精品专题05直击高考选做题集训-一本通之备战2019高考数学(理)选做题

专题05 直击高考选做题集训-一本通之备战2019高考数学(文)选做题

专题05 直击高考选做题集训1．（2018新课标Ⅰ卷）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k -+=+，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，所以2|2|21k k +=+，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． [选修4—5：不等式选讲] 已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．2．（2018新课标Ⅱ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． [选修4－5：不等式选讲] 设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．3．（2018新课标Ⅲ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当22||11k <+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． [选修4－5：不等式选讲] 设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．4．（2017新课标Ⅰ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =；当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.[选修4－5：不等式选讲]已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-||||. （1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥. 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.5．（2017新课标Ⅱ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>，由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=．由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>．因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠．【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程． [选修4－5：不等式选讲]已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法． 6．（2017新课标Ⅲ卷）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cossin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 20ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-，从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cossin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M 的极径为5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. [选修4－5：不等式选讲]已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >. 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。

2019年高考(山东卷)针对性训练数学(理工类)word精品文档8页

2019年高考（山东卷）针对性训练数学（理工类）本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后将答题卡交回．注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率：(k =0,1,2,…,n).第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若全集R ，集合，｛｝，则A. B ．C. D ． 2．已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是A ．B ．C ．D ．∥ 3. 是数列的前项和，则“是关于的二次函数”是“数列为等差数列”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”. 给出下列函数：其中“同簇函数”的是A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围A ．B ．C ．D ． 6．一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积等于( )A ．B ．C ．D ．第6题图第7题图7．已知实数，执行如上图所示的程序框图，则输出的不小于55的概率为 A ．B ．C ．D ． 8. 函数f （x ）=log |x |，g （x ）=－x 2+3，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是U ={235}A x x =+<B =3|log (2)x y x =+()UC AB ={}14≥-≤x x x 或{}14>-<x x x 或{}12>-<x x x 或{}12≥-≤x x x 或a b +a b -a b 2π=a b ||||=a b ⊥a b a b n S {}n a n n S n {}n a 22221(0,0)x y a b a b -=>>y =e (1,2)(1,2]46812[0,8]x ∈x 1412345429．已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．10.过抛物线（p ＞0）焦点作直线交抛物线于A,B 两点，O 为坐标原点，则A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 11.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种12.定义在R 上的函数满足，且为偶函数，当时，有A ．B ．C ．D ．2019年高考（山东卷）针对性训练数学（理工类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1. 第Ⅱ卷共2页，所有题目的答案考生务须用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡各题区域内作答；不能写在试题卷上；如有改动，先划掉原来的答案；不能使用涂改液i 、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效；作图时，可用2B 铅笔；要求字体工整，笔迹清晰，在草稿纸上答题无效，考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效。

2019年高考数学(理)模拟题及答案带解析.docx

本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档,请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！2019年高考数学(理)模拟题及答案带解析【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 4 = {-2,-1,0,2,3},B = {y | y =对-1, x w 4},则 4 B 中兀素的个数是A. 2B. 3C. 4D. 52.,是虚数单位，复数z = a + i(^a e R)满足z2 + z = l-3i,贝!］忖=A.血或厉 B 2 或5 C. A/5 D. 53.设向量°与〃的夹角为0,且a = (-2,1), a + 2"(2,3),则cos& =A. —E B 2 C. D.5 5 5 2^5__5-A. 7B. -7C.75.《九章算术》中，将底面是直角二角形的直二棱柱称之为"堑堵",已知某"堑堵"的三视图如图所示，则该"堑堵" 的表面积为A. 4B. 6 + 4 血C. 4 + 4^2D. 26.已知数列｛a n｝,｛b n｝满足b n=a n+a n+l,则"数列匕｝为等差数列"是"数列｛$｝为等差数列"的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图，则输出的"A. 1 D.-8.在(x-2)10展开式中，二项式系数的最大值为a,含F项的系数为方，则2 = aA. —B. —C.D.21 80 80 21x — 2y— 5 W 09.设实数满足约束条件x+y-4<0 ,贝％ = /+尸的最小值为3.x+y-10>0A. VioB. 10C. 8D. 510.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A A/6 g V6 c 3V2 D 3V23龙6718^. 2 211.已知O为坐标原点，F是双曲线-与= l(a>0』>0)的左焦a b点，4,B分别为「的左、右顶点，P为厂上一点，且PF丄兀轴，过点4的直线/与线段PF交于点M ,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若|OE\ = 2\ON\ ,则「的离心率为A. 3B. 2C. -D.212.已知函数/(x) = ln(e' +e-') + x2 ,则使得/(2x) >/(x + 3)成立的■x的取值范围是A. (-1,3)B. (^0,-3)(3,+co)C. (-3,3)D. (YO,—1)(3,4W)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届高考数学(理)”一本“培养优选练单科标准练2(解析版)

