《复变函数》教学大纲

《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。

复变函数论主要研究解析函数。

解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。

复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。

保形映照是复变函数几何理论的基本概念。

；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。

3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。

复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。

5．教学时数分配：本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表以上是二年制脱产数学本科的教学时数。

函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。

教学内容第一章复数与复变函数复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。

复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。

（一）教学内容1．复数发展史略；2．复数的定义及运算。

复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。

3．平面上的点集。

平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。

4．复球面与无穷远点。

复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘幂与n次方根、无穷远点与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。

5．复变函数。

复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯西收敛准则、复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系，闭区域上连续函数的性质。

重点：复变函数及其极限与连续。

难点：无穷远点及无穷远点邻域。

（二）、教学目的和要求1．理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。

2．理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。

3．进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，解析函数的充要条件揭示了解析函数与调和函数之间的联系。

（一）、教学内容1．解析函数的概念。

复变函数的导数、函数在一点解析的定义、函数在区域内解析的定义、C—R条件、=解析函数的充要条件。

2．调和函数调和函数的定义、解析函数与调和函数的关系。

3．初等函数。

（1）指数函数与对数函数。

指数函数及其重要性质、单叶函数、多叶函数、周期函数、对数函数、分枝、主值枝、枝点、枝割线。

（2）幂函数与根式函数。

幂函数、根式函数、分枝、主值枝、枝点、枝割线。

（3）三角函数、一般幂函数、一般指数函数。

重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。

难点：枝点的概念。

（二）教学目的和要求1．理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。

2．理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。

3．熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。

4．熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。

5．熟练求多值函数的枝点、及满足条件的分枝在指定点处的函数值。

6．联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。

第三章复变函数的积分以柯西定理为基础，建立柯西公式，从而得出解析函数的各阶可导性，莫勒拉定理解决了柯西定理的逆问题，由此即可得到解析函数的另一个充要条件。

（一）教学内容1．复积分的概念、性质和计算。

2．柯西积分定理。

单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。

3. 柯西积分公式与高阶导数公式。

4.柯西积分定理与积分公式的应用。

柯西不等式、刘维尔定理、代数基本定理、不定积分、牛顿—莱布尼兹公式、莫勒拉公理。

重点：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。

难点：计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

（二）教学目的和要求1．理解复积分的概念。

2．理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。

3．刘维尔定理、莫勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。

4．熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。

第四章解析函数的幂级数表示幂级数是研究解析函数的重要工具之一。

泰勒公式给予解析函数以明确的解析表示式。

解析函数的唯一性定理是解析函数的重要特征。

（一）教学内容1．复级数的基本概念。

复数项级数、函数项级数、一致收敛的柯西判别法、维尔斯特拉斯判别法、和函数的连续性、逐项积分、逐项微分。

2．幂级数。

幂级数的定义、阿贝尔定理、收敛图、收敛半径、和函数在收敛圆内的解析性。

3．解析函数的泰勒展式。

泰勒定理、初等函数的泰勒展式、解析函数的另一个充要条件。

4．唯一性定理。

解析函数的零点的孤立性、解析函数的唯一性。

重点：1、幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。

2、将函数在一点展成幂级数的方法。

解析函数的唯一性定理。

难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。

（二）教学目的与要求。

1．理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。

2．理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件结论的强弱。

3．熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。

4．熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。

5．熟练掌握解析函数零点和级别的求法。

第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点罗朗展式是泰勒展式的推广，它是研究解析函数的孤立奇点的重要工具。

（一）教学内容。

1．罗朗级数。

罗朗级数的概念、罗朗级数的收敛域及其函数的解析性、解析函数在圆环上展成罗朗级数。

2．孤立奇点。

奇点、孤立奇点及其分类、函数在孤立奇点的去心邻域内的性质。

3．解析函数在无穷远点的去心邻域内的性质。

函数在无穷远点的罗朗级数、无穷远点为孤立奇点的分类。

重点：1.将函数展成罗朗级数的方法。

2.判别孤立奇点的方法。

3.解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质。

难点：1.孤立奇点类别的识别。

2.将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。

（二）教学目的和要求。

1.理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本性奇点的概念。

2.熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式。

3.熟练掌握判断奇点类别的方法。

第六章留数理论及其应用留数在复变函数的闭曲线积分及一些实积分计算中起着重要作用。

（一）教学内容。

1．留数的概念与计算。

留数的定义、计算的方法、无穷远点的留数的求法。

2．留数基本定理。

留数基本定理、用留数基本定理求复函数在闭曲线上的积分。

3．留数在计算某些实积分中的应用。

⎰πθθθ20)sin ,(cos d R 型积分 dx x Q x P ⎰+∞∞-)()( 型积分 dx e x Q x P inx ⎰+∞∞-)()( 型积分 4．辐角定理及儒歇定理。

重点：1、计算留数的方法。

2、留数基本定理。

难点：函数在无穷远点留数的计算。

（二）教学目的和要求。

1．理解留数的定义。

2．熟练掌握计算留数的方法。

3．理解留数基本定理，会用留数理论计算积分。

第七章 保形变换保形变换是复变函数几何理论的基本概念。

分式线性变换及其它初等函数的变换有广泛的实际应用。

（一）教学内容。

1．解析函数的映照性质。

导数的几何意义、保域性、保角性、保形性、保域性定理、最大模原理。

2．分式线性变换。

分式线性变换的定义、分解、性质、典型映照。

3．几个初等函数的映照性质。

W=Z n 与W=n Z 的映照性质，W=e z 与W=㏑Z 的映照性质。

4．黎曼定理及边界对应定理。

（不证）重点：分式线性变换。

难点：已知区域D 与G ，求将D 映射为G 的保形映照。

（二）教学目的和要求。

1．理解导数的几何意义及保形映照、分式线性映照、保圆性、对称点等概念。

2．掌握分式线性映照的性质和几个典型映照。

3．理解W=Z n 、W=n Z 、W=e z 、W=㏑Z 的映照性质。

4．会求将区域D 映射为G 的保形映照。

参 考 书 目1、《复变函数论》 钟玉泉 编 高等教育出版社2、《复变函数》 余家荣 编 人民教育出版社3、《复变函数引论》 N ·N ·普里瓦洛夫 著 人民教育出版社撰稿人：王心一。