 /人•天； (9)高速公路的油耗加过路费平均为 1.00 元/公里， 普通公路上油耗平均为 0.60 元/ 公里。 1.3 拟解决的问题 1、在行车线路的设计上采用高速优先的策略，即先通过高速公路到达与景区邻近 的城市，再自驾到景区。附件 1 给出了各景区到相邻城市的道路和行车时间参考信息， 附件 2 给出了国家高速公路相关信息，附件 3 给出了若干省会城市之间高速公路路网相
指标 数值 住宿总费用 13.54 万 门票总费用 5.11 万 旅游总里程 32.28 万 旅游总费用 64.9 万 旅游总年数 8
针对问题三：首先，将问题二的模型用于不同城市出发游览全国 5A 级十年内游览 规划模型进行求解，发现各城市之间有较大差异；然后，在问题二的基础上，建立以全 国各地的成本均衡度、全国旅游舒适度指标、全国旅游乘车(包括乘坐高铁、飞机)舒适 度、全国旅游花费的总时间均衡度、全国旅游总路程均衡度五项指标，建立旅游成本效 益综合评价模型，利用模糊综合评价理论对模型进行求解，可得城市周边 5A 景点较少 的城市出发的游客整体满意度较低(以北京、西安为例比较如下)。 北京 西安
3
5A 景区
5A+4A 景区 变化率
住宿 总费用 9.54 万 10.8 万 11.66%
门票 总费用 5.11 万 8.34 万 38.73%
旅游 总里程费 18.28 万 22.4 万 22.53%
旅游 总费用 32.93 万 41.54 万 26.14%
旅游 总年数 7.25 8.5 17.24%
2 问题分析
2.1 问题一的分析 在考虑高速优先的策略下，首先选取与景区邻近的城市，同时考虑景区聚集空间聚 集度、城市人均消费水平和空间可达性等选取指标对城市进行优选。其次将优化出来的 城市定义为交通网络中的特征节点，再根据附件中高速公路的信息，将特征节点上的高 速线路连接成网，对于特征城市内部的市区交通网络，采用 BA 无标度网络进行构网， 构造一个高速交通网络和特征市区的交通网络组合的复杂交通网络。 在复杂交通网络中，提出了三个目标：旅游时间最短、旅游路程最少和旅游的安全 度最高。同时考虑每年出游次数、每次出游的天数和每年出游的天数，景区开放时间、 省会逗留时间等因素的限制， 建立了遍游 201 个 5A 级景区的线路规划多目标优化模型。 运用人工蚁群优化算法，对各个特征城市连接的线路进行选取，根据每条线路上的权重 对道路进行选择，最终确定自驾游爱好者的每年的出游路线，根据出游路线的规划，得 到自驾游爱好者游遍全国 201 个 5A 级景区的需要的总时间。 2.2 问题二的分析 在问题一的基础上，由于出行方式的多种选择性，在构造交通网络中，就要考虑高 铁、飞机和租车便利城市等因素的，而这些因素都会影响特征城市的选取，特别是游客 在游玩过程中，需要在最短的时间内到达景区，这样就要求交通的便利性，主要体现在 旅游中转站(汽车站、火车站和飞机场等)的转乘，转乘次数越少，旅游过程中游客的满
时间 第1天 出发 时间 7:00 出发地点 西安市 游览景区 (目的地) 苏州
2
行车里 程(公里) 1298.9
游览时 间(小时)
行车时 间(小时) 14
总时间 (小时) 14
第2天 第3天 7:00 苏州 苏州园林 13.6 8 0.5 8.5
针对问题二：首先，鉴于出行方式的多样性，在旅游中转站进行换乘时，换乘次数 体现在特征城市选取，在此提出了考虑转乘因素影响的交通网络特征节点(特征城市)的 选取，对城市选取作成特征节点进行重新构网；然后，在第一问基础上，再次提出了旅 游总费用最少， 游客满意度最大的两个目标， 同时考虑每天乘高铁时间不超过 6 个小时， 转乘的次数不能超过 3 次，旅游过程中的乘车时间和景区逗留时间，以及乘坐交通工具 后的游玩时间等条件的限制，构建十年内景区的游览规划模型；最后，运用人工蚁群优 化算法对模型进行求解，得到自驾游爱好者游遍全国 201 个 5A 级景区每年出游的最佳 旅游线路和出游的相关参数(费用、路途时间、游览景区等)如下表所示。