单科标准练(二)(满分：150分时间：120分钟)(对应学生用书第148页)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x ＜2}，N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列关系中正确的是( ) A ．M ∪N ＝R B ．M ∪(∁R N )＝R C ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∩N ＝MB [N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∪N ＝{x |x ＜2}，∁R N ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，M ∪(∁R N )＝R .故选B.]2．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(x ＋2i)i ＝y －i ，则|x －y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D. 5D [∵(x ＋2i)i ＝y －i ，∴－2＋x i ＝y －i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，则|x －y i|＝|－1＋2i|＝ 5.故选D.]3．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 满足BC →＝2BE →，则AE →·AB →的值为( )A ．1B ．3C.10D.92A [由四边形ABCD 为矩形，由数量积几何意义知： AE →·AB→＝(AB →)2＝1.故选A.] 4．函数f (x )＝12x 2－x sin x 的大致图象可能是( )A BC DC [由f (－x )＝f (x )，x ∈R ，得函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π62－π6×12＝π6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1＜0，因此结合各选项知C 正确，故选C.]5．甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利．甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利．”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A ．吉利，奇瑞B ．吉利，传祺C ．奇瑞，吉利D ．奇瑞，传祺A [因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的．否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.]6．如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )图1A ．8B ．12C ．18D ．24B [由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为V 1＝13×12×4×3×2＝4，三棱柱的体积为V 2＝2V 1＝2×4＝8，所以该几何体的体积为V ＝12，故选B.]7．甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A.29B.49C.23D.79D [由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有C 13A 33＝18个，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有C 13A 33－A 12A 22＝14.由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是P ＝1418＝79.故选D.]8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≤2x －2y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，则z ＝x －5y 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C [作出的可行域为三角形(图略)，把z ＝x －5y 改写为1z ＝y －0x －5，所以1z 可看作点(x ，y )和(5,0)之间的斜率，记为k ，则－23≤k ≤43，所以z ∈－∞，－32∪34，＋∞.]9．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图2所示，即最终输出的x ＝0，则一开始输入x 的值为( )图2A.34B.78C.1516D.3132 C [i ＝1， (1)x ＝2x －1，i ＝2，(2)x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3， (3)x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4， (4)x ＝2(8x －7)－1＝16x －15，i ＝5，所以输出16x －15＝0，得x ＝1516，故选C.]10．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被抛物线y ＝4x 2所截得的弦长为32，则双曲线C 的离心率为( )A.14 B ．1 C ．2D ．4C [双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程不妨设为bx ＋ay ＝0，与抛物线方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧bx ＋ay ＝0y ＝4x 2，消去y ，得4ax 2＋bx ＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b 4a x 1x 2＝0，所以所截得的弦长为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 216a 2＝32，化简可得bc 4a 2＝32，bc ＝23a 2，(c 2－a 2)c 2＝12a 4，e 4－e 2－12＝0，得e 2＝4或－3(舍)，所以双曲线C 的离心率e ＝2.]11．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＞0)的最小正周期为π，且f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的一个零点为－π8 B ．f (x )的一条对称轴为x ＝π8 C ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8上单调递增D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8是偶函数C [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，得2πω＝π，则ω＝2.又f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，即2×π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z .故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2k π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，∴f (x )的一个零点为－π8，故A 项正确； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝1，∴f (x )的一个对称轴为x ＝π8，故B 项正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，5π8上单调递减，故C 项错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8是偶函数，故D 项正确．故选C.] 12．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，则实数t 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，2－7]∪[2＋7，＋∞)D ．[2－7，2＋7]D [由题意可得直线AB 的方程为x ＝y ＋1，与y 2＝4x 联立消去x ，可得y 2－4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，设E (x E ，y E )，则y E ＝y 1＋y 22＝2，x E ＝y E ＋1＝3，又|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋1＋y 2＋1＋2＝8，所以圆E 是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D 恒在圆E 外．