离散数学课本定义和定理

第1章集合

1.1 集合的基本概念

1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集

2. 表示集合的方法：列举法、描述法

3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为A⊆B或B⊇A，并称A为B的一个子集。

如果集合A和B满足A⊆B，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为A⊂B，并且称A为B的一个真子集。

4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为 ρ(A)或 2A

1.2 集合的运算

定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为A∪B.

定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为A∩B.

定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足A∩B=∅，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为A−B.

定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为A′.

定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差A⊕B为

A⊕B=(A−B)∪(B−A)

1.3 包含排斥原理

定理1.3.1设A1,A2为有限集，其元素个数分别为|A1|，|A2|则

|A1∪A1|=|A1|+|A2|−|A1∩A2|

定理1.3.2设A1,A2,A3为有限集，其元素个数分别为|A1|,|A2|,|A3|，则|A1∪A2∪A3|=|A1|+ |A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|

定理1.3.3设A1,A2,…,A n为有限集，则|A1∪A2∪…A n|=

∑|A i| n

i=1−∑|A i∩A j|

1≤i

+∑|A i∩A j∩A k|

1≤i

+⋯+(−1)n−1|A1∩A2∩…A n|

重要例题P11 例1.3.1

第2章二元关系

2.1 关系

定义2.1.1（序偶）：

若 x 和 y 是两个元，将它们按前后顺序排列，记为〈x,y〉，则〈y,x〉成为一个序偶。

※对于序偶〈x,y〉和〈a,b〉，当且仅当x=a并且y=b时，才称〈x,y〉和〈a,b〉相等，记为

〈x,y〉=〈a,b〉

定义2.1.2（有序n元组）：

若x1,x2,…,x n是个元，将它们按前后顺序排列，记为〈x1,x2,…,x n〉，则成为一个有序n元组（简称n元组）。

定义2.1.3（直接积）：

A和B是两个集合，则所有序偶〈x,y〉的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为A×B.定义2.1.4（直接积）：

设A1,A2,…,A n是n个集合，x i∈A i,i=1,2,…,n，则所有n元组〈x1,x2,…,x n〉的集合，称为A1,A2,…,A n的笛卡尔积（或直接积），记为A1×A2×…×A n.

定义2.1.5（二元关系）

若A和B是两个集合，则A×B的任何子集都定义了一个二元关系，称为A×B上的二元关系。如果A=B，则称为A上的二元关系。

定义2.1.5（恒等关系）：

设I x是X上的二元关系，I x={〈x,x〉|x∈X}，则称I x是X上的恒等关系。

定义2.1.7（定义域、值域）：若S是一个二元关系，则称

D(S)={x|存在y,使〈x,y〉∈S}为S的定义域。R(S)={y|存在x,使〈x,y〉∈S}为S的值域。定义2.1.8（自反）：设 R 是集合上 X 的关系，若对于任何

．．x∈X，都有 xRx 即〈x,x〉∈R则称R关系是自反的。

定义2.1.9（反自反）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x∈X，都满足〈x,x〉∈R,即xRx对任何x∈X都不成立，则称关系R是反自反的。

定义2.1.10（对称）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy,就有yRx,那么称关系R是对称的。

定义2.1.11（反对称）：设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy并且yRx时,就有x=y，那么称关系R是对称的。

定义2.1.11（传递）设R 是集合上 X 的关系，若对于任何x,y∈X，只要xRy并且yRz时，就有xRz，则称关系R是传递的。

定理2.1.1设R 是集合上 X 的关系，若R是反自反的和传递的，则R是反对称的。

2.2 关系矩阵和关系图

定义无定理无

2.3 关系的运算

定义2.3.1（连接）：设 R 为X×Y上的关系，S为Y×Z上的关系，则定义关系

R∘S={〈x,z〉|存在y,使〈x,y〉∈R且〈y,z〉∈S}

R∘S称为关系R和S的连接或复合，有时也记为R∙S.

定义2.3.2（逆关系）：设 R 为X×Y上的关系，则定义R的逆关系为R−1为Y×X上的关系：R−1={〈y,x〉|〈y,x〉∈R}.

定理2.3.1设R和S都是X×Y上的二元关系，则下列各式成立

（1）(R−1)−1=R（2）(R∪S)−1=R−1∪S−1

（3）(R∩S)−1=R−1∩S−1（4）(R′)−1=(R−1)′

（5）(R−S)−1=R−1−S−1

定理2.3.2设R为X×Y上的关系，S为Y×Z上的关系，则(R∘S)−1=S−1∘R−1