次数 补贴前游客舒适度 补贴后游客舒适度 补贴前游客舒适度 补贴后游客舒适度 0.6 0.46 0.50 1 0.59 0.55 0.51 0.53 2 0.53
针对问题四： 在十年的有限旅游时间内， 首先， 对于 5A 级景区附近的 4A 级景区， 采用便利旅游的策略进行游览，构建以 5A 级景点为中心的 4A 景点网络结构模型；其 次，利用复权理论对两类景区进行评分，作为游客所在城市距离作为分数加权指标；然 后，以第二问目标为基础，考虑 4A 景区的十年内游览的模式下，提出了增加单位时间 旅游得分、单位时间旅游得分、单位里程旅游得分、单位成本得分增加率三个目标，的 构建了十年内游玩 5A 级景区和 4A 级景区的多目标规划模型。
5
意度相应也会提高。 鉴于以上分析，本文提出了考虑转乘因素影响的交通网络特征节点(特征城市)的选 取，对城市选取作成特征节点进行重新构网，提高复杂交通网络在出行方式多样性的基 础上更为合理性。 在第一问的三个目标的基础上，再次提出了旅游总费用最少，游客满意度最大的两 个增加的目标，同时考虑每天乘高铁时间不超过 6 个小时，转乘的次数不能超过 3 次， 旅游过程中的乘车时间和景区逗留时间，以及乘坐交通工具后的游玩时间等条件的限制， 构建十年内景区的游览规划模型。运用人工蚁群优化算法对模型进行求解，得到自驾游 爱好者游遍全国 201 个 5A 级景区每年出游的最佳旅游线路和出游的相关参数(出发地、 费用、路途时间、游览景区等)。 2.3 问题三的分析 在问题二的基础上，考虑在不同城市为出发点对旅游线路进行规划，可以发现从不 同城市出发前往各地旅游的时间耗费、资金耗费均有所不同，并结合一般实际情况，发 现“自驾游”爱好者一般会选择离自己较近的景点进行旅游，但时间和经费是游览过程 中的重要考虑的因素。 基于以上分析，考虑对从各地出发至各旅游景点的费用情况、时间情况，对旅游爱 好者的旅游成本与效益进行分析， 建立不同地点出发 “成本效益综合评价模型” ， 对于不 同地点的旅客旅游的情况，将发现不同景点的不同地区旅游爱好者的吸引力不同。因此 判定旅游景点在国内的影响力，景点吸引越多的远距离游客可以认为其的影响力越大， 游客在景点逗留时间越长择景点影响力越大。同时，考虑到不同景点对国内不同人群的 吸引力不同，将建立基于系统动力学的费用补贴模型，以此吸引远距离的“自驾游”爱好 者，同时也会提高旅游者的整体旅游收益，进而使得不同城市出发的旅游者在有脸全国 所有景点时均可获得较高的旅游收益。 2.4 问题四的分析 在考虑到 4A 景点后，不同城市 “自驾游”爱好者在全国范围内旅游的线路规划方 案不同。根据数据分析可知，5A 级景点周边存在 4A 级景点，因此认为在 5A 级景点为 中心点构造的全国景点的交通网络，换言之，增加以 5A 级景点为中心的 4A 级景点网 络簇，即游客在游览完 5A 级景点后，可以快速方便的对 4A 进行游玩。 在考虑到第二问的基础上，考虑的时间消耗、费用消耗、安全性、旅游满意度最大 等问题后，可以考虑游客在增加 4A 级景点后其的旅游满意情况。拟使用旅游的分的方 式进行旅游满意情况刻画，假设在游客在游玩一个 5A 景点时，基础得分为 5 分，游玩 一个 4A 景点的基础得分为 4 分。由于游客所常住的地方与景点的距离及在景点逗留时 间对其在旅游经典获得的分数进行加权，得到各个景点的加权得分。 从同一城市出发， 仅玩 5A 级景点游客的得分与同时完 5A 和 4A 级景点的得分变化 情况，可从单位时间旅游得分、单位里程旅游得分、单位时间得分增加率、单位成本得 分增加率四个方面， 并结合第二问处理方法， 构建多目标旅游线路规划模型， 对考虑 4A 景区的十年内游览问题进行求解。