圆E 上存在点P ，Q ，使得以PQ 为直径的圆过点D (－2，t )，即圆E 上存在点P ，Q ，使得DP ⊥DQ ，设过D 点的两直线分别切圆E 于P ′，Q ′点，要满足题意，则∠P ′DQ ′≥π2，所以|EP ′||DE |＝4(3＋2)2＋(2－t )2≥22，整理得t 2－4t －3≤0，解得2－7≤t ≤2＋7，故实数t 的取值范围为[2－7，2＋7]，故选D.]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．(2－x )(x －1)4的展开式中，x 2的系数是__________．16 [(x －1)4的展开式中，T 3＝C 24x 2(－1)2，T 2＝C 14x 1(－1)3，故x ，x 2的系数分别为－4,6，从而(2－x )(x －1)4的展开式中x 2的系数为2×6＋(－1)(－4)＝16.]14．奇函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，f (3)＝2，则f (1)＝__________. 2 [由题设得f (－x )＝－f (x )，f (2－x )＋f (x )＝0，从而有f (2－x )＝f (x )，f (x )为周期函数且周期为2，所以f (1)＝f (3)＝2.]15．已知圆锥的高为3，侧面积为20π，若此圆锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．256π81 [设圆锥的母线长l ，底面的半径为r ，则πrl ＝20π，即rl ＝20，又l 2－r 2＝9，解得l ＝5，r ＝4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R ，则12(5＋5＋8)×R ＝12×3×8，故R ＝43，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫433＝25681π.]16．已知a ，b ，c 是锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，b ＝3，且满足2c －ab cos B ＝cos A ，则a ＋c 的取值范围是________．(]3，23 [∵2c －ab cos B ＝cos A ，∴由正弦定理得 (2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，即sin C (2cos B －1)＝0， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝12. ∵B 为△ABC 的内角，∴B ＝π3. ∵b ＝3，∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2， ∴a ＋c ＝2sin A ＋2sin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋2sin C＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，∵△ABC 是锐角三角形，∴π6＜C ＜π2，∴π3＜C ＋π6＜2π3， ∴a ＋c 的取值范围为(]3，23.]三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，其中n ∈N *.(1)证明：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)由a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，得a 2n ＋1－2a n a n ＋1－3a 2n ＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－3a n )＝0，由已知a n ＞0，得a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＝3a n .所以数列{a n }是公比为3的等比数列．由a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，得3a 1＋27a 1＝3(9a 1＋3)，解得a 1＝3，所以a n ＝3n .(2)由(1)知，b n ＝na n ＝n ·3n ，则S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝3＋2×32＋3×33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n ，① 3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1，② ①－②得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝3(1－3n )1－3－n ·3n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n ·3n ＋1－32.所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－14·3n ＋1＋34.18．(本小题满分12分)如图3(1)，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，使得A 1C ＝4，如图3(2)．(1) (2)图3(1)求证：平面A 1CP ⊥平面A 1BE ； (2)求二面角B -A 1P -D 的余弦值．[解] (1)证明：∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ， ∴BE ＝4，∠ABE ＝30°，∠EBC ＝60°，BP ＝2， ∴BP 2＋PC 2＝BC 2，∴BP ⊥PC ， ∵A 1P ＝AP ＝2，A 1C ＝4， ∴A 1P 2＋PC 2＝A 1C 2，∴PC ⊥A 1P ， ∵BP ∩A 1P ＝P ，∴PC ⊥平面A 1BE ，∵PC ⊂平面A 1CP ，∴平面A 1CP ⊥平面A 1BE ，(2)以P 为原点，PB 为x 轴，PC 为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，A 1(－1,0，3)，P (0,0,0)，D (－4，23，0)，所以PB →＝(2,0,0)，P A 1→＝(－1,0，3)，PD→＝(－4，23，0)．设平面A 1PD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·P A 1→＝－x ＋3z ＝0，n ·PD →＝－4x ＋23y ＝0，取x ＝23，得n ＝(23，4,2)，平面A 1PB 的法向量n ＝(0,1,0)，设二面角B -A 1P -D 的平面角为θ，则cos θ＝－|m ·n ||m |·|n |＝－432＝－22.∴二面角B -A 1P -D 的余弦值为－22.19．(本小题满分12分)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y (g)与尺寸x (mm)之间近似满足关系式y ＝c ·x b (b 、c 为大于0的常数)．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：(1)ξ的分布列和期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：(ⅰ)(ⅱ)已知优等品的收益z (单位：千元)与x ，y 的关系为z ＝2y －0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ，u i )(i ＝1,2，…，n )，其回归直线u ＝b ·v ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1 (v i －v )(u i －u )∑ni ＝1 (v i －v )2＝∑ni ＝1v i u i －n v u ∑n i ＝1v 2i －n v 2，a ^＝u －b ^v ，e ≈2.7182.[解] (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7内，即y x ∈(0.302,0.388)．则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，则取到优等品的件数ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 03C 36＝120，ξ的分布列为：E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(2)对y ＝c ·x b (b ，c ＞0)两边取自然对数得ln y ＝ln c ＋b ln x . 令v i ＝ln x i ，u i ＝ln y i ，得u ＝b ·v ＋a ，且a ＝ln c . (ⅰ)根据所给统计量及最小二乘估计公式有： b ^＝∑ni ＝1v i u i －n v u ∑n i ＝1v 2i －n v 2＝75.3－24.6×18.3÷6101.4－24.62÷6＝0.270.54＝12， a ^＝u －b ^v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18.3－12×24.6÷6＝1，得a ^＝ln c ^＝1，c ^＝e ，所求y 关于x 的回归方程为y ＝e x 12. (ⅱ)由(ⅰ)可知y ＝e x 12，则z ^＝2e x －0.32x .