精品专题05直击高考选做题集训-一本通之备战2019高考数学(理)选做题

专题05 直击高考选做题集训

1．（2018新课标Ⅰ卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.

（1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.

【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．

（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．

由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．

记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．

由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．

当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以

2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-

时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．

当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以

2|2|21k k +=+，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =

时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23

y x =-

+． [选修4—5：不等式选讲]

已知()|1||1|f x x ax =+--.

（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.

【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

故不等式()1f x >的解集为1

{|}2

x x >．

2．（2018新课标Ⅱ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α

=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；

（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．

【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22

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x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，

当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，

所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα

++=-+， 故2cos sin 0αα+=，