令t ＝x ，则z ^(t )＝－0.32t 2＋2e t ＝－0.32⎝ ⎛⎭⎪⎫t －e 0.322＋e 20.32.由优等品质量与尺寸的比y ^x ＝e x 12x ＝e x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 9，e 7⇒x ∈(7,9)，即x ∈(49,81)．当t ＝x ＝e0.32≈8.5∈(7,9)时，z ^取最大值．即优等品的尺寸x ≈72.3(mm)，收益z ^的预报值最大．20．(本小题满分12分)如图4，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )的左、右焦点分别为F 1，F 2，MF 2⊥x 轴，直线MF 1交y 轴于H 点，OH ＝24，Q 为椭圆E 上的动点，△F 1F 2Q 的面积的最大值为1.图4(1)求椭圆E 的方程；(2)过点S (4,0)作两条直线与椭圆E 分别交于A ，B ，C ，D ，且使AD ⊥x 轴，如图，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．[解] (1)设F (c,0)，由题意可得c 2a 2＋y 2b 2＝1，即y M ＝b 2a . ∵OH 是△F 1F 2M 的中位线，且OH ＝24， ∴|MF 2|＝22，即b 2a ＝22，整理得a 2＝2b 4. ①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时，△F 1F 2M 的面积最大，∴12×2c ×b ＝1，整理得bc ＝1，即b 2(a 2－b 2)＝1，② 联立①②可得2b 6－b 4＝1，变形得(b 2－1)(2b 4＋b 2＋1)＝0，解得b 2＝1，进而a 2＝2. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则由对称性可知D (x 1，－y 1)，B (x 2，－y 2)．设直线AC 与x 轴交于点(t,0)，直线AC 的方程为x ＝my ＋t (m ≠0)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋t x 22＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋2)y 2＋2mty ＋t 2－2＝0，∴y 1＋y 2＝－2mtm 2＋2，y 1y 2＝t 2－2m 2＋2，由A ，B ，S 三点共线k AS ＝k BS ，即y 1x 1－4＝－y 2x 2－4，将x 1＝my 1＋t ，x 2＝my 2＋t 代入整理得 y 1(my 2＋t －4)＋y 2(my 1＋t －4)＝0，即2my 1y 2＋(t －4)(y 1＋y 2)＝0，从而2m (t 2－2)－2mt (t －4)m 2＋2＝0，化简得2m (4t －2)＝0，解得t ＝12，于是直线AC 的方程为x ＝my ＋12，故直线AC 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.同理可得BD 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －ax －4ln x 的两个极值点x 1，x 2满足x 1＜x 2，且e ＜x 2＜3，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的取值范围； (2)求f (x 2)－f (x 1)的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a ＋a x 2－4x ＝ax 2－4x ＋ax 2，由题意知x 1，x 2即为方程ax 2－4x ＋a ＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4a ，x 1·x 2＝1，整理得a ＝4x 1＋x 2＝4x 2＋1x2＝4x 2x 22＋1.又y ＝x 2＋1x 2在(e,3)上单调递增，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫65，4e e 2＋1.(2)f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－a x 2－4ln x 2－ax 2＋ax 1＋4ln x 1，∵x1＝1x2，∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax2－4ln x2－ax2＋ax2＋4ln1x2＝2a⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2－8ln x2，由(1)知a＝4x2x22＋1，代入得f(x2)－f(x1)＝8x2x22＋1⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2－8ln x2＝8(x22－1)x22＋1－8ln x2，令t＝x22∈(e2,9)，于是可得h(t)＝8t－8t＋1－4ln t，故h′(t)＝16(t＋1)2－4t＝－4(t2－2t＋1)t(t＋1)2＝－4(t－1)2t(t＋1)2＜0，∴h(t)在(e2,9)上单调递减，∴f(x2)－f(x1)∈⎝⎛⎭⎪⎫325－8ln 3，－16e2＋1.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝34＋3t，y＝a＋3t(t为参数)，圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和圆C的极坐标方程；(2)若射线θ＝π3(ρ＞0)与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[解](1)在直线l的参数方程中消去t可得，x－y－34＋a＝0，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－34＋a＝0.同理，圆C 的极坐标方程为 ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0.(2)在极坐标系中，由已知可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，π3. 联立⎩⎨⎧θ＝π3，ρ2－6ρcos θ－6ρsin θ＋14＝0，可得ρ2－(3＋33)ρ＋14＝0，所以ρ2＋ρ3＝3＋3 3.因为点M 恰好为AB 的中点，所以ρ1＝3＋332，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3. 把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋332，π3代入ρcos θ－ρsin θ－34＋a ＝0，得3(1＋3)2×1－32－34＋a ＝0，所以a ＝94.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|mx ＋3|－|2x ＋n |.(1)当m ＝2，n ＝－1时，求不等式f (x )＜2的解集；(2)当m ＝1，n ＜0时，f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围． [解] (1)当m ＝2，n ＝－1时， f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|.不等式f (x )＜2等价于⎩⎨⎧x ＜－32，－(2x ＋3)＋(2x －1)＜2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤12，(2x ＋3)＋(2x －1)＜2，或⎩⎨⎧x ＞12，(2x ＋3)－(2x －1)＜2，解得x ＜－32或－32≤x ＜0，即x ＜0. 所以不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0)． (2)由题设可得，f (x )＝|x ＋3|－|2x ＋n |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋n －3，x ＜－3，3x ＋3＋n ，－3≤x ≤－n 2，－x ＋3－n ，x ＞－n 2，所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋n 3，0，B (3－n,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n2，3－n 2. 所以三角形ABC 的面积为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n ＋3＋n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3－n 2＝(6－n )26. 由题设知，(6－n )26＞24，解得n ＜－6.。

[配套k12学习]专题02 参数方程-一本通之备战2019高考数学(理)选做题

专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．（1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a ty y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数).基础通关1．了解参数方程，了解参数的意义.2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|45a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【例2】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 故|PA |的最大值与最小值分别为2255，255. 能力通关1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求222||+||(||||)PM PN PM PN ⋅的值.【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=；因为直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=，即3cos sin 10ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为310x y --=.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324ρθπ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos ,3sin )αα，因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值，易得点P 到直线60x y +-=的距离为|cos 3sin 6|2|sin()3|62d ααα+-π==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22．【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π6AOB ∠=，求3OA OB -的取值范围.【解析】（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：()22214x y -+=，由2x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'得2x x y y =⎧⎨=''⎩，代入上式可知：曲线2C 的方程为()2211x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()1,A ρθ，2π,6B ρθ⎛⎫+⎪⎝⎭（ππ,23θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭）， ∴12π332cos 23cos 6OA OB ρρθθ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭π2sin 6θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为π2ππ,636θ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB -的取值范围是[)2,1-. 高考通关1．在平面直角坐标系xOy 中，直线21:1x t l y t =+⎧⎨=-⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）试判断直线l 与曲线C 是否相交，若相交，请求出弦长；若不相交，请说明理由. 【解析】（1）由211x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得230x y --=，所以直线l 的普通方程为230x y --=. 由4cos ρθ=两边同乘以ρ得24cos ρρθ=，因为222x y ρ+=，cos x ρθ=，所以224x y x +=，配方得22(2)4x y -+=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（2）法一：由（1）知，曲线:C 22(2)4x y -+=的圆心为)0,2(，半径为2，由圆心到直线的距离公式得)0,2(到直线230x y --=的距离|203|5255d --==<，所以直线l 与曲线C 相交，设交点为A 、B ，所以=||AB 5952)55(2222=-.所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 法二：由（1）知，:l 230x y --=，:C 22(2)4x y -+=，联立方程，得⎩⎨⎧=+-=--4)2(03222y x y x ，消去y 得092252=+-x x ，因为0304954222>=⨯⨯-，所以直线l 与曲线C 相交，设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，由根与系数的关系知52221=+x x ，5921=x x ，所以5952594)522()21(1||22=⨯-⋅+=AB ，所以直线l 与曲线C 相交，其弦长为5952. 2．在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为π2cos 6ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若射线()π=03θρ>与直线l 交于点P ,与曲线C 交于点Q (Q 与原点O 不重合),求OQ OP 的值．【解析】（1）由232212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t 得直线l 的普通方程为40x y +-=, 把cos ,sin x y ρθρθ==,代入40x y +-=得直线l 的极坐标方程为()cos sin 4ρθθ+=.（2）由题意可得,48ππ13cos sin33OP ==++,ππ2cos 336OQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 所以OQ OP =1333388++⨯=. 3．已知在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为)3,1(，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+.（1）求点P 的极坐标1(,)ρα(02π)α≤<及曲线C 的参数方程；（2）过点P 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，若||MN =3，求直线l 的直角坐标方程.【解析】（1）在平面直角坐标系xOy 中，点P )3,1(是第一象限内的点，∴12ρ=，tan 3α=且π02α<<， π3α∴=， ∴点P 的极坐标为π(2,)3.曲线C 的极坐标方程为θθρρsin 2cos 44+=+，θρθρρsin 2cos 442+=+∴，由222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==得y x y x 24422+=++，∴曲线C 的直角坐标方程为042422=+--+y x y x ，即1)1()2(22=-+-y x ，∴曲线C 的参数方程为2cos 1sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）.（2）显然直线l 的斜率存在， ∴可设直线l 的方程为)1(3-=-x k y ，即03=-+-k y kx ，||MN =3，圆C 的半径为1， ∴圆C 的圆心(2,1)到直线l 的距离为21，∴2|13|121k k -+=+，化简得03815)13(832=-+-+k k ，解得3-=k 或3358-=k ， ∴直线l 的直角坐标方程为0323=-+y x 或(853)38380x y --+-=.4．已知极点与直角坐标系的原点重合、极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=．（1）求直线l 的参数方程；（2）设l 与曲线2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）相交于A ，B 两点，求点()1,1P 到A ，B 两点的距离之积．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为31sin()62ρθπ--=，化为直角坐标方程即31(1)3y x -=-，显然直线l 过点(1,1)，倾斜角为6π，因此直线l 的参数方程为1cos 61sin 6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=+⎪⎩，即312112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为123x ty t⎧=⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为(1sin )2ρθ+=. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与曲线D 交于,M N 两点，求||MN .【解析】（Ⅰ）消掉参数t ，得曲线C 的普通方程为32y x =-，即230x y +-=. 曲线D 的方程可化为：sin 2ρρθ+=，显然0ρ>，所以化为直角坐标方程为222x y y ++=，化简得244x y =-.方法二：将曲线C 的参数方程化为552535x m y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），并代入曲线D 的直角坐标方程，得2525()44(3)55m m -=-+，整理得2+85400m m +=. 由求根公式解得21,285(85)4404521021m -±-⨯==-±⨯，故12||||410MN m m =-=.。

2019浙江高考数学(理)二轮专题复习检测：选择填空题组合特训题型专项训练5 Word版含答案

题型专项训练5选择填空题组合特训(五)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题7分,共70分)1.已知集合A={x∈R||x|<2},B={x∈R|x+1≥0},则A∩B=()A.(-2,1]B.[-1,2)C.[-1,+∞)D.(-2,+∞)2.已知双曲线=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于()A B.5 C.7 D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.1 B C D4. (2017浙江台州高三期末)已知实数x,y满足则x+y的取值范围为()A.[2,5] BC D.[5,+∞)5.定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足:f(x)-f(y)=f,若x∈(-1,0)时,f(x)>0,若P=f+f,Q=f,R=f(0),则P,Q,R的大小关系为()A.R>Q>PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R6.在△ABC中,“A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=ln|x|,g(x)=-x2+3,则f(x)·g(x)的图象为()8.已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线9.在等边三角形ABC中,M为△ABC内任一点,且∠BMC=120°,则的最小值为()A.1 B C D10.设a,b,c是非零向量.若|a·c|=|b·c|=|(a+b)·c|,则()A.a·(b+c)=0B.a·(b-c)=0C.(a+b)·c=0D.(a-b)·c=0二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11.设函数f(x)=(x-a)|x-a|+b(a,b都是实数).则下列叙述中,正确的序号是.(请把所有叙述正确的序号都填上)①对任意实数a,b,函数y=f(x)在R上是单调函数;②存在实数a,b,函数y=f(x)在R上不是单调函数;③对任意实数a,b,函数y=f(x)的图象都是中心对称图形;④存在实数a,b,使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图形.12.(2017浙江衢州高三期末)计算:|3-i|=,=.13.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n(n∈N*),若a0+a1+…+a n=62,则n=,a0=.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=4,c=5,且B=2C,点D为边BC上一点,且CD=3,则cos C=,△ADC的面积为.15.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点.若以M为圆心,2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为.16.已知函数f(x)=-x,且对任意的x∈(0,1),都有f(x)·f(1-x)≥1恒成立,则实数a的取值范围是.参考答案题型专项训练5选择填空题组合特训(五)1.B解析由题意知,A={x∈R||x|<2}={x|-2<x<2}=(-2,2),B={x∈R|x+1≥0}={x|x≥-1}=[-1,+∞),则A∩B=[-1,2),故选B.2.D解析因为双曲线=1的焦点在y轴上,所以该双曲线的标准方程为=1(其中a<2).又因为焦距为4,所以3-a+2-a=.所以a=.故本题正确答案为D.3.B解析由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面积S=1×1=1,高h=1,四棱锥的体积V=Sh=×1×1=,故答案为B.4.A解析因为x≥1,y≥1⇒x+y≥2,又⇒x+y≤5,所以2≤x+y≤5,应选A.5.B解析取x=y=0,则f(0)-f(0)=f(0),∴f(0)=0.设x<y,则-1<<0,∴f>0.∴f(x)>f(y).∴函数f(x)在(-1,1)上为减函数,由f(x)-f(y)=f,得f(x)=f(y)+f,取y=,则x=,∴P=f+f=f.∵0<,∴f(0)>f>f,即R>P>Q,故选B.6.C解析 (1)若A,B,C成等差数列,则2B=A+C,∴3B=180°,B=60°;∴由余弦定理得b2=a2+c2-ac,∴a2+c2-b2=ac,∴(b+a-c)(b-a+c)=b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac,即(b+a-c)(b-a+c)=ac.∴A,B,C成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的充分条件;(2)若(b+a-c)(b-a+c)=ac,则b2-(a-c)2=b2-a2-c2+2ac=ac,∴a2+c2-b2=ac.由余弦定理a2+c2-b2=2ac·cos B,∴cos B=,∴B=60°,∴60°-A=180°-(A+60°)-60°,即B-A=C-B,∴A,B,C成等差数列.∴A,B,C成等差数列是(b+a-c)(b-a+c)=ac的必要条件.∴综上得,“A,B,C成等差数列”是“(b+a-c)(b-a+c)=ac”的充要条件.本题选择C选项.7.C解析由f(x)·g(x)为偶函数,排除A,D,当x=e时,f(x)·g(x)=-e2+3<0,排除B.8.B解析=2a+6b=2,因此A,B,D三点共线,故答案为B.9.C10.D解析由题意得,若a·c=b·c,则(a-b)·c=0;若a·c=-b·c,则由|a·c|=|b·c|=|(a+b)·c|可知,a·c=b·c=0,故(a-b)·c=0也成立,故选D.11.①③解析f(x)=作图可知,函数在(-∞,a)上单调递增,(a,+∞)上单调递增且f(a)=b,故①正确,②不正确,函数图象的对称中心是点(a,b),故③正确,④不正确,所以正确的序号是①③.12. -1+3i解析|3-i|=,=-1+3i.故答案为,-1+3i.13.55解析令x=1,可得a0+a1+a2+…+a n=2+22+23+…+2n==2n+1-2=62,解得n=5,令x=0,可得a0=5.14. 6解析由正弦定理得,可得cos C=,从而S△ADC=×3×4=6.15. 解析由圆的性质和当点M在弦AB上运动时,圆M与圆C一定有公共点,得≥3-2,即k≥-.16.∪[1,+∞)解析∵f(1-x)=-(1-x)=,∴对任意的x∈(0,1),都有≥1,即(a-x2)·[a-(1-x)2]≥x(1-x)恒成立,整理得x2(1-x)2+(2a-1)x(1-x)+(a2-a)≥0.令x(1-x)=t,则0<t≤,问题等价于t2+(2a-1)t+(a2-a)≥0对0<t≤恒成立,令g(t)=t2+(2a-1)t+(a2-a),∵Δ=(2a-1)2-4(a2-a)=1>0,∴即∴综上,实数a的取值范围是∪[1,+∞).。

2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练2集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)

小题对点练(二) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(2)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第114页)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，1)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－1}D [A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，从而A 、C 项错，∁R A ＝{x |x ≤0}，故选D.] 2．设a ，b ∈R ，则“a ＋b >4”是“a >1且b >3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [显然“a >1且b >3”成立时，“a ＋b >4”一定会成立，所以是必要条件．当a >4，b >2时，“a ＋b >4”成立，但“a >1且b >3”不成立，所以不是充分条件．故选B.]3．(2018·肇庆市三模)f (x )是R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧f (x －1)，x ＞1log 2 x ，0＜x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( ) A.12 B ．－12 C ．1D ．－1C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－log 2 12＝－log 2 2－1＝1.故选C.]4．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3＞0得－1＜x ＜3，故函数的定义域为(－1,3)，且y ＝ln t ，故本题即求函数t 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质求得t ＝－(x －1)2＋4在定义域内的减区间为[1,3)，故选B.]5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －2≤0，x ≥0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－4B ．－52C ．－1D ．－2D [作出可行域，如图所示：当直线y ＝x 2－z2过点D (0,1)时z 取到最大值，即z ＝－2，故选D.]6．(2018·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(﹁q )B ．(﹁p )∧qC ．p ∧qD ．(﹁p )∨qA [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(﹁q )为真命题，故选A.]7．(2018·天津高考)已知a ＝log 2 e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [法一：因为a ＝log 2 e ＞1，b ＝ln 2∈(0,1)，c ＝log 1213＝log 2 3＞log 2 e ＞1，所以c ＞a ＞b ，故选D.法二：log 1213＝log 2 3，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2 x ，y ＝ln x 的图象，由图知c ＞a ＞b ，故选D.]8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递增，且f (－2)＝1，则f (x －2)≤1的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．[0,4]D [由题意得f (x －2)≤f (－2)，由于函数f (x )是偶函数，所以x －2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x －2|≤|－2|＝2，所以－2≤x －2≤2，解之得0≤x ≤4，故选D.]9．对于使f (x )≤M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做f (x )的上确界，若a >0，b >0且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A.92 B ．－92 C.14D ．－4B [－12a －2b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b (a ＋b )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋b 2a ＋2a b ≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2b 2a ×2a b ＝－92，当且仅当b 2a ＝2a b ，即b ＝2a ＝23时取等号，所以原式的上确界为－92，故选B.]10．(2018·衡水中学七调)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lnx －1x ＋1的图象大致为( )A BC DB [由于x ≠0，故排除A 选项．又f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln －x －1－x ＋1＝－f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C 选项．由f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13＝－sin(ln 3)＜0，排除D 选项，故选B.]11．(2018·保定市一模)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A．0 B．2 018 C．4 036 D．4 037D[因为函数f(x)既是二次函数又是幂函数，所以f(x)＝x2，∴h(x)＝g(x)x2＋1＋1，因此h(x)＋h(－x)＝g(x)x2＋1＋1＋g(－x)x2＋1＋1＝2，h(0)＝g(0)0＋1＋1＝1，因此h(2 018)＋h(2 017)＋h(2 016)＋…＋h(1)＋h(0)＋h(－1)＋…＋h(－2 016)＋h(－2 017)＋h(－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D.]12．已知函数f(x)＝x2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数；②函数f(x)的最小值为0；③如果x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小值为2；④函数f(x)有2个零点．其中真命题的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4C[∵函数f(x)＝x2e x，∴f′(x)＝x(2－x)e－x，∴令f′(x)＞0，得0＜x＜2，即函数f(x)在(0,2)上为增函数；令f′(x)＜0，得x＜0或x＞2，即函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上为减函数．∵函数f(x)＝x2e x≥0在R上恒成立，∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，且函数f(x)的零点个数只有一个．当x＞0时，f(x)max＝f(2)＝4e2，则要使x∈[0，t]时，f(x)max＝4e2，则t的最小。

精品专题02参数方程-一本通之备战2019高考数学(理)选做题

专题02 参数方程知识通关1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．（1）参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.如22sin cos 1θθ+=等.（2）普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y 的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3．常见曲线的参数方程普通方程参数方程过点M 0(x 0,y 0),α为直线的倾斜角的直线y －y 0＝tan α(x －x 0)00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)圆心在原点，半径为r 的圆 x 2＋y 2＝r 2cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数) 中心在原点的椭圆22221x y a b+=(a >b >0) cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数) 【注】（1）在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．（2）若圆心在点M 0(x 0,y 0),半径为R,则圆的参数方程为00cos sin x x R y y R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数).（3）若椭圆的中心不在原点,而在点M 0(x 0,y 0),相应的椭圆参数方程为00cos sin x x a ty y b t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数).基础通关1．了解参数方程，了解参数的意义.2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 题组一参数方程与普通方程的互化（1）将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．【例1】已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为(θ为参数)．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解析】（1）直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. （2）因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离|2|45a d -=≤，解得－25≤a ≤2 5. 题组二参数方程及其应用（1）解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．（2）对于形如00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【例2】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解析】（1）曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.（2）曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 故|PA |的最大值与最小值分别为2255，255. 能力通关1．直线参数方程的应用:直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题.它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算,但应用直线的参数方程时,需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义.设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，注意以下两个结论的应用：(1)|AB |＝|t 1－t 2|； (2)|MA |·|MB |＝|t 1·t 2|.2．圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆上的点的坐标设为参数方程的形式,将问题转化为三角函数问题,利用三角函数知识解决问题.3．参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．求解时，充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．利用参数的几何意义解决问题【例1】在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=. （I ）写出直线l 的直角坐标方程以及曲线C 的极坐标方程；（II ）若(0,1)P -，且直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求222||+||(||||)PM PN PM PN ⋅的值.【解析】（I ）依题意，曲线C ：()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=，故曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10ρρθρθ--+=；因为直线l 的极坐标方程为π2cos()16ρθ+=，即3cos sin 10ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为310x y --=.坐标系与参数方程的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()324ρθπ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．（2）由题意，可设点P 的直角坐标为(cos ,3sin )αα，因为曲线2C 是直线，所以||PQ 的最小值即点P 到直线60x y +-=的距离的最小值，易得点P 到直线60x y +-=的距离为|cos 3sin 6|2|sin()3|62d ααα+-π==+-，当且仅当2()3k k απ=π+∈Z 时，d 取得最小值，即||PQ 取得最小值，最小值为22，此时点P 的直角坐标为13(,)22．【例3】在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知,A B 是曲线2C 上两点，且π6AOB ∠=，求3OA OB -的取值范围.。

2019高考数学(理)试题精校精析(北京卷)(纯word书稿)

2019高考数学（理）试题精校精析（北京卷）（纯word 书稿）1、[2018·北京卷]集合A ＝{x ∈|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈|(x ＋1)(x －3)>0}，那么A ∩B ＝()A 、(－∞，－1)B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3D 、(3，＋∞)1、D[解析]此题考查集合的表示、集合交集运算和一元一次、二次不等式求解，考查学生基础知识的掌握情况，属于基础题、因为A ＝{x |3x ＋2>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞，B ＝{x |x <－1或x >3}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，所以A ∩B ＝(3，＋∞)，答案为D.2、[2018·北京卷]设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π42、D[解析]此题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识，考查学生的实际应用能力，灵活反应能力、设事件A ：点到坐标原点的距离大于2.如图1－1，P (A )＝S 2S ＝S －S 1S ＝4－π4.3、[2018·北京卷]设a ，b ∈，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的() A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3、B[解析]此题考查了简易逻辑、纯虚数的定义以及复数运算等基础知识，考查学生基础知识的掌握情况、∵假设a ＝0，那么复数a ＋b i 是实数(b ＝0)或纯虚数(b ≠0)、假设复数a ＋b i 是纯虚数那么a ＝0.综上，a ，b ∈，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件、4、[2018·北京卷]执行如图1－2所示的程序框图，输出的S 值为()A、2B、4C、8D、164、C[解析]此题考查了循环结构的流程图，简单的指数幂计算等基础知识，考查了学生的读图能力以及数学语言转译水平、根据循环，k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2；S＝8，当k＝3，时，输出S ＝8.图1－35、[2018·北京卷]如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，那么()A、CE·CB＝AD·DBB、CE·CB＝AD·ABC、AD·AB＝CD2D、CE·EB＝CD25、A[解析]此题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识，考查学生数形转换的能力、对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB；对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB；对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB；对于D，ED2＝CE·EB≠CD2.6、[2018·北京卷]从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A、24B、18C、12D、66、B[解析]此题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，锻炼学生灵活处理问题的能力、法一：(直接法)此题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7、[2018·北京卷]某三棱锥的三视图如图1－4所示，该三棱锥的表面积是()－4A 、28＋65B 、30＋6 5C 、56＋125D 、60＋12 57、B[解析]此题考查的三棱锥的三视图与表面积公式，考查学生对数据的运算处理能力和空间想象能力、由三视图可知，几何体为一个侧面和底面垂直的三棱锥，如下图，可知S 底面＝12×5×4＝10，S 后＝12×5×4＝10，S 左＝12×6×25＝65，S 右＝12×4×5＝10，所以S 表＝10×3＋65＝30＋8、[2018·北京卷]某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图1－6所示、从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为()A 、5B 、7C 、9D 、118、C[解析]此题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢，检查学生从现象中提炼本质的数学能力、法一：因为随着n 的增大，S n 在增大，要使S nn 取得最大值，只要让随着n 的增大S n ＋1－S n 的值超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的加入即可，S n ＋1－S n 的值不超过S n ＋1－S 1n (平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设S m m 是S n n 取的最大值，所以只要S m m >S m ＋1m ＋1即可，也就是S m －0m －0>S m ＋1－0m ＋1－0，即可以看作点Q m (m ，S m )与O (0,0)连线的斜率大于点Q m ＋1(m ＋1，S m ＋1)与O (0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q 9(9，S 9)与O (0,0)连线的斜率开始大于点Q 10(10，S 10)与O (0,0)连线的斜率、答案为C.9、[2018·北京卷]直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________、9、2[解析]此题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用、方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.10、[2018·北京卷]{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，假设a 1＝12，S 2＝a 3，那么a 2＝________.10、1[解析]此题考查等差数列基本公式和基础运算，设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3可得，a 1＝a 3－a 2＝d ＝12，所以a 2＝2d ＝2×12＝1.11、[2018·北京卷]在△ABC 中，假设a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，那么b ＝________.11、4[解析]此题考查正、余弦定理和解三角形等基础知识，考查对数据的运算能力、cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，可得cos B ＝4＋c －b c ＋b 4c ＝－14，4＋7c －b c＝－1,8c －7b ＋4＝0，结合b ＋c ＝7，可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3，答案为4.12、[2018·北京卷]在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，假设直线l 的倾斜角为60°，那么△OAF 的面积为________、12.3[解析]此题考查抛物线方程、抛物线简单几何性质以及直线和抛物线的位置关系以及三角形面积公式，考查数形结合及转化化归思想、抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l 的斜率为tan600＝3，所以直线l 的方程为y ＝3x －3，将直线l 的方程和抛物线方程联立⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由点A 在x 轴上方，所以A 点在第一象限，那么x 1＝3，y 1＝2 3.法一：|AF |＝x 1＋1＝4，O 点到直线AB 的距离为d ＝32，所以S ΔFOA ＝12×4×32＝ 3.法二：A (3,23)，所以S ΔFOA ＝12×1×23＝ 3.13、[2018·北京卷]正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，那么DE →·CB →的值为________.DE →·DC →的最大值为________、 13、11[解析]此题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识，考查学生对平面数量积的理解，属于基础题、法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，那么DE →·CB →＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如下图，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.14、[2018·北京卷]f (x )＝m (3)，g (x )＝2x －2，假设同时满足条件：①∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. 那么m 的取值范围是________、14、(－4，－2)[解析]此题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能，考查分类讨论的数学思想、分析问题和解决问题以及综合运用知识的能力、满足条件①时，由g (x )＝2x －2<0，可得x <1，要使∀x ∈，f (x )<0或g (x )<0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0恒成立，当m ＝0时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f (x )必须开口向下，也就是m <0，要满足条件，必须使方程f (x )＝0的两根2m ，－m－3都小于1，即⎩⎨⎧2m <1，－m －3<1，可得m ∈(－4,0)、满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )<0，所以要使∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )g (x )<0，只要∃x 0∈(－∞，－4)时，使f (x 0)>0即可，只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可，当m ∈(－1,0)时，2m >－m －3，只要－4>－m －3，解得m >1与m ∈(－1,0)的交集为空集；当m ＝－1时，两根为－2,4；－2>－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m <－m －3，所以只要－4>2m ，所以m ∈(－4，－2)。